Эквивалентные матрицы. Решение произвольных систем линейных уравнений

Пусть R и S два векторных пространства размерности n и m соответственно над числовым полем K , и пусть A линейный оператор отображающий R в S . Выясним, как меняется матрица оператора A при изменении базисов в пространствах R в S .

Выберем произвольные базисы в пространствах R в S и обозначим через и соответственно. Тогда (см. в линейные операторы) векторному равенству

соответствует матричное равенство

где х и у векторы x и y , представленные в виде координатных столбцов в базисах и соответственно.

Выберем теперь в пространствах R и S другие базисы и. В новых базисах векторному равенству (1) будет соответствовать матричное равенство

Тогда, учитывая (3) и (4), имеем

Определение 1. Две прямоугольные матрицы A и B одинаковых размеров называются эквивалентными, если существуют две квадратные невырожденные матрицы P и T такие, что выполнено равенство

Отметим, что если A -матрица порядка m×n , то P и T квадратные матрицы порядков m и n , соответственно.

Из (6) следует, что две матрицы, соответствующие одному и тому же линейному оператору A при различном выборе базисов в пространствах R и S эквивалентны между собой. Верно и обратное утверждение. Если матрица A соответствует оператору A , а матрица B эквивалентна матрице A , то она соответствует этому же линейному оператору A при других базисах в R и S .

Выясним, при каких условиях две матрицы эквивалентны.

Теорема. Для того, чтобы две матрицы одинаковых размеров были эквивалентны между собой, необходимо и достаточно, чтобы они имели один и тот же ранг .

Доказательство. Необходимость. Так как умножение матрицы на квадратную невырожденную матрицу не может изменить ранг матрицы, то из (7) имеем:

Достаточность. Пусть задан линейный оператор A , отображающий пространство R в S и пусть этому оператору отвечает матрица A размера m×n в базисах в R и в S , соответственно. Обозначим через r число линейно независимых векторов из числа Ae 1 , Ae 2 ,..., Ae n . Пусть линейно независимы первые r векторы Ae 1 , Ae 2 ,..., Ae r . Тогда остальные n-r векторы выражаются линейно через эти векторы:

Зададим новый базис в пространстве R :

Дополним эти векторы некоторыми векторами до базиса в S .

Тогда матрица оператора A в новых базисах , согласно (9) и (10) будет иметь следующий вид:

где в матрице E " -на главной диагонали стоят r единиц, а остальные элементы равны нулю.

Так как матрицы A и E " соответствуют одному и тому же оператору A , то они эквивалентны между собой. Выше мы показали, что эквивалентные матрицы имеют один и тот же ранг, следовательно ранг исходной матрицы A равен r .

Из вышеуказанного следует, что произвольная m×n матрица ранга r эквивалентна матрице E " - порядка m×n . Но E " - однозначно определяется заданием размерности m×n матрицы и его ранга r . Следовательно все прямоугольные матрицы порядка m×n и ранга r эквивалентны одной и той же матрице E " и, следовательно, эквивалентны между собой.■

Док-во: Т.е. ранг матрицы сохраняется при выполнении следующих операций:

1. Изменение очерёдности строк.

2. Умножение матрицы на число, отличное от нуля.

3. Транспонирование.

4. Исключение строки из нулей.

5. Прибавление к строке другой строки, умноженной на произвольное число.

Первое преобразование оставит неизменными некоторые миноры, а у некоторых изменит знак на противоположный. Второе преобразование также оставит неизменными некоторые миноры, а некоторые умножатся на число, отличное от нуля. Третье преобразование сохранит все миноры. Потому при применении этих преобразований сохранится и ранг матрицы (второе определение). Исключение нулевой строки не может изменить ранга матрицы, ибо такая строка не может войти в ненулевой минор. Рассмотрим пятое преобразование.

Будем считать, что базисный минор Δp располагается в первых p строках. Пусть к строке а, входящей в число этих строк, прибавлена произвольная строка b, умноженная на некоторое число λ. Т.е. к строке а прибавлена линейная комбинация строк, содержащих базисный минор. При этом базисный минор Δp останется неизменным (и отличным от 0). Прочие миноры, размещённые в первых p строках, также остаются неизменными, то же самое справедливо для всех остальных миноров. Т.о. в данном случае ранг (по второму определению) сохранится. Теперь рассмотрим минор Ms, у которого не все строки из числа первых p строк (а возможно, таких в нем и нет).

