Старт в науке. Гиперболическая элементарная геометрия

Всегда лежат в той же плоскости. Следовательно, планарные гиперболические треугольники также описывают треугольники, возможные в любых гиперболических пространствах высокой размерности.

Определение

Гиперболический треугольник состоит из трёх неколлинеарных точек и трёх отрезков между ними .

Свойства

Гиперболические треугольники имеют некоторые свойства, которые аналогичны свойствам треугольников в евклидовой геометрии :

Гиперболические треугольники имеют некоторые свойства, аналогичные свойствам треугольников на сферической или эллиптической геометрии :

Два треугольника с той же суммой углов равны по площади.
Существует верхняя граница для площади треугольников.
Существует верхняя граница для радиуса вписанной окружности .
Два треугольника конгруэнтны тогда и только тогда, когда они переходят друг в друга в результате конечного числа отражений относительно прямой.
Два треугольника с равными соответствующими углами конгруэнтны (то есть все подобные треугольники конгруэнтны).

Гиперболические треугольники имеют некоторые свойства, которые противоположны свойствам треугольников в сферической или эллиптической геометрии :

Сумма углов треугольника меньше 180°.
Площадь треугольника пропорциональна дефициту его суммы углов (до 180°).

Гиперболические треугольники имеют также некоторые свойства, которых нет в других геометриях:

Некоторые гиперболические треугольники не имеют описанной окружности , что бывает в случае, когда по меньшей мере одна из вершин является идеальной точкой или когда все из вершин лежат на орицикле или на одностороннем гиперцикле .
Гиперболические треугольники тонкие , существует максимальное расстояние δ от точки на стороне до других двух сторон. Этот принцип приводит к появлению δ-гиперболических пространств .

Треугольники с идеальными вершинами

Определение треугольника можно обобщить, если разрешить вершинам лежать на идеальной границе гиперплоскости, при этом стороны должны лежать внутри плоскости. Если пара сторон является асимптотически параллельными (то есть расстояние между ними стремится к нулю при стремлении к идеальной точке , но они не пересекаются), то они заканчиваются в идеальной вершине , представленной омега-точкой .

Говорят, что такая пара сторон образует нулевой угол.

Треугольник с нулевым углом невозможен в евклидовой геометрии для прямолинейных сторон, лежащих на разных прямых. Однако такие нулевые углы возможны для касающихся окружностей .

Треугольник с одной идеальной вершиной называется омега-треугольником .

Специальные виды треугольников с идеальными вершинами:

Треугольник параллельности

Треугольник, в котором одна вершина является идеальной точкой, один угол прямой - третий угол является углом параллельности для стороны между прямым углом и третьим углом.

Треугольник Швайкерта

Треугольник, в котором две вершины являются идеальными точками, а оставшийся угол является прямым . Это один из первых гиперболических треугольников (1818), который описал Фердинанд Карл Швайкерт.

Идеальный треугольник

Треугольник, в котором все вершины являются идеальными точками. Такой треугольник является самым большим из возможных треугольников в геометрии Лобачевского, поскольку имеет нулевую сумму углов.

Стандартизованная кривизна Гаусса

Связи между углами и сторонами аналогичны связям между такими же объектами в сферической тригонометрии . Масштаб длины для сферической геометрии и геометрии Лобачевского можно, например, определить как длину стороны равностороннего треугольника с фиксированными углами.

Масштаб длины наиболее удобен, если длины измеряются в терминах абсолютной длины (специальной единицы длины, аналогичной отношению между расстояниями в сферической геометрии). Выбор масштаба длины делает формулы проще .

Синус угла A равен гиперболическому синусу противоположной углу стороны A , делённому на гиперболический синус гипотенузы c .

sin ⁡ A = s h a s h c . {\displaystyle \sin A={\frac {\mathrm {sh} \,a}{\,\mathrm {sh} \,c\,}}.\,}

Косинус угла A равен гиперболическому тангенсу прилежащего катета b , делённому на гиперболический тангенс гипотенузы c .

cos ⁡ A = t h b t h c . {\displaystyle \cos A={\frac {\mathrm {th} \,b}{\,\mathrm {th} \,c\,}}.\,}

Тангенс угла A равен гиперболическому тангенсу противоположного катета a , делённого на гиперболический синус прилежащего катета b .

t g A = t h a s h b . {\displaystyle \mathrm {tg} \,A={\frac {\mathrm {th} \,a}{\,\mathrm {sh} \,b\,}}.}

Гиперболический косинус прилежащего катета b угла A равен косинусу угла B, делённому на синус угла A.

ch(b) = cos ⁡ B sin ⁡ A . {\displaystyle {\textrm {ch(b)}}={\frac {\cos B}{\sin A}}.}

Гиперболический косинус гипотенузы c равен произведению гиперболических косинусов катетов a и b .

ch(c) = ch(a) ch(b) . {\displaystyle {\textrm {ch(c)}}={\textrm {ch(a)}}{\textrm {ch(b)}}.} ch(H) = cos ⁡ A cos ⁡ B sin ⁡ A sin ⁡ B = c t g A c t g B {\displaystyle ={\frac {\cos A\cos B}{\sin A\sin B}}=\mathrm {ctg} \,A\mathrm {ctg} \,B}

Отношения между углами

cos ⁡ A = c h a sin ⁡ B {\displaystyle \cos A=\mathrm {ch} \,a\sin B} sin ⁡ A = cos ⁡ B c h b {\displaystyle \sin A={\frac {\cos B}{\mathrm {ch} \,b}}} t g A = cot ⁡ B c h c {\displaystyle \mathrm {tg} \,A={\frac {\cot B}{\mathrm {ch} \,c}}} cos ⁡ B = c h b sin ⁡ A {\displaystyle \cos B=\mathrm {ch} \,b\sin A} c h c = c t g A c t g B {\displaystyle \mathrm {ch} \,c=\mathrm {ctg} \,A\mathrm {ctg} \,B}

Площадь

Площадь прямоугольного треугольника равна:

Площадь = π 2 − ∠ A − ∠ B {\displaystyle ={\frac {\pi }{2}}-\angle A-\angle B} Area = 2 arctan ⁡ (t h (a 2) t h (b 2)) {\displaystyle {\textrm {Area}}=2\arctan(\mathrm {th} \,({\frac {a}{2}})\mathrm {th} \,({\frac {b}{2}}))} .

Угол параллельности

Экземпляр омега-треугольника с прямым углом даёт конфигурацию для проверки угла параллельности в треугольнике.

