Функции случайных величин. Функция распределения вероятностей случайной величины и ее свойства
Функцией распределения случайной величины X называется функция F(x), выражающая для каждого х вероятность того, что случайная величина X примет значение , меньшее х
Пример 2.5. Дан ряд распределения случайной величины
Найти и изобразить графически ее функцию распределения. Решение. В соответствии с определением
F(jc) = 0 при х х
F(x) = 0,4 + 0,1 = 0,5 при 4 F{x) = 0,5 + 0,5 = 1 при х > 5.
Итак (см. рис. 2.1):
Свойства функции распределения:
1. Функция распределения случайной величины есть неотрицательная функция, заключенная между нулем и единицей:
2. Функция распределения случайной величины есть неубывающая функция на всей числовой оси, т.е. при х 2 >х
3. На минус бесконечности функция распределения равна нулю, на плюс бесконечности - равна единице, т.е.
4. Вероятность попадания случайной величины X в интервал равна определенному интегралу от ее плотности вероятности в пределах от а до b (см. рис. 2.2), т.е.
Рис. 2.2
3. Функция распределения непрерывной случайной величины (см. рис. 2.3) может быть выражена через плотность вероятности по формуле:
F(x)= Jp (*)*. (2.10)
4. Несобственный интеграл в бесконечных пределах от плотности вероятности непрерывной случайной величины равен единице:
Геометрически свойства / и 4 плотности вероятности означают, что ее график - кривая распределения - лежит не ниже оси абсцисс , и полная площадь фигуры , ограниченной кривой распределения и осью абсцисс , равна единице.
Для непрерывной случайной величины X математическое ожидание М(Х) и дисперсия D(X) определяются по формулам:
(если интеграл абсолютно сходится); или
(если приведенные интегралы сходятся).
Наряду с отмеченными выше числовыми характеристиками для описания случайной величины используется понятие квантилей и процентных точек.
Квантилем уровня q (или q-квантилем) называется такое значение x q случайной величины , при котором функция ее распределения принимает значение , равное q, т. е.
- 100q%-ou точкой называется квантиль X~ q .
- ? Пример 2.8.
По данным примера 2.6 найти квантиль xqj и 30%-ную точку случайной величины X.
Решение. По определению (2.16) F(xo t3)= 0,3, т. е.
~Y~ = 0,3, откуда квантиль х 0 3 = 0,6. 30%-ная точка случайной величины X , или квантиль Х)_о,з = xoj » находится аналогично из уравнения ^ = 0,7 . откуда *,= 1,4. ?
Среди числовых характеристик случайной величины выделяют начальные v* и центральные р* моменты к-го порядка , определяемые для дискретных и непрерывных случайных величин по формулам:
Случайной величиной называется переменная, которая может принимать те или иные значения в зависимости от различных обстоятельств, и случайная величина называется непрерывной , если она может принимать любое значение из какого-либо ограниченного или неограниченного интервала. Для непрерывной случайной величины невозможно указать все возможные значения, поэтому обозначают интервалы этих значений, которые связаны с определёнными вероятностями.
Примерами непрерывных случайных величин могут служить: диаметр детали, обтачиваемой до заданного размера, рост человека, дальность полёта снаряда и др.
Так как для непрерывных случайных величин функция F (x ), в отличие от дискретных случайных величин , нигде не имеет скачков, то вероятность любого отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю.
Это значит, что для непрерывной случайной величины бессмысленно говорить о распределении вероятностей между её значениями: каждое из них имеет нулевую вероятность. Однако в некотором смысле среди значений непрерывной случайной величины есть "более и менее вероятные". Например, вряд ли у кого-либо возникнет сомнение, что значение случайной величины - роста наугад встреченного человека - 170 см - более вероятно, чем 220 см, хотя и одно, и другое значение могут встретиться на практике.
