Пусть на прямой л отложены равные отрезки. Фалес Милетский, или о том, как важно знать подобие треугольников и теорему Фалеса
План:
-
Введение
- 1 Обратная теорема
- 2 Теорема Фалеса в культуре
- 3 Интересные факты Примечания
Введение
Эта теорема о параллельных прямых. Об угле, опирающемся на диаметр, см. другую теорему.Теорема Фалеса - одна из теорем планиметрии.
В теореме нет ограничений на взаимное расположение секущих (она верна как для пересекающихся прямых, так и для параллельных). Также неважно, где находятся отрезки на секущих.
Доказательство в случае секущих
Доказательство теоремы Фалеса
Рассмотрим вариант с несвязанными парами отрезков: пусть угол пересекают прямые A A 1 | | B B 1 | | C C 1 | | D D 1 и при этом A B = C D .
Доказательство в случае параллельных прямых
Проведем прямую BC. Углы ABC и BCD равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AB и CD и секущей BC, а углы ACB и CBD равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AC и BD и секущей BC. Тогда по первому признаку равенства треугольников треугольники ABC и DCB равны. Отсюда следует, что AC = BD и AB = CD. ■
Также существует обобщённая теорема Фалеса :
Параллельные прямые отсекают на секущих пропорциональные отрезки:
Теорема Фалеса является частным случаем обобщённой теоремы Фалеса, поскольку равные отрезки можно считать пропорциональными отрезками с коэффициентом пропорциональности, равным 1.
1. Обратная теорема
Если в теореме Фалеса равные отрезки начинаются от вершины (часто в школьной литературе используется такая формулировка), то обратная теорема также окажется верной. Для пересекающихся секущих она формулируется так:
В обратной теореме Фалеса важно, что равные отрезки начинаются от вершины
Таким образом (см. рис.) из того, что следует, что прямые .
Если секущие параллельны, то необходимо требовать равенство отрезков на обеих секущих между собой, иначе данное утверждение становится неверным (контрпример - трапеция, пересекаемая линией, проходящей через середины оснований).
2. Теорема Фалеса в культуре
Аргентинская музыкальная группа Les Luthiers (исп. ) представила песню, посвящённую теореме. В видеоклипе для этой песни приводится доказательство для прямой теоремы для пропорциональных отрезков.
3. Интересные факты
- Теорема Фалеса до сих пор используется в морской навигации в качестве правила о том, что столкновение судов, двигающихся с постоянной скоростью, неизбежно, если сохраняется курс судов друг на друга.
- Вне русскоязычной литературы теоремой Фалеса иногда называют другую теорему планиметрии, а именно, утверждение о том, что вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, является прямым. Открытие этой теоремы действительно приписывается Фалесу, о чём есть свидетельство Прокла.
- Основы геометрии Фалес постигал в Египте .
Примечания
- El Teorema de Thales por Les Luthiers en You Tube - www.youtube.com/watch?v=czzj2C4wdxY
- 3. Путешествие в Египет / Главная / Античная литература и философия. Фалес из Милета - www.fales-iz-mileta.narod.ru/3_puteshestvie_v_egipet
Данный реферат составлен на основе статьи из русской Википедии . Синхронизация выполнена 16.07.11 23:06:34
Похожие рефераты:
Теорема планиметрии о параллельных и секущих.
Вне русскоязычной литературы теоремой Фалеса иногда называют другую теорему планиметрии, а именно, утверждение о том , что вписанный угол , опирающийся на диаметр окружности , является прямым. Открытие этой теоремы действительно приписывается Фалесу, о чём есть свидетельство Прокла .
Формулировки [ | ]
Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные отрезки.
Более общая формулировка, также называемая теорема о пропорциональных отрезках
Параллельные прямые отсекают на секущих пропорциональные отрезки :
A 1 A 2 B 1 B 2 = A 2 A 3 B 2 B 3 = A 1 A 3 B 1 B 3 . {\displaystyle {\frac {A_{1}A_{2}}{B_{1}B_{2}}}={\frac {A_{2}A_{3}}{B_{2}B_{3}}}={\frac {A_{1}A_{3}}{B_{1}B_{3}}}.}Замечания [ | ]
- Теорема Фалеса является частным случаем теоремы о пропорциональных отрезках, поскольку равные отрезки можно считать пропорциональными отрезками с коэффициентом пропорциональности, равным 1.
