Как преобразовать в многочлен примеры. Почему сумма корней - ноль

Многочленом называют сумму одночленов. Если все члены многочлена записать в стандартном виде (см. п. 51) и выполнить приведение подобных членов, то получится многочлен стандартного вида.

Всякое целое выражение можно преобразовать в многочлен стандартного вида - в этом состоит цель преобразований (упрощений) целых выражений.

Рассмотрим примеры, в которых целое выражение нужно привести к стандартному виду многочлена.

Решение. Сначала приведем к стандартному виду члены многочлена. Получим После приведения подобных членов получим многочлен стандартного вида

Решение. Если перед скобками стоит знак «плюс, то скобки можно опустить, сохранив знаки всех слагаемых, заключенных в скобки. Воспользовавшись этим правилом раскрытия скобок, получим:

Решение. Если перед скобками стоит зиак «минус», то скобки можно опустить, изменив знаки всех слагаемых» заключенных в скобки. Воспользовавшись этим правилом паскрытия скобок, получим:

Решение. Произведение одночлена и многочлена согласно распределительному закону равно сумме произведений этого одночлена и каждого члена многочлена. Получаем

Решение. Имеем

Решение. Имеем

Осталось привести подобные члены (они подчеркнуты). Получим:

53. Формулы сокращенного умножения.

В некоторых случаях приведение целого выражения к стандартному виду многочлена осуществляется с использованием тождеств:

Эти тождества называют формулами сокращенного умножения,

Рассмотрим примеры, в которых нужно преобразовать заданное выражение в миогочлеи стандартного вида.

Пример 1. .

Решение. Воспользовавшись формулой (1), получим:

Пример 2. .

Решение.

Пример 3. .

Решение. Воспользовавшись формулой (3), получим:

Пример 4.

Решение. Воспользовавшись формулой (4), получим:

54. Разложение многочленов на множители.

Иногда можно преобразовать многочлен в произведение нескольких сомножителей - многочленов или одпочленов. Такое тождественное преобразование называется разложением многочлена на множители. В этом случае говорят, что многочлен делится на каждый из этих множителей.

Рассмотрим некоторые способы разложения многочленов на множители,

1) Вынесение общего множителя за скобку. Это преобразование является непосредственным следствием распределительного закона (для наглядности нужно лишь переписать этот закон «справа налево»):

Пример 1. Разложить на множители многочлен

Решение. .

Обычно при вынесении общего множителя за скобки каждую переменную, входящую во все члены многочлена, выносят с наименьшим показателем, который она имеет в данном многочлене. Если все коэффициенты многочлена - целые числа, то в качестве коэффициента общего множителя берут наибольший по модулю общий делитель всех коэффициентов многочлена.

2) Использование формул сокращенного умножения. Формулы (1) - (7) из п. 53, будучи прочитанными «справа налево, во многих случаях оказываются полезными для разложения многочленов на множители.

Пример 2. Разложить на множители .

Решение. Имеем . Применив формулу (1) (разность квадратов), получим . Применив

теперь формулы (4) и (5) (сумма кубов, разность кубов), получим:

Пример 3. .

Решение. Сначала вынесем за скобку общий множитель. Для этого найдем наибольший общий делитель коэффициентов 4, 16, 16 и наименьшие показатели степеней, с которыми переменные а и b входят в составляющие данный многочлен одночлены. Получим:

3) Способ группировки. Он основан на том, что переместительный и сочетательный законы сложения позволяют группировать члены многочлена различными способами. Иногда удается такая группировка, что после вынесения за скобки общих множителей в каждой группе в скобках остается однн и тот же многочлен, который в свою очередь как общий множитель может быть вынесен за скобки. Рассмотрим примеры разложения многочлена на множители.

Пример 4. .

Решение. Произведем группировку следующим образом:

В первой группе вынесем за скобку общий множитель во второй - общий множитель 5. Получим Теперь многочлен как общий множитель вынесем за скобку: Таким образом, получаем:

Пример 5.

Решение. .

Пример 6.

Решение. Здесь никакая группировка не приведет к появлению во всех группах одного и того же многочлена. В таких случаях иногда оказывается полезным представить какой-либо член многочлена в виде некоторой суммы, после чего снова попробовать применить способ группировки. В нашем примере целесообразно представить в виде суммы Получим

Пример 7.

Решение. Прибавим и отнимем одночлен Получим

55. Многочлены от одной переменной.

Многочлен , где a, b - числа переменная, называется многочленом первой степени; многочлен где а, b, с - числа переменная, называется многочленом второй степени или квадратным трехчленом; многочлен где а, b, с, d - числа переменная называется многочленом третьей степени.

