Hogyan fejezzünk ki egy számot logaritmusból. Logaritmus - tulajdonságok, képletek, grafikon

Meghatározásából következik. És így a szám logaritmusa b alapján A Az a kitevő, amelyre egy számot emelni kell a hogy megkapja a számot b(a logaritmus csak pozitív számoknál létezik).

Ebből a megfogalmazásból az következik, hogy a számítás x=log a b, egyenértékű az egyenlet megoldásával a x =b. Például, log 2 8 = 3 mert 8 = 2 3 . A logaritmus megfogalmazása lehetővé teszi annak igazolását, hogy ha b=a c, majd a szám logaritmusa b alapján a egyenlő Vel. Az is világos, hogy a logaritmus témaköre szorosan kapcsolódik a szám hatványainak témájához.

A logaritmusokkal, mint minden számmal, megteheti összeadás, kivonás műveleteiés minden lehetséges módon átalakul. De mivel a logaritmusok nem teljesen közönséges számok, itt saját speciális szabályaik érvényesek, amelyeket ún. főbb tulajdonságait.

Logaritmusok összeadása és kivonása.

Vegyünk két azonos bázisú logaritmust: naplózzon egy x-etÉs log a y. Ezután lehetséges az összeadás és a kivonás műveletei:

log a x+ log a y= log a (x·y);

log a x - log a y = log a (x:y).

log a(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = naplózzon egy x-et 1 + naplózzon egy x-et 2 + naplózzon egy x-et 3 + ... + log a x k.

Tól logaritmus hányados tétel a logaritmusnak még egy tulajdonsága nyerhető. Köztudott, hogy log a 1=0 tehát

log a 1 /b= log a 1 - napló a b= - log a b.

Ez azt jelenti, hogy egyenlőség van:

log a 1 / b = - log a b.

Két reciprok szám logaritmusa ugyanazon okból kizárólag előjelben különböznek majd egymástól. Így:

Log 3 9= - log 3 1/9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.

Ezzel a videóval a logaritmikus egyenletekről szóló leckék hosszú sorozatát kezdem. Most három példánk van, amelyek alapján megtanuljuk megoldani a legegyszerűbb problémákat, amelyeket - protozoák.

log 0,5 (3x − 1) = −3

log (x + 3) = 3 + 2 log 5

Hadd emlékeztesselek arra, hogy a legegyszerűbb logaritmikus egyenlet a következő:

log a f (x) = b

Ebben az esetben fontos, hogy az x változó csak az argumentumban, azaz csak az f (x) függvényben legyen jelen. Az a és b számok pedig csak számok, és semmi esetre sem olyan függvények, amelyek x változót tartalmaznak.

Alapvető megoldási módszerek

Az ilyen struktúrák megoldásának számos módja van. Például a legtöbb tanár az iskolában ezt a módszert ajánlja: Azonnal fejezze ki az f (x) függvényt a képlettel f ( x ) = a b . Vagyis ha a legegyszerűbb konstrukcióval találkozik, azonnal továbbléphet a megoldásra további műveletek és konstrukciók nélkül.

Igen, természetesen a döntés helyes lesz. Ezzel a képlettel azonban az a probléma, hogy a legtöbb diák nem értem, honnan származik és miért emeljük az a betűt b betűvé.

Emiatt gyakran nagyon bosszantó hibákat látok, amikor például ezeket a betűket felcserélik. Ezt a képletet vagy meg kell érteni, vagy be kell zsúfolni, és a második módszer a legalkalmatlanabb és legdöntőbb pillanatokban vezet hibákhoz: vizsgák, tesztek stb.

Ezért azt javaslom minden diákomnak, hogy hagyják el a szokásos iskolai képletet, és használják a második megközelítést a logaritmikus egyenletek megoldására, amelyet, mint valószínűleg a nevéből is sejtetted, az ún. kanonikus forma.

A kanonikus forma ötlete egyszerű. Nézzük meg újra a problémánkat: a bal oldalon log a van, az a betű alatt pedig egy számot értünk, semmi esetre sem az x változót tartalmazó függvényt. Következésképpen erre a levélre a logaritmus alapján támasztott összes korlátozás vonatkozik. ugyanis:

1 ≠ a > 0

Másrészt ugyanabból az egyenletből azt látjuk, hogy a logaritmusnak egyenlőnek kell lennie a b számmal, és erre a betűre nincs korlátozás, mert bármilyen értéket felvehet - pozitív és negatív is. Minden attól függ, hogy az f(x) függvény milyen értékeket vesz fel.

És itt emlékezünk a csodálatos szabályunkra, miszerint bármely b szám logaritmusként ábrázolható az a bázishoz, a b hatványához:

b = log a a b

Hogyan emlékezzünk erre a képletre? Igen, nagyon egyszerű. Írjuk fel a következő konstrukciót:

b = b 1 = b log a a

Természetesen ebben az esetben minden megkötés felmerül, amit az elején leírtunk. Most használjuk a logaritmus alaptulajdonságát, és vegyük be a b szorzót a hatványaként. Kapunk:

b = b 1 = b log a a = log a a b

Ennek eredményeként az eredeti egyenlet a következőképpen lesz átírva:

log a f (x) = log a a b → f (x) = a b

Ennyi. Az új függvény már nem tartalmaz logaritmust, és standard algebrai technikákkal megoldható.

Persze valaki most tiltakozik: miért kellett egyáltalán valamiféle kanonikus képletet kitalálni, miért kellett további két felesleges lépést végrehajtani, ha az eredeti tervről azonnal át lehetett lépni a végső képletre? Igen, már csak azért is, mert a legtöbb diák nem érti, honnan származik ez a képlet, és ennek következtében rendszeresen hibázik az alkalmazása során.

De ez a három lépésből álló műveletsor lehetővé teszi az eredeti logaritmikus egyenlet megoldását, még akkor is, ha nem érti, honnan származik a végső képlet. Egyébként ezt a bejegyzést kanonikus képletnek nevezik:

log a f (x) = log a a b

A kanonikus forma kényelme abban is rejlik, hogy a logaritmikus egyenletek igen széles osztályának megoldására használható, és nem csak a legegyszerűbbek, amelyekkel ma foglalkozunk.

Példák megoldásokra

Most nézzünk valós példákat. Szóval, döntsük el:

log 0,5 (3x − 1) = −3

Írjuk át így:

log 0,5 (3x − 1) = log 0,5 0,5 −3

Sok diák siet, és megpróbálja azonnal felemelni a 0,5-ös számot arra a hatványra, amely az eredeti problémából származott. Valójában, ha már jól képzett az ilyen problémák megoldásában, azonnal végrehajthatja ezt a lépést.

Ha azonban most kezdi tanulmányozni ezt a témát, jobb, ha nem rohan sehova, hogy elkerülje a sértő hibákat. Tehát megvan a kanonikus forma. Nálunk:

3x − 1 = 0,5 −3

Ez már nem logaritmikus egyenlet, hanem lineáris az x változóhoz képest. A megoldáshoz először nézzük meg a 0,5 számot −3 hatványa szerint. Vegye figyelembe, hogy a 0,5 az 1/2.