В случае, когда угол B = 0, a = c = ∞ {\displaystyle \infty } и th (∞) = 1 {\displaystyle {\textrm {th}}(\infty)=1} , получаем cos ⁡ A = th(b) . {\displaystyle \cos A={\textrm {th(b)}}.} (b = прилежащий катет)

Равносторонний треугольник

Тригонометрические формулы для прямоугольных треугольников дают также отношения между сторонами s и углами A равностороннего треугольника (треугольника, у которого все стороны имеют одинаковую длину и все углы равны):

Cos ⁡ A = th 1 2 s th (s) {\displaystyle \cos A={\frac {{\textrm {th}}{\frac {1}{2}}s}{{\textrm {th}}(s)}}}

C h 1 2 s = cos ⁡ (1 2 A) sin ⁡ (A) = 1 2 sin ⁡ (1 2 A) {\displaystyle \mathrm {ch} \,{\frac {1}{2}}s={\frac {\cos({\frac {1}{2}}A)}{\sin(A)}}={\frac {1}{2\sin({\frac {1}{2}}A)}}}

На гиперболической плоскости . Он состоит из трёх отрезков , называемых сторонами или рёбрами , и трёх точек , называемых углами или вершинами .

Гиперболические треугольники имеют также некоторые свойства, которых нет в других геометриях:

Треугольник с нулевым углом невозможен в евклидовой геометрии для прямолинейных сторон, лежащих на разных прямых. Однако такие нулевые углы возможны для.

Треугольник с одной идеальной вершиной называется омега-треугольником .

В терминах (постоянной отрицательной) кривизны Гаусса K гиперболической плоскости единица абсолютной длины соответствует длине

В гиперболическом треугольнике сумма углов A , B , C (соответствующих противоположным сторонам с тем же буквами) строго меньше развёрнутого угла . Разница между мерой развёрнутого угла и суммой мер углов треугольника называется дефектом треугольника. Площадь гиперболического треугольника равна его дефекту, умноженному на квадрат R :

Тригонометрические формулы для гиперболических треугольников зависят от гиперболических функций sh, ch, and th.

Независимо от того, является C прямым углом или нет, выполняются следующие соотношения: .

