Çfarë do të thotë shkronja e në një numër? Shtim në realitet

Numri "e" është një nga konstantat më të rëndësishme matematikore për të cilën të gjithë kanë dëgjuar. mësimet e shkollës matematikë. Concepture boton një ese popullore, të shkruar nga një humanist për humanistët, në të cilën gjuhë e aksesueshme do të tregojë pse dhe pse ekziston numri i Euler-it.

Çfarë kanë të përbashkët paratë tona dhe numri i Euler-it?

Ndërsa numri π (pi) ka një shumë të caktuar kuptimi gjeometrik dhe është përdorur nga matematikanët e lashtë, pastaj numri e(Numri i Euler-it) zuri vendin e tij të merituar në shkencë relativisht kohët e fundit dhe rrënjët e tij shkojnë drejt... te çështjet financiare.

Ka kaluar shumë pak kohë që nga shpikja e parasë, kur njerëzit kuptuan se valuta mund të huazohej ose jepej hua me një normë të caktuar interesi. Natyrisht, biznesmenët "të lashtë" nuk përdorën konceptin e njohur të "përqindjes", por një rritje e shumës me një tregues të caktuar gjatë një periudhe të caktuar kohore ishte e njohur për ta.

Në foto: një kartëmonedhë me vlerë 10 franga me imazhin e Leonhard Euler (1707-1783).

Ne nuk do të thellohemi në shembullin me 20% në vit, pasi kërkon shumë kohë për të arritur nga atje në numrin Euler. Le të përdorim shpjegimin më të zakonshëm dhe të qartë të kuptimit të kësaj konstante, dhe për këtë do të duhet të imagjinojmë pak dhe të imagjinojmë se një bankë po na ofron të vendosim para në depozitë me 100% në vit.

Eksperiment mendim-financiar

Për këtë eksperiment mendimi ju mund të merrni çdo sasi dhe rezultati do të jetë gjithmonë identik, por duke filluar nga 1, ne mund të vijmë drejtpërdrejt në vlerën e parë të përafërt të numrit e. Prandaj, le të themi se investojmë 1 dollar në bankë, me një normë 100% në vit në fund të vitit do të kemi 2 dollarë.

Por kjo vetëm nëse interesi kapitalizohet (shtohet) një herë në vit. Po sikur të kapitalizojnë dy herë në vit? Domethënë, 50% do të grumbullohet çdo gjashtë muaj, dhe 50% e dytë nuk do të grumbullohet më nga shuma fillestare, por nga shuma e rritur me 50% të parë. A do të jetë më fitimprurëse kjo për ne?

Infografik vizual që tregon kuptimin gjeometrik të numrit π .

Sigurisht që do. Me kapitalizim dy herë në vit, pas gjashtë muajsh do të kemi 1.50 dollarë në llogari. Deri në fund të vitit, do të shtohen edhe 50% të 1,50 dollarëve, pra shuma totale do të jetë 2,25 dollarë. Çfarë do të ndodhë nëse kapitalizimi kryhet çdo muaj?

Ne do të kreditohemi 100/12% (d.m.th. afërsisht 8.(3)%) çdo muaj, gjë që do të rezultojë të jetë edhe më fitimprurëse - deri në fund të vitit do të kemi 2.61 dollarë. Formula e përgjithshme për të llogaritur shumën totale për një numër arbitrar kapitalizimi (n) në vit duket kështu:

Shuma totale = 1(1+1/n) n

Rezulton se me një vlerë prej n = 365 (d.m.th., nëse interesi ynë kapitalizohet çdo ditë), marrim këtë formulë: 1(1+1/365) 365 = 2,71 dollarë. Nga tekstet shkollore dhe librat e referencës dimë që e është afërsisht e barabartë me 2,71828, domethënë, duke marrë parasysh kapitalizimin ditor të kontributit tonë përrallor, tashmë i jemi afruar vlerës së përafërt të e, e cila tashmë është e mjaftueshme për shumë llogaritje.

Rritja e n mund të vazhdojë pafundësisht, dhe sa më e madhe vlera e saj, aq më saktë mund të llogarisim numrin e Euler-it, deri në numrin dhjetor që na nevojitet për ndonjë arsye.

Ky rregull, natyrisht, nuk kufizohet vetëm në interesat tona financiare. Konstantat matematikore janë larg nga "specialistët" - ato funksionojnë po aq mirë pavarësisht nga fusha e aplikimit. Prandaj, nëse gërmoni thellë, mund t'i gjeni pothuajse në çdo fushë të jetës.

Rezulton se numri e është diçka si një masë e të gjitha ndryshimeve dhe "gjuhës natyrore analiza matematikore" Në fund të fundit, "matan" është i lidhur ngushtë me konceptet e diferencimit dhe integrimit, dhe të dyja këto operacione kanë të bëjnë me ndryshime pafundësisht të vogla, të cilat karakterizohen në mënyrë të përsosur nga numri e .

Vetitë unike të numrit të Euler-it

Duke shqyrtuar shembullin më të kuptueshëm të një shpjegimi të ndërtimit të njërës prej formulave për llogaritjen e një numri e, le të shohim shkurtimisht disa pyetje të tjera që lidhen drejtpërdrejt me të. Dhe një prej tyre: çfarë është kaq unike për numrin Euler?

Në teori, absolutisht çdo konstantë matematikore është unike dhe secila ka historinë e vet, por, e shihni, pretendimi për titullin e gjuhës natyrore të analizës matematikore është një pretendim mjaft i rëndë.

Njëmijë vlerat e para të ϕ(n) për funksionin Euler.

Megjithatë, numri e ka arsye për këtë. Kur vizatoni funksionin y = e x, bëhet e qartë fakt mahnitës: jo vetëm y është e barabartë me e x, gradienti i lakores dhe sipërfaqja nën kurbë janë gjithashtu të barabarta me të njëjtin tregues. Kjo do të thotë, zona nën kurbë nga një vlerë e caktuar y në minus pafundësi.

Asnjë numër tjetër nuk mund të mburret me këtë. Për ne, humanistët (ose thjesht JO matematikanët), një deklaratë e tillë thotë pak, por vetë matematikanët pretendojnë se kjo është shumë e rëndësishme. Pse është e rëndësishme? Ne do të përpiqemi ta kuptojmë këtë çështje një herë tjetër.

Logaritmi si parakusht për numrin e Euler-it

Ndoshta dikush kujton nga shkolla se numri i Euler-it është gjithashtu baza e logaritmit natyror. Epo, kjo është në përputhje me natyrën e saj si masë e të gjitha ndryshimeve. Megjithatë, çfarë ka të bëjë Euler me të? Me ndershmëri, duhet të theksohet se e nganjëherë quhet edhe numri Napier, por pa Euler historia do të ishte e paplotë, si dhe pa përmendur logaritmet.

