Po sikur përcaktuesi i një matrice të jetë 0, kur zgjidhen sistemet e ekuacioneve lineare

Formulimi i problemit

Detyra përfshin njohjen e përdoruesit me konceptet themelore metodat numerike, të tilla si matrica përcaktore dhe e anasjelltë, dhe menyra te ndryshme llogaritjet e tyre. Në këtë raport teorik, i thjeshtë dhe gjuhë e aksesueshme Së pari, prezantohen konceptet dhe përkufizimet bazë, në bazë të të cilave kërkime të mëtejshme. Përdoruesi mund të mos ketë njohuri të veçanta në fushën e metodave numerike dhe algjebrës lineare, por mund të përdorë lehtësisht rezultatet e kësaj pune. Për qartësi, jepet një program për llogaritjen e përcaktorit të një matrice duke përdorur disa metoda, të shkruara në gjuhën e programimit C++. Programi përdoret si një stendë laboratorike për krijimin e ilustrimeve për raportin. Gjithashtu po kryhet një studim i metodave për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve algjebrike lineare. Padobishmëria e llogaritjes është vërtetuar matricë e anasjelltë, pra, puna ofron mënyra më optimale për zgjidhjen e ekuacioneve pa e llogaritur atë. Shpjegon pse ka kaq shumë metoda të ndryshme analizohen llogaritjet e përcaktorëve dhe matricave inverse dhe mangësitë e tyre. Gjithashtu merren parasysh gabimet në llogaritjen e përcaktorit dhe vlerësohet saktësia e arritur. Përveç termave ruse, vepra përdor edhe ato Ekuivalentet angleze për të kuptuar se me çfarë emrash duhen kërkuar procedurat numerike në biblioteka dhe çfarë kuptimi kanë parametrat e tyre.

Përkufizimet bazë dhe vetitë më të thjeshta

Përcaktues

Le të prezantojmë përkufizimin e përcaktorit matricë katrore ndonjë porosi. Ky përkufizim do të jetë të përsëritura, domethënë, për të përcaktuar se cili është përcaktori i matricës së rendit, duhet të dini tashmë se çfarë është përcaktori i matricës së rendit. Vini re gjithashtu se përcaktori ekziston vetëm për matricat katrore.

Përcaktorin e një matrice katrore do ta shënojmë me ose det.

Përkufizimi 1. Përcaktues matricë katrore thirret numri i rendit të dytë .

Përcaktues matrica katrore e rendit , quhet numër

ku është përcaktori i matricës së rendit të marrë nga matrica duke fshirë rreshtin dhe kolonën e parë me numër .

Për qartësi, le të shkruajmë se si të llogarisim përcaktorin e matricës rendit i katërt:

Komentoni. Llogaritja aktuale e përcaktuesve për matricat mbi renditjen e tretë, bazuar në përkufizimin, përdoret në raste të jashtëzakonshme. Në mënyrë tipike, llogaritja kryhet duke përdorur algoritme të tjera që do të diskutohen më vonë dhe që kërkojnë më pak punë llogaritëse.

Komentoni. Në përkufizimin 1, do të ishte më e saktë të thuhet se përcaktori është një funksion i përcaktuar në grupin e matricave katrore të rendit dhe që merr vlera në grupin e numrave.

Komentoni. Në literaturë në vend të termit “përcaktor” përdoret edhe termi “përcaktues”, i cili ka të njëjtin kuptim. Nga fjala "përcaktues" u shfaq emërtimi det.

Le të shqyrtojmë disa veti të përcaktorëve, të cilat do t'i formulojmë në formën e pohimeve.

Deklarata 1. Gjatë transpozimit të një matrice, përcaktori nuk ndryshon, domethënë .

Deklarata 2. Përcaktor i prodhimit të matricave katrore e barabartë me produktin përcaktuesit e faktorëve, që është .

Deklarata 3. Nëse dy rreshta në një matricë ndërrohen, përcaktori i saj do të ndryshojë shenjën.

Deklarata 4. Nëse një matricë ka dy rreshta identikë, atëherë përcaktuesi i saj e barabartë me zero.

Në të ardhmen, do të na duhet të shtojmë vargje dhe të shumëzojmë një varg me një numër. Ne do t'i kryejmë këto veprime në rreshta (kolona) në të njëjtën mënyrë si veprimet në matricat e rreshtave (matricat e kolonave), domethënë element pas elementi. Rezultati do të jetë një rresht (kolona), e cila, si rregull, nuk përkon me rreshtat e matricës origjinale. Nëse ka operacione të mbledhjes së rreshtave (kolonave) dhe shumëzimit të tyre me një numër, mund të flasim edhe për kombinime lineare të rreshtave (kolonave), domethënë shuma me koeficientë numerikë.

Deklarata 5. Nëse një rresht i një matrice shumëzohet me një numër, atëherë përcaktori i tij do të shumëzohet me këtë numër.

Deklarata 6. Nëse një matricë përmban një rresht zero, atëherë përcaktori i saj është zero.

Deklarata 7. Nëse një nga rreshtat e matricës është i barabartë me një tjetër, i shumëzuar me një numër (rreshtat janë proporcionalë), atëherë përcaktori i matricës është i barabartë me zero.

Deklarata 8. Lëreni rreshtin i-të në matricë të ketë formën . Pastaj, ku matrica merret nga matrica duke zëvendësuar rreshtin i-të me rreshtin, dhe matrica merret duke zëvendësuar rreshtin e i-të me rreshtin.

Deklarata 9. Nëse shtoni një rresht tjetër në një nga rreshtat e matricës, të shumëzuar me një numër, atëherë përcaktori i matricës nuk do të ndryshojë.

Deklarata 10. Nëse një nga rreshtat e një matrice është një kombinim linear i rreshtave të tjerë të saj, atëherë përcaktori i matricës është i barabartë me zero.

Përkufizimi 2. Komplement algjebrik për një element matricë është një numër i barabartë me , ku është përcaktori i matricës i marrë nga matrica duke fshirë rreshtin i-të dhe kolonën j-të. Komplementi algjebrik i një elementi matricë shënohet me .

Shembull. Le . Pastaj

Komentoni. Duke përdorur shtesat algjebrike, përkufizimi i 1 përcaktor mund të shkruhet si më poshtë:

Deklarata 11. Zgjerimi i përcaktorit në një varg arbitrar.

Formula për përcaktorin e matricës është

Shembull. Llogaritni .

Zgjidhje. Le të përdorim zgjerimin përgjatë vijës së tretë, kjo është më fitimprurëse, pasi në rreshtin e tretë dy nga tre numrat janë zero. marrim

Deklarata 12. Për një matricë katrore të rendit në, relacioni qëndron: .

Deklarata 13. Të gjitha vetitë e përcaktorit të formuluar për rreshtat (pohimet 1 - 11) janë gjithashtu të vlefshme për kolonat, në veçanti, zbërthimi i përcaktorit në kolonën j-të është i vlefshëm dhe barazi në .

Deklarata 14. Përcaktues matricë trekëndoreështë e barabartë me prodhimin e elementeve të diagonales së saj kryesore.

Pasoja. Përcaktues matrica e identitetit e barabartë me një, .

konkluzioni. Karakteristikat e listuara më sipër bëjnë të mundur gjetjen e përcaktuesve të matricave me rend mjaft të lartë me një sasi relativisht të vogël llogaritjesh. Algoritmi i llogaritjes është si më poshtë.

Algoritmi për krijimin e zerave në një kolonë. Supozoni se duhet të llogarisim përcaktuesin e rendit. Nëse , atëherë ndërroni rreshtin e parë dhe çdo rresht tjetër në të cilin elementi i parë nuk është zero. Si rezultat, përcaktori do të jetë e barabartë me përcaktorin matricë e re me shenjën e kundërt. Nëse elementi i parë i çdo rreshti është i barabartë me zero, atëherë matrica ka një kolonë zero dhe, sipas pohimeve 1, 13, përcaktori i saj është i barabartë me zero.

Pra, ne besojmë se tashmë në matricën origjinale. E lëmë rreshtin e parë të pandryshuar. Shtoni në rreshtin e dytë rreshtin e parë të shumëzuar me numrin. Atëherë elementi i parë i rreshtit të dytë do të jetë i barabartë me .

Elemente të tjera e dyta e re Le t'i shënojmë rreshtat me , . Përcaktori i matricës së re sipas pohimit 9 është i barabartë me . Shumëzoni rreshtin e parë me një numër dhe shtoni atë në të tretën. Elementi i parë i rreshtit të ri të tretë do të jetë i barabartë me

Ne shënojmë elementet e mbetura të rreshtit të ri të tretë me , . Përcaktori i matricës së re sipas pohimit 9 është i barabartë me .

Do të vazhdojmë procesin e marrjes së zerove në vend të elementeve të para të rreshtave. Së fundi, shumëzojeni rreshtin e parë me një numër dhe shtojeni në rreshtin e fundit. Rezultati është një matricë, le ta shënojmë atë, e cila ka formën

dhe . Për të llogaritur përcaktuesin e matricës, ne përdorim zgjerimin në kolonën e parë

Që atëherë

Në anën e djathtë është përcaktori i matricës së rendit. Ne aplikojmë të njëjtin algoritëm për të, dhe llogaritja e përcaktorit të matricës do të reduktohet në llogaritjen e përcaktorit të matricës së rendit. Ne e përsërisim procesin derisa të arrijmë përcaktuesin e rendit të dytë, i cili llogaritet me përkufizim.

Nëse matrica nuk ka ndonjë veti specifike, atëherë nuk është e mundur të zvogëlohet ndjeshëm sasia e llogaritjeve në krahasim me algoritmin e propozuar. Nje tjeter anën e mirë ky algoritëm - është e lehtë për t'u përdorur për të krijuar një program kompjuterik për llogaritjen e përcaktuesve të matricave të porosive të mëdha. Programet standarde për llogaritjen e përcaktuesve përdorin këtë algoritëm me ndryshime të vogla që lidhen me minimizimin e ndikimit të gabimeve të rrumbullakosjes dhe gabimeve të të dhënave hyrëse në llogaritjet kompjuterike.

Shembull. Llogaritja e përcaktorit të matricës .

Zgjidhje. E lëmë rreshtin e parë të pandryshuar. Në rreshtin e dytë shtojmë të parën, shumëzuar me numrin:

Përcaktori nuk ndryshon. Në rreshtin e tretë shtojmë të parën, shumëzuar me numrin:

Përcaktori nuk ndryshon. Në rreshtin e katërt shtojmë të parën, shumëzuar me numrin:

Përcaktori nuk ndryshon. Si rezultat marrim

Duke përdorur të njëjtin algoritëm, ne llogarisim përcaktuesin e matricës së rendit 3, të vendosur në të djathtë. E lëmë rreshtin e parë të pandryshuar, rreshtin e dytë i shtojmë rreshtin e parë të shumëzuar me numrin :

Në rreshtin e tretë shtojmë të parën, shumëzuar me numrin :

Si rezultat marrim

Përgjigju. .

