Лемма . Если сумма квадратов двух действительных чисел равна единице, то одно из этих чисел можно рассматривать как косинус, а другое как синус некоторого угла.

Другими словами, если а 2 + b 2 = 1 , то существует угол φ , такой, что

а = cos φ; b = sin φ.

Прежде чем доказывать эту лемму, поясним ее на следующем примере:

$$ (\frac{\sqrt3}{2})^2 + (\frac{1}{2}) = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1 $$

Поэтому существует угол φ , такой, что \(\frac{\sqrt3}{2} \) = cos φ ; 1 / 2 = sin φ .

В качестве φ в данном случае можно выбрать любой из углов 30°, 30° ± 360°, 30° ± 2 360° и т. д.

Доказательство леммы:

Рассмотрим вектор \(\vec{0А}\) с координатами (а, b ). Поскольку а 2 + b 2 = 1 , длина этого вектора равна 1. Но в таком случае его координаты должны быть равны cos φ и sin φ , где φ - угол, который образует данный вектор с осью абсцисс.

Итак, а = cos φ; b =sin φ , что и требовалось доказать.

Доказанная лемма позволяет преобразовать выражение a sin х + b cos х к более удобному для изучения виду.

Прежде всего вынесем за скобки выражение \(\sqrt{a^2 + b^2}\)

$$ a sinx + b cosx = \sqrt{a^2 + b^2}(\frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}sinx + \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}cosx) $$

Поскольку

$$ (\frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}})^2 + (\frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}})^2 = 1 $$

первое из чисел \(\frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} \) и \(\frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \) можно рассматривать как косинус некоторого угла φ , а второе - как синус того же угла φ :

$$ \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} = cos\phi, \;\; \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} = sin\phi $$

Но в таком случае

a sin х + b cos х = \(\sqrt{a^2 + b^2}\)(cos φ sin х + sin φ cos х) = \(\sqrt{a^2 + b^2}\) sin (x + φ)

a sin х + b cos х = \(\sqrt{a^2 + b^2}\) sin (x + φ) , где угол φ определяется из условий

$$ sin\phi = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \;\; cos\phi = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} $$

Примеры.

1) \(sin x + cos x = \sqrt2 (\frac{1}{\sqrt2} sin x + \frac{1}{\sqrt2}cos x) = \sqrt2 (cos\frac{\pi}{4}sin x + sin\frac{\pi}{4}cos x) =\\= \sqrt2(sinx + \frac{\pi}{4}) \)

Полученную формулу sin x + cos x = \(\sqrt2(sinx + \frac{\pi}{4})\) полезно запомнить.

2) Если одно из чисел а и b положительно, а другое отрицательно, то выражение
a sin х + b cos х удобнее преобразовывать не к синусу суммы, а к синусу разности двух углов. Так,

$$ 3sinx - 4cosx = \sqrt{9+16}(\frac{3}{\sqrt{9+16}}sinx - \frac{4}{\sqrt{9+16}}cosx) =\\= 5(sinx\cdot\frac{3}{5} - cosx\cdot\frac{4}{5}) = 5sin(x - \phi), $$

где под φ можно подразумевать любой угол, удовлетворяющий условиям:

cos φ = 3 / 5 , sin φ = 4 / 5

В частности, можно положить φ = arctg 4 / 3 . Тогда получим:

3 sin х - 4 cos x = 5 sin (x - arctg 4 / 3).

Формула дополнительного (вспомогательного) аргумента

Рассмотрим выражение вида

в котором числа и не равны нулю одновременно. Домножим и поделим каждое из слагаемых на и вынесем общий множитель за скобки:

Нетрудно проверить, что

а значит по Теореме 2 существует такой вещественный угол, что

Таким образом, используя формулу синуса суммы, получаем

где такой угол, что и, носит название формулы вспомогательного аргумента и используется при решении неоднородных линейных уравнений и неравенств.

Обратные тригонометрические функции

Определения

До сих пор мы решали задачу определения тригонометрических функций заданных углов. А что если стоит обратная задача: зная какую-либо тригонометрическую функцию определить соответствующий ей угол.

Арксинус

Рассмотрим выражение, где - известное вещественное число. По определению синуса это есть ордината точки пересечения луча, образующего угол с осью абсцисс и тригонометрической окружности. Таким образом, для решения уравнения надо найти точки пересечения прямой и тригонометрической окружности.

