Конспект урока по алгебре на тему "Числовые выражения" (7 класс). Тема

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

И снова в позолоте тополя, А школа - как корабль у причала, Где ждут учеников учителя, Чтоб новой жизни положить начало. Пусть счастье в дверь твою стучит, Открой ее скорей пошире. Путь жизни тайною покрыт, Но так прекрасно в этом мире! И пусть всегда – в окошке свет, Улыбка мамина – с порога. Пусть будет много добрых лет И в жизни легкая дорога!

Есть о математике молва, Что она в порядок ум приводит. Поэтому хорошие слова Часто говорят о ней в народе.

S = v· t a · b = b · a

Вавилон Египет

В Британском музее хранится задача из папируса Ринда (его называли также папирусом Ахмеса) Найти число, если известно, что от прибавления к нему 2/3 его и вычитая от полученной суммы ее трети получается число 10.

« Хисаб Ал-джебр Вал-мукабала » («Метод восстановления и противопоставления») – это была первая книга по алгебре. Ал-джебр При решении уравненья, Если в части одной, Безразлично какой, Встретится член отрицательный, Мы к обеим частям, С этим членом сличив. Равный член придадим, Только с знаком другим,- И найдем результат, нам желательный! Вал-мукабала Дальше смотрим в уравненье, Можно ль сделать приведенье, Если члены есть подобны, Сопоставить их удобно. Вычитая равный член из них, К одному приводим их.

Алгебра уравнение число тождество функция Алгебра, к изучению которой мы приступаем, дает человеку возможность не только выполнять различные вычисления, но и учит его делать это как можно быстрее, рациональнее.

Тема урока: «Числовые выражения» Повторить и углубить умение учащихся находить значения числовых выражений; Запомнить, что выражение, содержащее действие деление на нуль, не имеет смысла; Развить познавательный интерес учащихся к изучению нового предмета. Цели урока:

устно Вычислите: 6 7 10 80 289 72 8 5 8100 170

Запись, составленная из чисел с помощью арифметических действий (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень) называет числовым (арифметическим) выражением. 2 2 0 Значением числового выражения называется число, полученное в результате выполнения указанных в числовом выражении действий. Изучение темы

Два числовых выражения, соединенные знаком «=», образуют числовое равенство. Если значения левой и правой частей числового равенства совпадают, то равенство называют верным, в противном случае – неверным. верное неверное Изучение темы

Если в данном выражении на некотором этапе вычислений требуется делить на нуль, то это выражение не имеет смысла. Изучение темы

Киоск задач №1 Установите, какие из следующих выражений имеют смысл и какие не имеют. Для имеющих смысл найдите числа, которым они равны. а) б) в) не имеет смысла -3/7 54/95

Киоск задач №1 (первая, вторая строчки), №3, №4 (д – з), №5, №6 (первая, третья строчки), №7 (а, б), №13

Домашнее задание П.1 (изучить, определения выучить), №2, №4 (а – г), №6 (б, д, з)

Итоги урока О каких выражения мы сегодня говорили? Какое выражение называется числовым? Что называют значением числового выражения? Что такое числовое равенство? Какие виды равенств вы знаете? Когда числовое выражение не имеет смысла?

Спасибо за урок, Дети Творческих успехов Вам В новом учебном году!

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цели урока:

Повторить и углубить умение учащихся находить значения числовых выражений, составленных из рациональных чисел с помощью знаков сложения, вычитания, умножения и деления;
Учащиеся должны знать, что выражение, содержащее действие деление на нуль, не имеет смысла.
Развить познавательный интерес учащихся к изучению нового предмета.
Развить мышление, память, речь, совершенствовать вычислительные навыки учащихся, умение работать в оптимальном темпе.

Оборудование: ПК, мультимедийная установка; карточки с домашнем заданием (Приложение 1)

Тип урока: урок повторения и обобщения знаний полученных в курсе математики 5-6 классов.

Формы работы: фронтальная, коллективная, самостоятельная работа.

Ход урока

1. Организационный момент (2-4 минуты)

Поздравить учащихся с началом нового учебного года.

***
И снова в позолоте тополя,
А школа – как корабль у причала,
Где ждут учеников учителя,
Чтоб новой жизни положить начало.

***
Пусть счастье в дверь твою стучит,
Открой ее скорей пошире.
Путь жизни тайною покрыт,
Но так прекрасно в этом мире!
И пусть всегда – в окошке свет,
Улыбка мамина – с порога.
Пусть будет много добрых лет
И в жизни легкая дорога!