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

A logaritmikus egyenlet megoldása során az összes tizedes törtet konvertálja közönséges törtté.

Átírjuk és megkapjuk:

3x − 1 = 8
3x = 9
x = 3

Ennyi, megkaptuk a választ. Az első probléma megoldódott.

Második feladat

Térjünk át a második feladatra:

Amint látjuk, ez az egyenlet már nem a legegyszerűbb. Már csak azért is, mert a bal oldalon eltérés van, és egyetlen bázishoz egyetlen logaritmus sincs.

Ezért valahogy meg kell szabadulnunk ettől a különbségtől. Ebben az esetben minden nagyon egyszerű. Nézzük meg közelebbről az alapokat: bal oldalon a gyökér alatti szám található:

Általános javaslat: minden logaritmikus egyenletben próbáljon meg megszabadulni a gyököktől, azaz a gyökös bejegyzésektől, és lépjen tovább a hatványfüggvényekre, pusztán azért, mert ezeknek a hatványoknak a kitevői könnyen kivehetők a logaritmus előjeléből, és végső soron egy bejegyzés jelentősen leegyszerűsíti és felgyorsítja a számításokat. Írjuk le így:

Most pedig emlékezzünk a logaritmus figyelemre méltó tulajdonságára: a hatványok származtathatók az argumentumból és az alapból is. Indokolás esetén a következő történik:

log a k b = 1/k loga b

Vagyis azt a számot, amely az alaphatványban volt, előre hozzuk és egyben meg is fordítjuk, azaz reciprok számmá válik. Nálunk az alapfok 1/2 volt. Ezért kivehetjük 2/1-nek. Kapunk:

5 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 log 5 x − log 5 x = 18

Kérjük, vegye figyelembe: semmi esetre sem szabadulhat meg a logaritmusoktól ebben a lépésben. Emlékezz a 4-5. osztályos matematikára és a műveletek sorrendjére: először a szorzást, majd csak azután az összeadást és kivonást végezzük. Ebben az esetben 10 elemből kivonjuk az egyik elemet:

9 log 5 x = 18
log 5 x = 2

Most az egyenletünk úgy néz ki, ahogy kell. Ez a legegyszerűbb konstrukció, amit a kanonikus formával oldunk meg:

log 5 x = log 5 5 2
x = 5 2
x = 25

Ennyi. A második probléma megoldódott.

Harmadik példa

Térjünk át a harmadik feladatra:

log (x + 3) = 3 + 2 log 5

Hadd emlékeztesselek a következő képletre:

log b = log 10 b

Ha valamilyen oknál fogva megzavarta a b jelölési napló, akkor az összes számítás végrehajtásakor egyszerűen beírhatja a 10 b naplót. A decimális logaritmusokkal ugyanúgy dolgozhat, mint másokkal: vegyen fel hatványokat, adjon hozzá és ábrázoljon tetszőleges számokat lg 10 formában.

Ezekkel a tulajdonságokkal fogjuk most megoldani a feladatot, mivel nem a legegyszerűbb tulajdonságot írtuk le a leckénk legelején.

Először is vegye figyelembe, hogy az lg 5 előtti 2-es tényező összeadható, és az 5-ös bázis hatványa lesz. Ezen kívül a 3 szabad tag logaritmusként is ábrázolható - ez a mi jelölésünkből nagyon könnyen megfigyelhető.

Ítélje meg maga: bármely szám ábrázolható logként a 10-es alapig:

3 = log 10 10 3 = log 10 3

Írjuk át az eredeti feladatot a kapott változtatások figyelembevételével:

log (x − 3) = log 1000 + log 25
log (x − 3) = log 1000 25
log (x − 3) = log 25 000

Újra előttünk van a kanonikus forma, amit a transzformációs szakaszon keresztül kaptunk, vagyis a legegyszerűbb logaritmikus egyenlet sehol sem jelent meg.

Pontosan erről beszéltem az óra legelején. A kanonikus forma lehetővé teszi a problémák szélesebb osztályának megoldását, mint a legtöbb iskolai tanár által adott általános iskolai képlet.

Nos, ez az, megszabadulunk a decimális logaritmus előjelétől, és egy egyszerű lineáris konstrukciót kapunk:

x + 3 = 25 000
x = 24 997

Minden! A probléma megoldódott.

Megjegyzés a terjedelemről

Itt szeretnék egy fontos megjegyzést tenni a meghatározás terjedelmével kapcsolatban. Biztosan most lesznek olyan diákok és tanárok, akik azt mondják: „Amikor kifejezéseket logaritmussal oldunk meg, emlékeznünk kell arra, hogy az f (x) argumentumnak nagyobbnak kell lennie nullánál!” Ezzel kapcsolatban felmerül egy logikus kérdés: miért nem követeltük meg, hogy ez az egyenlőtlenség a vizsgált problémák egyikében sem teljesüljön?

Ne aggódj. Ezekben az esetekben nem jelennek meg további gyökerek. És ez egy másik nagyszerű trükk, amely lehetővé teszi a megoldás felgyorsítását. Csak tudd, hogy ha a feladatban az x változó csak egy helyen fordul elő (vagy inkább egyetlen logaritmus egyetlen argumentumában), és esetünkben sehol máshol nem jelenik meg az x változó, akkor írd le a definíciós tartományt. nem szükséges, mert automatikusan végrehajtásra kerül.

Ítélje meg maga: az első egyenletben azt kaptuk, hogy 3x − 1, azaz az argumentumnak 8-nak kell lennie. Ez automatikusan azt jelenti, hogy 3x − 1 nagyobb lesz nullánál.

Ugyanilyen sikerrel felírhatjuk, hogy a második esetben x legyen egyenlő 5 2-vel, azaz minden bizonnyal nagyobb nullánál. És a harmadik esetben, ahol x + 3 = 25 000, azaz ismét nyilvánvalóan nagyobb, mint nulla. Más szóval, a hatókör automatikusan teljesül, de csak akkor, ha x csak egy logaritmus argumentumában fordul elő.

Ennyit kell tudnia a legegyszerűbb problémák megoldásához. Ez a szabály önmagában az átalakítási szabályokkal együtt lehetővé teszi a problémák nagyon széles osztályának megoldását.

De legyünk őszinték: ahhoz, hogy végre megértsük ezt a technikát, és megtanuljuk, hogyan kell alkalmazni a logaritmikus egyenlet kanonikus alakját, nem elég csak egy videóleckét megnézni. Ezért most azonnal töltse le a videóleckéhez csatolt független megoldási lehetőségeket, és kezdje el a két független munka közül legalább az egyik megoldását.

Szó szerint néhány percet vesz igénybe. De az ilyen képzés hatása sokkal nagyobb lesz, mintha egyszerűen megnézné ezt a videóleckét.

Remélem, ez a lecke segít a logaritmikus egyenletek megértésében. Használja a kanonikus formát, egyszerűsítse a kifejezéseket a logaritmusokkal végzett munka szabályaival – és nem fog félni a problémáktól. Ennyi van mára.