Вообще если о, переменная, то многочлен

называется лсмогочленол степени (относительно х); , m-члены многочлена, коэффициенты, старший член многочлена, а - коэффициент при старшем члене, свободный член многочлена. Обычно многочлен записывают по убывающим степеням переменной, т. е. степени переменной постепенно уменьшаются, в частности, на первом месте стоит старший член, на последнем - свободный член. Степень многочлена - это степень старшего члена.

Например, многочлен пятой степени, в котором старший член, 1 - свободный член многочлена.

Корнем многочлена называют такое значение при котором многочлен обращается в нуль. Например, число 2 является корнем многочлена так как

ОТДЕЛЕНИЕ IV.

РАЗЛОЖЕНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ НА ПРОСТЫЕ МНОЖИТЕЛИ.

§ 1.Преобразование многочленов в произведение без посредства формул сокращенного умножения и деления.

Если все члены многочлена содержат общий множитель, то можно разделить весь многочлен на этот множитель и обозначить умножение того же множителя на полученное многочленное частное. От этого данное выражение не изменит своего количественного значения, но примет форму произведения. Например, двучлен аb+ас можно представить в виде а (b+с ).

Такое преобразование формы называется вынесением общего множителя за скобки. Производя это действие, следует заботиться выносить.за скобку все, что можно, так чтобы в членах частного, заключаемого в скобки, не оставалось больше никакого общего множителя.

Иногда при вынесении за скобку придают общему миожителю знак минус. В таком случае члены частного в скобках пишутся со знаками, противоположными тем, какие имели перед собой члены данного многочлена. Отрицательный знак общего множителя относится при этом ко всему произведению. Напр., двучлен -аb+ас может быть представлен в виде (-а )(b-с ), а вместо этого пишут -а (b-с ), причем минус относится уже не к одному множителю а , но ко всему произведению.

Когда члены многочлона не имeют общего множителя, то иногда удачной группировкой членов в нeсколько групп, содержащих по нeсколько члeнов в каждой грусшe, находят в этих образовавшихся группах общий и притом многочленный множитель. Нерeдко для такой группировки оказывается достаточным заключить нeсколько членов в скобки со знаком +, или со знаком -.

Напр., имeя трeхчленное выражение а (b +с )+b+с мы заключаем два послeдние члена в скобки с плюсом и находим выражение а (b +с )+(b+с ), которое можно рассматривать как двучлен и котороe преобразовывается в произведоние (а +1 )(b+с ).

Подобно этому в выражении а (b-с )-b+с заключаем два послeдние члена в скобки с минусом, отчего выражение примет вид а (b-с )-(b-с ), а затeм преобразуется в произведение (а - 1 )(b-с ).

В большинствe случаев, встрeчающихся на практикe, требуется для открытия общего многочленного множителя не только соединить члены данного многочлена в группы, но еще вынести в этих группах общий одночленный множитель, различный для каждой. группы. При удачном выборe групп и при обязатeльном условии выносить за скобку все, что можно, общий множитель всего данного многочлена легко обнаруживаeтся.

Напр., имeя многочлен а 3 +а 2 b +2аb 2 +2b 3 , соединяем первыe два члена в одну группу и послeдниe два в другую и выносим в первой группe за скобки а 2 и во второй 2b 2 ; получим а 2 (а+b )+ 2b 2 (а+b ) или (а+b )(а 2 +2b 2 ). Того жe результата можно достигнуть, вынося в пeрвом и трeтьем членах множитeль а , а во втором и четвeртом множитель b .

Подобно этому, соeдиняя в многочленe 3а 3 - 3а 2 b -аb 2 +b 3 пeрвый член с третьим и второй с четвeртым и вынося в пeрвой груапe множитeль а , а во второй множитeль- b , получии а (3а 2 -b 2 )-b (3а 2 -b 2 ) или (а-b )(3а 2 -b 2 ). Тот жо результат оказался бы при вынесении из пeрвых двух члонов за скобки 3а 2 , а из послeдних двух -b 2 .

Нужно замeтить, что подобного рода преобразования отличаются большим разнообразием, в особенности при соединeнии их с другими алгебраическими дeйствиями. Поэтому нельзя дать для этих преобразований общих и вполнe опродeленных правил; навык в них приобрeтается лишь обстоятельным и мeтодическим упражнeнием.

Иногда, преждe чeм группировать члeны мкогочлена для вынeсения в нeм многочлeнного множителя, требуeтся разложить нeкоторыe из членов в алгебраическую сумму новых членов, подобных разлагаемым. В таком случаe части разложенных членов относятся при группировкe к различным группам. Примeним способ разложения к преобразованию трехчленных выражeний.

Чтобы преобразовать трехчлен х 2 +5х +6 , разлагаем член 5 х в сумму членов 2 х и 3 х . Таким образом получим:

х 2 +5х +6 = х 2 +2х+ 3 х +6 = х (х +2 )+3 (х +2 )==(х +2 )(х +3 ).