***
Осенние мотивы
Эта шикарная женщина ОСЕНЬ
Себя подарила беспутному ветру,
И что он ни скажет, и что ни попросит,
Ему отдавала, не чувствуя меры.
Листвы разноцветной большие охапки
Бросала к ногам его брачным букетом,
И буйные краски, и солнца остатки,
И слезы дождей, и туман пред рассветом.
А ветер беспутный шаталец по свету,
Любя самого лишь себя, свою прихоть,
И даже шикарную женщину эту
Старался как можно больнее обидеть,
Сорвать с нее платье нахальным порывом,
Чтоб голая так до зимы простояла…
А ОСЕНЬ прощала, лишь с тихим надрывом
Уже обреченные слезы роняла.
В зимовьих объятьях она умирает,
И проседь теперь в волосах, а не просинь.
Под снежной накидкой никто не узнает
Эту шикарную женщину – ОСЕНЬ.
<Слайд 1 >

2. Что изучает алгебра?

У. : Какой предмет мы изучали в прошлом году?

Ученики: Математику.

Есть о математике молва,
Что она в порядок ум приводит.
Поэтому хорошие слова
Часто говорят о ней в народе.

У.: Чем мы занимались на уроках математики?

Ученики: Проводили вычисления с целыми и дробными числами, решали уравнения, задачи, строили фигуры в координатной плоскости.

<Слайд 2 >

У.: Все это составляло содержание предмета «Математика». Этот предмет подразделяется на огромное число самостоятельных дисциплин: алгебра, геометрию, теорию вероятностей, математический анализ, теорию игр и т. д. Мы приступаем к изучению алгебры. Вы уже дома познакомились с учебником. Чем он отличается, например, от учебника литературы?

<Слайд 3 >

Ученики: В нем много цифр и букв, причем букв латинских.

У.: Мы с вами помним, что буквы нам помогают записывать свойства действий над числами в удобной для запоминания форме. Говорят: «Высказанное утверждение записано на математическом языке». Например, переместительное свойство умножения: от перестановки множителей произведение не меняется (a · b = b · a ). Вспомните, как найти расстояние, зная время и скорость.

<Слайд 4 >

Ученики: Чтобы найти расстояние, надо время умножить на скорость.

У.: Записываем это короче: s = v · t . То есть буквы помогают записывать в виде формул правила для нахождения значений интересующих нас величин. Чем еще алгебра отличается, например, от арифметики? В арифметических задачах по известным правилам находят неизвестное число. В алгебре неизвестную величину обозначают буквой. Эта неизвестная величина и данные в условии задачи связываются между собой уравнением, из решения которого и находится неизвестная величина. Отдельные алгебраические понятия и приемы решения задач возникли несколько тысяч лет назад в древних государствах – Вавилоне и Египте. О состоянии математических знаний в те века можно судить по древним рукописям (папирусам), найденным на местах древних городов. <Слайд 5 >

Около 4000 лет назад в Вавилоне и в Египте ученые уже умели составлять линейные уравнения, с помощью которых они решали самые разнообразные задачи землемерия, строительного искусства и военного дела. Например, в Британском музее хранится задача из папируса Ринда (его называли также папирусом Ахмеса), относящегося к периоду 2000 – 1700 гг. до н. э.: «Найти число, если известно, что от прибавления к нему 2/3 его и вычитания от полученной суммы ее трети получается число 10». Решение этой задачи сводится к решению линейного уравнения:

<Слайд 6, 7 >

В VII в. до н. э. греки усвоили достижения египтян в математике. В начале IX в. (830 год) хорезмийский ученый Мухаммед-бен-Муса ал-Хорезми написал книгу «Хисаб аль джабр вал-Мукабала» («Метод восстановления и противопоставления») – это была первая книга по алгебре. Она имеет особое значение в истории математики как руководство, по которому долгое время обучалась вся Европа. В ней он впервые рассмотрел методы и приемы алгебры.

Ал-джебр
(перенос слагаемых)

При решении уравненья,
Если в части одной,
Безразлично какой,
Встретится член отрицательный,
Мы к обеим частям,
С этим членом сличив.
Равный член придадим,
Только с знаком другим,-
И найдем результат, нам желательный!

