Начертить графики проекции скорости прямолинейного. Лекции физика

«Физика - 10 класс»

Чем отличается равномерное движение от равноускоренного?
Чем отличается график пути при равноускоренном движении от графика пути при равномерном движении?
Что называется проекцией вектора на какую-либо ось?

В случае равномерного прямолинейного движения можно определить скорость по графику зависимости координаты от времени.

Проекция скорости численно равна тангенсу угла наклона прямой x(t) к оси абсцисс. При этом, чем больше скорость, тем больше угол наклона.

Прямолинейное равноускоренное движение.

На рисунке 1.33 изображены графики зависимости проекции ускорения от времени для трёх разных значений ускорения при прямолинейном равноускоренном движении точки. Они представляют собой прямые линии, параллельные оси абсцисс: а х = const. Графики 1 и 2 соответствуют движению, когда вектор ускорения направлен вдоль оси ОХ, график 3 - когда вектор ускорения направлен в противоположную оси ОХ сторону.

При равноускоренном движении проекция скорости зависит от времени линейно: υ x = υ 0x + a x t. На рисунке 1.34 представлены графики этой зависимости для указанных трёх случаев. При этом начальная скорость точки одинакова. Проанализируем этот график.

Проекция ускорения Из графика видно, что, чем больше ускорение точки, тем больше угол наклона прямой к оси t и соответственно больше тангенс угла наклона, который определяет значение ускорения.

За один и тот же промежуток времени при разных ускорениях скорость изменяется на разные значения.

При положительном значении проекции ускорения за один и тот же промежуток времени проекция скорости в случае 2 увеличивается в 2 раза быстрее, чем в случае 1. При отрицательном значении проекции ускорения на ось ОХ проекция скорости по модулю изменяется на то же значение, что и в случае 1, но скорость уменьшается.

Для случаев 1 и 3 графики зависимости модуля скорости от времени будут совпадать (рис. 1.35).

Используя график зависимости скорости от времени (рис 1.36), найдём изменение координаты точки. Это изменение численно равно площади заштрихованной трапеции, в данном случае изменение координаты за 4 с Δx = 16 м.

Мы нашли изменение координаты. Если необходимо найти координату точки, то к найденному числу нужно прибавить её начальное значение. Пусть в начальный момент времени х 0 = 2 м, тогда значение координаты точки в заданный момент времени, равный 4 с, равно 18 м. В данном случае модуль перемещения равен пути, пройденному точкой, или изменению её координаты, т. е. 16 м.

Если движение равнозамедленное, то точка в течение выбранного интервала времени может остановиться и начать двигаться в направлении, противоположном начальному. На рисунке 1.37 показана зависимость проекции скорости от времени для такого движения. Мы видим, что в момент времени, равный 2 с, направление скорости изменяется. Изменение координаты будет численно равно алгебраической сумме площадей заштрихованных треугольников.

Вычисляя эти площади, мы видим, что изменение координаты равно -6 м, это означает, что в направлении, противоположном оси ОХ, точка прошла большее расстояние, чем по направлению этой оси.

Площадь над осью t берём со знаком «плюс», а площадь под осью t, где проекция скорости отрицательна, - со знаком «минус».

Если в начальный момент времени скорость некоторой точки была равна 2 м/с, то координата её в момент времени, равный 6 с, равна -4 м. Модуль перемещения точки в данном случае также равен 6 м - модулю изменения координаты. Однако путь, пройденный этой точкой, равен 10 м - сумме площадей заштрихованных треугольников, показанных на рисунке 1.38.

Изобразим на графике зависимость координаты х точки от времени. Согласно одной из формул (1.14) кривая зависимости координаты от времени - x(t) - парабола.

Если движение точки происходит со скоростью, график зависимости которой от времени изображён на рисунке 1.36, то ветви параболы направлены вверх, так как а х > 0 (рис. 1.39). По этому графику мы можем определить координату точки, а также скорость в любой момент времени. Так, в момент времени, равный 4 с, координата точки равна 18 м.

Для начального момента времени, проводя касательную к кривой в точке А, определяем тангенс угла наклона α 1 , который численно равен начальной скорости, т. е. 2 м/с.

Для определения скорости в точке В проведём касательную к параболе в этой точке и определим тангенс угла α 2 . Он равен 6, следовательно, скорость равна 6 м/с.

График зависимости пути от времени - такая же парабола, но проведённая из начала координат (рис. 1.40). Мы видим, что путь непрерывно увеличивается со временем, движение происходит в одну сторону.

