Решение неравенств с параметром.
Неравенства, которые имеют вид ax > b, ax < b, ax ≥ b, ax ≤ b, где a и b – действительные числа или выражения, зависящие от параметров, а x – неизвестная величина, называются линейными неравенствами .
Принципы решения линейных неравенств с параметром очень схожи с принципами решения линейных уравнений с параметром.
Пример 1.
Решить неравенство 5х – а > ax + 3.
Решение.
Для начала преобразуем исходное неравенство:
5х – ах > a + 3, вынесем за скобки х в левой части неравенства:
(5 – а)х > a + 3. Теперь рассмотрим возможные случаи для параметра а:
Если a > 5, то x < (а + 3) / (5 – а).
Если а = 5, то решений нет.
Если а < 5, то x > (а + 3) / (5 – а).
Данное решение и будет являться ответом неравенства.
Пример 2.
Решить неравенство х(а – 2) / (а – 1) – 2а/3 ≤ 2х – а при а ≠ 1.
Решение.
Преобразуем исходное неравенство:
х(а – 2) / (а – 1) – 2х ≤ 2а/3 – а;
Ах/(а – 1) ≤ -а/3. Домножим на (-1) обе части неравенства, получим:
ах/(а – 1) ≥ а/3. Исследуем возможные случаи для параметра а:
1 случай. Пусть a/(а – 1) > 0 или а € (-∞; 0)ᴗ(1; +∞). Тогда x ≥ (а – 1)/3.
2 случай. Пусть a/(а – 1) = 0, т.е. а = 0. Тогда x – любое действительное число.
3 случай. Пусть a/(а – 1) < 0 или а € (0; 1). Тогда x ≤ (а – 1)/3.
Ответ: х € [(а – 1)/3; +∞) при а € (-∞; 0)ᴗ(1; +∞);
х € [-∞; (а – 1)/3] при а € (0; 1);
х € R при а = 0.
Пример 3.
Решить неравенство |1 + x| ≤ аx относительно х.
Решение.
Из условия следует, что правая часть неравенства ах должна быть не отрицательна, т.е. ах ≥ 0. По правилу раскрытия модуля из неравенства |1 + x| ≤ аx имеем двойное неравенство
Ах ≤ 1 + x ≤ аx. Перепишем результат в виде системы:
{аx ≥ 1 + x;
{-ах ≤ 1 + x.
Преобразуем к виду:
{(а – 1)x ≥ 1;
{(а + 1)х ≥ -1.
Исследуем полученную систему на интервалах и в точках (рис. 1) :
При а ≤ -1 х € (-∞; 1/(а – 1)].
При -1 < а < 0 x € [-1/(а – 1); 1/(а – 1)].
При а = 0 x = -1.
При 0 < а ≤ 1 решений нет.
Графический метод решения неравенств
Построение графиков значительно упрощает решение уравнений, содержащих параметр. Использование графического метода при решении неравенств с параметром еще нагляднее и целесообразнее.
Графическое решение неравенств вида f(x) ≥ g(x) означает нахождение значений переменной х, при которых график функции f(x) лежит выше графика функции g(x). Для этого всегда необходимо найти точки пересечения графиков (если они существуют).
Пример 1.
Решить неравенство |x + 5| < bx.
Решение.
Строим графики функций у = |x + 5| и у = bx (рис. 2)
. Решением неравенства будут те значения переменной х, при которых график функции у = |x + 5| будет находиться ниже графика функции у = bx.
На рисунке видно:
1) При b > 1 прямые пересекаются. Абсцисса точки пересечения графиков этих функций есть решение уравнения х + 5 = bx, откуда х = 5/(b – 1). График у = bx находится выше при х из интервала (5/(b – 1); +∞), значит это множество и есть решение неравенства.
2) Аналогично находим, что при -1 < b < 0 решением является х из интервала (-5/(b + 1); 5/(b – 1)).
3) При b ≤ -1 x € (-∞; 5/(b – 1)).
4) При 0 ≤ b ≤ 1 графики не пересекаются, а значит, и решений у неравенства нет.
Ответ: x € (-∞; 5/(b – 1)) при b ≤ -1;
x € (-5/(b + 1); 5/(b – 1)) при -1 < b < 0;
решений нет при 0 ≤ b ≤ 1; x € (5/(b – 1); +∞) при b > 1.
Пример 2.
Решить неравенство а(а + 1)х > (a + 1)(a + 4).
Решение.
1) Найдем «контрольные » значения для параметра а: а 1 = 0, а 2 = -1.
2) Решим данное неравенство на каждом подмножестве действительных чисел: (-∞; -1); {-1}; (-1; 0); {0}; (0; +∞).
a) a < -1, из данного неравенства следует, что х > (a + 4)/a;
b) a = -1, тогда данное неравенство примет вид 0·х > 0 – решений нет;
c) -1 < a < 0, из данного неравенства следует, что х < (a + 4)/a;
d) a = 0, тогда данное неравенство имеет вид 0 · х > 4 – решений нет;
e) a > 0, из данного неравенства следует, что х > (a + 4)/a.
Пример 3.
Решить неравенство |2 – |x|| < a – x.