Figyelembe véve a definíciós tartományt

Most beszéljünk a logaritmikus függvény definíciós tartományáról, és arról, hogy ez hogyan hat a logaritmikus egyenletek megoldására. Fontolja meg az űrlap felépítését

log a f(x) = b

Egy ilyen kifejezést a legegyszerűbbnek neveznek - csak egy függvényt tartalmaz, és az a és b számok csak számok, és semmi esetre sem olyan függvény, amely az x változótól függ. Nagyon egyszerűen meg lehet oldani. Csak a képletet kell használnia:

b = log a a b

Ez a képlet a logaritmus egyik legfontosabb tulajdonsága, és az eredeti kifejezésünkbe behelyettesítve a következőket kapjuk:

log a f (x) = log a a b

f(x) = a b

Ez az iskolai tankönyvekből ismerős képlet. Valószínűleg sok diáknak lesz kérdése: mivel az eredeti kifejezésben az f (x) függvény a log jel alatt van, a következő korlátozások vonatkoznak rá:

f(x) > 0

Ez a korlátozás azért érvényes, mert a negatív számok logaritmusa nem létezik. Lehetséges tehát, hogy ennek a korlátozásnak köszönhetően be kellene vezetni a válaszok ellenőrzését? Talán be kell őket illeszteni a forrásba?

Nem, a legegyszerűbb logaritmikus egyenleteknél szükségtelen a további ellenőrzés. És itt van miért. Tekintse meg végső képletünket:

f(x) = a b

Az a tény, hogy az a szám mindenképpen nagyobb, mint 0 - ezt a követelményt a logaritmus is előírja. Az a szám az alap. Ebben az esetben a b számra nincs korlátozás. De ez nem számít, mert akármilyen hatványra emelünk egy pozitív számot, a kimeneten akkor is pozitív számot kapunk. Így az f(x) > 0 követelmény automatikusan teljesül.

Amit igazán érdemes ellenőrizni, az a függvény tartománya a naplójel alatt. Lehetnek elég összetett struktúrák, és a megoldási folyamat során mindenképpen figyelni kell rájuk. Lássuk csak.

Első feladat:

Első lépés: konvertálja át a jobb oldali törtet. Kapunk:

Megszabadulunk a logaritmus előjelétől, és megkapjuk a szokásos irracionális egyenletet:

A kapott gyökök közül csak az első felel meg nekünk, mivel a második gyök kisebb, mint nulla. Az egyetlen válasz a 9-es szám lesz. Ez az, a probléma megoldódott. Nincs szükség további ellenőrzésekre annak biztosítására, hogy a logaritmus előjele alatti kifejezés nagyobb-e 0-nál, mert nem csak nagyobb 0-nál, hanem az egyenlet feltétele szerint egyenlő 2-vel. Ezért a „nullánál nagyobb” követelmény ” automatikusan teljesül.

Térjünk át a második feladatra:

Itt minden ugyanaz. Átírjuk a konstrukciót a hármas helyére:

Megszabadulunk a logaritmus előjelektől, és irracionális egyenletet kapunk:

Mindkét oldalt négyzetre emeljük a korlátozások figyelembevételével, és kapjuk:

4 − 6x − x 2 = (x − 4) 2

4 − 6x − x 2 = x 2 + 8x + 16

x 2 + 8x + 16 −4 + ​​6x + x 2 = 0

2x 2 + 14x + 12 = 0 |:2

x 2 + 7x + 6 = 0

A kapott egyenletet a diszkrimináns segítségével oldjuk meg:

D = 49 - 24 = 25

x 1 = −1

x 2 = −6

De az x = −6 nem felel meg nekünk, mert ha ezt a számot behelyettesítjük az egyenlőtlenségünkbe, azt kapjuk:

−6 + 4 = −2 < 0

Esetünkben 0-nál nagyobbnak vagy szélsőséges esetben egyenlőnek kell lennie. De az x = −1 megfelel nekünk:

−1 + 4 = 3 > 0

Az egyetlen válasz esetünkben x = −1 lesz. Ez a megoldás. Térjünk vissza számításaink legelejére.

Ebből a leckéből az a fő következtetés, hogy nem kell egyszerű logaritmikus egyenletekben ellenőriznie a függvényekre vonatkozó kényszereket. Mert a megoldási folyamat során minden megkötés automatikusan teljesül.

Ez azonban semmiképpen sem jelenti azt, hogy teljesen elfelejtheti az ellenőrzést. A logaritmikus egyenlet megmunkálása során könnyen átváltozhat egy irracionális egyenletté, amelynek meg lesznek a maga megszorításai és követelményei a jobb oldalra vonatkozóan, amit ma két különböző példában láthattunk.

Nyugodtan oldja meg az ilyen problémákat, és legyen különösen óvatos, ha a vitában gyökere van.

Logaritmikus egyenletek különböző alapokkal

Folytatjuk a logaritmikus egyenletek tanulmányozását, és megvizsgálunk még két egészen érdekes technikát, amelyekkel divatos bonyolultabb konstrukciók megoldása. De először emlékezzünk a legegyszerűbb problémák megoldására:

log a f(x) = b

Ebben a jelölésben a és b számok, az f (x) függvényben pedig az x változónak kell jelen lennie, és csak ott, azaz x-nek csak az argumentumban kell szerepelnie. Az ilyen logaritmikus egyenleteket a kanonikus forma segítségével transzformáljuk. Ehhez vegye figyelembe, hogy

b = log a a b

Ráadásul a b pontosan egy érv. Írjuk át ezt a kifejezést a következőképpen:

log a f (x) = log a a b

Pontosan ezt igyekszünk elérni, hogy legyen logaritmus az a-ra alapozva mind a bal, mind a jobb oldalon. Ebben az esetben képletesen áthúzhatjuk a naplójeleket, és matematikai szempontból azt mondhatjuk, hogy egyszerűen egyenlőségjelet teszünk az érvek közé:

f(x) = a b

Ennek eredményeként egy új kifejezést kapunk, amelyet sokkal könnyebb lesz megoldani. Alkalmazzuk ezt a szabályt mai problémáinkra.

Tehát az első dizájn:

Először is megjegyzem, hogy a jobb oldalon van egy tört, amelynek a nevezője log. Amikor egy ilyen kifejezést lát, jó ötlet emlékezni a logaritmusok egy csodálatos tulajdonságára:

Oroszra lefordítva ez azt jelenti, hogy bármely logaritmus ábrázolható két logaritmus hányadosaként bármilyen c bázissal. Természetesen 0< с ≠ 1.

Tehát: ennek a képletnek van egy csodálatos speciális esete, amikor a c változó egyenlő a változóval b. Ebben az esetben a következő konstrukciót kapjuk:

Pontosan ez az a konstrukció, amit az egyenletünk jobb oldali jeléből látunk. Cseréljük le ezt a konstrukciót log a b -vel, így kapjuk:

Vagyis az eredeti feladathoz képest felcseréltük az argumentumot és a logaritmus alapját. Ehelyett meg kellett fordítanunk a törtet.

