Основные формулы кинематики. Путь и перемещение

Тогда искомая средняя путевая скорость

<v >=17/(6-1) м=3,4 м.

Заметим, что средняя путевая скорость всегда положительна.

Пример 3. Автомобиль движется по закруглению шоссе, имеющему радиус кривизны R=50 м. Уравнение * движения автомобиля (t) =A+Bt+Ct 2 , где A=10 м, B=10 м/с, С=-0,5 м/с 2 . Найти: 1) скорость v автомобиля, его тангенциальное , нормальное а n . и полное а ускорения в момент времени t =5 с; 2) длину пути s и модуль перемещения | | автомобиля за интервал времени =10 с, отсчитанный с момента начала движения.

Решение. 1. Зная уравнение движения, найдем скорость, взяв первую производную от координаты по времени:

Подставим в это выражение значения В, С, t и произведем вычисления:

v =5 м/с.

Тангенциальное ускорение найдем, взяв первую производную от скорости по времени: Подставив значение С, получим = -1 м/с 2 .

Нормальное ускорение определяется по формуле a n =v 2 /R. Подставим сюда найденное значение скорости и заданное значение радиуса кривизны траектории и произведем вычисления:

a n ==0,5 м/с 2 .

Полное ускорение, как это видно из рис. 1.1, является геометрической суммой ускорений а и а n : а =а +а n . Модуль ускорения . Подставив в это выражение найденные значения а и а n получим

а=1,12 м/с 2 .

2. Чтобы определить путь s, пройденный автомобилем, заметим, что в случае движения в одном направлении (как это имеет место в условиях данной задачи) длина пути s равна изменению криволинейной координаты т. е.

Подставим в полученное выражение значения В, С, и произведем вычисления:

где - угол между радиусами-векторами, определяющими начальное (0) и конечное положения автомашины на траектории. Этот угол (в радианах) находим как отношение длины пути s к радиусу кривизны R траектории, т. е. = =s/R. Таким образом,

Подставим сюда значения R, s ипроизведем вычисления:

Пример 4. Маховик, вращавшийся с постоянной частотой n 0 =10 с 1 , при торможении начал вращаться равнозамедленно. Когда торможение прекратилось, вращение маховика снова стало равномерным, но уже с частотой п=6 с 1 . Определить угловое ускорение маховика и продолжительность t торможения, если за время равнозамедленного движения маховик сделал N==50 оборотов.

Решение. Угловое ускорение маховика связано с начальной и конечной угловыми скоростями соотношением , откуда Но так как то

Подставив значения , п, п 0 , N и вычислив, получим

3,14(6 2 -10 2)/50 рад/с 2 =-4,02 рад/с 2 .

Знак минус указывает на то, что маховик вращался замедленно. Определим продолжительность торможения, используя формулу, связывающую угол поворота со средней угловой скоростью <v> вращения и временем t: =< >t. По условиям задачи, угловая скорость линейно зависит от времени и поэтому можно написать , тогда ,

Подставив числовые значения и произведя вычисления, получим

Задачи

Прямолинейное движение

1.1. Две прямые дороги пересекаются под углом =60°. От перекрестка по ним удаляются машины: одна со скоростью v 1 =60 км/ч, другая со скоростью v 2 =80 км/ч.

Определить скорости v" и v", с которыми одна машина удаляется от другой. Перекресток машины прошли одновременно.

1.2. Точка двигалась в течение t 1 = 15c со скоростью v 1 =5 м/с, в течение t 2 =10 с со скоростью v 2 =8 м/с и в течение t 3 =6 с со скоростью v 3 =20 м/с. Определить среднюю путевую скорость <v > точки.

1.3. Три четверти своего пути автомобиль прошел со скоростью v 1 =60 км/ч, остальную часть пути - со скоростью v 2 =80 км/ч. Какова средняя путевая скорость <v > автомобиля?

1.4. Первую половину пути тело двигалось со скоростью v 1 =2 м/с, вторую - со скоростью v 2 =8 м/с. Определить среднюю путевую скорость <v > .

1.5. Тело прошло первую половину пути за время t 1 =2 с, вторую - за время t 2 =8 с. Определить среднюю путевую скорость <v > тела, если длина пути s=20 м.

1.6. -Зависимость скорости от времени для движения некоторого тела представлена на рис. 1.4. Определить среднюю путевую скорость <v > за время t =14 с.

Рис. 1.4 Рис. 1.5

1.7. Зависимость ускорения от времени при некотором движении тела представлена на рис. 1.5. Определить среднюю путевую скорость <v > за время t=8 с. Начальная скорость v 0 =0.

1.8. Уравнение прямолинейного движения имеет вид x=At+Bt 2 , где A=3 м/с, B=-0,25 м/с 2 . Построить графики зависимости координаты и пути от времени для заданного движения.

1.9. На рис. 1.5 дан график зависимости ускорения от времени для некоторого движения тела. Построить графики зависимости скорости и пути от времени для этого движения, если в начальный момент тело покоилось.

