Видеоурок «Практические приложения подобия треугольников.

Теорема о средней линии.

Валенок папин и ваш;….

(продолжите).

В жизни мы говорим похожие предметы, а в геометрии - подобные. Значит, нашу теорию можно применить к этим предметам. Давайте рассмотрим теорию подобия треугольников в окружающем нас мире.

Сформулируем тему урока.

Работа в парах:

А Верно ли, что: ?ABC ∞ ?A1B1C1, если ∠A = 46° ∠B = 64° ∠A1 = 46° ∠C1 = 70°

Л Верно ли, что: ?ABC ∞ ?A1B1C1, если AB=13м A1B1=58м P?ABC =25м, то P?A1B1C1 =100м

Ь Верно ли, что: ?ABC ∞ ?A1B1C1, если AB=15м A1B1=45м S?A1B1C1 =27 м2, то S?ABC =100м2

А Верно ли,что если, то

Проверка: Какое слово у вас получилось? - «Альфа».

* Маленькая справка:

В нашей солнечной системе 1 звезда - это солнце.
Звёзды - в созвездии, самая яркая звезда в созвездии называется «Альфа».
Звёзды - недосягаемые до нас объекты, но их изучают, находят расстояние до них.

А как это сделать?

Определение расстояния до недоступной точки. Предположим, что нам нужно найти расстояние от пункта А до недоступного пункта B. Для этого на местности выбираем точку C, провешиваем отрезок AC и измеряем его. Затем с помощью астролябии измеряем углы ∠A и ∠С. На листе бумаги строим какой-нибудь треугольник?A1B1C1 , у которого ∠A1=∠A, ∠C1=∠C, и измеряем длины сторон A1B1 и A1C1 этого треугольника.

Так как?ABC ∞ ?A1B1C1 , то = , откуда. По известным расстояниям AC, A1C1 и A1B1 находим расстояние AB.

Для упрощения вычислений удобно построить треугольник?A1B1C1 так, чтобы A1C1: AC = 1:1000. Например, если AC = 130м, то расстояние A1C1 возьмем равным 130мм. В этом случае = 1000 , поэтому, измерив расстояние A1B1 в миллиметрах, мы сразу получаем расстояние AB в метрах.

Пример. Пусть AC = 130м, ∠A = 73° и ∠С = 58°. На бумаге строим треугольник?A1B1C1 так, чтобы ∠A1 = 73° и ∠С1 = 58°, A1C1 = 130мм, и измеряем отрезок A1B1 . Он равен 153мм, поэтому искомое расстояние равно 153м.

Жрец надменно продолжал:

CAB ∞ ?BDE (по 2-ум углам)

C = ∠B (по условию)
B = ∠E = 90°

Ответ: 146 м.

AB=2,1 м AE=6,3 м CB=1,7 м

Треугольники подобны по 2-ум углам.

ABC ∞ ?AED (по 2-ум углам)

A - общий
B = ∠E = 90°

Ответ: 5,1 м.

Па пример:

Ох! Устал

Еле еле успевая за учителем

Просмотр содержимого документа
«Конспект урока по геометрии по теме «Практические приложения подобия треугольников». »

Муниципальное образовательное учреждение

«Морская кадетская школа им. адмирала Котова П. Г.»

Урок по геометрии (8 кл.)

Тема: «Практические приложения подобия треугольников».

Скирмант Наталья Рудольфовна

учитель математики высшей

Рабочий адрес:

164520, Архангельская обл.,

г. Северодвинск, ул. Комсомольская, д.7,

рабочий телефон 55-20-86

Северодвинск

Цели и задачи урока:

показать применение подобия треугольников при проведении измерительных работ на местности;

показать взаимосвязь теории с практикой;

познакомить учащихся с различными способами определения высоты предмета и расстояния до недоступного объекта;

формировать умения применять полученные знания при решении разнообразных задач данного вида.

Развивающие

повышать интерес учащихся к изучению геометрии;

активизировать познавательную деятельность учащихся;

формировать качества мышления, характерные для математической деятельности и необходимые для продуктивной жизни в обществе.

Воспитательные

мотивировать интерес учащихся к предмету посредством включения их в решение практических задач.

Ход урока:

1.Проверка домашнего задания.

2.Тест «Верно ли ….» (работа в парах) - повторение теории.

3.Задача №1.Определение расстояния до недоступной точки (оформление в тетрадях конспекта вместе с учителем).

4.Задача №2.Определение высоты предмета:

а). по длине его тени (разобрать по готовому решению в учебнике, оформить в тетрадях самостоятельно 1 вариант).