Для преобразования трехчлена х 2 +2х -15 , разлагаем член +2х в сумму членов +5х и -3х Найдем:

х 2 +2х -15 = х 2 +5х - 3х -15 = х (х +5 )-3 (х +5 )==(х -3 )(х +5 ).

Существует общее правило, указывающее, когда возможно преобразованиe трехчленов ппдобного вида в произведение, и как производить такое преобразование. Для вывода и уяснeния этого правила нужно только разложить четыре вида трехчлена х 2 ± (а+b )х +аb и х 2 ± (а-b )х -аb , взяв каждый из них отдeльно и начав прeобразованиe с раскрытия скобок. Тогда окажется, что в произведение преобразовываются тe трехчлены, у которых пeрвый коэффициент при х 2 есть единица, второй коэффициент при х какой угодно, а третий коэффидиeнт или член, нe содержащий х есть алгебраическое произведение тeх самых количеств, на алгeбраическую сумму которых разлагается второй коэффицинт. Так, в трехчленe х 2 +5х +6 коэффициент 5 есть сумма чисел 3 и 2 , а 6 eсть произвeдениe тeх жe чисел, в трехчленe х 2 +2х -15 коэффициeнт -2 есть сумма количеств -5 и +3 , а -15 есть произведение тех жe количеств. Чтобы произвести прeобразованиe трехчлена, когда оно возиожно, нужно по знакам и числовым величинам третьего и второго коэффициента подыскать способ разложeния трeтьего коэффициeнта в произвeдeниe двух количеств, а второго в сумму тeх жe количеств. Рассмотрим примeры:

Пусть, напр., дан трехчлеч х 2 -11х +24 . Так как коэффициент 24 положитeлен, то искомые производитeли eго должны имeть одинаковыe знаки. Судя по тому, что второй коэффициент -11 отрицатeльный, видим, что эти производитeли коэффициента 24 или слагаeмыe коэффициента -11 оба отрицатeльны. Наконец, разлагая 24 на два отрицательных множителя и сравнивая сумму их с - 11 , убeдимся в том, что для преобразования трeхчлeна в произвeдение нужно разложить средний член - 11 х на члены -3 х и - 8 х.

Положим еще, что дан трехчлен х 2 - 7х -30 . Здeсь коэффициент -30 отрицательный; поэтому производители его имeют разные знаки. Коэффициснт -7 отрицательный; слeдовательно, при составлении его сложением берет перевeс отрицательное слагаемое, имeющее таким образом большую числовую величину. Поэтому член - 7х нужно разложить на члены -10х и +3х .

В произведение прeобразовываются такжe нерeдко трехчлены, у которых первый коэффициeнт нe есть единица. Для таких преобразований не будeм указывать тепeрь общего правила, вывод которого требует болee сложных рассуждений.

Развивая выше рассмотрeнный способ преобразования трехчленов в произведение, можно разлагать многочлены высших степеней в тeх случаях, когда они представляют произведения простeйпшх двучленов первой степени. Для упрощения подобных преобразований полезно выяснить слeдующее замeчание: положим, что какой-либо многочлен содержит множителем нeкоторый двучлен х + а . Так как двучлен этот, при замeнe х через -а , обращается в нуль, то многочлен, содержащий х+а множителем, должен также обращаться в нуль при этой замeнe. Подобно этому если многочлен содержит множителем двучлен х-а , обращающийся в нуль при замeнe х через а , то и сам многочлен обращается в нуль при той же замeнe. Справедливо и обратное заключение: если многочлен, содержащий разные степени х , обращается в нуль при замeнe х через -а или через а , то он навeрноe дeлится в первом случаe на х+а , а во втором на х-а , потому что обращение многочлена в нуль при одной из указанных подстановок может быть объяснено только тeм, что в состав многочлена входит соотвeтствующий двучленный множитель. Вышеуказанные замeчания дают простое средство для открытия в многочленe двучленного множителя, а затeм этот множитель может быть вынесен за скобки посредством разложения средних членов многочлена в алгебраические суммы.

Возьмем, напр., многочлен х 3 +6х 2 +11х +6 . Он обращается в нуль при замeнe х через -1 и потому дeлится на х +1. Зная этот множитель наперед, мы облегчаем себe разложение членов в суммы тeм, что опредeленно подбираем к каждому члену, начиная с высшего, часть слeдующего члена так, чтобы пара группируемых членов содержала множителем х +1 . Поэтому преобразование ведется слeдующим образом:

х 3 +6х 2 +11х +6 = х 3 +х 2 +5х 2 +5х +6х +6 = х 2 (х +1 )+ 5х (х +1 )+ 6 (х +1 )= (х +1 )(х 2 +5х +6 ) =
= (х +1 )(х +2 )(х +3 )

ІІодобно этому замeчаем, что многочлен х 3 -4х 2 -11х +30 обращаeтся в нуль при замeнe х через 2 и слeдовательно дeлится на х- 2 . Поэтому выполняем преобразование так:

х 3 -4х 2 -11х +30 = х 3 -2х 2 -2х 2 +4х -15х +30 = х 2 (х -2 ) -2х (х -2)-15 (х -2 )=
=(х -2 )(х 2 -2х -15 )=(х -2 )(х +3 )(х -5 ).