Функция распределения непрерывной случайной величины и плотность вероятности
В качестве закона распределения, имеющего смысл только для непрерывных случайных величин, вводится понятие плотности распределения или плотности вероятности. Подойдём к нему путём сравнения смысла функции распределения для непрерывной случайной величины и для дискретной случайной величины.
Итак, функцией распределения случайной величины (как дискретной, так и непрерывной) или интегральной функцией называется функция , которая определяет вероятность, что значение случайной величины X меньше или равно граничному значению х .
Для дискретной случайной величины в точках её значений x 1 , x 2 , ..., x i ,... сосредоточены массы вероятностей p 1 , p 2 , ..., p i ,... , причём сумма всех масс равна 1. Перенесём эту интерпретацию на случай непрерывной случайной величины. Представим себе, что масса, равная 1, не сосредоточена в отдельных точках, а непрерывно "размазана" по оси абсцисс Оx с какой-то неравномерной плотностью. Вероятность попадания случайной величины на любой участок Δx будет интерпретироваться как масса, приходящаяся на этот участок, а средняя плотность на этом участке - как отношение массы к длине. Только что мы ввели важное понятие теории вероятностей: плотность распределения.
Плотностью вероятности f (x ) непрерывной случайной величины называется производная её функции распределения:
.
Зная функцию плотности, можно найти вероятность того, что значение непрерывной случайной величины принадлежит закрытому интервалу [a ; b ]:
вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет какое-либо значение из интервала [a ; b ], равна определённому интегралу от её плотности вероятности в пределах от a до b :
.
При этом общая формула функции F (x ) распределения вероятностей непрерывной случайной величины, которой можно пользоваться, если известна функция плотности f (x ) :
.
График плотности вероятности непрерывной случайной величины называется её кривой распределения (рис. ниже).
Площадь фигуры (на рисунке заштрихована), ограниченной кривой, прямыми, проведёнными из точек a и b перпендикулярно оси абсцисс, и осью Ох , графически отображает вероятность того, что значение непрерывной случайной величины Х находится в пределах от a до b .
Свойства функции плотности вероятности непрерывной случайной величины
1. Вероятность того, что случайная величина примет какое-либо значение из интервала (и площадь фигуры, которую ограничивают график функции f (x ) и ось Ох ) равна единице:
2. Функция плотности вероятности не может принимать отрицательные значения:
а за пределами существования распределения её значение равно нулю
Плотность распределения f (x ), как и функция распределения F (x ), является одной из форм закона распределения, но в отличие от функции распределения, она не универсальна: плотность распределения существует только для непрерывных случайных величин.
Упомянем о двух важнейших в практике видах распределения непрерывной случайной величины.
Если функция плотности распределения f (x ) непрерывной случайной величины в некотором конечном интервале [a ; b ] принимает постоянное значение C , а за пределами интервала принимает значение, равное нулю, то такое распределение называется равномерным .
Если график функции плотности распределения симметричен относительно центра, средние значения сосредоточены вблизи центра, а при отдалении от центра собираются более отличающиеся от средних (график функции напоминает разрез колокола), то такое распределение называется нормальным .
Пример 1. Известна функция распределения вероятностей непрерывной случайной величины:
Найти функцию f (x ) плотности вероятности непрерывной случайной величины. Построить графики обеих функций. Найти вероятность того, что непрерывная случайная величина примет какое-либо значение в интервале от 4 до 8: .
Решение. Функцию плотности вероятности получаем, находя производную функции распределения вероятностей:
График функции F (x ) - парабола:
График функции f (x ) - прямая:
Найдём вероятность того, что непрерывная случайная величина примет какое либо значение в интервале от 4 до 8:
Пример 2. Функция плотности вероятности непрерывной случайной величины дана в виде:
Вычислить коэффициент C . Найти функцию F (x ) распределения вероятностей непрерывной случайной величины. Построить графики обеих функций. Найти вероятность того, что непрерывная случайная величина примет какое-либо значение в интервале от 0 до 5: .
