Определение подобных треугольников.

Пропорциональные отрезки

Для введения понятия подобия вначале нам необходимо вспомнить понятие пропорциональных отрезков. Вспомним также определение отношения двух отрезков.

Определение 1

Отношением двух отрезков называется отношение их длин.

Понятие пропорциональности отрезков имеет место и для большего числа отрезков. Пусть, к примеру, $AB=2$, $CD=4$, $A_1B_1=1$, $C_1D_1=2$, $A_2B_2=4$, $C_2D_2=8$, тогда

То есть отрезки $AB$, $A_1B_1$, $\ A_2B_2$ пропорциональны отрезкам $CD$, $C_1D_1$, $C_2D_2$.

Подобные треугольники

Вспомним для начала, что вообще представляет себе понятие подобия.

Определение 3

Фигуры называются подобными, если они имеет одинаковую форму, но разные размеры.

Разберемся теперь с понятием подобных треугольников. Рассмотрим рисунок 1.

Рисунок 1. Два треугольника

Пусть у этих треугольников $\angle A=\angle A_1,\ \angle B=\angle B_1,\ \angle C=\angle C_1$. Введем следующее определение:

Определение 4

Стороны двух треугольников называются сходственными, если они лежат напротив равных углов этих треугольников.

На рисунке 1, стороны $AB$ и $A_1B_1$, $BC$ и $B_1C_1$, $AC$ и $A_1C_1$ сходственные. Введем теперь определение подобных треугольников.

Определение 5

Два треугольника называются подобными, если углы все углы одного треугольника соответственно равны углам другого и треугольника, и все сходственные стороны этих треугольников пропорциональны, то есть

\[\angle A=\angle A_1,\ \angle B=\angle B_1,\ \angle C=\angle C_1,\] \[\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{{B_1C}_1}=\frac{AC}{A_1C_1}\]

На рисунке 1 изображены подобные треугольники.

Обозначение: $ABC\sim A_1B_1C_1$

Для понятия подобия существует также понятие коэффициента подобия.

Определение 6

Число $k$, равное отношению сходственных сторон подобных фигур называется коэффициентом подобия этих фигур.

Площади подобных треугольников

Рассмотрим теперь теорему об отношении площадей подобных треугольников.

Теорема 1

Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, то есть

\[\frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}}=k^2\]

Доказательство.

Рассмотрим два подобных треугольника и обозначим их площади, соответственно $S$ и $S_1$ (рис. 2).

Рисунок 2.

Для доказательства этой теоремы вспомним следующую теорему:

Теорема 2

Если угол одного треугольника равен углу второго треугольника, то их площади относятся как произведения сторон, прилегающих к этому углу.

Так как треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны, то, по определению,$\angle A=\angle A_1$. Тогда, по теореме 2, получим, что

Так как $\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}=k$, получим

Теорема доказана.

Задачи, связанные с понятием подобия треугольника

Пример 1

Даны подобные треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1.$ Стороны первого треугольника $AB=2,\ BC=5,\ AC=6$. Коэффициент подобия данных треугольников $k=2$. Найти стороны второго треугольника.

Решение.

Данная задача имеет два возможных решения.

Пусть $k=\frac{A_1B_1}{AB}=\frac{{B_1C}_1}{BC}=\frac{A_1C_1}{AC}$.

Тогда $A_1B_1=kAB,\ {B_1C}_1=kBC,\ A_1C_1=kAC$.

Следовательно, $A_1B_1=4,\ {B_1C}_1=10,\ A_1C_1=12$

Пусть $k=\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{{B_1C}_1}=\frac{AC}{A_1C_1}$

Тогда $A_1B_1=\frac{AB}{k},\ {B_1C}_1=\frac{BC}{k},\ A_1C_1=\frac{AC}{k}$.

Следовательно, $A_1B_1=1,\ {B_1C}_1=2,5,\ \ A_1C_1=3$.

Пример 2

Даны подобные треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1.$ Сторона первого треугольника $AB=2$, соответствующая сторона второго треугольника $A_1B_1=6$. Высота первого треугольника $CH=4$. Найти площадь второго треугольника.

Решение.

Так как треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны, то $k=\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{1}{3}$.

Найдем площадь первого треугольника.