Ne feledjük, hogy az alapból bármely fokozat származtatható a következő szabály szerint:

Más szóval, a k együtthatót, amely az alap hatványa, fordított törtként fejezzük ki. Jelentsük meg fordított törtként:

A törttényezőt nem hagyhatjuk elöl, mert ebben az esetben ezt a jelölést nem tudjuk kanonikus alakként ábrázolni (elvégre a kanonikus alakban nincs további tényező a második logaritmus előtt). Ezért adjuk hozzá az 1/4-es törtet az argumentumhoz hatványként:

Most egyenlőségjelet teszünk olyan érvekre, amelyeknek az alapja megegyezik (és az alapjaink valóban ugyanazok), és írjuk:

x + 5 = 1

x = −4

Ennyi. Megkaptuk a választ az első logaritmikus egyenletre. Figyelem: az eredeti feladatban az x változó csak egy naplóban jelenik meg, és az argumentumában is megjelenik. Ezért nincs szükség a tartomány ellenőrzésére, és az x = −4 számunk valóban a válasz.

Most térjünk át a második kifejezésre:

log 56 = log 2 log 2 7 − 3 log (x + 4)

Itt a szokásos logaritmusokon kívül log f (x)-el kell dolgoznunk. Hogyan lehet megoldani egy ilyen egyenletet? Egy felkészületlen diáknak úgy tűnhet, hogy ez valami nehéz feladat, de valójában mindent meg lehet oldani elemi módon.

Vessen egy pillantást az lg 2 log 2 kifejezésre 7. Mit mondhatunk róla? A log és az lg alapjai és argumentumai megegyeznek, és ez ad némi ötletet. Emlékezzünk még egyszer arra, hogyan vesznek ki hatványokat a logaritmus jele alól:

log a b n = nlog a b

Más szóval, ami b hatványa volt az érvelésben, az maga a log előtti tényezővé válik. Alkalmazzuk ezt a képletet az lg 2 log 2 7 kifejezésre. Ne ijedj meg az lg 2-től – ez a leggyakoribb kifejezés. A következőképpen írhatod át:

Minden más logaritmusra érvényes szabály érvényes. Az érvelés mértékéhez különösen az elöl lévő tényezőt lehet hozzáadni. Írjuk fel:

Nagyon gyakran a tanulók nem látják közvetlenül ezt a műveletet, mert nem jó az egyik naplót a másik jele alá beírni. Valójában ebben nincs semmi bûn. Ezenkívül kapunk egy képletet, amelyet könnyű kiszámítani, ha emlékszik egy fontos szabályra:

Ez a képlet definíciónak és annak egyik tulajdonságának is tekinthető. Mindenesetre, ha egy logaritmikus egyenletet konvertál, akkor ezt a képletet ugyanúgy ismernie kell, mint bármely szám logaritmusát.

Térjünk vissza a feladatunkhoz. Átírjuk, figyelembe véve azt a tényt, hogy az egyenlőségjeltől jobbra lévő első tag egyszerűen lg 7 lesz.

lg 56 = lg 7–3 lg (x + 4)

Mozgassuk az lg 7-et balra, kapjuk:

lg 56 − lg 7 = −3 lg (x + 4)

A bal oldali kifejezéseket kivonjuk, mert ugyanaz az alapjuk:

lg (56/7) = –3 lg (x + 4)

Most nézzük meg közelebbről a kapott egyenletet. Gyakorlatilag a kanonikus forma, de a jobb oldalon van egy −3 tényező. Adjuk hozzá a megfelelő lg argumentumhoz:

log 8 = log (x + 4) −3

Előttünk a logaritmikus egyenlet kanonikus alakja, ezért az lg jeleket áthúzzuk, és az argumentumokat egyenlővé tesszük:

(x + 4) −3 = 8

x + 4 = 0,5

Ennyi! Megoldottuk a második logaritmikus egyenletet. Ebben az esetben nincs szükség további ellenőrzésekre, mert az eredeti feladatban x csak egy argumentumban szerepelt.

Hadd soroljam fel még egyszer ennek a leckének a legfontosabb pontjait.

A fő képlet, amelyet ezen az oldalon a logaritmikus egyenletek megoldására szolgáló összes leckében tanítanak, a kanonikus forma. És ne ijedjen meg attól a ténytől, hogy a legtöbb iskolai tankönyv megtanítja másként megoldani az ilyen problémákat. Ez az eszköz nagyon hatékonyan működik, és sokkal szélesebb körű problémák megoldását teszi lehetővé, mint a legegyszerűbbek, amelyeket a leckénk elején tanulmányoztunk.

Emellett a logaritmikus egyenletek megoldásához hasznos lesz az alapvető tulajdonságok ismerete. Ugyanis:

1. Az egy bázisra költözés képlete és az a speciális eset, amikor fordított naplózást végzünk (ez nagyon hasznos volt számunkra az első feladatnál);
2. Képlet a logaritmusjel hatványainak összeadására és kivonására. Itt sok diák elakad, és nem látja, hogy a kivett és bevezetett végzettség maga is tartalmazhat log f (x) értéket. Nincs ezzel semmi baj. Bevezethetjük az egyik rönköt a másik előjele szerint, és egyben jelentősen leegyszerűsíthetjük a probléma megoldását, amit a második esetben figyelünk meg.

Végezetül hozzátenném, hogy nem minden esetben szükséges a definíciós tartományt ellenőrizni, mert az x változó mindenhol csak a log egyik előjelében van jelen, ugyanakkor az argumentumában. Ennek eredményeként a kör minden követelménye automatikusan teljesül.

Problémák a változó alappal

Ma a logaritmikus egyenleteket fogjuk megvizsgálni, amelyek sok diák számára nem szabványosnak, ha nem teljesen megoldhatatlannak tűnnek. Nem számokon, hanem változókon és páros függvényeken alapuló kifejezésekről beszélünk. Az ilyen konstrukciókat standard technikánkkal, mégpedig a kanonikus formával oldjuk meg.

Először is emlékezzünk arra, hogyan oldják meg a legegyszerűbb feladatokat közönséges számok alapján. Tehát a legegyszerűbb konstrukciót hívják

log a f(x) = b

Az ilyen problémák megoldására a következő képletet használhatjuk:

b = log a a b

Átírjuk az eredeti kifejezésünket, és megkapjuk:

log a f (x) = log a a b

Ezután egyenlővé tesszük az érveket, azaz ezt írjuk:

f(x) = a b

Így megszabadulunk a naplójeltől, és megoldjuk a szokásos problémát. Ebben az esetben a megoldásból kapott gyökök az eredeti logaritmikus egyenlet gyökei lesznek. Ezenkívül kanonikus formának nevezzük azt a rekordot, amikor a bal és a jobb oldal is ugyanabban a logaritmusban van, ugyanazzal az alappal. Ez olyan rekord, hogy megpróbáljuk csökkenteni a mai terveket. Szóval, menjünk.