Komentoni. Edhe pse në llogaritjet u përdorën thyesat, rezultati doli të ishte një numër i plotë. Në të vërtetë, duke përdorur vetitë e përcaktorëve dhe faktin që numrat origjinalë janë numra të plotë, operacionet me thyesa mund të shmangen. Por në praktikën inxhinierike, numrat janë jashtëzakonisht të rrallë numra të plotë. Prandaj, si rregull, elementët e përcaktorit do të jenë thyesa dhjetore dhe është e papërshtatshme të përdoret ndonjë truk për të thjeshtuar llogaritjet.

matricë e anasjelltë

Përkufizimi 3. Matrica quhet matricë e anasjelltë për një matricë katrore, nëse .

Nga përkufizimi del se matrica e anasjelltë do të jetë një matricë katrore e të njëjtit rend si matrica (përndryshe një nga produktet ose nuk do të definohej).

Anasjellta e një matrice shënohet me. Kështu, nëse ekziston, atëherë.

Nga përkufizimi i një matrice të kundërt rrjedh se matrica është inversi i matricës, domethënë . Për matricat mund të themi se ato janë të anasjellta me njëra-tjetrën ose reciprokisht të anasjellta.

Nëse përcaktori i një matrice është zero, atëherë anasjellta e saj nuk ekziston.

Meqenëse për të gjetur matricën e kundërt është e rëndësishme nëse përcaktori i matricës është i barabartë me zero apo jo, ne prezantojmë përkufizimet e mëposhtme.

Përkufizimi 4. Le ta quajmë matricën katrore i degjeneruar ose matricë e veçantë, nëse jo i degjeneruar ose matricë jo njëjës, Nëse .

deklaratë. Nëse matrica e kundërt ekziston, atëherë ajo është unike.

deklaratë. Nëse një matricë katrore është jo njëjës, atëherë e kundërta e saj ekziston dhe (1) ku janë plotësimet algjebrike të elementeve.

Teorema. Një matricë e kundërt për një matricë katrore ekziston nëse dhe vetëm nëse matrica është jo njëjëse, matrica e anasjelltë është unike dhe formula (1) është e vlefshme.

Komentoni. Duhet paguar Vëmendje e veçantë në vendet e zëna nga shtesat algjebrike në formulën e matricës së kundërt: indeksi i parë tregon numrin kolonë, dhe i dyti është numri linjat, në të cilën duhet të shkruani mbledhjen e llogaritur algjebrike.

Shembull. .

Zgjidhje. Gjetja e përcaktorit

Meqenëse , atëherë matrica është jo e degjeneruar dhe e kundërta e saj ekziston. Gjetja e plotësuesve algjebrikë:

Ne hartojmë matricën e kundërt, duke vendosur plotësimet algjebrike të gjetura në mënyrë që indeksi i parë të korrespondojë me kolonën, dhe i dyti me rreshtin: (2)

Matrica që rezulton (2) shërben si përgjigje për problemin.

Komentoni. Në shembullin e mëparshëm, do të ishte më e saktë të shkruanim përgjigjen si kjo:
(3)

Sidoqoftë, shënimi (2) është më kompakt dhe është më i përshtatshëm për të kryer llogaritjet e mëtejshme me të, nëse kërkohet. Prandaj, shkrimi i përgjigjes në formën (2) preferohet nëse elementët e matricës janë numra të plotë. Dhe anasjelltas, nëse elementët e matricës janë dhjetore, atëherë është më mirë të shkruhet matrica e anasjelltë pa një faktor përpara.

Komentoni. Kur gjeni matricën e kundërt, duhet të kryeni mjaft llogaritje dhe rregulli për rregullimin e shtesave algjebrike në matricën përfundimtare është i pazakontë. Prandaj, ekziston një probabilitet i lartë gabimi. Për të shmangur gabimet, duhet të kontrolloni: llogaritni produktin e matricës origjinale dhe matricës përfundimtare në një renditje ose në një tjetër. Nëse rezultati është një matricë identiteti, atëherë matrica e kundërt është gjetur saktë. NË ndryshe ju duhet të kërkoni për gabimin.

Shembull. Gjeni inversin e një matrice .

Zgjidhje. - ekziston.

Përgjigje: .

konkluzioni. Gjetja e matricës së kundërt duke përdorur formulën (1) kërkon shumë llogaritje. Për matricat e rendit të katërt dhe më të lartë, kjo është e papranueshme. Algoritmi aktual për gjetjen e matricës së kundërt do të jepet më vonë.

Llogaritja e matricës së përcaktorit dhe të anasjelltë duke përdorur metodën e Gausit

Metoda Gaussian mund të përdoret për të gjetur matricën përcaktuese dhe të anasjelltë.

Përkatësisht, përcaktori i matricës është i barabartë me det.

Matrica e anasjelltë gjendet duke zgjidhur sistemet ekuacionet lineare Metoda e eliminimit Gaussian:

Ku është kolona j e matricës së identitetit, është vektori i dëshiruar.

Vektorët e zgjidhjes që rezultojnë padyshim formojnë kolona të matricës, pasi .

Formulat për përcaktorin

1. Nëse matrica është jo njëjës, atëherë dhe (produkt i elementeve kryesore).

Një sistem N linear ekuacionet algjebrike(SLAE) me të panjohura, koeficientët e të cilave janë elementet e matricës, dhe termat e lirë janë numra

Indeksi i parë pranë koeficientëve tregon se në cilin ekuacion ndodhet koeficienti, dhe i dyti - në cilën nga të panjohurat gjendet.

Nëse përcaktorja e matricës nuk është zero

atëherë sistemi i ekuacioneve algjebrike lineare ka një zgjidhje unike.

Zgjidhja e një sistemi ekuacionesh algjebrike lineare është një grup i tillë i renditur numrash që transformon secilin prej ekuacioneve të sistemit në një barazi të saktë.

Nëse anët e djathta të të gjitha ekuacioneve të sistemit janë të barabarta me zero, atëherë sistemi i ekuacioneve quhet homogjen. Në rastin kur disa prej tyre janë të ndryshëm nga zero - heterogjene

Nëse një sistem ekuacionesh algjebrike lineare ka të paktën një zgjidhje, atëherë ai quhet i pajtueshëm, përndryshe quhet i papajtueshëm.

Nëse zgjidhja e sistemit është unike, atëherë sistemi i ekuacioneve lineare quhet i caktuar. Në rastin kur zgjidhja e një sistemi të përbashkët nuk është unike, sistemi i ekuacioneve quhet i papërcaktuar.

Dy sisteme ekuacionesh lineare quhen ekuivalente (ose ekuivalente) nëse të gjitha zgjidhjet e një sistemi janë zgjidhje të të dytit dhe anasjelltas. Ne marrim sisteme ekuivalente (ose ekuivalente) duke përdorur transformime ekuivalente.

Transformimet ekuivalente të SLAE-ve

1) rirregullimi i ekuacioneve;

2) shumëzimi (ose pjesëtimi) i ekuacioneve me një numër jozero;

3) shtimi i një ekuacioni tjetër në disa ekuacione, të shumëzuar me një numër arbitrar jo zero.

Zgjidhja për SLAE mund të gjendet në mënyra të ndryshme.

METODA CRAMER

TEOREMA E KRAMERIT. Nëse përcaktori i një sistemi ekuacionesh algjebrike lineare me të panjohura është jozero, atëherë ky sistem ka një zgjidhje unike, e cila gjendet duke përdorur formulat e Cramer-it:

— përcaktorët e formuar duke zëvendësuar kolonën e th me një kolonë nga anëtarë të lirë.

Nëse , dhe të paktën njëri prej tyre është i ndryshëm nga zero, atëherë SLAE nuk ka zgjidhje. Nëse , atëherë SLAE ka shumë zgjidhje. Le të shohim shembuj duke përdorur metodën e Cramer.

—————————————————————

Jepet një sistem me tre ekuacione lineare me tre të panjohura. Zgjidheni sistemin duke përdorur metodën e Cramer

Le të gjejmë përcaktorin e matricës së koeficientit për të panjohurat

Që atëherë sistemi i dhënë ekuacionet janë të pajtueshme dhe kanë një zgjidhje unike. Le të llogarisim përcaktuesit:

Duke përdorur formulat e Cramer-it gjejmë të panjohurat

Kështu që zgjidhja e vetme e sistemit.

Jepet një sistem prej katër ekuacionesh algjebrike lineare. Zgjidheni sistemin duke përdorur metodën e Cramer.

Le të gjejmë përcaktorin e matricës së koeficientit për të panjohurat. Për ta bërë këtë, le ta zgjerojmë atë përgjatë vijës së parë.

Le të gjejmë përbërësit e përcaktorit:

Le të zëvendësojmë vlerat e gjetura në përcaktor

Përcaktues, prandaj sistemi i ekuacioneve është konsistent dhe ka një zgjidhje unike. Le të llogarisim përcaktuesit duke përdorur formulat e Cramer-it:

Le të zbërthejmë secilën prej përcaktorëve në një kolonë në të cilën ndodhet më shumë zero.

Duke përdorur formulat e Cramer-it gjejmë

Zgjidhja e sistemit

Ky shembull mund të zgjidhet kalkulator matematikor YukhymCALC. Një fragment i programit dhe rezultatet e llogaritjeve janë paraqitur më poshtë.