По теореме 1, имеем:

\[\frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}}=k^2\] \[\frac{4}{S_{A_1B_1C_1}}=\frac{1}{9}\] \

Две фигуры F F и F ` F` называются подобными, если они переводятся друг в друга преобразованием подобия, т. е. таким преобразованием, при котором расстояния между двумя точками изменяются (увеличиваются или уменьшаются) в одно и то же число раз. Если фигуры F F и F ` F` подобны, то пишется F ~ F ` F\sim F` Напомним, что в записи подобия треугольников ∆ A B C ~ ∆ A 1 B 1 C 1 \triangle ABC\sim\triangle A_1B_1C_1 предполагается, что вершины, совмещаемые преобразованием подобия, стоят на соответствующих местах, т. е. A A переходит в A 1 A_1 , B B - в B 1 B_1 , C C - в C 1 C_1 . Из свойств преобразования подобия следует, что у подобных фигур соответствующие углы равны, а соответствующие отрезки пропорциональны. В частности, если ∆ A B C ~ ∆ A 1 B 1 C 1 \triangle ABC\sim\triangle A_1B_1C_1

∠ A = ∠ A 1 , ∠ B = ∠ B 1 , ∠ C = ∠ C 1 , A B A 1 B 1 = B C B 1 C 1 = A C A 1 C 1 \angle A=\angle A_1,\;\angle B=\angle B_1,\;\angle C=\angle C_1,\;\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{B_1C_1}=\frac{AC}{A_1C_1}

признаки подобия треугльников

Два треугольника подобны:

• 1) если два угла одного соответственно равны двум углам другого;
• 2) если две стороны одного пропорциональны двум сторонам другого и углы, образованные этими сторонами, равны;
• 3) если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого.

Из признаков подобия следует утверждения, которые удобно использовать в решении задач:

1°. Прямая, параллельная одной из сторон треугольника и пересекающая две другие в различных точках, отсекает треугольник, подобный данному.

2°. Прямая, параллельная одной из сторон треугольника и пересекающая две другие стороны, отсекает на них отрезки, пропорциональные данным сторонам, т. е. если M N | | A C MN||AC (рис. 5), то

m n = p q = m + p n + q \frac mn=\frac pq=\frac{m+p}{n+q}

3°. Если прямая пересекает две стороны треугольника и отсекает на них пропорциональные отрезки, то она параллельна третьей стороне, т. е. если (см. рис. 5)

m n = m + p n + q \frac mn=\frac{m+p}{n+q} или m n = p q \frac mn=\frac pq ,

то M N MN параллельна A C AC (доказательство было дано в задании для 9 класса).

Рис. 6

Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно её основаниям, пересекает боковые стороны трапеции в точках M M и N N . Найти длину отрезка если основания трапеции равны a a и b b .

Δ Пусть O O точка пересечения диагоналей трапеции (рис. 6). Обозначим:

A D = a , B C = b , M O = x , B O = p , O D = q . AD=a,\;BC=b,\;MO=x,\;BO=p,\;OD=q.

1 . B C ~ A D △ B O C ~ △ D O A (п о д в у м у г л а м) ⇒ b a = p q 1.\;\left\{\begin{array}{l}BC\sim AD\\\bigtriangleup BOC\sim\bigtriangleup DOA\;(по\;двум\;углам)\end{array}\right.\Rightarrow\frac ba=\frac pq

2 . M O ~ A D △ M B O ~ △ A B D ⇒ x a = p p + q 2.\;\left\{\begin{array}{l}MO\sim AD\\\bigtriangleup MBO\sim\bigtriangleup ABD\end{array}\right.\Rightarrow\frac xa=\frac p{p+q}

Из (1) и (2) следует x = a p p + q = q p / q p / q + 1 = a b a + b ⇒ M O = a b a + b . x=a\frac p{p+q}=q\frac{p/q}{p/q+1}=\frac{ab}{a+b}\Rightarrow MO=\frac{ab}{a+b}.

Аналогично устанавливаем, что N O = a b a + b ⇒ M N = 2 a b a + b NO=\frac{ab}{a+b}\Rightarrow MN=\frac{2ab}{a+b} .