б). по шесту (разобрать по готовому решению в учебнике, оформить в тетрадях самостоятельно 2 вариант).

в). с помощью зеркала (предложить разобрать задачу №581).

5.Итоги урока, домашнее задание №581,583.

1. Проверка домашнего задания. Объяснение готового решения №550(1).

Дано: рисунок.

Треугольники подобны по 2-ум углам.

∆BAD ∞ ∆KCB (по 2-ум углам)

∠B = ∠K (по условию)

∠A = ∠C = 90°

2. Учитель: «Ребята, мы с вами изучили всю теорию подобия треугольников».

Рассмотрели применение подобия при доказательстве теорем.

Какие теоремы нами были доказаны?

Теорема о средней линии.

Свойство медиан треугольника.

В повседневной жизни нас окружают предметы одинаковой формы.

Пример: - мяч теннисный и футбольный;

Валенок папин и ваш;….

(продолжите).

В жизни мы говорим похожие предметы, а в геометрии – подобные. Значит, нашу теорию можно применить к этим предметам. Давайте рассмотрим теорию подобия треугольников в окружающем нас мире.

Сформулируем тему урока.

Ученики: «Практические приложения подобия треугольников».

Учитель: «Для того, чтобы применять теорию мы её должны хорошо знать. Повторим:

Работа в парах:

Верно ли данное высказывание. Если верно, букву перед высказыванием оставить, в противном случае зачеркнуть.

Тест «Верно ли ….» (работа в парах) - повторение теории.

К Верно ли, что: в подобных треугольниках сходственные стороны равны.

А Верно ли, что: ∆ABC ∞ ∆A 1 B 1 C 1 , если ∠A = 46° ∠B = 64° ∠A1 = 46° ∠C1 = 70°

Л Верно ли, что: ∆ABC ∞ ∆A 1 B 1 C 1 , если AB=13м A1B1=58м P ∆ ABC =25м, то P ∆ A 1 B 1 C 1 =100м

Ь Верно ли, что: ∆ABC ∞ ∆A1B1C1, если AB=15м A1B1=45м S ∆ A 1 B 1 C 1 =27 м 2 , то S ∆ ABC =100м 2

К Верно ли, что: в подобных треугольниках соответственные углы пропорциональны

Л Верно ли, (краткая формулировка признака подобия треугольников) «Треугольники подобны по трем углам»

Ф Верно ли, (краткая формулировка признака подобия треугольников) «Треугольники подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними»

А Верно ли,что если, то

Проверка: Какое слово у вас получилось? – «Альфа».

* Маленькая справка:

В нашей солнечной системе 1 звезда – это солнце.
Все остальные звёзды находятся за пределами нашей Солнечной системы.
Звёзды – в созвездии, самая яркая звезда в созвездии называется «Альфа».
Звёзды – недосягаемые до нас объекты, но их изучают, находят расстояние до них.

А как это сделать?

3.Задача №1.Определение расстояния до недоступной точки (оформление в тетрадях конспекта вместе с учителем).

Определение расстояния до недоступной точки. Предположим, что нам нужно найти расстояние от пункта А до недоступного пункта B. Для этого на местности выбираем точку C, провешиваем отрезок AC и измеряем его. Затем с помощью астролябии измеряем углы ∠A и ∠С. На листе бумаги строим какой-нибудь треугольник ∆A 1 B 1 C 1 , у которого ∠A 1 =∠A, ∠C 1 =∠C, и измеряем длины сторон A 1 B 1 и A 1 C 1 этого треугольника.

Так как ∆ABC ∞ ∆A 1 B 1 C 1 , то = , откуда. По известным расстояниям AC, A 1 C 1 и A 1 B 1 находим расстояние AB.

Для упрощения вычислений удобно построить треугольник ∆A 1 B 1 C 1 так, чтобы A 1 C 1: AC = 1:1000. Например, если AC = 130м, то расстояние A 1 C 1 возьмем равным 130мм. В этом случае = 1000 , поэтому, измерив расстояние A 1 B 1 в миллиметрах, мы сразу получаем расстояние AB в метрах.

Пример. Пусть AC = 130м, ∠A = 73° и ∠С = 58°. На бумаге строим треугольник ∆A 1 B 1 C 1 так, чтобы ∠A 1 = 73° и ∠С 1 = 58°, A 1 C 1 = 130мм, и измеряем отрезок A 1 B 1 . Он равен 153мм, поэтому искомое расстояние равно 153м.