Гиперболические треугольники максимальной площади с двумя заданными сторонами Е. И. Алексеева Аннотация. На плоскости Лобачевского рассматривается аналог очень простой задачи евклидовой геометрии: каким будет треугольник максимальной площади с двумя заданными сторонами и какой будет эта площадь. 1. Введение Каким будет треугольник максимальной площади с двумя заданными сторонами, и какой будет эта площадь? Очевидно, что в геометрии Евклида искомый треугольник будет прямоугольным. В статье дается ответ на вопрос, каким будет соответствующий треугольник (который мы в дальнейшем будем называть треугольником максимальной площади) в геометрии Лобачевского. При этом оказывается, что треугольник максимальной площади не является прямоугольным, но обладает многими свойствами, аналогичными свойствам евклидова прямоугольного треугольника (см. табл. 1). Геометрия Лобачевского Геометрия Евклида A A B B C C 1) α = β + γ = π2 ; 1) α = β + γ < π2 ; 2) центр описанной окружности лежит в середине стороны BC; 2) центр описанной окружности лежит в середине стороны BC; 3) S 2 = b 2 3) sin S2 = th 2b · th 2c ; · 2c ; 4) cos α = 0 = const; 4) cos α = th 2b · th 2c = const; 5) a2 = b2 + c2 . 5) sh2 a 2 = sh2 2b + sh2 2c . Таблица 1. Как видно из табл. 1, в каком-то смысле аналогом евклидова прямоугольного треугольника в геометрии Лобачевского можно считать и треугольник максимальной площади. Благодарность. Автор благодарит П. В. Бибикова за постановку задачи и внимание к работе. 1 2. Модель Пуанкаре в круге Существует несколько моделей геометрии Лобачевского, но нам будет удобнее рассматривать модель Пуанкаре в круге (см. ). В этой модели плоскостью Лобачевского является внутренность единичного круга. Граница этого круга называется абсолютом. Точками являются обычные евклидовы точки, принадлежащие плоскости Лобачевского, а прямыми - дуги евклидовых окружностей, ортогональных абсолюту, и диаметры абсолюта (рис. 1). Углы измеряются как обычные евклидовы углы между кривыми. B A B O P A C Рис. 2. Рис. 1. Треугольник в модели Пуанкаре в круге состоит из дуг окружностей, и сумма его углов меньше π (рис. 2). Поэтому естественно ввести величину δ, называемую дефектом и равную π−α−β −γ, где α, β и γ - углы треугольника. Легко видеть, что дефект треугольника обладает следующими свойствами: 1) δ > 0; 2) 1 = 2 ⇒ δ1 = δ2 ; 3) = 1 ∪ 2 ⇒ δ = δ1 + δ2 . Видно, что дефект треугольника удовлетворяет всем свойствам площади. Оказывается (см. ), что в геометрии Лобачевского S() = δ = π − сумма углов. В этом состоит одно из существенных отличий геометрии Лобачевского от геометрии Евклида: в евклидовой геометрии нельзя выразить площадь треугольника через его углы. 3. Ключевая теорема При решении различных задач геометрии Лобачевского, связанных с площадью треугольника, оказывается полезной следующая теорема (см. также ). Теорема 1 (ключевая теорема). Пусть вершина A неевклидова треугольника ABC совпадает с центром модели Пуанкаре и точка B симметрична B относительно абсолюта1 . Тогда S(ABC) = 2τ , где τ = ∠AB C. 1 Т.е. точка B является образом точки B при инверсии относительно абсолюта. 2 C B A B" Рис. 3. Доказательство. Рассмотрим евклидову окружность ω, содержащую неевклидову сторону BC треугольника ABC (рис. 3). Поскольку окружность ω ортогональна абсолюту, она переходит в себя при инверсии относительно абсолюта и, следовательно, проходит через точку B (см. ). Угол между хордой BC и окружностью ω равен τ как угол между хордой и касательной. Поэтому сумма евклидовых углов евклидова треугольника ABC равна α + β + γ + 2τ = π, откуда S(ABC) = π − (α + β + γ) = 2τ. Упражнение 1. Используя ключевую теорему, решите следующие задачи (см. ). 1) Постройте в неевклидовом треугольнике ABC отрезок AX, делящий площадь ABC пополам. Верно ли, что отрезок AX является медианой? 2) Постройте в неевклидовом треугольнике ABC точку T , такую, что площади треугольников ABT , BCT и CAT равны. Верно ли, что точка T является точкой пересечения медиан? Упражнение 2. Рассмотрим на плоскости Лобачевского отрезок AB и прямую c. Найдите на прямой c точку C, такую, что площадь треугольника ABC минимальна. Упражнение 3. Докажите аналог ключевой теоремы на сфере: множеством точек, образующих с данным отрезком AB треугольники постоянной площади, является окружность, проходящая через точки A и B , симметричные точкам A и B относительно центра сферы. 4. Треугольники максимальной площади и их свойства Теперь мы готовы решить основную задачу: найти неевклидов треугольник ABC максимальной площади с двумя фиксированными сторонами AB и AC. Не умаляя общности рассуждений, будем считать, что вершина A совпадает с центром модели Пуанкаре. Зафиксируем сторону AB. Тогда вершина C лежит на неевклидовой окружности ψ с центром в точке A и фиксированным радиусом. Так как центр окружности ψ совпадает с центром модели Пуанкаре, эта окружность совпадает с евклидовой (но другого радиуса). По ключевой теореме треугольник ABC имеет площадь, равную 2∠AB C, где точка B симметрична точке B относительно абсолюта. Площадь треугольника ABC будет максимальна тогда, когда угол ∠AB C максимален, т.е. когда отрезок B C касается окружности ψ (рис. 4). Итак, для построения треугольника ABC максимальной площади достаточно построить касательную B C к окружности ψ. 3 A C A B B" B O C Рис. 5. Рис. 4. Треугольник максимальной площади может быть охарактеризован рядом эквивалентных свойств, которые аналогичны свойствам евклидова прямоугольного треугольника (см. табл. 1). Теорема 2. Пусть ABC - неевклидов треугольник с фиксированными сторонами AC = b и AB = c. Тогда следующие условия эквивалентны: (0) ABC имеет максимальную площадь; (1) α = β + γ < π2 ; (2) центр описанной окружности совпадает с серединой стороны BC; (3) sin S2 = th 2b · th 2c ; (4) cos α = th 2b · th 2c = const; (5) sh2 a2 = sh2 2b + sh2 2c . Доказательство. Для доказательства рассмотрим описанную выше конструкцию. По ключевой теореме τ = ∠AB C = S2 , где S - площадь треугольника ABC. (0) ⇔ (1) Если треугольник ABC имеет максимальную площадь, то ∠ACB = π2 , то есть имеет место равенство τ + α = π2 ⇔ (π − α − β − γ) + 2α = π. Отсюда следует, что α = β + γ. Обратно, если выполнено равенство α = β + γ, то ∠ACB = τ + α = π2 и площадь треугольника ABC максимальна. (1) ⇔ (2) См. рис. 5. (0) ⇔ (3) Применим евклидову теорему синусов к евклидовому треугольнику AB C. Имеем ABE E = AC , где через ABE и ACE обозначены евклидовы длины евклидовых отрезков AB sin ∠ACB sin τ и AC соответственно. Известно (см. ), что евклидова длина l и неевклидова длина ρ отрезка, один из концов которого совпадает с центром модели Пуанкаре, связаны формулой l = th ρ2 , поэтому ACE = th 2b и ABE = AB1 E = th1 c . Подставляя эти значения в предыдущее равенство, получаем sin ∠ACB = sin th b 2 S 2 th 2 c 2 . Поэтому треугольник ABC имеет максимальную площадь тогда и только тогда, когда sin S2 = th 2b th 2c . (0) ⇔ (4) Рассмотрим евклидов треугольник AB C. Если гиперболический треугольник ABC ACE = th 2b th 2c . Обратно, если выполнено равенство имеет максимальную площадь, то cos α = AB E cos α = th 2b th 2c , то евклидов угол ∠ACB прямой и площадь неевклидова треугольника ABC максимальна. (4) ⇔ (5) Для доказательства воспользуемся неевклидовой теоремой косинусов: ch a = ch b ch c − sh b sh c cos α. Подставляя значение cos α из (4), после упрощений получаем (5). Аналогично доказывается и обратная импликация. 4 Упражнение 4. Используя аналог ключевой теоремы для сферы (см. упражнение 3), постройте сферический треугольник максимальной площади (см. также ). Попробуйте также найти аналоги свойств (1)–(5) для этого треугольника. Упражнение 5. Рассмотрим евклидов остроугольный треугольник AP Q и проведем в нем высоты P B и QC. Докажите, что неевклидов треугольник ABC имеет максимальную площадь а) в модели Пуанкаре в верхней полуплоскости относительно прямой P Q (рис. 6); б) в модели Пуанкаре внутри окружности с центром в точке A, ортогональной описанной окружности четырехугольника P CBQ (рис. 7). A A B B C C P Q Q P Рис. 6. Рис. 7. Замечания. 1. Когда b, c → 0, свойства (1)–(5) из теоремы 2 переходят в соответствующие евклидовы свойства (см. табл. 1), что еще раз демонстрирует аналогию между треугольником максимальной площади и прямоугольным треугольником. 2. Если b, c → ∞, то из свойства (4) следует, что угол α стремится к 0 (рис. 9), в то время как в евклидовом прямоугольном треугольнике α = π2 = const (рис. 8). Этот факт наиболее ярко отражает разницу между прямоугольным треугольником и треугольником максимальной площади. A A Рис. 8. Рис. 9. 3. Формулу (5) можно назвать неевклидовой теоремой Пифагора, т.к. она имеет тот же вид, что и в геометрии Евклида, с той оговоркой, что в ней присутствуют не стороны, а гиперболические синусы от их половин. 5 Ключевая теорема и формула ABE = th 2c объясняют, почему во многих формулах, связанных с площадью треугольника, встречаются именно половина площади и половины сторон. Упражнение 6. Используя доказательство равносильности свойств (0) и (3), докажите формулу cth 2b cth 2c − cos α S ctg = 2 sin α для вычисления площади произвольного неевклидова треугольника через две стороны и угол между ними. Используя ключевую теорему, попробуйте также доказать другие неевклидовы формулы, связанные с площадью треугольника (см. ). 5. Применение: изопериметрическая задача Пользуясь свойствами треугольника максимальной площади можно решить аналог т.н. изопериметрической задачи: какой будет фигура максимальной площади при заданном периметре? В геометрии Евклида ответ хорошо известен: эта фигура является кругом (см. ). Оказывается, что в геометрии Лобачевского решением этой задачи также является круг (см. также ). Теорема 3. В геометрии Лобачевского фигурой максимальной площади с заданным периметром является круг. Доказательство. Мы построим доказательство аналогично евклидовому доказательству, предложенному Штейнером (см. ). Пусть F - искомая фигура с площадью S и периметром L (доказательство существования такой фигуры в геометрии Лобачевского аналогично доказательству для евклидовой геометрии; см. ). Так же, как в евклидовой геометрии (см. ) доказывается, что фигура F выпукла, и отрезок BC, который делит периметр фигуры F пополам, делит и ее площадь пополам. Назовем такой отрезок диаметром. A B A C B Рис. 10. C Рис. 11. Пусть теперь A - произвольная точка границы фигуры F и BC - диаметр фигуры F (рис. 10). Докажем, что треугольник ABC имеет максимальную площадь. Предположим противное. Рассмотрим половину фигуры F , отсекаемую диаметром BC и содержащую точку A. Ее площадь будет состоять из площади треугольника ABC и площадей двух оставшихся сегментов, прикрепленных к сторонам AB и AC. Если двигать стороны AB и AC, меняя угол 6 между ними, то половина площади F будет меняться, причем сегменты будут двигаться вместе со сторонами, тем самым сохраняя периметр L/2. Таким образом можно добиться, чтобы площадь треугольника ABC стала максимальной (рис. 11). Тогда отразим полученную фигуру относительно диаметра BC и получим новую фигуру F периметра L и с площадью большей S - противоречие. Итак, для любой точки A границы фигуры F площадь треугольника ABC максимальна. По свойству (2) теоремы 2 имеем OA = OB = OC = const, а значит, фигура F является кругом с диаметром BC. Список литературы Бибиков П. В., Ткаченко И. В. О трисекции и бисекции треугольника на плоскости Лобачевского // Мат. Просвещение. Сер. 3, вып. 11, 2007. С. 113–126. Ефимов Н. В. Высшая геометрия. М.: Физматлит, 2003. Заславский А. А. Геометрические преобразования. М.: МЦНМО, 2003. Крыжановский Д. А. Изопериметры. М.: Физматгиз, 1959. Норден А. П. Элементарное введение в геометрию Лобачевского. М.: ГИИТЛ, 1953. Прасолов В. В. Геометрия Лобачевского. 3-е изд. М.: МЦНМО, 2004. Протасов В. Ю. Максимумы и минимумы в геометрии. М.: МЦНМО, 2005. Шварцман О. В. Комментарий к статье П. В. Бибикова и И. В. Ткаченко «О трисекции и бисекции треугольника на плоскости Лобачевского» // Мат. Просвещение. Сер. 3, вып. 11, 2007. С. 127–130. Maehara H. The problem of thirteen spheres - a proof for undergraduates // European Journal of Combinatorics 28, 2007. P. 1770–1778. Schmidt E. Beweis der isoperimetrischen Eigenschaft der Kugel im hyperbolischen und sphr¨ arischen Raum jeder Dimensionenzahl // Math. Z. 49, 1943. P. 1–109. 7