Если движение точки происходит со скоростью, график зависимости проекции которой от времени изображён на рисунке 1.37, то ветви параболы направлены вниз, так как а x < 0 (рис. 1.41). При этом моменту времени, равному 2 с, соответствует вершина параболы. Касательная в точке В параллельна оси t, угол наклона касательной к этой оси равен нулю, и скорость также равна нулю. До этого момента времени тангенс угла наклона касательной уменьшался, но был положителен, движение точки происходило в направлении оси ОХ.

Начиная с момента времени t = 2 с, тангенс угла наклона становится отрицательным, а его модуль увеличивается, это означает, что движение точки происходит в направлении, противоположном начальному, при этом модуль скорости движения увеличивается.

Модуль перемещения равен модулю разности координат точки в конечный и начальный моменты времени и равен 6 м.

График зависимости пройденного точкой пути от времени, показанный на рисунке 1.42 отличается от графика зависимости перемещения от времени (см. рис. 1.41).

Как бы ни была направлена скорость, путь, пройденный точкой, непрерывно увеличивается.

Выведем зависимость координаты точки от проекции скорости. Скорость υx = υ 0x + a x t, отсюда

В случае x 0 = 0 а х > 0 и υ x > υ 0x график зависимости координаты от скорости представляет собой параболу (рис. 1.43).

При этом, чем больше ускорение, тем ветвь параболы будет менее крутой. Это легко объяснить, так как, чем больше ускорение, тем меньше расстояние, которое должна пройти точка, чтобы скорость увеличилась на то же значение, что и при движении с меньшим ускорением.

В случае а х < 0 и υ 0x > 0 проекция скорости будет уменьшаться. Перепишем уравнение (1.17) в виде где а = |а x |. График этой зависимостимости - парабола с ветвями, направленными вниз (рис. 1.44).

Ускоренное движение.

По графикам зависимости проекции скорости от времени можно определить координату и проекцию ускорения точки в любой момент времени при любом типе движения.

Пусть проекция скорости точки зависит от времени так, как показано на рисунке 1.45. Очевидно, что в промежутке времени от 0 до t 3 движение точки вдоль оси X происходило с переменным ускорением. Начиная с момента времени, равного t 3 , движение равномерное с постоянной скоростью υ Dx . По графику мы видим, что ускорение, с которым двигалась точка, непрерывно уменьшалось (сравните угол наклона касательной в точках В и С).

Изменение координаты х точки за время t 1 численно равно площади криволинейной трапеции OABt 1 , за время t 2 - площади OACt 2 и т. д. Как видим по графику зависимости проекции скорости от времени можно определить изменение координаты тела за любой промежуток времени.

По графику зависимости координаты от времени можно определить значение скорости в любой момент времени, вычисляя тангенс угла наклона касательной к кривой в точке, соответствующей данному моменту времени. Из рисунка 1.46 следует, что в момент времени t 1 проекция скорости положительна. В промежутке времени от t 2 до t 3 скорость равна нулю, тело неподвижно. В момент времени t 4 скорость также равна нулю (касательная к кривой в точке D параллельна оси абсцисс). Затем проекция скорости становится отрицательной, направление движения точки изменяется на противоположное.

Если известен график зависимости проекции скорости от времени, можно определить ускорение точки, а также, зная начальное положение, определить координату тела в любой момент времени, т. е. решить основную задачу кинематики. По графику зависимости координаты от времени можно определить одну из самых важных кинематических характеристик движения - скорость. Кроме этого, по указанным графикам можно определить тип движения вдоль выбранной оси: равномерное, с постоянным ускорением или движение с переменным ускорением.

3.1. Равнопеременное движение по прямой.

3.1.1. Равнопеременное движение по прямой - движение по прямой с постоянным по модулю и направлению ускорением:

3.1.2. Ускорение () - физическая векторная величина, показывающая, на сколько изменится скорость за 1 с.

В векторном виде:

где - начальная скорость тела, - скорость тела в момент времени t .

В проекции на ось Ox :

где - проекция начальной скорости на ось Ox , - проекция скорости тела на ось Ox в момент времени t .

Знаки проекций зависят от направления векторов и оси Ox .

3.1.3. График проекции ускорения от времени.

При равнопеременном движении ускорение постоянно, поэтому будет представлять собой прямые линии, параллельные оси времени (см. рис.):

3.1.4. Скорость при равнопеременном движении.

В векторном виде:

В проекции на ось Ox :

Для равноускоренного движения:

Для равнозамедленного движения:

3.1.5. График проекции скорости в зависимости от времени.

График проекции скорости от времени - прямая линия.

Направление движения: если график (или часть его) находятся над осью времени, то тело движется в положительном направлении оси Ox .