4. Учитель: Вернёмся к делам земным. Греческие ученые решили множество практических задач, которые до них не умели решать. Например, за шесть веков до нашей эры греческий мудрец Фалес Милетский научил египтян определять высоту пирамиды по длине ее тени.

Как это было, рассказывается в книге Я.И. Перельмана «Занимательная геометрия». Фалес,- говорит предание,- избрал день и час, когда длина собственной его тени равнялась его росту; в этот момент высота пирамиды должна также равняться длине отбрасываемой ею тени. Вот, пожалуй, единственный случай, когда человек извлёк пользу из своей тени. Послушаем притчу. (рассказывает один из учащихся).

"Усталый северный чужеземец пришел в страну Великого Хапи. Солнце уже садилось, когда он подошел к великолепному дворцу фараона и что-то сказал слугам. Те мгновенно распахнули перед ним двери и провели его в приемную залу. И вот он стоит в запыленном походном плаще, а перед ним на золоченом троне сидит фараон. Рядом стоят высокомерные жрецы, хранители вечных тайн природы.

Кто ты? - спросил верховный жрец.

Зовут меня Фалес. Родом я из Милета.

Жрец надменно продолжал:

Так это ты похвалялся, что сможешь измерить высоту пирамиды, не взбираясь на нее? - жрецы согнулись от хохота.

Будет хорошо, - насмешливо продолжал жрец, - если ты ошибешься не более, чем на сто локтей.

Я могу измерить высоту пирамиды и ошибусь не более чем на пол-локтя. Я сделаю это завтра.

Лица жрецов потемнели. Какая наглость! Этот чужестранец утверждает, что может вычислить то, чего не могут они - жрецы Великого Египта.

Хорошо, сказал фараон. - Около дворца стоит пирамида, мы знаем ее высоту. Завтра проверим твое искусство".

На следующий день Фалес нашёл длинную палку, воткнул её в землю чуть поодаль пирамиды. Дождался определённого момента. Он измерил тень от палки и тень от пирамиды. Сравнивая соотношения высот реальных предметов с длинами их теней, Фалес нашел высоту пирамиды.

Задача №2.Определение высоты предмета:

а). по длине его тени (разобрать по готовому решению в учебнике, оформить в тетрадях самостоятельно 1 вариант).

CB=8,4 м BE=1022 м AB=1,2 м ∠C = ∠B

Треугольники подобны по 2-ум углам.

∆CAB ∞ ∆BDE (по 2-ум углам)

∠C = ∠B (по условию)

∠B = ∠E = 90°

Ответ: 146 м.

б). по шесту (разобрать по готовому решению в учебнике, оформить в тетрадях самостоятельно 2 вариант).

AB=2,1 м AE=6,3 м CB=1,7 м

Треугольники подобны по 2-ум углам.

∆ABC ∞ ∆AED (по 2-ум углам)

∠A - общий

∠B = ∠E = 90°

Ответ: 5,1 м.

в). с помощью зеркала (предложить разобрать задачу №581 (Д/з)).

Для определения высоты дерева можно использовать зеркало так, как показано на рисунке. Луч света FD , отражаясь от зеркала в точке D, попадает в глаз человека (точку B). Определите высоту дерева, если AC=165 см, BC=12 см, AD=120 см, DE=4,8 м, ∠1 = ∠2.

5. Учитель: Подведём итоги урока:

Сегодня на уроке мы познакомились с различными способами измерения высоты предмета; расстояние до недоступной точки; применяли теорию подобия.

Сформулируйте предложением, словосочетанием свое отношение к уроку, начав его с буквы, входящей в слово «подобие»

Па пример:

Ох! Устал

Еле еле успевая за учителем

Конспект урока

Тема урока: «Практические приложения подобия треугольников»

Учитель: Киселёва Н.Е.

МБОУ «Никольская ООШ №9»

предмет: геометрия

класс: 8

Цели и задачи урока:

Образовательные

Развивающие

формировать качества мышления, характерные для математической деятельности, необходимые для продуктивной жизни в обществе.

Воспитательные

Оборудование :

интерактивный комплекс;
флипчарт для сопровождения урока;
дидактический материал для решения задач;
описание практической работы;
планшет для регистрации полученных измерений;
микрокалькулятор;
рулетка;
зеркало;

Тип урока:

Структура урока:

Организационный момент
Формулировка целей урока
Актуализация знаний
Выполнение практической работы
Оценка результатов практической работы
Разработка памятки
Решение задач
Домашнее задание.
Рефлексия

Ход урока

1. Организационный момент:

Приветствие учащихся, мобилизация внимания.

Слайд 2.

