Тема свойства действий с рациональными числами. Умножение взаимообратных чисел

)- это числа с положительным или отрицательным знаком (целые и дробные) и ноль. Более точное понятие рациональных чисел, звучит так:

Рациональное число — число, которое представляется обычной дробью m/n , где числитель m — целые числа, а знаменатель n — натуральные числа, к примеру 2/3 .

Бесконечные непериодические дроби НЕ входят в множество рациональных чисел.

a/b , где a ∈ Z (a принадлежит целым числам), b ∈ N (b принадлежит натуральным числам).

Использование рациональных чисел в реальной жизни.

В реальной жизни множество рациональных чисел используется для счёта частей некоторых целых делимых объектов, например , тортов или других продуктов, которые разрезаются на части перед употреблением, или для грубой оценки пространственных отношений протяжённых объектов.

Свойства рациональных чисел.

Основные свойства рациональных чисел.

1. Упорядоченность a и b есть правило, которое позволяет однозначно идентифицировать между ними 1-но и только одно из 3-х отношений: «<», «>» либо «=». Это правило - правило упорядочения и формулируют его вот так:

• 2 положительных числа a=m a /n a и b=m b /n b связаны тем же отношением, что и 2 целых числа m a ⋅ n b и m b ⋅ n a ;
• 2 отрицательных числа a и b связаны одним отношением, что и 2 положительных числа |b| и |a| ;
• когда a положительно, а b — отрицательно, то a>b .

∀ a,b ∈ Q (a∨ a>b ∨ a=b)

2. Операция сложения . Для всех рациональных чисел a и b есть правило суммирования , которое ставит им в соответствие определенное рациональное число c . При этом само число c - это сумма чисел a и b и ее обозначают как (a+b) суммирование .

Правило суммирования выглядит так:

m a /n a +m b /n b =(m a ⋅ n b +m b ⋅ n a) /(n a ⋅ n b).

∀ a,b ∈ Q ∃ !(a+b) ∈ Q

3. Операция умножения . Для всяких рациональных чисел a и b есть правило умножения , оно ставит им в соответствие определенное рациональное число c . Число c называют произведением чисел a и b и обозначают (a⋅b) , а процесс нахождения этого числа называют умножение .

Правило умножения выглядит так: m a n a ⋅ m b n b =m a ⋅ m b n a ⋅ n b .

∀a,b∈Q ∃(a⋅b)∈Q

4. Транзитивность отношения порядка. Для любых трех рациональных чисел a , b и c если a меньше b и b меньше c , то a меньше c , а если a равно b и b равно c , то a равно c .

∀ a,b,c ∈ Q (a∧ b⇒ a∧ (a = b ∧ b = c ⇒ a = c)

5. Коммутативность сложения . От перемены мест рациональных слагаемых сумма не изменяется.

∀ a,b ∈ Q a+b=b+a

6. Ассоциативность сложения . Порядок сложения 3-х рациональных чисел не оказывает влияния на результат.

∀ a,b,c ∈ Q (a+b)+c=a+(b+c)

7. Наличие нуля . Есть рациональное число 0, оно сохраняет всякое другое рациональное число при складывании.

∃ 0 ∈ Q ∀ a ∈ Q a+0=a

8. Наличие противоположных чисел . У любого рационального числа есть противоположное рациональное число, при их сложении получается 0.

∀ a ∈ Q ∃ (−a) ∈ Q a+(−a)=0

9. Коммутативность умножения . От перемены мест рациональных множителей произведение не изменяется.

∀ a,b ∈ Q a ⋅ b=b ⋅ a

10. Ассоциативность умножения . Порядок перемножения 3-х рациональных чисел не имеет влияния на итог.

∀ a,b,c ∈ Q (a ⋅ b) ⋅ c=a ⋅ (b ⋅ c)

11. Наличие единицы . Есть рациональное число 1, оно сохраняет всякое другое рациональное число в процессе умножения.

∃ 1 ∈ Q ∀ a ∈ Q a ⋅ 1=a

12. Наличие обратных чисел . Всякое рациональное число, отличное от нуля имеет обратное рациональное число, умножив на которое получим 1.

∀ a ∈ Q ∃ a−1 ∈ Q a ⋅ a−1=1

13. Дистрибутивность умножения относительно сложения . Операция умножения связана со сложением при помощи распределительного закона:

∀ a,b,c ∈ Q (a+b) ⋅ c=a ⋅ c+b ⋅ c

14. Связь отношения порядка с операцией сложения . К левой и правой частям рационального неравенства прибавляют одно и то же рациональное число.