Вал-мукабала
(приведение подобных)

<Слайд 8 >

С момента написания этой книги алгебра становится самостоятельной наукой. Само слово «алгебра» произошло, вероятно, от слова «ал джебр», что означает «восстановление». Словом «алгебра» в арабском языке называлось искусство врача восстанавливать сломанную руку или ногу. Хирурга у арабов называли алгебраистом. Таким образом, математика позаимствовала это слово из медицины.

<Слайд 8 >

Дальнейшее развитие алгебры происходило в основном в Индии (до XII в.) и в Средней Азии (до XV в.). Алгебру до XVII в. условно называли риторической (словесной). Дело в том, что тогда не существовало единых условных знаков «+», «-», «а 2 » и многих других которые используем мы. Условие задачи, все действия и ответ записывали полностью словами. Для удобства запоминания иногда эта запись делалась в стихах. Математические символы вводились постепенно. Так знак равенства «=» введен английским ученым Р. Рикордом в 1557 г., знаки «:» и «*» - немецким математиком Лейбницем в конце XVII в. , скобки – XVI в. Математические символы дали возможность ученым разных стран понять друг друга. В формировании алгебры как науки большие заслуги принадлежат французским ученым Франсуа Виету и Рене Декарту. В течение XVIII-XX в. из алгебры выросли новые математические науки: алгебра многочленов, векторная алгебра. Науки эти изучаются в высшей школе.

В школьной алгебре задачи решают путем составления уравнений, изучают сами уравнения, связи между величинами (некоторые из этих связей называются функциями). При этом используются буквы, выражения с буквами подвергаются различным преобразованиям (тождественным преобразованиям). Но за всеми этими буквами чаще всего скрываются числа.

<Слайд 9 >

Иногда говорят: «Алгебра держится на четырех китах: на уравнении, числе, тождестве, функции».Алгебра, к изучению которой мы приступаем, дает человеку возможность не только выполнять различные вычисления, но и учит его делать это как можно быстрее, рациональнее.

<Слайд 10 >

3. Устные упражнения.

1. Найдите сумму чисел -3,7 и 6,7 (отв. 3); найдите произведение чисел найдите разность чисел Повторить правила выполнения арифметических действий с обыкновенными дробями и рациональными числами.

2. Я задумал три числа. Найдите первое, если известно, что число, противоположное ему, равно 6. Найдите второе, если число обратное ему равно 3. Найдите третье, если известно, что, умножив его на

3. Вычислите:

<Слайд 11, 12 >

4. Изучение новой темы.

При решении многих задач приходится над заданными числами производить арифметические действия: сложение, вычитание, умножение и деление. Но часто, прежде чем доводить до конца каждое из этих действий, удобно заранее указать порядок (план), следуя которому надо производить эти действия. Этот план сводится к тому, что по данным задачи с помощью чисел, знаков действий и скобок составляется числовое выражение.

Примеры:

Если в числовом выражении выполнить все указанные в нем действия, то в результате получим число, про которое говорят, что оно равно данному числовому выражению.

Так первое числовое выражение равно 2, второе равно тоже 2, третье же равно 0.

Определение 1: Запись, составленная из чисел с помощью арифметических действий (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень) называет числовым (арифметическим) выражением.

Числовое выражение может состоять из одного числа.

Определение 2: Значением числового выражения называется число, полученное в результате выполнения указанных в числовом выражении действий.

<Слайд 13 >

Примеры : Поезд двигался сначала 50 минут со скоростью шестьдесят километров в час, затем остановился на станции на десять минут, потом двигался еще один час со скоростью 40 км/ч. Найдите среднюю скорость движения поезда.

Решение : По определению средней скорости движения она равна отношению пройденного пути к затраченному на этот путь времени. Вычислим путь и время движения. Прежде всего учтем, что (перешли к одинаковым единицам измерения времени). В начале движения был пройден путь в конце – путь 40·1(км).

Общий пройденный путь описывается числовым выражением:

Время, затраченное на этот путь (включая время, затраченное на остановку), описывается числовым выражением: Тогда средняя скорость движения описывается выражением: Если вычислить это выражение, то получим: .

Определение 3: Два числовых выражения, соединенные знаком «=», образуют числовое равенство. Если значения левой и правой частей числового равенства совпадают, то равенство называют верным, в противном случае – неверным.

Примеры: - верное числовое равенство;

6 + 12 · 3 = (6 + 12) · 3 - неверное числовое равенство, так как 42 ≠54.