Shpikja e logaritmeve në shekullin e 17-të nga matematikani skocez John Napier u bë një nga ngjarjet kryesore historia e matematikës. Në kremtimin e përvjetorit të kësaj ngjarjeje, e cila u zhvillua në vitin 1914, Lord Moulton foli për të si vijon:

“Shpikja e logaritmeve ishte për botën shkencore si bubullima mes qiell të pastër. Asnjë punë e mëparshme nuk e çoi atë, nuk e parashikoi apo premtoi këtë zbulim. Ajo qëndron veçmas, ajo shpërthen nga mendimi njerëzor papritur, pa huazuar asgjë nga puna e mendjeve të tjera dhe pa ndjekur drejtimet tashmë të njohura të mendimit matematikor.”

Pierre-Simon Laplace, i famshëm Matematikan francez dhe astronomi e shprehu rëndësinë e këtij zbulimi edhe më dramatikisht: "Shpikja e logaritmeve, duke reduktuar orët e punës së mundimshme, dyfishoi jetën e astronomit." Çfarë ishte ajo që i bëri përshtypje kaq shumë Laplace? Dhe arsyeja është shumë e thjeshtë - logaritmet i kanë lejuar shkencëtarët të reduktojnë ndjeshëm kohën e shpenzuar zakonisht për llogaritjet e rënda.

Në përgjithësi, logaritmet thjeshtonin llogaritjet - ato i zhvendosën ato një nivel poshtë në shkallën e kompleksitetit. E thënë thjesht, në vend të shumëzimit dhe pjesëtimit, duhej të kryenim veprimet e mbledhjes dhe zbritjes. Dhe kjo është shumë më efektive.

e- baza e logaritmit natyror

Le ta marrim të mirëqenë se Napier ishte një pionier në fushën e logaritmeve - shpikësi i tyre. Së paku ai publikoi gjetjet e tij së pari. Në këtë rast, lind pyetja: cila është merita e Euler-it?

Është e thjeshtë - ai mund të quhet trashëgimtari ideologjik i Napier dhe njeriu që e solli veprën e jetës së shkencëtarit skocez në përfundimin e saj logaritmik (lexo logjik). Interesante, a është e mundur kjo?

Disa grafikë shumë të rëndësishëm të ndërtuar duke përdorur logaritmin natyror.

Më konkretisht, Euler nxori bazën e logaritmit natyror, i njohur tani si numri e ose numri i Euler-it. Për më tepër, ai e shkroi emrin e tij në historinë e shkencës më shumë herë sesa mund të ëndërronte Vasya, i cili, me sa duket, arriti të "vizitonte" kudo.

Fatkeqësisht, parimet specifike të punës me logaritme janë tema e një artikulli të veçantë të madh. Pra, tani për tani do të mjaftojë të themi se falë punës së një numri shkencëtarësh të përkushtuar, të cilët fjalë për fjalë i kushtuan vite të jetës së tyre përpilimit të tabelave logaritmike në një kohë kur askush nuk kishte dëgjuar ndonjëherë për makinat llogaritëse, përparimi i shkencës është përshpejtuar shumë. .

Në foto: John Napier - matematikan skocez, shpikësi i logaritmit (1550-1617.)

Është për të qeshur, por ky progres në fund të fundit çoi në vjetërsimin e këtyre tabelave dhe arsyeja për këtë ishte pikërisht ardhja e kalkulatorëve të dorës, të cilët morën plotësisht detyrën për të kryer këtë lloj llogaritjeje.

Ndoshta keni dëgjuar edhe për rregullat e rrëshqitjes? Njëherë e një kohë, inxhinierët ose matematikanët nuk mund të bënin pa to, por tani është pothuajse si një astrolab - mjet interesant, por më shumë për sa i përket historisë së shkencës sesa praktikës së përditshme.

Pse është kaq e rëndësishme të jesh baza e një logaritmi?

Rezulton se baza e logaritmit mund të jetë çdo numër (për shembull, 2 ose 10), por pikërisht sepse veti unike Numrat Euler nga logaritmi në bazë e i quajtur natyral. Është, si të thuash, i ndërtuar në strukturën e realitetit - nuk ka shpëtim prej tij dhe nuk ka nevojë, sepse thjeshton shumë jetën e shkencëtarëve që punojnë në fusha të ndryshme.

Le të japim një shpjegim të kuptueshëm të natyrës së logaritmit nga faqja e internetit e Pavel Berdov. Logaritmi në bazë a nga argumenti xështë fuqia në të cilën duhet të rritet numri a për të marrë numrin x. Grafikisht kjo tregohet si më poshtë:

log a x = b, ku a është baza, x është argumenti, b është ajo me çfarë logaritmi është i barabartë.

Për shembull, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (logaritmi bazë 2 i 8 është 3 sepse 2 3 = 8).

Më sipër pamë numrin 2 në imazhin e bazës së logaritmit, por matematikanët thonë se më së shumti aktor i talentuar Ky rol luhet nga numri Euler. Le të marrim fjalën e tyre për të... Dhe pastaj ta kontrollojmë për ta parë vetë.

konkluzione

Ndoshta është keq që është brenda arsimin e lartë aq fort të ndara janë të natyrshme dhe shkencat humane. Ndonjëherë kjo çon në shumë "anje" dhe rezulton se është absolutisht jo interesante të flasësh për tema të tjera me një person që është i përgatitur mirë, të themi, fizikën dhe matematikën.

Dhe anasjelltas, mund të jesh një specialist letrar i klasit të parë, por, në të njëjtën kohë, të jesh krejtësisht i pafuqishëm kur bëhet fjalë për të njëjtën fizikë dhe matematikë. Por të gjitha shkencat janë interesante në mënyrën e tyre.

Shpresojmë që ne, duke u përpjekur të kapërcejmë kufizimet tona brenda kornizës së programit të improvizuar "Unë jam humanist, por jam duke u trajtuar", ju kemi ndihmuar të mësoni dhe, më e rëndësishmja, të kuptoni diçka të re nga një fushë shkencore jo mjaft e njohur.

Epo, për ata që duan të mësojnë më shumë rreth numrit të Euler-it, ne mund të rekomandojmë disa burime që edhe një person larg matematikës mund t'i kuptojë nëse dëshiron: Eli Maor në librin e tij "e: historia e një numri" ") përshkruan në detaje. dhe qartë sfondi dhe historia e numrit të Euler-it.

Gjithashtu, në seksionin "Rekomanduar" nën këtë artikull mund të gjeni emrat e kanaleve në YouTube dhe videot që janë filmuar nga matematikanë profesionistë duke u përpjekur të shpjegojnë qartë numrin e Euler në mënyrë që të jenë të kuptueshme edhe për jo-specialistët.

Numri i Arkimedit

Çfarë është e barabartë me: 3.1415926535…Sot janë llogaritur deri në 1.24 trilion shifra dhjetore

Kur të festojmë ditën e pi- e vetmja konstante që ka festën e vet, madje dy. 14 Mars, ose 3.14, korrespondon me shifrat e para të numrit. Dhe 22 korriku, ose 7/22, nuk është gjë tjetër veçse një përafrim i përafërt i π si fraksion. Në universitete (për shembull, në Fakultetin e Mekanikës dhe Matematikës së Universitetit Shtetëror të Moskës), ata preferojnë të festojnë datën e parë: ndryshe nga 22 korriku, ajo nuk bie me pushime

Çfarë është pi? 3.14, numri nga detyrat e shkollës rreth rrathëve. Dhe në të njëjtën kohë - një nga numrat kryesorë në shkenca moderne. Fizikanët zakonisht kanë nevojë për π ku nuk ka fjalë për rrathët - le të themi, për të modeluar era diellore ose shpërthim. Numri π shfaqet në çdo ekuacion të dytë - mund të hapni tekstin shkollor fizikës teorike rastësisht dhe zgjidhni cilindo. Nëse nuk keni një libër shkollor, harta e botës do ta ketë. Lumi i zakonshëm me të gjitha thyerjet dhe kthesat e tij, ai është π herë më i gjatë se rruga e drejtë nga gryka e saj në burim.

