Ndarja e logaritmeve me baza të njëjta. Logaritmi

Ne vazhdojmë të studiojmë logaritmet. Në këtë artikull do të flasim për llogaritja e logaritmeve, ky proces quhet logaritmi. Fillimisht do të kuptojmë llogaritjen e logaritmeve sipas definicionit. Më tej, le të shohim se si gjenden vlerat e logaritmeve duke përdorur vetitë e tyre. Pas kësaj, ne do të fokusohemi në llogaritjen e logaritmeve përmes vlerave të përcaktuara fillimisht të logaritmeve të tjera. Së fundi, le të mësojmë se si të përdorim tabelat logaritmike. E gjithë teoria jepet me shembuj me zgjidhje të detajuara.

Navigimi i faqes.

Llogaritja e logaritmeve sipas përkufizimit

Në rastet më të thjeshta është e mundur të kryhet mjaft shpejt dhe lehtë gjetja e logaritmit sipas definicionit. Le të hedhim një vështrim më të afërt se si ndodh ky proces.

Thelbi i tij është të përfaqësojë numrin b në formën a c, nga i cili, sipas përcaktimit të një logaritmi, numri c është vlera e logaritmit. Kjo do të thotë, sipas përkufizimit, zinxhiri i mëposhtëm i barazive korrespondon me gjetjen e logaritmit: log a b=log a a c =c.

Pra, llogaritja e një logaritmi sipas përkufizimit zbret në gjetjen e një numri c të tillë që a c = b, dhe vetë numri c është vlera e dëshiruar e logaritmit.

Duke marrë parasysh informacionin në paragrafët e mëparshëm, kur numri nën shenjën e logaritmit jepet nga një fuqi e caktuar e bazës së logaritmit, menjëherë mund të tregoni se me çfarë logaritmi është i barabartë - është i barabartë me eksponentin. Le të tregojmë zgjidhje për shembuj.

Shembull.

Gjeni log 2 2 −3, si dhe llogaritni logaritmin natyror të numrit e 5,3.

Zgjidhje.

Përkufizimi i logaritmit na lejon të themi menjëherë se log 2 2 −3 =−3. Në të vërtetë, numri nën shenjën e logaritmit është i barabartë me bazën 2 me fuqinë -3.

Në mënyrë të ngjashme, gjejmë logaritmin e dytë: lne 5.3 =5.3.

Përgjigje:

log 2 2 −3 =−3 dhe lne 5,3 =5,3.

Nëse numri b nën shenjën e logaritmit nuk është specifikuar si fuqi e bazës së logaritmit, atëherë duhet të shikoni me kujdes për të parë nëse është e mundur të dilni me një paraqitje të numrit b në formën a c. Shpesh kjo paraqitje është mjaft e dukshme, veçanërisht kur numri nën shenjën e logaritmit është i barabartë me bazën me fuqinë 1, ose 2, ose 3, ...

Shembull.

Llogaritni logaritmet log 5 25 , dhe .

Zgjidhje.

Është e lehtë të shihet se 25=5 2, kjo ju lejon të llogaritni logaritmin e parë: log 5 25=log 5 5 2 =2.

Le të kalojmë në llogaritjen e logaritmit të dytë. Numri mund të përfaqësohet si një fuqi prej 7: (shiko nëse është e nevojshme). Prandaj, .

Le të rishkruajmë logaritmin e tretë në formën e mëposhtme. Tani mund ta shihni atë , nga ku konkludojmë se . Prandaj, sipas përkufizimit të logaritmit .

Shkurtimisht, zgjidhja mund të shkruhet si më poshtë: .

Përgjigje:

log 5 25=2 , dhe .

Kur ka një numër mjaftueshëm të madh natyror nën shenjën e logaritmit, nuk është e dëmshme ta faktorizojmë atë në faktorët kryesorë. Shpesh ndihmon për të përfaqësuar një numër të tillë si një fuqi e bazës së logaritmit, dhe për këtë arsye llogaritja e këtij logaritmi sipas përkufizimit.

Shembull.

Gjeni vlerën e logaritmit.

Zgjidhje.

Disa veti të logaritmeve ju lejojnë të specifikoni menjëherë vlerën e logaritmeve. Këto veti përfshijnë vetinë e logaritmit të njës dhe vetinë e logaritmit të një numri të barabartë me bazën: log 1 1=log a a 0 =0 dhe log a a=log a 1 =1. Domethënë, kur nën shenjën e logaritmit është një numër 1 ose një numër a i barabartë me bazën e logaritmit, atëherë në këto raste logaritmet janë të barabartë me 0 dhe 1, përkatësisht.

Shembull.

Me çfarë barazohen logaritmet dhe log10?

Zgjidhje.

Meqenëse , atëherë nga përkufizimi i logaritmit rrjedh .