<Слайд 14 >

Скобки помогают установить порядок действий. При этом предполагается, что все действия возможно осуществить. Всегда возможно произвести сложение, вычитание и умножение любых чисел. А вот делить одно число на другое можно, только если делитель не равен нулю: на нуль делить нельзя. Если в данном выражении на некотором этапе вычислений требуется делить на нуль, то это выражение не имеет смысла.

Примеры: Эти выражения не имеют смысла.

<Слайд 15 >

Повторить порядок выполнения действий в числовом выражении. Повторить правила выполнения действий с дробями.

5. Закрепление изученного материала.

Пр. №1 Установите, какие из следующих выражений имеют смысл и какие не имеют. Для имеющих смысл найдите числа, которым они равны.

<Слайд 16 >

Пр. №2 Записать в виде равенства и проверить, верно ли оно:

а) 20% от числа 240 равны 62 (240 · 0,2 = 62 не верно);

б) число 18 составляет 3% от числа 600 (18 = 0,03 · 600 не верно);

в) произведение чисел и 5 составляет 11% от числа 700 верно;

г) четвертая часть числа 18 равна 5% от числа 90 верно;

д) число 111:3 равно 10% от числа 370 (111: 3 = 0,1 · 370, верно);

е) 650% от числа 12 равны 77 (6,5 · 12 = 77 78 ≠ 77, не верно).

<Слайд 17 >

Пр. №3 Вычислить:

<Слайд 18, 19 >

6. Домашнее задание: конспект, 10 (А)

<Слайд 20 >

7. Подведение итогов урока

<Слайд 21, 22 >

Литература:

Математика № 12, 2004 год
Алгебра: 7 класс. Контрольные, самостоятельные, рейтинговые работы/ В. А. Гольдич. – М.: Эксмо, 2008. – 144 с. – (Мастер-класс для учителя).
Интернет ресурсы.

Тема: Повторение. Числовые выражения

Цель урока : актуализация и обобщение знаний и умений по теме «Числовые выражения», введение в алгебру

Планируемые результаты:

предметные: умение в процессе реальной ситуации использовать навыки выполнения арифметических действий над десятичными и обыкновенными дробями, положительными и отрицательными числами; умение грамотно и точно использовать математический язык в процессе решения упражнений;

личностные : умение работать индивидуально, в парах и группах, слушать собеседника и вести диалог, аргументировать свою точку зрения, формирование устойчивой мотивации и сознательного отношения к учебе, развитие творческих способностей;

метапредметные: умение объяснять смысл выполняемых действий; умение обрабатывать информацию; формирование коммуникативной компетенции обучающихся; умение контролировать и оценивать процесс и результаты своей деятельности, наблюдать, анализировать, делать выводы.

Задачи:

образовательные : обеспечить осознанное усвоение правил выполнения арифметических действий над десятичными и обыкновенными дробями, положительными и отрицательными числами; закрепить вычислительные навыки и умения; создать условия для систематизации, обобщения и углубления знаний обучающихся при решении заданий по теме «Числовые выражения».

воспитательные : формировать внимательность и точность в вычислениях; воспитывать чувство взаимопомощи, уважительное отношение к чужому мнению, культуру учебного труда, требовательное отношение к себе и своей работе.

развивающие : способствовать развитию творческой активности обучающихся; повышать познавательный интерес к предмету; развивать логическое и образное мышление, способность рассуждать и делать выводы.

Тип урока: комбинированный урок (повторение и обобщение знаний и умений, введение в алгебру)

Формы работы обучающихся: Фронтальная, индивидуальная, парная, групповая.

Необходимое оборудование: доска, компьютер, проектор, презентация, карточки с заданиями,

Этапы урока:

1. Организационный момент (организация внимания, создание позитивного настроя, мотивация на активную деятельность, контроль санитарно-гигиенических условий работы: уровень освещённости и т.п.)

Учитель: Здравствуйте, ребята! Я рада вас видеть повзрослевшими, отдохнувшими, бодрыми и весёлыми! Сегодня мы встретились после длинных, приятных, летних каникул, хочу, чтобы летнее настроение осталось с вами и помогало в учёбе, ведь в этом году мы с вами будем встречаться на уроках 5 дней в неделю, как и раньше.

