Из курса геометрии и математики школьники привыкли, что понятие производной доносится до них через площадь фигуры, дифференциалы, пределы функций, а также лимиты. Попробуем посмотреть на понятие производной под другим углом, и определить, как можно увязать производную и тригонометрические функции.
Итак, рассмотрим некую произвольную кривую, которая описывается абстрактной функцией y = f(x).
Представим что график — это карта туристического маршрута. Приращение ∆x (дельта икс) на рисунке — это определенный промежуток пути, а ∆y – это изменение высоты тропы над уровнем моря.
Тогда получается, что отношение ∆x/∆y будет характеризовать сложно маршрута на каждом отрезке пути. Узнав это значение можно с уверенностью сказать крутой ли подъем/спуск, понадобится ли альпинистское снаряжение и нужна ли туристам определенная физическая подготовка. Но показатель этот будет справедлив только для одного маленького промежутка ∆x.
Если организатор похода возьмет значения для начальной и конечной точек тропы, то есть ∆x – будет равен длине маршрута, то не сможет получить объективные данные о степени сложности путешествия. Следовательно, необходимо построить еще один график, который будет характеризовать скорость и «качество» изменений пути, другими словами определять отношение ∆x/∆y для каждого «метра» маршрута.
Этот график и будет являться наглядной производной для конкретной тропы и объективно опишет ее изменения на каждом интересующем интервале. Убедиться в этом очень просто, значение ∆x/∆y – есть не что иное, как дифференциал, взятый для конкретного значения x и y. Применим же дифференцирование не определенным координатам, а к функции в целом:
Тригонометрические функции неразрывно связаны с производной. Понять это можно из следующего чертежа. На рисунке координатной оси изображена функция Y = f (x) – синяя кривая.
K (x0; f (x0)) – произвольная точка, x0 + ∆x – приращение по оси OX, а f (x0 + ∆x) – приращение по оси OY в некой точке L.
Проведем прямую через точки K и L и построим прямоугольный треугольник KLN. Если мысленно перемещать отрезок LN по графику Y = f (x), то точки L и N будут стремиться к значениям K (x0; f (x0)). Назовем эту точку условным началом графика — лимитом, если же функция бесконечна, хотя бы на одном из промежутков – это стремление также будет бесконечным, а его предельное значение близким к 0.
Характер данного стремления можно описать касательной к выбранной точке y = kx + b или графиком производной первоначальной функции dy – зеленая прямая.
Но где же здесь тригонометрия?! Все очень просто рассмотрим прямоугольный треугольник KLN. Значение дифференциала для конкретной точки K есть тангенс угла α или ∠K:
Таким образом можно описать геометрический смымсл производной и ее взаимосвязь с тригонометрическими функциями.
Преобразования синуса, косинуса, тангенса и котангенса при определении производной необходимо заучить наизусть.
Последние две формулы не являются ошибкой, дело в том, что существует разница между определением производной простого аргумента и функции в том же качестве.
Рассмотрим сравнительную таблицу с формулами производных от синису, косинуса, тангенса и котангенса:
Также выведены формулы для производных арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса, хотя они применяются крайне редко:
Стоит отметить, что приведенных формул явно недостаточно для успешного решения типовых заданий ЕГЭ, что будет продемонстрированно при решении конкретного примера поиска производной тригонометрического выражения.
Задание : Необходимо найти производную функции и найти ее значение для π/4:
Решение : Чтобы найти y’ необходимо вспомнить основные формулы преобразования исходной функции в производную, а именно.
Тема:
«Производная
тригонометрических функций».
Тип урока
– урок закрепления знаний.
Форма урока
– интегрированный урок.
Место урока в системе уроков по данному
разделу
– обобщающий урок.
Цели поставлены комплексно:
Методы:
Формы контроля:
ХОД УРОКА
I. Организационный момент
II. Актуализация опорных знаний
а) Сообщение целей и задач:
б) Повторение учебного материала
Правила вычисления производных (повторение формул по компьютеру со звуковым сопровождением). док.7.
III. Устная работа
Найти производную. |
|||
Вариант 1. |
Вариант 2. |
||
у = 2х + 5. |
у = 2х – 5. |
||
у = 4cos х . |
у = 3sin х . |
||
у = tg х + ctg х . |
у = tg х – ctg х . |
||
у = sin 3х . |
у = cos 4х . |
||
Варианты ответов. |
|||
– 4sin х |
– 3cos х |
||
1/cos 2 х + 1/sin 2 х |
1/cos 2 х –1/sin 2 х |
1/sin 2 х –1/cos 2 х |
|
– 4sin4х |
– 3cos3х |
Обменяйтесь тетрадями. Отметьте в диагностических картах верно выполненные задания знаком +, а неверно выполненные задания знаком –.
IV. Решение уравнений с помощью производной
– Как найти точки, в которых производная равна нулю?
Чтобы найти точки, в которых производная данной функции равна нулю, нужно:
– определить характер функции,
– найти область определения функции,
– найти производную данной функции,
– решить уравнение f
"(x
) = 0,
– выбрать верный ответ.
Задача 1.
Дано:
у
= х
– sin x
.
Найти:
точки, в которых
производная равна нулю.
Решение.
Функция определена и
дифференцируема на множестве всех
действительных чисел, так как на множестве всех
действительных чисел определены и
дифференцируемы функции g
(x
) = x
и t
(x
) = – sin x
.
Используя правила дифференцирования, получим f
"(x
) = (x
– sin x
)" = (x
)" – ( sin x
)" = 1 – cos x
.