Në shembullin e dytë, numri 10 nën shenjën e logaritmit përkon me bazën e tij, pra logaritmi dhjetor i dhjetë është i barabartë me një, pra lg10=lg10 1 =1.

Përgjigje:

DHE lg10=1.

Vini re se llogaritja e logaritmeve sipas përkufizimit (që e diskutuam në paragrafin e mëparshëm) nënkupton përdorimin e barazisë log a a p =p, që është një nga vetitë e logaritmeve.

Në praktikë, kur një numër nën shenjën e logaritmit dhe bazën e logaritmit përfaqësohen lehtësisht si një fuqi e një numri të caktuar, është shumë e përshtatshme të përdoret formula , e cila korrespondon me një nga vetitë e logaritmeve. Le të shohim një shembull të gjetjes së një logaritmi që ilustron përdorimin e kësaj formule.

Shembull.

Llogaritni logaritmin.

Zgjidhje.

Përgjigje:

Vetitë e logaritmeve që nuk janë përmendur më sipër përdoren gjithashtu në llogaritjet, por ne do të flasim për këtë në paragrafët në vijim.

Gjetja e logaritmeve përmes logaritmeve të tjera të njohura

Informacioni në këtë paragraf vazhdon temën e përdorimit të vetive të logaritmeve gjatë llogaritjes së tyre. Por këtu ndryshimi kryesor është se vetitë e logaritmeve përdoren për të shprehur logaritmin origjinal në termat e një logaritmi tjetër, vlera e të cilit dihet. Le të japim një shembull për sqarim. Le të themi se e dimë se log 2 3≈1.584963, atëherë mund të gjejmë, për shembull, log 2 6 duke bërë një transformim të vogël duke përdorur vetitë e logaritmit: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

Në shembullin e mësipërm, na mjaftoi të përdornim vetinë e logaritmit të një produkti. Sidoqoftë, shumë më shpesh është e nevojshme të përdoret një arsenal më i gjerë i vetive të logaritmeve për të llogaritur logaritmin origjinal përmes atyre të dhëna.

Shembull.

Llogaritni logaritmin e 27 në bazën 60 nëse e dini se log 60 2=a dhe log 60 5=b.

Zgjidhje.

Pra, ne duhet të gjejmë log 60 27 . Është e lehtë të shihet se 27 = 3 3, dhe logaritmi origjinal, për shkak të vetive të logaritmit të fuqisë, mund të rishkruhet si 3·log 60 3.

Tani le të shohim se si të shprehim log 60 3 në terma të logaritmeve të njohura. Vetia e logaritmit të një numri të barabartë me bazën na lejon të shkruajmë login e barazisë 60 60=1. Nga ana tjetër, log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2·log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Kështu, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Prandaj, log 60 3=1−2·log 60 2−log 60 5=1−2·a−b.

Së fundi, ne llogarisim logaritmin origjinal: log 60 27=3 log 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Përgjigje:

log 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Më vete, vlen të përmendet kuptimi i formulës për kalimin në një bazë të re të logaritmit të formës. Ju lejon të kaloni nga logaritmet me çdo bazë në logaritme me një bazë specifike, vlerat e të cilave dihen ose është e mundur t'i gjeni. Zakonisht, nga logaritmi origjinal, duke përdorur formulën e tranzicionit, ata kalojnë në logaritme në njërën nga bazat 2, e ose 10, pasi për këto baza ekzistojnë tabela logaritmesh që lejojnë që vlerat e tyre të llogariten me një shkallë të caktuar. saktësi. Në paragrafin tjetër do të tregojmë se si bëhet kjo.

Tabelat e logaritmit dhe përdorimet e tyre

Për llogaritjen e përafërt të vlerave të logaritmit mund të përdoren tabela logaritmesh. Tabela e logaritmit bazë 2 më e përdorur, tabela e logaritmit natyror dhe tabela e logaritmit dhjetor. Kur punoni në sistemin e numrave dhjetorë, është e përshtatshme të përdorni një tabelë logaritmesh bazuar në bazën dhjetë. Me ndihmën e tij do të mësojmë të gjejmë vlerat e logaritmeve.

Tabela e paraqitur ju lejon të gjeni vlerat e logaritmeve dhjetore të numrave nga 1000 në 9999 (me tre shifra dhjetore) me një saktësi prej një të dhjetëmijtë. Ne do të analizojmë parimin e gjetjes së vlerës së një logaritmi duke përdorur një tabelë logaritmesh dhjetore duke përdorur një shembull specifik - është më e qartë në këtë mënyrë. Le të gjejmë log1.256.