——————————

C R A M E R A METODA

|1,1,1,1|

D=|5,-3,2,-8|

|3,5,1,4|

|4,2,3,1|

D=1*(-3*1*1+2*4*2+(-8)*5*3-((-8)*1*2+2*5*1+(-3)*4* 3))-1*(5*1*1+2*4*4+(-8)*3*3-((-8)*1*4+2*3*1+5*4*3) )+1*(5*5*1+(-3)*4*4+(-8)*3*2-((-8)*5*4+(-3)*3*1+5* 4*2)-1*(5*1*1+2*4*4+(-8)*3*3-((-8)*1*4+2*3*1+5*4* 3))= 1*(-3+16-120+16-10+36)-1*(5+32-72+32-6-60)+1*(25-48-48+160+9- 40)-1*(75-12+12-40+27-10)=1*(-65)-1*(-69)+1*58-1*52=-65+69+58-52= 10

|0,1,1,1|

Dx1=|1,-3,2,-8|

|0,5,1,4|

|3,2,3,1|

Dx1=-1*(1*1*1+2*4*3+(-8)*0*3-((-8)*1*3+2*0*1+1*4*3)) +1*(1*5*1+(-3)*4*3+(-8)*0*2-((-8)*5*3+(-3)*0*1+1*4 *2))-1*(1*1*1+2*4*3+(-8)*0*3-((-8)*1*3+2*0*1+1*4*3 ))= -1*(1+24+0+24+0-12)+1*(5-36+0+120+0-8)-1*(15-9+0-30+0-2 )= -1*(37)+1*81-1*(-26)=-37+81+26=70

|1,0,1,1|

Dx2=|5,1,2,-8|

|3,0,1,4|

|4,3,3,1|

Dx2=1*(1*1*1+2*4*3+(-8)*0*3-((-8)*1*3+2*0*1+1*4*3))+ 1*(5*0*1+1*4*4+(-8)*3*3-((-8)*0*4+1*3*1+5*4*3))-1* (5*1*1+2*4*4+(-8)*3*3-((-8)*1*4+2*3*1+5*4*3))= 1*(1 +24+0+24+0-12)+1*(0+16-72+0-3-60)-1*(0+4+18+0-9-15)= 1*37+1* (-119)-1*(-2)=37-119+2=-80

|1,1,0,1|

Dx3=|5,-3,1,-8|

|3,5,0,4|

|4,2,3,1|

Dx3=1*(-3*0*1+1*4*2+(-8)*5*3-((-8)*0*2+1*5*1+(-3)*4* 3))-1*(5*0*1+1*4*4+(-8)*3*3-((-8)*0*4+1*3*1+5*4*3) )-1*(5*0*1+1*4*4+(-8)*3*3-((-8)*0*4+1*3*1+5*4*3))= 1*(0+8-120+0-5+36)-1*(0+16-72+0-3-60)-1*(75+0+6-20+27+0)= 1* (-81)-1*(-119)-1*88=-81+119-88=-50

|1,1,1,0|

Dx4=|5,-3,2,1|

|3,5,1,0|

|4,2,3,3|

Dx4=1*(-3*1*3+2*0*2+1*5*3-(1*1*2+2*5*3+(-3)*0*3))-1* (5*1*3+2*0*4+1*3*3-(1*1*4+2*3*3+5*0*3))+1*(5*5*3+( -3)*0*4+1*3*2-(1*5*4+(-3)*3*3+5*0*2))= 1*(-9+0+15-2- 30+0)-1*(15+0+9-4-18+0)+1*(75+0+6-20+27+0)= 1*(-26)-1*(2)+ 1*88=-26-2+88=60

x1=Dx1/D=70.0000/10.0000=7.0000

x2=Dx2/D=-80.0000/10.0000=-8.0000

x3=Dx3/D=-50.0000/10.0000=-5.0000

x4=Dx4/D=60.0000/10.0000=6.0000

Shikoni materialet:

(jkomenton)

NË rast i përgjithshëm Rregulli për llogaritjen e përcaktuesve të rendit është mjaft i rëndë. Për përcaktorët e rendit të dytë dhe të tretë ekzistojnë mënyra racionale llogaritjet e tyre.

Llogaritjet e përcaktorëve të rendit të dytë

Për të llogaritur përcaktuesin e një matrice të rendit të dytë, duhet të zbritni produktin e elementeve të diagonales dytësore nga produkti i elementeve të diagonales kryesore:

Shembull

Ushtrimi. Llogaritni përcaktorin e rendit të dytë

Zgjidhje.

Përgjigju.

Metodat për llogaritjen e përcaktorëve të rendit të tretë

Ekzistojnë rregullat e mëposhtme për llogaritjen e përcaktorëve të rendit të tretë.

Rregulli i trekëndëshit

Skematikisht, ky rregull mund të përshkruhet si më poshtë:

Prodhimi i elementeve në përcaktorin e parë që lidhen me vija të drejta merret me shenjë plus; në mënyrë të ngjashme, për përcaktorin e dytë, prodhimet përkatëse merren me shenjën minus, d.m.th.

Shembull

Ushtrimi. Llogaritni përcaktorin duke përdorur metodën e trekëndëshit.

Zgjidhje.

Përgjigju.

Rregulli Sarrus

Në të djathtë të përcaktorit shtohen dy kolonat e para dhe prodhimet e elementeve në diagonalen kryesore dhe në diagonalet paralele me të merren me shenjë plus; dhe produktet e elementeve të diagonales dytësore dhe diagonaleve paralele me të, me shenjën minus:

Shembull

Ushtrimi. Llogaritni përcaktorin duke përdorur rregullin e Sarrusit.

Zgjidhje.

Përgjigju.

Zgjerimi i përcaktorit me rresht ose kolonë

Përcaktues e barabartë me shumën prodhimet e elementeve të vargut përcaktor nga plotësimet e tyre algjebrike.

Zakonisht zgjidhet rreshti/kolona që përmban zero. Rreshti ose kolona përgjatë së cilës kryhet dekompozimi do të tregohet me një shigjetë.

Shembull

Ushtrimi. Duke u zgjeruar përgjatë rreshtit të parë, llogarisni përcaktorin

Zgjidhje.

Përgjigju.

Kjo metodë lejon që llogaritja e përcaktorit të reduktohet në llogaritjen e një përcaktori të rendit më të ulët.

Shembull

Ushtrimi. Llogaritni përcaktorin

Zgjidhje. Le ta bejme transformimet në vijim mbi rreshtat e përcaktorit: nga rreshti i dytë zbresim katër të parën, dhe nga i treti rreshtin e parë shumëzuar me shtatë, si rezultat, sipas vetive të përcaktorit, marrim një përcaktor të barabartë me atë të dhënë.

Përcaktori është zero sepse rreshti i dytë dhe i tretë janë proporcionalë.

Përgjigju.

Për të llogaritur përcaktuesit e rendit të katërt dhe më të lartë, ose zgjerimi i rreshtit/kolonës ose zvogëlimi në pamje trekëndore, ose duke përdorur teoremën e Laplace.

Zbërthimi i përcaktorit në elemente të një rreshti ose kolone

Shembull

Ushtrimi. Llogaritni përcaktorin , duke e zbërthyer në elemente të ndonjë rreshti ose ndonjë kolone.

Zgjidhje. Le ta bëjmë së pari transformimet elementare mbi rreshtat e përcaktorit, duke bërë sa më shumë zero në rresht ose në kolonë. Për ta bërë këtë, së pari zbresim nëntë të tretat nga rreshti i parë, pesë të tretat nga e dyta dhe tre të tretat nga e katërta, marrim:

Le të zbërthejmë përcaktuesin që rezulton në elementët e kolonës së parë:

Ne gjithashtu do të zgjerojmë përcaktuesin e rendit të tretë që rezulton në elementë rreshtash dhe kolonash, pasi kemi marrë më parë zero, për shembull, në kolonën e parë.

Për ta bërë këtë, zbritni dy rreshtat e dytë nga rreshti i parë dhe rreshtin e dytë nga i treti:

Përgjigju.

Koment

Përcaktori i fundit dhe i parafundit nuk mund të llogariten, por menjëherë konkludohet se janë të barabartë me zero, pasi përmbajnë rreshta proporcionalë.

Reduktimi i përcaktorit në formë trekëndore

Duke përdorur transformimet elementare mbi rreshta ose kolona, përcaktori reduktohet në një formë trekëndore dhe më pas vlera e tij, sipas vetive të përcaktorit, është e barabartë me prodhimin e elementeve në diagonalen kryesore.

Shembull

Ushtrimi. Llogaritni përcaktorin duke e sjellë atë në një formë trekëndore.

Zgjidhje. Së pari bëjmë zero në kolonën e parë nën diagonalen kryesore.

4. Vetitë e përcaktorëve. Përcaktor i prodhimit të matricave.

Të gjitha transformimet do të jenë më të lehta për t'u kryer nëse elementi është i barabartë me 1. Për ta bërë këtë, ne do të ndërrojmë kolonën e parë dhe të dytë të përcaktorit, e cila, sipas vetive të përcaktorit, do të bëjë që ai të ndryshojë shenjën e tij në e kundërt:

Tjetra, marrim zero në kolonën e dytë në vend të elementeve nën diagonalen kryesore. Përsëri, nëse elementi diagonal është i barabartë me , atëherë llogaritjet do të jenë më të thjeshta. Për ta bërë këtë, ne ndërrojmë rreshtat e dytë dhe të tretë (dhe në të njëjtën kohë ndryshojmë në shenjë e kundërt përcaktues):

Përgjigju.

Teorema e Laplasit

Shembull

Ushtrimi. Duke përdorur teoremën e Laplasit, njehsoni përcaktorin

Zgjidhje. Le të zgjedhim dy rreshta në këtë përcaktues të rendit të pestë - të dytin dhe të tretën, pastaj marrim (ne i heqim termat që janë të barabartë me zero):

Përgjigju.

EKUACIONET LINEARE DHE PABARAZIZIMET I

§ 31 Rasti kur përcaktorja kryesore e një sistemi ekuacionesh është e barabartë me zero, dhe të paktën një nga kualifikues ndihmës jo zero

Teorema.Nëse përcaktorja kryesore e sistemit të ekuacioneve

(1)

është e barabartë me zero, dhe të paktën një nga përcaktuesit ndihmës është i ndryshëm nga zero, atëherë sistemi është i paqëndrueshëm.

Formalisht, vërtetimi i kësaj teoreme nuk është i vështirë të merret me kontradiktë. Le të supozojmë se sistemi i ekuacioneve (1) ka një zgjidhje ( x 0 , y 0). Pastaj, siç tregohet në paragrafin e mëparshëm,

Δ x 0 = Δ x , Δ y 0 = Δ y (2)

Por sipas kushtit Δ = 0, dhe të paktën një nga përcaktuesit Δ x Dhe Δ y të ndryshme nga zero. Kështu, barazitë (2) nuk mund të plotësohen njëkohësisht. Teorema është vërtetuar.

Megjithatë, duket interesante të zbulohet më në detaje pse sistemi i ekuacioneve (1) është i paqëndrueshëm në rastin në shqyrtim.

do të thotë se koeficientët për të panjohurat në sistemin e ekuacioneve (1) janë proporcionalë. Le, për shembull,

a 1 =ka 2 , b 1 = kb 2 .

do të thotë se koeficientët për në dhe termat e lira të ekuacioneve të sistemit (1) nuk janë proporcionale. Sepse b 1 = kb 2, atëherë c 1 =/= kc 2 .

Prandaj, sistemi i ekuacioneve (1) mund të shkruhet në formën e mëposhtme:

Në këtë sistem, koeficientët për të panjohurat janë përkatësisht proporcionale, por koeficientët për në (ose kur X ) dhe kushtet e lira nuk janë proporcionale. Një sistem i tillë, natyrisht, është i papajtueshëm. Në të vërtetë, nëse ajo kishte një zgjidhje ( x 0 , y 0), atëherë barazitë numerike do të mbaheshin

k (a 2 x 0 + b 2 y 0) = c 1

a 2 x 0 + b 2 y 0 = c 2 .

Por njëra nga këto barazi kundërshton tjetrën: në fund të fundit, c 1 =/= kc 2 .