Доказательство в случае секущих
Рассмотрим вариант с несвязанными парами отрезков: пусть угол пересекают прямые A A 1 | | B B 1 | | C C 1 | | D D 1 {\displaystyle AA_{1}||BB_{1}||CC_{1}||DD_{1}} и при этом A B = C D {\displaystyle AB=CD} .
Доказательство в случае параллельных прямых
Проведем прямую BC . Углы ABC и BCD равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AB и CD и секущей BC , а углы ACB и CBD равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AC и BD и секущей BC . Тогда по второму признаку равенства треугольников треугольники ABC и DCB равны. Отсюда следует, что AC = BD и AB = CD . ■
Вариации и обобщения [ | ]
Обратная теорема [ | ]
Если в теореме Фалеса равные отрезки начинаются от вершины (часто в школьной литературе используется такая формулировка), то обратная теорема также окажется верной. Для пересекающихся секущих она формулируется так:
В обратной теореме Фалеса важно, что равные отрезки начинаются от вершины
Таким образом (см. рис.) из того, что C B 1 C A 1 = B 1 B 2 A 1 A 2 = … {\displaystyle {\frac {CB_{1}}{CA_{1}}}={\frac {B_{1}B_{2}}{A_{1}A_{2}}}=\ldots } , следует, что A 1 B 1 | | A 2 B 2 | | … {\displaystyle A_{1}B_{1}||A_{2}B_{2}||\ldots } .
Если секущие параллельны, то необходимо требовать равенство отрезков на обеих секущих между собой, иначе данное утверждение становится неверным (контрпример - трапеция, пересекаемая линией, проходящей через середины оснований).
Этой теоремой пользуются в навигации: столкновение судов, двигающихся с постоянной скоростью, неизбежно, если сохраняется направление с одного судна на другое.
Лемма Соллертинского [ | ]
Следующее утверждение, двойственно к лемме Соллертинского :
|
Пусть f {\displaystyle f} - проективное соответствие между точками прямой l {\displaystyle l} и прямой m {\displaystyle m} . Тогда множество прямых будет множеством касательных к некоторому коническому сечению (возможно, вырожденному). |
В случае теоремы Фалеса коникой будет бесконечно удалённая точка, соответствующая направлению параллельных прямых.
Это утверждение, в свою очередь, является предельным случаем следующего утверждения:
|
Пусть f {\displaystyle f} - проективное преобразование коники. Тогда огибающей множества прямых X f (X) {\displaystyle Xf(X)} будет коника (возможно, вырожденная). | ]Эта гробница мала, но слава над ней необъятна.
Надпись на гробнице Фалеса Милетского
Представьте себе такую картину. 600 г. до н.э. Египет. Перед вами огромнейшая египетская пирамида. Чтобы удивить фараона и остаться у него в фаворитах вам нужно измерить высоту этой пирамиды. В распоряжении у вас… ничего. Можно пасть в отчаяние, а можно поступить, как Фалес Милетский : использовать теорему подобия треугольников. Да, оказывается, все достаточно просто. Фалес Милетский подождал пока длина его тени и его рост совпадут, а затем с помощью теоремы о подобии треугольников нашел длину тени пирамиды, которая соответственно, была равна тени, отбрасываемой пирамидой. Кто же такой этот Фалес Милетский ? Человек, который обрел славу одного из «семи мудрецов» древности? Фалес Милетский – древнегреческий философ, который отличился успехами в области астрономии, а также математики и физики. Годы его жизни были установлены только приблизительно: 625-645 гг до н.