Решение.
Строим график функции у = |2 – |x|| (рис. 3)
и рассматриваем все возможные случаи расположения прямой у = -x + а.
Ответ: решений у неравенства нет при а ≤ -2;
x € (-∞; (а – 2)/2) при а € (-2; 2];
x € (-∞; (a + 2)/2) при a > 2.
При решении различных задач, уравнений и неравенств с параметрами открывается значительное число эвристических приемов, которые потом с успехом могут быть применены в любых других разделах математики.
Задачи с параметрами играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры. Именно поэтому, овладев методами решения задач с параметрами, вы успешно справитесь и с другими задачами.
Остались вопросы? Не знаете, как решать неравенства?
Чтобы получить помощь репетитора – .
Первый урок – бесплатно!
blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение
Самарской области средняя общеобразовательная
школа № 2 им. В. Маскина ж.-д. ст. Клявлино
муниципального района Клявлинский
Самарской области
« Уравнения
и
неравенства
с параметрами»
учебное пособие
Клявлино
« Уравнения и неравенства с параметрами» для учащихся 10 –11 классов
данное пособие является приложением к программе элективного курса «Уравнения и неравенства с параметрами», которая прошла внешнюю экспертизу (научно-методическим экспертным советом министерства образования и науки Самарской области от 19 декабря 2008 года бала рекомендована к использованию в образовательных учреждениях Самарской области)
Ромаданова Ирина Владимировна
учитель математики МОУ Клявлинской средней общеобразовательной
школы № 2 им. В.Маскина Клявлинского района Самарской области
Сербаева Ирина Алексеевна
Введение……………………………………………………………3-4
Линейные уравнения и неравенства с параметрами……………..4-7
Квадратные уравнения и неравенства с параметрами……………7-9
Дробно- рациональные уравнения с параметрами……………..10-11
Иррациональные уравнения и неравенства с параметрами……11-13
Тригонометрические уравнения и неравенства с параметрами.14-15
Показательные уравнения и неравенства с параметрами………16-17
Логарифмические уравнения и неравенства с параметрами…...16-18
Задачи ЕГЭ………………………………………………………...18-20
Задания для самостоятельной работы…………………………...21-28
Введение.
Уравнения и неравенства с параметрами.
Если в уравнении или неравенстве некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами, то они называются параметрами, а само уравнение или неравенство параметрическим.
Для того, чтобы решить уравнение или неравенство с параметрами необходимо:
Выделить особое значение - это то значение параметра, в котором или при переходе через которое меняется решение уравнения или неравенства.
Определить допустимые значения – это значения параметра, при которых уравнение или неравенство имеет смысл.
Решить уравнение или неравенство с параметрами означает:
1) определить, при каких значениях параметров существуют решения;
2) для каждой допустимой системы значений параметров найти соответствующее множество решений.
Решить уравнение с параметром можно следующими методами: аналитическим или графическим.
Аналитический метод предполагает задачу исследования уравнения рассмотрением нескольких случаев, ни один из которых нельзя упустить.
Решение уравнения и неравенства с параметрами каждого вида аналитическим методом предполагает подробный анализ ситуации и последовательное исследование, в ходе которого возникает необходимость «аккуратного обращения» с параметром.
Графический метод предполагает построение графика уравнения, по которому можно определить, как влияет соответственно, на решение уравнения изменение параметра. График подчас позволяет аналитически сформулировать необходимые и достаточные условия для решения поставленной задач. Графический метод решения особенно эффективен тогда, когда нужно установить, сколько корней имеет уравнение в зависимости от параметра и обладает несомненным преимуществом увидеть это наглядно.
Линейное уравнение а x = b , записанное в общем виде, можно рассматривать как уравнение с параметрами, где x – неизвестное, a , b – параметры. Для этого уравнения особым или контрольным значением параметра является то, при котором обращается в нуль коэффициент при неизвестном.
При решении линейного уравнения с параметром рассматриваются случаи, когда параметр равен своему особому значению и отличен от него.
Особым значением параметра a является значение а = 0.
b = 0 является особым значением параметра b .
При b ¹ 0 уравнение решений не имеет.
При b = 0 уравнение примет вид: 0х = 0 . Решением данного уравнения является любое действительное число.
Неравенства вида ах > b и ax < b (а ≠ 0) называются линейными неравенствами. Множество решений неравенства ах > b – промежуток
(; +), если a > 0 , и (-;) , если а < 0 . Аналогично для неравенства
ах < b множество решений – промежуток (-;), если a > 0, и (; +), если а < 0.
Пример 1. Решить уравнение ах = 5
Решение : Это линейное уравнение.
Если а = 0 , то уравнение 0 × х = 5 решения не имеет.
Если а ¹ 0, х = - решение уравнения.
Ответ : при а ¹ 0, х=
при а = 0 решения нет.
Пример 2. Решить уравнение ах – 6 = 2а – 3х.
Переписав уравнение в виде (а+3)х = 2(а+3) , рассмотрим два случая:
а= -3 и а ¹ -3.