Значение ускорения: чем больше тангенс угла наклона (чем круче поднимается вверх или опускает вниз), тем больше модуль ускорения; где - изменение скорости за время

Пересечение с осью времени: если график пересекает ось времени, то до точки пересечения тело тормозило (равнозамедленное движение), а после точки пересечения начало разгоняться в противоположную сторону (равноускоренное движение).

3.1.6. Геометрический смысл площади под графиком в осях

Площадь под графиком, когда на оси Oy отложена скорость, а на оси Ox - время - это путь, пройденный телом.

На рис. 3.5 нарисован случай равноускоренного движения. Путь в данном случае будет равен площади трапеции: (3.9)

3.1.7. Формулы для расчета пути

Все формулы, представленные в таблице, работают только при сохранении направления движения, то есть до пересечения прямой с осью времени на графике зависимости проекции скорости от времени.

Если же пересечение произошло, то движение проще разбить на два этапа:

до пересечения (торможение):

После пересечения (разгон, движение в обратную сторону)

В формулах выше - время от начала движения до пересечения с осью времени (время до остановки), - путь, который прошло тело от начала движения до пересечения с осью времени, - время, прошедшее с момента пересечения оси времени до данного момента t , - путь, который прошло тело в обратном направлении за время, прошедшее с момента пересечения оси времени до данного момента t , - модуль вектора перемещения за все время движения, L - путь, пройденный телом за все время движения.

3.1.8. Перемещение за -ую секунду.

За время тело пройдет путь:

За время тело пройдет путь:

Тогда за -ый промежуток тело пройдет путь:

За промежуток можно принимать любой отрезок времени. Чаще всего с.

Тогда за 1-ую секунду тело проходит путь:

За 2-ую секунду:

За 3-ю секунду:

Если внимательно посмотрим, то увидим, что и т. д.

Таким образом, приходим к формуле:

Словами: пути, проходимые телом за последовательные промежутки времени соотносятся между собой как ряд нечетных чисел, и это не зависит от того, с каким ускорением движется тело. Подчеркнем, что это соотношение справедливо при

3.1.9. Уравнение координаты тела при равнопеременном движении

Уравнение координаты

Знаки проекций начальной скорости и ускорения зависят от взаимного расположения соответствующих векторов и оси Ox .

Для решения задач к уравнению необходимо добавлять уравнение изменения проекции скорости на ось:

3.2. Графики кинематических величин при прямолинейном движении

3.3. Свободное падение тела

Под свободным падением подразумевается следующая физическая модель:

1) Падение происходит под действием силы тяжести:

2) Сопротивление воздуха отсутствует (в задачах иногда пишут «сопротивлением воздуха пренебречь»);

3) Все тела, независимо от массы падают с одинаковым ускорением (иногда добавляют - «независимо от формы тела», но мы рассматриваем движение только материальной точки, поэтому форма тела уже не учитывается);

4) Ускорение свободного падения направлено строго вниз и на поверхности Земли равно (в задачах часто принимаем для удобства подсчетов);

3.3.1. Уравнения движения в проекции на ось Oy

В отличии от движения по горизонтальной прямой, когда далеко не всех задач происходит смена направления движения, при свободном падении лучше всего сразу пользоваться уравнениями, записанными в проекциях на ось Oy .

Уравнение координаты тела:

Уравнение проекции скорости:

Как правило, в задачах удобно выбрать ось Oy следующим образом:

Ось Oy направлена вертикально вверх;

Начало координат совпадает с уровнем Земли или самой нижней точкой траектории.

При таком выборе уравнения и перепишутся в следующем виде:

3.4. Движение в плоскости Oxy .

Мы рассмотрели движение тела с ускорением вдоль прямой. Однако этим равнопеременное движение не ограничивается. Например, тело, брошенное под углом к горизонту. В таких задачах необходимо учитывать движение сразу по двум осям:

Или в векторном виде:

И изменение проекции скорости на обе оси:

3.5. Применение понятия производной и интеграла

Мы не будем приводить здесь подробное определение производной и интеграла. Для решения задач нам понадобятся лишь небольшой набор формул.

Производная:

где A , B и то есть постоянные величины.

Интеграл:

Теперь посмотрим, как понятие производной и интеграла применимо к физическим величинам. В математике производная обозначается «"», в физике производная по времени обозначается «∙» над функцией.

Скорость:

то есть скорость является производной от радиус-вектора.

Для проекции скорости:

Ускорение:

то есть ускорение является производной от скорости.

Для проекции ускорения:

Таким образом, если известен закон движения то легко можем найти и скорость и ускорение тела.