Kemi shqyrtuar vetëm rastin kur Δ x =/= 0. Rasti mund të konsiderohet në mënyrë të ngjashme kur Δ y =/= 0."

Teorema e provuar mund të formulohet në këtë mënyrë.

Nëse koeficientët për të panjohurat X Dhe në në sistemin e ekuacioneve (1) janë proporcionale, por koeficientët për ndonjë nga këto të panjohura dhe termat e lira nuk janë proporcionale, atëherë ky sistem ekuacionesh është i paqëndrueshëm.

Është e lehtë, për shembull, të sigurohesh që secili prej këtyre sistemeve të jetë i papajtueshëm:

Metoda e Kramerit për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve lineare

Formulat e Cramer-it

Metoda e Cramer-it bazohet në përdorimin e përcaktorëve në zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve lineare. Kjo përshpejton ndjeshëm procesin e zgjidhjes.

Metoda e Cramer mund të përdoret për të zgjidhur një sistem me aq ekuacione lineare sa ka të panjohura në secilin ekuacion.

Metoda e Cramer-it. Zbatim për sistemet e ekuacioneve lineare

Nëse përcaktori i sistemit nuk është i barabartë me zero, atëherë metoda e Cramer-it mund të përdoret në zgjidhje, por nëse është e barabartë me zero, atëherë nuk mundet. Përveç kësaj, metoda e Cramer mund të përdoret për të zgjidhur sistemet e ekuacioneve lineare që kanë një zgjidhje unike.

Përkufizimi. Një përcaktues i përbërë nga koeficientë për të panjohurat quhet përcaktor i sistemit dhe shënohet (delta).

Përcaktuesit

fitohen duke zëvendësuar koeficientët e të panjohurave përkatëse me terma të lirë:

;

Teorema e Kramerit. Nëse përcaktorja e sistemit është jozero, atëherë sistemi i ekuacioneve lineare ka një zgjidhje unike, dhe e panjohura është e barabartë me raportin e përcaktorëve. Emëruesi përmban përcaktorin e sistemit, dhe numëruesi përmban përcaktorin e marrë nga përcaktorja e sistemit duke zëvendësuar koeficientët e kësaj të panjohure me terma të lirë. Kjo teoremë vlen për një sistem ekuacionesh lineare të çdo rendi.

Shembulli 1. Zgjidh një sistem ekuacionesh lineare:

Sipas Teorema e Kramerit ne kemi:

Pra, zgjidhja për sistemin (2):

Tre raste kur zgjidhen sistemet e ekuacioneve lineare

Siç është e qartë nga Teorema e Kramerit, kur zgjidhet një sistem ekuacionesh lineare, mund të ndodhin tre raste:

Rasti i parë: një sistem ekuacionesh lineare ka një zgjidhje unike

(sistemi është i qëndrueshëm dhe i përcaktuar)

Rasti i dytë: një sistem ekuacionesh lineare ka një numër të pafund zgjidhjesh

(sistemi është konsistent dhe i pasigurt)

**
,

ato. koeficientët e të panjohurave dhe të termave të lirë janë proporcionalë.

Rasti i tretë: sistemi i ekuacioneve lineare nuk ka zgjidhje

(sistemi është i paqëndrueshëm)

Pra sistemi m ekuacionet lineare me n të quajtura variabla jo të përbashkët, nëse ajo nuk ka një zgjidhje të vetme, dhe të përbashkët, nëse ka të paktën një zgjidhje. Një sistem i njëkohshëm ekuacionesh që ka vetëm një zgjidhje quhet të caktuara, dhe më shumë se një - i pasigurt.

Shembuj të zgjidhjes së sistemeve të ekuacioneve lineare duke përdorur metodën Cramer

Le të jepet sistemi

Bazuar në teoremën e Kramerit

………….
,

Ku
—

përcaktues i sistemit. Ne marrim përcaktuesit e mbetur duke zëvendësuar kolonën me koeficientët e ndryshores përkatëse (të panjohur) me terma të lirë:

Shembulli 2.

Prandaj, sistemi është i përcaktuar. Për të gjetur zgjidhjen e tij, llogarisim përcaktorët

Duke përdorur formulat e Cramer-it gjejmë:

Pra, (1; 0; -1) është e vetmja zgjidhje për sistemin.

Për të kontrolluar zgjidhjet e sistemeve të ekuacioneve 3 X 3 dhe 4 X 4, mund të përdorni një kalkulator në internet, metodë vendimtare Kramer.

Nëse në një sistem ekuacionesh lineare nuk ka ndryshore në një ose më shumë ekuacione, atëherë në përcaktor elementët përkatës janë të barabartë me zero! Ky është shembulli tjetër.

Shembulli 3. Zgjidh një sistem ekuacionesh lineare duke përdorur metodën Cramer:

Zgjidhje. Gjejmë përcaktuesin e sistemit:

Shikoni me kujdes sistemin e ekuacioneve dhe përcaktorin e sistemit dhe përsëritni përgjigjen e pyetjes në cilat raste një ose më shumë elementë të përcaktorit janë të barabartë me zero. Pra, përcaktorja nuk është e barabartë me zero, prandaj sistemi është i përcaktuar. Për të gjetur zgjidhjen e tij, llogarisim përcaktorët për të panjohurat

Duke përdorur formulat e Cramer-it gjejmë:

Pra, zgjidhja e sistemit është (2; -1; 1).

Për të kontrolluar zgjidhjet e sistemeve të ekuacioneve 3 X 3 dhe 4 X 4, mund të përdorni një kalkulator në internet duke përdorur metodën e zgjidhjes së Cramer.

Në krye të faqes

Merrni testin mbi Sistemet e Ekuacioneve Lineare

Siç u përmend tashmë, nëse përcaktorja e sistemit është e barabartë me zero, dhe përcaktuesit e të panjohurave nuk janë të barabarta me zero, sistemi është i paqëndrueshëm, domethënë nuk ka zgjidhje. Le ta ilustrojmë me shembullin e mëposhtëm.

Shembulli 4. Zgjidh një sistem ekuacionesh lineare duke përdorur metodën Cramer:

Zgjidhje. Gjejmë përcaktuesin e sistemit:

Përcaktori i sistemit është i barabartë me zero, prandaj, sistemi i ekuacioneve lineare është ose jo konsistent dhe i përcaktuar, ose jo konsistent, domethënë nuk ka zgjidhje. Për të sqaruar, ne llogarisim përcaktorët për të panjohurat

Përcaktuesit e të panjohurave nuk janë të barabartë me zero, prandaj sistemi është i paqëndrueshëm, domethënë nuk ka zgjidhje.

Për të kontrolluar zgjidhjet e sistemeve të ekuacioneve 3 X 3 dhe 4 X 4, mund të përdorni një kalkulator në internet duke përdorur metodën e zgjidhjes së Cramer.

Në problemet që përfshijnë sisteme ekuacionesh lineare, ka edhe nga ato ku, përveç shkronjave që tregojnë ndryshore, ka edhe shkronja të tjera. Këto shkronja përfaqësojnë një numër, më së shpeshti real. Në praktikë, problemet e kërkimit çojnë në ekuacione dhe sisteme të tilla ekuacionesh vetitë e përgjithshme ndonjë fenomen apo objekt. Kjo është, a keni shpikur ndonjë material i ri ose një pajisje, dhe për të përshkruar vetitë e saj, të cilat janë të zakonshme pavarësisht nga madhësia ose numri i një shembulli, duhet të zgjidhni një sistem ekuacionesh lineare, ku në vend të disa koeficientëve për variabla ka shkronja. Nuk duhet të kërkoni larg për shembuj.

Shembulli i mëposhtëm është për një problem të ngjashëm, rritet vetëm numri i ekuacioneve, variablave dhe shkronjave që tregojnë një numër të caktuar real.

Shembulli 6. Zgjidh një sistem ekuacionesh lineare duke përdorur metodën Cramer:

Zgjidhje. Gjejmë përcaktuesin e sistemit:

Gjetja e përcaktorëve për të panjohurat

Duke përdorur formulat e Cramer-it gjejmë:

Dhe së fundi sistemi prej katërsh ekuacionet me katër të panjohura.

Shembulli 7. Zgjidh një sistem ekuacionesh lineare duke përdorur metodën Cramer:

Kujdes! Metodat për llogaritjen e përcaktorëve të rendit të katërt nuk do të shpjegohen këtu. Për këtë, shkoni në seksionin përkatës të faqes. Por do të ketë disa komente të vogla. Zgjidhje. Gjejmë përcaktuesin e sistemit:

Nje koment i vogel. Në përcaktorin fillestar, elementët e rreshtit të katërt u zbritën nga elementët e rreshtit të dytë, elementët e rreshtit të katërt, shumëzuar me 2, u zbritën nga elementët e rreshtit të tretë dhe elementët e rreshtit të parë, shumëzuar me 2, nga elementet e rreshtit të katërt Shndërrimet e përcaktorëve origjinalë me tre të parat të panjohura janë prodhuar sipas të njëjtës skemë. Gjetja e përcaktorëve për të panjohurat

Për të transformuar përcaktorin për të panjohurën e katërt, elementët e rreshtit të katërt u zbritën nga elementët e rreshtit të parë.

Duke përdorur formulat e Cramer-it gjejmë:

Pra, zgjidhja e sistemit është (1; 1; -1; -1).

Për të kontrolluar zgjidhjet e sistemeve të ekuacioneve 3 X 3 dhe 4 X 4, mund të përdorni një kalkulator në internet duke përdorur metodën e zgjidhjes së Cramer.

Njerëzit më të vëmendshëm ndoshta vunë re se artikulli nuk përmbante shembuj të zgjidhjes së sistemeve të papërcaktuara të ekuacioneve lineare. Dhe gjithçka sepse është e pamundur të zgjidhen sisteme të tilla duke përdorur metodën e Cramer-it, mund të thuhet vetëm se sistemi është i pasigurt. Zgjidhjet për sisteme të tilla jepen me metodën e Gausit.

Nuk keni kohë të thelloheni në zgjidhjen? Mund të porosisni një punë!

Në krye të faqes

Merrni testin mbi Sistemet e Ekuacioneve Lineare

Të tjera me temën "Sistemet e ekuacioneve dhe pabarazive"

Llogaritësi - zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve në internet

Zbatimi i softuerit të metodës Cramer në C++

Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve lineare duke përdorur metodën e zëvendësimit dhe metodën e mbledhjes

Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve lineare duke përdorur metodën e Gausit

Kushti i konsistencës për një sistem ekuacionesh lineare.

Teorema Kronecker-Capelli

Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve lineare metoda e matricës(matricë e kundërt)

Sistemet pabarazitë lineare dhe grupe konvekse pikash

Fillimi i temës "Algjebra lineare"

Përcaktuesit

Në këtë artikull do të njihemi me shumë koncept i rëndësishëm nga seksioni algjebër lineare, e cila quhet përcaktor.