Эпиграфом к нашему уроку будут слова известного русского кораблестроителя Алексея Николаевича Крылова «Теория без практики мертва или бесплодна, практика без теории невозможна или пагубна. Для теории нужны знания, для практики, сверх того, и умения».

2. Постановка проблемы и цели урока:

Учитель: Ребята, какую тему вы изучали на последних уроках геометрии?

Обучающиеся: подобные треугольники

Признаки подобных треугольников

Учитель: Сегодня на уроке мы будем применять свойства подобных треугольников при решении задач. Вспомним пройденный материал.

3. Актуализация опорных знаний.

Решение задач по готовым чертежам с использованием интерактивной доски.

Вопросы для обучающихся.

Какие треугольники вы видите на чертежах?
Какие они по виду углов?
По какому признаку эти треугольники подобны?
Что такое коэффициент подобия?
Чему равен коэффициент подобия в этих задачах?
Что показывает коэффициент подобия?
Найдите чему равна длина отрезка АВ?

Обучающиеся делают вывод: длина отрезка АВ в k раз больше длины сходственной стороны другого треугольника

Учитель: теперь перейдём к решению задач в реальной жизни.

Как узнать высоту недосягаемого предмета? дерева, столба, здания, скалы… используя свойства подобных треугольников.

Послушайте притчу о том, как Фалес определил высоту пирамиды и укажите каким способом он это сделал?

«Усталый пришел северный чужеземец в страну Великого Хапи. Солнце уже садилось, когда он подошел к великолепному дворцу фараона, что-то сказал слугам. Те мгновенно распахнули перед ним двери и провели его в приемную залу. И вот он стоит в запыленном походном плаще, а перед ним на золоченом троне сидит фараон. Рядом стоят высокомерные жрецы, хранители вечных тайн природы.

Кто ты? - спросил верховный жрец.

Зовут меня Фалес. Родом я из Милета.

Жрец надменно продолжал:

Так это ты похвалялся, что сможешь измерить высоту пирамиды, не взбираясь на нее? - жрецы согнулись от хохота. - Будет хорошо, -- насмешливо продолжал жрец, -- если ты ошибешься не более, чем на сто локтей.

Я могу измерить высоту пирамиды и ошибусь не более чем на пол-локтя. Я сделаю это завтра. – ответил Фалес.

Хорошо, сказал фараон. - Около дворца стоит пирамида, мы знаем ее высоту. Завтра проверим твое искусство”.

На следующий день Фалес определил высоту пирамиды.»

Обучающиеся дают объяснения.

Учитель: Геометрия всегда решала те задачи, которые перед ней ставила жизнь. Греческие ученые решили множество практических задач, которые до них люди не умели решать.

Верно, Фалес научил египтян определять высоту пирамиды по длине ее тени:

Как это делалось понятно по слайду флипчарта.

Учитель: Измерить высоту недосягаемого предмета на практике мы можем с использованием шеста. Этот способ можно применять, когда нет солнца и не видно тени от предметов. Объясните, применяя свойства подобных треугольников.

Обучающиеся дают объяснения.

Учитель : Сейчас мы воспользуемся ещё одним способом определения высоты недосягаемого предмета и поможет нам предмет – зеркало. Выполним практическую работу.

Зеркало кладут горизонтально и отходят от него назад в такую точку, стоя в которой, наблюдатель видит в зеркале верхушку предмета. Луч света, отражаясь от зеркала в точке, попадает в глаз человека. Помните: угол падения равен углу отражения (закон отражения).

Какие отрезки необходимо измерить для определения высоты кабинета?

4. Практическая работа «Измерение высоты объекта»

Цель работы:

Найти высоту школьного кабинета.

Инструменты: зеркало, рулетка, микрокалькулятор, бумага для записей.

Описание работы:

Выполнять работу вы будете группой.

Распределите обязанности!

Выберите наблюдателя, техника, инженера, расчётчика.

Положите зеркало на горизонтальную ровную поверхность от наблюдаемой точки.
Наблюдатель отходит от зеркала до тех пор, пока не увидит наблюдаемую точку в центре зеркала.
Инженер на бумаге аккуратно выполняет чертёж, и поясняет технику , какие замеры выполнять. Соблюдайте правила техники безопасности при работе с рулеткой и зеркалом. Полученные данные отмечают на чертеже.
Группа решает задачу и Расчетчик выполняет вычисления на микрокалькуляторе.
Данные занесите в таблицу на интерактивной доске.
Оцените полученный результат и сделайте вывод.