Если а= -3 , то любое действительное число х является корнем уравнения (1). Если же а ¹ -3 , уравнение (1) имеет единственный корень х = 2.
Ответ: При а = -3, х R ; при а ¹ -3, х = 2.
Пример 3. При каких значениях параметра а среди корней уравнения
2ах – 4х – а 2 + 4а – 4 = 0 есть корни больше 1 ?
Решение : Решим уравнение 2ах – 4х – а 2 + 4а – 4 = 0 – линейное уравнение
2(а - 2) х = а 2 – 4а +4
2(а - 2) х = (а – 2) 2
При а = 2 решением уравнения 0х = 0 будет любое число, в том числе и большее 1.
При а
¹
2 х =
.
По условию х > 1
, то есть
>1, а > 4.
Ответ: При а {2} U (4;∞).
Пример 4 . Для каждого значения параметра а найти количество корней уравнения ах=8.
Решение. ах = 8 – линейное уравнение.
y = a – семейство горизонтальных прямых;
y = - графиком является гипербола. Построим графики этих функций.
Ответ: Если а =0 , то уравнение решений не имеет. Если а ≠ 0 , то уравнение имеет одно решение.
Пример 5 . С помощью графиков выяснить, сколько корней имеет уравнение:
|х| = ах – 1.
y =| х | ,
y = ах – 1 – графиком является прямая, проходящая через точку (0;-1).
Построим графики этих функций.
Ответ:При|а|>1 - один корень
при | а| ≤1 – уравнение корней не имеет.
Пример 6 . Решить неравенство ах + 4 > 2х + а 2
Решение
:
ах + 4 > 2х + а
2
(а – 2) х >
а
2
– 4. Рассмотрим три случая.
Ответ. х > а + 2 при а > 2; х <а + 2, при а < 2; при а=2 решений нет.
§ 2. Квадратные уравнения и неравенства
Квадратное уравнение – это уравнение вида ах ² + b х + с = 0 , где а≠ 0,
а, b , с – параметры.
Для решения квадратных уравнений с параметром можно использовать стандартные способы решения на применение следующих формул:
1
)
дискриминанта квадратного уравнения:
D
=
b
² - 4
ac
,
(
²-
ас)
2)
формул корней квадратного уравнения:
х
1
=
, х
2
=
,
(х
1,2 =
)
Квадратными называются неравенства вида
a х 2 + b х + с > 0, a х 2 + b х + с< 0, (1), (2)
a х 2 + b х + с ≥ 0, a х 2 + b х + с ≤ 0, (3), (4)
Множество решений неравенства (3) получается объединением множеств решений неравенства (1) и уравнения , a х 2 + b х + с=0. Аналогично находится множество решений неравенства (4).
Если дискриминант квадратного трехчлена a х 2 + b х + с меньше нуля, то при а >0 трехчлен положителен при всех х R .
Если квадратный трехчлен имеет корни (х
1
< х
2
), то при а > 0 он положителен на множестве
(-;
х
2
)
(х
2;
+)
и отрицателен на интервале
(х
1
; х
2
). Если а < 0, то трехчлен положителен на интервале (х
1
; х
2
) и отрицателен при всех х (-;
х
1
)
(х
2;
+).
Пример 1. Решить уравнение ах² - 2 (а – 1)х – 4 = 0 .
Это квадратное уравнение
Решение : Особое значение а = 0.
При а = 0 получим линейное уравнение 2х – 4 = 0 . Оно имеет единственный корень х = 2.
При а ≠ 0. Найдем дискриминант.
D = (а-1)² + 4а = (а+1)²
Если а = -1, то D = 0 – один корень.
Найдем корень, подставив вместо а = -1.
-х² + 4х – 4= 0, то есть х² -4х + 4 = 0, находим, что х=2.
Если
а ≠ - 1
, то
D
>0
. По формуле корней получим:
х=
;
х 1 =2, х 2 = -.
Ответ: При а=0 и а= -1 уравнение имеет один корень х = 2; при а ≠ 0 и
а ≠ - 1 уравнение имеет два корня х 1 =2, х 2 =-.
Пример 2. Найдите количество корней данного уравнения х²-2х-8-а=0 в зависимости от значений параметра а.
Решение. Перепишем данное уравнение в виде х²-2х-8=а
y = х²-2х-8 - графиком является парабола;
y =а - семейство горизонтальных прямых.
Построим графики функций.
Ответ: При а <-9 , уравнение решений не имеет; при а=-9, уравнение имеет одно решение; при а>-9 , уравнение имеет два решения.
Пример 3. При каких а неравенство (а – 3) х 2 – 2ах + 3а – 6 >0 выполняется для всех значений х?
Решение. Квадратный трехчлен положителен при всех значениях х, если
а-3 > 0 и D <0, т.е. при а, удовлетворяющих системе неравенств
,
откуда следует, что
a
> 6
.
Ответ. a > 6
§ 3. Дробно- рациональные уравнения с параметром,
сводящиеся к линейным
Процесс решения дробных уравнений выполняется по обычной схеме: дробное заменяется целым путем умножения обеих частей уравнения на общий знаменатель левой и правой его частей. После чего решается целое уравнение, исключая посторонние корни, то есть числа, которые обращают знаменатель в нуль.