Do të doja të shënoja menjëherë pikë e rëndësishme: koncepti i përcaktorit është i vlefshëm vetëm për matricat katrore (numri i rreshtave = numri i kolonave), matricat e tjera nuk e kanë atë.

Përcaktori i një matrice katrore(përcaktor) - karakteristikë numerike e matricës.

Përcaktimi i përcaktorëve: |A|, det A, ∆ A.

Përcaktues Rendi "n" quhet shuma algjebrike të gjitha produktet e mundshme të elementeve të tij që plotësojnë kërkesat e mëposhtme:

1) Çdo produkt i tillë përmban saktësisht elemente "n" (d.m.th., një përcaktues i rendit të dytë - 2 elementë).

2) Në çdo produkt ka një përfaqësues të çdo rreshti dhe çdo kolone si faktor.

3) Çdo dy faktorë në secilin produkt nuk mund t'i përkasë të njëjtit rresht ose kolonë.

Shenja e produktit përcaktohet nga rendi i alternimit të numrave të kolonave, nëse elementët në produkt janë renditur në rend rritës të numrave të rreshtave.

Le të shqyrtojmë disa shembuj të gjetjes së përcaktuesit të një matrice:

Për një matricë të rendit të parë (d.m.th.

Ekuacionet lineare. Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve lineare. Metoda e Cramer-it.

ka vetëm 1 element), përcaktori është i barabartë me këtë element:

2. Konsideroni një matricë katrore të rendit të dytë:

3. Konsideroni një matricë katrore të rendit të tretë (3×3):

4. Tani le të shohim shembuj me numra realë:

Rregulli i trekëndëshit.

Rregulli i trekëndëshit është një mënyrë për të llogaritur përcaktuesin e një matrice, e cila përfshin gjetjen e saj sipas skemës së mëposhtme:

Siç e kuptoni tashmë, metoda u quajt rregulli i trekëndëshit për faktin se elementët e shumëzuar të matricës formojnë trekëndësha të veçantë.

Për ta kuptuar më mirë këtë, le të shohim një shembull:

Tani le të shohim llogaritjen e përcaktorit të një matrice me numra realë duke përdorur rregullin e trekëndëshit:

Për të konsoliduar materialin që kemi mbuluar, le të zgjidhim një shembull tjetër praktik:

Vetitë e përcaktorëve:

1. Nëse elementet e një rreshti ose kolone janë të barabartë me zero, atëherë përcaktorja është e barabartë me zero.

2. Përcaktori do të ndryshojë shenjën nëse ndërrohen 2 rreshta ose kolona. Le ta shohim këtë me një shembull të vogël:

3. Përcaktori i matricës së transpozuar është i barabartë me përcaktuesin e matricës origjinale.

4. Përcaktori është i barabartë me zero nëse elementet e një rreshti janë të barabartë me elementët përkatës të një rreshti tjetër (edhe për kolonat). Shembulli më i thjeshtë i kësaj vetie të përcaktorëve është:

5. Përcaktori është i barabartë me zero nëse 2 rreshtat e tij janë proporcionalë (edhe për kolonat). Shembull (linjat 1 dhe 2 janë proporcionale):

6. Faktori i përbashkët i një rreshti (kolone) mund të hiqet nga shenja përcaktor.

7) Përcaktori nuk do të ndryshojë nëse elementët përkatës të një rreshti (kolone) tjetër u shtohen elementeve të çdo rreshti (kolone), shumëzuar me të njëjtën vlerë. Le ta shohim këtë me një shembull:

Komplement minor dhe algjebrik

Mbledhja dhe zbritja e matricave me shembuj

Veprimet me matrica

Koncepti i "matricës"

Shikime: 57258

Përcaktori (aka përcaktor) gjendet vetëm në matricat katrore. Përcaktori nuk është gjë tjetër veçse një vlerë që kombinon të gjithë elementët e matricës, e cila ruhet gjatë transpozimit të rreshtave ose kolonave. Mund të shënohet si det(A), |A|, Δ(A), Δ, ku A mund të jetë ose një matricë ose një shkronjë që e tregon atë. Mund ta gjeni duke përdorur metoda të ndryshme:

Të gjitha metodat e propozuara më sipër do të analizohen në matricat e madhësisë tre e lart. Përcaktori i një matrice dy-dimensionale gjendet duke përdorur tre elementare operacionet matematikore Prandaj, gjetja e përcaktorit të një matrice dydimensionale nuk do të përfshihet në asnjë nga metodat. Epo, përveç si shtesë, por më shumë për këtë më vonë.

Le të gjejmë përcaktuesin e një matrice 2x2:

Për të gjetur përcaktorin e matricës sonë, duhet të zbresim produktin e numrave të njërës diagonale nga tjetra, domethënë, d.m.th.

Shembuj të gjetjes së përcaktorit të matricave të rendit të dytë

Zbërthimi i rreshtit/kolonës

Zgjidhni çdo rresht ose kolonë në matricë. Çdo numër në rreshtin e zgjedhur shumëzohet me (-1) i+j ku (i,j është numri i rreshtit, kolonës së atij numri) dhe shumëzohet me përcaktorin e rendit të dytë, i përbërë nga elementët e mbetur pas kryqëzimit. rreshti i dhe j - kolona. Le ta analizojmë atë në matricë

Zgjidhni një rresht / kolonë

Për shembull, le të marrim rreshtin e dytë.

Shënim: Nëse nuk është shprehur qartë se cila rresht duhet të përdoret për të gjetur përcaktorin, zgjidhni vijën që ka një zero. Do të ketë më pak llogaritje.

Le të bëjmë një shprehje

Nuk është e vështirë të përcaktohet se shenja e një numri ndryshon çdo herë tjetër. Prandaj, në vend të njësive, mund të përdorni tabelën e mëposhtme:

Le të ndryshojmë shenjën e numrave tanë

Le të gjejmë përcaktuesit e matricave tona

Le t'i numërojmë të gjitha

Zgjidhja mund të shkruhet si kjo:

Shembuj të gjetjes së përcaktorit sipas zgjerimit të rreshtit/kolonës:

Metoda e reduktimit në formë trekëndore (duke përdorur transformimet elementare)

Përcaktori gjendet duke reduktuar matricën në një formë trekëndore (hap) dhe duke shumëzuar elementet në diagonalen kryesore

Një matricë trekëndore është një matricë, elementët e së cilës në njërën anë të diagonales janë të barabartë me zero.

Kur ndërtoni një matricë, duhet të mbani mend tre rregulla të thjeshta:

Sa herë që rreshtat ndërrohen, përcaktorja ndryshon shenjën në të kundërtën.
Kur shumëzoni/pjestoni një varg me jo numër zero, duhet pjesëtuar (nëse shumëzohet)/shumëzuar (nëse pjesëtohet) me të, ose ky veprim duhet të kryhet me përcaktorin që rezulton.
Kur shtohet një varg i shumëzuar me një numër në një varg tjetër, përcaktori nuk ndryshon (vargu i shumëzuar merr vlerën e tij origjinale).

Le të përpiqemi të marrim zero në kolonën e parë, pastaj në të dytën.

Le të hedhim një vështrim në matricën tonë:

Shume. Për t'i bërë llogaritjet më të këndshme, do të doja të kisha më shumë mbyll numrin sipër. Mund ta lini, por mos e bëni. Mirë, ne kemi një dy në rreshtin e dytë dhe një katër në të parën.

Le t'i ndërrojmë këto dy rreshta.

Ne këmbyem rreshtat, tani ose duhet të ndryshojmë shenjën e një rreshti, ose në fund të ndryshojmë shenjën e përcaktorit.

Përcaktuesit. Llogaritja e përcaktorëve (faqe 2)

Këtë do ta bëjmë më vonë.

Tani, për të marrë zero në rreshtin e parë, shumëzojeni rreshtin e parë me 2.

Le të zbresim rreshtin e parë nga i dyti.

Sipas rregullit tonë të tretë, ne e kthejmë vargun origjinal në pozicionin e tij fillestar.

Tani le të bëjmë një zero në rreshtin e 3-të. Mund ta shumëzojmë rreshtin e parë me 1,5 dhe të zbresim nga i treti, por puna me thyesa sjell pak kënaqësi. Kjo është arsyeja pse le të gjejmë numrin, në të cilin të dy vargjet mund të reduktohen është 6.

Shumëzojeni rreshtin e tretë me 2.

Tani le të shumëzojmë rreshtin e parë me 3 dhe të zbresim nga i treti.

Le të kthejmë rreshtin tonë të parë.

Mos harroni se rreshtin e tretë e kemi shumëzuar me 2, kështu që përcaktorin do ta ndajmë me 2.

Ka një kolonë. Tani, për të marrë zero në të dytën - harrojeni rreshtin e parë - ne punojmë me rreshtin e dytë. Shumëzojeni rreshtin e dytë me -3 dhe shtoni atë në të tretën.

Mos harroni të ktheni rreshtin e dytë.

Pra, ne kemi ndërtuar një matricë trekëndore. Çfarë na ka mbetur? Mbetet vetëm të shumëzojmë numrat në diagonalen kryesore, gjë që do të bëjmë.

Epo, mbetet të kujtojmë se duhet të ndajmë përcaktuesin tonë me 2 dhe të ndryshojmë shenjën.

Rregulli i Sarrusit (Rregulli i trekëndëshave)

Rregulli i Sarrus zbatohet vetëm për matricat katrore të rendit të tretë.

Përcaktori llogaritet duke shtuar dy kolonat e para në të djathtë të matricës, duke shumëzuar elementet e diagonaleve të matricës dhe duke i mbledhur ato dhe duke zbritur shumën e diagonaleve të kundërta. Zbrisni ato të purpurta nga diagonalet portokalli.

Rregulli i trekëndëshave është i njëjtë, vetëm fotografia është e ndryshme.

Teorema e Laplace-it shih Zbërthimi i rreshtit/kolonave

E barabartë me shumën e prodhimeve të elementeve të një rreshti ose kolone nga plotësimet e tyre algjebrike, d.m.th. , ku i 0 është fiksuar.
Shprehja (*) quhet zgjerimi i përcaktorit D në elemente të rreshtit me numër i 0 .

Qëllimi i shërbimit. Ky shërbim synohet të gjejë përcaktuesin e një matrice në modaliteti në internet me regjistrimin e të gjithë procesit të zgjidhjes në format Word. Për më tepër, një shabllon zgjidhje është krijuar në Excel.

Udhëzimet. Zgjidhni dimensionin e matricës, klikoni Next.

Përcaktori mund të llogaritet në dy mënyra: a-paror Dhe sipas rreshtit ose kolonës. Nëse keni nevojë të gjeni përcaktorin duke krijuar zero në një nga rreshtat ose kolonat, mund të përdorni këtë kalkulator.