Első feladat:

log x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = 1

Cserélje ki az 1-et log x − 2 (x − 2) 1-re. Az érvelésben megfigyelt fok valójában az egyenlőségjeltől jobbra álló b szám. Így írjuk át a kifejezésünket. Kapunk:

log x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = log x - 2 (x - 2)

Mit látunk? Előttünk a logaritmikus egyenlet kanonikus alakja, így nyugodtan egyenlőségjelet tehetünk az érvek között. Kapunk:

2x 2 - 13x + 18 = x - 2

A megoldás azonban nem ér véget, mert ez az egyenlet nem ekvivalens az eredetivel. Hiszen a kapott konstrukció olyan függvényekből áll, amelyek a teljes számegyenesen vannak definiálva, és az eredeti logaritmusaink nem mindenhol és nem mindig vannak definiálva.

Ezért külön fel kell írnunk a definíciós tartományt. Ne hasítsuk fel a szőrszálakat, és először írjunk le minden követelményt:

Először is, az egyes logaritmusok argumentumának nagyobbnak kell lennie 0-nál:

2x 2 − 13x + 18 > 0

x − 2 > 0

Másodszor, az alapnak nemcsak 0-nál nagyobbnak kell lennie, hanem 1-től eltérőnek is kell lennie:

x − 2 ≠ 1

Ennek eredményeként a következő rendszert kapjuk:

De ne ijedjen meg: a logaritmikus egyenletek feldolgozásakor egy ilyen rendszer jelentősen leegyszerűsíthető.

Ítélje meg maga: egyrészt megkövetelik tőlünk, hogy a másodfokú függvény nagyobb legyen nullánál, másrészt ez a másodfokú függvény egy bizonyos lineáris kifejezésnek felel meg, amelyhez az is szükséges, hogy nagyobb legyen nullánál.

Ebben az esetben, ha megköveteljük, hogy x − 2 > 0, akkor a 2x 2 − 13x + 18 > 0 követelmény automatikusan teljesül, ezért nyugodtan áthúzhatjuk a másodfokú függvényt tartalmazó egyenlőtlenséget. Így a rendszerünkben található kifejezések száma háromra csökken.

Természetesen ugyanígy áthúzhatnánk a lineáris egyenlőtlenséget, azaz áthúznánk x − 2 > 0-t, és megkövetelnénk, hogy 2x 2 − 13x + 18 > 0. De egyet kell érteni, hogy a legegyszerűbb lineáris egyenlőtlenség megoldása sokkal gyorsabb és egyszerűbb, mint másodfokú, még azzal a feltétellel is, hogy ennek az egész rendszernek a megoldása eredményeként ugyanazokat a gyökereket kapjuk.

Általában próbálja meg optimalizálni a számításokat, amikor csak lehetséges. A logaritmikus egyenletek esetében pedig húzd át a legnehezebb egyenlőtlenségeket.

Írjuk át a rendszerünket:

Itt van egy három kifejezésből álló rendszer, amelyek közül kettővel már foglalkoztunk. Írjuk fel külön a másodfokú egyenletet, és oldjuk meg:

2x 2 − 14x + 20 = 0

x 2 − 7x + 10 = 0

Van előttünk egy redukált másodfokú trinom, ezért használhatjuk Vieta képleteit. Kapunk:

(x − 5)(x − 2) = 0

x 1 = 5

x 2 = 2

Most visszatérünk a rendszerünkhöz, és azt találjuk, hogy x = 2 nem felel meg nekünk, mert megkövetelik, hogy x szigorúan nagyobb legyen 2-nél.

De az x = 5 tökéletesen megfelel nekünk: az 5 nagyobb 2-nél, ugyanakkor az 5 nem egyenlő 3-mal. Ezért ennek a rendszernek az egyetlen megoldása az x = 5 lesz.

Ez az, a probléma megoldódott, beleértve az ODZ figyelembevételét. Térjünk át a második egyenletre. További érdekes és informatív számítások itt várnak ránk:

Az első lépés: mint legutóbb, ezt az egészet kanonikus formába hozzuk. Ehhez a következőképpen írhatjuk fel a 9-es számot:

A gyökérbázist érintetlenül hagyhatjuk, de jobb az argumentumot átalakítani. Haladjunk a gyökértől a hatvány felé racionális kitevővel. Írjuk fel:

Hadd ne írjam át az egész nagy logaritmikus egyenletünket, hanem azonnal egyenlővé tegyem az érveket:

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

x 2 + 4x + 3 = 0

Egy újonnan redukált másodfokú trinom áll előttünk, használjuk Vieta képleteit és írjuk fel:

(x + 3) (x + 1) = 0

x 1 = −3

x 2 = −1

Tehát megkaptuk a gyököket, de senki nem garantálta, hogy megfelelnek az eredeti logaritmikus egyenletnek. Hiszen a naplótáblák további megszorításokat támasztanak (itt a rendszert kellett volna leírni, de az egész szerkezet nehézkessége miatt úgy döntöttem, hogy a definíciós tartományt külön számítom ki).

Először is ne feledje, hogy az argumentumoknak 0-nál nagyobbaknak kell lenniük, nevezetesen:

Ezeket a követelményeket támasztja a definíció hatálya.

Rögtön jegyezzük meg, hogy mivel a rendszer első két kifejezését egyenlővé tesszük egymással, bármelyiket áthúzhatjuk. Az elsőt húzzuk át, mert fenyegetőbbnek tűnik, mint a második.

Ezenkívül vegye figyelembe, hogy a második és a harmadik egyenlőtlenség megoldása ugyanazok a halmazok (valamelyik szám kocka nagyobb nullánál, ha ez a szám nagyobb nullánál; hasonlóképpen a harmadik fokú gyökérrel - ezek az egyenlőtlenségek teljesen analógok, ezért áthúzhatjuk).

De a harmadik egyenlőtlenséggel ez nem fog működni. Szabaduljunk meg a bal oldali radikális jeltől úgy, hogy mindkét részt kockára emeljük. Kapunk:

Tehát a következő követelményeket kapjuk:

− 2 ≠ x > −3

Melyik gyökünk: x 1 = −3 vagy x 2 = −1 felel meg ezeknek a követelményeknek? Nyilvánvalóan csak x = −1, mert x = −3 nem elégíti ki az első egyenlőtlenséget (mivel az egyenlőtlenségünk szigorú). Tehát, visszatérve a problémánkhoz, egy gyököt kapunk: x = −1. Ennyi, a probléma megoldva.

Még egyszer, ennek a feladatnak a legfontosabb pontjai:

1. Nyugodtan alkalmazhat és oldhat meg logaritmikus egyenleteket kanonikus formában. Azok a tanulók, akik ilyen jelölést készítenek, ahelyett, hogy az eredeti feladattól közvetlenül egy olyan konstrukció felé haladnának, mint a log a f (x) = b, sokkal kevesebb hibát követnek el, mint azok, akik rohannak valahova, kihagyva a számítások közbenső lépéseit;
2. Amint megjelenik egy változó bázis egy logaritmusban, a probléma megszűnik a legegyszerűbbnek lenni. Ezért a megoldásnál figyelembe kell venni a definíciós tartományt: az argumentumok nullánál nagyobbak, és az alapok nem csak 0-nál nagyobbak, hanem 1-gyel sem lehetnek egyenlők.