В случае уравнений с параметром эта задача более сложная. Здесь, чтобы «исключить» посторонние корни, требуется найти значение параметра, обращающее общий знаменатель в нуль, то есть решить соответствующие уравнения относительно параметра.
Пример 1.
Решить уравнение
= 0
Решение: Д.З: х +2 ≠ 0 , х ≠ -2
х – а = 0, х = а.
Ответ: При а ≠ - 2, х=а
При а = -2 корней нет.
Пример 2
.
Решить уравнение
-
=
(1)
Это дробно- рациональное уравнение
Решение: Значение а = 0 является особым. При а = 0 уравнение теряет смысл и, следовательно, не имеет корней. Если а ≠ 0, то после преобразований уравнение примет вид: х² + 2 (1-а) х + а² - 2а – 3 = 0 (2) – квадратное уравнение.
Найдем дискриминант = (1 – а)² - (а² - 2а – 3)= 4, находим корни уравнения х 1 = а + 1, х 2 = а - 3.
При переходе от уравнения (1) к уравнению (2) расширилась область определения уравнения (1), что могло привести к появлению посторонних корней. Поэтому, необходима проверка.
Если х 1 +1=0, то есть (а+1) + 1= 0 , то а= -2. Таким образом,
при а= -2 , х 1 -
Если х 1 +2=0, то есть (а+1)+2=0, то а = - 3 . Таким образом, при а = - 3, х 1 - посторонний корень уравнения. (1).
Если х 2 +1=0, то есть (а – 3) + 1= 0 , то а = 2 . Таким образом, при а = 2 х 2 - посторонний корень уравнения (1).
Если х 2 +2=0, то есть (а – 3) + 2 = 0, то а=1 . Таким образом, при а = 1,
х 2 - посторонний корень уравнения (1).
В соответствии с этим при а = - 3 получаем х = - 3 – 3 = -6 ;
при а = - 2 х = -2 – 3= - 5;
при а = 1 х =1 + 1= 2;
при а = 2 х=2+1 = 3.
Можно записать ответ.
Ответ: 1) если а= -3, то х= -6; 2) если а= -2 , то х= -5 ; 3) если а= 0 , то корней нет; 4) если а= 1 , то х= 2; 5) если а=2 , то х=3 ; 6) если а ≠ -3, а ≠ -2, а ≠ 0, а≠ 1, а ≠ 2, то х 1 = а + 1, х 2 = а-3.
Уравнения и неравенства, в которых переменная содержится под знаком корня, называется иррациональным.
Решение иррациональных уравнений сводится к переходу от иррационального к рациональному уравнению путем возведения в степень обеих частей уравнения или замены переменной. При возведении обеих частей уравнения в четную степень возможно появление посторонних корней. Поэтому при использовании указанного метода следует проверить все найденные корни подстановкой в исходное уравнение, учитывая при этом изменения значений параметра.
Уравнение вида
=g
(x
) равносильно системе
Неравенство f (x ) ≥ 0 следует из уравнения f (x ) = g 2 (x ).
При решении иррациональных неравенств будем использовать следующие равносильные преобразования:
≤ g(x)
≥g(x)
Пример 1.
Решите уравнение
= х + 1 (3)
Решение:
По определению арифметического корня уравнение (3) равносильно системе
.
При а = 2 первое уравнение системы имеет вид 0 х = 5 , то есть не имеет решений.
При
а≠ 2 х=
.
Выясним, при каких значениях
а
найденное значение
х
удовлетворяет неравенству
х ≥ -1:
≥ - 1,
≥ 0,
откуда а ≤ или а > 2.
Ответ:
При
а≤, а > 2 х=
,
при
< а ≤ 2
уравнение решений не имеет.
Пример 2.
Решить уравнение
= а
(приложение 4)
Решение.
y
=
y = а – семейство горизонтальных прямых.
Построим графики функций.
Ответ : при а<0 –решений нет;
при а ≥ 0 – одно решение.
Пример 3
. Решим неравенство
(а+1)
<1.
Решение. О.Д.З. х ≤ 2 . Если а+1 ≤0 , то неравенство выполняется при всех допустимых значениях х . Если же а+1>0 , то
(а+1)
<1.
<
откуда
х (2-
2
Ответ.
х (- ;2 при а (-;-1,
х (2-
2
при а (-1;+).
§ 5. Тригонометрические уравнения и неравенства.
Приведем формулы решений простейших тригонометрических уравнений:
Sinx = a
x= (-1)
n
arcsin a+πn, n Z, ≤1, (1)
Cos x = a
x = ±arccos a + 2 πn, n Z, ≤1.
(2)
Если >1, то уравнения (1) и (2) решений не имеют.
tg x = a
x= arctg a + πn, n Z, aR
ctg x = a
x = arcctg a + πn, n Z, aR
Для каждого стандартного неравенства укажем множество решений:
1.
sin x > a
arcsin a + 2 πn
Z,
при a <-1, xR ; при a ≥ 1, решений нет.