Vetë hapësira është fajtore për këtë: është homogjene dhe simetrike. Kjo është arsyeja pse pjesa e përparme e valës së shpërthimit është një top, dhe gurët lënë rrathë në ujë. Kështu që π rezulton të jetë mjaft i përshtatshëm këtu.

Por e gjithë kjo vlen vetëm për hapësirën e njohur Euklidiane në të cilën jetojmë të gjithë. Nëse do të ishte jo-Euklidiane, simetria do të ishte e ndryshme. Dhe në një Univers fort të lakuar, π nuk luan më një rol të tillë. rol të rëndësishëm. Për shembull, në gjeometrinë e Lobachevsky, një rreth është katër herë më i gjatë se diametri i tij. Prandaj, lumenjtë ose shpërthimet e "hapësirës së shtrembër" do të kërkonin formula të tjera.

Numri π është aq i vjetër sa gjithë matematika: rreth 4 mijë. Pllakat më të vjetra sumere i japin një shifër 25/8, ose 3.125. Gabimi është më pak se një përqindje. Babilonasit nuk ishin veçanërisht të interesuar për matematikën abstrakte, kështu që ata nxorrën π në mënyrë empirike, thjesht duke matur gjatësinë e rrathëve. Nga rruga, ky është eksperimenti i parë në modelimin numerik të botës.

Më e hijshme nga formulat aritmetike për π më shumë se 600 vjet: π/4=1–1/3+1/5–1/7+... Aritmetika e thjeshtë ndihmon për të llogaritur π, dhe vetë π ndihmon për të kuptuar vetitë e thella të aritmetikës. Prandaj lidhja e saj me probabilitetet, numrat e thjeshtë dhe shumë të tjera: π, për shembull, është pjesë e "funksionit të gabimit" të njohur, i cili funksionon në mënyrë të barabartë në kazino dhe midis sociologëve.

Ekziston edhe një mënyrë "probabiliste" për të numëruar vetë konstantën. Së pari, duhet të rezervoni një qese me gjilpëra. Së dyti, hidhini ato, pa synuar, në dysheme, të veshura me shkumës në shirita me gjerësinë e një igloo. Më pas, kur çanta të jetë bosh, pjesëtoni numrin e atyre të hedhura me numrin e atyre që kaluan vijat e shkumës - dhe merrni π/2.

Kaos

Konstante Feigenbaum

Çfarë është e barabartë me: 4,66920016…

Ku përdoret: Në teorinë e kaosit dhe katastrofave, me ndihmën e së cilës mund të përshkruani çdo fenomen - nga riprodhimi coli para zhvillimit të ekonomisë ruse

Kush e hapi dhe kur: fizikan amerikan Mitchell Feigenbaum në 1975. Ndryshe nga shumica e zbuluesve të tjerë të konstanteve (Arkimedi, për shembull), ai është gjallë dhe jep mësim në Universitetin prestigjioz Rockefeller.

Kur dhe si të festojmë Ditën δ: Para pastrimit të përgjithshëm

Çfarë kanë të përbashkët brokoli, flokët e borës dhe pema e Krishtlindjes? Fakti që detajet e tyre në miniaturë përsërisin të tërën. Objekte të tilla, të rregulluara si një kukull fole, quhen fraktale.

Fraktalet dalin nga kaosi, si një foto në një kaleidoskop. Në vitin 1975, matematikani Mitchell Feigenbaum u interesua jo për vetë modelet, por për proceset kaotike që shkaktojnë shfaqjen e tyre.

Feigenbaum studioi demografinë. Ai vërtetoi se lindja dhe vdekja e njerëzve mund të modelohen edhe sipas ligjeve fraktale. Kjo ishte kur ai mori këtë δ. Konstanta doli të jetë universale: gjendet në përshkrimin e qindra proceseve të tjera kaotike, nga aerodinamika në biologji.

Fraktali Mandelbrot (shih figurën) filloi një magjepsje të gjerë me këto objekte. Në teorinë e kaosit, ai luan afërsisht të njëjtin rol si një rreth në gjeometrinë e zakonshme, dhe numri δ në fakt përcakton formën e tij. Rezulton se kjo konstante është e njëjtë me π, vetëm për kaos.

Koha

Numri Napier

Çfarë është e barabartë me: 2,718281828…

Kush e hapi dhe kur: John Napier, matematikan skocez, në 1618. Ai nuk e përmendi vetë numrin, por ai ndërtoi tabelat e tij të logaritmeve në bazë të tij. Në të njëjtën kohë, Jacob Bernoulli, Leibniz, Huygens dhe Euler konsiderohen si kandidatë për autorët e konstantës. Ajo që dihet me siguri është se simboli e erdhi nga mbiemri

Kur dhe si të festohet dita elektronike: Pas shlyerjes së një kredie bankare

Numri e është gjithashtu një lloj dyfishi i π. Nëse π është përgjegjës për hapësirën, atëherë e është përgjegjëse për kohën, dhe gjithashtu manifestohet pothuajse kudo. Le të themi se radioaktiviteti i polonium-210 zvogëlohet me një faktor e gjatë jetëgjatësisë mesatare të një atomi, dhe guaska e një molusku Nautilus është një grafik i fuqive të e-së të mbështjellë rreth një boshti.

Numri e shfaqet gjithashtu aty ku natyra padyshim nuk ka asnjë lidhje me të. Një bankë që premton 1% në vit do të rrisë depozitën përafërsisht një herë gjatë 100 viteve. Për 0.1% dhe 1000 vjet rezultati do të jetë edhe më afër një konstante. Jacob Bernoulli, ekspert dhe teoricien lojërat e fatit, e nxori pikërisht në këtë mënyrë - duke folur për sa fitojnë huadhënësit.

Ashtu si π, e - numër transcendental. E thënë thjesht, nuk mund të shprehet me thyesa dhe rrënjë. Ekziston një hipotezë se numra të tillë në "bishtin" e pafund pas pikës dhjetore përmbajnë të gjitha kombinimet e mundshme të numrave. Për shembull, tekstin e këtij artikulli mund ta gjeni atje, të shkruar në kod binar.