A végső követelmények többféleképpen alkalmazhatók a végső válaszokra. Például megoldhat egy teljes rendszert, amely tartalmazza a definíciós tartomány összes követelményét. Másrészt először magát a problémát oldhatja meg, majd emlékezhet a definíciós tartományra, külön-külön kidolgozhatja egy rendszer formájában, és alkalmazhatja a kapott gyökerekre.

Ön dönti el, hogy egy adott logaritmikus egyenlet megoldásához melyik módszert választja. Mindenesetre a válasz ugyanaz lesz.

Egy pozitív b szám logaritmusa a bázishoz (a>0, a nem egyenlő 1-gyel) egy c szám, így a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)       

Vegye figyelembe, hogy a nem pozitív számok logaritmusa nincs meghatározva. Ezenkívül a logaritmus alapjának egy pozitív számnak kell lennie, amely nem egyenlő 1-gyel. Ha például a -2-t négyzetre vetjük, akkor a 4-et kapjuk, de ez nem jelenti azt, hogy a 4-es -2-es bázis logaritmusa egyenlő 2-hez.

Alapvető logaritmikus azonosság

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

Fontos, hogy ennek a képletnek a jobb és bal oldalának meghatározása eltérő. A bal oldal csak b>0, a>0 és a ≠ 1 esetén van definiálva. A jobb oldal bármely b esetén definiálva van, és egyáltalán nem függ a-tól. Így az alapvető logaritmikus „azonosság” alkalmazása az egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása során az OD változásához vezethet.

A logaritmus meghatározásának két nyilvánvaló következménye

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

Valóban, amikor az a számot az első hatványra emeljük, ugyanazt a számot kapjuk, ha pedig nulla hatványra emeljük, akkor egyet kapunk.

A szorzat logaritmusa és a hányados logaritmusa

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Szeretném óva inteni az iskolásokat attól, hogy ezeket a képleteket meggondolatlanul használják logaritmikus egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása során. Ha „balról jobbra” használja őket, az ODZ szűkül, és amikor a logaritmusok összegéről vagy különbségéről a szorzat vagy hányados logaritmusára lépünk, az ODZ kitágul.

Valójában a log a (f (x) g (x)) kifejezés két esetben van definiálva: amikor mindkét függvény szigorúan pozitív, vagy ha f(x) és g(x) egyaránt kisebb, mint nulla.

Ezt a kifejezést a log a f (x) + log a g (x) összegre alakítva kénytelenek vagyunk csak arra az esetre korlátozódni, amikor f(x)>0 és g(x)>0. Az elfogadható értékek köre szűkül, és ez kategorikusan elfogadhatatlan, mivel megoldások elvesztéséhez vezethet. Hasonló probléma áll fenn a (6) képletnél.

A fokszám kivehető a logaritmus előjeléből

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

És ismét óvatosságra szeretnék inteni. Tekintsük a következő példát:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Az egyenlőség bal oldala nyilvánvalóan minden f(x) értékre definiálva van, kivéve a nullát. A jobb oldal csak f(x)>0-ra vonatkozik! Ha kivesszük a fokot a logaritmusból, akkor ismét leszűkítjük az ODZ-t. A fordított eljárás az elfogadható értékek tartományának kiterjesztéséhez vezet. Mindezek a megjegyzések nemcsak a 2. hatványra vonatkoznak, hanem minden páros hatványra is.

Képlet az új alapra költözéshez

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

Az a ritka eset, amikor az ODZ nem változik az átalakítás során. Ha bölcsen választotta a c bázist (pozitív és nem egyenlő 1-gyel), az új bázisra költözés képlete teljesen biztonságos.

Ha a b számot választjuk új c alapnak, akkor a (8) képlet fontos speciális esetét kapjuk:

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Néhány egyszerű példa logaritmussal

Példa 1. Számítsa ki: log2 + log50.
Megoldás. log2 + log50 = log100 = 2. A logaritmusok összege (5) képletét és a decimális logaritmus definícióját használtuk.

2. példa Számítsa ki: lg125/lg5.
Megoldás. log125/log5 = log 5 125 = 3. Az új bázisra lépés képletét (8) használtuk.

A logaritmusokhoz kapcsolódó képletek táblázata

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1)

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

Mindannyian ismerjük az egyenleteket az általános iskolából. Ott megtanultuk a legegyszerűbb példák megoldását is, és el kell ismernünk, hogy ezek még a felsőbb matematikában is megtalálják az alkalmazásukat. Az egyenletekkel minden egyszerű, beleértve a másodfokú egyenleteket is. Ha problémái vannak ezzel a témával kapcsolatban, javasoljuk, hogy tekintse át.

Valószínűleg te is átmentél már a logaritmusokon. Fontosnak tartjuk azonban, hogy elmondjuk, mi az, akik még nem tudják. A logaritmus annak a hatványnak felel meg, amelyre az alapot fel kell emelni, hogy megkapjuk a logaritmus előjelétől jobbra lévő számot. Mondjunk egy példát, ami alapján minden világossá válik számodra.

Ha 3-at emel a negyedik hatványra, 81-et kap. Most helyettesítse be a számokat analógiával, és végre megérti, hogyan oldják meg a logaritmusokat. Most már csak a két tárgyalt fogalom kombinálása van hátra. Kezdetben a helyzet rendkívül bonyolultnak tűnik, de közelebbről megvizsgálva a súly a helyére kerül. Biztosak vagyunk benne, hogy e rövid cikk után nem lesz problémája az egységes államvizsga ezen részében.

Manapság számos módja van az ilyen struktúrák megoldásának. Az egységes államvizsga-feladatok esetében elmondjuk a legegyszerűbb, leghatékonyabb és legmegfelelőbbet. A logaritmikus egyenletek megoldását a legegyszerűbb példával kell kezdeni. A legegyszerűbb logaritmikus egyenletek egy függvényből és egy változóból állnak.

Fontos megjegyezni, hogy x benne van az argumentumban. A-nak és b-nek számoknak kell lennie. Ebben az esetben egyszerűen kifejezheti a függvényt egy számmal egy hatványra. Így néz ki.

Természetesen egy logaritmikus egyenlet megoldása ezzel a módszerrel elvezeti a helyes válaszhoz. A tanulók túlnyomó többségének ebben az esetben az a baja, hogy nem érti, mi honnan jön. Ennek eredményeként el kell viselnie a hibákat, és nem kell megszereznie a kívánt pontokat. A legbotrányosabb hiba az lesz, ha összekevered a betűket. Az egyenlet ily módon történő megoldásához meg kell jegyezni ezt a standard iskolai képletet, mert nehéz megérteni.

Ennek megkönnyítése érdekében egy másik módszert is igénybe vehet - a kanonikus formát. Az ötlet rendkívül egyszerű. Fordítsa vissza a figyelmét a problémára. Ne feledje, hogy az a betű szám, nem függvény vagy változó. A nem egyenlő eggyel, és nagyobb nullánál. Nincs korlátozás b. Most, az összes képlet közül, emlékezzünk meg egyet. B a következőképpen fejezhető ki.

Ebből következik, hogy minden eredeti logaritmusú egyenlet a következő formában ábrázolható:

Most eldobhatjuk a logaritmusokat. Az eredmény egy egyszerű kialakítás, amelyet már korábban láthattunk.