2. Повторение (актуализация знаний и умений, интерактивная беседа)

Учитель: Давайте вспомним, чем мы занимались на уроках математики? (дети отвечают, среди ответов обязательно будет «решение примеров» или «вычисления»)

Правильно, выполняли вычисления, то есть находили значения числовых выражений. Повторим самые важные правила вычислений и решим устно следующие примеры (слайд №2)

2,3+4,5 12,7+ 3,8 3,12+0,8 5,7-2,4 9,1-4,5

Как выполнить сложение и вычитание десятичных дробей? На что нужно обращать внимание?

(Слайд3): 6,2×5 2,5×0,4 1,25×0,8 8,46:2 3,5:0,5 13,5:0,03

Как выполнить умножение десятичных дробей? Сформулируйте правило деления десятичной дроби на натуральное число. Как выполнить деление на десятичную дробь? На что обращаем внимание при выполнении этих вычислений?

Кроме десятичных дробей, какими числами мы можем оперировать? (дети отвечают, среди ответов обязательно будет «обыкновенные дроби»)

Повторим правила действий с обыкновенными дробями (слайд №4)

Сформулировать правила сложения и вычитания обыкновенных дробей. Как выполнить умножение обыкновенных дробей? Как выполнить деление обыкновенных дробей? На что нужно обратить внимание?

В 6 классе мы изучали положительные и отрицательные числа, умеем выполнять арифметические действия с ними (слайд №5). Вычисляем устно, проговариваем решение:

2,3-5,6 -8,1-2,9 -6,3+ 2,8 -2,8×3 -5,4×(-) 0,21×(-0,4) 12,9: (-0,3) )

Вспомним правила действий с отрицательными числами, числами с разными знаками. Напомните, на что нужно обратить особое внимание?

Замечание: в зависимости от уровня обученности класса можно часть устных упражнений выполнить письменно (в тетради, у доски, с подробным комментарием)

3. Работа в группах (класс делится на группы по принципу: 1 парта + 2 парта = группа, каждая группа получает задание на листке в клетку)

Учитель: Откройте тетради, запишите число, начнём письменную часть классной работы, определим цель урока (дети отвечают, кто-нибудь назовет «повторение»). Запишем тему урока: Повторение. Числовые выражения.

Мы повторили правила выполнения арифметических действий, которые знаем из курса 5-6 классов. Задания группам: Вы получили пример из 4-х действий (сложение, вычитание, умножение, деление), все вычисления можно выполнять письменно. На полученном листке вы записываете и выполняете первое действие, затем листок с примером передаете следующей группе, та выполняет на нем следующее действие, передает листок следующей группе, та выполняет следующее действие и т.д. Если не доверяете предыдущей группе, то проверяйте её работу, ведь от правильности работы каждой группы зависит ответ. Каждое новое задание делает другой член группы, но вы всегда можете помочь друг другу. Приступаем, время работы - 5-6 минут.

1) 7,72·2 -4,06: (0,824+1,176)= 2) (3,52:1,1+6,2) ·(7 - 4,6)=

3) (15,8+9,32) : (6,24 - 1,6·3,9)= 4) (2,86:2,6 - 0,8) ·(3,4+7,04)=

5) (4,85+12,602): (11,985 - 2,82·4,25)= 6) (3,75:1,25 - 0,75) ·0,5 + 0,875=

Замечание: в зависимости от уровня обученности класса можно задание изменить на: Составьте самостоятельно и запишите пример из 4-х действий…

Проверка результатов групповой работы (слайд №6)

Обсуждение результатов: Почему нет ответов в примерах 3 и 5? Я ошиблась? Что у вас получилось? Объясните! (нужно вывести обучающихся на понимание факта: нельзя делить на нуль!) О таких выражениях говорят, что они не имеют смысла. А у вас получился ответ в этих упражнениях? Кто может сделать вывод?

4. Самостоятельная (тренировочная) работа (слайд №7, форма работы: индивидуальная, с взаимопроверкой)

Учитель : Выполним небольшую работу самостоятельно, вам необходимо оценить личный уровень знаний по теме. Приступаем, время работы - 5 минут.