1.10. x=At+Bt 2 , где A =4 м/с, В=- 0,05 м/с 2 . Определить момент времени, в который скорость v точки равна нулю. Найти координату и ускорение в этот момент. Построить графики зависимости координаты, пути, скорости и ускорения этого движения от времени.

1.11. Написать кинематическое уравнение движения x=f(t) точки для четырех случаев, представленных на рис. 1.6. На каждой

позиции рисунка - а, б, в, г - изображена координатная ось Ох, указаны начальные положение x 0 и скорость v 0 материальной точки А, а также ее ускорение а.

1.12. Прожектор О (рис. 1.7) установлен на расстоянии l ==100 м от стены АВ и бросает светлое пятно на эту стену. Прожектор вращается вокруг вертикальной оси, делая один оборот за время Т= 20 с. Найти: 1) уравнение движения светлого пятна по стене в течение первой четверти оборота; 2) скорость v, с которой светлое пятно движется по стене, в момент времени t=2 с. За начало отсчета принять момент, когда направление луча совпадает с ОС.

1.13. Рядом с поездом на одной линии с передними буферами паровоза стоит человек. В тот момент, когда поезд начал двигаться с ускорением а=0,1 м/с 2 , человек начал идти в том же направлении со скоростью v =1,5 м/с. Через какое время t поезд догонит человека? Определить скорость v 1 поезда в этот момент и путь, пройденный за это время человеком.

1.14. Из одного и того же места начали равноускоренно двигаться в одном направлении две точки, причем вторая начала свое движение через 2 с после первой. Первая точка двигалась с начальной скоростью v 1 ==l м/с и ускорением a 1 =2 м/с 2 , вторая - с начальной скоростью v 2 =10 м/с и ускорением а 2 =1 м/с 2 . Через сколько времени и на каком расстоянии от исходного положения вторая точка догонит первую?

1.15. Движения двух материальных точек выражаются уравнениями:

x 1 =A 1 +B 1 t+C 1 t 2 , x 2 =A 2 +B 2 t+C 2 t 2 ,

где A 1 =20 м, A 2 =2 м, B 1 =B 2 =2 м/с, C 1 = - 4 м/с 2 , С 2 =0,5 м/с 2 .

В какой момент времени t скорости этих точек будут одинаковыми? Определить скорости v 1 и v 2 и ускорения a 1 и а 2 точек в этот момент:

1.16. Две материальные точки движутся согласно уравнениям;

x 1 =A 1 t+B 1 t 2 +C 1 t 3 , x 2 =A 2 t+B 2 t 2 +C 2 t 3 ,

где A 1 =4 м/c, B 1 =8 м/с 2 , C 1 = - 16 м/с3, A 2 =2 м/с, B 2 = - 4 м/с 2 , С 2 =1м/с 3

В какой момент времени t ускорения этих точек будут одинаковы? Найти скорости v 1 и v 2 точек в этот момент.

1.17. С какой высоты Н упало тело, если последний метр своего пути оно прошло за время t =0,1 с?

1.18. Камень падает с высоты h=1200 м. Какой путь s пройдет камень за последнюю секунду своего падения?

1.19. Камень брошен вертикально вверх с начальной скоростью v 0 ==20 м/с. По истечении какого времени камень будет находиться на высоте h=15м? Найти скорость v камня на этой высоте. Сопротивлением воздуха пренебречь. Принять g=10 м/с 2 .

1.20. Вертикально вверх с начальной скоростью v 0 =20 м/с брошен камень. Через =1 с после этого брошен вертикально вверх другой камень с такой же скоростью. На какой высоте h встретятся камни?

1.21. Тело, брошенное вертикально вверх, находилось на одной и той же высоте h=8,6 м два раза с интервалом t=3 с. Пренебрегая сопротивлением воздуха, вычислить начальную скорость брошенного тела.

1.22. С балкона бросили мячик вертикально вверх с начальной скоростью v 0 =5 м/с. Через t= 2 с мячик упал на землю. Определить высоту балкона над землей и скорость мячика в момент удара о землю.

1.23. Тело брошено с балкона вертикально вверх со скоростью v 0 =10 м/с. Высота балкона над поверхностью земли h=12,5 м. Написать уравнение движения и определить среднюю путевую скорость <v > с момента бросания до момента падения на землю.

1.24. Движение точки по прямой задано уравнением x=At+Bt 2 , где A =2 м/с, В=- 0,5 м/с 2 . Определить среднюю путевую скорость <v> движения точки в интервале времени от t 1 =l с до t 2 =3 с.

1.25. Точка движется по прямой согласно уравнению x=At+Bt 3 , где A=6 м/с, В == -0,125 м/с 3 . Определить среднюю путевую скорость <v> точки в интервале времени от t 1 =2 с до t 2 =6 с.