2. . sin x < a
π - arcsin a + 2 πnZ,
при а≤-1, решений нет; при а >1, xR
3.
cos
x
>
a
-
arccos
a
+ 2
πn
<
x
<
arccos
a
+ 2
πn
,
n
Z
,
при а<-1, xR ; при a ≥ 1 , решений нет.
4. cos x arccos a+ 2 πnZ,
при а≤-1 , решений нет; при a > 1, x R
5. tg x > a, arctg a + πnZ
6. tg x < a, -π/2 + πn Z
Пример1. Найти а , при которых данное уравнение имеет решение:
Cos 2 x + 2(a-2)cosx + a 2 – 4a – 5 =0.
Решение. Запишем уравнение в виде
с os 2 x + (2 a -4) cosx +(a – 5)(а+1) =0, решая его как квадратное, получаем cosx = 5-а и cosx = -а-1.
Уравнение
cosx
= 5-
а
имеет решения при условии -1≤ 5-
а
≤1
4≤
а
≤ 6, а уравнение
cosx
= -
а-1
при условии -1≤ -1-
а
≤ 1
-2 ≤
а
≤0.
Ответ.
а
-2; 0
4; 6
Пример 2.
При каких
b
найдется а такое, что неравенство
+
b
> 0 выполняется при всех х ≠
πn
,
n
Z
.
Решение. Положим а = 0. Неравенство выполняется при b >0. Покажем теперь, что ни одно b ≤0 не удовлетворяет условиям задачи. Действительно, достаточно положить х = π /2, если а <0, и х = - π /2 при а ≥0.
Ответ. b> 0
§ 6. Показательные уравнения и неравенства
1. Уравнение
h
(x
)
f
( x
)
=
h
(x
)
g
( x
)
при
h
(x
) > 0 равносильно совокупности двух систем
и
2. В частном случае (h (x )= a ) уравнение а f (x ) = а g (x ) при а > 0, равносильно совокупности двух систем
и
3. Уравнение а f (x ) = b , где а > 0, a ≠1, b >0, равносильно уравнению
f (x )= log a b . Случай а =1 рассматриваем отдельно.
Решение простейших показательных неравенств основано на свойстве степени. Неравенство вида
f
(a
x
) > 0 при помощи замены переменной
t
=
a
x
сводится к решению системы неравенств
а затем к решению соответствующих простейших показательных неравенств.
При решении нестрого неравенства необходимо к множеству решений строгого неравенства присоединить корни соответствующего уравнения. Как и при решении уравнений во всех примерах, содержащих выражение а f (x ) , предполагаем а > 0. Случай а = 1 рассматриваем отдельно.
Пример 1
.
При каких
а
уравнение 8
х
=
имеет только положительные корни?
Решение.
По свойству показательной функции с основанием, большим единицы, имеем х>0
8
х
>1
>1
>0, откуда
a
(1,5;4).
Ответ. a (1,5;4).
Пример 2. Решить неравенство a 2 ∙2 x > a
Решение . Рассмотрим три случая:
1. а< 0 . Так как левая часть неравенства положительна, а правая отрицательна, то неравенство выполняется для любых хR .
2. a =0. Решений нет.
3.
а
> 0
.
a
2
∙2
x
> a
2
x
>
x > - log
2
a
Ответ. хR при а > 0; решений нет при a =0; х (- log 2 a ; +) при а> 0 .
§ 7. Логарифмические уравнения и неравенства
Приведем некоторые эквивалентности, используемые при решении логарифмических уравнений и неравенств.
1. Уравнение log f (x ) g (x ) = log f (x ) h (x ) равносильно системе
В частности, если а >0, а ≠1, то
log
a
g (x)= log
a
h(x)
2.
Уравнение
log
a
g (x)=b
g (x)=
a
b
(
а
>0,
a ≠
1, g(x) >0).
3. Неравенство
log
f
( x
)
g
(x
) ≤
log
f
( x
)
h
(x
) равносильно совокупности двух систем:
и
Если а, b – числа, а >0, а ≠1, то
log
a
f (x) ≤ b
log
a
f (x) > b
Пример 1.
Решите уравнение
Решение . Найдем ОДЗ: х > 0, х ≠ а 4 , a > 0, а ≠ 1. Преобразуем уравнение
logх – 2 = 4 –
log
a
x
logх +
log
a
x
– 6 = 0, откуда
log
a
x
= - 3
х =
а
-3
и
log
a
x
= 2
х =
а
2
. Условие х =
а
4
а
– 3
=
а
4
или
а
2
=
а
4
не выполняется на ОДЗ.
Ответ:
х =
а
-3
, х =
а
2
при
а
(0; 1)
(1; ).
Пример 2 . Найдите наибольшее значение а , при котором уравнение
2
log -
+
a
= 0 имеет решения.
Решение.
Выполним замену
=
t
и получим квадратное уравнение 2
t
2
–
t
+
a
= 0. Решая, найдем
D
= 1-8
a
. Рассмотрим
D
≥0, 1-8
а
≥0
а
≤.
При а = квадратное уравнение имеет корень t = >0.
Ответ. а =
Пример 3 . Решить неравенство log (x 2 – 2 x + a ) > - 3
Решение.