Полученные результаты записывают в таблицу

группа	1группа	2 группа	3 группа
Высота кабинета

Получение и оценка результатов практической работы

Говорим о погрешности. Для более точного результата необходимо опыт повторить несколько раз и найти среднее значение.

Так вот, ребята, летом вы можете не имея под рукой рулетки и зеркала, повторить опыт. Подумайте, что может заменить рулетку и что зеркало?

Обучающиеся: Рулетку заменит шаг человека (65-75см), а зеркало заменит лужа.

А где мы можем полученные знания и умения применить?

Памятка

По итогам урока обучающимся учитель раздаёт памятки.

7. Решение задач

Предлагается решить три задачи в парах из открытого банка задач ГИА по математике модуля «Реальная математика»

Задача №1

Задача №2

Определите высоту дерева с использованием зеркала, если рост человека 153 см. Расстояние от центра зеркала до человека 1,2 м, а расстояние от центра зеркала до дерева 4,8 м.

Задача №3

Человек ростом 1,6 м стоит на расстоянии 10 шагов от столба, на котором висит фонарь. Тень человека равна 5 шагам. На какой высоте расположен фонарь?

Ответы заносят в таблицу, с использованием интерактивной доски

Номер задачи	1 пара	2пара

8. Домашнее задание: №579, №583

9. Рефлексия «Пирамида»

Какое геометрическое тело в культуре символизирует

любое дело, у которого четко прослеживаются все стадии роста и завершения.

На пирамиду обучающиеся наклеивают грань соответствующего цвета.

Заключение

Геометрия – это наука, которая обладает всеми свойствами хрустального стекла, такая же прозрачная в рассуждениях, безупречная в доказательствах, ясная в ответах, гармонично сочетающая в себе прозрачность мысли и красоту человеческого разума. Геометрия до конца не изученная наука, и может быть, многие открытия ждут именно вас. Желаю удачи в дальнейшем изучении науки.

Спасибо за урок.

Предварительный просмотр:

Самоанализ урока геометрии

«Практические приложения подобия треугольников»

класс:8

Данный урок по главе «Подобные треугольники», первый урок в блоке «Применение подобия». Далее следует продолжение блока с рассмотрением других практических способов применения подобия.

Тип урока: урок комплексного применения знаний

Планируя урок, поставила перед собой следующие цели и задачи:

Образовательные

показать применение подобия треугольников при проведении измерительных работ на местности;
показать взаимосвязь теории с практикой;
вырабатывать у учащихся навыки использования теории подобных треугольников при решении разнообразных задач.

Развивающие

повышать интерес учащихся к геометрии;
активизировать познавательную деятельность учащихся;
формировать качества мышления, характерные для математической деятельности и необходимых для продуктивной жизни в обществе.

Воспитательные

формировать умение работать в команде;
воспитывать уверенность в общении.

Считаю, что при построении схемы урока, я постаралась эти цели объединить, сделать комплексными. Но приоритетными задачами оставались для меня достижение понимания обучающимися практической значимости полученных знаний.

Структура урока была выстроена чётко по данному типу урока. Соблюдён алгоритм. То есть, пройдены все этапы:

актуализация знаний, необходимых для их творческого применения знаний;
обобщение и систематизация знаний и способов деятельности;
формирование универсальных учебных действий;
контроль универсальных учебных действий.

Я постаралась обеспечить логическую связь между отдельными этапами, вопрос, поставленный в конце каждого этапа, является задачей для следующего.

Главный акцент делается на то, чтобы ученик смог построить математическую модель реальной ситуации и, используя ранее полученные знания, смог решить задачу.

В начале урока использовала фронтальную работу, которая позволила актуализировать знания учеников. Затем, была поставлена проблема, которая позволила мотивировать обучающихся на дальнейшую работу. Была создана реальная ситуация, которую обучающиеся решали группой, проводя практическую работу. На этапе контроля знаний, ученики решали математические задачи с практическим содержанием, встречающиеся на государственной итоговой аттестации, работая в парах.

Учебный кабинет на данном уроке стал площадкой для выполнения практического задания. На уроке использован интерактивный комплекс, который позволил повысить плотность урока и обеспечить наглядность.

При проведении практической работы мною был использован системно-деятельностный подход. Смена видов деятельности позволила избежать перегрузки обучающихся.

Заинтересованность обучающихся поддерживалась практической направленностью задач и нестандартным способом проведения измерений. А так же интересными историческими фактами.

Я старалась расположить к себе детей, создать комфортные условия, используя интонацию, доброе отношение, улыбку. В критической ситуации настроила держать себя спокойно. Быть готовой к любому повороту событий.