Первоначальный подбор множителя облегчается тeм, что в многочлен требуется подставлять талько тe количества, числовая величина которых входит множителeм в послeдний член многочлена. Это обнаруживается при рассмотрeнии многочлена, выражающего общий вид произведения (х +а )(х +b )(х +c ) . Последний член этого многочлена есть abc.

19. Возьмем формулу

мы ее читали так: «разность числе a и b». Мы можем в этой формуле число a заменить нулем; тогда она обратится в

0 – b или просто в –b.

Из нуля вычесть b значит, согласно тому, что мы знаем о вычитании относительных чисел, к нулю приписать число b, взятое с обратным знаком. Поэтому выражение –b должно понимать, как число, обратное по знаку числу b. Если, напр., b = +5, то –b = –5; если b = –4, то –b = +4 и т. п. Если мы напишем выражение +a, то его надо понимать, как число, равное числу a. Если a = +5, то +a = +5; если a = –4, то +a = 4 и т. п.

Поэтому формулу

мы можем понимать, без различия результата, или в смысле

или в смысле

Таким образом мы всегда можем заменять вычитание сложением и всякую разность понимать, как сумму двух чисел:
a – b есть сумма чисел a и (–b)
x – y есть сумма чисел x и (–y)
–a – b есть сумма чисел (–a) и (–b) и т. п.

Те формулы, где, с точки зрения арифметики, имеют место несколько сложений и вычитаний, напр.,

a – b + c + d – e – f,

мы можем теперь, с точки зрения алгебры, понимать только, как сумму, а именно:

a – b + c + d – e – f = (+a) + (–b) + (+c) + (+d) + (–e) + (–f).

Поэтому принято подобные выражения называть именем «алгебраическая сумма».

20. Возьмем какую-нибудь алгебраическую сумму

a – b – c или –3bc² + 2ab – 4a²b и т. п.

Принято называть эти выражения именем многочлен , причем это слово заменяет собою слово «сумма» или название «алгебраическая сумма». Мы знаем что

a – b – c = (+a) + (–b) + (–c)
–abc – 3bc² + 2ab – 4a²b = (–abc) + (–3bc²) + (+2ab) + (–4a²b) и т. п.

Отдельно каждое слагаемое называют именем член многочлена.

Первый многочлен,

состоит из трех членов: (+a), (–b) и (+c).

Второй многочлен,

–abc – 3bc² + 2ab – 4a²b,

состоит из четырех членов: (–abc), (–3bc²), (+2ab) и (–4a²b).

Слагаемые суммы можно переставлять в любом порядке:

–abc – 3bc² + 2ab – 4a²b = (–abc) + (–3bc²) + (+2ab) + (–4a²b) =
= (+2ab) + (–3bc²) + (–4a²b) + (–abc) = 2ab – 3bc² – 4a²b – abc.

Это свойство суммы теперь можно выразить иначе: члены многочлена можно переставлять в любом порядке. Это и сделано выше для многочлена –abc – 3bc² + 2ab – 4a²b, притом так, что впереди теперь оказался член (+2ab). Это позволило несколько упростить выражение: впереди знак + можно не писать. Конечно, надо подобные перестановки делать сразу, не заключая предварительно (как выше) каждое слагаемое в скобки.

Еще пример:

1 – 3a + 2a² – a³ + 3a 4 = 3a 4 – a³ + 2a² – 3a + 1.

Первый член этого многочлена был первоначально (+1) – знак + подразумевался перед единицею; когда мы переносим этот член на другое, кроме первого, место (выше мы перенесли его на последнее место), то уже этот знак + пропускать нельзя.

Мы можем заметить, что в предыдущем примере мы перестановкою членов многочлена достигли некоторого порядка: на первом месте стоит член с буквою a в 4-ой степени, на следующем – член с буквою a в 3-ей степени, потом идет член с буквою a во 2-ой степени, потом – a в 1-ой степени и, наконец, член, где буквы a вовсе нет.

Подобное расположение членов многочлена выражают словами «многочлен расположен по нисходящим степеням буквы a».

Вот еще примеры подобного расположения:

3x 5 – 2ax 3 + b (по нисходящим степеням буквы x)
a 4 – a 3 b + a 2 b 2 – ab 3 + b 4 (по нисходящим степеням буквы a)
3ab 5 – 4a 3 b 3 + 5a 4 b 2 – 2a 6 (по нисходящим степеням буквы b)
4x 4 – 3x 3 + 2x 3 (по нисходящим степеням буквы x).