Решим систему неравенств
Корни квадратных трехчленов х
1,2
= 1 ±
и х
3,4
= 1 ±
.
Критические значения параметра: а = 1 и а = 9.
Пусть Х 1 и Х 2 – множества решений первого и второго неравенств, тогда
Х
1
Х
2
= Х – решение исходного неравенства.
При 0<
a
<1 Х
1
= (-
;1 -
)
(1 +
; +), при
а
> 1 Х
1
= (-;+).
При 0 <
a
< 9 Х
2
= (1 -
; 1 +
), при
а
≥9 Х
2
– решений нет.
Рассмотрим три случая:
1. 0<
a
≤1 Х = (1 -
;1 -
)
(1 +
;1 +
).
2. 1 <
a
< 9 Х = (1 -
;1 +
).
3. a ≥ 9 Х – решений нет.
Задачи ЕГЭ
Высокий уровень С1, С2
Пример 1. Найдите все значения р , при которых уравнение
р ∙ ctg 2 x + 2sinx + p = 3 имеет хотя бы один корень.
Решение. Преобразуем уравнение
р
∙ (
- 1) + 2sinx
+ p
= 3, sinx
=t
, t
, t
0.
- p + 2 t + p = 3, + 2 t = 3, 3 -2t = , 3t 2 – 2t 3 = p .
Пусть
f
(y
) = 3
t
2
– 2
t
3
. Найдем множество значений функции
f
(x
) на
. у
/
= 6
t
– 6
t
2
, 6
t
- 6
t
2
= 0,
t
1
=0,
t
2
= 1.
f
(-1) = 5,
f
(1) = 1.
При
t
,
E
(f
) =
,
При
t
,
E
(f
) =
, то есть при
t
,
E
(f
) =
.
Чтобы уравнение 3
t
2
– 2
t
3
=
p
(следовательно, и данное) имело хотя бы один корень необходимо и достаточно
p
E
(f
), то есть
p
.
Ответ.
.
Пример 2.
При каких значениях параметра
а
уравнение
log
(4
x
2
– 4
a
+
a
2
+7) = 2 имеет ровно один корень?
Решение. Преобразуем уравнение в равносильное данному:
4x 2 – 4a + a 2 +7 = (х 2 + 2) 2 .
Отметим, что если некоторое число х является корнем полученного уравнения, то число – х также является корнем этого уравнения. По условию это не выполнимо, поэтому единственным корнем является число 0.
Найдем а .
4∙ 0 2 - 4a + a 2 +7 = (0 2 + 2) 2 ,
a 2 - 4a +7 = 4, a 2 - 4a +3 = 0, a 1 = 1, a 2 = 3.
Проверка.
1)
a
1
= 1. Тогда уравнение имеет вид:
log
(4
x
2
+4) =2. Решаем его
4x 2 + 4 = (х 2 + 2) 2 , 4x 2 + 4 = х 4 + 4x 2 + 4, х 4 = 0, х = 0 – единственный корень.
2)
a
2
= 3. Уравнение имеет вид:
log
(4
x
2
+4) =2
х = 0 – единственный корень.
Ответ. 1; 3
Высокий уровень С4, С5
Пример 3. Найдите все значения р, при которых уравнение
х 2 – (р + 3)х + 1= 0 имеет целые корни и эти корни являются решениями неравенства: х 3 – 7р х 2 + 2х 2 – 14 р х - 3х +21 р ≤ 0.
Решение.
Пусть х
1,
х
2
– целые корни уравнения х
2
– (р
+ 3)х + 1= 0. Тогда по формуле Виета справедливы равенства х
1
+ х
2
=
р
+ 3, х
1
∙ х
2
= 1. Произведение двух целых чисел х
1
, х
2
может равняться единице только в двух случаях: х
1
= х
2
= 1 или х
1
= х
2
= - 1. Если х
1
= х
2
= 1, то
р
+ 3 = 1+1 = 2
р
= - 1; если х
1
= х
2
= - 1, то
р
+ 3 = - 1 – 1 = - 2
р
= - 5. Проверим являются ли корни уравнения х
2
– (р
+ 3)х + 1= 0 в описанных случаях решениями данного неравенства. Для случая
р
= - 1, х
1
= х
2
= 1 имеем
1 3 – 7 ∙ (- 1) ∙ 1 2 +2∙ 1 2 – 14 ∙ (- 1) ∙ 1 – 3 ∙ 1 + 21 ∙ (- 1) = 0 ≤ 0 – верно; для случая р = - 5, х 1 = х 2 = - 1 имеем (- 1) 3 – 7 ∙ (- 5) ∙ (-1) 2 + 2 ∙ (-1) 2 – 14 ∙ (-5) × (- 1) – 3 ∙ (- 1) + 21∙ (-5) = - 136 ≤ 0 – верно. Итак, условию задачи удовлетворяют только р = - 1 и р = - 5.
Ответ. р 1 = - 1 и р 2 = - 5.
Пример 4. Найдите все положительные значения параметра а , при которых число 1 принадлежит области определения функции
у
= (а
-
а
).
Решение неравенств с параметром.