Египетские пирамиды, упоминание о которых прозвучало в начале урока, и пирамида, которая позволила провести рефлексию знаний, явились неким опорным сигналом. Надеюсь, он позволил детям запомнить практические способы измерения высот недосягаемого предмета и при необходимости применять их.

Считаю, что поставленные цели достигнуты.

ЗАВЕРЯЮ. Директор школы Е.Н. Поликарпова

Предварительный просмотр:

Задача №1

Дерево высотой 1 м находится на расстоянии 8 шагов от фонарного столба и отбрасывает тень длиной 4 шага. Определите высоту фонарного столба.

Задача №2

ПРАКТИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Открытый урок

Геометрия является самым могущественным средством для изощрения наших умственных способностей и даёт нам возможность правильно мыслить и рассуждать.

Г. Галилей

Любопытный отыскивает редкости только затем, чтобы им удивляться, любознательный же затем, чтобы узнать их и перестать удивляться.

Р. Декарт

Всё ли в природе можно измерить?

Возможно ли измерить недоступное?

Устная работа

Определите, являются ли треугольники подобными. Поясните свой ответ.

Устная работа

Назовите подобные треугольники и определите признак подобия.

Устная работа

Назовите подобные треугольники и определите признак подобия.

ПРОВЕРОЧНАЯ РАБОТА

Выполнение тестовых заданий по вариантам

Ответы на задание № 1

Вариант I

Вариант II

Ответы на задание № 2

Вариант I

Вариант II

Ответы на задание № 3

Вариант I

Вариант II

Ответы на задание № 4

Вариант I

Вариант II

Ответы на задание № 5

Вариант I

Вариант II

Утверждение, что два прямоугольных треугольника подобны, если имеют по равному острому углу:

Утверждение, что два равнобедренных треугольника подобны, если имеют по равному тупому углу:

верно, по первому признаку.

верно, по второму признаку.

Немного истории

(один локоть ≈ 555 мм )

Немного истории

Три царских вавилонских локтя

(один локоть ≈ 555 мм )

Немного истории

56 царских вавилонских локтя

207 царских вавилонских локтя

ПРАКТИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

AB = 1, 7 0 м

BC = 1,00 м

EC = 7,00 м

DE - ?

Высота стелы - 12 м

BC = 300 м

DB = 100 м

BE = 50 м

AD – ?

Ширина реки – 500 м

ПРАКТИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Домашнее задание

§ 3 п. 64

Задачи

Карточка рефлексии

Я знаю определение подобных треугольников.
Я знаю признаки подобия треугольников.
Я умею определять, являются ли заданные треугольники подобными.
Я понял, как находить высоту заданного объекта.
Я понял, как найти расстояние до недоступной точки.
В самостоятельной работе у меня всё получилось.
Я доволен своей работой на уроке.

СПАСИБО ЗА УРОК

Всем желаю дальнейших творческих успехов!

Сегодня мы будем говорить о том, где и как можно применять знания о подобии треугольников.

Для начала повторим всё, что мы знаем о подобии.

Два треугольника называются подобными , если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.

Выделяют три признака подобия треугольников : подобие по двум углам, подобие по двум сторонам и углу между ними, подобие по трём сторонам.

На уроках вы много раз сталкивались с задачами, где необходимо применить подобие треугольников. Сейчас мы с вами рассмотрим примеры решения задач на построение треугольников с применения подобия, то есть методом подобия .

Решение задач на построение треугольников методом подобия:

1. Построение треугольника подобного искомому

2. Построение искомого треугольника

Решим задачу на построение треугольника.

Задача.

двум данным углам, а биссектриса третьего угла равна данному отрезку

Построение.

3. биссектриса

Доказательство.

Получаем, что треугольник ABC удовлетворяет всем условиям задачи.

Стоит обратить внимание на то, что сумма двух данных углов должна быть меньше 180º.

Аналогичным образом выполняются задачи на построение треугольника по двум углам и медиане, а также по двум углам и высоте.

Задача 1. Построить треугольник, у которого два угла соответственно равны

двум данным углам, а медиана проведённая, из третьего угла, равна данному отрезку.

Задача 2. Построить треугольник, у которого два угла соответственно равны

двум данным углам, а высота, проведённая из третьего угла, равна данному отрезку.

Сначала выбираем произвольный отрезок. На его концах строим углы равные данным. Получаем треугольник подобный искомому.

Проводим медиану или высоту из третьего угла.

От вершины C откладываем на них отрезки равные данному.