Если f
"(x
) = 0, то 1 – cos x
= 0.
cos x
= 1/; избавимся
от иррациональности в знаменателе, получим cos x
= /2.
По формуле t
= ± arccos a
+ 2n, n Z, получим: х
=
± arccos /2 + 2n, n Z.
Ответ:
х = ± /4 + 2n,
n Z.
V. Решение уравнений по алгоритму
Найти, в каких точках обращается в нуль производная.
f (x ) = sin x + cos x |
f (x ) = sin 2x – x |
f (x ) = 2x + cos(4x – ) |
Ученик может выбрать любой из трёх примеров. Первый пример оценивается оценкой «3 », второй – «4 », третий – «5 ». Решение в тетрадях с последующей взаимопроверкой. Один ученик решает у доски. Если решение оказывается неверным, то нужно ученику вернуться к алгоритму и попытаться решить снова.
Программированный контроль.
Вариант 1 |
Вариант 2 |
|||
y = 2х 3 |
y = 3х 2 |
|||
y = 1/4 х 4 + 2х 2 – 7 |
y = 1/2 х 4 + 4х + 5 |
|||
y
= х
3 + 4х
2
– 3х
. |
y
= 2х
3 – 9х
2
+ 12х
+ 7. |
|||
y = sin 2х – cos 3х . |
y = cos 2х – sin 3х . |
|||
y = tg х – ctg(х + /4). |
y = ctg х + tg(х – /4). |
|||
y = sin 2 х . |
y = cos 2 х . |
|||
Варианты ответов. |
||||
Представлены производные обратных тригонометрических функций и вывод их формул. Также даны выражения производных высших порядков. Ссылки на страницы с более подробным изложением вывода формул. Сначала выведем формулу производной арксинуса. Пусть Поскольку ,
то .
Тогда Точно таким способом можно получить формулу производной арккосинуса. Однако проще воспользоваться формулой, связывающей обратные тригонометрические функции : Более подробно изложение представлено на странице “Вывод производных арксинуса и арккосинуса ”. Там дается вывод производных двумя способами - рассмотренным выше и по формуле производной обратной функции. Вывод производных арктангенса и арккотангенсаТаким же способом найдем производные арктангенса и арккотангенса. Пусть Производная арккотангенса: Производные арксинусаПусть Дифференцируя это уравнение, можно найти производные высших порядков. Производная арксинуса n-го порядкаПроизводная арксинуса n-го порядка имеет следующий вид: Многочлен удовлетворяет дифференциальному уравнению: Производная арккосинуса n-го порядкаПроизводные для арккосинуса получаются из производных для арксинуса с помощью тригонометрической формулы: Производные арктангенсаПусть .
Мы нашли производную арккотангенса первого порядка: Разложим дробь на простейшие: Дифференцируем раз и приводим дробь к общему знаменателю: Подставляя ,
получим: Производная арктангенса n-го порядкаТаким образом, производную арктангенса n-го порядка можно представить несколькими способами: Производные арккотангенсаПусть теперь .
Применим формулу, связывающей обратные тригонометрические функции: Подставив ,
найдем: Использованная литература: Представлено доказательство и вывод формулы для производной косинуса - cos(x). Примеры вычисления производных от cos 2x, cos 3x, cos nx, косинуса в квадрате, в кубе и в степени n. Формула производной косинуса n-го порядка. Производная по переменной x от косинуса x равна минус синусу x: ДоказательствоЧтобы вывести формулу производной косинуса, воспользуемся определением производной: Преобразуем это выражение, чтобы свести его к известным математическим законам и правилам. Для этого нам нужно знать четыре свойства. Применяем эти законы к нашему пределу. Сначала преобразуем алгебраическое выражение Сделаем подстановку .
При ,
.
Используем свойство непрерывности (2): Сделаем такую же подстановку и применим первый замечательный предел (3): Поскольку пределы, вычисленные выше, существуют, то применяем свойство (4): Тем самым мы получили формулу производной косинуса. ПримерыРассмотрим простые примеры нахождения производных от функций, содержащих косинус. Найдем производные от следующих функций: Пример 1Найти производные от cos 2x, cos 3x и cos nx . РешениеИсходные функции имеют похожий вид. Поэтому мы найдем производную от функции y = cos nx . Затем, в производную от cos nx , подставим n = 2 и n = 3 . И, тем самым, получим формулы для производных от cos 2x и cos 3x . Итак, находим производную от функции Найдем производную от функции по переменной x: Теперь, в формулу (П1) подставим и :
Ответ;
Пример 2Найти производные от косинуса в квадрате, косинуса в кубе и косинуса в степени n: РешениеВ этом примере также функции имеют похожий вид. Поэтому мы найдем производную от самой общей функции - косинуса в степени n: Итак, нам нужно найти производную от функции Находим производную от функции по переменной x: Теперь подставим и :
Ответ;
Производные высших порядковЗаметим, что производную от cos x
первого порядка можно выразить через косинус следующим образом: Найдем производную второго порядка, используя формулу производной сложной функции : Заметим, что дифференцирование cos x
приводит к увеличению его аргумента на .
Тогда производная n-го порядка имеет вид: Более строго эту формулу можно доказать с помощью метода математической индукции. Доказательство для n-й производной синуса изложено на странице “Производная синуса ”. Для n-й производной косинуса доказательство точно такое. Нужно только во всех формулах заменить sin на cos. Предыдущая статья: Чему равна скорость света Следующая статья: Гармонические колебания Физика формула частоты колебаний О сайте | Контакты |