Теперь воспользуемся понятием интеграла.

Скорость:

то есть, скорость можно найти как интеграл по времени от ускорения.

Радиус-вектор:

то есть, радиус-вектор можно найти, взяв интеграл от функции скорости.

Таким образом, если известна функция то легко можем найти и скорость, и закон движения тела.

Константы в формулах определяются из начальных условий - значения и в момент времени

3.6. Треугольник скоростей и треугольник перемещений

3.6.1. Треугольник скоростей

В векторном виде при постоянном ускорении закон изменения скорости имеет вид (3.5):

Эта формула означает, что вектор равен векторной сумме векторов и Векторную сумму всегда можно изобразить на рисунке (см. рис.).

В каждой задаче, в зависимости от условий, треугольник скоростей будет иметь свой вид. Такое представление позволяет использовать при решении геометрические соображения, что часто упрощает решение задачи.

3.6.2. Треугольник перемещений

В векторном виде закон движения при постоянном ускорении имеет вид:

При решении задачи можно выбирать систему отсчета наиболее удобным образом, поэтому не теряя общности, можем выбрать систему отсчета так, что то есть начало системы координат помещаем в точку, где в начальный момент находится тело. Тогда

то есть вектор равен векторной сумме векторов и Изобразим на рисунке (см. рис.).

Как и в предыдущем случае в зависимости от условий треугольник перемещений будет иметь свой вид. Такое представление позволяет использовать при решении геометрические соображения, что часто упрощает решение задачи.

Урок на тему : «Скорость прямолинейного равноускоренного

движения. Графики скорости».

Обучающая цель : ввести формулу для определения мгновенной скорости тела в любой момент времени, продолжить формирование умения строить графики зависимости проекции скорости от времени,рассчитывать мгновенную скорость тела в любой момент времени, совершенствовать умения учащихся решать задачи аналитическим и графическим способами.

Развивающая цель : развитие у школьников теоретического, творческого мышления, формирование операционного мышления, направленного на выбор оптимальных решений

Мотивационная цель : пробуждение интереса к изучению физики и информатики

Ход урока.

1.Организационный момент .

Учитель:- Здравствуйте,ребята.Сегодня на уроке мы изучим тему «Скорость»,повторим тему «Ускорение», на уроке мы с вами выучим формулу для определения мгновенной скорости тела в любой момент времени, продолжим формирование умения строить графики зависимости проекции скорости от времени,рассчитывать мгновенную скорость тела в любой момент времени, будем совершенствовать умения решать задачи аналитическим и графическим способами.Я рада видеть Вас на уроке здоровыми. Не удивляйтесь,что я с этого начала наш урок: здоровье каждого из вас -самое главное для меня и других учителей. Как вы думаете,что общего может быть между нашим здоровьем и темой «Скорость»?(слайд)

Учащиеся высказывают мнение по данному вопросу.

Учитель:- Знание по данной теме может помочь предугадывать возникновение ситуаций, опасных для жизни человека, например, возникающих при дорожном движении и др.

2.Актуализация знаний.

Повторение темы «Ускорение» проводится в виде ответов обучающихся на такие вопросы:

1.что такое ускорение (слайд);

2.формула и единицы измерения ускорения(слайд);

3.равнопеременное движение(слайд);

4.графики ускорения (слайд);

5. составьте задачу с использованием изученного материала.

6.Законы или определения, приведенные ниже,имеют ряд неточностей.Дайте правильные формулировки.

Перемещением тела называют отрезок ,соединяющий начальное и конечное положение тела.

Скорость равномерного прямолинейного движения- это путь , пройденный телом за единицу времени.

Механическим движением тела называется изменение его положения в пространстве.

Прямолинейным равномерным движением называют движение, при котором тело за равные промежутки времени проходит одинаковые пути.

Ускорение- это величина, численно равная отношению скорости ко времени.

Тело,у которого малые размеры,называется материальной точкой.

Основная задача механики состоит в том, чтобы знать положение тела

Кратковременная самостоятельная работа по карточкам-7 минут.

Красная карточка-оценка «5»;синяя карточка- оценка «4»;зеленая карточка- оценка «3»

.К 1

1.какое движение называется равноускоренным?

2.Запишите формулу для определения проекции вектора ускорения.

3. Ускорение тела равно 5 м\с 2 , что это означает?

4. Скорость спуска парашютиста после раскрытия парашюта уменьшилась от 60 м\с до 5 м\с за 1,1 с. Найдите ускорение парашютиста.

1.Что называется ускорением?

3. Ускорение тела равно 3 м\с 2 . Что это означает?