Очевидно, что при прямая и окружность не имеют общих точек, а значит и уравнение не имеет решений. То есть нельзя найти угол, синус которого был бы по модулю больше 1.

При прямая и окружность имеют точки пересечения, например, и (см. рис.). Таким образом, заданный синус будут иметь, и все углы, отличающиеся от них на целое количество полных оборотов, т.е. , - бесконечное множество углов. Как выбрать один угол среди этого бесконечного множества?

Чтобы однозначно определить угол, соответствующий числу, приходится требовать выполнения дополнительного условия: этот угол должен принадлежать отрезку. Такой угол называют арксинусом числа. угол тригонометрическая функция тождество

Арксинусом действительного числа называется действительное число, синус которого равен. Такое число обозначают.

Арккосинус

Рассмотрим теперь уравнение вида. Для его решения необходимо найти на тригонометрической окружности все точки, имеющие абсциссу, т.е. точки пересечения с прямой. Как и в предыдущем случае при рассматриваемое уравнение не имеет решений. А если, имеются точки пересечения прямой и окружности, соответствующие бесконечному множеству углов, .

Чтобы однозначно определить угол, соответствующий данному косинусу, вводят дополнительное условие: этот угол должен принадлежать отрезку; такой угол называют арккосинусом числа.

Арккосинусом действительного числа называется действительное число, косинус которого равен. Такое число обозначают.

Арктангенс и арккотангенс

Рассмотрим выражение. Для его решения надо найти на окружности все точки пересечения с прямой, угловой коэффициент которой равен тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс. Такая прямая при всех действительных значениях пересекает тригонометрическую окружность в двух точках. Эти точки симметричны относительно начала координат и соответствуют углам, .

Для однозначного определения угла с заданным тангенсом его выбирают из интервала.

Арктангенсом произвольного действительного числа называется действительное число, тангенс которого равен. Такое число обозначают.

Для определения арккотангенса угла используются аналогичные рассуждения, с той лишь разницей, что рассматривается пересечение окружности с прямой и угол выбирается из интервала.

Арккотангенсом произвольного действительного числа называется действительное число, котангенс которого равен. Такое число обозначают.

Свойства обратных тригонометрических функций

Область определения и область значения

Четность/нечетность

Преобразование обратных тригонометрических функций

Для преобразования выражений, содержащих обратные тригонометрические функции, часто используются свойства, следующие из определения этих функций:

Для любого действительного числа выполняется

и наоборот:

Аналогично для любого действительного числа выполняется

и наоборот:

Графики тригонометрических и обратных тригонометрических функций

Графики тригонометрических функций

Начнем с построения графика функции на отрезке. Для этого воспользуемся определением синуса на тригонометрической окружности. Разделим тригонометрическую окружность на (в данном случае 16) равных частей и разместим рядом систему координат, где отрезок на оси также разделен на равных частей. Проводя прямые линии параллельно оси через точки деления окружности, мы на пересечении этих прямых с перпендикулярами, восстановленными из соответствующих точек деления на оси, получаем точки, координаты которых по определению равны синусам соответствующих углов. Проводя через эти точки плавную кривую, получим график функции для. Для получения графика функции на всей числовой прямой используют периодичность синуса: , .

Для получения графика функции воспользуемся формулой приведения. Таким образом, график функции получается из графика функции путем параллельного переноса влево на отрезок длиной.

Использование графиков тригонометрических функций дает еще один простой способ получения формул приведения. Рассмотрим несколько примеров.

Упростим выражение. На оси обозначим угол и обозначим его синус и косинус за и соответственно. Найдем на оси угол и восстановим перпендикуляр до пересечения с графиком синуса. Из рисунка очевидно, что.

Задание: упростить выражение.

Перейдем к построению графика функции. Сначала вспомним, что для угла тангенсом является длина отрезка АВ . По аналогии с построением графика синуса, разбивая правую полуокружность на равные части и откладывая получившиеся значения тангенсов получаем график, изображенный на рисунке. Для остальных значений график получается с использованием свойства периодичности тангенса, .

Пунктирными линиями на графике изображены асимптоты. Асимптотой кривой называется прямая, к которой кривая приближается сколь угодно близко при удалении в бесконечность, но не пересекает ее.

Для тангенса асимптотами являются прямые, появление которых связано с обращением в этих точках в ноль.

С использованием аналогичных рассуждений получается график функции. Для него асимптотами являются прямые, . Этот график можно получить и воспользовавшись формулой приведения, т.е. преобразованием симметрии относительно оси и сдвигом на вправо.