Употребляют часто и обратное «по восходящим степеням» расположение, при котором степень избранной буквы постепенно повышается, причем в 1-м члене или вовсе этой буквы нет, или она имеет здесь наименьшую степень сравнительно с другими членами. О втором из предыдущих примеров мы могли бы сказать, что здесь многочлен расположен по восходящим степеням буквы b. Вот примеры:
3 – 2a + 3a 2 – 4a 3 (по восходящим степеням буквы a );
–x + x 2 – 3x 3 – 4x 4 (по восходящим степеням буквы х );
ax 2 – bx 3 + cx 5 – dx 6 (по восходящим степеням буквы x );
a 3 – 2ab + b 2 (по восходящим степеням буквы b или по нисходящим степеням буквы a);
3x 5 – 4yx 4 – 5y 3 x 2 – 6y 4 x (по нисходящим степеням буквы x или по восходящим степеням буквы y ).

21. Многочлен о двух членах называется двучленом (напр., 3a + 2b), о трех членах – трехчленом (напр., 2a² – 3ab + 4b²) и т. д. Возможно говорить о сумму из одного слагаемого (другое слагаемое равно нулю), или о многочлене об одном члене. Тогда уже, конечно, название «многочлен» неуместно и употребляется название «одночлен». Каждый член любого многочлена, взятый в отдельности, является одночленом. Вот примеры простейших одночленов:

2; –3a; a²; 4x³; –5x4; ab; ab²; –3abc; и т. д.

Почти все одночлены из выше написанных являются произведениями двух или более множителей, причем у большинства из них имеются и числовой множитель и буквенные. Напр., в одночлене –3abc имеется числовой множитель –3 и буквенные множители a, b и c; в одночлене 4x³ имеется числовой множитель +4 (знак + подразумевается) и буквенный множитель x³ и т. д. Если бы мы написали одночлен с несколькими числовыми множителями (а также и с буквенными), вроде следующего

,

то удобнее, переставив множителей так, чтобы числовые множители оказались рядом, т. е.

,

эти числовые множители перемножить – получим

–4a²bc² (точки, знаки умножения пропускаем).

Принято также, в громадном большинстве случаев, числовой множитель писать впереди. Пишут:

4a, а не a 4
–3a²b, а не a²(–3)b

Числовой множитель одночлена называется коэффициентом.

Если в одночлене не написан числовой множитель, например, ab, то можно всегда его подразумевать. В самом деле

a = (+1) ∙ a; ab = (+1)ab;
–a = (–1) ∙ a; a³ = (–1) ∙ a³ и т. п.

Итак, у одночленов a², ab, ab² подразумевается, у каждого, коэффициент 1 (точнее: +1). Если напишем одночлены –ab, –a², –ab² и т. п., то у них должно подразумевать коэффициент –1.

22. Более сложные примеры многочленов и одночленов.

(a + b)² + 3(a – b)² … эта формула выражает сумму двух слагаемых: первым является квадрат суммы чисел a и b, а вторым – произведение числа 3 на квадрат разности тех же чисел. Поэтому эту формулу должно признать двучленом: первый член есть (a + b)² и второй 3(a – b)². Если взять выражение (a + b)² отдельно, то в силу предыдущего, его надо считать одночленом, причем его коэффициент = +1.

a(b – 1) – b(a – 1) – (a – 1)(b – 1) … должно признать за трехчлен (сумма трех слагаемых): первый член есть a(b – 1) и его коэффициент = +1, второй член –b(a – 1), его коэффициент = –1, третий член –(a – 1)(b – 1), его коэффициент = – 1.

Иногда искусственно уменьшают число членов многочлена. Так трехчлен

можно, например, рассматривать за двухчлен, причем a + b, например, считают за один член (за одно слагаемое). Чтобы это яснее отметить, пользуются скобками:

Тогда у члена (a + b) подразумевается коэффициент +1

[в самом деле (a + b) = (+1)(a + b)].

Благодаря курсу алгебры, известно, что все выражения требуют преобразования для более удобного решения. Определение целых выражений способствует тому, что для начала выполняются тождественные преобразования. Будем преобразовывать выражение в многочлен. В заключении разберем несколько примеров.

Определение и примеры целых выражений

Определение 1

Целые выражения – это числа, переменные или выражения со сложением или вычитанием, которые записываются в виде степени с натуральным показателем, которые также имеют скобки или деление, отличное от нуля.

