На столе лежит 25 пирожков: 7 – с повидлом, 9 – с картошкой, остальные с капустой. Какова вероятность, что случайно выбранный пирожок окажется с капустой?
0,36
В такси работает 40 автомобилей: 14 – марки “Лада”, 8 – марки “Рено”, 2 – марки “Мерседес”, а остальные – марки “Шкода”. Какова вероятность того, что на Ваш вызов приедет “Мерседес”?
0,05
Определите вероятность того, что при бросании игрального кубика выпадет число не меньше трех.
Ира, Дима, Вася, Наташа и Андрей сдают норматив по бегу на 60 метров. Найдите вероятность того, что быстрее всех пробежит девочка?
Вероятность того, что телефон, купленный в подземном переходе окажется подделкой, составляет 0,83. Какова вероятность того, что купленный в переходе телефон окажется не подделкой?
0,17
В баскетбольном турнире принимает участие 20 команд, включая команду “Мужики”. Все команды разбивают на 4 группы: A, B, C, D. Какова вероятность того, что команда “Мужики” окажется в группе A?
0,25
В лотерейном мешке содержатся бочонки с номерами от 5 до 94 включительно. Какова вероятность, того, что извлеченный из мешка бочонок содержит двузначное число? Ответ округлите до сотых.
0,94
Перед экзаменом Игорь дотянул до последнего и успел выучить только 5 билетов из 80. Определите вероятность того, что ему попадется выученный билет.
0,0625
Аня включает радио и случайным образом выбирает радиоволну. Всего ее радиоприемник ловит 20 радиоволн и всего на 7 из них в данный момент играет музыка. Найдите вероятность того, что Аня попадет на музыкальную волну.
0,35
В каждой двадцатой бутылке газировки под крышкой спрятан код с выигрышем. Определите вероятность того, что в купленной бутылке под крышкой окажется выигрышный код.
0,05
Какова вероятность, что случайно выбранное трехзначное число делится на 5?
0,2
Записан рост (в см) пяти учащихся: 166, 158, 132, 136, 170. На сколько отличается среднее арифметическое этого набора чисел от его медианы?
По статистическим данным одной небольшой страны известно, что вероятность того, что родившийся младенец окажется мальчиком, равна 0,507. В 2017 г. в этой стране на 1000 родившихся младенцев в среднем пришлось 486 девочек. Насколько частота рождения девочек в 2017 г. в этой стране отличается от вероятности этого события?
0,007
Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что сумма двух выпавших чисел равна 3 или 7. Ответ округлите до сотых.
0,22
Какова вероятность, что случайно выбранное трехзначное число делится на 2?
0,5
Найдите вероятность того, что при двух бросках монетки решка выпадет ровно 1 раз.
0,5
Игральную кость бросают дважды, найдите вероятность того, что оба раза выпадет число, не меньше трех. Ответ округлите до сотых.
0,31
По статистическим данным одной небольшой страны известно, что вероятность того, что родившийся младенец окажется мальчиком, равна 0,594. В 2017 г. в этой стране на 1000 родившихся младенцев в среднем пришлось 513 девочек. Насколько частота рождения девочек в 2017 г. в этой стране отличается от вероятности этого события?
0,107
Записан рост (в см) пяти учащихся: 184, 145, 176, 192, 174. На сколько отличается среднее арифметическое этого набора чисел от его медианы?
1,8
Средний рост жителей деревни “Великаны” составляет 194 см. Рост Николая Петровича составляет 195 см. Какое из следующих утверждений верно?
1) Обязательно рост одного из жителей деревни равен 194 см.
2) Николай Петрович самый высокий житель деревни.
3) Обязательно найдется хоть один мужчина из этой деревни ниже Николая Петровича.
4) Обязательно найдется хоть один житель из этой деревни ниже Николая Петровича.
4
Стрелок 4 раза стреляет из ружья по мишеням. Вероятность его точного попадания в мишень при одном выстреле равна 0,5. Найдите вероятность того, что стрелок первые два раза попал в мишень, а последние два раза промахнулся.
0,0625
Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,05. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку с двумя батарейками. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.