Решение. Коэффициент C найдём, пользуясь свойством 1 функции плотности вероятности:
Таким образом, функция плотности вероятности непрерывной случайной величины:
Интегрируя, найдём функцию F (x ) распределения вероятностей. Если x < 0 , то F (x ) = 0 . Если 0 < x < 10 , то
.
x > 10 , то F (x ) = 1 .
Таким образом, полная запись функции распределения вероятностей:
График функции f (x ) :
График функции F (x ) :
Найдём вероятность того, что непрерывная случайная величина примет какое либо значение в интервале от 0 до 5:
Пример 3. Плотность вероятности непрерывной случайной величины X задана равенством , при этом . Найти коэффициент А , вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет какое-либо значение из интервала ]0, 5[, функцию распределения непрерывной случайной величины X .
Решение. По условию приходим к равенству
Следовательно, , откуда . Итак,
.
Теперь находим вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет какое-либо значение из интервала ]0, 5[:
Теперь получим функцию распределения данной случайной величины:
Пример 4.
Найти плотность вероятности непрерывной
случайной величины X
, которая принимает только неотрицательные значения, а
её функция распределения 
.
Дисперсия
непрерывной случайной величины X , возможные значения которой принадлежат всей оси Ох, определяется равенством:
Назначение сервиса . Онлайн калькулятор предназначен для решения задач, в которых заданы либо плотность распределения f(x) , либо функция распределения F(x) (см. пример). Обычно в таких заданиях требуется найти математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение, построить графики функций f(x) и F(x) .
Инструкция . Выберите вид исходных данных: плотность распределения f(x) или функция распределения F(x) .
Задана плотность распределения f(x): 
Задана функция распределения F(x): 
Непрерывная случайна величина задана плотностью вероятностей 
(закон распределения Релея – применяется в радиотехнике). Найти M(x) , D(x) .
Случайную величину X называют непрерывной
, если ее функция распределения F(X)=P(X < x) непрерывна и имеет производную.
Функция распределения непрерывной случайной величины применяется для вычисления вероятностей попадания случайной величины в заданный промежуток:
P(α < X < β)=F(β) - F(α)
причем для непрерывной случайной величины не имеет значения, включаются в этот промежуток его границы или нет:
P(α < X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Плотностью распределения
непрерывной случайной величины называется функция
f(x)=F’(x) , производная от функции распределения.
Свойства плотности распределения
1. Плотность распределения случайной величины неотрицательна (f(x) ≥ 0) при всех значениях x.2. Условие нормировки:
Геометрический смысл условия нормировки: площадь под кривой плотности распределения равна единице.
3. Вероятность попадания случайной величины X в промежуток от α до β может быть вычислена по формуле
Геометрически вероятность попадания непрерывной случайной величины X в промежуток (α, β) равна площади криволинейной трапеции под кривой плотности распределения, опирающейся на этот промежуток.
4. Функция распределения выражается через плотность следующим образом:
Значение плотности распределения в точке x не равно вероятности принять это значение, для непрерывной случайной величины речь может идти только о вероятности попадания в заданный интервал. Пусть .
Пусть X - дискретная случайная величина, имеющая ряд распределения
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline{x_i}&x_1&x_2&\cdots&x_n\\\hline{p_i}&p_1&p_2&\cdots&p_n\\\hline\end{array}
Составим таблицу значений величины Y и вероятностей этих значений:
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline{y_i=\varphi(x_i)}&y_1=\varphi(x_1)&y_2=\varphi(x_2)&\cdots&y_n=\varphi(x_n)\\\hline{p_i}&p_1&p_2&\cdots&p_n\\\hline\end{array}
Эта таблица не является рядом распределения случайной величины Y , так как в общем случае некоторые из значений могут совпадать между собой и значения в верхней строке не обязательно идут в возрастающем порядке. Однако математическое ожидание случайной величины Y можно определить по формуле
M[\varphi(X)]=\sum\limits_{i=1}^{n}\varphi(x_i)p_i,
так как величина, определяемая формулой (6.4), не может измениться от того, что под знаком суммы некоторые члены будут заранее объединены, а порядок членов изменен.