4. С каким ускорением движется автомобиль, если за 10с его скорость увеличилась от 5 м\с до 10 м\с

1.Что называется ускорением?

2. Назовите единицы измерения ускорения?

3.Запишите формулу для определения проекции вектора ускорения.

4. 3. Ускорение тела равно 2 м\с 2 , что это означает?

3.Изучение нового материала .

1.Вывод формулы скорости из формулы ускорения. У доски под руководством учителя ученик пишет вывод формулы

2.Графическое представление движения.

На слайде презентации рассматривают графики скорости

.

4.Решение задач на данную тему по материалам ГИ А

Слайды презентации.

1. Используя график зависимости скорости движения тела от времени, определите скорость тела в конце 5-ой секунды, считая, что характер движения тела не изменяется.

9 м/ с

10 м/ с

12 м/ с

14 м/ с

2.По графику зависимости скорости движения тела от времени. Найдите скорость тела в момент времени t = 4 с.

3.На рисунке изображен график зависимости скорости движения материальной точки от времени. Определите скорость тела в момент времени t = 12 с , считая, что характер движения тела не изменяется.

4.На рисунке приведен график скорости некоторого тела. Определите скорость тела в момент времени t = 2 с.

5.На рисунке представлен график зависимости проекции скорости грузовика на ось х от вре ме ни. Проекция ускорения грузовика на эту ось в момент t =3 с равна

6.Тело начинает прямолинейное движение из состояния покоя, и его ускорение меняется со временем так, как показано на графике. Через 6 с после начала движения модуль скорости тела будет равен

7.Мотоциклист и велосипедист одновременно начинают равноускоренное движение. Ускорение мотоциклиста в 3 раза больше, чем у велосипедиста. В один и тот же момент времени скорость мотоциклиста больше скорости велосипедиста

1) в 1,5 раза

2) в √3 раза

3) в 3 раза

5.Итоги урока.(Рефлексия по данной теме.)

Что особенно запомнилось и поразило из учебного материала.

6.Домашнее задание .

7. Оценки за урок.

Равномерное движение – это движение с постоянной скоростью, то есть когда скорость не изменяется (v = const) и ускорения или замедления не происходит (а = 0).

Прямолинейное движение – это движение по прямой линии, то есть траектория прямолинейного движения – это прямая линия.

Равномерное прямолинейное движение – это движение, при котором тело за любые равные промежутки времени совершает одинаковые перемещения. Например, если мы разобьём какой-то временной интервал на отрезки по одной секунде, то при равномерном движении тело будет перемещаться на одинаковое расстояние за каждый из этих отрезков времени.

Скорость равномерного прямолинейного движения не зависит от времени и в каждой точке траектории направлена также, как и перемещение тела. То есть вектор перемещения совпадает по направлению с вектором скорости. При этом средняя скорость за любой промежуток времени равна мгновенной скорости:

Скорость равномерного прямолинейного движения – это физическая векторная величина, равная отношению перемещения тела за любой промежуток времени к значению этого промежутка t:

Таким образом, скорость равномерного прямолинейного движения показывает, какое перемещение совершает материальная точка за единицу времени.

Перемещение при равномерном прямолинейном движении определяется формулой:

Пройденный путь при прямолинейном движении равен модулю перемещения. Если положительное направление оси ОХ совпадает с направлением движения, то проекция скорости на ось ОХ равна величине скорости и положительна:

v x = v, то есть v > 0

Проекция перемещения на ось ОХ равна:

s = vt = x – x 0

где x 0 – начальная координата тела, х – конечная координата тела (или координата тела в любой момент времени)

Уравнение движения , то есть зависимость координаты тела от времени х = х(t), принимает вид:

Если положительное направление оси ОХ противоположно направлению движения тела, то проекция скорости тела на ось ОХ отрицательна, скорость меньше нуля (v < 0), и тогда уравнение движения принимает вид:

Зависимость скорости, координат и пути от времени

Зависимость проекции скорости тела от времени показана на рис. 1.11. Так как скорость постоянна (v = const), то графиком скорости является прямая линия, параллельная оси времени Ot.

Рис. 1.11. Зависимость проекции скорости тела от времени при равномерном прямолинейном движении.

Проекция перемещения на координатную ось численно равна площади прямоугольника ОАВС (рис. 1.12), так как величина вектора перемещения равна произведению вектора скорости на время, за которое было совершено перемещение.

Рис. 1.12. Зависимость проекции перемещения тела от времени при равномерном прямолинейном движении.

График зависимости перемещения от времени показан на рис. 1.13. Из графика видно, что проекция скорости равна

v = s 1 / t 1 = tg α

где α – угол наклона графика к оси времени.