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

ВВЕДЕНИЕ

...Было бы легче остановить Солнце, легче было сдвинуть Землю, чем уменьшить сумму углов в треугольнике, свести параллели к схождению и раздвинуть перпендикуляры к прямой на расхождение. (В.Ф. Каган)

Однажды на уроке геометрии в 7 классе при изучении темы «Параллельные прямые» учитель произнесла фразу о том, что параллельные прямые не всегда являются непересекающимися, чем вызвала удивление и недоверие со стороны учеников, среди которых оказался и автор данной работы.

И действительно, каждый выпускник школы твердо уверен, что существует три признака равенства треугольников, что сумма углов треугольника равна 180 0 , а квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Эти сведения являются одними из основных при изучении треугольников и решения элементарных задач планиметрии. Но как же быть с тем произнесенным учителем фактом? Неужели возможны какие-либо другие варианты взаимного расположения параллельных прямых?

В учебнике «Геометрия.7 - 9 классы» автора Атанасяна Л.С. информации о том, что существует возможность другого взаимного расположения параллельных прямых, отличного от общеизвестного, не нашлось, однако в разделе «Некоторые сведения о развитии геометрии» автором было найдено описание попыток построения новой геометрии учеными-математиками, в числе которых был наш соотечественник, знаменитый ученый Н.И. Лобачевский. Узнав, что геометрия Н.И. Лобачевского изучается только студентами физико-математических направлений, и на уроках в школе информации об этом разделе предмета получить невозможно, автор и решил самостоятельно исследовать вопрос, воспользовавшись помощью учителя.

Следовательно, целью данной работы является исследование свойств треугольников в геометрии Н.И. Лобачевского.

Соответственно, задачами данной работы являются следующие:

изучить историю возникновения геометрии Н.И. Лобачевского;

рассмотреть основные факты данной геометрии, вникнув в новую для школьника терминологию;

подробно изучить свойства треугольников в геометрии Н.И. Лобачевского;

рассмотреть модели интерпретации гиперболической геометрии, предлагаемые учеными;

исследовать вопрос применения геометрии Н.И. Лобачевского в современной науке.

Перед началом выполнения исследования автором была выдвинута гипотеза о том, что геометрия Н.И. Лобачевского - это абсолютно новая геометрия, состоящая из фактов, противоречащих геометрии Евклида. Аргументированию этого предположения и посвящена данная работа.

Новизной исследовательской работы автор считает ее основную часть, заключающуюся в рассмотрении вопроса построения геометрии Н.И. Лобачевского и изготовлении наглядных моделей для демонстрации параллелей по Лобачевскому и одной из моделей поверхности, на которой существуют треугольники «воображаемой» геометрии.

Для отбора нужной информации в книгах о геометрии Н.И. Лобачевского автор обращал внимание на язык изложения материала, подробность и конкретность представления искомых сведений. Первым подходящим изданием оказалась книга Лаптева Б.Л. «Н.И. Лобачевский и его геометрия», которая оказалась пособием для учащихся. В книге доступным языком объяснялись предпосылки для возникновения геометрии Н.И. Лобачевского, основные факты данного раздела геометрии, однако этих сведений оказалось недостаточно, так как они были поверхностны. Ясность в теорию треугольников геометрии Н.И. Лобачевского внесла книга Костина В.И. «Основы геометрии», содержащая теоремы планиметрии гиперболической геометрии и интересные теоретические замечания о свойствах фигур.