1 вариант: №3(а), №11(а) 2 вариант: №3(б), №11(б)

5. Мини-лекция

Учитель: Я хочу вернуться к вопросу, который задала в начале урока: Чем мы занимались на уроках математики? (дети отвечают, кто-нибудь назовет «решали уравнения»)

Действительно, мы часто решали уравнения! Решать уравнения - это искусство! Вспомним высказывание выдающегося ученого XX века Альберта Эйнштейна: «Мне приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по-моему, гораздо важнее. Политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно» (слайд №8)

Алгебра как искусство решать уравнения зародилась очень давно в связи с потребностями практики, в результате поиска общих приёмов решения однотипных задач. Самые ранние дошедшие до нас рукописи свидетельствуют о том, что в Древнем Вавилоне и Древнем Египте были известны те приёмы решения уравнений, которые вы узнали в 6- м классе. А в Индии умели решать некоторые уравнения ещё в 499 году (слайды №9,10), но европейцы об этом узнали, прочитав трактат азиатского математика аль-Хорезми.

Само слово «алгебра» возникло после появления трактата «Китаб аль-джебр валь-мукабала» математика и астронома из г.Хивы (современный Узбекистан) Мухаммеда бен Муса аль-Хорезми (787-ок.850). Термин «аль-джебр», взятый из названия этой книги, стал употребляться как «алгебра» (слайд №11)

Но до XVI века изложение алгебры велось в основном словесно, посмотрите, как записывали уравнения в то время (слайд №12), мы, современные люди, не можем даже прочитать это, не только решить! Сложно и странно, правда?

Привычные нам знаки сложения и вычитания появились только в XVI веке в трудах немецких математиков, знак умножения появился ещё позже, а знак деления был введен только в XVII веке (слайд №13)

Современная алгебра - один из основных разделов математики и, чтобы это произошло, многие выдающиеся люди своего времени вложили свой талант и труд (слайд №14). В школе мы изучаем простейшие основы этой науки, на базе которых вы в дальнейшем будете строить свое образование.

6. Работа с учебником

Учитель: Таким образом, мы с вами изучили школьную арифметику, а теперь будем изучать алгебру и геометрию (слайд №15). Познакомимся с учебником алгебры (дать время на ознакомление, обратить внимание на стр.222 и стр.226)

Прочитайте п.1 Числовые выражения

Какие вопросы у вас есть по содержанию пункта? Что новое вы узнали? На что нужно обратить внимание? Что нужно запомнить? Выполним №13 (устно)

7. Этап рефлексии (подведение итогов урока, информация о домашнем задании)

Учитель : Запишите домашнее задание в дневник: п.1 прочитать, выполнить письменно №4, №5, №12;

для желающих стр.222 «Как появилась алгебра» прочитать, №11 (в,г) (слайд №16).

Есть вопросы по содержанию домашнего задания? (ответить, если есть)

Давайте мысленно подведем итог урока, оценим собственную успешность и вспомним, как составляли синквейны в прошлом году! Я предлагаю вам слово «АЛГЕБРА» (дети предлагают слова, получится что-то типа слайда №17, слова можно записать на доске)

Мне сегодня было приятно с вами работать, спасибо, урок окончен.

Литература:

Алгебра.7класс: учебник для общеобразовательных учреждений / Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова; под ред.С.А.Теляковского. - М.: Просвещение, 2011-2015

I. Выражения, в которых наряду с буквами могут быть использованы числа, знаки арифметических действий и скобки, называются алгебраическими выражениями.

Примеры алгебраических выражений:

2m -n; 3· (2a + b); 0,24x; 0,3a -b · (4a + 2b); a 2 – 2ab;

Так как букву в алгебраическом выражении можно заменить какими то различными числами, то букву называют переменной, а само алгебраическое выражение — выражением с переменной.

II. Если в алгебраическом выражении буквы (переменные) заменить их значениями и выполнить указанные действия, то полученное в результате число называется значением алгебраического выражения.

Примеры. Найти значение выражения:

1) a + 2b -c при a = -2; b = 10; c = -3,5.

2) |x| + |y| -|z| при x = -8; y = -5; z = 6.

Решение .

1) a + 2b -c при a = -2; b = 10; c = -3,5. Вместо переменных подставим их значения. Получим:

— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

2) |x| + |y| -|z| при x = -8; y = -5; z = 6. Подставляем указанные значения. Помним, что модуль отрицательного числа равен противоположному ему числу, а модуль положительного числа равен самому этому числу. Получаем:

|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.

III. Значения буквы (переменной), при которых алгебраическое выражение имеет смысл, называют допустимыми значениями буквы (переменной).

Примеры. При каких значениях переменной выражение не имеет смысла?