Чем больше угол α, тем быстрее движется тело, то есть тем больше его скорость (больший путь тело проходит за меньшее время). Тангенс угла наклона касательной к графику зависимости координаты от времени равен скорости:

Рис. 1.13. Зависимость проекции перемещения тела от времени при равномерном прямолинейном движении.

Зависимость координаты от времени показана на рис. 1.14. Из рисунка видно, что

tg α 1 > tg α 2

следовательно, скорость тела 1 выше скорости тела 2 (v 1 > v 2).

tg α 3 = v 3 < 0

Если тело покоится, то графиком координаты является прямая, параллельная оси времени, то есть

Рис. 1.14. Зависимость координаты тела от времени при равномерном прямолинейном движении.

Связь угловых и линейных величин

Отдельные точки вращающегося тела имеют различные линейные скорости . Скорость каждой точки, будучи направлена по касательной к соответствующей окружности, непрерывно изменяет свое направление. Величина скоростиопределяется скоростью вращения телаи расстоянием R рассматриваемой точки от оси вращения. Пусть за малый промежуток временитело повернулось на угол(рис 2.4). Точка, находящаяся на расстоянии R от оси проходит при этом путь, равный

Линейная скорость точки по определению.

Тангенциальное ускорение

Воспользовавшись тем же отношением (2.6) получаем

Таким образом, как нормальное, так и, тангенциальное ускорения растут линейно с расстоянием точки от оси вращения.

Основные понятия.

Периодическим колебанием называется процесс, при котором система (например, механическая) возвращается в одно и то же состояние через определенный промежуток времени. Этот промежуток времени называется периодом колебаний.

Возвращающая сила - сила, под действием которой происходит колебательный процесс. Эта сила стремится тело или материальную точку, отклоненную от положения покоя, вернуть в исходное положение.

В зависимости от характера воздействия на колеблющееся тело различают свободные (или собственные) колебания и вынужденные колебания.

Свободные колебания имеют место тогда, когда на колеблющееся тело действует только возвращающая сила. В том случае, если не происходит рассеивания энергии, свободные колебания являются незатухающими. Однако, реальные колебательные процессы являются затухающими, т.к. на колеблющееся тело действуют силы сопротивления движению (в основном силы трения).

Вынужденные колебания совершаются под действием внешней периодически изменяющейся силы, которую называют вынуждающей. Во многих случаях системы совершают колебания, которые можно считать гармоническими.

Гармоническими колебаниями называют такие колебательные движения, при которых смещение тела от положения равновесия совершается по закону синуса или косинуса:

Для иллюстрации физического смысла рассмотрим окружность, и будем вращать радиус ОК с угловой скоростью ω против часовой (7.1) стрелки. Если в начальный момент времени ОК лежал в горизонтальной плоскости, то через время t он сместится на угол. Если начальный угол отличен от нуля и равенφ 0 , тогда угол поворота будет равен Проекцияна ось ХО 1 равна . По мере вращения радиуса ОК изменяется величина проекции, и точкабудет совершать колебания относительно точки- вверх, вниз и т.д. При этом максимальное значение х равно А и называется амплитудой колебаний; ω - круговая или циклическая частота;- фаза колебаний;– начальная фаза. За один оборот точки К по окружности ее проекция совершит одно полное колебание и вернется в исходную точку.

Периодом Т называется время одного полного колебания. По истечению времени Т повторяются значения всех физических величин, характеризующих колебания. За один период колеблющаяся точка проходит путь, численно равный четырем амплитудам.

Угловая скорость определяется из условия, что за период Т радиус ОК сделает один оборот, т.е. повернется на угол 2π радиан:

Частота колебаний - число колебаний точки в одну секунду, т.е. частота колебаний определяется как величина, обратная периоду колебаний:

Пружынный маятник упругие силы.

Пружинный маятник состоит из пружины и массивного шара, насаженного на горизонтальный стержень, вдоль которого он может скользить. Пусть на пружине укреплен шарик с отверстием, который скользит вдоль направляющей оси (стержня). На рис. 7.2,а показано положение шара в состоянии покоя; на рис. 7.2,б - максимальное сжатие и на рис. 7.2,в -произвольное положение шарика.

Под действием возвращающей силы, равной силе сжатия, шарик будет совершать колебания. Сила сжатия F = -kx , где k - коэффициент жесткости пружины. Знак минус показывает, что направление силы F и смещение х противоположны. Потенциальная энергия сжатой пружины

кинетическая .