Свойства тригонометрических функций

Графики обратных тригонометрических функций

Сначала введем понятие обратной функции.

Если функция монотонно возрастает или убывает, то для нее существует обратная функция . Для построения графика обратной функции график следует подвергнуть преобразованию симметрии относительно прямой. На рисунки приведен пример получения графика обратной функции.

Поскольку функции арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс являются обратными к функция синус, косинус, тангенс и котангенс соответственно, их графики получаются описанным выше преобразованием. Графики исходных функций на рисунках закрашены.

Из приведенных выше рисунков очевидно одно из основных свойств обратных тригонометрических функций: сумма ко-функций одного и того же числа дает.

Тема: «Методы решения тригонометрических уравнений».

Цели урока:

образовательные:

Сформировать навыки различать виды тригонометрических уравнений;

Углубление понимания методов решения тригонометрических уравнений;

воспитательные:

Воспитание познавательного интереса к учебному процессу;

Формирование умения анализировать поставленную задачу;

развивающие:

Формировать навык проводить анализ ситуации с последующим выбором наиболее рационального выхода из нее.

Оборудование: плакат с основными тригонометрическими формулами, компьютер, проектор, экран.

Начнем урок с повторения основного приема решения любого уравнения: сведение его к стандартному виду. Путем преобразований линейные уравнения сводят к виду ах = в, квадратные – к виду ax 2 + bx + c =0. В случае тригонометрических уравнений необходимо свести их к простейшим, вида: sinx = a , cosx = a , tgx = a , которые легко можно решить.

В первую очередь, конечно, для этого необходимо использовать основные тригонометрические формулы, которые представлены на плакате: формулы сложения, формулы двойного угла, понижения кратности уравнения. Мы уже умеем решать такие уравнения. Повторим некоторые из них:

Вместе с тем существуют уравнения, решение которых требует знаний некоторых специальных приемов.

Темой нашего урока является рассмотрение этих приемов и систематизация методов решения тригонометрических уравнений.

Методы решения тригонометрических уравнений.

1. Преобразование к квадратному уравнению относительно какой-либо тригонометрической функции с последующей заменой переменной.

Рассмотрим каждый из перечисленных методов на примерах, но более подробно остановимся на двух последних, так как два первых мы уже использовали при решении уравнений.

1. Преобразование к квадратному уравнению относительно какой-либо тригонометрической функции.

2. Решение уравнений методом разложения на множители.

3. Решение однородных уравнений.

Однородными уравнениями первой и второй степени называются уравнения вида:

соответственно (а ≠ 0, b ≠ 0, с ≠ 0).

При решении однородных уравнений почленно делят обе части уравнения на cosx для (1) уравнения и на cos 2 x для (2). Такое деление возможно, так как sinx и cosx не равны нулю одновременно – они обращаются в нуль в разных точках. Рассмотрим примеры решения однородных уравнений первой и второй степени.

Запомним это уравнение: при рассмотрении следующего метода – введение вспомогательного аргумента, решим его другим способом.

4. Введение вспомогательного аргумента.

Рассмотрим уже решенное предыдущим методом уравнение:

Как видим, получается тот же результат.

Рассмотрим еще один пример:

В рассмотренных примерах было, в общем, понятно, на что требуется разделить исходное уравнение, чтобы ввести вспомогательный аргумент. Но может случиться, что не очевидно, какой делитель выбрать. Для этого существует специальная методика, которую мы сейчас и рассмотрим в общем виде. Пусть дано уравнение:

Разделим уравнение на квадратный корень из выражения (3), получим:

asinx + bcosx = c ,

тогда a 2 + b 2 = 1 и, следовательно, a = sinx и b = cosx . Используя формулу косинуса разности, получим простейшее тригонометрическое уравнение:

которое легко решается.

Решим еще одно уравнение:

Сведем уравнение к одному аргументу – 2 x с помощью формул двойного угла и понижения степени:

Аналогично предыдущим уравнениям, используя формулу синуса суммы, получаем:

что тоже легко решается.

Решите самостоятельно, определив предварительно метод решения:

Итогом урока является проверка решения и оценка учащихся.

Домашнее задание: п. 11, конспект, № 164(б, г), 167(б, г), 169(а, б), 174(а, в).

Элементарные тригонометрические уравнения --- это уравнения вида, где --- одна из тригонометрических функций: , .

