Эмм - экономико-математическое моделирование. Экономико-математические методы и моделирование

Современная экономическая теория включает в качестве необходимого инструмента математические модели и методы. Использование математики в экономике позволяет решить комплекс взаимосвязанных проблем.

Во-первых, выделить и формально описать наиболее важные, существенные связи экономических переменных и объектов. Это положение имеет принципиальный характер, поскольку изучение любого явления или процесса ввиду определенной степени сложности предполагает высокую степень абстракции.

Во-вторых, из сформулированных исходных данных и соотношений методами дедукции можно получать выводы, адекватные изучаемому объекту в той же мере, что и сделанные предпосылки.

В-третьих, методы математики и статистики позволяют путем индукции получать новые знания об объекте, например, оценивать форму и параметры зависимостей его переменных в наибольшей степени соответствующие имеющимся наблюдениям.

В-четвертых, использование математической терминологии позволяет точно и компактно излагать положения экономической теории, формулировать ее понятия и выводы.

Развитие макроэкономического планирования в современных условиях связано с ростом уровня его формализации. Основу для этого процесса заложил прогресс в области прикладной математики, а именно: теории игр, математического программирования, математической статистики и других научных дисциплин. Большой вклад в математическое моделирование экономики бывшего СССР внесли известные советские ученые В.С. Немчинов, В.В. Новожилов, Л.В. Канторович, Н.П. Федоренко. С. С. Шаталин и др. Развитие экономико-математического направления было связано в основном с попытками формально описать так называемую «систему оптимального функционирования социалистической экономики» (СОФЭ), в соответствии с которой строились многоуровневые системы моделей народнохозяйственного планирования, оптимизационные модели отраслей и предприятий.

Экономико-математические методы имеют следующие направления:

Экономико-статистические методы , включают методы экономической и математической статистики. Экономическая статистика занимается статистическим изучением народного хозяйства в целом и отдельных его отраслей на основе периодической отчетности. Инструментарием математической статистики, используемым для экономических исследований, являются дисперсионный и факторный анализ корреляции и регрессии.

Моделирование экономических процессов заключается в построении экономико-математических моделей и алгоритмов, проведении расчетов по ним с целью получения новой информацию о моделируемом объекте. С помощью экономико-математического моделирования могут решаться задачи анализа экономических объектов и процессов, прогнозирования возможных путей их развития (проигрывание различных сценариев), подготовки информации для принятия решений специалистами.

При моделировании экономических процессов широкое распространение получили: производственные функции, модели экономического роста, межотраслевой баланс, методы имитационного моделирования и др.

Исследование операций – научное направление, связанное с разработкой методов анализа целенаправленных действий и количественного обоснования решений. Типовые задачи исследования операций включают: задачи массового обслуживания, управления запасами, ремонта и замены оборудования, календарного планирования, распределительные задачи и др. Для их решения используются методы математического программирования (линейного, дискретного, динамического и стохастического), методы теории массового обслуживания, теории игр, теории управления запасами, теории расписаний и др., а также программно-целевые методы и методы сетевого планирования и управления.

Экономическая кибернетика – научное направление, занимающееся исследованием и совершенствованием экономических систем на основе общей теории кибернетики. Основные ее направления: теория экономических систем, теория экономической информации, теория систем управления в экономике. Рассматривая управление народным хозяйством как информационный процесс, экономическая кибернетика служит научной основой разработки автоматизированных систем управления.

В основе экономико-математических методов лежит описание наблюдаемых экономических процессов и явлений посредством моделей.

Математическая модель экономического объекта - его гомоморфное отображение в виде совокупности уравнений, неравенств, логических отношений, графиков, объединяющее группы отношений элементов изучаемого объекта в аналогичные отношения элементов модели. Модель – это условный образ экономического объекта, построенная для упрощения исследования последнего. Предполагается, что изучение модели имеет двоякий смысл: с одной стороны, оно дает новые знания об объекте, с другой - позволяет определить наилучшее решение применительно к различным ситуациям.

Математические модели, используемые в экономике, можно подразделить на классы по ряду признаков, относящихся к особенностям моделируемого объекта, цели моделирования и используемого инструментария. Это модели макро- и микроэкономические, теоретические и прикладные, равновесные и оптимизационные, описательные, матричные, статические и динамические, детерминированные и стохастические, имитационные и др.