Drita

Konstante e strukturës së imët

Çfarë është e barabartë me: 1/137,0369990…

Kush e hapi dhe kur: fizikan gjerman Arnold Sommerfeld, studentët e diplomuar të të cilit ishin dy laureat i Nobelit- Heisenberg dhe Pauli. Në vitin 1916, edhe para ardhjes së mekanikës kuantike reale, Sommerfeld prezantoi një konstante në një artikull të zakonshëm në lidhje me "strukturën e imët" të spektrit të atomit të hidrogjenit. Roli i konstantës u rimendua shpejt, por emri mbeti i njëjtë

Kur të festojmë ditën α: Në ditën e elektricistit

Shpejtësia e dritës është një vlerë e jashtëzakonshme. Ajnshtajni tregoi se as një trup dhe as një sinjal nuk mund të lëvizin më shpejt, qoftë grimcë, valë gravitacionale ose tingulli brenda yjeve.

Duket qartë se ky është një ligj me rëndësi universale. E megjithatë shpejtësia e dritës nuk është konstante themelore. Problemi është se nuk ka me çfarë të matet. Kilometrat në orë nuk do të bëjnë: një kilometër përkufizohet si distanca që përshkon drita në 1/299792.458 të sekondës, domethënë shprehet vetë në termat e shpejtësisë së dritës. Një standard i njehsorit të platinit nuk është gjithashtu një zgjidhje, sepse shpejtësia e dritës përfshihet gjithashtu në ekuacionet që përshkruajnë platinin në nivel mikro. Me një fjalë, nëse shpejtësia e dritës pa zhurma e panevojshme do të ndryshojë në të gjithë Universin, njerëzimi nuk do ta dijë për këtë.

Këtu fizikanët vijnë në ndihmë të sasisë me të cilën lidhet shpejtësia e dritës vetitë atomike. Konstanta α është "shpejtësia" e një elektroni në një atom hidrogjeni e ndarë me shpejtësinë e dritës. Është pa dimension, domethënë nuk është i lidhur me metra, as sekonda, as me ndonjë njësi tjetër.

Përveç shpejtësisë së dritës, formula për α përfshin gjithashtu ngarkesën e elektronit dhe konstanten e Plankut, një masë e "cilësisë kuantike" të botës. I njëjti problem shoqërohet me të dy konstantat - nuk ka asgjë për t'i krahasuar ato. Dhe së bashku, në formën e α, ato përfaqësojnë diçka si një garanci e qëndrueshmërisë së Universit.

Dikush mund të pyesë veten nëse α nuk ka ndryshuar që nga fillimi i kohës. Fizikanët pranojnë seriozisht një "defekt" që dikur arrinte të milionat e vlerës së tij aktuale. Po të kishte arritur në 4%, njerëzimi nuk do të kishte ekzistuar, sepse brenda yjeve do të kishte pushuar shkrirja termonukleare karboni, elementi kryesor i materies së gjallë.

Shtim në realitet

Njësi imagjinare

Çfarë është e barabartë me: √-1

Kush e hapi dhe kur: Matematikani italian Gerolamo Cardano, mik i Leonardo da Vinçit, në 1545. Boshti i makinës është emëruar pas tij. Sipas një versioni, Cardano vodhi zbulimin e tij nga Niccolò Tartaglia, një hartograf dhe bibliotekar oborr.

Kur të festojmë ditën i: 86 mars

Numri i nuk mund të quhet konstant apo edhe numër real. Tekstet shkollore e përshkruajnë atë si një sasi që, kur vihet në katror, jep minus një. Me fjalë të tjera, është ana e katrorit me sipërfaqe negative. Në realitet kjo nuk ndodh. Por ndonjëherë mund të përfitoni edhe nga joreale.

Historia e zbulimit të kësaj konstante është si më poshtë. Matematikani Gerolamo Cardano, gjatë zgjidhjes së ekuacioneve me kube, prezantoi njësinë imagjinare. Ky ishte vetëm një truk ndihmës - nuk kishte i në përgjigjet përfundimtare: rezultatet që e përmbanin u hodhën poshtë. Por më vonë, pasi i hodhën një vështrim më të afërt "mbeturinave" të tyre, matematikanët u përpoqën ta vënë në punë: duke shumëzuar dhe pjesëtuar numra të rregullt për njësi imagjinare, shtoni rezultatet me njëri-tjetrin dhe zëvendësojini ato në formula të reja. Kështu lindi teoria e numrave kompleks.

Ana negative është se "reale" nuk mund të krahasohet me "joreale": nuk do të funksionojë të thuhet se më e madhja është një njësi imagjinare ose 1. Nga ana tjetër, ekuacionet e pazgjidhshme, nëse përdorim numra komplekse, praktikisht nuk ka mbetur asnjë. Prandaj, me llogaritjet komplekse, është më i përshtatshëm të punosh me ta dhe të "pastroni" përgjigjet vetëm në fund. Për shembull, për të deshifruar një tomogram të trurit, nuk mund të bëni pa i.

Kjo është pikërisht mënyra se si fizikanët i trajtojnë fushat dhe valët. Ne madje mund të konsiderojmë se të gjitha ato ekzistojnë në një hapësirë komplekse dhe se ajo që shohim është vetëm një hije e proceseve "reale". Mekanika kuantike, ku edhe atomi edhe personi janë valë, e bën këtë interpretim edhe më bindës.

Numri i ju lejon të përmblidhni konstantet dhe veprimet kryesore matematikore në një formulë. Formula duket kështu: e πi +1 = 0, dhe disa thonë se një grup i tillë i kondensuar rregullash të matematikës mund t'u dërgohet alienëve për t'i bindur ata për inteligjencën tonë.

Mikrobotë

Masa protonike

Çfarë është e barabartë me: 1836,152…

Kush e hapi dhe kur: Ernest Rutherford, një fizikan nga Zelanda e Re, në 1918. 10 vjet më parë kam marrë Çmimin Nobel në kimi për studimin e radioaktivitetit: Rutherford zotëron konceptin e "gjysmë jetës" dhe vetë ekuacionet që përshkruajnë zbërthimin e izotopeve

Kur dhe si të festojmë Ditën μ: Në ditën e luftës mbipeshë, nëse futet një, ky është raporti i masave të dy grimcave elementare themelore, protonit dhe elektronit. Një proton nuk është gjë tjetër veçse bërthama e një atomi hidrogjeni, elementi më i bollshëm në Univers.

Ashtu si në rastin e shpejtësisë së dritës, nuk është vetë sasia ajo që është e rëndësishme, por ekuivalenti i saj pa dimension, i palidhur me asnjë njësi, domethënë sa herë është masa e një protoni më shumë masë elektron. Rezulton të jetë afërsisht 1836. Pa një ndryshim të tillë në "kategoritë e peshës" të grimcave të ngarkuara nuk do të kishte as molekula dhe as të ngurta. Megjithatë, atomet do të mbeten, por ata do të sillen krejtësisht ndryshe.

Ashtu si α, μ dyshohet për evolucion të ngadaltë. Fizikantët studiuan dritën e kuazarëve, e cila arriti tek ne pas 12 miliardë vjetësh, dhe zbuluan se protonet bëhen më të rënda me kalimin e kohës: ndryshimi midis parahistorisë dhe kuptimet moderneμ ishte 0,012%.

Materie e errët

Konstante kozmologjike

Çfarë është e barabartë me: 110-²³ g/m3

Kush e hapi dhe kur: Albert Einstein në 1915. Vetë Ajnshtajni e quajti zbulimin e tij "gafa e tij e madhe".