Элементарные тригонометрические уравнения имеют бесконечно много корней. Например, уравнению удовлетворяют следующие значения: , и т. д. Общая формула по которой находятся все корни уравнения, где, такова:

Здесь может принимать любые целые значения, каждому из них соответствует определенный корень уравнения; в этой формуле (равно как и в других формулах, по которым решаются элементарные тригонометрические уравнения) называют параметром . Записывают обычно, подчеркивая тем самым, что параметр принимать любые целые значения.

Решения уравнения, где, находятся по формуле

Уравнение решается применяя формулу

а уравнение --- по формуле

Особо отметим некоторые частные случаи элементраных тригонометрических уравнений, когда решение может быть записано без применения общих формул:

При решении тригонометрических уравнений важную роль играет период тригонометрических функций. Поэтому приведем две полезные теоремы:

Теорема Если --- основной период функции, то число является основным периодом функции.

Периоды функций и называются соизмеримыми, если существуют натуральные числа и, что.

Теорема Если периодические функции и, имеют соизмеримые и, то они имеют общий период, который является периодом функций, .

В теореме говорится о том, что является периодом функции, и не обязательно является основным периодом. Например, основной период функций и --- , а основной период их произведения --- .

Введение вспомогательного аргумента

Стандартным путем преобразования выражений вида является следующий прием: пусть --- угол, задаваемый равенствами, . Для любых и такой угол существует. Таким образом. Если, или, в других случаях.

Схема решения тригонометрических уравнений

Основная схема, которой мы будем руководствоваться при решении тригонометрических уравнений следующая:

решение заданного уравнения сводится к решению элементарных уравнений. Средства решения --- преобразования, разложения на множители, замена неизвестных. Ведущий принцип --- не терять корней. Это означает, что при переходе к следующему уравнению (уравнениям) мы не опасаемся появления лишних (посторонних) корней, а заботимся лишь о том, чтобы каждое последующее уравнение нашей "цепочки" (или совокупность уравнений в случае ветвления) являлось следствием предыдущего. Одним из возможных методов отбора корней является проверка. Сразу заметим, что в случае тригонометрических уравнений трудности, связанные с отбором корней, с проверкой, как правило, резко возрастают по сравнению с алгебраическими уравнениями. Ведь проверять приходится серии, состоящие из бесконечного числа членов.

Особо следует сказать о замене неизвестных при решении тригонометрических уравнений. В большинстве случаев после нужной замены получается алгебраическое уравнение. Более того, не так уж и редки уравнения, которые, хотя и являются тригонометрическими по внешнему виду, по существу таковыми не являются, поскольку уже после первого шага --- замены переменных --- превращаются в алгебраические, а возращение к тригонометрии происходит лишь на этапе решения элементарных тригонометрических уравнений.

Еще раз напомним: замену неизвестного следует делать при первой возможности, получившееся после замены уравнение необходимо решить до конца, включая этап отбора корней, а уж затем возвратится к первоначальному неизвестному.

Одна из особенностей тригонометрических уравнений заключается в том, что ответ во многих случаях может быть записан различными способами. Даже для решения уравнения ответ может быть записан следующим образом:

1) в виде двух серий: , ;

2) в стандартной форме представляющей собой объединение указанных выше серий: , ;

3) поскольку, то ответ можно записать в виде, . (В дальнейшем наличие параметра, или в записи ответа автоматически означает, что этот параметр принимает всевозможные целочисленные значения. Исключения будут оговариваться.)

Очевидно, что тремя перечисленными случаями не исчерпываются все возможности для записи ответа рассматриваемого уравнения (их бесконечно много).

Например, при справедливо равенство. Следовательно, в двух первых случаях, если, мы можем заменить на.

Обычно ответ записывается на основании пункта 2. Полезно запомнить следующую рекомендацию: если на решении уравнения работа не заканчивается, необходимо еще провести исследование, отбор корней, то наиболее удобна форма записи, указанная в пункте 1. (Аналогичную рекомендацию следует дать и для уравнения.)

Рассмотрим пример иллюстрирующий сказанное.

Пример Решить уравнение.

Решение. Наиболее очевидным является следующий путь. Данное уравнение распадается на два: и. Решая каждое из них и объединяя полученные ответы, найдем.

Другой путь. Поскольку, то, заменяя и по формулам понижения степени. После небольших преобразований получим, откуда.

На первый взгляд никаких особых преимуществ у второй формулы по сравнению с первой нет. Однако, если возьмем, например, то окажется, что, т.е. уравнение имеет решение, в то время как первый способ нас приводит к ответу. "Увидеть" и доказать равенство не так просто.