Криволинейное движение

1.26. Материальная точка движется по плоскости согласно уравнению r (t)=i At 3 +j Bt 2 . Написать зависимости: 1) v (t); 2) a (t).

1.27. Движение материальной точки задано уравнением r (t )=A (i cos t - j sin t ), где A =0,5 м, =5 рад/с. Начертить траекторию точки. Определить модуль скорости |v | и модуль нормального ускорения |a n |.

1.28. Движение материальной точки задано уравнением r (t )= i (A+Bt 2 )+ j Ct, где A==10 м, В= - 5 м/с 2 , С=10 м/с. Начертить траекторию точки. Найти выражения v (t) и a (t). Для момента времени t =1 с вычислить: 1) модуль скорости |v | ; 2) модуль ускорения |а|; 3) модуль тангенциального ускорения |а |; 4) модуль нор­мального ускорения |a n |.

1.29. Точка движется по кривой с постоянным тангенциальным ускорением a =0,5 м/с 2 . Определить полное ускорение а точки на

участке кривой с радиусом кривизны R=3 м, если точка движется на этом участке со скоростью v ==2 м/с.

1.30. Точка движется по окружности радиусом R==4 м. Начальная скорость v 0 точки равна 3 м/с, тангенциальное ускорение a =1 м/с 2 . Для момента времени t=2 с определить: 1) длину пути s, пройденного точкой; 2) модуль перемещения | |; 3) среднюю путевую скорость | |; 4) модуль вектора средней скорости |<v >|.

1.31. По окружности радиусом.R=5 м равномерно движется материальная точка со скоростью v =5 м/с. Построить графики зависимости длины пути s и модуля перемещения | | от времени t. В момент времени, принятый за начальный (t=0), s(0) и | (0)| считать равными нулю.

1.32. За время t=6 с точка прошла путь, равный половине длины окружности радиусом R==0,8 м. Определить среднюю путевую скорость <v > за это время и модуль вектора средней скорости |<v >|.

1.33. Движение точки по окружности радиусом R=4 м задано уравнением * =A+Bt+Ct 2 , где A=10 м, В=-2 м/с, С=1 м/с 2 . Найти тангенциальное а , нормальное a n и полное а ускорения точки в момент времени t =2с.

1.34. По дуге окружности радиусом R= 10 м движется точка. В некоторый момент времени нормальное ускорение точки а n =4,9 м/с 2 ; в этот момент векторы полного и нормального ускорений образуют угол =60°. Найти скорость v и тангенциальное ускорение a точки.

1.35. Точка движется по окружности радиусом R=2 м согласно уравнению * =At 3 , где A =2 м/с 3 . В какой момент времени t нормальное ускорение а n точки будет равно тангенциальному а .Определить полное ускорение а в этот момент.

1.36. Движение точки по кривой задано уравнениями x=A 1 t 3 и y =A 2 t , где A 1 ==l м/с 3 , A 2 =2 м/с. Найти уравнение траектории точки, ее скорость v и полное ускорение а в момент времени t=0,8 с.

1.37. Точка А движется равномерно со скоростью v по окружности радиусом R. Начальное положение точки и направление движения указаны на рис. 1.8. Написать кинематическое уравнение движения проекции точки A на направление оси х.

1.38. Точка движется равномерно со скоростью v по окружности радиусом R и в момент времени, принятый за начальный (t=0), занимает положение, указанное на рис. 1.8. Написать кинематические уравнения движения точки: 1) в декартовой системе координат, расположив оси так, как это указано на рисунке; 2) в полярной системе координат (ось х считать полярной осью).

1.39. Написать для четырех случаев, представленных на рис. 1.9:

1) кинематические уравнения движения x=f 1 (t ) и x=f 2 (t ); 2) уравнение траектории у= (х). На каждой позиции рисунка - а, б, в, г - изображены координатные оси, указаны начальное положение точки A, ее начальная скорость v 0 и ускорение g.

1.40. С вышки бросили камень в горизонтальном направлении.

* См. сноску на с. 11.

Через промежуток времени t =2 с камень упал на землю на расстоянии s=40 м от основания вышки. Определить начальную v 0 и конечную v скорости камня.

1.41. Тело, брошенное с башни в горизонтальном направлении со скоростью v =20 м/с, упало на землю на расстоянии s (от основания башни), вдвое большем высоты h башни. Найти высоту башни.

Рис. 1.8 Рис. 1.9

1.42. Пистолетная пуля пробила два вертикально закрепленных листа бумаги, расстояние l между которыми равно 30 м. Пробоина во втором листе оказалась на h=10см ниже, чем в первом. Определить скорость v пули, если к первому листу она подлетела, двигаясь горизонтально. Сопротивлением воздуха пренебречь.

1.43. Самолет, летевший на высоте h-=2940 м со скоростью v =360 км/ч, сбросил бомбу. За какое время t до прохождения над целью и на каком расстоянии s от нее должен самолет сбросить бомбу, чтобы попасть в цель? Сопротивлением воздуха пренебречь.