Исходя из определения, имеем, что примеры целых выражений: 7 , 0 , − 12 , 7 11 , 2 , 73 , - 3 5 6 и так далее, причем переменные вида a , b , p , q , x , z считают за целые выражения. После их преобразования сумм, разностей, произведений выражения примут вид

x + 1 , 5 · y 3 · 2 · 3 · 7 − 2 · y − 3 , 3 − x · y · z 4 , - 6 7 , 5 · (2 · x + 3 · y 2) 2 − - (1 − x) · (1 + x) · (1 + x 2)

Если в выражении имеется деление на число, отличное от нуля вида x: 5 + 8: 2: 4 или (x + y) : 6 , тогда деление может обозначаться при помощи дробной черты, как x + 3 5 - 3 , 2 · x + 2 . При рассмотрении выражений вида x: 5 + 5: x или 4 + a 2 + 2 · a - 6 a + b + 2 · c видно, что такие выражения не могут быть целыми, так как в первом имеется деление на переменную x , а во втором на выражение с переменной.

Многочлен и одночлен являются целыми выражениями, с которыми встречаемся в школе при работе с рациональными числами. Иначе говоря, целые выражения не включают в себя записи иррациональных дробей. Другое название – это целые иррациональные выражения.

Какие преобразования целых выражений возможны?

Целые выражения рассматриваются при решении как основные тождественные преобразования, раскрытие скобок, группирование, приведение подобных.

Пример 1

Раскрыть скобки и привести подобные слагаемые в 2 · (a 3 + 3 · a · b − 2 · a) − 2 · a 3 − (5 · a · b − 6 · a + b) .

Решение

Для начала необходимо применить правило раскрытия скобок. Получим выражение вида 2 · (a 3 + 3 · a · b − 2 · a) − 2 · a 3 − (5 · a · b − 6 · a + b) = = 2 · a 3 + 2 · 3 · a · b + 2 · (− 2 · a) − 2 · a 3 − 5 · a · b + 6 · a − b = = 2 · a 3 + 6 · a · b − 4 · a − 2 · a 3 − 5 · a · b + 6 · a − b

После чего можем привести подобные слагаемые:

2 · a 3 + 6 · a · b − 4 · a − 2 · a 3 − 5 · a · b + 6 · a − b = = (2 · a 3 − 2 · a 3) + (6 · a · b − 5 · a · b) + (− 4 · a + 6 · a) − b = = 0 + a · b + 2 · a − b = a · b + 2 · a − b .

После их приведения получаем многочлен вида a · b + 2 · a − b .

Ответ : 2 · (a 3 + 3 · a · b − 2 · a) − 2 · a 3 − (5 · a · b − 6 · a + b) = a · b + 2 · a − b .

Пример 2

Произвести преобразования (x - 1) : 2 3 + 2 · (x 2 + 1) : 3: 7 .

Решение

Имеющееся деление можно заменять умножением, но на обратное число. Тогда необходимо выполнить преобразования, после которых выражение примет вид (x - 1) · 3 2 + 2 · (x 2 + 1) · 1 3 · 1 7 . Теперь следует заняться приведением подобных слагаемых. Получим, что

(x - 1) · 3 2 + 2 · (x 2 + 1) · 1 3 · 1 7 = 3 2 · (x - 1) + 2 21 · x 2 + 1 = = 3 2 · x - 3 2 + 2 21 · x 2 + 2 21 = 2 21 · x 2 + 3 2 · x - 59 42 = 2 21 · x 2 + 1 1 2 · x - 1 17 42

Ответ : (x - 1) : 2 3 + 2 · (x 2 + 1) : 3: 7 = 2 21 · x 2 + 1 1 2 · x - 1 17 42 .

Пример 3

Представить выражение 6 · x 2 · y + 18 · x · y − 6 · y − (x 2 + 3 · x − 1) · (x 3 + 4 · x) в виде произведения.

Решение

Рассмотрев выражение, видно, что первые три слагаемые имеют общий множитель вида 6 · y , который следует вынести за скобки во время преобразования. Тогда получим, что 6 · x 2 · y + 18 · x · y − 6 · y − (x 2 + 3 · x − 1) · (x 3 + 4 · x) = = 6 · y · (x 2 + 3 · x − 1) − (x 2 + 3 · x − 1) · (x 3 + 4 · x)

Видно, что получили разность двух выражений вида 6 · y · (x 2 + 3 · x − 1) и (x 2 + 3 · x − 1) · (x 3 + 4 · x) с общим множителем x 2 + 3 · x − 1 , который необходимо вынести за скобки. Получим, что

6 · y · (x 2 + 3 · x − 1) − (x 2 + 3 · x − 1) · (x 3 + 4 · x) = = (x 2 + 3 · x − 1) · (6 · y − (x 3 + 4 · x))

Раскрыв скобки, имеем выражение вида (x 2 + 3 · x − 1) · (6 · y − x 3 − 4 · x) , которое необходимо было найти по условию.

Ответ: 6 · x 2 · y + 18 · x · y − 6 · y − (x 2 + 3 · x − 1) · (x 3 + 4 · x) = = (x 2 + 3 · x − 1) · (6 · y − x 3 − 4 · x)

Тождественные преобразования требуют строгое выполнение порядка действий.