Результат этой задачи, как утверждение, верное для любой трапеции, следует запомнить. ▲

Из определения подобия фигур следует, что в подобных фигурах все соответствующие линейные элементы пропорциональны. Так, отношение периметров подобных треугольников равно отношению длин соответствующих сторон. Или, например, в подобных треугольниках отношение радиусов вписанных окружностей (также и описанных окружностей) равно отношению длин соответствующих сторон. Это замечание поможет нам решить следующую задачу.

Рис. 7

В прямоугольном треугольнике A B C ABC из вершины C C прямого угла проведена высота C D CD (рис. 7). Радиусы окружностей, вписанных в треугольники A C D ACD и B C D BCD равны соответственно r 1 r_1 и r 2 r_2 . Найти радиус окружности, вписанной в треугольник A B C ABC .

Δ Обозначим искомый радиус r r , положим A B = c AB=c , A C = b AC=b , B C = a BC=a . Из подобия прямоугольных треугольников A C D ACD и A B C ABC (у них равные углы при вершине A A) имеем r r 1 = c b \frac r{r_1}=\frac cb , откуда b = r 1 r c b=\frac{r_1}rc . Прямоугольные треугольники B C D BCD и B A C BAC также подобны, поэтому r r 2 = c a \frac r{r_2}=\frac ca , - откуда a = r 2 r c a=\frac{r_2}rc . Так как a 2 + b 2 = c 2 a^2+b^2=c^2 то, возводя в квадрат выражения для a a и b b и складывая их, получим r 1 r 2 c 2 + r 2 r 2 c 2 = c 2 ⇒ r 1 2 + r 2 2 r 2 = 1 \left(\frac{r_1}r\right)^2c^2+\left(\frac{r_2}r\right)^2c^2=c^2\;\Rightarrow\frac{r_1^2+r_2^2}{r^2}=1 . Находим r = r 1 2 + r 2 2 r=\sqrt{r_1^2+r_2^2} ▲

Напомним, что площади подобных фигур относятся как квадраты соответствующих линейных элементов. Для треугольников это утверждение можно сформулировать так: площади подобных треугольников относятся как квадраты соответствующих сторон. Рассмотрим характерную задачу на эту тему.

Рис. 8

Через точку M M , лежащую внутри треугольника A B C ABC , проведены три прямые, параллельные его сторонам. При этом образовались три треугольника (рис. 8), площади которых равны S 1 S_1 , S 2 S_2 и S 3 S_3 . Найти площадь треугольника A B C ABC .

Легко видеть, что треугольники E K M EKM , M Q F MQF и P M N PMN подобны треугольнику A B C ABC .

Пусть S S -площадь треугольника A B C ABC , тогда

S 1 S = E M A C 2 ; S 2 S = M F A C 2 ; S 3 S = P N A C 2 . \frac{S_1}S=\left(\frac{EM}{AC}\right)^2;\;\frac{S_2}S=\left(\frac{MF}{AC}\right)^2;\;\frac{S_3}S=\left(\frac{PN}{AC}\right)^2.

Откуда находим

E M = S 1 S A C , M F = S 2 S A C , P N = S 3 S A C . EM=\sqrt{\frac{S_1}S}AC,\;MF=\sqrt{\frac{S_2}S}AC,\;PN=\sqrt{\frac{S_3}S}AC.

А так как E M = A P , M F = N C ⇒ E M + P N + M F = A P + P N + N C = A C EM=AP,\;MF=NC\Rightarrow EM+PN+MF=AP+PN+NC=AC .

Таким образом, A C = A C * S 1 S + S 2 S + S 3 S ⇒ S = S 1 + S 2 + S 3 2 AC=AC\ast\left(\sqrt{\frac{S_1}S}+\sqrt{\frac{S_2}S}+\sqrt{\frac{S_3}S}\right)\Rightarrow S=\left(\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2}+\sqrt{S_3}\right)^2 . ▲

Свойства медиан, высот, биссектрис треугольника

В наших заданиях 9-го и 10-го классов здесь повторяемые теоремы и утверждения были доказаны. Для некоторых из них мы напоминаем пути доказательств, доказывая их моменты и давая поясняющие рисунки.

о медианах

Рис. 9

Теорема 1. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения каждая медиана делится в отношении 2: 1 , считая от вершины.