1.44. Тело брошено под некоторым углом к горизонту. Найти этот угол, если горизонтальная дальность s полета тела в четыре раза больше максимальной высоты Н траектории.

1.45. Миномет установлен под углом =60° к горизонту на крыше здания, высота которого h=40 м. Начальная скорость v 0 мины равна 50 м/с. Требуется: 1) написать кинематические уравнения движения и уравнения траектории и начертить эту траекторию с соблюдением масштаба; 2) определить время полета мины, максимальную высоту Н ее подъема, горизонтальную дальность s полета, скорость v в момент падения мины на землю. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Указание. Начало координат поместить на поверхности земли так, чтобы оно находилось на одной вертикали с минометом и чтобы вектор скорости v лежал в плоскости хОу.

1.46. Снаряд, выпущенный из орудия под углом =30° к горизонту, дважды был на одной и той же высоте h: спустя время t 1 =10 с и t 2 =50 с после выстрела.

Определить начальную скорость v 0 и высоту h.

1.47. Пуля пущена с начальной скоростью v 0 =200 м/с под углом =60° к горизонту. Определить максимальную высоту Н подъема, дальность s полета и радиус R кривизны траектории пули в ее наивысшей точке. Сопротивлением воздуха пренебречь.

1.48. Камень брошен с вышки в горизонтальном направлении с начальной скоростью v 0 =30 м/с. Определить скорость v , тангенциальное a и нормальное a n ускорения камня в конце второй секунды после начала движения.

1.49. Тело брошено под углом =30° к горизонту. Найти тангенциальное a ; и нормальное а n ускорения в начальный момент движения.

Вращение тела вокруг неподвижной оси

1.50. Определить линейную скорость v и центростремительное ускорение a n точек, лежащих на земной поверхности: 1) на экваторе; 2) на широте Москвы ( =56°).

1.51. Линейная скорость v 1 точек на окружности вращающегося диска равна 3 м/с. Точки, расположенные на =10 см ближе к оси, имеют линейную скорость v 2 =2 м/с. Определить частоту вращения п диска.

1.52. Два бумажных диска насажены на общую горизонтальную ось так, что плоскости их параллельны и отстоят на d=30 см друг от друга. Диски вращаются с частотой n==25 с -1 . Пуля, летевшая параллельно оси на расстоянии r=12 см от нее, пробила оба диска. Пробоины в дисках смещены друг относительно друга на расстоя-ние s==5 см, считая по дуге окружности. Найти среднюю путевую скорость <v > пули в промежутке между дисками и оценить создаваемое силой тяжести смещение пробоин в вертикальном направлении. Сопротивление воздуха не учитывать.

1.53. На цилиндр, который может вращаться около горизонтальной оси, намотана нить. К концу нити привязали грузик и предоставили ему возможность опускаться. Двигаясь равноускоренно, грузик за время t=3 с опустился на h= 1,5 м. Определить угловое ускорение цилиндра, если его радиус r=4 см.

1.54. Диск радиусом r= 10 см, находившийся в состоянии покоя, начал вращаться с постоянным угловым ускорением =0,5 рад/с 2 . Найти тангенциальное a , нормальное а п и полное а ускорения точек на окружности диска в конце второй секунды после начала вращения.

1.55. Диск радиусом r=20 см вращается согласно уравнению =A+Bt+Сt 3 , где A=3 рад, В=-1 рад/с, С=0,1 рад/с 3 . Определить тангенциальное a нормальное а n и полное а ускорения точек на окружности диска для момента времени t =10 с.

1.56. Маховик начал вращаться равноускоренно и за промежуток времени t =10 с достиг частоты вращения n=300 мин" 1 . Определить угловое ускорение маховика и число N оборотов, которое он сделал за это время.

1.57. Велосипедное колесо вращается с частотой п=5 с 1 . Под действием сил трения оно остановилось через интервал времени t =1 мин. Определить угловое ускорение и число N оборотов, которое сделает колесо за это время.

1.58. Колесо автомашины вращается равноускоренно. Сделав N=50 полных оборотов, оно изменило частоту вращения от n 1 =4 с 1 до n 2 ==6 с 1 . Определить угловое ускорение колеса.

1.59. Диск вращается с угловым ускорением =-2 рад/с 2 . Сколько оборотов N сделает диск при изменении частоты вращения от n 1 =240 мин -1 до n 2 =90 мин -1 ? Найти время t , в течение которого это произойдет.

1.60. Винт аэросаней вращается с частотой n=360 мин 1 . Скорость v поступательного движения аэросаней равна 54 км/ч. С какой скоростью u движется один из концов винта, если радиус R винта равен 1 м?

1.61. На токарном станке протачивается вал диаметром d= 60 мм. Продольная подача h резца равна 0,5 мм за один оборот. Какова скорость v резания, если за интервал времени t =1 мин протачивается участок вала длиной l =12 см?