0,9025
Стрелок стреляет по мишеням 5 раз подряд. Вероятность попадания в мишень при выстреле равна 0,7. Найдите вероятность того, что стрелок первые четыре раза попал в мишени, а последний раз промахнулся. Результат округлите до сотых.
В данной презентации представлены наиболее часто встречающиеся на экзамене задачи по теории вероятности. Задачи базового уровня. Презентация поможет и учителям на уроках обобщающего повторения, и учащимся при самостоятельной подготовке к экзамену.
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ КЛЮЧЕВЫЕ ЗАДАЧИ Готовимся к ОГЭ
БРОСАНИЕ МОНЕТЫ
1. Монета брошена два раза. Какова вероятность выпадения одного «орла» и одной «решки»? Решение: При бросании одной монеты возможны два исхода – «орёл» или «решка». При бросании двух монет – 4 исхода (2*2=4): «орёл» - «решка» «решка» - «решка» «решка» - «орёл» «орёл» - «орёл» Один «орёл» и одна «решка» выпадут в двух случаях из четырёх. Р(А)=2:4=0,5. Ответ: 0,5.
2. Монета брошена три раза. Какова вероятность выпадения двух «орлов» и одной «решки»? Решение: При бросании трёх монет возможны 8 исходов (2*2*2=8): «орёл» - «решка» - «решка» «решка» - «решка» - «решка» «решка» - «орёл» - «решка» «орёл» - «орёл» - «решка» «решка» - «решка» -«орёл» «решка» - «орёл» - «орёл» «орёл» - «решка» - «орёл» «орёл» - «орёл» - «орёл» Два «орла» и одна «решка» выпадут в трёх случаях из восьми. Р(А)=3:8=0,375. Ответ: 0,375.
3. В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу. Решение: При бросании четырёх монет возможны 16 исходов: (2*2*2*2=16): Благоприятных исходов – 1 (выпадут четыре решки). Р(А)=1:16=0,0625. Ответ: 0,0625.
ИГРА В КОСТИ
4. Определите вероятность того, что при бросании кубика выпало больше трёх очков. Решение: Всего возможных исходов – 6. Числа большие 3 - 4, 5, 6 . Р(А)= 3:6=0,5. Ответ: 0,5.
5. Брошена игральная кость. Найдите вероятность того, что выпадет чётное число очков. Решение: Всего возможных исходов – 6. 1, 3, 5 - нечётные числа; 2, 4, 6 -чётные числа. Вероятность выпадения чётного числа очков равна 3:6=0,5. Ответ: 0,5.
6. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых. Решение: У данного действия - бросания двух игральных костей всего 36 возможных исходов, так как 6² = 36. Благоприятные исходы: 2 6 3 5 4 4 5 3 6 2 Вероятность выпадения восьми очков равна 5:36 ≈ 0,14. Ответ: 0,14.
7. Дважды бросают игральный кубик. В сумме выпало 6 очков. Найдите вероятность того, что при одном из бросков выпало 5 очков. Решение: Всего исходов выпадения 6 очков - 5: 2 и 4; 4 и 2; 3 и 3; 1 и 5; 5 и 1. Благоприятных исходов - 2. Р(А)=2:5=0,4. Ответ: 0,4.
8. На экзамене 50 билетов, Тимофей не выучил 5 из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный билет. Решение: Тимофей выучил 45 билетов. Р(А)=45:50=0,9. Ответ: 0,9.
СОРЕВНОВАНИЯ
9. В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменов: 8 из России, 7 из США, остальные из Китая. Порядок выступления определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая. Решение: Всего исходов 20. Благоприятных исходов 20-(8+7)=5. Р(А)=5:20=0,25. Ответ: 0,25.
10. На соревнования по метанию ядра приехали 4 спортсмена из Франции, 5 из Англии и 3 из Италии. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий пятым, будет из Италии. Решение: Число всех возможных исходов – 12 (4 + 5 + 3 = 12). Число благоприятных исходов – 3. Р(А)=3:12=0,25. Ответ: 0,25.
11. Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 бадминтонистов, среди которых 12 участников из России, в том числе Владимир Орлов. Найдите вероятность того, что в первом туре Владимир Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России? Решение: Всего исходов – 25 (Владимир Орлов с 25 бадминтонистами). Благоприятных исходов – (12-1)=11. Р(А)=11:25 = 0,44. Ответ: 0,44.
12. Конкурс исполнителей проводится в 5 дней. Всего заявлено 75 выступлений - по одному от каждой страны. В первый день 27 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса? Решение: Всего исходов – 75. Исполнители из России выступают на третий день. Благоприятных исходов – (75-27):4=12. Р(А)=12: 75 = 0,16. Ответ: 0,16 .
13. Коля выбирает двузначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 5. Решение: Двузначные числа: 10;11;12;…;99. Всего исходов – 90. Числа, делящиеся на 5: 10; 15; 20; 25; …; 90; 95. Благоприятных исходов – 18. Р(А)=18:90=0,2. Ответ: 0,2.
РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ НА ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ
14. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 170 качественных сумок приходится шесть сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых. Решение: Всего исходов – 176. Благоприятных исходов – 170. Р(А)=170:176 ≈ 0,97. Ответ: 0,97.
15. В среднем из каждых 100 поступивших в продажу аккумуляторов 94 аккумулятора заряжены. Найдите вероятность того, что купленный аккумулятор не заряжен. Решение: Всего исходов – 100. Благоприятных исходов – 100-94=6. Р(А)=6:100=0,06. Ответ: 0,06.
ИСТОЧНИКИ http://mathgia.ru http:// www.schoolmathematics.ru
События, которые происходят реально или в нашем воображении, можно разделить на 3 группы. Это достоверные события, которые обязательно произойдут, невозможные события и случайные события. Теория вероятностей изучает случайные события, т.е. события, которые могут произойти или не произойти. В данной статье будет представлена в кратком виде теория вероятности формулы и примеры решения задач по теории вероятности, которые будут в 4 задании ЕГЭ по математике (профильный уровень).
Исторически потребность исследования этих проблем возникла в XVII веке в связи с развитием и профессионализацией азартных игр и появлением казино. Это было реальное явление, которое требовало своего изучения и исследования.
Игра в карты, кости, рулетку создавала ситуации, когда могло произойти любое из конечного числа равновозможных событий. Возникла необходимость дать числовые оценки возможности наступления того или иного события.
В XX веке выяснилось, что эта, казалось бы, легкомысленная наука играет важную роль в познании фундаментальных процессов, протекающих в микромире. Была создана современная теория вероятностей.
Объектом изучения теории вероятностей являются события и их вероятности. Если событие является сложным, то его можно разбить на простые составляющие, вероятности которых найти несложно.
Суммой событий А и В называется событие С, заключающееся в том, что произошло либо событие А, либо событие В, либо события А и В одновременно.
Произведением событий А и В называется событие С, заключающееся в том, что произошло и событие А и событие В.
События А и В называется несовместными, если они не могут произойти одновременно.
Событие А называется невозможным, если оно не может произойти. Такое событие обозначается символом .
Событие А называется достоверным, если оно обязательно произойдет. Такое событие обозначается символом .
Пусть каждому событию А поставлено в соответствие число P{А). Это число P(А) называется вероятностью события А, если при таком соответствии выполнены следующие условия.
Важным частным случаем является ситуация, когда имеется равновероятных элементарных исходов, и произвольные из этих исходов образуют события А. В этом случае вероятность можно ввести по формуле . Вероятность, введенная таким образом, называется классической вероятностью. Можно доказать, что в этом случае свойства 1-4 выполнены.
Задачи по теории вероятностей, которые встречаются на ЕГЭ по математике, в основном связаны с классической вероятностью. Такие задачи могут быть очень простыми. Особенно простыми являются задачи по теории вероятностей в демонстрационных вариантах. Легко вычислить число благоприятных исходов , прямо в условии написано число всех исходов .
Ответ получаем по формуле .
На столе лежат 20 пирожков — 5 с капустой, 7 с яблоками и 8 с рисом. Марина хочет взять пирожок. Какова вероятность, что она возьмет пирожок с рисом?