Решение. Мы знаем, что на нуль делить нельзя, поэтому, каждое из данных выражений не будет иметь смысла при том значении буквы (переменной), которая обращает знаменатель дроби в нуль!

В примере 1) это значение а = 0. Действительно, если вместо а подставить 0, то нужно будет число 6 делить на 0, а этого делать нельзя. Ответ: выражение 1) не имеет смысла при а = 0.

В примере 2) знаменатель х — 4 = 0 при х = 4, следовательно, это значение х = 4 и нельзя брать. Ответ: выражение 2) не имеет смысла при х = 4.

В примере 3) знаменатель х + 2 = 0 при х = -2. Ответ: выражение 3) не имеет смысла при х = -2.

В примере 4) знаменатель 5 -|x| = 0 при |x| = 5. А так как |5| = 5 и |-5| = 5, то нельзя брать х = 5 и х = -5. Ответ: выражение 4) не имеет смысла при х = -5 и при х = 5.
IV. Два выражения называются тождественно равными, если при любых допустимых значениях переменных соответственные значения этих выражений равны.

Пример: 5 (a – b) и 5a – 5b тожественно равны, так как равенство 5 (a – b) = 5a – 5b будет верным при любых значениях a и b. Равенство 5 (a – b) = 5a – 5b есть тождество.

Тождество – это равенство, справедливое при всех допустимых значениях входящих в него переменных. Примерами уже известных вам тождеств являются, например, свойства сложения и умножения, распределительное свойство.

Замену одного выражения другим, тождественно равным ему выражением, называют тождественным преобразованием или просто преобразованием выражения. Тождественные преобразования выражений с переменными выполняются на основе свойств действий над числами.

Примеры.

a) преобразуйте выражение в тождественно равное, используя распределительное свойство умножения:

1) 10·(1,2х + 2,3у); 2) 1,5·(a -2b + 4c); 3) a·(6m -2n + k).

Решение . Вспомним распределительное свойство (закон) умножения:

(a+b)·c=a·c+b·c (распределительный закон умножения относительно сложения: чтобы сумму двух чисел умножить на третье число, можно каждое слагаемое умножить на это число и полученные результаты сложить).
(а-b)·c=a·с-b·c (распределительный закон умножения относительно вычитания: чтобы разность двух чисел умножить на третье число, можно умножить на это число уменьшаемое и вычитаемое отдельно и из первого результата вычесть второй).

1) 10·(1,2х + 2,3у) = 10 · 1,2х + 10 · 2,3у = 12х + 23у.

2) 1,5·(a -2b + 4c) = 1,5а -3b + 6c.

3) a·(6m -2n + k) = 6am -2an +ak.

б) преобразуйте выражение в тождественно равное, используя переместительное и сочетательное свойства (законы) сложения:

4) х + 4,5 +2х + 6,5; 5) (3а + 2,1) + 7,8; 6) 5,4с -3 -2,5 -2,3с.

Решение. Применим законы (свойства) сложения:

a+b=b+a (переместительный: от перестановки слагаемых сумма не меняется).
(a+b)+c=a+(b+c) (сочетательный: чтобы к сумме двух слагаемых прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего).

4) х + 4,5 +2х + 6,5 = (х + 2х) + (4,5 + 6,5) = 3х + 11.

5) (3а + 2,1) + 7,8 = 3а + (2,1 + 7,8) = 3а + 9,9.

6) 6) 5,4с -3 -2,5 -2,3с = (5,4с -2,3с) + (-3 -2,5) = 3,1с -5,5.

в) преобразуйте выражение в тождественно равное, используя переместительное и сочетательное свойства (законы) умножения:

7) 4 · х · (-2,5); 8) -3,5 · 2у · (-1); 9) 3а · (-3) · 2с.

Решение. Применим законы (свойства) умножения:

a·b=b·a (переместительный: от перестановки множителей произведение не меняется).
(a·b)·c=a·(b·c) (сочетательный: чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего).

Числовое выражение – это любая запись из чисел, знаков арифметических действий и скобок. Числовое выражение может состоять и просто из одного числа. Напомним, что основными арифметическими действиями являются «сложение», «вычитание», «умножение» и «деление». Этим действиям соответствуют знаки «+», «-», «∙», «:».