Дата публикования: 2015-01-23 ; Прочитано: 851 | Нарушение авторского права страницы | Заказать написание работы

Отключите adBlock!
очень нужно

Средняя скорость перемещения vср - это вектор, определяемый выражением
vср = Δr/Δt.
Мгновенная скорость перемещения v - это вектор, определяемый выражением
v = dr/dt.
Средняя скорость пути vср - это скаляр, определяемый выражением
vср = Δs/Δt.
Мгновенная скорость пути v - это скаляр, определяемый выражением
v = ds/dt.
Модуль мгновенной скорости перемещения и мгновенная скорость пути - это одно и то же, поскольку dr = ds.
Среднее ускорение aср - это вектор, определяемый выражением
aср = Δv/Δt.
Мгновенное ускорение (или просто, ускорение) a - это вектор, определяемый выражением
a =dv/dt.
Касательное (тангенциальное) ускорение aτ (нижний индекс - это греческая строчная буква тау) - это вектор, являющийся векторной проекцией мгновенного ускорения на касательную ось.
Нормальное (центростремительное) ускорение an - это вектор, являющийся векторной проекцией мгновенного ускорения на ось нормали.
Модуль касательного ускорения
| aτ | = dv/dt,
то есть это - производная модуля мгновенной скорости по времени.
Модуль нормального ускорения
| an | = v2/r,
где r - величина радиуса кривизны траектории в точке нахождения тела.
Мгновенная угловая скорость (или просто, угловая скорость) ω - это вектор, определяемый выражением
ω = dφ/dt
Мгновенное угловое ускорение (или просто, угловое ускорение) ε - это вектор, определяемый выражением
ε = dω/dt.
Кинематическое уравнение равномерного и прямолинейного движения имеет вид:
r = r0 + v t,
где r - радиус-вектор объекта в момент времени t, r0 - то же в начальный момент времени t0 (в момент начала наблюдений).
Кинематическое уравнение движения с постоянным ускорением имеет вид:
r = r0 + v0 t + at2/2, где v0 скорость объекта в момент t0 .
Уравнение для скорости тела при движении с постоянным ускорением имеет вид:
v = v0 + a t.
Кинематическое уравнение равномерного движения по окружности в полярных координатахимеет вид:
φ = φ0 + ωz t,
где φ - угловая координата тела в данный момент времени, φ0 - угловая координата тела в момент начала наблюдения (в начальный момент времени), ωz - проекция угловой скорости ω на ось Z (обычно эта ось выбирается перпендикулярно плоскости вращения).
Кинематическое уравнение движения по окружности с постоянным ускорением в полярных координатах имеет вид:
φ = φ0 + ω0z t + εz t2/2.
Кинематическое уравнение гармонических колебаний вдоль оси X имеет вид:
х = А Cos (ω t + φ0),
где A - амплитуда колебаний, ω - циклическая частота, φ0 - начальная фаза колебаний.
Проекция скорости точки, колеблющейся вдоль оси X, на эту ось равна:
vx = − ω · A · Sin (ω t + φ0).
Проекция ускорения точки, колеблющейся вдоль оси X, на эту ось равна:
аx = − ω2 · A · Cos (ω t + φ0).
Связь между циклической частотой ω, обычной частотой ƒ и периодом колебаний T:
ω = 2 πƒ = 2 π/T (π = 3,14 - число пи).

Движения тел классифицируют по форме траектории и виду кинематических зависимостей (законов движения). По форме траектории различают прямолинейное и криволинейное движения, в частности, движение по окружности и движение тела, брошенного под углом к горизонту (траектория – парабола). Основными видами движения являются равномерное и равнопеременное (в частности, равноускоренное или равнозамедленное), т.е. движение с постоянным ускорением (например, в поле силы тяжести).

Таблица 1. Классификация механических движений

Для задания положения используются 3 подхода:

расстояние вдоль траектории от некоторой начальной точки,

координатный – с помощью системы координат,

векторный – с помощью радиус-вектора.

В каждом из этих случаев формула закона движения своя.

Равномерное движение – движение с постоянной скоростью (какпо модулю , так ипо направлению ). Такое движение – всегдапрямолинейное движение. В этом случае путь всегда равен величине перемещенияS .

Закон равномерного движения:

(1)
,
- (1-я форма), где- модуль скорости,

(1’)
- (2-я форма), где- проекция скорости движения на осьх .

Если скорость меняется (по величине или по направлению), то движение считаетсянеравномерным .

Методические указания. При ответе на вопрос «Как меняется скорость тела? » необходимо выбрать один из следующих ответов:

скорость меняется только по направлению (величина скорости постоянна);

скорость меняется только по модулю (направление постоянно);

скорость меняется и по модулю и по направлению;

скорость НЕ меняется (модуль И направление постоянны!) – в случае отрицательного ответа.