Неравенства, которые имеют вид ax > b, ax < b, ax ≥ b, ax ≤ b, где a и b – действительные числа или выражения, зависящие от параметров, а x – неизвестная величина, называются линейными неравенствами .
Принципы решения линейных неравенств с параметром очень схожи с принципами решения линейных уравнений с параметром.
Пример 1.
Решить неравенство 5х – а > ax + 3.
Решение.
Для начала преобразуем исходное неравенство:
5х – ах > a + 3, вынесем за скобки х в левой части неравенства:
(5 – а)х > a + 3. Теперь рассмотрим возможные случаи для параметра а:
Если a > 5, то x < (а + 3) / (5 – а).
Если а = 5, то решений нет.
Если а < 5, то x > (а + 3) / (5 – а).
Данное решение и будет являться ответом неравенства.
Пример 2.
Решить неравенство х(а – 2) / (а – 1) – 2а/3 ≤ 2х – а при а ≠ 1.
Решение.
Преобразуем исходное неравенство:
х(а – 2) / (а – 1) – 2х ≤ 2а/3 – а;
Ах/(а – 1) ≤ -а/3. Домножим на (-1) обе части неравенства, получим:
ах/(а – 1) ≥ а/3. Исследуем возможные случаи для параметра а:
1 случай. Пусть a/(а – 1) > 0 или а € (-∞; 0)ᴗ(1; +∞). Тогда x ≥ (а – 1)/3.
2 случай. Пусть a/(а – 1) = 0, т.е. а = 0. Тогда x – любое действительное число.
3 случай. Пусть a/(а – 1) < 0 или а € (0; 1). Тогда x ≤ (а – 1)/3.
Ответ: х € [(а – 1)/3; +∞) при а € (-∞; 0)ᴗ(1; +∞);
х € [-∞; (а – 1)/3] при а € (0; 1);
х € R при а = 0.
Пример 3.
Решить неравенство |1 + x| ≤ аx относительно х.
Решение.
Из условия следует, что правая часть неравенства ах должна быть не отрицательна, т.е. ах ≥ 0. По правилу раскрытия модуля из неравенства |1 + x| ≤ аx имеем двойное неравенство
Ах ≤ 1 + x ≤ аx. Перепишем результат в виде системы:
{аx ≥ 1 + x;
{-ах ≤ 1 + x.
Преобразуем к виду:
{(а – 1)x ≥ 1;
{(а + 1)х ≥ -1.
Исследуем полученную систему на интервалах и в точках (рис. 1) :
При а ≤ -1 х € (-∞; 1/(а – 1)].
При -1 < а < 0 x € [-1/(а – 1); 1/(а – 1)].
При а = 0 x = -1.
При 0 < а ≤ 1 решений нет.
Графический метод решения неравенств
Построение графиков значительно упрощает решение уравнений, содержащих параметр. Использование графического метода при решении неравенств с параметром еще нагляднее и целесообразнее.
Графическое решение неравенств вида f(x) ≥ g(x) означает нахождение значений переменной х, при которых график функции f(x) лежит выше графика функции g(x). Для этого всегда необходимо найти точки пересечения графиков (если они существуют).
Пример 1.
Решить неравенство |x + 5| < bx.
Решение.
Строим графики функций у = |x + 5| и у = bx (рис. 2)
. Решением неравенства будут те значения переменной х, при которых график функции у = |x + 5| будет находиться ниже графика функции у = bx.
На рисунке видно:
1) При b > 1 прямые пересекаются. Абсцисса точки пересечения графиков этих функций есть решение уравнения х + 5 = bx, откуда х = 5/(b – 1). График у = bx находится выше при х из интервала (5/(b – 1); +∞), значит это множество и есть решение неравенства.
2) Аналогично находим, что при -1 < b < 0 решением является х из интервала (-5/(b + 1); 5/(b – 1)).
3) При b ≤ -1 x € (-∞; 5/(b – 1)).
4) При 0 ≤ b ≤ 1 графики не пересекаются, а значит, и решений у неравенства нет.
Ответ: x € (-∞; 5/(b – 1)) при b ≤ -1;
x € (-5/(b + 1); 5/(b – 1)) при -1 < b < 0;
решений нет при 0 ≤ b ≤ 1; x € (5/(b – 1); +∞) при b > 1.
Пример 2.
Решить неравенство а(а + 1)х > (a + 1)(a + 4).
Решение.
1) Найдем «контрольные » значения для параметра а: а 1 = 0, а 2 = -1.
2) Решим данное неравенство на каждом подмножестве действительных чисел: (-∞; -1); {-1}; (-1; 0); {0}; (0; +∞).
a) a < -1, из данного неравенства следует, что х > (a + 4)/a;
b) a = -1, тогда данное неравенство примет вид 0·х > 0 – решений нет;
c) -1 < a < 0, из данного неравенства следует, что х < (a + 4)/a;
d) a = 0, тогда данное неравенство имеет вид 0 · х > 4 – решений нет;
e) a > 0, из данного неравенства следует, что х > (a + 4)/a.
Пример 3.
Решить неравенство |2 – |x|| < a – x.
Решение.