Kur dhe si të festojmë Ditën Λ:Çdo sekondë: Λ, sipas përkufizimit, është i pranishëm gjithmonë dhe kudo

Konstanta kozmologjike është më e mjegullnaja nga të gjitha sasitë me të cilat veprojnë astronomët. Nga njëra anë, shkencëtarët nuk janë plotësisht të sigurt për ekzistencën e tij, nga ana tjetër, ata janë të gatshëm ta përdorin atë për të shpjeguar se nga ka ardhur. shumica masë-energji në Univers.

Mund të themi se Λ plotëson konstantën e Hubble. Ato lidhen si shpejtësia dhe nxitimi. Nëse H përshkruan zgjerimin uniform të Universit, atëherë Λ është vazhdimisht duke përshpejtuar rritjen. Ai ishte i pari që e futi atë në ekuacione teori e përgjithshme relativiteti Ajnshtajni, kur ai dyshoi për një gabim. Formulat e tij tregonin se hapësira ose zgjerohej ose tkurej, gjë që ishte e vështirë të besohej. Një anëtar i ri ishte i nevojshëm për të eliminuar përfundimet që dukeshin të pabesueshme. Pas zbulimit të Hubble, Ajnshtajni braktisi konstanten e tij.

Lindja e dytë, në vitet '90 të shekullit të kaluar, konstantja i detyrohet idesë energji e errët, i “fshehur” tek të gjithë centimetër kub hapësirë. Siç rezulton nga vëzhgimet, energjia e një natyre të paqartë duhet të "shtyjë" hapësirën nga brenda. Përafërsisht, ky është një Big Bang mikroskopik, që ndodh çdo sekondë dhe kudo. Dendësia e energjisë së errët është Λ.

Hipoteza u konfirmua nga vëzhgimet e rrezatimi kozmik i sfondit të mikrovalës. Këto janë valë parahistorike të lindura në sekondat e para të ekzistencës së hapësirës. Astronomët i konsiderojnë ato si diçka si rrezet X, që shkëlqejnë nëpër Univers. "Imazhi me rreze X" tregoi se ka 74% energji të errët në botë - më shumë se çdo gjë tjetër. Megjithatë, duke qenë se është "lyer" në të gjithë hapësirën, rezulton të jetë vetëm 110-²³ gram për metër kub.

Shpërthim i madh

Konstante Hubble

Çfarë është e barabartë me: 77 km/s/mps

Kush e hapi dhe kur: Edwin Hubble, babai themelues i gjithë kozmologjisë moderne, në 1929. Pak më herët, në vitin 1925, ai ishte i pari që vërtetoi ekzistencën e galaktikave të tjera përtej rruga e qumështit. Bashkëautori i artikullit të parë që përmend konstantën e Hubble është një farë Milton Humason, një njeri pa arsim të lartë i cili ka punuar në observator si asistent laboratori. Humason zotëron fotografinë e parë të Plutonit, ende jo planet i hapur, për shkak të një defekti në pllakën fotografike, i injoruar

Kur dhe si të festojmë Ditën e H: 0 janar. Nga ky numër inekzistent kalendarët astronomikë Fillon numërimi mbrapsht i Vitit të Ri. Si dhe për vetë momentin shpërthim i madh, dihet pak për ngjarjet e 0 janarit, gjë që e bën festën dyfish të përshtatshme

Konstanta kryesore e kozmologjisë është një masë e shkallës me të cilën Universi zgjerohet si rezultat i Big Bengut. Si vetë ideja ashtu edhe konstantja H kthehen në përfundimet e Edwin Hubble. Galaktikat kudo në Univers shpërndahen nga njëra-tjetra dhe e bëjnë këtë aq më shpejt distancë më të gjatë mes tyre. Konstanta e famshme është thjesht faktori me të cilin distanca shumëzohet për të marrë shpejtësinë. Ndryshon me kalimin e kohës, por ngadalë.

Një pjesëtuar me H jep 13.8 miliardë vjet, koha që nga Big Bengu. Vetë Hubble ishte i pari që mori këtë shifër. Siç u vërtetua më vonë, metoda e Hubble nuk ishte plotësisht e saktë, por ishte akoma më pak se një përqind e gabuar kur krahasohej me të dhënat moderne. Gabimi i babait themelues të kozmologjisë ishte se ai e konsideroi numrin H konstant që nga fillimi i kohës.

Një sferë rreth Tokës me një rreze prej 13.8 miliardë vite dritë - shpejtësia e dritës e ndarë me konstantën e Hubble - quhet sfera e Hubble. Galaktikat përtej kufijve të saj duhet të "ikin" nga ne shpejtësi superluminale. Këtu nuk ka asnjë kontradiktë me teorinë e relativitetit: ia vlen të zgjidhni sistemi i duhur koordinon në hapësirë-kohë të lakuar, dhe problemi i shpejtësisë zhduket menjëherë. Prandaj, prapa sferës Hubble univers i dukshëm nuk përfundon, rrezja e saj është afërsisht tre herë më e madhe.

Graviteti

Masa e plankut

Çfarë është e barabartë me: 21,76… µg

Ku funksionon: Fizika e mikrobotës

Kush e hapi dhe kur: Max Planck, krijuesi i mekanikës kuantike, në 1899. Masa e Plankut është vetëm një nga një sërë sasish të propozuara nga Planck si një "sistem peshash dhe masash" për mikrokozmosin. Përkufizimi që përmend vrimat e zeza - dhe vetë teoria e gravitetit - u shfaq disa dekada më vonë.

Një lumë i zakonshëm me të gjitha kthesat dhe kthesat e tij është π herë më i gjatë se rruga e drejtë nga gryka e tij në burim.

Kur dhe si ta festojmë ditënmp: Në ditën e hapjes së Përplasësit të Madh të Hadronit: vrima të zeza mikroskopike do të krijohen atje

Jacob Bernoulli, një ekspert dhe teoricien i lojërave të fatit, e nxori këtë duke arsyetuar se sa fitonin huadhënësit.

Përputhja e teorive me fenomenet sipas madhësisë është një qasje popullore në shekullin e 20-të. Nëse grimcë elementare kërkon mekanikë kuantike, atëherë yll neutron- tashmë teoria e relativitetit. Dëmshmëria e një qëndrimi të tillë ndaj botës ishte e qartë që në fillim, por teori e unifikuar gjithçka nuk u krijua kurrë. Deri më tani, vetëm tre nga katër llojet themelore të ndërveprimit janë pajtuar - elektromagnetik, i fortë dhe i dobët. Graviteti është ende në mënjanë.

Korrigjimi i Ajnshtajnit është dendësia materie e errët, e cila shtyn hapësirën nga brenda

Masa e plankut - kufiri i kushtëzuar mes “të mëdha” dhe “të vogla”, pra vetëm midis teorisë së gravitetit dhe mekanika kuantike. Kjo është sa duhet të peshojë një vrimë e zezë, dimensionet e së cilës përkojnë me gjatësinë e valës që i korrespondon asaj si mikro-objekt. Paradoksi është se astrofizika e trajton kufirin e një vrime të zezë si një pengesë strikte përtej së cilës as informacioni, as drita, as materia nuk mund të depërtojnë. Dhe me pika kuantike Nga pamja, objekti i valës do të "lyhet" në mënyrë të barabartë në të gjithë hapësirën - dhe pengesa së bashku me të.