Пример 4

Преобразовать выражение (3 · 2 − 6 2: 9) 3 · (x 2) 4 + 4 · x: 8 .

Решение

Вы первую очередь выполняются действия в скобках. Тогда имеем, что 3 · 2 − 6 2: 9 = 3 · 2 − 3 6: 9 = 6 − 4 = 2 . После преобразований выражение принимает вид 2 3 · (x 2) 4 + 4 · x: 8 . Известно, что 2 3 = 8 и (x 2) 4 = x 2 · 4 = x 8 , тогда можно прийти к выражению вида 8 · x 8 + 4 · x: 8 . Второе слагаемое требует замены деления на умножение из 4 · x: 8 . Сгруппировав множители, получаем, что

8 · x 8 + 4 · x: 8 = 8 · x 8 + 4 · x · 1 8 = 8 · x 8 + 4 · 1 8 · x = 8 · x 8 + 1 2 · x

Ответ: (3 · 2 − 6 2: 9) 3 · (x 2) 4 + 4 · x: 8 = 8 · x 8 + 1 2 · x .

Преобразование в многочлен

Большинство случаев преобразования целых выражений – это представление в виде многочлена. Любое выражение можно представить в виде многочлена.Любое выражение может быть рассмотрено как многочлены, соединенные арифметическими знаками. Любое действие над многочленами в итоге дает многочлен.

Для того, чтобы выражение было представлено в виде многочлена, необходимо выполнять все действия с многочленами, согласно алгоритму.

Пример 5

Представить в виде многочлена 2 · (2 · x 3 − 1) + (2 · x − 1) 2 · (3 − x) + (4 · x − x · (15 · x + 1)) .

Решение

В данном выражение начать преобразования с выражения вида 4 · x − x · (15 · x + 1) , причем по правилу в начале выполнив умножение или деление, после чего сложение или вычитание. Умножим – x на 15 · x + 1 , тогда получим 4 · x − x · (15 · x + 1) = 4 · x − 15 · x 2 − x = (4 · x − x) − 15 · x 2 = 3 · x − 15 · x 2 . Заданное выражение примет вид 2 · (2 · x 3 − 1) + (2 · x − 1) 2 · (3 − x) + (3 · x − 15 · x 2) .

Далее необходимо произвести возведение во 2 степень многочлена 2 · x − 1 , получим выражение вида (2 · x − 1) 2 = (2 · x − 1) · (2 · x − 1) = 4 · x 2 + 2 · x · (− 1) − 1 · 2 · x − 1 · (− 1) = = 4 · x 2 − 4 · x + 1

Теперь можно перейти к виду 2 · (2 · x 3 − 1) + (4 · x 2 − 4 · x + 1) · (3 − x) + (3 · x − 15 · x 2) .

Разберем умножение. Видно, что 2 · (2 · x 3 − 1) = 4 · x 3 − 2 и (4 · x 2 − 4 · x + 1) · (3 − x) = 12 · x 2 − 4 · x 3 − 12 · x + 4 · x 2 + 3 − x = = 16 · x 2 − 4 · x 3 − 13 · x + 3

тогда можно сделать переход к выражению вида (4 · x 3 − 2) + (16 · x 2 − 4 · x 3 − 13 · x + 3) + (3 · x − 15 · x 2) .

Выполняем сложение, после чего придем к выражению:

(4 · x 3 − 2) + (16 · x 2 − 4 · x 3 − 13 · x + 3) + (3 · x − 15 · x 2) = = 4 · x 3 − 2 + 16 · x 2 − 4 · x 3 − 13 · x + 3 + 3 · x − 15 · x 2 = = (4 · x 3 − 4 · x 3) + (16 · x 2 − 15 · x 2) + (− 13 · x + 3 · x) + (− 2 + 3) = = 0 + x 2 − 10 · x + 1 = x 2 − 10 · x + 1 .

Отсюда следует, что исходное выражение имеет вид x 2 − 10 · x + 1 .

Ответ: 2 · (2 · x 3 − 1) + (2 · x − 1) 2 · (3 − x) + (4 · x − x · (15 · x + 1)) = x 2 − 10 · x + 1 .

Умножение и возведение в степень многочлена говорит о том, что необходимо использовать формулы сокращенного умножения для ускорения процесса преобразования. Это способствует тому, что действия будут выполнены рационально и правильно.

Пример 6

Преобразовать 4 · (2 · m + n) 2 + (m − 2 · n) · (m + 2 · n) .