Всего равновероятных элементарных исходов 20, то есть Марина может взять любой из 20 пирожков. Но нам нужно оценить вероятность того, что Марина возьмет пирожок с рисом, то есть , где А — это выбор пирожка с рисом. Значит у нас количество благоприятных исходов (выборов пирожков с рисом) всего 8. Тогда вероятность будет определяться по формуле:
Однако в открытом банке заданий стали встречаться и более сложные задания. Поэтому обратим внимание читателя и на другие вопросы, изучаемые в теории вероятностей.
События А и В называется независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от того, произошло ли другое событие.
Событие B состоит в том, что событие А не произошло, т.е. событие B является противоположным к событию А. Вероятность противоположного события равна единице минус вероятность прямого события,т.е. .
Для произвольных событий А и В вероятность суммы этих событий равна сумме их вероятностей без вероятности их совместного события, т.е. .
Для независимых событий А и В вероятность произведения этих событий равна произведению их вероятностей, т.е. в этом случае .
Последние 2 утверждения называются теоремами сложения и умножения вероятностей.
Не всегда подсчет числа исходов является столь простым. В ряде случаев необходимо использовать формулы комбинаторики. При этом наиболее важным является подсчет числа событий, удовлетворяющих определенным условиям. Иногда такого рода подсчеты могут становиться самостоятельными заданиями.
Сколькими способами можно усадить 6 учеников на 6 свободных мест? Первый ученик займет любое из 6 мест. Каждому из этих вариантов соответствует 5 способов занять место второму ученику. Для третьего ученика остается 4 свободных места, для четвертого - 3, для пятого - 2, шестой займет единственное оставшееся место. Чтобы найти число всех вариантов, надо найти произведение , которое обозначается символом 6! и читается «шесть факториал».
В общем случае ответ на этот вопрос дает формула для числа перестановок из п элементов В нашем случае .
Рассмотрим теперь другой случай с нашими учениками. Сколькими способами можно усадить 2 учеников на 6 свободных мест? Первый ученик займет любое из 6 мест. Каждому из этих вариантов соответствует 5 способов занять место второму ученику. Чтобы найти число всех вариантов, надо найти произведение .
В общем случае ответ на этот вопрос дает формула для числа размещений из n элементов по k элементам
В нашем случае .
И последний случай из этой серии. Сколькими способами можно выбрать трех учеников из 6? Первого ученика можно выбрать 6 способами, второго - 5 способами, третьего - четырьмя. Но среди этих вариантов 6 раз встречается одна и та же тройка учеников. Чтобы найти число всех вариантов, надо вычислить величину: . В общем случае ответ на этот вопрос дает формула для числа сочетаний из элементов по элементам:
В нашем случае .
Задача 1. Из сборника под ред. Ященко.
На тарелке 30 пирожков: 3 с мясом, 18 с капустой и 9 с вишней. Саша наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с вишней.
.
Ответ: 0,3.
Задача 2. Из сборника под ред. Ященко.
В каждой партии из 1000 лампочек в среднем 20 бракованных. Найдите вероятность того, что наугад взятая лампочка из партии будет исправной.
Решение: Количество исправных лампочек 1000-20=980. Тогда вероятность того, что взятая наугад лампочка из партии будет исправной:
Ответ: 0,98.
Вероятность того, что на тестировании по математике учащийся У. верно решит больше 9 задач, равна 0,67. Вероятность того, что У. верно решит больше 8 задач, равна 0,73. Найдите вероятность того, что У. верно решит ровно 9 задач.
Если мы вообразим числовую прямую и на ней отметим точки 8 и 9, то мы увидим, что условие «У. верно решит ровно 9 задач» входит в условие «У. верно решит больше 8 задач», но не относится к условию «У. верно решит больше 9 задач».
Однако, условие «У. верно решит больше 9 задач» содержится в условии «У. верно решит больше 8 задач». Таким образом, если мы обозначим события: «У. верно решит ровно 9 задач» — через А, «У. верно решит больше 8 задач» — через B, «У. верно решит больше 9 задач» через С. То решение будет выглядеть следующим образом:
Ответ: 0,06.