Формула (6.4) не содержит в явном виде закон распределения самой функции \varphi(X) , а содержит только закон распределения аргумента X . Таким образом, для определения математического ожидания функции Y=\varphi(X) вовсе не требуется знать закон распределения функции \varphi(X) , а достаточно знать закон распределения аргумента X .
Для непрерывной случайной величины математическое ожидание вычисляется по формуле
M[\varphi(X)]=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\varphi(x)f(x)\,dx,
где f(x) - плотность распределения вероятностей случайной величины X .
Рассмотрим случаи, когда для нахождения математического ожидания функции случайных аргументов не требуется знание даже законов распределения аргументов, а достаточно знать только некоторые их числовые характеристики. Сформулируем эти случаи в виде теорем.
Теорема 6.1. Математическое ожидание суммы как зависимых, так и независимых двух случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин:
M(X+Y)=M(X)+M(Y).
Теорема 6.2. Математическое ожидание произведения двух случайных величин равно произведению их математических ожиданий плюс корреляционный момент:
M(XY)=M(X)M(Y)+\mu_{xy}.
Следствие 6.1. Математическое ожидание произведения двух некоррелированных случайных величин равно произведению их математических ожиданий.
Следствие 6.2. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.
Дисперсия функции случайных величин
По определению дисперсии имеем D[Y]=M[(Y-M(Y))^2]. . Следовательно,
D[\varphi(x)]=M[(\varphi(x)-M(\varphi(x)))^2] , где .
Приведем расчетные формулы только для случая непрерывных случайных аргументов. Для функции одного случайного аргумента Y=\varphi(X) дисперсия выражается формулой
D[\varphi(x)]=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}(\varphi(x)-M(\varphi(x)))^2f(x)\,dx,
где M(\varphi(x))=M[\varphi(X)] - математическое ожидание функции \varphi(X) ; f(x) - плотность распределения величины X .
Формулу (6.5) можно заменить на следующую:
D[\varphi(x)]=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\varphi^2(x)f(x)\,dx-M^2(X)
Рассмотрим теоремы о дисперсиях , которые играют важную роль в теории вероятностей и ее приложениях.
Теорема 6.3. Дисперсия суммы случайных величин равна сумме дисперсий этих величин плюс удвоенная сумма корреляционных моментов каждой из слагаемых величин со всеми последующими:
D\!\left[\sum\limits_{i=1}^{n}X_i\right]=\sum\limits_{i=1}^{n}D+2\sum\limits_{i Следствие 6.3.
Дисперсия суммы некоррелированных случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых: D\!\left[\sum\limits_{i=1}^{n}X_i\right]=\sum\limits_{i=1}^{n}D
\mu_{y_1y_2}= M(Y_1Y_2)-M(Y_1)M(Y_2).
\mu_{y_1y_2}=M(\varphi_1(X)\varphi_2(X))-M(\varphi_1(X))M(\varphi_2(X)).
Рассмотрим основные свойства корреляционного момента и коэффициента корреляции
. Свойство 1.
От прибавления к случайным величинам постоянных величин корреляционный момент и коэффициент корреляции не изменяются. Свойство 2.
Для любых случайных величин X
и Y
абсолютная величина корреляционного момента не превосходит среднего геометрического дисперсий данных величин: |\mu_{xy}|\leqslant\sqrt{D[X]\cdot D[Y]}=\sigma_x\cdot \sigma_y,
Универсальным способом задания закона распределения, пригодным как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин, является функция распределения. Функцией распределения случайной величины X
называется функция F
(x
), определяющая для каждого значения x
вероятность того, что случайная величина X
примет значение меньшее, чем x
, то есть F
(x
) = P
(X
< x
). Основные свойства функции распределения F
(x
)
: 1.