Наличие нескольких способов изменения скорости обусловлено тем, что это векторная величина. Для сравнения отметим, что скалярная величина характеризуется одним параметром - числовым значением (или только модуль – неотрицательное число, или, для некоторых скаляров, модуль и знак: «плюс» или «минус» - т.е. любое действительное число). Так, проекция скорости на ось есть скалярная величина определенного знака, в отличие от величины пройденного пути.

Равнопеременное движение (равноускоренное или равнозамедленное,но не только!)– движение с постоянным ускорением по следующему закону:

(2)
- зависимость путиS от времени (форма 1),

,
.

- модуль начальной скорость,а – модуль ускорения,t – затраченный промежуток времени.

иначе

(3)
- зависимость координаты от времени (форма 2),

(4)
,
.

Равенства, записанные в скалярной форме, требуют учета знаков перед значениями векторных величин!.

Методические указания. При записи закона движения в форме 2 направления всех векторных величин сравниваются с выбранным положительным направлением осей координат, поэтому выбор знака «+» или «-» осуществляется и перед скоростью и перед ускорением. Форма 1 соответствует выбору положительного направления в сторону самого движения (по направлению начальной скорости).

Замечание. При решении задач часто очень удобно использовать формулу, являющуюся следствием исключения из формул (2) и (4) параметра t :

(5)
- путь, пройденный при движении с ускорениемa на участке изменения скорости от до (необходимо учесть знак! В случае равнозамедленного движения величины и в числителе формулынадо поменять местами).

Равномерное движение по окружности – движение по окружности спостоянной по модулю скоростью. Скорость как векторная величина МЕНЯЕТСЯ, но лишь по направлению(см. выше вариант 1). Поэтому в этом случае есть ускорение – центростремительное (нормальное), зависящее от модуля линейной скорости:

(6)
, гдеR – радиус окружности.

При движении по окружности тело проходит за единицу времени некоторое расстояние вдоль траектории – определяемое линейной скоростью. В то же время тело за единицу времени поворачивается на некоторый угол – определяемый угловой скоростью.Угловая скорость (при равномерном движении по окружности!) численно равна углу поворота за единицу времени:

(7)
, где
- угол поворота за время
.

Угловая скорость также имеет направление, которое определяется по правилу правого винта 3 , т.е. она направлена перпендикулярно плоскости окружности.

Замечание. В случае неравномерного движения по окружности необходимо говорить о мгновенном значении угловой скорости, которое находится как производная от угла поворота по времени:
. Кроме того, угловая скорость имеет и направление, которое находится по правилу правого буравчика; в частности, угловая скорость перпендикулярна плоскости вращения. Т.е. угловая скорость в общем также является векторной величиной!

Частота вращения n - количество оборотов в единицу времени. За один оборот принимается поворот на угол
.Период вращенияТ – время одного полного оборота. Основные формулы:

(8)
;(9)
;(10)
.

Каждой угловой величине можно поставить в соответствие величину линейную (см. табл.2):

Таблица 2. Связь линейных и угловых величин

Связь линейных и угловых величин можно представить схематично:

Угловая величина R = Линейная величина

Например, имеем формулы:

(11)
;(12)

и, как следствие формулы (6), получаем: (13)
,

где R - радиус окружности,a n - центростремительное ускорение.

Методические указания. Если скорость меняется только по направлению, т.е. есть лишь ускорение, перпендикулярное (нормальное - от слова «нормаль») скорости, то его чаще называют центростремительным (как в случае равномерного движения по окружности). Если же имеет место изменение обоих параметров (модуля и направления), то соответственно каждому из них выделяют отдельно две составляющие ускорения:тангенциальное (касательное) ускорение а  , которое направлено вдоль скорости и характеризует быстроту изменения величины скорости, и нормальное (перпендикулярное скорости) ускорение а n , относящееся к изменению направления скорости. Тогда полное ускорение равно их векторной сумме:

.

Отдельную группу составляют задачи на среднюю скорость движения. О средней скорости говорят, когда в течение некоторого времени t значение скорости менялось. Тогда если бы тело двигалось с постоянной скоростью равной V ср, то за это время t оно прошло бы то же самой расстояние. Поэтому по определению имеем формулу:

(14)
.

Другими словами, введение средней скорости там, где движение явно не равномерное (истинный вид движения может быть не известен, сложен или переменчив) дает как бы первое приближение этого движения, заменяя его равномерным.

Методические указания . Анализируя методы решения задач, можно отметить два случая: 1) решение «от данного к искомому» или «от начала», основано на применении типичных для данной ситуации рассуждений до тех пор, пока не придем к тому, что требуется; 2) решение «от искомого к данным» или «от конца», основано на записи формул, относящихся к искомой величине (чаще, ее определение) и постепенном выражении входящих в нее неизвестных переменных через данные задачи. Так, решение задачи, где требуется найти среднюю скорость, должно начинаться с записи формулы (14). После этого на основе условия задачи выделяются основные неизвестные и через них и данные задачи выражаются все другие неизвестные. Затем при подстановке в исходную формулу производится сокращение основных неизвестных и получается общая формула решения.