Masa Planck është masa e një larve mushkonjash. Por ndërsa kolapsi gravitacional nuk kërcënon mushkonjat, paradokset kuantike ata nuk do ta prekin atë

mp është një nga njësitë e pakta në mekanika kuantike, i cili duhet të përdoret për të matur objektet në botën tonë. Kjo është sa mund të peshojë një larvë mushkonjë. Një tjetër gjë është se për momentin kolapsi gravitacional mushkonja nuk është në rrezik, paradokset kuantike nuk do të ndikojnë në të.

Pafundësi

Numri i Grahamit

Çfarë është e barabartë me:

Kush e hapi dhe kur: Ronald Graham dhe Bruce Rothschild
në vitin 1971. Artikulli u botua me dy emra, por popullarizuesit vendosën të kursejnë letrën dhe lanë vetëm të parin

Kur dhe si të festojmë G-Day: Jo shumë shpejt, por për një kohë shumë të gjatë

Operacioni kryesor për këtë dizajn janë shigjetat e Knuth. 33 është tre në fuqinë e tretë. 33 është tre i ngritur në tre, i cili nga ana tjetër është ngritur në fuqinë e tretë, domethënë 3 27, ose 7625597484987. Tre shigjeta janë tashmë numri 37625597484987, ku tre janë në shkallë eksponentë të fuqisë përsëritet pikërisht atë shumë herë - 7625597484987 - herë. Është tashmë më shumë numër Ka vetëm 3168 atome në Univers. Dhe në formulën për numrin e Graham, nuk është as vetë rezultati që rritet me të njëjtin ritëm, por numri i shigjetave në çdo fazë të llogaritjes së tij.

Konstanta u shfaq në një problem abstrakt kombinator dhe la pas të gjitha sasitë që lidhen me madhësitë e tanishme ose të ardhshme të Universit, planetët, atomet dhe yjet. E cila, me sa duket, konfirmoi edhe një herë mendjelehtësinë e hapësirës në sfondin e matematikës, me anë të së cilës mund të kuptohet.

Ilustrimet: Varvara Alyai-Akatyeva

y (x) = e x, derivati i të cilit është i barabartë me vetë funksionin.

Eksponenti shënohet si , ose .

Numri e

Baza e shkallës së eksponentit është numri e. Ky është një numër irracional. Është afërsisht e barabartë
e ≈ 2,718281828459045...

Numri e përcaktohet përmes kufirit të sekuencës. Ky është i ashtuquajturi kufiri i dytë i mrekullueshëm:
.

Numri e mund të përfaqësohet gjithashtu si një seri:
.

Grafiku eksponencial

Grafiku eksponencial, y = e x.

Grafiku tregon eksponentin e deri në një shkallë X.
y (x) = e x
Grafiku tregon se eksponenti rritet në mënyrë monotonike.

Formulat

Formulat bazë njëjtë si për një funksion eksponencial me një bazë të shkallës e.

;
;
;

Shprehja e një funksioni eksponencial me një bazë arbitrare të shkallës a përmes një eksponenciale:
.

Vlerat private

Le të y (x) = e x.
.

Pastaj

Vetitë e eksponentit e > 1 .

Eksponenti ka vetitë e një funksioni eksponencial me bazë fuqie

Domeni, grup vlerash (x) = e x Eksponenti y
të përcaktuara për të gjitha x.
- ∞ < x + ∞ .
Fusha e përkufizimit të saj:
0 < y < + ∞ .

Shumë kuptime të tij:

Ekstreme, në rritje, në rënie

Eksponenciali është një funksion në rritje monotonike, kështu që nuk ka ekstreme. Karakteristikat e tij kryesore janë paraqitur në tabelë.

Funksioni i anasjelltë
;
.

Anasjellta e eksponentit është logaritmi natyror.

Derivati i eksponentit e deri në një shkallë X Derivat e deri në një shkallë X :
.
e barabartë me
.
Derivat i rendit të n-të:

Nxjerrja e formulave > > >

Integrale

Numrat kompleks Veprimet me numra kompleks kryhen duke përdorur:
,
formulat e Euler-it
.

ku është njësia imagjinare:

; ;
.

Shprehje duke përdorur funksione trigonometrike

; ;
;
.

Zgjerimi i serisë së energjisë

Literatura e përdorur:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual i matematikës për inxhinierë dhe studentë të kolegjit, "Lan", 2009.

Si diçka e parëndësishme. Kjo ndodhi në vitin 1618. Në shtojcën e punës së Napier-it mbi logaritmet, u dha një tabelë e logaritmeve natyrore të numrave të ndryshëm. Sidoqoftë, askush nuk e kuptoi se këto ishin logaritme të bazës, pasi koncepti i një logaritmi në atë kohë nuk përfshinte një gjë të tillë si bazë. Kjo është ajo që ne tani e quajmë logaritëm, fuqia në të cilën baza duhet të ngrihet për të marrë numrin e kërkuar. Ne do të kthehemi në këtë më vonë. Tabela në shtojcë ka shumë të ngjarë të jetë bërë nga Augthred, megjithëse autori nuk u identifikua. Disa vjet më vonë, në 1624, në literaturë matematikore shfaqet përsëri, por përsëri në mënyrë të mbuluar. Këtë vit Briggs dha përafrim numerik logaritmi dhjetor, por vetë numri nuk përmendet në veprën e tij.

Shfaqja e radhës e numrit është sërish e dyshimtë. Në 1647, Saint-Vincent llogariti zonën e sektorit të hiperbolës. Mund të merret me mend nëse ai e kuptoi lidhjen me logaritmet, por edhe nëse e kuptonte, nuk ka gjasa që ai të mund të vinte në vetë numrin. Vetëm në vitin 1661 Huygens e kuptoi lidhjen midis hiperbolës barabrinjës dhe logaritmeve. Ai vërtetoi se zona nën grafikun e një hiperbole barabrinjës e një hiperbole barabrinjës në intervalin nga për të është e barabartë me . Kjo veti bën bazën e logaritmeve natyrore, por kjo nuk u kuptua nga matematikanët e asaj kohe, por ngadalë po i afroheshin këtij kuptimi.

Hajgensi ndërmori hapin tjetër në vitin 1661. Ai përcaktoi një kurbë që e quajti logaritmike (në terminologjinë tonë do ta quajmë eksponenciale). Kjo është një kurbë tip. Dhe përsëri shfaqet logaritmi dhjetor, të cilin Huygens e gjen të saktë deri në 17 shifra dhjetore. Sidoqoftë, ajo u ngrit nga Huygens si një lloj konstante dhe nuk u shoqërua me logaritmin e një numri (pra, përsëri ata u afruan me , por vetë numri mbetet i panjohur).

Në punën e mëtejshme mbi logaritmet, numri përsëri nuk shfaqet në mënyrë eksplicite. Megjithatë, studimi i logaritmeve vazhdon. Në 1668, Nicolaus Mercator botoi një vepër Logaritmoteknia, i cili përmban një zgjerim serie. Në këtë vepër, Mercator fillimisht përdor emrin " logaritmi natyror” për logaritmin bazë. Numri qartazi nuk shfaqet më, por mbetet i pakapshëm diku anash.