Конспект урока для 10-11 классов

Тема 1 : Метод введения вспомогательного аргумента. Вывод формул.

Цели:

Формирование знаний нового метода решения заданий по тригонометрии, в которых возможно или необходимо его применение;

Формирование умений анализировать условие задачи, сравнивать и находить различия;

Развитие мышления, логичности и обоснованности высказываний, умения делать выводы и обобщать;

Развитие речи, обогащение и усложнение словарного запаса, овладение учащимися выразительными свойствами языка;

Формирование отношения к предмету, увлеченности знаниями, создание условий для творческого нестандартного подхода к овладению знаниями.

Необходимые знания, умения и навыки:

Уметь выводить тригонометрические формулы и использовать их в дальнейшей работе;

Уметь решать или иметь представление о способах решения тригонометрических заданий;

Знать основные тригонометрические формулы.

Уровень подготовленности учащихся для осознанного восприятия:

Оборудование: АРМ, презентация с условиями заданий, решениями и необходимыми формулами, карточки с заданиями и ответами.

Структура урока:

1. Постановка цели урока (2

Подготовка к изучению нового материала(12 мин).

Ознакомление с новым материалом (15 мин).

Первичное осмысление и применение изученного (10 мин).

Постановка домашнего задания (3 мин).

Подведение итогов урока (3 мин).

Ход урока.

1. Постановка цели урока.

Проверить готовность учащихся и оборудования к уроку. Желательно заблаговременно подготовить домашнее задание на доске для обсуждения решения. Отметить, что цель урока расширить знания о методах решения некоторых заданий по тригонометрии и попробовать свои силы в их освоении.

2. Подготовка к изучению нового материала.

Обсудить домашнее задание: вспомнить основные тригонометрические формулы, значения тригонометрических функций для простейших аргументов. Повторить формулировку домашней задачи.

Формулы:

; ;

; ;

Задача: Представьте выражение в виде произведения.

Учащиеся, скорее всего, предложат следующее решение:

Т.к. им известны формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение.

Предложим другое решение поставленной задачи: . Здесь при решении использована формула косинуса разности двух аргументов, где является вспомогательным. Заметим, что в каждом из этих способов можно было использовать и другие аналогичные формулы.

3. Ознакомление с новым материалом.

Возникает вопрос, откуда же взялся вспомогательный аргумент?

Чтобы получить на него ответ рассмотрим общее решение задачи, преобразуем в произведение выражение , где и произвольные, отличные от нуля числа.

введем дополнительный угол (вспомогательный аргумент) , где , , тогда наше выражение примет вид:

Таким образом, мы получили формулу: .

Если угол ввести по формулам , , то выражение примет вид и мы получим другой вид формулы: .

Мы вывели формулы дополнительного угла, которые называют формулами вспомогательного аргумента:

Формулы могут иметь и другой вид (необходимо обратить на это особое внимание и показать на примерах).

Отметить, что в простейших случаях метод введения вспомогательного аргумента сводится к замене чисел ; ; ; ; 1; тригонометрическими функциями соответствующих углов.

4. Первичное осмысление и применение изученного .

Для закрепления материала предлагается рассмотреть еще несколько примеров задач:

Представьте в виде произведения выражения:

Задания 3 и 4 целесообразно разобрать в классе (разбор заданий присутствует в материалах для занятий). Задания 1, 2 и 5 можно взять для самостоятельного решения (даны ответы).

Для анализа особенностей условия типичных заданий, в которых может быть использован рассматриваемый метод решения, можно использовать различные способы. Заметим, что задание 1. можно выполнить различными способами, а для выполнения заданий 2 – 5 удобнее применить метод введения вспомогательного угла

В ходе фронтальной беседы следует обсудить, в чем сходство этих заданий с рассмотренным примером в начале урока, в чем различия, можно ли применить для их решения предложенный способ и почему его применение более удобно.

Сходство: во всех предложенных примерах возможно применить метод введения вспомогательного аргумента и это более удобный метод, приводящий сразу к результату.

Различие: в первом примере возможно применение другого подхода, а во всех остальных возможен метод применения вспомогательного аргумента с использованием не одной, а нескольких формул.

После обсуждения заданий можно предложить ребятам решить оставшиеся самостоятельно дома.

5. Постановка домашнего задания.

Дома предлагается внимательно изучить конспект урока и попробовать решить следующие упражнения.