Прибавив к строке ai произвольную строку b, умноженную на число λ, получим новый минор Ms‘, причём Ms‘=Ms+λ Ms, где

Если s>p, то Ms=Ms=0, т.к. все миноры порядка большего, чем p, исходной матрицы равны 0. Но тогда и Ms‘=0, и ранг преобразований матрицы не увеличился. Но и уменьшиться он не мог, так как базисный минор не подвергался никаким изменениям. Итак, ранг матрицы остаётся неизменным.

Вы также можете найти интересующую информацию в научном поисковике Otvety.Online. Воспользуйтесь формой поиска:

Эквивалентные матрицы

Как было сказано выше, минором матрицы порядка s называется определитель матрицы, образованной из элементов исходной матрицы, находящихся на пересечении каких - либо выбранных s строк и s столбцов.

Определение. В матрице порядка mn минор порядка r называется базисным, если он не равен нулю, а все миноры порядка r+1 и выше равны нулю, или не существуют вовсе, т.е. r совпадает с меньшим из чисел m или n.

Столбцы и строки матрицы, на которых стоит базисный минор, также называются базисными.

В матрице может быть несколько различных базисных миноров, имеющих одинаковый порядок.

Определение. Порядок базисного минора матрицы называется рангом матрицы и обозначается Rg А.

Очень важным свойством элементарных преобразований матриц является то, что они не изменяют ранг матрицы.

Определение. Матрицы, полученные в результате элементарного преобразования, называются эквивалентными.

Надо отметить, что равные матрицы и эвивалентные матрицы - понятия совершенно различные.

Теорема. Наибольшее число линейно независимых столбцов в матрице равно числу линейно независимых строк.

Т.к. элементарные преобразования не изменяют ранг матрицы, то можно существенно упростить процесс нахождения ранга матрицы.

Пример. Определить ранг матрицы.

2. Пример: Определить ранг матрицы.

Если с помощью элементарных преобразований не удается найти матрицу, эквивалентную исходной, но меньшего размера, то нахождение ранга матрицы следует начинать с вычисления миноров наивысшего возможного порядка. В вышеприведенном примере - это миноры порядка 3. Если хотя бы один из них не равен нулю, то ранг матрицы равен порядку этого минора.

Теорема о базисном миноре.

Теорема. В произвольной матрице А каждый столбец (строка) является линейной комбинацией столбцов (строк), в которых расположен базисный минор.

Таким образом, ранг произвольной матрицы А равен максимальному числу линейно независимых строк (столбцов) в матрице.

Если А- квадратная матрица и det A = 0, то по крайней мере один из столбцов - линейная комбинация остальных столбцов. То же самое справедливо и для строк. Данное утверждение следует из свойства линейной зависимости при определителе равном нулю.

Решение произвольных систем линейных уравнений

Как было сказано выше, матричный метод и метод Крамера применимы только к тем системам линейных уравнений, в которых число неизвестных равняется числу уравнений. Далее рассмотрим произвольные системы линейных уравнений.

Определение. Система m уравнений с n неизвестными в общем виде записывается следующим образом:

где aij - коэффициенты, а bi - постоянные. Решениями системы являются n чисел, которые при подстановке в систему превращают каждое ее уравнение в тождество.

Определение. Если система имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной. Если система не имеет ни одного решения, то она называется несовместной.

Определение. Система называется определенной, если она имеет только одно решение и неопределенной, если более одного.

Определение. Для системы линейных уравнений матрица

А = называется матрицей системы, а матрица

А*= называется расширенной матрицей системы

Определение. Если b1, b2, …,bm = 0, то система называется однородной. однородная система всегда совместна, т.к. всегда имеет нулевое решение.

Элементарные преобразования систем

К элементарным преобразованиям относятся:

1)Прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого, умноженных на одно и то же число, не равное нулю.

2)Перестановка уравнений местами.

3)Удаление из системы уравнений, являющихся тождествами для всех х.

Теорема Кронекера - Капели (условие совместности системы).

(Леопольд Кронекер (1823-1891) немецкий математик)

Теорема: Система совместна (имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.

Очевидно, что система (1) может быть записана в виде.