Është për t'u habitur që numri fillimisht shfaqet në formë të qartë jo në lidhje me logaritmet, por në lidhje me prodhimet e pafundme. Në 1683, Jacob Bernoulli përpiqet të gjejë

Ai përdor teoremën e binomit për të vërtetuar se ky kufi është midis dhe , të cilin ne mund ta mendojmë si një përafrim të parë të . Edhe pse ne e marrim këtë si përkufizim të , kjo është hera e parë që një numër është përcaktuar si kufi. Bernoulli, natyrisht, nuk e kuptoi lidhjen midis punës së tij dhe punës mbi logaritmet.

U përmend më parë se logaritmet në fillim të studimit të tyre nuk ishin të lidhura në asnjë mënyrë me eksponentë. Sigurisht, nga ekuacioni ne gjejmë se , por kjo është një mënyrë shumë e mëvonshme e perceptimit. Këtu në fakt nënkuptojmë një funksion me logaritëm, ndërsa në fillim logaritmi konsiderohej vetëm si një numër që ndihmonte në llogaritjet. Ndoshta Jacob Bernoulli ishte i pari që e kuptoi këtë funksioni logaritmikështë eksponenciali i anasjelltë. Nga ana tjetër, personi i parë që lidhi logaritmet dhe fuqitë mund të ketë qenë James Gregory. Në vitin 1684 ai me siguri njohu lidhjen midis logaritmeve dhe fuqive, por ai mund të mos ketë qenë i pari.

Ne e dimë se numri u shfaq në formën e tij aktuale në 1690. Leibniz, në një letër drejtuar Huygens, përdori emërtimin për të. Më në fund, u shfaq një përcaktim (megjithëse nuk përkonte me atë modern), dhe ky përcaktim u njoh.

Në 1697, Johann Bernoulli filloi të studionte funksionin eksponencial dhe botoi Principia calculi exponentialum seu percurrentium. Në këtë punë, llogariten shumat e serive të ndryshme eksponenciale, dhe disa rezultate janë marrë nga integrimi i tyre term pas termi.

Euler prezantoi kaq shumë shënimi matematik, Çfarë
jo çuditërisht, emërtimi i takon edhe atij. Duket qesharake të thuash se ai e përdori shkronjën sepse është shkronja e parë e emrit të tij. Kjo ndoshta nuk është edhe sepse është marrë nga fjala "eksponencial", por thjesht sepse është zanorja tjetër pas "a", dhe Euler kishte përdorur tashmë shënimin "a" në punën e tij. Pavarësisht nga arsyeja, shënimi shfaqet për herë të parë në një letër nga Euler drejtuar Goldbach në 1731. Ai bëri shumë zbulime ndërsa studionte më tej, por jo deri në 1748. Hyrje në Analysin infinitorum ai dha justifikim të plotë për të gjitha idetë që lidhen me. Ai e tregoi atë

Euler gjeti gjithashtu 18 vendet e para dhjetore të një numri:

megjithatë, pa shpjeguar se si i mori ato. Duket se këtë vlerë e ka llogaritur vetë. Në fakt, nëse marrim rreth 20 terma të serisë (1), marrim saktësinë që mori Euler. Ndër rezultatet e tjera interesante në punën e tij, lidhja midis funksioneve sinus dhe kosinus dhe kompleks funksioni eksponencial, të cilën Euler e nxori nga formula e Moivre.

Është interesante që Euler madje gjeti zbërthimin e një numri në thyesa të vazhdueshme dhe dha shembuj të një zbërthimi të tillë. Në veçanti, ai mori
Dhe
Euler nuk ofroi prova që këto fraksione vazhdojnë në të njëjtën mënyrë, por ai e dinte se nëse do të kishte një provë të tillë, do të vërtetonte irracionalitetin. Në të vërtetë, nëse thyesa e vazhdueshme për vazhdon në të njëjtën mënyrë si në shembullin e mësipërm (ne shtojmë çdo herë), atëherë ajo nuk do të ndërpritet kurrë dhe (dhe për rrjedhojë) nuk mund të jetë racionale. Kjo është padyshim përpjekja e parë për të provuar irracionalitetin.

E para për të llogaritur mjaft numër i madh vendet dhjetore të numrit, ishte Shanks në 1854. Glaisher tregoi se 137 vendet e para të llogaritura nga Shanks ishin të sakta, por më pas gjeti një gabim. Shanks e korrigjoi atë dhe u morën 205 shifra dhjetore. Në realitet, keni nevojë për
120 terma të zgjerimit (1) për të marrë 200 shifra të sakta të numrit.

Në 1864, Benjamin Peirce qëndroi në një tabelë mbi të cilën ishte shkruar

Në leksionet e tij ai mund t'u thotë studentëve të tij: "Zotërinj, ne nuk kemi as idenë më të vogël se çfarë do të thotë kjo, por mund të jemi të sigurt se do të thotë diçka shumë e rëndësishme."

Shumica e njerëzve besojnë se Euler vërtetoi irracionalitetin e numrit. Megjithatë, kjo u bë nga Hermite në 1873. Ajo mbetet ende pyetje e hapur nëse numri është algjebrik. Rezultati i fundit në këtë drejtim është se të paktën njëri nga numrat është transcendental.

Më pas, u llogaritën numrat dhjetorë të numrit. Në 1884, Boorman llogariti 346 shifra, nga të cilat 187 të parat përkonin me shifrat e Shanks, por ato të mëvonshme ndryshuan. Në 1887, Adams llogariti 272 shifrat e logaritmit dhjetor.

| Numri i Euler (E)

e - baza e logaritmit natyror, një konstante matematikore, një numër irracional dhe transcendent. Përafërsisht e barabartë me 2.71828. Ndonjëherë thirret numri Numri i Euler-it ose Numri Napier. Tregohet me shkronja të vogla shkronja latine « e».

Histori

Numri e fillimisht u shfaq në matematikë si diçka e parëndësishme. Kjo ndodhi në vitin 1618. Në shtojcën e punës së John Napier-it mbi logaritmet, u dha një tabelë e logaritmeve natyrore të numrave të ndryshëm. Sidoqoftë, askush nuk e kuptoi se këto janë logaritme në bazë e , pasi koncepti i një logaritmi të asaj kohe nuk përfshinte një gjë të tillë si bazë. Kjo është ajo që ne tani e quajmë logaritëm, fuqia në të cilën baza duhet të ngrihet për të marrë numrin e kërkuar. Ne do të kthehemi në këtë më vonë. Tabela në shtojcë ka shumë të ngjarë të jetë bërë nga Augthred, megjithëse autori nuk u identifikua. Disa vite më vonë, në 1624, shfaqet përsëri në literaturën matematikore. e , por përsëri në mënyrë të mbuluar. Këtë vit Briggs dha një përafrim numerik me logaritmin dhjetor e , por vetë numri e nuk përmendet në veprën e tij.