Теорема 2. Три медианы, пересекаясь, разбивают треугольник на 6 треугольников с общей вершиной, площади которых равны между собой.

(На рис. 9 площадь каждого из 6 треугольников с вершиной и основанием, равным половине стороны, равна 1 2 S A B C \frac12S_{ABC} . Точка пересечения медиан называется центром тяжести треугольника .

Теорема 3. Пусть B D BD - медиана треугольника

A B C (B C = a , A C = b , A B = c , B D = m a) ABC\;(BC=a,\;AC=b,\;AB=c,\;BD=m_a) , тогда

m c 2 = a 2 + b 2 2 - c 2 4 m_c^2=\frac{a^2+b^2}2-\frac{c^2}4 . (Доказательство приведено далее в §4 Задания).

Рис. 10

Медианы A A 1 AA_1 треугольника A B C ABC пересекаются в точке O O , A A 1 = 12 AA_1=12 и C C 1 = 6 CC_1=6 и одна из сторон треугольника равна 12. (рис. 10). Найти площадь треугольника A B C ABC .

Δ 1. По теореме 1 имеем A O = 2 3 A A 1 = 8 , C O = 2 3 C C 1 = 4 AO=\frac23AA_1=8,\;CO=\frac23CC_1=4 .

Расставим на рисунке 10 длины отрезков медиан. По условию, одна из сторон треугольника равна 12, сторона A C AC не может равняться 12, иначе A C = A O + O C AC=AO+OC - нарушено неравенство треугольника. Также не может равняться 12 сторона A B AB , так в этом случае A C 1 = 6 AC_1=6 и треугольник A O C 1 AOC_1 со сторонами 8, 2, 6 не существует. Значит, B C = 12 BC=12 и A C 1 = 6 AC_1=6 .

2. Площадь треугольника находим по формуле Герона:

p = 7 , S A 1 O C = 7 * 1 * 3 * 3 = 3 7 p=7,\;S_{A_1OC}=\sqrt{7\ast1\ast3\ast3}=3\sqrt7 .

По теореме 2 площадь треугольника A B C ABC в 6 раз больше, находим S A B C = 18 7 S_{ABC}=18\sqrt7 .▲

о высотах

Теорема 4. Три высоты треугольника или три прямые, на которых лежат высоты, пересекаются в одной точке. (Эта точка называется ортоцентром треугольника). В остроугольном треугольнике точка пересечения высот лежит внутри треугольника.

Были доказаны также две леммы о высотах

1-ая лемма.

Если A A 1 AA_1 и B B 1 BB_1 - высоты треугольника A B C ABC , то треугольник A 1 B 1 C A_1B_1C подобен треугольнику A B C ABC с коэффициентом подобия k = A 1 B 1 A B = cos C k=\frac{A_1B_1}{AB}=\left|\cos C\right| . Можно это утверждение сформулировать так: Если соединить основания двух высот A A 1 AA_1 и B B 1 BB_1 треугольника A B C ABC , то образуется треугольник, подобный данному: ∆ A 1 B 1 C ~ ∆ A B C \triangle A_1B_1C\sim\triangle ABC .

Из прямоугольных треугольников A C A 1 ACA_1 следует A 1 C = A C * c o s C A_1C=AC*cosC или A 1 C = A C * c o s (180 ° - C) = A C cos C A_1C=AC\ast cos(180^\circ-C)=AC\left|\cos C\right| (рис. 11а, б), а из прямоугольных треугольников B C B 1 BCB_1 следует B 1 C = B C * c o s C B_1C=BC*cosC или B 1 C = B C * c o s (180 ° - C) = B C cos C B_1C=BC\ast cos(180^\circ-C)=BC\left|\cos C\right| . Далее рассуждения очевидны.

Рис. 13

Высоты A A 1 AA_1 и B B 1 BB_1 пересекаются в точке H H (рис. 13), при этом A H = 3 H A 1 AH=3HA_1 и B H = H B 1 BH=HB_1 . Найти косинус угла A C B ACB и площадь треугольника A B C ABC , если A C = a AC=a .

Δ Обозначим H A 1 = x , H B 1 = y HA_1=x,\;HB_1=y ,

1. Точка H H - середина высоты (рис. 13). Если отрезок M H MH проходит через точку H H и параллелен основаниям, то MN - средняя линия; M N = a / 2 MN=a/2 .