Оказалось, что меньше всего информации в книгах содержится о практике решения задач в геометрии Н.И. Лобачевского. В соответствии с подобными выводами автором была поставлена задача применения гиперболической геометрии для решения задач из школьного учебника, и сравнение полученных решений.

ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ИЛИ ГЕОМЕТРИЯ Н.И. ЛОБАЧЕВСКОГО

В конце XIX в. математиками были выявлены некоторые недочёты в «Началах» Евклида, хотя до этого его труд считали совершенным изложением геометрической системы. Особое внимание привлек постулат о параллельности прямых. Утвердился ошибочный взгляд, что постулатам и аксиомам нужно верить на слово. Их считали простыми и очевидными. Но пятый постулат отличался от остальных более сложной формулировкой. Учеными были высказаны предположения, что постулат так сильно отличается потому, что Евклид просто не сумел его доказать.

Геометры поставили задачу доказать эту теорему, используя только аксиомы и постулаты, предшествующие пятому. Но в каждом доказательстве находили или грубые ошибки, или большие неточности. Таким образом, математики нашли несколько вариантов, которыми можно заменить пятый постулат, но проблема так и осталась нерешённой.

Обычно пятый постулат трактуют так: на плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна параллель к этой прямой .

В начале своей педагогической деятельности Лобачевский также предпринял попытку доказать постулат Евклида, но неудачно. Хотя ему удалось привнести в абсолютную геометрию много нового во время работы над доказательством постулата. В 1826 г. Н.И.Лобачевский впервые сообщил научному сообществу о найденном решении проблемы и создании новой, «воображаемой» геометрии, как он сам ее называл, в которой была заменена аксиома параллельных прямых.

Лобачевский развивал свою геометрию, исходя из предположения, что сумма углов в треугольнике меньше π. В следующих работах он сразу начинает различать два класса прямых.

Аксиому Лобачевского трактуют так: на плоскости через точку, лежащую вне данной прямой, проходит более одной прямой, не пересекающей данную .

Все предположения и понятия, связанные с параллельностью прямых, в геометрии Н.И. Лобачевского, сильно отличаются от геометрии Евклида, а остальные совпадают. Те теоретические сведения, которые справедливы и в той, и в другой геометрии, принято называть «абсолютной геометрией».

Новая аксиома параллельности создает много непривычных свойств прямых, таких, каким нет места в евклидовой геометрии. Подобные свойства рассмотрены в следующих разделах основной части данной работы. «Воображаемая» геометрия не была признана при жизни Н.И. Лобачевского, и долгое время оспаривалось его первенство на ее создание. В научном сообществе наряду с Н.И. Лобачевским первыми создателями неевклидовой геометрии считали Я. Больаи и К.Ф. Гаусса, однако в конечном итоге авторство было признано за нашим соотечественником.

Прежде чем понять смысл «воображаемой» геометрии, нужно разобрать суть трактовки пятого постулата и терминологию, вводимую Н.И. Лобачевским.

Параллельными в школьном учебнике «Геометрия. 7 - 9» Атанасяна Л.С. и др. называются прямые, которые не пересекаются, а при изучении темы «Параллельные прямые» в качестве аксиомы принимается следующее утверждение: «Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной», т.е. прямая a является единственной прямой, параллельной прямой b и проходящей через точку М , не лежащую на прямой b (рис. 1). Изобразить подобное расположение двух прямых под силу абсолютно любому школьнику, изучившему тему параллельности на уроках геометрии.

Теперь попробуем представить графическую интерпретацию параллельных прямых, или параллельных линий, как их называл сам Н.И. Лобачевский, в гиперболической геометрии (рис.2) с помощью модели, спроектированной автором (рис.3).

Пусть AA ’ - произвольная прямая на плоскости, точка Р - точка, не лежащая на данной прямой, а луч PQ - перпендикуляр к прямой AA ’ (рис. 3). Прямая BB ’ , очевидно, является той самой прямой, которая считается прямой, параллельной AA ’ в геометрии Евклида. Но для Н.И. Лобачевского это не единственно возможный вариант.

Точка М взята в качестве точки, перемещающейся по прямой AA ’ к точке А от точки Q (рис. 4, 5, 6, 7).

Тогда прямая PM также перемещается до некоторого положения, обозначенного как прямая PT на рис.2. Такое положение названо предельным (рис. 8). Прямая, находящаяся в таком положении, в «воображаемой» геометрии считается прямой, не пересекающей данную прямую, а угол α между PT и PQ Н.И. Лобачевский назвал углом параллельности . Градусная мера этого угла принята в пределах 0 < α < π/2, т.е. угол острый, не принимающий значений 0 0 и 90 0 .

Так какая же прямая из представленных на рис. 2 является прямой, параллельной к АА ’ ? Оказывается, это прямая PT , которую Н.И. Лобачевский назвал параллелью . Такая прямая для АА ’ существует не одна, что можно проследить на следующих рисунках:

Оказывается, у параллели PT есть направление, определяемое направлением приближения данной линии к данной прямой, и оно указывается при названии данной параллели. Прямая PU ’ , симметричная прямой PT , также является параллелью к прямой AA’ , но в направлении к точке A ’ . Отсюда можно сделать вывод, что параллелей для данной прямой существует две, и пятый постулат можно сформулировать иначе, чем у Евклида: на плоскости через точку, лежащую вне данной прямой, проходит более одной прямой, не пересекающей данную.

В соответствии с предложенными обозначениями, Н.И. Лобачевский выделил два класса прямых, проходящих через точку P и расположенных по отношению к AA’ по-разному: прямые, пересекающие AA’ T’PU и U’PT и включают перпендикуляр PQ ) и прямые, расходящиеся с AA’ (содержатся в объединении вертикальных углов T’PU’ и UPT и включают прямую BB’ ). Отметим, что параллели TT’ и UU’ в эти группы не входят.

Итак, перечислим основные факты, относящиеся к параллельности прямых в геометрии Н.И. Лобачевского.

Если прямая CD параллельна прямой АВ в направлении от А к В относительно точки С , то она параллельна ей и относительно любой другой своей точки Е (рис. 11).

Две прямые a и b, образующие равные соответственные углы с третьей секущей их прямой c , всегда расходятся. Отсюда верно утверждение о том, что два перпендикуляра к одной и той же прямой всегда расходятся.

Любая пара расходящихся прямых всегда имеет один и только один общий перпендикуляр, по обе стороны которого они неограниченно удаляются друг от друга (рис.12).