1. Пусть даны два векторных пространства и , соответственно и измерений над числовым полем , и линейный оператор , отображающий в . В настоящем параграфе мы выясним, как меняется матрица , соответствующая данному линейному оператору , при изменении базисов в и .

Выберем в и произвольные базисы и . В этих базисах оператору будет соответствовать матрица . Векторному равенству

соответствует матричное равенство

где и - координатные столбцы для векторов и в базисах и .

Выберем теперь в и другие базисы и . В новых базисах вместо , , будем иметь: , , . При этом

Обозначим через и неособенные квадратные матрицы соответственно порядков и , осуществляющие преобразование координат в пространствах и при переходе от старых базисов к новым (см. § 4):

Тогда из (27) и (29) получаем:

Полагая , мы из (28) и (30) находим:

Определение 8. Две прямоугольные матрицы и одинаковых размеров называются эквивалентными, если существуют две неособенные квадратные матрицы и такие, что

Из (31) следует, что две матрицы, соответствующие одному и тому же линейному оператору при различном выборе базисов в и , всегда эквивалентны между собой. Нетрудно видеть, что и обратно, если матрица отвечает оператору при некоторых базисах в и , матрица эквивалентна матрице , то она отвечает тому же линейному оператору при некоторых других базисах в и .

Таким образом, каждому линейному оператору, отображающему и , соответствует класс эквивалентных между собой матриц с элементами из поля .

2. Следующая теорема устанавливает критерий эквивалентности двух матриц:

Теорема 2. Для того чтобы две прямоугольные матрицы одинаковых размеров были эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы эти матрицы имели один и тот же ранг.

Доказательство. Условие необходимо. При умножении прямоугольной матрицы на какую-либо неособенную квадратную матрицу (слева или справа) ранг исходной прямоугольной матрицы не может измениться (см. гл. I, стр. 27). Поэтому из (32) следует

Условие достаточно. Пусть - прямоугольная матрица размера . Она определяет линейный оператор , отображающий пространство с базисом в пространство с базисом . Обозначим через число линейно независимых векторов среди векторов . Не нарушая общности, можем считать, что линейно независимыми являются векторы , а остальные , выражаются линейно через них:

. (33)

Определим новый базис следующим образом:

(34)

Тогда в силу (33)

. (35)

Векторы линейно независимы. Дополним их некоторыми векторами до базиса в .

Тогда матрица отвечающая тому же оператору в новых базисах ; , согласно (35) и (36) будет иметь вид

. (37)

В матрице вдоль главной диагонали сверху вниз идут единиц; все остальные элементы матрицы равны нулю. Так как матрицы и соответствуют одному и тому же оператору , то они эквивалентны между собой. По доказанному эквивалентные матрицы имеют один и тот же ранг. Поэтому ранг исходной матрицы равен .

Мы показали, что произвольная прямоугольная матрица ранга эквивалентна «канонической» матрице . Но матрица полностью определяется заданием размеров и числа . Поэтому все прямоугольные матрицы данных размеров и данного ранга эквивалентны одной и той же матрице и, следовательно, эквивалентны между собой. Теорема доказана.

3. Пусть дан линейный оператор , отображающий -мерное пространство в -мерное . Совокупность векторов вида , где , образует векторное пространство. Это пространство мы будем обозначать через ; оно составляет часть пространства или, как говорят, является подпространством в пространстве .

Наряду с подпространством в рассмотрим совокупность всех векторов , удовлетворяющих уравнению

Эти векторы так же образуют подпространство в ; это подпространство мы обозначим через .

Определение 9. Если линейный оператор отображает в , то число измерений пространства называется рангом оператора , а число измерений пространства , состоящего из всех векторов , удовлетворяющих условию (38), - дефектом оператора .

Среди всех эквивалентных прямоугольных матриц, задающих данный оператор в различных базисах, имеется каноническая матрица [ см. (37)]. Обозначим через и соответствующие ей базисы в и . Тогда

, .

Из определения и следует, что векторы образуют базис в , а векторы сопоставляют базис в . Отсюда вытекает, что - ранг оператора и

Если - произвольная матрица, соответствующая оператору , то она эквивалентна и, следовательно, имеет тот же ранг . Таким образом, ранг оператора совпадает с рангом прямоугольной матрицы

,

определяющий оператор в некоторых базисах и .