Особое значение имеют вопросы, касающиеся относительности движения. В связи с этим необходимо усвоить формулу сложения скоростей и отработать ее применение на конкретных задачах.

Мысленно представим ситуацию, когда два человека высказываются о движении одного и того же тела (пень на поляне): один говорит «пень движется», а другой – «пень покоится». Кто же из них прав? Оказывается правы могут быть оба спорящих: тот, кто стоит возле пня, и тот, кто едет мимо него в вагоне поезда.

Приведенный выше вопрос не имеет смысла, пока не будет оговорено, относительно какого тела отсчета идет рассмотрение движения! Приходим, таким образом, к важнейшему заключению: движение и покой относительны. Кроме того, относительно и положение тела (один говорит: пень близко, а другой: пень далеко).

На этом основано еще одно методическое требование , которое необходимо учитывать при записи кинематических зависимостей (в частности, законов движения):все величины, относящиеся к движению и задействованные в одной и той же расчетной формуле, должны быть заданы в одной и той же системе отсчета!

Однако, анализируя конкретные ситуации, бывает просто необходимо переходить из одной системы отсчета к другой. Формула сложения скоростей позволяет согласовывать кинематические величины, заданные в двух различных системах отсчета, одна из которых неподвижна, а другая движется относительно нее с некоторой скоростью.

Обозначим Т – тело, движение которого рассматривается относительно двух разных систем отсчета, К – неподвижная система отсчета, К’ – движущаяся (равномерно относительно К!) система отсчета. Пусть– скорость тела (Т) в К (абсолютная скорость тела,одинакова для любых неподвижных систем отсчета!),
– скорость тела в К’ (относительная скорость,зависит от системы К’),– скорость К’ относительно К.

Формула сложения скоростей верна только в векторной форме и имеет простой вид:

Методические указания. Решение задач на относительность движения осуществляется 2-м способом (см. методические указания на стр. 16), т.е. начинается с записи формулы (15). (Предварительно необходимо четко выделить тройку (Т, К, К’) и соответственно «распознать» данные в задачи значения скоростей). Затем из нее выражается вектор искомой скорости, строится на основе правила «треугольника» сложения векторов «треугольник скоростей» и из него на основе геометрических соображений определяется нужная величина.

Прежде всего, следует заметить, что речь будет идти о геометрической точке, то есть области пространства, не имеющей размеров. Именно для этого абстрактного образа (модели) и справедливы все представленные ниже определения и формулы. Однако для краткости я в дальнейшем буду часто говорить о движении тела , объекта или частицы . Это я делаю только для того, чтобы Вам легче было читать. Но всегда помните, что речь идет о геометрической точке.

Радиус-вектор точки - это вектор, начало которого совпадает с началом системы координат, а конец - с данной точкой. Радиус-вектор обозначается, как правило, буквой r . К сожалению некоторые авторы обозначают его буквой s . Настоятельно советую не использовать обозначение s для радиус-вектора. Дело в том, что подавляющее большинство авторов (как отечественных, так и зарубежных) используют букву s для обозначения пути, который является скаляром и к радиус-вектору, как правило, отношения не имеет. Если вы будете обозначать радиус-вектор как s , то легко можете запутаться. Еще раз, мы, как и все нормальные люди, будем использовать следующие обозначения: r - радиус-вектор точки, s - путь, пройденный точкой.

Вектор перемещения (часто говорят просто - перемещение ) - это вектор , начало которого совпадает с той точкой траектории, где было тело, когда мы начали изучать данное движение, а конец этого вектора совпадает с той точкой траектории, где мы это изучение закончили. Будем обозначать этот вектор как Δr . Использование символа Δ очевидно: Δr - это разность между радиус-вектором r конечной точки изучаемого отрезка траектории и радиус-вектором r 0 точки начала этого отрезка (рис. 1), то есть Δr = r − r 0 .

Траектория - это линия, вдоль которой движется тело.

Путь - это сумма длин всех участков траектории, последовательно проходимых телом при движения. Обозначается либо ΔS, если речь идет об участке траектории, либо S, если речь идет о всей траектории наблюдаемого движения. Иногда (редко) путь обозначают и другой буквой, например, L (только не обозначайте его как r, мы уже об этом говорили). Запомните! Путь - это положительный скаляр ! Путь в процессе движения может только увеличиваться .

Средняя скорость перемещения v ср

v ср = Δr /Δt.

Мгновенная скорость перемещения v - это вектор, определяемый выражением

v = dr /dt.

Средняя скорость пути v ср - это скаляр, определяемый выражением

V ср = Δs/Δt.

Часто встречаются и другие обозначения, например, .

Мгновенная скорость пути v - это скаляр, определяемый выражением

Модуль мгновенной скорости перемещения и мгновенная скорость пути - это одно и то же, поскольку dr = ds.

Среднее ускорение a

a ср = Δv /Δt.

Мгновенное ускорение (или просто, ускорение ) a - это вектор, определяемый выражением

a =dv /dt.