Конечно же, чтобы у нас получилось числовое выражение, запись из чисел и арифметических знаков должна быть осмысленной. Так, например, такую запись 5: + ∙ нельзя назвать числовым выражением, так как это случайный набор символов, не имеющий смысла. Напротив, 5 + 8 ∙ 9 - уже настоящее числовое выражение.

Значение числового выражения.

Сразу скажем, что если мы выполним действия указанные в числовом выражении, то в результате мы получим число. Это число называется значением числового выражения .

Попробуем вычислить, что у нас получится в результате выполнения действий нашего примера. Согласно порядку выполнения арифметических действий , сначала выполним операцию умножения. Умножим 8 на 9. Получим 72. Теперь сложим 72 и 5. Получим 77.
Итак, 77 – значение числового выражения 5 + 8 ∙ 9.

Числовое равенство.

Можно это записать таким образом: 5 + 8 ∙ 9 = 77. Здесь мы впервые использовали знак «=» («Равно»). Такая запись, при которой два числовых выражения разделены знаком «=», называется числовым равенством . При этом, если значения левой и правой части равенства совпадают, то равенство называют верным . 5 + 8 ∙ 9 = 77 – верное равенство.
Если же мы напишем 5 + 8 ∙ 9 = 100, то это уже будет неверное равенство , так как значения левой и правой части данного равенства уже не совпадают.

Следует отметить, что в числовом выражении мы также можем использовать скобки. Скобки влияют на порядок выполнения действий. Так, например, видоизменим наш пример, добавив скобки: (5 + 8) ∙ 9. Теперь сначала нужно сложить 5 и 8. Получим 13. А затем умножить 13 на 9. Получим 117. Таким образом, (5 + 8) ∙ 9 = 117.
117 – значение числового выражения (5 + 8) ∙ 9.

Чтобы правильно прочитать выражение, нужно определить какое именно действие выполняется последним для вычисления значения данного числового выражения. Так, если последнее действие вычитание, то выражение называют «разностью». Соответственно, если последнее действие сумма - «суммой», деление – «частным», умножение – «произведением», возведение в степень – «степенью».

Например, числовое выражение (1+5)(10-3) читается так: «произведение суммы чисел 1 и 5 на разность чисел 10 и 3».

Примеры числовых выражений.

Приведем пример более сложного числового выражения:

\[\left(\frac{1}{4}+3,75 \right):\frac{1,25+3,47+4,75-1,47}{4\centerdot 0,5}\]

В данном числовом выражении используются простые числа, обыкновенные и десятичные дроби. Также используются знаки сложения, вычитания, умножения и деления. Черта дроби также заменяет знак деления. При кажущейся сложности, найти значение данного числового выражения довольно просто. Главное уметь выполнять операции с дробями, а также внимательно и аккуратно делать вычисления, соблюдая порядок выполнения действий.

В скобках у нас выражение $\frac{1}{4}+3,75$ . Преобразуем десятичную дробь 3,75 в обыкновенную.

$3,75=3\frac{75}{100}=3\frac{3}{4}$

Итак, $\frac{1}{4}+3,75=\frac{1}{4}+3\frac{3}{4}=4$

Далее, в числителе дроби \[\frac{1,25+3,47+4,75-1,47}{4\centerdot 0,5}\] у нас выражение 1,25+3,47+4,75-1,47. Для упрощения данного выражения применим переместительный закон сложения, который гласит: «От перемены мест слагаемых сумма не изменяется». То есть, 1,25+3,47+4,75-1,47=1,25+4,75+3,47-1,47=6+2=8.

В знаменателе дроби выражение $4\centerdot 0,5=4\centerdot \frac{1}{2}=4:2=2$

Получаем $\left(\frac{1}{4}+3,75 \right):\frac{1,25+3,47+4,75-1,47}{4\centerdot 0,5}=4:\frac{8}{2}=4:4=1$

Когда числовые выражения не имеют смысла?

Рассмотрим еще один пример. В знаменателе дроби $\frac{5+5}{3\centerdot 3-9}$ значением выражения $3\centerdot 3-9$ является 0. А, как мы знаем, деление на нуль невозможно. Следовательно, у дроби $\frac{5+5}{3\centerdot 3-9}$ нет значения. Про числовые выражения, у которых нет значения, говорят, что они «не имеют смысла».

Если мы в числовом выражении помимо чисел будем использовать буквы, то у нас получится уже

Предыдущая статья: Чему равна скорость света Следующая статья: Углерод — характеристика элемента и химические свойства