В столбцах матрицы стоят координаты векторов . Так как из следует , то ранг оператора , т. е. число измерений , равняется максимальному числу линейно независимых векторов среди . Таким образом, ранг матрицы совпадает с числом линейно независимых столбцов матрицы. Поскольку при транспонировании строки матрицы делаются столбцами, а ранг не меняется, то число линейно независимых строк матрицы так же равно рангу матрицы.

4. Пусть даны два линейных оператора , и их произведение .

Пусть оператор отображает в , а оператор отображает в . Тогда оператор отображает в :

Введем матрицы , , , соответствующие операторам , , при некотором выборе базисов , и . Тогда операторному равенству будет соответствовать матричное равенство ., т. е. в, .

Первые три параграфа настоящей главы посвящены учению об эквивалентности многочленных матриц. На основе этого в последующих трех параграфах строится аналитическая теория элементарных делителей, т. е. теория приведения постоянной (немногочленнов) квадратной матрицы к нормальной форме . В последних двух параграфах главы даны два метода построения преобразующей матрицы .

§ 1. Элементарные преобразования многочленной матрицы

Определение 1. Многочленной матрицей или -матрицей называется прямоугольная матрица , элементы которой суть многочлены от :

здесь – наибольшая из степеней многочленов .

мы можем представить многочленную матрицу в виде матричного многочлена относительно , т. е. в виде многочлена с матричными коэффициентами:

Введем в рассмотрение следующие элементарные операции над многочленной матрицей :

1. Умножение какой-либо, например -й, строки на число .

2. Прибавление к какой-либо, например -й, строке другой, например -й, строки, предварительно умноженной на произвольный многочлен .

3. Перестановка местами любых двух строк, например -й и -й строк.

Предлагаем читателю проверить, что операции 1, 2, 3 равносильны умножению многочленной матрицы слева соответственно на следующие квадратные матрицы порядка :

(1)

т. е. в результате применения операций 1, 2, 3 матрица преобразуется соответственно в матрицы , , . Поэтому операции типа 1, 2, 3 называются левыми элементарными операциями.

Совершенно аналогично определяются правые элементарные операции над многочленной матрицей (эти операции производятся не над строками, а над столбцами многочленной матрицы) и соответствующие им матрицы (порядка ):

В результате применения правой элементарной операции матрица умножается справа на соответствующую матрицу .

Матрицы типа (или, что то же, типа ) мы будем называть элементарными матрицами.

Определитель любой элементарной матрицы не зависит от и отличен от нуля. Поэтому для каждой левой (правой) элементарной операции существует обратная операция, которая также является левой (соответственно правой) элементарной операцией.

Определение 2. Две многочленные матрицы и называются 1) левоэквивалентными, 2) правоэквивалентными, 3) эквивалентными, если одна из них получается из другой путем применения соответственно 1) левых элементарных операций, 2) правых элементарных операций, 3) левых и правых элементарных операций.

Пусть матрица получается из при помощи левых элементарных операций, соответствующих матрицам . Тогда

. (2).

Обозначая через произведение , мы равенство (2) запишем в виде

, (3)

где , как и каждая из матриц , имеет отличный от нуля постоянный определитель.

В следующем параграфе будет доказано, что каждая квадратная -матрица с постоянным отличным от нуля определителем может быть представлена в виде произведения элементарных матриц. Поэтому равенство (3) эквивалентно равенству (2) и потому означает левую эквивалентность матриц и .

В случае правой эквивалентности многочленных матриц и вместо равенства (3) будем иметь равенство

, (3")

а в случае (двусторонней) эквивалентности – равенство

Здесь опять и – матрицы с отличными от нуля и не зависящими от определителями.

Таким образом, определение 2 можно заменить равносильным определением.

Определение 2". Две прямоугольные -матрицы и называются 1) левоэквивалентными, 2) правоэквивалентными, 3) эквивалентными, если соответственно

1) , 2) , 3) ,

где и – многочленные квадратные матрицы с постоянными и отличными от нуля определителями.

Все введенные выше понятия проиллюстрируем на следующем важном примере.

Рассмотрим систему линейных однородных дифференциальных уравнений -го порядка с неизвестными функциями аргумента с постоянными коэффициентами:

(4)

Му уравнению новой неизвестной функции ; вторая элементарная операция означает введение новой неизвестной функции (вместо ); третья операция означает перемену местами в уравнениях членов, содержащих и (т. е. ).