∀ a,b,c ∈ Q a⇒ a+c

15. Связь отношения порядка с операцией умножения . Левую и правую части рационального неравенства можно умножить на одинаковое неотрицательное рациональное число.

∀ a,b,c ∈ Q c>0 ∧ a⇒ a ⋅ c⋅ c

16. Аксиома Архимеда . Каким бы ни было рациональное число a , легко взять столько единиц, что их сумма будет больше a .

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний с применением компьютерных технологий.

Цели урока:

• Образовательные :
  • совершенствовать навыки решения примеров и уравнений по теме «Свойства действий с рациональными числами»;
  • закрепить умения выполнять арифметические действия над рациональными числами;
  • проверить умение использовать свойства арифметических действий для упрощения выражений с рациональными числами;
  • обобщить и систематизировать теоретический материал.
• Развивающие :
  • развивать навыки устного счёта;
  • развивать логическое мышление;
  • формировать умения чётко и ясно излагать свои мысли;
  • развивать математическую речь учащихся в процессе выполнения устной работы по воспроизведению теоретического материала;
  • расширить кругозор учащихся.
• Воспитательные :
  • воспитывать умение работать с имеющейся информацией;
  • воспитывать уважение к предмету;
  • воспитывать умение слушать своего товарища, чувство взаимопомощи и взаимоподдержки;
  • способствовать воспитанию самоконтроля и взаимоконтроля учащихся.

Оборудование и наглядность: компьютер, мультимедийный проектор, экран, интерактивная презентация, сигнальные карточки для устного счета, цветные мелки.

Структура урока:

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

II. Сообщение темы и целей урока

Проверка готовности учащихся к уроку. Сообщение учащимся целей и плана урока.

– Тема нашего урока: «Свойства действий с рациональными числами», а девиз урока я прошу вас прочитать хором:

Да, путь познания не гладок.
Но знаем мы со школьных лет,
Загадок больше, чем разгадок,
И поискам предела нет!

И сегодня мы с вами на уроке дружно и активно создадим математическую газету. Я – буду главным редактором, а вы – корректорами. Как вы понимаете значение этого слова?
Чтобы проверить других, нам необходимо систематизировать свои знания по теме «Свойства действий с рациональными числами».

А газета наша называется «Рациональные числа». А в переводе на татарский язык?
Я слышала, что вы хорошо знаете и английский язык, а как англичане назовут эту газету?
Представляю вам макет газеты, которая состоит из следующих рубрик: чтение хором: «Спрашивают – отвечаем », «Новости дня », «Аукцион проектов », «Актуальный репортаж », «А знаете ли вы…?» .

III. Актуализация опорных знаний

Устная работа:

В первой рубрике «Спрашивают – отвечаем» нам нужно проверить правильность информации, которую нам прислали в письмах наши корреспонденты. Посмотрите внимательно и скажите, какие правила нам нужно вспомнить, чтобы проверить эту информацию.

1.Правило сложения отрицательных чисел:

«Чтобы сложить два отрицательных числа, надо: 1) сложить их модули, 2) поставить перед полученным числом знак минус».

2. Правило деления чисел с разными знаками:

«При делении чисел с разными знаками, надо: 1) разделить модуль делимого на модуль делителя, 2) поставить перед полученным числом знак минус».

3. Правило умножения двух отрицательных чисел:

«Чтобы перемножить два отрицательных числа, надо перемножить их модули».

4. Правило умножения чисел с разными знаками:

«Чтобы перемножить два числа с разными знаками, надо перемножить модули этих чисел и поставить перед полученным числом знак минус».

5. Правило деления отрицательного числа на отрицательное число:

«Чтобы разделить отрицательное число на отрицательное число, надо разделить модуль делимого на модуль делителя».

6. Правило сложения чисел с разными знаками:

«Чтобы сложить два числа с разными знаками, надо 1) из большего модуля слагаемых вычесть меньший, 2) поставить перед полученным числом знак того слагаемого, модуль которого больше.