Решение

Из формулы квадрата получим, что (2 · m + n) 2 = (2 · m) 2 + 2 · (2 · m) · n + n 2 = 4 · m 2 + 4 · m · n + n 2 , тогда произведение (m − 2 · n) · (m + 2 · n) равняется разности квадратов m и 2 · n , таким образом, равняется m 2 − 4 · n 2 . Получим, что исходное выражение примет вид 4 · (2 · m + n) 2 + (m − 2 · n) · (m + 2 · n) = 4 · (4 · m 2 + 4 · m · n + n 2) + (m 2 − 4 · n 2) = = 16 · m 2 + 16 · m · n + 4 · n 2 + m 2 − 4 · n 2 = 17 · m 2 + 16 · m · n

Ответ: 4 · (2 · m + n) 2 + (m − 2 · n) · (m + 2 · n) = 17 · m 2 + 16 · m · n .

Чтобы преобразование не было слишком длинным, необходимо заданное выражение приводить к стандартному виду.

Пример 7

Упростить выражение вида (2 · a · (− 3) · a 2 · b) · (2 · a + 5 · b 2) + a · b · (a 2 + 1 + a 2) · (6 · a + 15 · b 2) + (5 · a · b · (− 3) · b 2)

Решение

Чаще всего многочлены и одночлены даются не стандартного вида, поэтому приходится выполнять преобразования. Следует преобразовать, чтобы получить выражение вида − 6 · a 3 · b · (2 · a + 5 · b 2) + a · b · (2 · a 2 + 1) · (6 · a + 15 · b 2) − 15 · a · b 3 . Для того чтобы привести подобные, необходимо предварительно произвести умножение по правилам преобразования сложного выражения. Получаем выражение вида

− 6 · a 3 · b · (2 · a + 5 · b 2) + a · b · (2 · a 2 + 1) · (6 · a + 15 · b 2) − 15 · a · b 3 = = − 12 · a 4 · b − 30 · a 3 · b 3 + (2 · a 3 · b + a · b) · (6 · a + 15 · b 2) − 15 · a · b 3 = = − 12 · a 4 · b − 30 · a 3 · b 3 + 12 · a 4 · b + 30 · a 3 · b 3 + 6 · a 2 · b + 15 · a · b 3 − 15 · a · b 3 = = (− 12 · a 4 · b + 12 · a 4 · b) + (− 30 · a 3 · b 3 + 30 · a 3 · b 3) + 6 · a 2 · b + (15 · a · b 3 − 15 · a · b 3) = 6 · a 2 · b

Ответ: (2 · a · (− 3) · a 2 · b) · (2 · a + 5 · b 2) + a · b · (a 2 + 1 + a 2) · (6 · a + 15 · b 2) + + (5 · a · b · (− 3) · b 2) = 6 · a 2 · b

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

«Совершенствование вычислительных навыков» - Состав числа. Повторение действий. Умножение. Сложение. Правила раскрытия скобок. Cложение отрицательных чисел. Вычитание. Сложение обыкновенных дробей. Сложение чисел с разными знаками. Совершенствование вычислительных навыков. Вычитание однозначного числа. Опорная схема. Действие в столбик. Умножение одночлена на многочлен.

«Разность квадратов чисел» - Возведите в квадрат. Формула сокращенного умножения. Разность квадратов двух выражений. Работа с таблицей. Разность квадратов. Геометрический смысл формулы. Как можно прочитать формулу. Выполните умножение. Влияет ли порядок записи скобок на результат. Формула (а+b)(a-b)=a2-b2. Произведение разности двух выражений и их суммы.

«Умножение многочлена на многочлен» - Правило умножения многочлена на многочлен. Игра «Открой картинку». Открой картинку. Каждый член первого многочлена поочерёдно умножать на каждый член второго многочлена. Рассмотрим произведение самых простых многочленов, а именно двучленов. У одного многочлена m членов, а у другого n членов. План урока.

«Разложение многочлена на множители» - Предварительное преобразование. Провести классификацию данных многочленов по способу разложения на множители. Вынесение общего множителя за скобки. Применение формул сокращенного умножения. Метод выделения полного квадрата. Тестор. Ответы: Схема урока: Конфуций. Формулы сокращенного умножения. Способ группировки.

«Преобразование целого выражения в многочлен» - Какие из выражений являются целыми: Примерами целых выражений служат такие выражения: Цели урока: Упражнять учащихся в приведении подобных слагаемых. Многочлены и, в частности, одночлены являются целыми выражениями. Развивать вычислительные навыки учащихся. Ввести понятие целого выражения. Преобразование целых выражений.

«Урок Формулы сокращённого умножения» - Цель урока: Повторить и обобщить практические навыки и умения по теме «Формулы сокращённого умножения». Тема урока: ФОРМУЛЫ СОКРАЩЁННОГО УМНОЖЕНИЯ. Подготовиться к предстоящей контрольной работе. Задача: Стороны первого квадрата на 1 см больше сторон второго квадрата, а площадь первого квадрата на 9см2 больше площади второго квадрата.

Всего в теме 24 презентации

Предыдущая статья: Чему равна скорость света Следующая статья: Гармонические колебания Физика формула частоты колебаний