Ndodhja e radhës e numrit e përsëri e dyshimtë. Në 1647, Saint-Vincent llogariti zonën e sektorit të hiperbolës. Mund të merret me mend nëse ai e kuptoi lidhjen me logaritmet, por edhe nëse e kuptonte, nuk ka gjasa që ai të kishte arritur në vetë numrin. e . Vetëm në vitin 1661 Huygens e kuptoi lidhjen midis hiperbolës barabrinjës dhe logaritmeve. Ai vërtetoi se zona nën grafikun e një hiperbole barabrinjës xy = 1 hiperbola barabrinjës në intervalin nga 1 në e është e barabartë me 1. Kjo veti bën e bazën e logaritmeve natyrore, por kjo nuk u kuptua nga matematikanët e asaj kohe, por ngadalë po i afroheshin këtij kuptimi.

Hajgensi ndërmori hapin tjetër në vitin 1661. Ai përcaktoi një kurbë që e quajti logaritmike (në terminologjinë tonë do ta quajmë eksponenciale). Kjo është një kurbë e formës y = ka x . Dhe logaritmi dhjetor shfaqet përsëri e , të cilin Huygens e gjen të saktë deri në 17 shifra dhjetore. Sidoqoftë, ajo u ngrit nga Huygens si një lloj konstante dhe nuk u shoqërua me logaritmin e një numri (pra, përsëri u afruam me e , por vetë numri e mbetet i panjohur).

Në punën e mëtejshme në logaritme, përsëri numri e nuk shfaqet në mënyrë eksplicite. Megjithatë, studimi i logaritmeve vazhdon. Në 1668, Nicolaus Mercator botoi një vepër Logaritmoteknia, i cili përmban një zgjerim serie log (1 + x) . Në këtë vepër, Mercator fillimisht përdor emrin "logaritëm natyror" për logaritmin bazë e . Numri e qartazi nuk shfaqet përsëri, por mbetet e pakapshme diku anash.

Është për t'u habitur që numri e shfaqet shprehimisht për herë të parë jo në lidhje me logaritmet, por në lidhje me produkte të pafundme. Në 1683, Jacob Bernoulli përpiqet të gjejë

Ai përdor teoremën e binomit për të vërtetuar se ky kufi është midis 2 dhe 3, të cilin mund ta mendojmë si një përafrim të parë të numrit e . Edhe pse këtë e marrim si përkufizim e , kjo është hera e parë që një numër përcaktohet si kufi. Bernoulli, natyrisht, nuk e kuptoi lidhjen midis punës së tij dhe punës mbi logaritmet.

U përmend më parë se logaritmet në fillim të studimit të tyre nuk ishin të lidhura në asnjë mënyrë me eksponentë. Sigurisht, nga ekuacioni x = a t ne e gjejmë atë t = sëpatë log , por kjo është një mënyrë shumë e mëvonshme e perceptimit. Këtu në fakt nënkuptojmë një funksion me logaritëm, ndërsa në fillim logaritmi konsiderohej vetëm si një numër që ndihmonte në llogaritjet. Jacob Bernoulli mund të ketë qenë i pari që kuptoi se funksioni logaritmik është eksponenciali i anasjelltë. Nga ana tjetër, personi i parë që lidhi logaritmet dhe fuqitë mund të ketë qenë James Gregory. Në vitin 1684 ai me siguri njohu lidhjen midis logaritmeve dhe fuqive, por ai mund të mos ketë qenë i pari.

Ne e dimë se numri e u shfaq në formën e tij aktuale në 1690. Leibniz, në një letër drejtuar Huygens, përdori emërtimin për të b . Së fundi e u shfaq një emërtim (megjithëse nuk përkonte me atë modern), dhe ky përcaktim u njoh.

Leonhard Euler prezantoi aq shumë shënime matematikore sa nuk është për t'u habitur që shënimi e i takon edhe atij. Duket qesharake të thuash se ai e përdori letrën e për faktin se është shkronja e parë e emrit të tij. Ndoshta nuk është edhe sepse e marrë nga fjala "eksponencial", është thjesht zanorja tjetër pas "a" dhe Euler kishte përdorur tashmë shënimin "a" në punën e tij. Pavarësisht nga arsyeja, shënimi shfaqet për herë të parë në një letër nga Euler drejtuar Goldbach në 1731. Ai bëri shumë zbulime gjatë studimit e më vonë, por vetëm në 1748 Hyrje në Analysin infinitorum ai dha justifikim të plotë për të gjitha idetë që lidhen me e . Ai e tregoi atë

Euler gjeti gjithashtu 18 vendet e para dhjetore të numrit e :

E vërtetë, pa shpjeguar se si i mori ato. Duket se këtë vlerë e ka llogaritur vetë. Në fakt, nëse marrim rreth 20 terma të serisë (1), marrim saktësinë që mori Euler. Ndër rezultatet e tjera interesante në punën e tij është lidhja midis funksioneve sinus dhe kosinus dhe funksioni kompleks eksponencial, të cilin Euler e ka nxjerrë nga formula e De Moivre.

Është interesante që Euler madje gjeti një zbërthim të numrit e në thyesa të vazhdueshme dhe dha shembuj të një zgjerimi të tillë. Në veçanti, ai mori

Euler nuk dha prova që këto thyesa vazhdojnë në të njëjtën mënyrë, por ai e dinte se nëse do të kishte një provë të tillë, do të vërtetonte irracionalitetin e . Në të vërtetë, nëse thyesa e vazhdueshme për (e - 1) / 2 , vazhdoi në të njëjtën mënyrë si në shembullin e mësipërm, 6,10,14,18,22,26, (ne shtojmë 4 çdo herë), atëherë nuk do të ishte ndërprerë kurrë, dhe (e -1) / 2 (dhe prandaj e ) nuk mund të ishte racionale. Natyrisht, kjo është përpjekja e parë për të provuar irracionalitetin e .

I pari që llogarit një numër mjaft të madh të numrave dhjetorë të një numri e , ishte Shanks në 1854. Glaisher tregoi se 137 karakteret e para të llogaritura nga Shanks ishin të sakta, por më pas gjeti një gabim. Shanks e korrigjoi atë dhe u morën 205 shifra dhjetore të numrit e . Në fakt, rreth 120 terma të zgjerimit (1) nevojiten për të marrë 200 shifra të sakta të numrit e .

Në 1864, Benjamin Peirce qëndroi në një tabelë mbi të cilën ishte shkruar

Shumica besojnë se Euler vërtetoi irracionalitetin e numrit e . Megjithatë, kjo u bë nga Hermite në 1873. Pyetja mbetet ende e hapur nëse numri është e e algjebrike. Rezultati përfundimtar në këtë drejtim është se të paktën një nga numrat e e Dhe e e 2 është transcendent.

Më pas, u llogaritën numrat dhjetorë të mëposhtëm të numrit e . Në 1884, Boorman llogariti 346 shifra e , nga të cilat 187 të parat përkonin me shenjat e Shanks, por ato të mëvonshme ndryshonin. Në 1887, Adams llogariti 272 shifrat e logaritmit dhjetor e .

J. J. Connor, E. F. Robertson. Numri e.

Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Lëkundjet harmonike Formula e fizikës së frekuencës së lëkundjeve