Тема 1. Основные понятия математического моделирования социально-экономических систем.

Моделирование как метод научного познания.

СЭС, их свойства.

Этапы экономико-математического моделирования.

Классификация экономико-математических моделей.

Моделирование в научных исследованиях стало применяться ещё в глубокой древности и постепенно захватывало всё более новые области научных знаний: техническое конструирование, строительство и архитектуру, астрономию, физику, химию, биологию и, наконец, общественные науки. Большие успехи и признание практически во всех отраслях современной науки принес моделированию ХХ век.

Методология моделирования долгое время развивалась независимо отдельными науками. Отсутствовала единая система понятий, единая терминология. Лишь постепенно стала осознаваться роль моделирования как универсального метода научного познания.

Под моделированием понимается процесс построения, изучения и применения моделей.

Процесс моделирования обязательно включает построение абстракций, умозаключения по аналогии и конструирование научных гипотез. Главная особенность моделирования в том, что это метод опосредованного познания с помощью объектов-заместителей.

Модель - это условный образ, схема объекта исследования. Модель выступает как своеобразный инструмент познания, который исследователь ставит между собой и объектом и с помощью которого изучает интересующий его объект.

Необходимость использования метода моделирования определяется тем, что многие объекты (или проблемы, относящиеся к этим объектам) непосредственно исследовать или вовсе невозможно, или же это исследование требует много времени и средств.

Процесс моделирования включает 3 элемента: субъект (исследователь), объект исследования, модель, опосредствующую отношения субъекта и объекта.

Большинство объектов, изучаемых экономической наукой, может быть охарактеризовано кибернетическим понятием сложная система . Наиболее распространено понимание системы как совокупности элементов, находящихся во взаимодействии и образующих некоторую целостность, единство. Сложность системы любой природы (технической, экономической, биологической, социальной и т.д.) определяется количеством входящих в нее элементов, связями между ними, а также взаимоотношениями между системой и средой.

Экономика обладает всеми признаками сложной системы. Она объединяет огромное число элементов, отличающихся многообразием внутренних связей и связей с другими системами (природной средой, экономической деятельностью других субъектов, социальными отношениями). Сложность экономики иногда рассматривалась как обоснование невозможности ее моделирования, изучения средствами математики. Но такая точка зрения в принципе неверна.

Моделировать можно объект любой природы и любой сложности. Наибольший интерес для моделирования представляют сложные объекты; именно здесь моделирование может дать результаты, которые нельзя получить другими методами исследования.

Таким образом, основным методом исследования систем является метод моделирования, т.е. способ теоретического анализа и практического действия, направленный на разработку и использование моделей.

Моделирование развития систем основывается на двух методологических подходах:

Системный анализ , т.е. расчленение системы на отдельные элементы, изучение их взаимосвязей и закономерностей развития с использованием модели.

Системный подход, т.е. синтез – изучение объекта как единого целого на основе использования комплекса логических, информационных и алгоритмически взаимосвязанных систем моделей и методов их решения.

Если экономическая система трактуется как система общественного производства и потребления материальных благ, то социальные аспекты жизни общества весьма многогранны и не всегда доступны для детального анализа, моделирования и прогнозирования. Вместе с тем некоторые социальные проблемы являются объектом исследования для практических работников (анализ и прогнозирование покупательного спроса в маркетинге, распределение работников по уровню заработной платы в экономике и социологии труда). Многие из такого рода проблем могут быть решены с использованием экономико-математических методов и моделей.

Экономико-математическая модель представляет собой подобие или аналог изучаемого экономического явления или процесса, выраженного с помощью математических зависимостей и соотношений.

Под экономико-математическими методами подразумевается цикл научных дисциплин, предметом изучения которых являются количественные характеристики и закономерности экономических процессов, рассматриваемые в неразрывной связи с их качественными характеристиками.

В исследованиях применяют методы математической статистики, теории вероятностей, в значительной степени используют аппарат математического программирования и моделирования экономических процессов, сетевого планирования, теории массового обслуживания, экспертных оценок и т.д.

Применение математических методов в решении практических проблем позволяет совершенствовать систему экономической информации, повысить точность экономических расчетов, углубить количественный анализ экономических проблем, решить принципиально новые экономические задачи.

Практическими задачами экономико-математического моделирования являются:

Анализ экономических объектов и процессов;

Экономическое прогнозирование развития процессов и явлений;

Выработка управленческих решений на всех уровнях управления.