Касательное (тангенциальное) ускорение a τ (нижний индекс - это греческая строчная буква тау) - это вектор , являющийся векторной проекцией мгновенного ускорения на касательную ось .

Нормальное (центростремительное) ускорение a n - это вектор , являющийся векторной проекцией мгновенного ускорения на ось нормали .

Модуль касательного ускорения

| a τ | = dv/dt,

То есть это - производная модуля мгновенной скорости по времени.

Модуль нормального ускорения

| a n | = v 2 /r,

Где r - величина радиуса кривизны траектории в точке нахождения тела.

Важно! Хочу обратить внимание на следующее. Не путайтесь с обозначениями, касающимися касательного и нормального ускорений! Дело в том, что в литературе по этому поводу традиционно наблюдается полная чехарда.

Запомните!

a τ - это вектор касательного ускорения,

a n - это вектор нормального ускорения.

a τ и a n являются векторными проекциями полного ускорения а на касательную ось и ось нормали соответственно,

A τ - это проекция (скалярная!) касательного ускорения на касательную ось,

A n - это проекция (скалярная!) нормального ускорения на ось нормали,

| a τ |- это модуль вектора касательного ускорения,

| a n | - это модуль вектора нормального ускорения.

Особенно не удивляйтесь, если, читая в литературе о криволинейном (в частности, вращательном) движении, Вы обнаружите, что автор под a τ понимает и вектор, и его проекцию, и его модуль. То же самое относится и к a n . Все, как говорится, «в одном флаконе». И такое, к сожалению, сплошь и рядом. Даже учебники для высшей школы не являются исключением, во многих из них (поверьте - в большинстве!) царит полная неразбериха по этому поводу.

Вот так, не зная азов векторной алгебры или пренебрегая ими, очень легко полностью запутаться при изучении и анализе физических процессов. Поэтому знание векторной алгебры является наиглавнейшим условием успеха в изучении механики. И не только механики. В дальнейшем, при изучении других разделов физики, Вы неоднократно в этом убедитесь.

Мгновенная угловая скорость (или просто, угловая скорость ) ω - это вектор, определяемый выражением

ω = dφ /dt,

Где dφ - бесконечно малое изменение угловой координаты (dφ - вектор!).

Мгновенное угловое ускорение (или просто, угловое ускорение ) ε - это вектор, определяемый выражением

ε = dω /dt.

Связь между v , ω и r :

v = ω × r .

Связь между v, ω и r:

Связь между | a τ |, ε и r:

| a τ | = ε · r.

Теперь перейдем к кинематическим уравнениям конкретных видов движения. Эти уравнения надо выучить наизусть .

Кинематическое уравнение равномерного и прямолинейного движения имеет вид:

r = r 0 + v t,

Где r - радиус-вектор объекта в момент времени t, r 0 - то же в начальный момент времени t 0 (в момент начала наблюдений).

Кинематическое уравнение движения с постоянным ускорением имеет вид:

r = r 0 + v 0 t + a t 2 /2, где v 0 скорость объекта в момент t 0 .

Уравнение для скорости тела при движении с постоянным ускорением имеет вид:

v = v 0 + a t.

Кинематическое уравнение равномерного движения по окружности в полярных координатах имеет вид:

φ = φ 0 + ω z t,

Где φ - угловая координата тела в данный момент времени, φ 0 - угловая координата тела в момент начала наблюдения (в начальный момент времени), ω z - проекция угловой скорости ω на ось Z (обычно эта ось выбирается перпендикулярно плоскости вращения).

Кинематическое уравнение движения по окружности с постоянным ускорением в полярных координатах имеет вид:

φ = φ 0 + ω 0z t + ε z t 2 /2.

Кинематическое уравнение гармонических колебаний вдоль оси X имеет вид:

Х = А Cos (ω t + φ 0),

Где A - амплитуда колебаний, ω - циклическая частота, φ 0 - начальная фаза колебаний.

Проекция скорости точки, колеблющейся вдоль оси X, на эту ось равна:

V x = − ω · A · Sin (ω t + φ 0).

Проекция ускорения точки, колеблющейся вдоль оси X, на эту ось равна:

А x = − ω 2 · A · Cos (ω t + φ 0).

Связь между циклической частотой ω, обычной частотой ƒ и периодом колебаний T:

ω = 2 πƒ = 2 π/T (π = 3,14 - число пи).

Математический маятник имеет период колебаний T, определяемый выражением:

В числителе подкоренного выражения - длина нити маятника, в знаменателе - ускорение свободного падения

Связь между абсолютной v абс, относительной v отн и переносной v пер скоростями:

v абс = v отн + v пер.

Вот, пожалуй, и все определения и формулы, которые могут понадобиться при решении задач на кинематику. Приведенная информация носит только справочный характер и не может заменить электронную книгу, где доступно, подробно и, надеюсь, увлекательно изложена теория этого раздела механики.