Отсюда следует следующее утверждение.

Средняя линия треугольника всегда расходится с основанием, причем их общий перпендикуляр проходит через середину основания.

В гиперболической геометрии в зависимости от вида пар прямых, имеющих место на плоскости Н.И. Лобачевского (параллельные, пересекающиеся и непересекающиеся), выделены три вида пучков прямых, покрывающих всю плоскость:

Пучок первого рода - множество всех прямых, проходящих через одну точку - центр пучка (рис. 13).

Пучок второго рода - множество прямых, перпендикулярных одной прямой - базе пучка (рис. 14).

Пучок третьего рода - множество прямых, параллельных одной прямой в заданном направлении (рис. 15).

Примечательно, что если построить не один, а два орицикла для одного пучка третьего рода, то длины отрезков данных прямых, заключенных между предельными линиями, будут равны: AA ’ = SS ’ = BB ’ . На плоскости Евклида такой рисунок выглядел бы иначе, и каждый из образовавшихся четырехугольников был бы прямоугольником.

Очевидно, что и трапеция, и параллелограмм как вид четырехугольников, привычные для нас в геометрии Евклида, не существуют в гиперболической геометрии. Вместо них в изложении теории площадей геометрии Н.И. Лобачевского применяется понятие «четырехугольника Саккери», названного по фамилии ученого, использовавшего данный четырехугольник при попытке доказать пятый постулат Евклида. Четырехугольник Саккери - это четырехугольник, у которого две равные стороны перпендикулярны одному из оснований. В «воображаемой» геометрии четырехугольник Саккери выглядит так, как показано на рисунке 17.

Очевидно, что теорема Фалеса также не имеет места в гиперболической геометрии.

Н.И. Лобачевский доказал при построении своей «воображаемой» геометрии, что площадь треугольника связана с суммой его углов, и может быть равна площади четырехугольника Саккери, удовлетворяющего определенным требованиям. Остановимся подробнее на свойствах треугольников, имеющих место в геометрии Н.И. Лобачевского.

В своих публикациях, посвященных изложению основ гиперболической геометрии, Н.И. Лобачевский рассматривает два вида треугольников: прямолинейные и сферические, и для каждого вида рассматривает уравнения, описывающие измерение треугольников и решение задач о параллельных.

Очевидно, что под прямолинейными треугольниками следует понимать привычные для любого школьника фигуры, а вот что можно понимать под сферическими треугольниками?

Дело в том, что если попытаться изобразить модель геометрии Н.И. Лобачевского в пространстве, то в литературе можно встретить несколько вариантов такой интерпретации.

Модель Клейна, в которой точками плоскости являются точки некоторого круга, а прямыми являются хорды круга. Расстояние между любыми двумя точками и углы между двумя прямыми в данной модели выражается через формулы, связанные с понятиями высшей математики.

Модель Пуанкаре в круге, получаемой при построении для каждой точки X круга Клейна точки X 1 , где прямыми являются дуги окружностей (рис. 18).

П севдосфера, понятие которой применимо разве что только к геометрии Н.И. Лобачевского. Представить псевдосферу можно, если приложить две «воронки» раструбами друг к другу (рис. 19).

Последний вариант, по мнению автора, самый наглядный (рис. 20), так как сферический треугольник легче представить, если попробовать мысленно очертить его на одной из воронок псевдосферы (рис. 21). Главное здесь учесть, что данная плоскость имеет некоторую кривизну, и именно поэтому все математические выкладки, связанные с геометрией сферического треугольника сложны и связаны с этой кривизной, а точнее с ее радиусом.

Итак, рассмотрим основные положения теории треугольников «воображаемой» геометрии, заметив, что отличительные особенности сведений о треугольниках расходятся лишь в том случае, если при доказательстве теорем использовался пятый постулат.

Теорема о сумме углов треугольника - первая теорема школьного курса, при доказательстве которой используется аксиома параллельности Евклида, и являющаяся одной из ключевых теорем. Но в геометрии Лобачевского сумма углов любого треугольника меньше 180°, что можно наглядно увидеть на модели Пуанкаре (рис. 22).

Из рисунка видно, что сумма углов B и С явно меньше суммы соответствующих углов в плоскости Евклида, а значит и сумма всех трех углов меньше 180 0 .

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то в евклидовой геометрии равны и третьи углы (такие треугольники подобны). В геометрии Н.И. Лобачевского нет понятия подобных треугольников. Кроме того, Н.И. Лобачевский вывел четвертый признак равенства треугольников: если углы одного треугольника соответственно равны углам другого треугольника, то эти треугольники равны, но если эти треугольники являются сферическими.

Разность между 180° и суммой углов треугольника в геометрии Н.И. Лобачевского положительна; она называется дефектом δ этого треугольника, или угловым дефектом , т.е. δ = π - α - β - γ, где α, β, γ - углы данного треугольника. Оказывается, что в гиперболической геометрии площадь треугольника связана с этим дефектом, и выражается формулой: , где k - коэффициент, зависящий от выбора единиц измерения площадей и углов. Н.И Лобачевский доказывает также, что площадь любого треугольника будет равна площади четырехугольника Саккери, у которого верхнее основание равно одной из сторон этого треугольника, а сумма острых углов при нем равна сумме углов треугольника.

Как известно, в геометрии Евклида около любого треугольника можно описать окружность. В «воображаемой» геометрии эта теорема неверна. Покажем, почему. На рис. 23 серединный перпендикуляр MH к стороне AB треугольника ABC не пересекается с лучом AA 1 , также как и серединный перпендикуляр NH 1 к стороне AC. Эти перпендикуляры не пересекаются, и потому не существует точки, одинаково удаленной от точек A , B и C , т.е. ΔABC не имеет описанной окружности.

Геометрии Н.И. Лобачевского существует так называемый асимптотический треугольник, т.е. треугольник, стороны которого попарно параллельны в смысле гиперболической геометрии (рис. 24).

Величина площади такого треугольника считается самой большой согласно формуле площади треугольника, т.к. углы данного треугольника бесконечно малы и могут быть фактически приравнены к нулю.

В геометрии Н.И Лобачевского справедлива теорема Пифагора, но она имеет видоизмененное уравнение и связана с понятием гиперболического косинуса - показательной функции от экспоненты: , где ch - гиперболический косинус, a , b, c - катеты и гипотенуза прямоугольного треугольника.

Теоремы синусов и косинусов также имеют место в геометрии Н.И. Лобачевского и справедливы для любого треугольника, однако математическая запись этих теорем также связана с гиперболическим косинусом, как и интерпретация теорем Чевы и Менелая.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Перед проведением исследования, описанного в данной работе, автор планировал посвятить ее рассмотрению практического применения гиперболической геометрии к решению задач из школьного учебника, проанализировав их решение в геометрии Евклида и Н.И. Лобачевского. Однако в процессе сбора информации по основам «воображаемой» геометрии выяснилось, что математические выкладки, описанные в работах всемирно известного русского ученого настолько сложны, что воспользоваться ими в настоящее время не представляется возможным.

Работа посвящена рассмотрению вопроса построения геометрии, в основе которой лежит изменение одного из фундаментальных «кирпичиков» геометрической теории, построенной еще в далеком прошлом древним ученым, - Евклидом - пятого постулата. Оказалось, что такое, на первый взгляд, небольшое изменение в исходных аксиоматических данных повлекло за собой изменение огромного пласта теории параллельных линий, на которой строятся многие важные факты, изучаемые в школьном курсе геометрии.

Для более детального разбора и наглядного представления вводимых Н.И. Лобачевским понятий, связанных с определением параллельных прямых, автором совместно с научным руководителем были разработаны и с помощью педагогов-технологов сконструированы следующие модели:

Модель демонстрации определения «параллель» по Н.И. Лобачевскому.

Модель поверхности по Н.И. Лобачевскому, на которой существуют сферические треугольники.

В процессе работы над исследованием гипотеза, сформулированная во введении, о том, что геометрия Н.И. Лобачевского - это абсолютно новая геометрия, все факты которой противоречат геометрии Евклида, оказалась неверна. Оказалось, что в гиперболической геометрии неактуальны теоремы, доказываемые при использовании теории параллельных линий, а все остальные справедливы и в той, и в другой геометрии, и они получили наименование «абсолютной геометрии».

После ознакомления с сочинением Н.И. Лобачевского «О началах геометрии», представленной в книге Нордена А.П. «Об основаниях геометрии», автор убедилась в уникальности изложения так называемой самим ученым «воображаемой» геометрии, аргументированности фактов и доказательности всех математических выкладок. Труд, проделанный Н.И. Лобачевским, просто огромен, и для любого увлеченного математикой человека кажется даже титаническим.

В процессе работы над исследованием, по мнению автора,цель, поставленная в начале и заключающаяся в исследовании свойств треугольников в геометрии Н.И. Лобачевского, была достигнута. Задачи, сформулированные во введении к данной работе, также были решены. Как оказалось, геометрия Лобачевского применяется при вычислении определенных интегралов, в теории относительности, в теории чисел.

Перед автором работы обозначена перспектива детального разбора формул, по которым возможно проводить вычисления для треугольников в геометрии Н.И. Лобачевского, после изучения тригонометрии в старшей школе. Не меньший интерес вызывает рассмотрение пространственных сведений в геометрии Н.И. Лобачевского, что становится актуальным после изучения стереометрии.

В целом, работа над исследованием позволила автору по-новому взглянуть на геометрию как науку, и убедиться в том, что существует другой вариант изложения пятого постулата, выдерживающий всякую критику и являющийся истинным так же, как и геометрия Евклида.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Геометрия.7 - 9 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений / (Л.С. Атанасян, В.Ф Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.). - М.: Просвещение, 2011. - 384 с.

Каган В.Ф. Лобачевский и его геометрия. - М.: Государственное изд-во технико-теоретической литературы, 1955. - 304 с.

Костин В.И. Основы геометрии (издание второе). - М.: Государственное уч.-пед. изд-во Министерства просвещения РСФСР, 1948. - 305 с.

Лаптев Б.Л. Н.И. Лобачевский и его геометрия (пособие для учащихся). - М.: Просвещение, 1976. - 112 с.

Лобачевский Н.И. Геометрические исследования по теории геометрических линий. - М.: Изд-во Академии наук СССР, 1945. - 178 с.

Норден А.П. Об основаниях геометрии. - М.: Государственное изд-во технико-теоретической литературы, 1956. - 531 с.

Прасолов В.В. Геометрия Лобачевского. - М.: Изд-во МЦНМО, 2004. - 89 с.

Смогоржевский А.С. О геометрии Лобачевского. - М.: Государственное изд-во технико-теоретической литературы, 1957. - 69 с.

Д. Куликов: Да, конечно. Но, повторюсь, простая формальная вещь, которая могла бы удержать все это дело, – партийный устав, который надо было исполнять. Но никто ведь даже не собирался это обсуждать. Почему доклад закрытый? Отсюда вытекает масса вопросов. А были ли там делегаты?

А. Гаспарян: Говорят, что некоторые вообще уехали.

Д. Куликов: Да, многие вообще уехали. А какая функция была у этого доклада? Съезд должен был голосовать за него, утвердить его? Ничего этого не было. В рамках какой процедуры все это происходило? Я думаю, что господин Хрущев (или товарищ, как хотите) решал один вопрос – вы правильно, Гия и Армен, указали на него – все объявлялись преступниками. В принципе, по инерции можно было сказать: этих мы реабилитируем, ну а на вас откроем дельце, посмотрим чем вы занимались с 1937 по 1953-й, к примеру? В общем, это относилось ко всей партии. Действительно ли эти люди в этом участвовали, насколько это все юридически доказуемо – все это было неважным в той атмосфере, в которой они действовали. Главное, чтобы было дело, а человек найдется. Поэтому Хрущев применил тот же метод во внутрипартийной борьбе, какой использовал Сталин по отношению к троцкистам. Некоторые считают, что Хрущев был выжившим троцкистом. Можно и так сказать. Я могу привести линейку убедительных доказательств, что это так и было.

Г. Саралидзе: Немаловажный вопрос: когда Хрущев решился на этот шаг?