Полученные в результате экономико-математического моделирования данные могут использоваться как «консультирующие» средства.

Важным понятием при ЭММ является понятие адекватности модели , т.е. соответствия модели моделируемому объекту или процессу по тем свойствам, которые являются существенными для исследования. Проверка адекватности экономико-математических моделей осложняется трудностью измерения экономических величин.

Сфера практического применения метода моделирования ограничивается возможностями и эффективностью формализации экономических проблем и ситуаций, а также состоянием информационного, математического, технического обеспечения используемых моделей.

В настоящее время наиболее перспективным направлением использования экономико-математических методов является реализация системы ЭММ в рамках автоматизированных систем управления, автоматизированных рабочих мест специалистов, руководителей в рамках локальных информационных сетей (ЛИС).

Социально-экономическая система (СЭС) относится к сложным системам. Она является более сложной по сравнению с экономической и определяется системой отношений человека с природой, обществом, производством, предпринимательством. Она охватывает процессы производства, обмена, распределения и потребления материальных и других благ.

В экономической подсистеме рассматриваются отношения человека к производству, в социальной - отношения человека к природе.

СЭС включает экономические и социальные подсистемы.

В рамках «экономической системы» выделяют понятие «производственной системы». Это закономерно устойчивая связь и взаимоотношение всех отраслей и элементов производства в определенный период времени. Модели производственной системы позволяют описать целенаправленно развиваемый вид трудовой деятельности человека, его динамику.

Производственная система подразделяется на подкомплексы отраслей АПК:

отрасли, обеспечивающие развитие отраслей АПК;

собственно сельское хозяйство;

создание конечных продуктов (перерабатывающая промышленность).

Такие системы можно рассмотреть на федеральном, региональном уровне, уровне межхозяйственных объединений и предприятий, предприятий и их подразделений.

Сложные системы в экономике обладают рядом свойств, которые необходимо учитывать при их моделировании, иначе невозможно говорить об адекватности построенной экономической модели.

Важнейшие из этих свойств:

Эмерджентность - проявление целостности системы, т.е. наличие у экономической системы таких свойств, которые не присущи ни одному из составляющих ее элементов, взятому в отдельности. Поэтому СЭС необходимо исследовать и моделировать в целом.

Массовый характер экономических явлений и процессов . Закономерности экономических процессов не обнаруживаются на основании небольшого числа наблюдателей. Поэтому моделирование в экономике должно опираться на массовые наблюдения.

Динамичность экономических процессов заключается в изменении параметров и структуры экономических систем под влиянием среды (внешних факторов).

Случайность и неопределённость в развитии экономических явлений. Поэтому экономические явления и процессы носят в основном вероятностный характер, и для их изучения необходимо применение ЭММ на базе теории вероятностей и математической статистики.

Невозможность изолировать протекающие в экономических системах явления и процессы от окружающей среды , чтобы наблюдать и исследовать их в чистом виде.

Активная реакция на проявляющиеся новые факторы, способность СЭС к активным действиям в зависимости от отношения системы к этим факторам, способам и методам их воздействия.

Выделенные свойства СЭС, естественно, осложняют процесс их моделирования, однако эти свойства следует постоянно иметь в виду при рассмотрении различных аспектов экономико-математического моделирования, начиная с выбора типа модели и заканчивая вопросами практического использования результатов моделирования.

Разработка ЭММ осуществляется поэтапно, в определённой последовательности:

1. Постановка экономической проблемы и её качественный анализ.

Требуется экономическая формулировка, включающая цель решения, установление планового периода, выяснение известных параметров объекта и тех, значение которых нужно определить, их производственно-экономических связей, а также множества факторов и условий, отражающих моделируемый процесс.

Цель решения задачи выражается количественно конкретным показателем, называемым критерием оптимальности. Он должен соответствовать экономической сущности решаемой задачи. При этом необходим всесторонний и глубокий качественный анализ существа задачи и точная формулировка цели её решения.

2. Построение математической модели .

Это этап формализации экономической проблемы, т.е. выражения её в виде конкретных математических зависимостей (функций, уравнений, неравенств). Построение модели подразделяется в свою очередь на несколько стадий. Сначала определяется тип ЭММ, изучаются возможности применения в данной задаче, затем уточняется конкретный перечень переменных и параметров и форма связей.