1) – 8,4 + (– 8,4) = 0; (– 16,8)
2) (– 6,7) . (– 10) = – 67; (67)
3) (– 2,2) + 3,5 = 1,3;
4) – 13 – 8 = – 5; (– 21)
5) 15 – 18 = – 13; (– 3)
6) 7,4 – (– 3,2) = – 10,6; (10,6)
7) – 9 . 6 = – 54;
8) – 3,6 . 1 = –1; (– 3,6)
9) – 18: (– 0,3) = 60;
10) – 3,7 . 0 = – 3,7. (0)

– Молодцы, хорошо справились.

IV. Закрепление пройденного материала

– А сейчас мы переходим к рубрике «Новости дня ». Чтобы заполнить эту рубрику, нам необходимо систематизировать знания о числах.
– Какие вы знаете числа? (Натуральные, дробные, рациональные)
– А какие числа относятся к рациональным? (Положительные, отрицательные и 0)
– А какие свойства рациональных чисел вы знаете? (Переместительное, сочетательное и распределительное, умножение на 1, умножение на 0)
– А теперь перейдем к письменной работе. Открыли тетради, записали число, классная работа, тема «Свойства действий с рациональными числами».
Используя эти свойства, упростим выражения:

А) х + 32 – 16 = х + 16
Б) – х – 18 – 23 = – х – 41
В) – 1,5 + х – 20 = – 21,5 + х
Г) 12 – 26 + х = х – 14
Д) 1,7 + 3,6 – х = 5,3 – х
Е) – х + а + 6,1 – а + 2,8 – 8,8 = – х + 0,1

– А следующие примеры требуют от нас еще более рационального решения с объяснением.

– 98 + 85 + 45 – 55 – 28 + 63 = 12
– 6,56 + 2,4 – 3,2 + 6,56 + 4 + 3,2 – 2,4 = 4
– 19,61 * 20 + 19,61 * 120 = 1961

12.04.1961 – Вам о чем-нибудь говорят полученные ответы?
50 лет назад 12 апреля 1961 года Юрий Гагарин полетел в космос. Город Заинск тоже имеет свою космическую историю: 9 марта 1961 года спускаемый аппарат №1 космического корабля «ВОСТОК-4» совершил мягкую посадку в районе села Старый Токмак Заинского района с манекеном человека, собакой и другими мелкими животными на борту. И в честь этого события в нашем районе поставят памятник. Сейчас в городе работает конкурсная комиссия. В конкурсе участвуют 3 проекта, они перед вами на экране. А сейчас мы с вами проведем аукцион проектов.
Я прошу проголосовать за понравившийся вам проект. Ваш голос может оказаться решающим.

V. Физкультминутка

– Свое мнение вы выражаете аплодисментами и топаньем. Давайте прорепетируем! Три хлопка и три притопа.
– Еще раз попробуем. Итак, голосование начинается:

– Отдаем свои голоса за Макет №1
– Отдаем свои голоса за Макет №2
– Отдаем свои голоса за Макет №3
– А теперь за все макеты вместе.
– Победу одержал Макет № ... Спасибо, я записала ваши голоса (поднимает сотовый телефон и показывает детям) и передам в счетную комиссию.
– Молодцы, спасибо. А впереди не менее важный – Актуальный репортаж.

VI. Подготовка к ГИА

В рубрику «Актуальный репортаж» пришло письмо, где ученик просит помочь ему в решении заданий к итоговому экзамену в 9 классе. Нам нужно каждому самостоятельно прорешать задания, тесты <Приложение 1 > у вас на столах:

1. Решить уравнения:

а) (х + 3)(х – 6) = 0

1) х = 3, х = – 6
2) х = – 3, х = – 6
3) х = – 3, х = 6

На этом уроке мы вспомним основные свойства действий с числами. Мы не только повторим основные свойства, но и научимся применять их к рациональным числам. Все полученные знания закрепим с помощью решения примеров.

Основные свойства действий с числами:

Первые два свойства - это свойства сложения, следующие два - умножения. Пятое свойство относится к обеим операциям.

Ничего нового в этих свойствах нет. Они были справедливы и для натуральных, и для целых чисел. Они также верны для рациональных чисел и будут верны для чисел, которые мы будем изучать дальше (например, иррациональных).

Перестановочные свойства:

От перестановки слагаемых или множителей результат не меняется.

Сочетательные свойства: , .

Сложение или умножение нескольких чисел можно делать в любом порядке.

Распределительное свойство: .

Свойство связывает обе операции - сложение и умножение. Также если его читать слева направо, то его называют правилом раскрытия скобок, а если в обратную сторону - правилом вынесения общего множителя за скобки.