Так как по определению F
(x
) равна вероятности события, все возможные значения функции распределения принадлежат отрезку : 0 £ F
(x
) £ 1. 2.
Если , то , то есть F
(x
) - неубывающая функция своего аргумента. 3.
Вероятность того, что случайная величина примет значение, принадлежащее полуинтервалу [a
, b
), равна приращению функции распределения на этом интервале: P
(a
£ X
< b
) = F
(b
) - F
(a
). 4.
Если все возможные значения случайной величины принадлежат отрезку [a
, b
], то F
(x
) = 0, при x
£ a
; F
(x
) = 1, при x
> b
. Функция распределения дискретных случайных величин может быть определена по формуле
Если известен ряд распределения дискретной случайной величины, легко вычислить и построить ее функцию распределения. Продемонстрируем, как это делается на примере 23. Пример 25.
Вычислить и построить функцию распределения для дискретной случайной величины, закон распределения которой, имеет вид: Решение
. Определим значения функции F
(x
) = P
(X
< x
) для всех возможных значений x
: при x
Î (- ¥; 0,1] нет ни одного значения случайной величины X
, меньшего данных значений x
, то есть нет ни одного слагаемого в сумме (15): F
(x
) = 0; при x
Î (0,1; 1,2] только одно возможное значение (X
= 0,1) меньше рассматриваемых значений x
. То есть при x
Î (0,1; 1,2] F
(x
) = P
(X
= 0,1) = 0,1; при x
Î (1,2; 2,3] два значения (X
= 0,1 и X
= 1,2) меньше данных значений x
, следовательно, F
(x
) = P
(X
= 0,1) + P
(X
= 1,2) = 0,1 + 0,2 = 0,3; при x
Î (2,3; 4,5] три значения (X
= 0,1, X
= 1,2 и X
= 2,3) меньше данных значений x
, следовательно, F
(x
) = P
(X
= 0,1) + P
(X
= 1,2) + P
(X
= 2,3) = 0,1 + 0,2 + 0,6 = 0,9 ; при x
Î (4,5, ¥) все возможные значения случайной величины X
будут меньше данных значений x
, и F
(x
) = P
(X
= 0,1) + P
(X
= 1,2) + P
(X
= 2,3) + + P
(X
= 4,5) = 0,1 + 0,2 + 0,6 + 0,1 = 1. Таким образом
, График функции F
(x
) изображен на рисунке 8. В общем случае, функция распределения F
(x
) дискретной случайной величины X
есть разрывная ступенчатая функция, непрерывная слева, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям х
1 , х
2 , … случайной величины X
и равны вероятностям p
1 , p
2 , … этих значений. Функция распределения непрерывных случайных величин .
Теперь можно дать более точное определение непрерывных случайных величин: случайная величина X
называется непрерывной
, если ее функция распределения F
(x
) при всех значениях x
непрерывна и, кроме того, имеет производную
всюду, за исключением, может быть, отдельных точек. Из непрерывности функции F
(x
) следует, что вероятность каждого отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю
. Так как вероятность каждого отдельного значения непрерывной случайной величины равна 0, свойство 3 функции распределения для непрерывной случайной величины будет иметь вид P
(a
£ X
< b
) = P
(a
£ X
£ b
) = P
(a
< X
£ b
) = P
(a
< X
< b
) = F
(b
) - F
(a
). Пример 26.