Проводим прямые, параллельные отрезку A 1 B 1 . Отмечаем точки пересечения полученной прямой со сторонами треугольника.

Искомые треугольники построены.

Сейчас мы рассмотрели примеры решения задач на построение треугольников методом подобия.

Также свойства подобных треугольников применяют при измерительных работах на местности. А именно: при определении высоты предмета и при определении расстояния до недоступной точки.

Рассмотрим примеры решения задач на определение высоты предмета.

Представим, что необходимо измерить высоту дерева, обозначим её B 1 C 1 . Понятно, что ни линейкой, ни верёвкой это сделать не возможно, так как до верхушки дерева никак нельзя дотянуться.

Поступим следующим образом. Возьмём шест высотой BC с вращающейся планкой на одном из концов, и направим планку на верхушку дерева.

Отметим точкой А точку пересечения прямой BB 1 с поверхностью земли.

Полученные треугольники ABC и AB 1 C 1 подобны по двум углам, ведь угол А у них общий, а углы ACB и AC 1 B 1 прямые:

Из подобия треугольников следует равенство отношений:

Допустим, . Тогда искомая высота дерева: .

Решим ещё одну задачу на определение высоты предмета.

Задача. Дерево отбрасывает тень длиной м. А человек ростом см отбрасывает тень длиной см. Найдите высоту дерева.

Решение.

Рассмотрим прямоугольные треугольники, образованные объектами и их те нями.

Так как объекты находятся на одной географической широте, то угол падения солнечных лучей в обоих случая будет одинаковым. Углы C и C 1 прямые.

Отсюда можем сделать вывод, что треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 подобны по двум углам. Значит, их соответствующие стороны пропорциональны и имеет место такое равенство:

Перед тем как подставлять известные величины переведём их в метры.

Перейдём к следующей группе задач. Определение расстояния до недоступной точки.

Предположим, нам нужно найти расстояние от некоторого пункта А до недоступной точки B.

Для этого на местности выбираем точку C, провешиваем отрезок AC и измеряем его длину. Далее измеряем углы А и C в треугольнике ABC. В этом нам поможет астролябия.

Астролябия - это угломерный прибор, служивший до 18 века для определения широт и долгот в астрономии, а также горизонтальных углов при землемерных работах.

Например, для определения угла, под которым наблюдатель видит звезду, направляющую этого прибора нужно расположить так, чтобы она одним своим концом указывала на глаз наблюдателя, а другим - на звезду. При этом горизонтальная ось должна быть параллельна линии горизонта.

Итак, измерив углы А и C, изобразим треугольник A 1 B 1 C 1 так, чтобы угол А 1 был равен углу А и угол C 1 был равен углу C.

Измеряем длины сторон A 1 B 1 и А 1 C 1 .

Если, зная длину отрезка AC, изобразить A 1 C 1 , например, с масштабом 1:1000, то можно значительно упростить вычисления.

Допустим AC=130 метрам, тогда A 1 C 1 изобразим длиной в 130 миллиметров. Измерив A 1 B 1 в миллиметрах, мы сразу получим длину АБ, но уже в метрах.

Задача. Для определения расстояния от точки А до недоступной точки B на местности выбрали точку C и измерили отрезок AC, углы BAC и ACB. Затем построили на бумаге треугольник A 1 B 1 C 1 подобный треугольнику ABC. Найдите AB, если AC равно семи метрам, A 1 C 1 - 2,8 сантиметра, A 1 B 1 - 3,4 сантиметра.

Из подобия треугольников следует равенство отношений. Отсюда выразим AB.

Подставим известные значения, переведя их предварительно в метры.

, , .

Ответ:

Подведём итоги урока.

Сегодня мы с вами знакомились с практическими приложениями подобия треугольников.

А именно рассмотрели примеры решения задач на построение треугольников методом подобия. Он состоит из двух этапов: построение треугольника подобного искомому и построение искомого треугольника.

А также познакомились с такими измерительными работами на местности как «определение высоты предмета» и «определение расстояния до недоступной точки».

§ 1 Метод подобия и его применение при решении задач на построение

Давайте познакомимся с методом подобия, который применяется при решении задач на построение треугольников, а также рассмотрим, как свойства подобных треугольников используются для проведения измерительных работ на местности.

Рассмотрим применение метода подобия при решении задач на построение. Данный метод состоит в том, что на основании некоторых данных строят треугольник, подобный искомому, а затем, используя остальные данные, строят уже сам искомый треугольник.

Задача: Построить треугольник по данным двум углам и биссектрисе при вершине третьего угла.