На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Тригонометрия», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос по теме «Внешние углы», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
Давайте подумаем какие у нас даны события. Нам даны два несовместных события. То есть либо вопрос будет относиться к теме «Тригонометрия», либо к теме «Внешние углы». По теореме вероятности вероятность несовместных событий равна сумме вероятностей каждого события, мы должны найти сумму вероятностей этих событий, то есть:
Ответ: 0,35.
Помещение освещается фонарём с тремя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,29. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.
Рассмотрим возможные события. У нас есть три лампочки, каждая из которых может перегореть или не перегореть независимо от любой другой лампочки. Это независимые события.
Тогда укажем варианты таких событий. Примем обозначения: — лампочка горит, — лампочка перегорела. И сразу рядом подсчитаем вероятность события. Например, вероятность события, в котором произошли три независимых события «лампочка перегорела», «лампочка горит», «лампочка горит»: , где вероятность события «лампочка горит» подсчитывается как вероятность события, противоположного событию «лампочка не горит», а именно: .
М.: 2017. - 48 с.
В предлагаемой книге, состоящей из двух частей, подробно рассмотрены основные понятия, относящиеся к теории вероятностей и математической статистике, детально, по шагам разобраны решения задач, которые обычно предлагаются в КИМ на ОГЭ. Кроме того, подробно, на примерах излагаются простейшие понятия комбинаторики (комбинаторные числа для числа перестановок, размещений и сочетаний без повторений). С такой же подробностью ведётся изложение основных положений математической статистики, показаны на примерах отличия выборочного среднего от моды и медианы и дано пояснение, в каких случаях какое из этих средних нужно использовать. Назначение пособия - отработка практических навыков учащихся по подготовке к экзамену (в новой форме) в 9 классе по математике. В сборнике даны ответы на все варианты заданий. Пособие предназначено учителям и методистам, использующим тесты для подготовки к Основному государственному экзамену, оно также может быть использовано учащимися для самоподготовки и самоконтроля.
Формат: pdf
Размер: 939 Кб
Смотреть, скачать: drive.google
СОДЕРЖАНИЕ
Введение 4
Часть I. Задачи по теории вероятностей 5
1. Понятие вероятности 5
2. Классическое определение вероятности 6
3. Применение классического определения вероятности 8
3.1. Правило суммы 11
3.2. Правило произведения 12
3.3. Задачи на вычисление вероятностей 17
4. Статистический метод 19
4.1. Статистическое определение вероятности 20
4.2. Задачи на вычисление вероятностей 21
5. Использование комбинаторных чисел 22
5.1. Перестановки без повторений 22
5.2. Задачи, в которых используется формула для числа перестановок без
повторений 24
5.3. Размещения без повторений 25
5.4. Сочетания без повторений 26
5.5. Выбор пары 28
5.6. Дополнительные задачи 31
Часть II. Элементы статистики, таблицы, обработка данных 33
1. Статистические характеристики 33
2. Задачи о среднем арифметическом и медиане 36
3. Выбор статистической характеристики для оценки явления 38
4. Задания на вычисление вероятностей и статистических характеристик 40
Ответы 46
Несмотря на то, что основы теории вероятностей и математической статистики уже
довольно давно преподаются в школах нашей страны, основные понятия и многие
положения этой интересной науки всё ещё остаются недостаточно прочно усвоенными
многими учащимися средней школы. Результаты проведения ОГЭ для учащихся 9-х
классов показывают, что примерно 30% из всех сдававших ОГЭ не справляются с
заданиями по теории вероятностей и(или) по статистике. Более того, некоторые
задачи, предлагавшиеся в ОГЭ и диагностических работах, вызывают определённую
неуверенность у некоторых учителей.
В предлагаемой книге, состоящей из двух частей, подробно рассмотрены основные
понятия, относящиеся к теории вероятностей и математической статистике,
детально, по шагам разобраны решения задач, которые обычно предлагаются в КИМах
на ОГЭ. Кроме этого, подробно, на примерах излагаются простейшие понятия
комбинаторики (комбинаторные числа для числа перестановок, размещений и
сочетаний без повторений). С такой же подробностью ведётся изложение основных
положений математической статистики, показаны на примерах отличия выборочного
среднего от моды и медианы и дано пояснение в каких случаях какое из этих
средних нужно использовать.