2. ∆ H A 1 N ~ ∆ A A 1 C ⇒ H N A C = x 4 x , H N = 1 4 a . \triangle HA_1N\sim\triangle AA_1C\Rightarrow\frac{HN}{AC}=\frac x{4x},\;HN=\frac14a.\; Значит, M H = H N = a 4 MH=HN=\frac a4 и A B 1 = B 1 C = a 2 AB_1=B_1C=\frac a2 Треугольник A B C ABC равнобедренный, A B = B C AB=BC .

3. ∠ B 1 B C = 90 ° - ∠ C ⇒ ∠ B H A 1 = ∠ A H B 1 = ∠ C \angle B_1BC=90^\circ-\angle C\Rightarrow\angle BHA_1=\angle AHB_1=\angle C , а по второй лемме о высотах A H * H A 1 = B H * H B 1 AH*HA_1=BH*HB_1 т. е. 3 x 2 = y 2 , y = x 3 3x^2=y^2,\;y=x\sqrt3 .

4. △ A H B 1: A B 1 2 = (3 x) 2 - y 2 , a 2 4 = 6 x 2 , x = a 2 6 , y = a 2 2 ⇒ ⇒ S A B C = 1 2 A C * B B 1 = a y = a 2 2 4 \begin{array}{l}\bigtriangleup AHB_1:\;AB_1^2=(3x)^2-y^2,\;\frac{a^2}4=6x^2,\;x=\frac a{2\sqrt6},\;y=\frac a{2\sqrt2}\Rightarrow\\\Rightarrow S_{ABC}=\frac12AC\ast BB_1=ay=\frac{a^2\sqrt2}4\end{array} . ▲

о биссектрисах треугольника

Рис. 14

Теорема 5. Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам, т. е. если A D AD - биссектриса треугольника A B C ABC (рис. 14), то

B D D C = A B A C x y = c b \frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}\;\left(\frac xy=\frac cb\right)

Доказательство легко выполните сами, применяя теорему синусов к треугольникам A D B ADB и A D C ADC .

Теорема 6. Пусть A D AD - биссектриса треугольника A B C ABC (рис. 14), тогда A D = A B * A C - D B * D C AD=\sqrt{AB\ast AC-DB\ast DC} (в обозначениях рисунка 14а) A D = b c - x y AD=\sqrt{bc-xy} .

Рис. 14а

□ Эту теорему докажем. Опишем около треугольника A B C ABC окружность, точку пересечения прямой A D AD и окружности обозначим K K (рис. 14а).

Обозначим A D = z , D K = m . △ A B D ~ ∆ A K C (∠ A B D = ∠ A K C и ∠ 1 = ∠ 2) . И з п о д о б и я: A B A K = A D A C ⇒ c z + m = z b ⇒ ⇒ z 2 + z m = b c , z 2 = b c - z m . \begin{array}{l}AD=z,\;DK=m.\\\bigtriangleup ABD\sim\triangle AKC\;(\angle ABD=\angle AKC\;и\;\\\angle1=\angle2).\\Из\;подобия:\;\\\frac{AB}{AK}=\frac{AD}{AC}\Rightarrow\frac c{z+m}=\frac zb\Rightarrow\\\Rightarrow z^2+zm=bc,\;z^2=bc-zm.\end{array} По свойству пересекающихся хорд:

A D * D K = B D * C D , т. е. z * m = x * y ⇒ z 2 = b c - x y , z = b c - x y AD\ast DK=BD\ast CD,\;т.е.\;z\ast m=x\ast y\Rightarrow z^2=bc-xy,\;z=\sqrt{bc-xy} . ■

В треугольнике A B C ABC со сторонами A B = 5 AB=5 , A C = 3 AC=3 биссектриса A D = 15 8 AD=\frac{15}8 . Найти сторону B C BC и радиус вписанной окружности.