Algoritmi për gjetjen e përcaktorit

Për matricat e rendit n=2, përcaktori llogaritet duke përdorur formulën: Δ=a 11 *a 22 -a 12 *a 21
Për matricat e rendit n=3, përcaktorja llogaritet përmes shtesave algjebrike ose Metoda Sarrus.
Një matricë me dimension më të madh se tre zbërthehet në plotësues algjebrikë, për të cilët llogariten përcaktorët e tyre (minorët). Për shembull, Përcaktori i matricës së rendit të 4-të gjendet përmes zgjerimit në rreshta ose kolona (shih shembullin).

Për të llogaritur funksionet që përmbajnë përcaktor në një matricë, përdoren metoda standarde. Për shembull, llogaritni përcaktuesin e një matrice të rendit të tretë:

Ne përdorim metodën e dekompozimit përgjatë rreshtit të parë.
Δ = sin(x)× + 1× = 2sin(x)cos(x)-2cos(x) = sin(2x)-2cos(x)

Metodat për llogaritjen e përcaktorëve

Gjetja e përcaktorit nëpërmjet shtesave algjebrikeështë një metodë e zakonshme. Një version i thjeshtuar i tij është llogaritja e përcaktorit sipas rregullit të Sarrus. Megjithatë, kur dimensioni i matricës është i madh, përdoren metodat e mëposhtme:

duke llogaritur përcaktorin duke përdorur metodën e reduktimit të rendit
llogaritja e përcaktorit duke përdorur metodën Gaussian (duke reduktuar matricën në formë trekëndore).

Në Excel, funksioni =MOPRED (gama e qelizave) përdoret për të llogaritur përcaktuesin.

Përdorimi i aplikuar i përcaktorëve

Përcaktuesit zakonisht llogariten për sistem specifik, e specifikuar si një matricë katrore. Le të shqyrtojmë disa lloje problemesh gjetja e përcaktorit të një matrice.

Ndonjëherë ju duhet të gjeni një parametër të panjohur a për të cilin përcaktori do të ishte i barabartë me zero. Për ta bërë këtë, është e nevojshme të krijohet një ekuacion përcaktues (për shembull, sipas rregulli i trekëndëshit) dhe, duke e barazuar me 0, njehsoni parametrin a.
zbërthimi i kolonës (kolona e parë):
Minor për (1,1): Kaloni rreshtin e parë dhe kolonën e parë nga matrica.
Le të gjejmë një përcaktues për këtë të mitur. ∆ 1,1 = (2 (-2)-2 1) = -6.

Le të përcaktojmë minorin për (2,1): për ta bërë këtë, ne fshijmë rreshtin e dytë dhe kolonën e parë nga matrica.

Le të gjejmë një përcaktues për këtë të mitur. ∆ 2.1 = (0 (-2)-2 (-2)) = 4. Minor për (3,1): Kaloni rreshtin e 3-të dhe kolonën e parë nga matrica.
Le të gjejmë një përcaktues për këtë të mitur. ∆ 3.1 = (0 1-2 (-2)) = 4
Përcaktori kryesor është: ∆ = (1 (-6)-3 4+1 4) = -14

Le të gjejmë përcaktorin duke përdorur zgjerimin rresht pas rreshti (nga rreshti i parë):
Minor për (1,1): Kaloni rreshtin e parë dhe kolonën e parë nga matrica.

Le të gjejmë një përcaktues për këtë të mitur. ∆ 1,1 = (2 (-2)-2 1) = -6. Minor për (1,2): Kaloni rreshtin e parë dhe kolonën e dytë nga matrica. Le të llogarisim përcaktorin për këtë minor. ∆ 1,2 = (3 (-2)-1 1) = -7. Dhe për të gjetur minorin për (1.3), kalojmë rreshtin e parë dhe kolonën e tretë nga matrica. Le të gjejmë një përcaktues për këtë të mitur. ∆ 1,3 = (3 2-1 2) = 4
Gjeni përcaktorin kryesor: ∆ = (1 (-6)-0 (-7)+(-2 4)) = -14

2.Nëse │A│=0, atëherë matrica A është njëjës dhe matrica e anasjelltë A -1 nuk ekziston.

Nëse përcaktori i matricës A nuk është i barabartë me zero, atëherë matrica e anasjelltë ekziston.

3. Gjeni A T të transpozuar në A.

4. Gjeni plotësimet algjebrike të elementeve të matricës së transpozuar dhe hartoni prej tyre matricën e bashkuar. 5. Matricën e anasjelltë e llogarisim duke përdorur formulën: 6. Kontrollojmë saktësinë e llogaritjes së matricës së kundërt, bazuar në përkufizimin e saj A -1 ∙A = A ∙A -1 = E.

· №28

· Në një matricë me madhësi m x n, duke fshirë çdo rresht dhe kolonë, mund të zgjedhim nënmatrica katrore të rendit kth, ku k≤min(m; n). Përcaktuesit e nënmatricave të tilla quhen minore të rendit kth të matricës A.

· Rangu i një matrice A quhet rendit më të lartë minoret jozero të kësaj matrice.

· Rangu i një matrice A shënohet me gradën A ose r(A).

· Nga përkufizimi rezulton:

· 1) rangu i një matrice me madhësi m x n nuk e kalon më të voglën e dimensioneve të saj, d.m.th. r(A) ≤ min (m; n).

· 2) r(A)=0 nëse dhe vetëm nëse të gjithë elementët e matricës janë të barabartë me zero, d.m.th. A=0.

· 3) Për një matricë katrore të rendit të n-të, r(A) = n nëse dhe vetëm nëse matrica A është jo njëjës.

· Në rastin e përgjithshëm, përcaktimi i renditjes së një matrice duke numëruar të gjithë të miturit është mjaft punë intensive. Për të lehtësuar këtë detyrë, përdoren transformime elementare që ruajnë gradën e matricës:

· 1) Hedhja e rreshtit (kolonës) zero.

· 2) Shumëzimi i të gjithë elementëve të një rreshti (kolone) të një matrice me një numër që nuk është i barabartë me zero.

· 3) Ndryshimi i renditjes së rreshtave (kolonave) të matricës.

· 4) Shtimi i secilit element të një rreshti (kolone) të elementeve përkatës të një rreshti (kolone) tjetër, të shumëzuar me çdo numër.

· 5) Transpozimi i matricës.

· Teorema. Rangu i matricës nuk do të ndryshojë me transformimet elementare të matricës.

№31

Le të jetë numri i ekuacioneve të sistemit (1) me numrin e ndryshoreve, d.m.th. m=n. Atëherë matrica e sistemit është katror, dhe përcaktorja e saj Δ=│A│ quhet përcaktor i sistemit.

Supozoni se │A│ nuk është e barabartë me zero, atëherë ekziston një matricë e kundërt A -1.

Duke shumëzuar në të majtë të dy anët e barazisë së matricës me matricën e kundërt A -1 marrim:

A -1 (AX) = A -1 V.

Zgjidhja e sistemit të ekuacioneve duke përdorur metodën e matricës së kundërt është matrica e kolonës:

X= A -1 V.

(A -1 A)X =EX =X

Teorema e Kramerit. Le të jetë Δ përcaktori i matricës së sistemit A dhe Δ j përcaktuesi i matricës që përftohet nga matrica duke zëvendësuar kolonën j me një kolonë me terma të lirë. Atëherë nëse Δ nuk është e barabartë me zero, atëherë sistemi ka një zgjidhje unike, të përcaktuar nga formulat e Cramer:

ku j=1..n.

№33

Metoda e Gausit - metoda eliminimi sekuencial variablat - qëndron në faktin se me ndihmën e shndërrimeve elementare sistemi i ekuacioneve reduktohet në një sistem ekuivalent të formës hapore ose trekëndore.

Konsideroni matricën:

kjo matricë quhet matricë e zgjeruar e sistemit (1), pasi përveç matricës së sistemit A, ajo përfshin gjithashtu një kolonë me terma të lirë.

№26

Një vektor N-dimensionale është një koleksion i renditur prej n numra realë, shkruar në formën X = (x 1, x 2,...x n), ku x i – komponenti i-të vektori X.

Dy vektorë n-dimensionale janë të barabartë nëse dhe vetëm nëse komponentët e tyre përkatës janë të barabartë, d.m.th. X=Y, nëse x i =y i, i=1…n.

Bashkësia e vektorëve me komponentë realë, në të cilën përcaktohen veprimet e mbledhjes së vektorëve dhe të shumëzimit të një vektori me një numër që plotëson vetitë e mësipërme, quhet hapësirë vektoriale.

Një hapësirë vektoriale R quhet n-dimensionale nëse përmban n lineare vektorë të pavarur, dhe çdo vektor n+1 është tashmë i varur. Numri n quhet dimensioni i hapësirës vektoriale R dhe shënohet me dim(R).

№29

Operatorët linearë

Përkufizimi. Nëse jepet një ligj (rregull) sipas të cilit çdo vektor x i hapësirës shoqërohet me një vektor të vetëm y të hapësirës

atëherë thonë: se është dhënë një operator (transformim, hartëzimi) A(x), që vepron nga deri dhe

shkruani y=A(x).

Një operator quhet linear nëse për çdo vektor x dhe y në hapësirë

dhe çdo numër λ, relacionet e mëposhtme janë:

№37

Le të jetë A një grup i përbërë nga numër i kufizuar elementet a 1, a 2, a 3…a n. Nga elemente të ndryshme grupet A mund të formohen në grupe. Nëse secili grup përmban të njëjtin numër elementesh m (m nga n), atëherë thuhet se ata formojnë përbërje të n elementeve me m në secilin. Ekzistojnë tre lloje të lidhjeve: vendosjet, kombinimet dhe permutacionet.

lidhjet, secila prej të cilave përmban të gjitha n elementet e grupit A dhe që, për rrjedhojë, ndryshojnë nga njëri-tjetri vetëm për nga renditja e elementeve quhen ndërrime të n elementeve. Numri i permutacioneve të tilla shënohet me simbolin Pn.

№35

Përkufizimi klasik i probabilitetit bazohet në konceptin e probabilitetit të barabartë të ngjarjeve.

Mundësia e barabartë e ngjarjeve do të thotë se nuk ka arsye për të preferuar njërën prej tyre ndaj të tjerëve.

Konsideroni një provë që mund të rezultojë në ndodhjen e ngjarjes A. Çdo rezultat në të cilin ndodh ngjarja A quhet i favorshëm për ngjarjen A.

Probabiliteti i ngjarjes A (e shënuar me P(A)) është raporti i numrit të rezultateve, ngjarje e favorshme A (shënohet me k), në numrin e të gjitha rezultateve të testit - N d.m.th. P(A)= k/ N.