3.Математический анализ модели.

Целью этого этапа является выяснение общих свойств модели. Здесь применяются математические приёмы исследования. Наиболее важный момент - доказательство существования решений в сформулированной модели.

4.Подготовка исходной информации.

Математическое моделирование предъявляет жесткие требования к системе информации; при этом надо принимать во внимание не только возможность подготовки информации, но и затраты на ее подготовку. При системном экономико-математическом моделировании результаты функционирования одних моделей служат исходной информацией для других.

Информация как совокупность необходимых для моделирования сведений об экономическом объекте или процессе должна быть полной, достоверной, доступной и своевременной.

Целью обработки исходной информации является разработка и обоснование системы технико-экономических характеристик объекта или процесса.

Для любой модели эти характеристики формируются в виде технико-экономических коэффициентов, коэффициентов целевой функции и объёмных показателей (констант) ресурсов или продукции.

ТЭК можно подразделить на 3 группы:

Нормативы затрат ресурсов или выхода продукции

Коэффициенты пропорциональности (предусматривают определение соотношения между зависимыми переменными)

Коэффициенты связи (обуславливают зависимость переменной от объёмного показателя).

Затраты на подготовку информации не должны превышать эффект от её использования.

5.Численное решение.

Этот этап включает разработку алгоритмов численного решения задачи, подготовку программ на ЭВМ и непосредственное проведение расчётов, при этом значительные трудности вызываются большой размерностью экономических задач.

Обычно расчёты на основе ЭММ носят многовариантный характер. Многочисленные модельные эксперименты, изучение поведения модели при различных условиях возможно проводить благодаря высокому быстродействию современных ЭВМ. Для решения задач важное значение имеют методы оптимизации.

6. Анализ численных результатов и их применение.

На этом этапе решается вопрос о правильности и полноте результатов моделирования и применимости их как в практической деятельности, так и в целях усовершенствования модели.

Перечисленные этапы экономико-математического моделирования находятся в тесной взаимосвязи и могут иметь место возвратные связи этапов. Так, на этапе построения модели может выясниться, что постановка задачи или противоречива, или приводит к слишком сложной математической модели; в этом случае исходная постановка задачи должна быть скорректирована. Наиболее часто необходимость возврата к предшествующим этапам моделирования возникает на этапе подготовки исходной информации.

Таким образом, моделирование - циклический процесс. Знания об исследованном объекте расширяются и уточняются, а исходная модель постепенно совершенствуется.

В дальнейшем можно использовать более общую схему процесса моделирования, включающую:

Постановку задачи,

Формирование ЭММ,

Решение задачи,

Анализ полученных результатов.

Суть экономико- математического моделирования заключается в описании СЭС и процессов в виде ЭММ.

Математические модели можно подразделить по ряду признаков:

1. По общему целевому назначению:

Теоретико-аналитические – используются при изучении общих свойств и закономерностей экономических процессов;

Прикладные – применяются в решении конкретных экономических задач (модели экономического анализа, прогнозирования и управления).

2. По степени агрегирования объектов:

Макроэкономические (экономика в целом);

Микроэкономические (предприятие).

3. По конкретному предназначению (по цели создания и применения):

Балансовые модели, выражающие требование соответствия наличия ресурсов их использованию;

Трендовые модели, в которых развитие моделируемой экономической системы отражается через тренд (длительную тенденцию) её основных показателей;

Оптимизационные модели, предназначенные для выбора наилучшего варианта функционирования системы;

Имитационные модели используются в процессе машинной имитации изучаемых систем или процессов.

4. По типу информации:

Аналитические (опыт);

Идентифицируемые (эксперимент)

5. По учёту фактора времени:

Статические описывают состояние экономического объекта в конкретный момент или период времени;

Динамические описывают экономические системы в развитии.

6. По типу математического аппарата:

Модели матричные, линейного и нелинейного программирования, сетевого планирования, корреляционно – регрессионные, теории игр и т. д.

Модели экономических процессов весьма разнообразны по форме математических зависимостей. Особенно важно выделить класс линейных моделей, наиболее удобных для анализа и вычислений и получивших вследствие этого большое распространение. Но в то же время многие зависимости в экономике носят принципиально нелинейный характер.

7. По учёту фактора неопределённости:

Детерминированные предполагают жесткие функциональные связи между переменными модели;

Стохастические (вероятностные) допускают наличие случайных воздействий на исследуемые показатели.