Следующие два свойства описывают нейтральные элементы для сложения и умножения: прибавление нуля и умножение на единицу не меняют исходного числа.

Еще два свойства, которые описывают симметричные элементы для сложения и умножения, сумма противоположных чисел равна нулю; произведение обратных чисел равно единице.

Следующее свойство: . Если число умножить на ноль, в результате всегда будет ноль.

Последнее свойство, которое мы рассмотрим: .

Умножив число на , получаем противоположное число. У этого свойства есть особенность. Все остальные рассмотренные свойства нельзя было доказать, используя остальные. Это же свойство можно доказать, используя предыдущие.

Умножение на

Докажем, что если умножить число на , то получим противоположное число. Используем для этого распределительное свойство: .

Оно верно для любых чисел. Подставим вместо числа и :

Слева в скобках стоит сумма взаимно противоположных чисел. Их сумма равна нулю (у нас есть такое свойство). Слева теперь . Справа , получаем: .

Теперь слева у нас стоит ноль, а справа - сумма двух чисел. Но если сумма двух чисел равна нулю, то эти числа взаимно противоположны. Но у числа только одно противоположное число: . Значит, - это и есть : .

Свойство доказано.

Такое свойство, которое можно доказать, используя предыдущие свойства, называют теоремой

Почему здесь нет свойств вычитания и деления? Например, можно было бы записать распределительное свойство для вычитания: .

Но так как:

• вычитание любого числа можно эквивалентно записать в виде сложения, заменив число на противоположное:

• деление можно записать в виде умножения на обратное число:

Значит, свойства сложения и умножения вполне можно применять для вычитания и деления. В итоге список свойства, которые необходимо запомнить, получается короче.

Все рассмотренные нами свойства не являются исключительно свойствами рациональных чисел. Всем этим правилам подчиняются и другие числа, например, иррациональные. Например, сумма и противоположного ему числа равна нулю: .

Теперь мы перейдем к практической части, решим несколько примеров.

Рациональные числа в жизни

Те свойства предметов, которые мы можем описать количественно, обозначить каким-нибудь числом, называются величинами : длина, вес, температура, количество.

Одну и ту же величину можно обозначить и целым, и дробным числом, положительным или отрицательным.

Например, ваш рост м - дробное число. Но ведь можно сказать, что он равен см - это уже целое число (рис. 1).

Рис. 1. Иллюстрация к примеру

Еще один пример. Отрицательная температура по шкале Цельсия будет положительной по шкале Кельвина (рис. 2).

Рис. 2. Иллюстрация к примеру

При строительстве стены дома один человек может ширину и высоту измерить в метрах. У него получаются дробные величины. Все вычисления дальше он будет проводить с дробными (рациональными) числами. Другой человек может все измерить в количестве кирпичей в ширину и высоту. Получив только целые значения, он и вычисления будет проводить с целыми числами.

Сами величины не бывают ни целыми, ни дробными, ни отрицательными, ни положительными. Но число, которым мы описываем значение величины, уже является вполне конкретным (например, отрицательным и дробным). Это зависит от шкалы измерений. И когда мы от реальных величин переходим к математической модели, то работаем с конкретным типом чисел

Начнем со сложения. Слагаемые можно переставлять так, как нам удобно, и действия выполнять можно в любом порядке. Если слагаемые разных знаков оканчиваются на одну цифру, то удобно сначала выполнять действия с ними. Для этого поменяем слагаемые местами. Например:

Обыкновенные дроби с одинаковыми знаменателями легко складываются.

Противоположные числа в сумме дают ноль. Числа с одинаковыми десятичными «хвостами» легко вычитаются. Используя эти свойства, а также переместительный закон сложения, можно облегчить вычисление значения, например, следующего выражения:

Числа с дополняющими друга десятичными «хвостами» легко складываются. С целыми и дробными частями смешанных чисел удобно работать по отдельности. Используем эти свойства при вычислении значения следующего выражения:

Перейдем к умножению. Есть пары чисел, которые легко перемножить. Используя переместительное свойство, можно переставить множители так, чтобы они оказались рядом. Количество минусов в произведении можно посчитать сразу и сделать вывод о знаке результата.

Рассмотрим такой пример:

Если из сомножителей равен нулю, то произведение равно нулю, например: .

Произведение обратных чисел равно единице, а умножение на единицу не меняет значение произведения. Рассмотрим такой пример:

Рассмотрим пример с использованием распределительного свойства. Если раскрыть скобки, то каждое умножение выполняется легко.

ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА II

§ 36 Действия над рациональными числами

Как известно, две дроби m / n и k / l равны, то есть изображают одно и то же рациональное число, в том и только в том случае, когда ml = nk .

Например, 1 / 3 = 2 / 6 , так как 1 6 = 3 2; -5 / 7 = 10 / - 14 , поскольку (-5) (- 14) = 7 10; 0 / 1 = 0 / 5 , так как 0 5 = 1 0 и т. д.

Очевидно, что для любого целого числа r , не равного 0,

: m / n = m r / n r

Это вытекает из очевидного равенства т (п r ) = п (т r ). Поэтому любое рациональное число можно представить в виде отношения двух чисел бесконечным числом способов. Например,

5 = 5 / 1 = -10 / -2 = 15 / 3 и т. д,

1 / 7 = 2 / -14 = -3 / 21 = -100 / 700 и т. д.

0 = 0 / 1 = 0 / -2 = 0 / 3 = 0 / 100 и т. д.

В множестве всех рациональных чисел выполнимы действия сложения, умножения, вычитания и деления (кроме деления на нуль). Напомним, как определяются эти действия.

Сумма двух рациональных чисел m / n и k / l определяется формулой :

Произведение двух рациональных чисел m / n и k / l определяется формулой :

m / n k / l = mk / nl (2)

Поскольку одно и то же рациональное число допускает несколько записей (например, 1 / 3 = 2 / 6 = 3 / 9 = ...) следовало бы показать, что сумма и произведение рациональных чисел не зависят от того, как записаны слагаемые или сомножители. Например,

1 / 2 + 1 / 3 = 2 / 4 + 3 / 9 ; 1 / 2 1 / 3 = 3 / 6 2 / 6

и т. д. Однако рассмотрение этих вопросов выходит за пределы нашей программы.

При сложении и умножении рациональных чисел соблюдаются следующие основные законы:

1) коммутативный (или переместительный) закон сложения

m / n + k / l = k / l + m / n

2) ассоциативный (или сочетательный) закон сложения:

( m / n + k / l ) + p / q = m / n + ( k / l + p / q )

3) коммутативный (или переместительный) закон умножения:

m / n k / l = k / l m / n

4) ассоциативный (или сочетательный) закон умножения:

( m / n k / l ) p / q = m / n ( k / l p / q )

5) дистрибутивный (или распределительный) закон умножения относительно сложения:

( m / n + k / l ) p / q = m / n p / q + k / l p / q

Сложение и умножение являются основными алгебраическими действиями. Что же касается вычитания и деления, то эти действия определяются как обратные по отношению к сложению и умножению.

Разностью двух рациональных чисел m / n и k / l называется такое число х , которое в сумме с k / l дает m / n . Другими словами, разность m / n - k / l

k / l + x = m / n

Можно доказать, что такое уравнение всегда имеет корень и притом только один:

Таким образом, разность двух чисел m / n и k / l находится по формуле:

Если числа m / n и k / l равны между собой, то разность их обращается в нуль; если же эти числа не равны между собой, то разность их либо положительна, либо отрицательна. При m / n - k / l > 0 говорят, что число m / n больше числа k / l ; если же m / n - k / l < 0, то говорят, что число m / n меньше числа k / l .

Частным от деления рационального числа m / n на рациональное число k / l называется такое число х , которое в произведении с k / l дает m / n . Другими словами, частное m / n : k / l определяется как корень уравнения

k / l х = m / n .

Если k / l =/= 0, то данное уравнение имеет единственный корень

х = ml / nk

Если же k / l = 0, то это уравнение либо совсем не имеет корней (при m / n =/= 0), либо имеет бесконечно много корней (при m / n = 0). Желая сделать операцию деления выполнимой однозначно, условимся не рассматривать вовсе деление на нуль. Таким образом, деление рационального числа m / n на рациональное число k / l определено всегда, если только k / l =/= 0. При этом

m / n : k / l = ml / nk

Упражнения

295. Вычислить наиболее рациональным способом и указать, какими законами действий приходится при этом пользоваться;

а) (5 1 / 12 - 3 1 / 4) 24; в) (333 1 / 3 4) (3 / 125 1 / 16) .

б) (1 / 10 - 3 1 / 2) + 9 / 10

Предыдущая статья: Чему равна скорость света Следующая статья: Углерод — характеристика элемента и химические свойства