Для вывода уравнения движения шарика необходимо связать х и t. Вывод основывается на законе сохранения энергии. Полная механическая энергия равна сумме кинетической и потенциальной энергии системы. В данном случае:

. В положении б) :.

Так как в рассматриваемом движении выполняется закон сохранения механической энергии, можно записать:

. Определим отсюда скорость:

Но в свою очередь и, следовательно,. Разделим переменные. Интегрируя это выражение, получим:,

где - постоянная интегрирования. Из последнего следует, что

Таким образом, под действием упругой силы тело совершает гармонические колебания. Силы иной природы, чем упругие, но в которых выполняется условие F = -kx, называются квазиупругими. Под действием этих сил тела тоже совершают гармонические колебания. При этом:

Математический маятник.

Математическим маятником называется материальная точка, подвешенная на нерастяжимой невесомой нити, совершающая колебательное движение в одной вертикальной плоскости под действием силы тяжести.

Таким маятником можно считать тяжелый шар массой m, подвешенный на тонкой нити, длина l которой намного больше размеров шара. Если его отклонить на угол α (рис.7.3.) от вертикальной линии, то под влиянием силы F – одной из составляющих веса Р он будет совершать колебания. Другая составляющая , направленная вдоль нити, не учитывается, т.к. уравновешивается силой натяжения нити. При малых углах смещенияи, тогда координату х можно отсчитывать по горизонтальному направлению. Из рис.7.3 видно, что составляющая веса, перпендикулярная нити, равна

Знак минус в правой части означает то, что сила F направлена в сторону уменьшения угла α. С учетом малости угла α

Для вывода закона движения математического и физического маятников используем основное уравнение динамики вращательного движения

Момент силы относительно точки О: , и момент инерции:M = FL . Момент инерции J в данном случае Угловое ускорение:

С учетом этих величин имеем:

Его решение ,

Как видим, период колебаний математического маятника зависит от его длины и ускорения силы тяжести и не зависит от амплитуды колебаний.

Затухающие колебания.

Все реальные колебательные системы являются диссипативными. Энергия механических колебаний такой системы постепенно расходуется на работу против сил трения, поэтому свободные колебания всегда затухают - их амплитуда постепенно уменьшается. Во многих случаях, когда отсутствует сухое трение, в первом приближении можно считать, что при небольших скоростях движения силы, вызывающие затухание механических колебаниях, пропорциональны скорости. Эти силы, независимо от их происхождения, называют силами сопротивления.

Перепишем это уравнение в следующем виде:

и обозначим:

где представляет ту частоту, с которой совершались бы свободные колебания системы при отсутствии сопротивления среды, т.е. при r = 0. Эту частоту называют собственной частотой колебания системы; β - коэффициент затухания. Тогда

Будем искать решение уравнения (7.19) в виде где U - некоторая функция от t.

Продифференцируем два раза это выражение по времени t и, подставив значения первой и второй производных в уравнение (7.19), получим

Решение этого, уравнения существенным образом зависит от знака коэффициента, стоящего при U. Рассмотрим случай, когда этот коэффициент положительный. Введем обозначение тогда С вещественным ω решением этого уравнения, как мы знаем, является функция

Таким образом, в случае малого сопротивления среды , решением уравнения (7.19) будет функция

График этой функции показан на рис. 7.8. Пунктирными линиями показаны пределы, в которых находится смещение колеблющейся точки. Величину называют собственной циклической частотой колебаний диссипативной системы. Затухающие колебания представляют собой непериодические колебания, т.к, в них никогда не повторяются, например, максимальные значения смещения, скорости и ускорения. Величинуобычно называют периодом затухающих колебаний, правильнее - условным периодом затухающих колебаний,

Натуральный логарифм отношения амплитуд смещений, следующих друг за другом через промежуток времени, равный периоду Т, называют логарифмическим декрементом затухания.

Обозначим через τ промежуток времени, за который амплитуда колебаний уменьшается в е раз. Тогда

Следовательно, коэффициент затухания есть физическая величина, обратная промежутку времени τ, в течение которого амплитуда убывает в е раз. Величина τ называется временем релаксации.

Пусть N - число колебаний, после которых амплитуда уменьшается в е раз, Тогда

Следовательно, логарифмический декремент затухания δ есть физическая величина, обратная числу колебаний N, по истечению которого амплитуда убывает в е раз

Вынужденные колебания.

В случае вынужденных колебаний система колеблется под действием внешней (вынуждающей) силы, и за счет работы этой силы периодически компенсируются потери энергии системы. Частота вынужденных колебаний (вынуждающая частота) зависит от частоты изменения внешней силы Определим амплитуду вынужденных колебаний тела массой m, считая колебания незатухающими вследствие постоянно действующей силы .