8. По типу подхода к изучаемым СЭС :

Дескриптивные (описательные) предназначены для описания и объяснения фактически наблюдаемых явлений, их прогноза (балансовые, трендовые модели);

Нормативные определяют как развивается экономическая система, как она должна быть устроена и как должна действовать с учётом определённых критериев (оптимизационные модели).

С развитием экономико-математических исследований проблема классификации применяемых моделей усложняется. Наряду с появлением новых типов моделей и новых признаков их классификации осуществляется процесс интеграции моделей разных типов в более сложные модельные конструкции.

Предметом курса являются количественные характеристики экономических явлений и процессов в агропромышленном производстве и предпринимательстве.

Задачи курса:

Изучить основные приёмы и методы моделирования основных закономерностей и экономических процессов в СЭС аграрного сектора.

Основным методом являются методы математического моделирования, т.е. расчёта количественных характеристик развития биолого-технических, организационно-технологических, производственно-отраслевых и предпринимательских отношений личности работника с природой, обществом, производством.

Научиться пользоваться пакетом прикладных программ для ЭВМ для автоматизации формирования и расчёта системы ЭММ.

Изучить экономико-математический анализ оптимальных решений.

Современная экономическая теория включает в качестве необходимого инструмента математические модели и методы. Использование математики в экономике позволяет решить комплекс взаимосвязанных проблем.

Во-первых, выделить и формально описать наиболее важные, существенные связи экономических переменных и объектов.

Это положение имеет принципиальный характер, поскольку изучение любого явления или процесса ввиду определенной степени сложности предполагает высокую степень абстракции.

Во-вторых, из сформулированных исходных данных и соотношений методами дедукции можно получать выводы, адекватные изучаемому объекту в той же мере, что и сделанные предпосылки.

В-третьих, методы математики и статистики позволяют путем индукции получать новые знания об объекте, например, оценивать форму и параметры зависимостей его переменных в наибольшей степени соответствующие имеющимся наблюдениям.

В-четвертых, использование математической терминологии позволяет точно и компактно излагать положения экономической теории, формулировать ее понятия и выводы.

Развитие макроэкономического планирования в современных условиях связано с ростом уровня его формализации. Основу для этого процесса заложил прогресс в области прикладной математики, а именно: теории игр, математического программирования, математической статистики и других научных дисциплин. Большой вклад в математическое моделирование экономики бывшего СССР внесли известные советские ученые В.С. Немчинов, В.В. Новожилов, Л.В. Канторович, Н.П. Федоренко. С. С. Шаталин и др. Развитие экономико-математического направления было связано в основном с попытками формально описать так называемую «систему оптимального функционирования социалистической экономики» (СОФЭ), в соответствии с которой строились многоуровневые системы моделей народнохозяйственного планирования, оптимизационные модели отраслей и предприятий.

Экономико-математические методы имеют следующие направления:

Экономико-статистические методы, включают методы экономической и математической статистики. Экономическая статистика занимается статистическим изучением народного хозяйства в целом и отдельных его отраслей на основе периодической отчетности. Инструментарием математической статистики, используемым для экономических исследований, являются дисперсионный и факторный анализ корреляции и регрессии.

Моделирование экономических процессов заключается в построении экономикоматематических моделей и алгоритмов, проведении расчетов по ним с целью получения новой информацию о моделируемом объекте. С помощью экономико-математического моделирования могут решаться задачи анализа экономических объектов и процессов, прогнозирования возможных путей их развития (проигрывание различных сценариев), подготовки информации для принятия решений специалистами.

При моделировании экономических процессов широкое распространение получили: производственные функции, модели экономического роста, межотраслевой баланс, методы имитационного моделирования и др.

Исследование операций - научное направление, связанное с разработкой методов анализа целенаправленных действий и количественного обоснования решений.

Типовые задачи исследования операций включают: задачи массового обслуживания, управления запасами, ремонта и замены оборудования, календарного планирования, распределительные задачи и др. Для их решения используются методы математического программирования (линейного, дискретного, динамического и стохастического), методы теории массового обслуживания, теории игр, теории управления запасами, теории расписаний и др., а также программно-целевые методы и методы сетевого планирования и управления.