Строим график функции у = |2 – |x|| (рис. 3)
и рассматриваем все возможные случаи расположения прямой у = -x + а.
Ответ: решений у неравенства нет при а ≤ -2;
x € (-∞; (а – 2)/2) при а € (-2; 2];
x € (-∞; (a + 2)/2) при a > 2.
При решении различных задач, уравнений и неравенств с параметрами открывается значительное число эвристических приемов, которые потом с успехом могут быть применены в любых других разделах математики.
Задачи с параметрами играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры. Именно поэтому, овладев методами решения задач с параметрами, вы успешно справитесь и с другими задачами.
Остались вопросы? Не знаете, как решать неравенства?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. Некоторые Вузы также включают в экзаменационные билеты уравнения, неравенства и их системы, которые часто бывают весьма сложными и требующими нестандартного подхода к решению. В школе же этот один из наиболее трудных разделов школьного курса математики рассматривается только на немногочисленных факультативных занятиях.
Готовя данную работу, я ставил цель более глубокого изучения этой темы, выявления наиболее рационального решения, быстро приводящего к ответу. На мой взгляд графический метод является удобным и быстрым способом решения уравнений и неравенств с параметрами.
В моём реферате рассмотрены часто встречающиеся типы уравнений, неравенств и их систем, и, я надеюсь, что знания, полученные мной в процессе работы, помогут мне при сдаче школьных экзаменов и при поступлении а ВУЗ.
§ 1. Основные определения
Рассмотрим уравнение
¦(a, b, c, …, k, x)=j(a, b, c, …, k, x), (1)
где a, b, c, …, k, x -переменные величины.
Любая система значений переменных
а = а0, b = b0, c = c0, …, k = k0, x = x0,
при которой и левая и правая части этого уравнения принимают действительные значения, называется системой допустимых значений переменных a, b, c, …, k, x. Пусть А – множество всех допустимых значений а, B – множество всех допустимых значений b, и т.д., Х – множество всех допустимых значений х, т.е. аÎА, bÎB, …, xÎX. Если у каждого из множеств A, B, C, …, K выбрать и зафиксировать соответственно по одному значению a, b, c, …, k и подставить их в уравнение (1), то получим уравнение относительно x, т.е. уравнение с одним неизвестным.
Переменные a, b, c, …, k, которые при решении уравнения считаются постоянными, называются параметрами, а само уравнение называется уравнением, содержащим параметры.
Параметры обозначаются первыми буквами латинского алфавита: a, b, c, d, …, k, l, m, n а неизвестные – буквами x, y,z.
Решить уравнение с параметрами – значит указать, при каких значениях параметров существуют решения и каковы они.
Два уравнения, содержащие одни и те же параметры, называются равносильными, если:
а) они имеют смысл при одних и тех же значениях параметров;
б) каждое решение первого уравнения является решением второго и наоборот.
§ 2. Алгоритм решения.
Находим область определения уравнения.
Выражаем a как функцию от х.
В системе координат хОа строим график функции а=¦(х) для тех значений х, которые входят в область определения данного уравнения.
Находим точки пересечения прямой а=с, где сÎ(-¥;+¥) с графиком функции а=¦(х).Если прямая а=с пересекает график а=¦(х), то определяем абсциссы точек пересечения. Для этого достаточно решить уравнение а=¦(х) относительно х.
Записываем ответ.
I. Решить уравнение
(1)Поскольку х=0 не является корнем уравнения, то можно разрешить уравнение относительно а:
илиГрафик функции – две “склеенных” гиперболы. Количество решений исходного уравнения определяется количеством точек пересечения построенной линии и прямой у=а.
Если а Î (-¥;-1]È(1;+¥)È
, то прямая у=а пересекает график уравнения (1) в одной точке. Абсциссу этой точки найдем при решении уравнения относительно х.Таким образом, на этом промежутке уравнение (1) имеет решение
. , то прямая у=а пересекает график уравнения (1) в двух точках. Абсциссы этих точек можно найти из уравнений и , получаем и . , то прямая у=а не пересекает график уравнения (1), следовательно решений нет.Если а Î (-¥;-1]È(1;+¥)È
, то ; , то , ; , то решений нет.II. Найти все значения параметра а, при которых уравнение
имеет три различных корня.Переписав уравнение в виде
и рассмотрев пару функций , можно заметить, что искомые значения параметра а и только они будут соответствовать тем положениям графика функции , при которых он имеет точно три точки пересечения с графиком функции .В системе координат хОу построим график функции
). Для этого можно представить её в виде и, рассмотрев четыре возникающих случая, запишем эту функцию в видеПоскольку график функции
– это прямая, имеющая угол наклона к оси Ох, равный , и пересекающая ось Оу в точке с координатами (0 , а), заключаем, что три указанные точки пересечения можно получить лишь в случае, когда эта прямая касается графика функции . Поэтому находим производную .III. Найти все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений
имеет решения.
Из первого уравнения системы получим
при Следовательно, это уравнение задаёт семейство “полупарабол” - правые ветви параболы “скользят” вершинами по оси абсцисс.Выделим в левой части второго уравнения полные квадраты и разложим её на множители