э. Среди доказательств знания Фалесом астрономии можно привести следующий пример. 28 мая 585 г до н.э. предсказание Милетским солнечного затмения помогло прекратить длившуюся уже 6 лет войну между Лидией и Мидией. Это явление настолько испугало мидян, что они согласились на невыгодные для себя условия заключения мира с лидийцами. Довольно широко известна легенда, которая характеризует Фалеса как находчивого человека. Фалесу часто приходилось слышать нелестные отзывы о его бедности. Однажды он решил доказать то, что и философы могут при желании жить в достатке. Еще зимой Фалес по наблюдению за звездами определил, что летом будет хороший урожай маслин. Тогда же он нанял маслодавильни в Милете и на Хиосе. Это обошлось ему довольно дешево, так как зимой спрос на них практически отсутствует. Когда же маслины дали богатый урожай, свои маслодавильни Фалес начал сдавать внаем. Собранное большое количество денег таким методом расценивалось как доказательство того, что философы могут зарабатывать своим умом, но их призвание выше таких земных проблем. Эта легенда, кстати, повторялась самим Аристотелем. Что же касается геометрии, то многое из его «открытий» было позаимствовано у египтян. И все же этот перенос знаний в Грецию считается одной из основных заслуг Фалеса Милетского. Достижениями Фалеса считаются формулировка и доказательство следующих теорем:
Именем Фалеса названа еще одна теорема, которая полезна при решении геометрических задач. Существует ее обобщенный и частный вид, обратная теорема, формулировки также могут немного отличаться в зависимости от источника, но смысл их всех остается одним. Рассмотрим эту теорему. Если параллельные прямые пересекают стороны угла и отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне. Допустим, точки А 1 , А 2 , А 3 – точки пересечения параллельных прямых с одной из сторон угла, а В 1 , В 2 , В 3 – точки пересечения параллельных прямых с другой стороной угла. Необходимо доказать, что если А 1 А 2 = А 2 А 3 , то и В 1 В 2 = В 2 В 3 . Через точку В 2 проведем прямую, параллельную прямой А 1 А 2 . Обозначим новую прямую С 1 С 2 . Рассмотрим параллелограммы A 1 C 1 B 2 A 2 и A 2 B 2 C 2 A 3 . Свойства параллелограмма позволяют нам утверждать, что A1A2 = C 1 B 2 и A 2 A 3 = B 2 C 2 . А так как по нашему условию А 1 А 2 = А 2 А 3 , то и C 1 B 2 = В 2 С 2 . И, наконец, рассмотрим треугольники Δ C 1 B 2 B 1 и Δ C 2 B 2 B 3 . C 1 B 2 = B 2 C 2 (доказано выше). А это значит, что Δ C 1 B 2 B 1 и Δ C 2 B 2 B 3 будут равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и прилегающим углам). Таким образом, теорема Фалеса доказана. Использование данной теоремы значительно облегчит и ускорит решение геометрических задач. Успехов в освоении этой занимательной науки математики! blog.сайт,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна. О параллельных и секущих. Вне русскоязычной литературы теоремой Фалеса иногда называют другую теорему планиметрии, а именно, утверждение о том , что вписанный угол , опирающийся на диаметр окружности , является прямым. Открытие этой теоремы действительно приписывается Фалесу, о чём есть свидетельство Прокла .
Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные отрезки. Более общая формулировка, также называемая теорема о пропорциональных отрезках
Параллельные прямые отсекают на секущих пропорциональные отрезки :
Доказательство в случае секущих Рассмотрим вариант с несвязанными парами отрезков: пусть угол пересекают прямые
A
A
1
|
|
B
B
1
|
|
C
C
1
|
|
D
D
1
{\displaystyle AA_{1}||BB_{1}||CC_{1}||DD_{1}}
и при этом
A
B
=
C
D
{\displaystyle AB=CD}
. Доказательство в случае параллельных прямых Проведем прямую BC
. Углы ABC
и BCD
равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AB
и CD
и секущей BC
, а углы ACB
и CBD
равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AC
и BD
и секущей BC
. Тогда по второму признаку равенства треугольников треугольники ABC
и DCB
равны. Отсюда следует, что AC
= BD
и AB
= CD
. ■
Если в теореме Фалеса равные отрезки начинаются от вершины (часто в школьной литературе используется такая формулировка), то обратная теорема также окажется верной. Для пересекающихся секущих она формулируется так: В обратной теореме Фалеса важно, что равные отрезки начинаются от вершины Таким образом (см. рис.) из того, что
C
B
1
C
A
1
=
B
1
B
2
A
1
A
2
=
…
{\displaystyle {\frac {CB_{1}}{CA_{1}}}={\frac {B_{1}B_{2}}{A_{1}A_{2}}}=\ldots }
, следует, что
A
1
B
1
|
|
A
2
B
2
|
|
…
{\displaystyle A_{1}B_{1}||A_{2}B_{2}||\ldots }
. Если секущие параллельны, то необходимо требовать равенство отрезков на обеих секущих между собой, иначе данное утверждение становится неверным (контрпример - трапеция, пересекаемая линией, проходящей через середины оснований). Этой теоремой пользуются в навигации: столкновение судов, двигающихся с постоянной скоростью, неизбежно, если сохраняется направление с одного судна на другое. Следующее утверждение, двойственно к лемме Соллертинского : Пусть
f
{\displaystyle f}
- проективное соответствие между точками прямой
l
{\displaystyle l}
и прямой
m
{\displaystyle m}
. Тогда множество прямых будет множеством касательных к некоторому коническому сечению (возможно, вырожденному). В случае теоремы Фалеса коникой будет бесконечно удалённая точка, соответствующая направлению параллельных прямых. Это утверждение, в свою очередь, является предельным случаем следующего утверждения: Пусть
f
{\displaystyle f}
- проективное преобразование коники. Тогда огибающей множества прямых
X
f
(X)
{\displaystyle Xf(X)}
будет коника (возможно, вырожденная). О параллельных и секущих. Вне русскоязычной литературы теоремой Фалеса иногда называют другую теорему планиметрии, а именно, утверждение о том , что вписанный угол , опирающийся на диаметр окружности , является прямым. Открытие этой теоремы действительно приписывается Фалесу, о чём есть свидетельство Прокла . Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные отрезки. Более общая формулировка, также называемая теорема о пропорциональных отрезках
Параллельные прямые отсекают на секущих пропорциональные отрезки :
Доказательство в случае секущих Рассмотрим вариант с несвязанными парами отрезков: пусть угол пересекают прямые
A
A
1
|
|
B
B
1
|
|
C
C
1
|
|
D
D
1
{\displaystyle AA_{1}||BB_{1}||CC_{1}||DD_{1}}
и при этом
A
B
=
C
D
{\displaystyle AB=CD}
. Доказательство в случае параллельных прямых Проведем прямую BC
. Углы ABC
и BCD
равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AB
и CD
и секущей BC
, а углы ACB
и CBD
равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AC
и BD
и секущей BC
. Тогда по второму признаку равенства треугольников треугольники ABC
и DCB
равны. Отсюда следует, что AC
= BD
и AB
= CD
. ■
Если в теореме Фалеса равные отрезки начинаются от вершины (часто в школьной литературе используется такая формулировка), то обратная теорема также окажется верной. Для пересекающихся секущих она формулируется так: Таким образом (см. рис.) из того, что
C
B
1
C
A
1
=
B
1
B
2
A
1
A
2
=
…
{\displaystyle {\frac {CB_{1}}{CA_{1}}}={\frac {B_{1}B_{2}}{A_{1}A_{2}}}=\ldots }
, следует, что
A
1
B
1
|
|
A
2
B
2
|
|
…
{\displaystyle A_{1}B_{1}||A_{2}B_{2}||\ldots }
. Если секущие параллельны, то необходимо требовать равенство отрезков на обеих секущих между собой, иначе данное утверждение становится неверным (контрпример - трапеция, пересекаемая линией, проходящей через середины оснований). Этой теоремой пользуются в навигации: столкновение судов, двигающихся с постоянной скоростью, неизбежно, если сохраняется направление с одного судна на другое. Следующее утверждение, двойственно к лемме Соллертинского : Пусть
f
{\displaystyle f}
- проективное соответствие между точками прямой
l
{\displaystyle l}
и прямой
m
{\displaystyle m}
. Тогда множество прямых
X
f
(X)
{\displaystyle Xf(X)}
будет множеством касательных к некоторому |