Δ По теореме 5 (см. рис. 14) имеем x y = 5 3 \frac xy=\frac53 Обозначим x = 5 z x=5z , тогда y = 3 z y=3z . По теореме 6 выполнено равенство 15 8 2 = 5 * 3 - 5 z * 3 z . \left(\frac{15}8\right)^2=5\ast3-5z\ast3z. Легко находим z = 7 8 z=\frac78 значит B C = 7 . BC=7. Радиус вписанной окружности найдём по формуле S = p r S=pr (S - площадь треугольника, p -полупериметр). Имеем p = 15 2 p=\frac{15}2 , по формуле Герона S = 15 2 * 1 2 * 10 2 * 9 2 = 15 3 2 , S=\sqrt{\frac{15}2\ast\frac12\ast\frac{10}2\ast\frac92}=\frac{15\sqrt3}2, поэтому r = S p = 3 2 . r=\frac Sp=\frac{\sqrt3}2. ▲

ГЛАВА VIII.

ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ ОТРЕЗКОВ. ПОДОБИЕ ФИГУР.

§ 92. ОТНОШЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ ПОДОБНЫХ ФИГУР.

1. Отношение площадей квадратов.

Рассмотрим отношение площадей двух квадратов. Если сторону одного квадрата обозначим через т , а сторону другого - через п , то площади будут соответственно равны
т 2 и п 2 (черт. 379).

Обозначив площадь первого квадрата через S, а площадь второго через S", получим: S / S" = m 2 / n 2 , т. е. площади квадратов относятся как квадраты их сторон.

Полученную формулу можно преобразовать так: S / S" = (m / n ) 2 .

Значит, можно сказать, что отношение площадей двух квадратов равно квадрату отношения их сторон.

На чертеже 379 отношение сторон квадратов равно 3, отношение их площадей равно
3 2 = 9.

2. Отношение площадей двух подобных треугольников.

Пусть /\ AВС /\ A"В"С" (черт. 380). Из подобия треугольников следует, что
/ A = / A" , / B = / B" и / С = / С" . Кроме того, AB / A"B" = BC / B"C" = AC / A"C" .

В этих треугольниках из вершин В и В" проведём высоты и обозначим их через h и h ". Площадь первого треугольника будет равна AC h / 2 , а площадь второго треугольника A"C" h" / 2 .

Обозначив площадь первого треугольника через S, а площадь второго - через S" получим: S / S" = AC h / A"C" h" или S / S" = AC / A"C" h / h"

Из подобия треугольников АВО и А"В"О" (они подобны, потому что прямоугольные, и, кроме того, имеют по равному острому углу, а именно / A = / A") следует:
h / h" = AB / A"B" . Но AB / A"B" = AC / A"C" . Следовательно, h / h" = AC / A"C" . Заменив в формуле S / S" = AC / A"C" h / h" отношение h / h" равным ему отношением AC / A"C" , получим:
S / S" = AC / A"C" AC / A"C" , или .

Итак, площади подобных треугольников относятся как квадраты сходственных сторон .

Полученную формулу можно преобразовать так: S / S" = (AC / A"C") 2 .

Значит, можно сказать, что отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату отношения их сходственных сторон.

3. Отношение площадей подобных многоугольников.

Пусть ABCDE и A"B"C"D"E" - подобные многоугольники (черт. 381).

Известно, что /\ AВС /\ A"В"С"; /\ ACD /\ A"C"D" и /\ ADE /\ A"D"E" (§90).
Кроме того,

;

Так как вторые отнoшения этих пропорций равны, что вытекает из подобия многоугольников, то

Используя свойство ряда равных отношений получим:

Или

где S и S" - площади данных подобных многоугольников.

Следовательно, площади подобных многоугольников относятся как квадраты сходственных сторон.

Полученную формулу можно преобразовать к такому виду: S / S" = (AВ / A"В") 2

Упражнения.

1. Сторона первого квадрата больше стороны второго квадрата в 2 раза (в 5 раз). Во сколько раз площадь первого квадрата больше площади второго квадрата?

2. Сторона первого квадрата составляет 1 / 3 (0,1) стороны второго квадрата. Какую часть площадь первого квадрата составляет от площади второго квадрата?

3. Коэффициент подобия в подобных многоугольниках равен 4 (1 / 5 ; 0,4; 2,5). Чему равно отношение их площадей?

4. Отношение площадей подобных многоугольников равно 36 (100; 0,09). Чему равно отношение сходственных сторон этих многоугольников?