Экономическая кибернетика - научное направление, занимающееся исследованием и совершенствованием экономических систем на основе общей теории кибернетики. Основные ее направления: теория экономических систем, теория

экономической информации, теория систем управления в экономике. Рассматривая управление народным хозяйством как информационный процесс, экономическая кибернетика служит научной основой разработки автоматизированных систем управления.

В основе экономико-математических методов лежит описание наблюдаемых экономических процессов и явлений посредством моделей.

Математическая модель экономического объекта - его гомоморфное отображение в виде совокупности уравнений, неравенств, логических отношений, графиков, объединяющее группы отношений элементов изучаемого объекта в аналогичные отношения элементов модели. Модель - это условный образ экономического объекта, построенная для упрощения исследования последнего. Предполагается, что изучение модели имеет двоякий смысл: с одной стороны, оно дает новые знания об объекте, с другой - позволяет определить наилучшее решение применительно к различным ситуациям.

Математические модели, используемые в экономике, можно подразделить на классы по ряду признаков, относящихся к особенностям моделируемого объекта, цели моделирования и используемого инструментария.

Это модели макро- и микроэкономические, теоретические и прикладные, равновесные и оптимизационные, описательные, матричные, статические и динамические, детерминированные и стохастические, имитационные и др. 5.5.

Еще по теме Экономико-математические методы:

1. Методы моделирования и экономико-математические методы

теоретико-аналитические, применяемые для исследования наиболее общих свойств и закономерностей развития экономических процессов;прикладные, используемые для решения конкретных задач.

2. По уровням исследуемых экономических процессов:

производственно-технологические;социально-экономические.

3. По характеру отражения причинно-следственных связей:

детерминированные;недетерминированные (вероятностные, стохастические), учитывающие фактор неопределённости.

4. По способу отражения фактора времени:

статические. Здесь все зависимости относятся к одному моменту или периоду времени);динамические, характеризующие изменения процессов во времени.

5. По форме математических зависимостей:

линейные. Наиболее удобны для анализа и вычислений, вследствие чего получили большое распространение;нелинейные.

6. По степени детализации (степени огрубления структуры):

агрегированные ("макромодели");детализированные ("микромодели").

Для понимания структуры нашего курса важное значение имеет схема, представленная на рисунке 1.3. В правой части рисунка показаны основные классы экономико-математических методов (классификация по используемому математическому аппарату), а в левой части - важнейшие направления применения методов.

Следует помнить также, что каждый из методов может быть применен для решения различных по специфике задач. И наоборот, одна и та же задача может решаться различными методами.

С другой стороны, заданы векторы цен и вектор ресурсов , ограничивающий использование факторов.

По 1-й теореме двойственности имеем рх* = y*b (стоимость продукции равна стоимости затраченных факторов. Следова­тельно, у* - вектор цен на факторы).

Двойственные переменные часто называются условными оценками (двойственными оценками, объективно обусловленными оценками). В данном случае они дают ответ на вопрос: какова наименьшая стоимость набора факторов b , дающая возможность обращения факторов в продукты и продажи продуктов по ценам р. Если оценка затрат, необходимых для производства продукта, меньше цены продукта, то более выгодно произвести и продать продукт, чем продать эти факторы. При оптимальных значениях х* и у* фирме безразлично, выпускать ли продукты, чтобы продать по ценам р, или продать ресурсы по ценами y*, так как y* b = р х* .

По 2-й теореме двойственности имеем:

а) всякий фактор, который не может быть использован при производстве оптимального набора продуктов, получает нулевую оценку (т. е. избыточно предлагаемые факторы не представляют ценности);

б) продукт, издержки на производство которого превосходят его цену (когда факторы оцениваются в оптимальных условных оценках), не будет производиться при оптимальном производстве. Поскольку эти соотношения соответствуют состоянию равновесия конкурентной экономики, 2-я теорема получила название теоремы равновесия.

Прямая задача Двойственная задача

m ax px min yb

Ах ≤ Ь, х ≥0 y А ≥ р, у ≥ 0

Запись прямой и двойственной задач в развернутой форме приведена ниже.

Пусть ν * - оптимальное значение целевой функции, у* - оптимальный вектор двойственной задачи. Заменим b на b+ https://pandia.ru/text/79/131/images/image013.gif" width="15" height="18 src=">v* оптимального значения целевой функции определяется соотношением: v* = у* https://pandia.ru/text/79/131/images/image013.gif" width="15" height="18 src=">v* = yi * b i .