Ennek a formulának a kényelme abban rejlik, hogy sokféle esetben használható, és nem csak a legegyszerűbb kiviteleknél.

Ne aggódj az OOF miatt!

Sok tapasztalt matematikus észre fogja venni, hogy nem figyeltünk a definíció területére. A szabály arra a tényre vezet, hogy F(x) szükségszerűen nagyobb, mint 0. Nem, ezt a pontot nem hagytuk ki. Most a kanonikus forma másik komoly előnyéről beszélünk.

Itt nem lesznek extra gyökerek. Ha egy változó csak egy helyen jelenik meg, akkor nincs szükség hatókörre. Ez automatikusan történik. Az ítélet ellenőrzéséhez próbáljon meg néhány egyszerű példát megoldani.

Hogyan lehet logaritmikus egyenleteket megoldani különböző alapokon

Ezek már összetett logaritmikus egyenletek, és megoldásuk megközelítésének speciálisnak kell lennie. Itt ritkán lehet a hírhedt kanonikus formára korlátozni magunkat. Kezdjük részletes történetünkkel. A következő konstrukcióval rendelkezünk.

Ügyeljen a törtre. Tartalmazza a logaritmust. Ha ezt látja egy feladatban, érdemes megjegyezni egy érdekes trükköt.

Mit jelent ez? Mindegyik logaritmus két logaritmus hányadosaként ábrázolható egy kényelmes bázissal. És ennek a képletnek van egy speciális esete, amely alkalmazható ebben a példában (azt értjük, ha c=b).

Pontosan ezt a törtrészt látjuk a példánkban. Így.

Lényegében megfordítottuk a törtet, és kényelmesebb kifejezést kaptunk. Emlékezz erre az algoritmusra!

Most arra van szükség, hogy a logaritmikus egyenlet ne tartalmazzon különböző bázisokat. Az alapot ábrázoljuk törtként.

A matematikában van egy szabály, ami alapján egy bázisból lehet diplomát származtatni. A következő építési eredmények.

Úgy tűnik, mi akadályoz bennünket abban, hogy kifejezésmódunkat kanonikus formává változtassuk, és egyszerűen megoldjuk? Ez nem ilyen egyszerű. A logaritmus előtt nem lehet tört. Javítsuk ezt a helyzetet! A törtek használhatók fokszámként.

Illetőleg.

Ha az alapok azonosak, akkor eltávolíthatjuk a logaritmusokat, és magukat a kifejezéseket egyenlővé tehetjük. Így a helyzet sokkal egyszerűbb lesz, mint volt. Marad egy elemi egyenlet, amelyet mindannyian tudtunk megoldani 8. vagy akár 7. osztályban. A számításokat saját maga is elvégezheti.

Megkaptuk ennek a logaritmikus egyenletnek az egyetlen helyes gyökét. A logaritmikus egyenlet megoldásának példái meglehetősen egyszerűek, nem? Most már képes lesz önállóan megbirkózni a legbonyolultabb feladatokkal is az egységes államvizsgára való felkészüléshez és letételéhez.

mi az eredmény?

Bármely logaritmikus egyenlet esetében egy nagyon fontos szabályból indulunk ki. Úgy kell eljárni, hogy a kifejezést a lehető legegyszerűbb formára redukáljuk. Ebben az esetben nagyobb eséllyel nem csak helyesen oldja meg a feladatot, hanem a lehető legegyszerűbb és leglogikusabb módon is elvégzi. A matematikusok mindig pontosan így dolgoznak.

Erősen nem javasoljuk, hogy nehéz utakat keressen, különösen ebben az esetben. Ne felejtsen el néhány egyszerű szabályt, amelyek lehetővé teszik bármilyen kifejezés átalakítását. Például csökkentsünk két vagy három logaritmust ugyanarra az alapra, vagy származtassunk hatványt az alapból, és nyerjünk ezen.

Azt is érdemes megjegyezni, hogy a logaritmikus egyenletek megoldása állandó gyakorlást igényel. Fokozatosan át fog térni az egyre bonyolultabb struktúrákra, és ez elvezeti Önt ahhoz, hogy magabiztosan megoldja az egyesített államvizsgán a probléma összes változatát. Készülj fel jó előre a vizsgáidra és sok sikert!

A társadalom fejlődésével és a termelés bonyolultabbá válásával a matematika is fejlődött. Mozgás az egyszerűtől a bonyolultig. Az összeadás és kivonás módszerét alkalmazó közönséges könyvelésből, ezek ismételt ismétlésével eljutottunk a szorzás és osztás fogalmáig. A szorzás ismételt műveletének csökkentése vált a hatványozás fogalmává. A számok alaptól való függésének és a hatványozás számának első táblázatait Varasena indiai matematikus állította össze még a 8. században. Ezekből meg lehet számolni a logaritmusok előfordulási idejét.

Történelmi vázlat

Európa 16. századi újjáéledése a mechanika fejlődését is ösztönözte. T nagy mennyiségű számítást igényelt többjegyű számok szorzásával és osztásával kapcsolatos. Az ősi asztalok nagy szolgálatot tettek. Lehetővé tették az összetett műveletek egyszerűbbekkel való helyettesítését - összeadás és kivonás. Nagy előrelépést jelentett Michael Stiefel matematikus 1544-ben megjelent munkája, amelyben sok matematikus ötletét megvalósította. Ez lehetővé tette a táblázatok használatát nemcsak prímszámok hatványaihoz, hanem tetszőleges racionálisokhoz is.

1614-ben a skót John Napier, aki ezeket az ötleteket dolgozta ki, először vezette be az új „szám logaritmusa” kifejezést. A szinuszok és koszinuszok logaritmusainak, valamint érintőinek számítására új összetett táblázatokat állítottak össze. Ez nagymértékben csökkentette a csillagászok munkáját.

Új táblázatok kezdtek megjelenni, amelyeket a tudósok három évszázadon át sikeresen használtak. Sok idő telt el, mire az algebra új művelete elnyerte végleges formáját. Megadtam a logaritmus definícióját és megvizsgáltam tulajdonságait.

Csak a 20. században, a számológép és a számítógép megjelenésével hagyta el az emberiség az ősi táblázatokat, amelyek sikeresen működtek a 13. században.

Ma b logaritmusának nevezzük az a alapú x számot, amely az a hatványa b-t létrehozni. Ezt képletként írjuk le: x = log a(b).

Például a log 3(9) egyenlő lenne 2-vel. Ez nyilvánvaló, ha követi a definíciót. Ha 3-at 2 hatványára emelünk, 9-et kapunk.

Így a megfogalmazott definíció egyetlen megkötést támaszt: az a és b számoknak valósnak kell lenniük.

A logaritmusok fajtái

A klasszikus definíciót valós logaritmusnak nevezik, és valójában az a x = b egyenlet megoldása. Az a = 1 opció határvonalat jelent, és nem érdekes. Figyelem: bármely hatvány 1-je egyenlő 1-gyel.