А. Гаспарян: Не он должен был это делать. В том-то и состоит парадокс ситуации. Изначально первый раз о том, что у нас произошел страшный перегиб (как это называлось), сказал Берия, по указаниям которого, собственно говоря, и стали собирать всю подлинную статистику: что на самом деле происходило на объектах ГУЛАГа. Эти материалы Берия собирал недолго, потому что его позвали к стенке. Соответственно Микоян с Молотовым, понимая, что действительно какой-то перегиб все-таки существовал (они всегда очень тактично говорили по этому поводу), сказали, что если материалы уже собраны, то, наверное, надо с ними что-то делать. И вот тут их затребовал Хрущев, который, ознакомившись с этим массивом документов, заявил о необходимости донести это до сведения всего советского народа. Затем происходит единственная во всей этой истории полемика. Все решают в очень узком кругу Ворошилов, Микоян, Хрущев и Молотов. Трое из них говорят о том, что да, было, но мы эту войну выиграли, значит, мы были правы и народу не нужно ничего говорить. Хрущев искренне полагает, что в сложившейся политической конфигурации его могут оттеснить на второй или третий план. А ему хочется быть первым. И он один принимает решение: огласить данные статистики. В этой борьбе за власть он разменивает все: авторитет партии, представление народа о том, что вообще происходило в стране…

Г. Саралидзе: Вот о представлении народа… Когда Хрущев собирался делать этот шаг, понимал ли он, что народ задаст сакраментальный вопрос, о котором сказал Дима: а вы-то все где были в этот момент? Вы что делали?

А. Гаспарян: Да в целом народ не волновал Хрущева. Дальнейшие события будут лишним тому подтверждением. Это и трагедия в Тбилиси, это и Новочеркасск и т. д. Волновала ли его когда-нибудь судьба отдельно взятого советского человека? Нет. Существует замечательное свидетельство на этот счет. В конце 1940-х годов на юбилее Иосифа Виссарионовича Сталина все лидеры советского государства написали по панегирику в его честь. Самый сахарный был написан Хрущевым.

Г. Саралидзе: Да, это исторический факт.

А. Гаспарян: И этот человек, не делая никакой паузы, меняет свое отношение на 180 градусов…

Д. Куликов: Есть еще один показательный документ. Я, правда, не знаю, настоящий он или нет, ты меня просвети, Армен. Это резолюция Сталина на расстрельных списках от Хрущева: "Уймись, дурак!" Был ли такой документ?

А. Гаспарян: Кстати, именно Хрущев первый сказал о том, что надо увеличить процентовку в репрессиях.

Г. Саралидзе: Это правда, такой документ существует. По прибытии на Украину Хрущев направил Сталину телеграмму: "Украина вам посылает по 16–18 тысяч репрессированных ежемесячно.

А Москва утверждает 2–3 тысяч. Прошу принять меры", а Сталин наложил на ней резолюцию: "Уймись, дурак!"

А. Гаспарян: Самое интересное, что, приехав руководить Украиной, Никита Сергеевич Хрущев требовал еще увеличить объем: Москва же увеличила, а вы-то как здесь? У него был прекрасный помощник в этих делах. Мало кто знает, что он туда поехал вместе с Ежовым.

Г. Саралидзе: Получается, что человек не боялся того, что его в этом обвинят?

А. Гаспарян: Ежов был осужден за кровопролитие, в том числе на Украине. Обвинить Хрущева мог только кто-то из высшего эшелона власти. Они, естественно, этого делать не стали бы по той причине, что у каждого из них за спиной был опыт участия в репрессиях. То есть Хрущев, великий демократизатор, сам выпустил джинна из бутылки.

Г. Саралидзе: Все равно мне непонятен вопрос: он думал о возможных последствиях? Либо был уверен, что вряд ли кто-то ему сможет что-то предъявить. Очень много говорится о том, что Хрущев первый посмел сказать про Сталина "палач". Он ничего подобного не говорил, как известно, но подразумевал. Но кто-то же мог сказать: подожди, а ты кто тогда? И вообще, когда говорят о некоем самоочищении… Самоочищение было бы, если бы Хрущев вышел и сказал: я палач, я признаю, каюсь. Но никакого покаяния не было.

Д. Куликов: Все очень просто. Предметом доклада не стали, например, репрессии как отдельная партийная и государственная деятельность. Обратите внимание, предметом доклада стал какой-то культ личности!

Г. Саралидзе: То есть все дело в акцентах? В знаках ударения?

Д. Куликов: Произошла подмена предмета. Не случайно, абсолютно не случайно.

Берию убрали, потом Маленкова убрали, потом была антипартийная группа и примкнувший к ней Шепилов. Все это было при Хрущеве. Между прочим, обратите внимание: репрессии проходили в более мягкой форме, расстреляли одного Берию.

А. Гаспарян: Ну, не одного Берию – с ним еще десяток человек.

Д. Куликов: Да, я говорю условно. Но ведь в принципе повторилась ситуация конца 1920-х – 1930-х годов. Партия опять вместо того, чтобы иметь внутри себя несколько групп, центров, вести дискуссию, обсуждать это на съезде, голосовать за или против, все свела к подковерной борьбе. Да, одних расстреляли, других уволили, лишили пенсий. Маленкова отправили руководить стройкой в Восточной Сибири.

А. Гаспарян: А Игнатьева – в Казахстан, если мне память не изменяет.

Д. Куликов: Давайте радоваться, что все это произошло более мягко. А смысл? Конечно, не всех расстреляли, я согласен. Но с точки зрения продуктивной деятельности государственной власти…

Д. Куликов: Она действительно устала бояться. Кстати, когда люди лишались поста, по тем меркам они лишались всего. Хрущеву хотя бы дачу оставили. Но здесь важна другая вещь – результат. Каков результат этих чисток? Что, от этого появился новый курс? Проблема заключается не в том, что тех расстреляли в 1930-е, а этих только выгнали в 1960-е. Проблема заключается в том, что главным инструментом кадровой политики по-прежнему были репрессии. В жесткой ли форме (чудовищной, с расстрелами) или в, условно говоря, мягкой. Все равно кроме репрессивного другого механизма кадровой политики не было. Это главная проблема, а ее никто не обсуждал.

А. Гаспарян: Коллеги, а я бы хотел поспорить по поводу того, что элита боялась следующей порции расстрелов. Дело в том, что товарищ Сталин в 1952 году затеял очередную массовую перестройку партийного аппарата. Собственно, те, кто пришел потом с Брежневым, то Политбюро – это были как раз те, кого в 1953–1954 году должен был выдвинуть товарищ Сталин. Хрущев просто несколько затормозил ход событий. Так вот если судить по тональности выступлений, по заседаниям Политбюро, они не то что не боялись репрессий, они, напротив, за них выступали, искренне полагая, что если однажды этот механизм привел в том числе к положительной динамике, то они всегда смогут оправдаться тем, что нужно было убрать бесталанных красных командиров и пришло поколение, которое выиграло. Сейчас у вас холодная война. Почему вы второй раз то же самое не сделали?

Предыдущая статья: Чему равна скорость света Следующая статья: Гармонические колебания Физика формула частоты колебаний