Nga përkufizimi klasik probabiliteti nënkupton vetitë e mëposhtme:

Probabiliteti i ndonjë ngjarjeje qëndron ndërmjet zeros dhe një.

Probabiliteti i një ngjarjeje të besueshme është i barabartë me një.

Probabiliteti i një ngjarje të pamundur është zero

№39, 40

Teorema e mbledhjes. Nëse A dhe B janë të papajtueshme, atëherë P(A + B) = P(A) + P(B)

Përgjigje: VETITË 1. Vlera e përcaktorit nuk do të ndryshojë nëse të gjitha rreshtat e tij zëvendësohen me kolona, dhe çdo rresht zëvendësohet me një kolonë me të njëjtin numër, d.m.th.

VETITË 2. Rirregullimi i dy kolonave ose i dy rreshtave të një përcaktori është i barabartë me shumëzimin e tij me -1. Për shembull,

VETITË 3. Nëse një përcaktor ka dy kolona identike ose dy rreshta identikë, atëherë është e barabartë me zero VETINA 4. Shumëzimi i të gjithë elementëve të një kolone ose një rreshti të përcaktorit me çdo numër k është ekuivalent me shumëzimin e përcaktorit me këtë numër. k. Për shembull,

VETITË 5. Nëse të gjithë elementët e një kolone ose të ndonjë rreshti të caktuar janë të barabartë me zero, atëherë vetë përcaktorja është e barabartë me zero. Kjo pronë është rast i veçantë ai i mëparshmi (për k=0 VETITË 6. Nëse elementet përkatëse të dy kolonave ose dy rreshtave të përcaktorit janë proporcionale, atëherë përcaktorja është e barabartë me zero 7. Nëse çdo element i kolonës së n-të ose rreshtit të n-të). i përcaktorit është shuma e dy termave, atëherë përcaktorja mund të paraqitet si shumë e dy përcaktorëve, nga të cilët njëri në kolonën e nëntë ose, përkatësisht, në rreshtin e ntë ka të parin nga termat e përmendur, dhe tjetri ka i dyti; elementet që qëndrojnë në vendet e mbetura janë të njëjta për piketat e tre përcaktuesve. Për shembull,

VETITË 8. Nëse elementeve të një kolone të caktuar (ose ndonjë rreshti) u shtojmë elementet përkatëse të një kolone tjetër (ose një rreshti tjetër), shumëzuar me ndonjë shumëzues i përbashkët, atëherë vlera e përcaktorit nuk do të ndryshojë. Për shembull,

Vetitë e mëtejshme të përcaktorëve lidhen me konceptin e komplementit algjebrik dhe minorit. Minorja e disa elementeve është përcaktor i marrë nga dhënë nga duke kryqëzuar rreshtin dhe kolonën në kryqëzimin e të cilave ndodhet ky element Komplementi algjebrik i çdo elementi të përcaktorit është i barabartë me minorin e këtij elementi, marrë me shenjën e tij, nëse shuma e numrave të rreshtit dhe kolona në kryqëzimin e së cilës ndodhet elementi është një numër çift, dhe me shenjën e kundërt, nëse ky numër është tek, plotësimin algjebrik të një elementi do ta shënojmë me një shkronjë të madhe me të njëjtin emër dhe me të njëjtin numër. shkronja që shënon vet elementin 9. Përcaktor

është e barabartë me shumën e prodhimeve të elementeve të çdo kolone (ose rreshti) nga plotësimet e tyre algjebrike.

Përcaktues. Ky është një polinom që kombinon elementet e një matrice katrore në atë mënyrë që vlera e saj të ruhet nën transpozimin dhe kombinimet lineare të rreshtave ose kolonave, domethënë, përcaktori karakterizon përmbajtjen e matricës. Në veçanti, nëse një matricë ka rreshta ose kolona të varura në mënyrë lineare, përcaktori është i barabartë me zero rol kyç në zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve lineare në formë të përgjithshme, konceptet bazë janë futur mbi bazën e saj matrica A shënohet si: det(A), | ose Δ(A).

5. Matricë njëjës. Matrica e anasjelltë, vetitë e saj, llogaritja, teorema e ekzistencës.

Përgjigje: Një matricë katrore A quhet matricë e degjeneruar, e veçantë (njëjës) nëse përcaktorja e saj (Δ) është e barabartë me zero. Përndryshe, matrica A thuhet të jetë jo njëjës.

Le të shqyrtojmë problemin e përcaktimit të veprimit të anasjelltë të shumëzimit të matricës.

Le të jetë një matricë katrore e rendit. Një matricë që, së bashku me një matricë të dhënë, plotëson barazitë e mëposhtme:

quhet anasjelltas. Një matricë quhet e kthyeshme nëse ka një invers për të, përndryshe është e pakthyeshme.

Nga përkufizimi del se nëse ekziston një matricë e kundërt, atëherë ajo është katrore e rendit të njëjtë si. Megjithatë, jo çdo matricë katrore ka një të kundërt. Nëse përcaktori i një matrice është zero, atëherë nuk ka të kundërt për të. Në fakt, duke zbatuar teoremën mbi përcaktuesin e produktit të matricave për matricën e identitetit marrim një kontradiktë

meqenëse përcaktori i matricës së identitetit është i barabartë me 1. Rezulton se përcaktorja jozero e një matrice katrore është kushti i vetëm për ekzistencën e një matrice të anasjelltë. Kujtojmë se një matricë katrore, përcaktorja e së cilës është e barabartë me zero quhet njëjës (njëjës), përndryshe, quhet jo e degjeneruar (jo njëjës).

Teorema 4.1 mbi ekzistencën dhe veçantinë e matricës së kundërt. Një matricë katrore, përcaktori i së cilës është jozero, ka një matricë të kundërt dhe vetëm një:

ku është matrica e transpozuar për një matricë të përbërë nga plotësime algjebrike të elementeve të matricës.

Një matricë quhet një matricë e bashkuar në lidhje me një matricë.

Në fakt, matrica ekziston në kushte. Duhet të tregohet se është e kundërta e, d.m.th. plotëson dy kushte:

Le të vërtetojmë barazinë e parë. Sipas paragrafit 4 të vërejtjeve 2.3, nga vetitë e përcaktorit del se . Kjo është arsyeja pse

që është ajo që duhej treguar. Barazia e dytë vërtetohet në mënyrë të ngjashme. Prandaj, nën kushtin që matrica ka një invers

Ne do të vërtetojmë veçantinë e matricës së kundërt me kontradiktë. Supozoni se përveç matricës ekziston një matricë tjetër e kundërt sikurse. Duke shumëzuar të dyja anët e kësaj barazie nga e majta me matricën, marrim . Prandaj, gjë që bie ndesh me supozimin. Prandaj, matrica e anasjelltë është unike.

Shënimet 4.1

1. Nga përkufizimi del se matricat janë të ndërrueshme.

2. Inversi i një matrice diagonale jo njëjës është gjithashtu diagonale:

3. Anasjellta e një matrice trekëndore të poshtme (të sipërme) jo njëjës është trekëndore e poshtme (e sipërme).

4. Matricat elementare kanë inverse, të cilat janë gjithashtu elementare (shih paragrafin 1 të vërejtjeve 1.11).

Vetitë e një matrice të anasjelltë

Operacioni i përmbysjes së matricës ka vetitë e mëposhtme:

nëse veprimet e specifikuara në barazitë 1-4 kanë kuptim.

Le të vërtetojmë vetinë 2: nëse prodhimi i matricave katrore jo njëjës të të njëjtit rend ka një matricë të anasjelltë, atëherë.

Në të vërtetë, përcaktori i prodhimit të matricave nuk është i barabartë me zero, pasi

Prandaj, matrica e anasjelltë ekziston dhe është unike. Le të tregojmë me përkufizim se një matricë është e anasjellta e një matrice. Vërtet:

Veçantia e matricës së kundërt nënkupton barazinë . Prona e dytë është vërtetuar. Pronat e mbetura vërtetohen në mënyrë të ngjashme.

Shënimet 4.2

1. Për një matricë komplekse, vlen një barazi e ngjashme me vetinë 3:

Ku është operacioni i konjugimit të matricës.

2. Operacioni i përmbysjes së matricës ju lejon të përcaktoni të gjithë shkallë negative matricat. Për matricë jo njëjës dhe çdo numër natyror që përcaktojmë .

6.sistemet e ekuacioneve lineare. Koeficientët për terma të panjohur, të lirë. Zgjidhja e një sistemi ekuacionesh lineare. Pajtueshmëria e një sistemi ekuacionesh lineare. Sistemi linear ekuacionet homogjene dhe veçoritë e tij.

Përgjigje: Një sistem ekuacionesh algjebrike lineare që përmban m ekuacione dhe n të panjohura quhet sistem i formës

ku numrat a ij quhen koeficientë të sistemit, numrat b i quhen terma të lirë. Duhet të gjenden numrat x n.

Është i përshtatshëm për të shkruar një sistem të tillë në një formë matrice kompakte

Këtu A është matrica e koeficientëve të sistemit, e quajtur matrica kryesore;

Vektori i kolonës së të panjohurave x j.

Vektori i kolonës së termave të lirë b i.

Prodhimi i matricave A*X përcaktohet, pasi ka po aq kolona në matricën A sa ka rreshta në matricën X (n copë).

Matrica e zgjeruar e një sistemi është matrica A e sistemit, e plotësuar nga një kolonë me terma të lirë

Zgjidhja e sistemit është n vlera të të panjohurave x 1 =c 1, x 2 =c 2, ..., x n =c n, me zëvendësimin e të cilave të gjitha ekuacionet e sistemit kthehen në barazi të vërteta. Çdo zgjidhje e sistemit mund të shkruhet si një matricë kolone

Një sistem ekuacionesh quhet konsistent nëse ka të paktën një zgjidhje dhe jokonsistent nëse nuk ka asnjë zgjidhje.

Një sistem konsistent quhet i përcaktuar nëse ka një zgjidhje të vetme dhe i pacaktuar nëse ka më shumë se një zgjidhje. Në rastin e fundit, secila prej zgjidhjeve të saj quhet një zgjidhje e veçantë e sistemit. Bashkësia e të gjitha zgjidhjeve të veçanta quhet zgjidhje e përgjithshme.

Zgjidhja e një sistemi do të thotë të zbulosh nëse është i pajtueshëm apo jo konsistent. Nëse sistemi është konsistent, gjeni zgjidhjen e tij të përgjithshme.

Dy sisteme quhen ekuivalente (ekuivalente) nëse kanë të njëjtën zgjidhje të përgjithshme. Me fjalë të tjera, sistemet janë ekuivalente nëse çdo zgjidhje e njërës prej tyre është zgjidhje e tjetrës dhe anasjelltas.

Sistemet ekuivalente fitohen, në veçanti, nga transformimet elementare të sistemit, me kusht që shndërrimet të kryhen vetëm në rreshtat e matricës.