Пусть эта сила изменяется со временем по закону , гдеамплитуда вынуждающей силы. Возвращающая силаи сила сопротивленияТогда второй закон Ньютона можно записать в следующем виде.

Инструкция

Рассмотрим функцию f(x) = |x|. Для начала этой без знака модуля, то есть график функции g(x) = x. Этот график является прямой, проходящей через начало координат и угол между этой прямой и положительным направлением оси абсцисс составляет 45 градусов.

Так как модуль величина неотрицательная, то ту часть , которая находится ниже оси абсцисс необходимо зеркально отобразить относительно нее. Для функции g(x) = x получим, что график после такого отображения станет похож на V. Этот новый график и будет являться графической интерпретацией функции f(x) = |x|.

Видео по теме

Обратите внимание

График модуля функции никогда не будет находится в 3 и 4 четверти, так как модуль не может принимать отрицательных значений.

Полезный совет

Если в функции присутствуют несколько модулей, то их нужно раскрывать последовательно, а затем накладывать друг на друга. Результат и будет искомым графиком.

Источники:

• как построить график функции с модулями

Задачи на кинематику, в которых необходимо вычислить скорость , время или путь равномерно и прямолинейно движущихся тел, встречаются в школьном курсе алгебры и физики. Для их решения найдите в условии величины, которые можно между собой уравнять. Если в условии требуется определить время при известной скорости, воспользуйтесь следующей инструкцией.

Вам понадобится

• - ручка;
• - бумага для записей.

Инструкция

Самый простой случай – движение одного тела с заданной равномерной скорость ю. Известно расстояние, которое тело прошло. Найдите в пути: t = S/v, час, где S – расстояние, v – средняя скорость тела.

Второй - на встречное движение тел. Из пункта А в пункт В движется автомобиль со скорость ю 50 км/ч. Навстречу ему из пункта B одновременно выехал мопед со скорость ю 30 км/час. Расстояние между пунктами А и В 100 км. Требуется найти время , через которое они встретятся.

Обозначьте точку встречи К. Пусть расстояние АК, которое автомобиль, будет х км. Тогда путь мотоциклиста составит 100-х км. Из условия задачи следует, что время в пути у автомобиля и мопеда одинаково. Составьте уравнение: х/v = (S-x)/v’, где v, v’ – и мопеда. Подставив данные, решите уравнение: x = 62,5 км. Теперь время : t = 62,5/50 = 1,25 часа или 1 час 15 минут.

Составьте уравнение, аналогично предыдущему. Но в этом случае время мопеда в пути будет на 20 минут , чем у автомобиля. Для уравнивания частей, вычтите одну треть часа из правой части выражения: х/v = (S-x)/v’-1/3. Найдите х – 56,25. Вычислите время : t = 56,25/50 = 1,125 часа или 1 час 7 минут 30секунд.

Четвертый пример – задача на движение тел в одном направлении. Автомобиль и мопед с теми же скоростями двигаются из точки А. Известно, что автомобиль выехал на полчаса позже. Через какое время он догонит мопед?

В этом случае одинаковым будет расстояние, которое проехали транспортные средства. Пусть время в пути автомобиля будет x часов, тогда время в пути мопеда будет x+0,5 часов. У вас получилось уравнение: vx = v’(x+0,5). Решите уравнение, подставив значение , и найдите x – 0,75 часа или 45 минут.

Пятый пример – автомобиль и мопед с теми же скоростями двигаются в одном направлении, но мопед выехал из точки В, находящейся на расстоянии 10 км от точки А, на полчаса раньше. Вычислить, через какое время после старта автомобиль догонит мопед.

Расстояние, которое проехал автомобиль, на 10 км больше. Прибавьте эту разницу к пути мотоциклиста и уравняйте части выражения: vx = v’(x+0,5)-10. Подставив значения скорости и решив его, вы получите : t = 1,25 часа или 1 час 15 минут.

Источники:

• какая скорость машины времени

Инструкция

Рассчитайте среднюю тела, движущегося равномерно на протяжении участка пути. Такая скорость вычисляется проще всего, поскольку она не изменяется на всем отрезке движения и равняется средней . Можно это в виде : Vрд = Vср, где Vрд – скорость равномерного движения , а Vср – средняя скорость .

Вычислите среднюю скорость равнозамедленного (равноускоренного) движения на данном участке, для чего необходимо сложить начальную и конечную скорость . Разделите на два полученный результат, который и являться средней скорость ю. Можно записать это более наглядно в качестве формулы: Vср = (Vн + Vк)/2, где Vн представляет