Даны два угла и отрезок - биссектриса при вершине третьего угла.

Требуется построить треугольник по данным элементам.

Построение:

Построим треугольник подобный искомому. Для этого сначала начертим произвольный отрезок А1В1, затем построим треугольник А1В1С с углами А1 и В1, равными данным углам. С помощью циркуля и линейки разделим угол С пополам, получим биссектрису и отложим на ней отрезок СD, равный данному отрезку. Через точку D проведем прямую, параллельную А1В1, эта прямая пересечет стороны угла С в точках А и В. Треугольник АВС - искомый.

В самом деле, по построению биссектриса СD треугольника АВС равна данному отрезку, а так как А1В1 параллельна АВ, то ∠А=∠А1, ∠В=∠В1 как соответственные углы при параллельных прямых А1В1 и АВ и секущих АС и ВС. Значит, два угла треугольника АВС соответственно равны данным углам. Таким образом, треугольник АВС удовлетворяет всем требованиям задачи.

Эта задача имеет единственное решение, и оно возможно, если сумма двух данных углов меньше 180°.

Подобием пользуются архитекторы, конструкторы, геодезисты, художники и многие другие специалисты. Перед тем как строить дом, завод или другое сооружение, сначала создают его план - уменьшенное изображение будущего строения. Увеличивая фотоснимки, тоже получают подобные изображения.

§ 2 Определение высоты предмета

С помощью подобия треугольников можно измерять высоты деревьев, вышек, заводских труб и т.д.

Предположим, что нам нужно определить высоту дерева.

Обозначим высоту дерева СD. На некотором расстоянии от дерева поставим шест АВ с вращающейся планкой и направим планку на верхнюю точку дерева в точку С. Далее отметим на земле точку М, в которой прямая АС пересекается с ВD. По рисунку видим, получаются два подобных треугольника МВА и МDС (угол М - общий, шест и дерево перпендикулярны к поверхности земли), треугольники подобны по первому признаку подобия треугольников, т.е. по двум углам. Так как треугольники подобны, то стороны пропорциональны, т.е.

Длину шеста АВ, а также расстояния МВ и МD мы всегда можем измерить.

Например: МВ = 3 м, МD = 6,3 м; АВ = 1,5 м, тогда

Также для определения высоты дерева можно использовать зеркало.

Луч света FD, отражается от зеркала в точке D и попадает в глаз человека в точку В, получается подобие треугольников.

Таким способом Фалес еще в 6 веке до н.э. измерил высоту египетской пирамиды, удивив тогдашних мудрецов.

§ 3 Определение расстояния до недоступной точки

Свойства подобных треугольников применяются и в задачах, где нужно определить расстояние до недоступной точки.

Предположим, мы сидим на одном берегу реки, т.е. в точке А, а на другом берегу другой человек - это точка В, и нам нужно определить расстояние до него - АВ.

Для этого выбираем на местности точку С, измеряем расстояние АС. Затем, используя астролябию - прибор, с помощью которого измеряются углы на местности, измеряем углы А и С. Далее на листе бумаги строим произвольный треугольник А1В1С1, у которого ∠А=∠А1, ∠C=∠C1 . Треугольники АВС и А1В1С1 подобны по первому признаку подобия треугольников, значит,

Таким образом, по известным нам расстояниям мы можем теперь найти неизвестную величину- расстояние до недоступной точки.

Список использованной литературы:

Геометрия. 7-9 классы: учеб. для общеобразоват. организаций / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 2013. – 383 с. : ил.
Н.Ф.Гаврилова. Поурочные разработки по геометрии. 8 класс. – Москва, «Вако», 2005.
Л.С.Атанасян и др. Методические рекомендации к учебнику. – Москва, «Просвещение», 2001.
Д.А.Мальцева. Математика. 9 класс ГИА 2014. – Москва, Народное образование, 2013.
О.В.Белицкая. Геометрия. 8 класс. Тесты. – Саратов, «Лицей», 2009.
С.П.Бабенко, И.С.Маркова. Геометрия 8. Комплексная тетрадь для контроля знаний. – Москва, «Аркти», 2014.

Предыдущая статья: Чему равна скорость света Следующая статья: Углерод — характеристика элемента и химические свойства

Видеоурок «Практические приложения подобия треугольников.

Просмотр содержимого документа «Конспект урока по геометрии по теме «Практические приложения подобия треугольников». »

Предварительный просмотр:

Предварительный просмотр:

Просмотр содержимого документа
«Конспект урока по геометрии по теме «Практические приложения подобия треугольников». »