Një sistem ekuacionesh lineare quhet homogjen nëse të gjithë termat e lirë janë të barabartë me zero:

Një sistem homogjen është gjithmonë konsistent, pasi x 1 =x 2 =x 3 =...=x n =0 është një zgjidhje për sistemin. Kjo zgjidhje quhet zero ose e parëndësishme.

4.2. Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve lineare.

Teorema Kronecker-Capelli

Le të jepet një sistem arbitrar prej n ekuacionesh lineare me n të panjohura

Një përgjigje gjithëpërfshirëse për pyetjen e përputhshmërisë së këtij sistemi jepet nga teorema Kronecker-Capelli.

Teorema 4.1. Një sistem ekuacionesh algjebrike lineare është i qëndrueshëm nëse dhe vetëm nëse rangu i matricës së zgjeruar të sistemit është i barabartë me gradën e matricës kryesore.

Le ta pranojmë pa prova.

Rregullat për kërkimin praktik për të gjitha zgjidhjet e një sistemi të njëkohshëm ekuacionesh lineare rrjedhin nga teoremat e mëposhtme.

Teorema 4.2. Nëse rangu i një sistemi të përbashkët është i barabartë me numrin e të panjohurave, atëherë sistemi ka një zgjidhje unike.

Teorema 4.3. Nëse rangu i sistemit të përbashkët më pak numër të panjohura, atëherë sistemi ka një numër të pafund zgjidhjesh.

Rregulla e vendimit sistemi arbitrar ekuacionet lineare

1. Gjeni radhët e matricave kryesore dhe të zgjeruara të sistemit. Nëse r(A)≠r(A), atëherë sistemi është i paqëndrueshëm.

2. Nëse r(A)=r(A)=r, sistemi është konsistent. Gjeni ndonjë bazë e vogël urdhëri r (kujtesë: i mituri rendi i të cilit përcakton gradën e matricës quhet bazë). Merrni r ekuacione, koeficientët e të cilëve përbëjnë bazën minore (fshini ekuacionet e mbetura). Të panjohurat koeficientët e të cilëve përfshihen në bazë minor quhen kryesore dhe lihen në të majtë, dhe të panjohurat e mbetura n-r quhen të lira dhe transferohen në anët e djathta të ekuacioneve.

3. Gjeni shprehje të të panjohurave kryesore përsa i përket atyre të lira. Përftohet një zgjidhje e përgjithshme e sistemit.

4. Duke u dhënë vlera arbitrare të panjohurave të lira, marrim vlerat përkatëse të të panjohurave kryesore. Në këtë mënyrë, mund të gjenden zgjidhje të pjesshme për sistemin origjinal të ekuacioneve.

Shembulli 4.1.

4.3 Zgjidhja e sistemeve lineare jo të degjeneruara. Formulat e Cramer-it

Le të jepet një sistem prej n ekuacionesh lineare me n të panjohura

(4.1)

ose në formën e matricës A*X=B.

Matrica kryesore A e një sistemi të tillë është katror. Përcaktori i kësaj matrice

quhet përcaktor i sistemit. Nëse përcaktori i sistemit është i ndryshëm nga zero, atëherë sistemi quhet jo i degjeneruar.

Le të gjejmë zgjidhjen e këtij sistemi ekuacionesh në rastin e

Duke shumëzuar të dyja anët e ekuacionit A*X=B në të majtë me matricën A -1, marrim

A -1 *A*X=A -1 *B Që. A -1 *A=E dhe E*X=X, atëherë

Gjetja e një zgjidhjeje për sistemin duke përdorur formulën (4.1) quhet metoda matricore e zgjidhjes së sistemit.

Barazinë e matricës (4.1) e shkruajmë në formë

Nga kjo rrjedh se

Por ka një zbërthim të përcaktorit

sipas elementeve të kolonës së parë. Përcaktori  fitohet nga përcaktorja duke zëvendësuar kolonën e parë të koeficientëve me një kolonë termash bedel. Kështu që,

Po kështu:

ku 2 fitohet nga  duke zëvendësuar kolonën e dytë të koeficientëve me një kolonë termash bedel:

quhen formulat e Cramer-it.

Pra, një sistem jo i degjeneruar prej n ekuacionesh lineare me n të panjohura ka një zgjidhje unike që mund të gjendet me metodën e matricës (4.1) ose duke përdorur formulat Cramer (4.2).

Shembulli 4.3.

4.4 Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve lineare duke përdorur metodën Gaussian

Një nga metodat më universale dhe më efektive për zgjidhjen e sistemeve algjebrike lineare është metoda e Gausit, e cila konsiston në eliminimin sekuencial të të panjohurave.

Le të jepet një sistem ekuacionesh

Procesi i zgjidhjes Gaussian përbëhet nga dy faza. Në fazën e parë (goditja e drejtpërdrejtë), sistemi reduktohet në një formë të shkallëzuar (në veçanti, trekëndore).

Sistemi i mëposhtëm është në formë hapi

Koeficientët aii quhen elementet kryesore të sistemit.

Në fazën e dytë (e kundërt) ka një përcaktim sekuencial të të panjohurave nga ky sistem hap pas hapi.

Le të përshkruajmë metodën e Gausit në më shumë detaje.

Le të transformojmë sistemin (4.3), duke eliminuar të panjohurën x1 në të gjitha ekuacionet përveç të parit (duke përdorur transformimet elementare të sistemit). Për ta bërë këtë, ne i shumëzojmë të dyja anët e ekuacionit të parë me dhe i shtojmë ato term pas termi me ekuacionin e dytë të sistemit. Më pas i shumëzojmë të dyja anët e ekuacionit të parë dhe i shtojmë në ekuacionin e tretë të sistemit. Duke vazhduar këtë proces, marrim sistemin ekuivalent

Këtu janë vlerat e reja të koeficientëve dhe anëve të djathtë, të cilat merren pas hapit të parë.

Në mënyrë të ngjashme, duke marrë parasysh elementin kryesor, ne përjashtojmë të panjohurën x 2 nga të gjitha ekuacionet e sistemit, përveç të parës dhe të dytës, e kështu me radhë. Ne vazhdojmë këtë proces për aq kohë sa të jetë e mundur.

Nëse, në procesin e reduktimit të sistemit (4.3) në një formë hap pas hapi, shfaqen ekuacione zero, d.m.th., barazime të formës 0 = 0, ato hidhen poshtë nëse shfaqet një ekuacion i formës atëherë kjo tregon për papajtueshmërinë e sistemit.

Faza e dytë (e kundërta) është zgjidhja e sistemit të hapave. Një sistem hap pas hapi ekuacionesh, në përgjithësi, ka një numër të pafund zgjidhjesh Në ekuacionin e fundit të këtij sistemi ne shprehim të panjohurën e parë x k përmes të panjohurave të mbetura (x k+ 1,…,x n). Pastaj e zëvendësojmë vlerën x k në ekuacionin e parafundit të sistemit dhe shprehim x k-1 deri në (x k+ 1,…,x n). , pastaj gjeni x k-2 ,…,x 1. . Dhënia e të panjohurave të lira (x k+ 1,…,x n). vlera arbitrare, marrim një numër të pafund zgjidhjesh për sistemin.

Shënime:

1. Nëse sistemi i hapave rezulton të jetë trekëndësh, pra k=n, atëherë sistemi origjinal ka një zgjidhje unike. Nga ekuacioni i fundit gjejmë x n nga ekuacioni i parafundit x n-1, pastaj duke u ngjitur nëpër sistem, gjejmë të gjitha të panjohurat e tjera (x n-1,...,x 1).

2. Në praktikë, është më e përshtatshme të punohet jo me sistemin (4.3), por me matricën e tij të zgjeruar, duke kryer të gjitha transformimet elementare në rreshtat e tij. Është e përshtatshme që koeficienti a 11 të jetë i barabartë me 1 (rirregulloni ekuacionet ose ndani të dyja anët e ekuacionit me një 11 1).

Shembulli 4.4.

Zgjidhja: Si rezultat i transformimeve elementare mbi matricën e zgjeruar të sistemit

sistemi origjinal u reduktua në një sistem hap pas hapi:

Prandaj, zgjidhja e përgjithshme e sistemit: x 2 =5x 4 -13x 3 -3;x 1 =5x 4 -8x 3 -1 Nëse vendosim, për shembull, x 3 =0,x 4 =0, atëherë do të gjeni një nga zgjidhjet e veçanta të këtij sistemi x 1 =-1.x 2 =-3.x 3 =0.x 4 =0.

Shembulli 4.5.

Zgjidheni sistemin duke përdorur metodën Gaussian:

Zgjidhja: Le të bëjmë transformime elementare në vijat e matricës së zgjeruar të sistemit:

Matrica që rezulton korrespondon me sistemin

Duke kryer lëvizjen e kundërt, gjejmë x 3 =1, x 2 =1, x 1 =1.

4.5 Sistemet e ekuacioneve homogjene lineare

Le të jepet një sistem ekuacionesh homogjene lineare

Është e qartë se një sistem homogjen është gjithmonë konsistent ai ka një zgjidhje zero (të parëndësishme) x 1 =x 2 =x 3 =...=x n =0.

Në cilat kushte një sistem homogjen ka zgjidhje jo zero?

Teorema 4.4. Në mënyrë që një sistem ekuacionesh homogjene të ketë zgjidhje jo zero, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që rangu r i matricës së tij kryesore të jetë më i vogël se numri n i të panjohurave, d.m.th.

Domosdoshmëri.

Meqenëse renditja nuk mund të tejkalojë madhësinë e matricës, atëherë, padyshim, r<=n. Пусть r=n. Тогда один из минеров размера nхn отличен от нуля. Поэтому соответствующаясистема линейных уравнений имеет единственное решение:

Kjo do të thotë se nuk ka zgjidhje të tjera përveç atyre të parëndësishme. Pra, nëse ka një zgjidhje jo të parëndësishme, atëherë r

Përshtatshmëria:

Le të r

Teorema 4.5. Që një sistem homogjen prej n ekuacionesh lineare me n të panjohura të ketë zgjidhje jo zero, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që përcaktorja e tij  të jetë e barabartë me zero, pra =0.

Nëse sistemi ka zgjidhje jo zero, atëherë =0. Sepse në 0 sistemi ka vetëm një zgjidhje të vetme, zero. Nëse =0, atëherë rangu r i matricës kryesore të sistemit është më i vogël se numri i të panjohurave, d.m.th. r

Shembulli 4.6.

Zgjidheni sistemin

Duke vendosur x 3 =0, marrim një zgjidhje të veçantë: x 1 =0, x 2 =0, x 3 =0. Duke vendosur x 3 = 1, marrim zgjidhjen e dytë të veçantë: x 1 =2, x 2 =3, x 3 =1, etj.

Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Lëkundjet harmonike Formula e fizikës së frekuencës së lëkundjeve