Вероятности поражения цели для каждого из двух стрелков соответственно равны: 0,7; 0,6. Случайная величина X
- число промахов, при условии, что каждый стрелок сделал по одному выстрелу. Составить ряд распределения случайной величины X
, построить столбцовую диаграмму и функцию распределения. Решение. Возможные значения данной случайной величины X
: 0, 1, 2. Условие задачи можно рассматривать как серию из n
= 2 независимых испытаний. В данном случае для вычисления вероятностей возможных значений случайной величины X
можно воспользоваться теоремами сложения вероятностей несовместных событий и умножения вероятностей независимых событий: Обозначим события:
A
i = {i
-й стрелок поразил мишень}, i
= 1, 2. Согласно условию, вероятность события A
1 P
(A
1) = 0,7, вероятность события A
2 - P
(A
2) = 0,6 . Тогда вероятности противоположных событий: , . Определим все элементарные события данного случайного эксперимента и соответствующие вероятности:
(Проверим, что Ряд распределения данной случайной величины X
имеет вид Столбцовая диаграмма, соответствующая этому ряду распределения, приведена на рисунке 9. Вычислим функцию распределения данной случайной величины:
при x
Î (- ¥, 0] ; при x
Î (0, 1] ; при x
Î (1, 2] ; при x
Î (2, +¥); Итак, функция распределения рассматриваемой случайной величины имеет вид:
График функции F
(x
) приведён на рисунке 10. Плотностью распределения вероятностей
непрерывной случайной величины X
в точке x
называется производная ее функции распределения в этой точке: f
(x
) = F
¢(x
). По своему смыслу значения функции f
(x
) пропорциональны вероятности того, что исследуемая случайная величина примет значение где-то в непосредственной близости от точки x
. Функция плотности распределения f
(x
), как и функция распределения F
(x
), является одной из форм задания закона распределения, но она применима только для непрерывных случайных величин. Функцию плотности распределения вероятностей f
(x
) еще называют дифференциальной функцией распределения
, тогда как функцию распределения F
(x
) называют, соответственно, интегральной функцией распределения
. График функции плотности распределения f
(x
) называется кривой распределения
. Рассмотрим свойства, которыми обладает функция плотности распределения непрерывной случайной величины. Свойство 1.
Плотность распределения вероятностей - неотрицательная функция: f
(x
) ³ 0 (геометрически:
кривая распределения лежит не ниже оси абсцисс). Свойство 2.
Вероятность попадания значения случайной величины на участок от a до b определяется по формуле (геометрически:
эта вероятность равна площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой f
(x
), осью Ох
и прямыми x
= a и x
= b). Свойство 3.
(геометрически
: площадь фигуры, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс, равна единице). В частности, если все возможные значения случайной величины принадлежат отрезку [a
, b
], то Свойство 4.
Функция распределения F
(x
) может быть найдена по известной функции плотности распределения следующим образом: Пример 27.
Непрерывная случайная величина задана функцией распределения Определить дифференциальную функцию плотности распределения. Решение
. Определим дифференциальную функцию плотности распределения Пример 28.
Является ли плотностью распределения некоторой случайной величины каждая из следующих функций? Вопросы для самоконтроля
1. Что называется случайной величиной? 2. Какие величины называются дискретными? непрерывными? 3. Что называется законом распределения случайной величины? 4. Какими способами может быть задан закон распределения дискретной случай-ной величины? непрерывной? 5. Что характеризует функция распределения F(x)
случайной величины? 6. Как определить вероятность попадания значения случайной величины в некоторый интервал с помощью функции распределения? 7. Что характеризует функция плотности распределения случайной величины? Укажите ее вероятностный смысл. 8. Для каких величин определена функция плотности распределения? 9. Может ли функция плотности распределения принимать отрицательные зна-чения? 10. Как связаны между собой функции F(x)
и f
(x
)? 11. Какие случайные величины называются непрерывными? 12. Чему равна площадь фигуры, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс? 13. Как определить вероятность попадания значения непрерывной случайной ве-личины в некоторый интервал с помощью функции плотности распределения?
т. е. корреляционный момент двух функций случайных величин равен математическому ожиданию произведения этих функций минус произведение из математических ожиданий.
. (15)x i
0,1
1,2
2,3
4,5
p i
0,1
0,2
0,6
0,1
Элементарные события
События
Вероятности
Итого
).x i
Итого
p i
0,42
0,46
0,12
:
Функция плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины.
;
.
Предыдущая статья: Чему равна скорость света
Следующая статья: Углерод — характеристика элемента и химические свойства