A logaritmus valós értéke csak akkor van megadva, ha az alap és az argumentum nagyobb, mint 0, és az alap nem lehet egyenlő 1-gyel.

Különleges hely a matematika területén logaritmusokat játszanak le, amelyeket az alapjuk méretétől függően neveznek el:

Szabályok és korlátozások

A logaritmusok alapvető tulajdonsága a szabály: egy szorzat logaritmusa egyenlő a logaritmikus összeggel. log abp = log a(b) + log a(p).

Ennek az állításnak egy változata a következő lesz: log c(b/p) = log c(b) - log c(p), a hányadosfüggvény egyenlő a függvények különbségével.

Az előző két szabályból könnyen belátható, hogy: log a(b p) = p * log a(b).

További tulajdonságok:

Megjegyzés. Nem kell gyakori hibát elkövetni - egy összeg logaritmusa nem egyenlő a logaritmusok összegével.

A logaritmus keresése évszázadokon át meglehetősen időigényes feladat volt. A matematikusok a polinombővítés logaritmikus elméletének jól ismert képletét használták:

ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), ahol n egy 1-nél nagyobb természetes szám, amely meghatározza a számítás pontosságát.

Más bázisú logaritmusokat az egyik bázisról a másikra való átmenetre és a szorzat logaritmusának tulajdonságára vonatkozó tétel felhasználásával számítottuk ki.

Mivel ez a módszer nagyon munkaigényes és gyakorlati problémák megoldása során nehezen kivitelezhető, előre összeállított logaritmustáblázatokat használtunk, ami jelentősen felgyorsította az összes munkát.

Egyes esetekben speciálisan összeállított logaritmus-grafikonokat alkalmaztak, amelyek kisebb pontosságot adtak, de jelentősen felgyorsították a kívánt érték keresését. Az y = log a(x) függvény több ponton felépített görbéje lehetővé teszi, hogy egy szabályos vonalzó segítségével megkeressük a függvény értékét bármely más pontban. A mérnökök már régóta használnak úgynevezett milliméterpapírt erre a célra.

A 17. században jelentek meg az első analóg segédszámítási feltételek, amelyek a 19. századra teljes formát öltöttek. A legsikeresebb eszközt a diaszabálynak nevezték. Az eszköz egyszerűsége ellenére megjelenése jelentősen felgyorsította az összes mérnöki számítás folyamatát, és ezt nehéz túlbecsülni. Jelenleg kevesen ismerik ezt az eszközt.

A számológépek és számítógépek megjelenése értelmetlenné tette minden más eszköz használatát.

Egyenletek és egyenlőtlenségek

Különféle egyenletek és egyenlőtlenségek logaritmussal történő megoldásához a következő képleteket kell használni:

• Egyik bázisról a másikra költözés: log a(b) = log c(b) / log c(a);
• Az előző opció következtében: log a(b) = 1 / log b(a).

Az egyenlőtlenségek megoldásához hasznos tudni:

• A logaritmus értéke csak akkor lesz pozitív, ha az alap és az argumentum egyaránt nagyobb vagy kisebb, mint egy; ha legalább egy feltétel megsértődik, a logaritmus értéke negatív lesz.
• Ha a logaritmusfüggvényt egy egyenlőtlenség jobb és bal oldalára alkalmazzuk, és a logaritmus alapja nagyobb egynél, akkor az egyenlőtlenség előjele megmarad; különben megváltozik.

Minta problémák

Tekintsünk több lehetőséget a logaritmusok és tulajdonságaik használatára. Példák egyenletek megoldására:

Fontolja meg a logaritmus hatványba helyezésének lehetőségét:

• 3. feladat Számítsd ki 25^log 5(3). Megoldás: a feladat feltételei között a bejegyzés hasonló a következőhöz (5^2)^log5(3) vagy 5^(2 * log 5(3)). Írjuk fel másképp: 5^log 5(3*2), vagy egy szám négyzete függvényargumentumként felírható magának a függvénynek a négyzeteként (5^log 5(3))^2. A logaritmus tulajdonságait használva ez a kifejezés egyenlő 3^2-vel. Válasz: a számítás eredményeként 9-et kapunk.

Gyakorlati alkalmazás

Mivel pusztán matematikai eszközről van szó, távol áll a valóságtól, hogy a logaritmus hirtelen nagy jelentőséget kapott a való világban lévő objektumok leírásában. Nehéz olyan tudományt találni, ahol nem használják. Ez nemcsak a természeti, hanem a humanitárius tudásterületekre is teljes mértékben vonatkozik.

Logaritmikus függőségek

Íme néhány példa a numerikus függőségekre:

Mechanika és fizika

Történelmileg a mechanika és a fizika mindig is matematikai kutatási módszerekkel fejlődött, és egyben ösztönzőleg is szolgált a matematika, ezen belül a logaritmusok fejlődéséhez. A legtöbb fizikatörvény elmélete a matematika nyelvén van megírva. Csak két példát mondjunk a fizikai törvények logaritmus segítségével történő leírására.

Az ilyen összetett mennyiség kiszámításának problémája, mint a rakéta sebessége, megoldható a Ciolkovszkij-képlet segítségével, amely megalapozta az űrkutatás elméletét:

V = I * ln (M1/M2), ahol

• V a repülőgép végsebessége.
• I – a motor specifikus impulzusa.
• M 1 – a rakéta kezdeti tömege.
• M 2 – végső tömeg.

Egy másik fontos példa- ezt használja egy másik nagy tudós, Max Planck formulája, amely a termodinamika egyensúlyi állapotának értékelésére szolgál.

S = k * ln (Ω), ahol

• S – termodinamikai tulajdonság.
• k – Boltzmann állandó.
• Ω a különböző állapotok statisztikai súlya.

Kémia

Kevésbé nyilvánvaló a kémiában a logaritmusok arányát tartalmazó képletek használata. Mondjunk csak két példát:

• Nernst-egyenlet, a közeg redoxpotenciáljának feltétele az anyagok aktivitásához és az egyensúlyi állandóhoz viszonyítva.
• Az olyan állandók kiszámítása, mint az autolízis index és az oldat savassága szintén nem végezhető el a függvényünk nélkül.

Pszichológia és biológia

És egyáltalán nem világos, hogy a pszichológiának mi köze ehhez. Kiderült, hogy az érzet erősségét ez a függvény jól írja le, mint az ingerintenzitás értékének az alacsonyabb intenzitásértékhez viszonyított fordított arányát.

A fenti példák után már nem meglepő, hogy a logaritmusok témakörét széles körben használják a biológiában. A logaritmikus spiráloknak megfelelő biológiai formákról egész köteteket lehetne írni.

Egyéb területek

Úgy tűnik, hogy a világ létezése lehetetlen e funkcióval való kapcsolat nélkül, és minden törvényt ural. Különösen akkor, ha a természet törvényei a geometriai haladáshoz kapcsolódnak. Érdemes felkeresni a MatProfi weboldalát, és sok ilyen példa van a következő tevékenységi területeken:

A lista végtelen lehet. Miután elsajátította ennek a funkciónak az alapelveit, belemerülhet a végtelen bölcsesség világába.

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete