Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.
Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.
От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
Как мы используем вашу персональную информацию:
Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.
Исключения:
Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.
По вашим просьбам!
13. Решите уравнение 3-4cos 2 x=0. Найдите сумму его корней, принадлежащих промежутку .
Понизим степень косинуса по формуле: 1+cos2α=2cos 2 α. Получаем равносильное уравнение:
3-2(1+cos2x)=0 ⇒ 3-2-2cos2x=0 ⇒ -2cos2x=-1. Делим обе части равенства на (-2) и получаем простейшее тригонометрическое уравнение:
14. Найдите b 5 геометрической прогрессии, если b 4 =25 и b 6 =16.
Каждый член геометрической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому соседних с ним членов:
(b n) 2 =b n-1 ∙b n+1 . У нас (b 5) 2 =b 4 ∙b 6 ⇒ (b 5) 2 =25·16 ⇒ b 5 =±5·4 ⇒ b 5 =±20.
15. Найдите производную функции: f(x)=tgx-ctgx.
16. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y(x)=x 2 -12x+27
на отрезке .
Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции y=f(x) на отрезке , нужно найти значения этой функции на концах отрезка и в тех критических точках, которые принадлежат данному отрезку, а затем из всех полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее.
Найдем значения функции при х=3 и при х=7, т.е. на концах отрезка.
y(3)=3 2 -12∙3+27 =9-36+27=0;
y(7)=7 2 -12∙7+27 =49-84+27=-84+76=-8.
Находим производную данной функции: y’(x)=(x 2 -12x+27)’ =2x-12=2(x-6); критическая точка х=6 принадлежит данному промежутку . Найдем значение функции при х=6.
y(6)=6 2 -12∙6+27 =36-72+27=-72+63=-9. А теперь выбираем из трех полученных значений: 0; -8 и -9 наибольшее и наименьшее: у наиб. =0; у наим. =-9.
17. Найдите общий вид первообразных для функции:
Данный промежуток – это область определения данной функции. Ответы должны начинаться с F(x), а не с f(x) – ведь мы ищем первообразную. По определению функция F(x) является первообразной для функции f(x), если выполняется равенство: F’(x)=f(x). Так что можно просто находить производные предложенных ответов, пока не получится данная функция. Строгое решение – это вычисление интеграла от данной функции. Применяем формулы:
19. Составьте уравнение прямой, содержащей медиану BD треугольника АВС, если его вершины А(-6; 2), В(6; 6) С(2; -6).
Для составления уравнения прямой нужно знать координаты 2-х точек этой прямой, а нам известны координаты только точки В. Так как медиана BD делит противолежащую сторону пополам, то точка D является серединой отрезка АС. Координаты середины отрезка есть полусуммы соответственных координат концов отрезка. Найдем координаты точки D.
20. Вычислить:
24. Площадь правильного треугольника, лежащего в основании прямой призмы, равна
Эта задача — обратная к задаче № 24 из варианта 0021.
25. Найдите закономерность и вставьте недостающее число: 1; 4; 9; 16; …
Очевидно, что это число 25 , так как нам дана последовательность квадратов натуральных чисел:
1 2 ; 2 2 ; 3 2 ; 4 2 ; 5 2 ; …
Всем удачи и успехов!
Цель урока:
Оборудование: Мультимедийная аппаратура.
Методический комментарий .
Ход урока
Повторение. Полезно вспомнить формулы решения простейших тригонометрических уравнений (экран).
Значения | Уравнение | Формулы решения уравнений |
sinx=a | ||
sinx=a | уравнение решений не имеет | |
а=0 | sinx=0 | |
а=1 | sinx= 1 | |
а= -1 | sinx= -1 | |
cosx=a | ||
cosx=a | уравнение решений не имеет | |
а=0 | cosx=0 | |
а=1 | cosx= 1 | |
а= -1 | cosx= -1 | |
tgx=a | ||
ctgx=a |
При отборе корней в тригонометрических уравнениях запись решений уравнений sinx=a, сosx=a в виде совокупности более оправдана. В этом мы убедимся при решении задач.
Решение уравнений.
Задача . Решить уравнение
Решение. Данное уравнение равносильно следующей системе
Рассмотрим окружность. Отметим на ней корни каждой системы и отметим дугой ту часть окружности, где выполняется неравенство (рис. 1 )
Рис. 1
Получаем, что не может быть решением исходного уравнения.
Ответ:
В этой задаче мы провели отбор корней неравенством.
В следующей задаче проведем отбор знаменателем. Для этого выберем корни числителя, но такие, что они не будут являться корнями знаменателя.
Задача 2. Решить уравнение.
Решение . Запишем решение уравнения, используя последовательные равносильные переходы.
Решая уравнение и неравенство системы, в решении ставим разные буквы, которые обозначают целые числа. Иллюстрируя на рисунке, отметим на окружности корни уравнения кружочками, а корни знаменателя крестиками (рис.2.)
Рис. 2
Из рисунка хорошо видно, что – решение исходного уравнения.
Обратим внимание учащихся на то, что отбор корней проще было проводить, используя систему c нанесением соответствующих точек на окружности.
Ответ:
Задача 3. Решить уравнение
3sin2x = 10 cos 2 x – 2 /
Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку .
Решение. В этой задаче производится отбор корней в промежуток, который задается условием задачи. Отбор корней в промежуток можно выполнять двумя способами: перебирая значения переменной для целых чисел или решая неравенство.
В данном уравнении отбор корней проведем первым способом, а в следующей задаче – путем решения неравенства.
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством и формулой двойного угла для синуса. Получим уравнение
6sinxcosx = 10cos 2 x – sin 2 x – cos 2 x, т.е. sin 2 x – 9cos 2 x+ 6sinxcosx = 0
Т.к. в противном случае sinx = 0 , что не может быть, так как не существует углов, для которых одновременно синус и косинус равные нулю в виду sin 2 x+ cos 2 x = 0.
Разделим обе части уравнения на cos 2 x. Получим tg 2 x+ 6tgx – 9 = 0 /
Пусть tgx = t , тогда t 2 + 6t – 9 = 0, t 1 = 2,t 2 = –8.
tgx = 2 или tg = –8;
Рассмотрим каждую серию отдельно, находя точки внутри промежутка , и по одной точке слева и справа от него.
Если к=0 , то x=arctg2 . Этот корень принадлежит рассматриваемому промежутку.
Если к=1 , то x=arctg2+. Этот корень тоже принадлежит рассматриваемому промежутку.
Если к=2 , то . Ясно, что данный корень не принадлежит нашему промежутку.
Мы рассмотрели одну точку справа от данного промежутка, поэтому к=3,4,… не рассматриваются.
Если к = –1, получим – не принадлежит промежутку .
Значения к = –2, –3,… не рассматриваются.
Таким образом, из данной серии два корня принадлежат промежутку
Аналогично предыдущему случаю убедимся, что при п = 0 и п = 2, а, следовательно, при п = –1, –2,…п = 3,4,… мы получим корни, не принадлежащие промежутку . Лишь при п=1 получим , принадлежащий этому промежутку.
Ответ:
Задача 4. Решить уравнение 6sin 2 x+2sin 2 2x=5 и указать корни, принадлежащие промежутку .
Решение. Приведем уравнение 6sin 2 x+2sin 2 2x=5 к квадратному уравнению относительно cos2x.
Откуда cos2x
Здесь применим способ отбора в промежуток при помощи двойного неравенства
Так как к принимает только целые значения, то возможно лишь к=2,к=3 .
При к=2 получим , при к=3 получим .
Ответ:
Методический комментарий. Приведенные четыре задачи рекомендуется решать учителю у доски с привлечением учащихся. Для решения следующей задачи лучше вызвать к дочке сильного учащегося, предоставив ему максимальную самостоятельность в рассуждениях.
Задача 5. Решить уравнение
Решение. Преобразовывая числитель, приведем уравнение к более простому виду
Полученное уравнение равносильно совокупности двух систем:
Отбор корней на промежутке (0; 5) проведем двумя способами. Первый способ -для первой системы совокупности, второй способ – для второй системы совокупности.
, 0
Так как к – целое число, то к=1 . Тогда х = – решение исходного уравнения.
Рассмотрим вторую систему совокупности
Если n=0 , то . При п = -1; -2;… решений не будет.
Если п=1,– решение системы и, следовательно, исходного уравнения.
Если п=2 , то
При решений не будет.