Në kolonën e majtë të tabelës së logaritmeve dhjetore gjejmë dy shifrat e para të numrit 1.256, domethënë gjejmë 1.2 (ky numër është rrethuar me blu për qartësi). Shifra e tretë e numrit 1.256 (shifra 5) gjendet në rreshtin e parë ose të fundit në të majtë të vijës dyshe (ky numër është i rrethuar me të kuqe). Shifra e katërt e numrit origjinal 1.256 (shifra 6) gjendet në rreshtin e parë ose të fundit në të djathtë të vijës së dyfishtë (ky numër është i rrethuar me një vijë të gjelbër). Tani i gjejmë numrat në qelizat e tabelës së logaritmit në kryqëzimin e rreshtit të shënuar dhe kolonave të shënuara (këta numra janë të theksuar në portokalli). Shuma e numrave të shënuar jep vlerën e dëshiruar të logaritmit dhjetor të saktë në numrin e katërt dhjetor, d.m.th. log1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.

A është e mundur, duke përdorur tabelën e mësipërme, të gjesh vlerat e logaritmeve dhjetore të numrave që kanë më shumë se tre shifra pas pikës dhjetore, si dhe ato që shkojnë përtej intervalit nga 1 në 9.999? Po ti mundesh. Le të tregojmë se si bëhet kjo me një shembull.

Le të llogarisim lg102.76332. Së pari ju duhet të shkruani numër në formë standarde: 102.76332=1.0276332·10 2. Pas kësaj, mantisa duhet të rrumbullakoset në numrin e tretë dhjetor, kemi 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2, ndërsa logaritmi dhjetor origjinal është afërsisht i barabartë me logaritmin e numrit që rezulton, domethënë marrim log102.76332≈lg1.028·10 2. Tani zbatojmë vetitë e logaritmit: lg1.028·10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. Së fundi, vlerën e logaritmit lg1.028 e gjejmë nga tabela e logaritmeve dhjetore lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. Si rezultat, i gjithë procesi i llogaritjes së logaritmit duket si ky: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1.028+lg10 2 =log1.028+2≈0.012+2=2.012.

Si përfundim, vlen të përmendet se duke përdorur një tabelë logaritmesh dhjetore mund të llogaritni vlerën e përafërt të çdo logaritmi. Për ta bërë këtë, mjafton të përdorni formulën e tranzicionit për të shkuar në logaritme dhjetore, për të gjetur vlerat e tyre në tabelë dhe për të kryer llogaritjet e mbetura.

Për shembull, le të llogarisim regjistrin 2 3 . Sipas formulës për kalimin në një bazë të re të logaritmit, kemi . Nga tabela e logaritmeve dhjetore gjejmë log3≈0.4771 dhe log2≈0.3010. Kështu, .

Bibliografi.

Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. dhe të tjera Algjebra dhe fillimet e analizës: Libër mësuesi për klasat 10 - 11 të institucioneve të arsimit të përgjithshëm.
Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (një manual për ata që hyjnë në shkolla teknike).

Logaritmi i numrit b (b > 0) në bazën a (a > 0, a ≠ 1)– eksponent tek i cili duhet të rritet numri a për të marrë b.

Logaritmi bazë 10 i b mund të shkruhet si regjistri (b), dhe logaritmi në bazën e (logaritmi natyror) është ln(b).

Shpesh përdoret për zgjidhjen e problemeve me logaritme:

Vetitë e logaritmeve

Janë katër kryesore vetitë e logaritmeve.

Le të jetë a > 0, a ≠ 1, x > 0 dhe y > 0.

Vetia 1. Logaritmi i produktit

Logaritmi i produktit e barabartë me shumën e logaritmeve:

log a (x ⋅ y) = log a x + log a y

Vetia 2. Logaritmi i herësit

Logaritmi i herësit e barabartë me diferencën e logaritmeve:

log a (x / y) = log a x – log a y

Vetia 3. Logaritmi i fuqisë

Logaritmi i shkallës e barabartë me produktin e fuqisë dhe logaritmit:

Nëse baza e logaritmit është në shkallë, atëherë zbatohet një formulë tjetër:

Vetia 4. Logaritmi i rrënjës

Kjo veti mund të merret nga vetia e logaritmit të një fuqie, pasi rrënja e n-të e fuqisë është e barabartë me fuqinë 1/n:

Formula për konvertimin nga një logaritëm në një bazë në një logaritëm në një bazë tjetër

Kjo formulë përdoret gjithashtu shpesh kur zgjidhen detyra të ndryshme në logaritme:

Rast i veçantë:

Krahasimi i logaritmeve (pabarazive)

Le të kemi 2 funksione f(x) dhe g(x) nën logaritme me të njëjtat baza dhe midis tyre ka një shenjë pabarazie:

Për t'i krahasuar ato, së pari duhet të shikoni bazën e logaritmeve a:

Nëse a > 0, atëherë f(x) > g(x) > 0
Nëse 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Si të zgjidhim problemet me logaritme: shembuj

Probleme me logaritmet përfshirë në Provimin e Bashkuar të Shtetit në matematikë për klasën 11 në detyrën 5 dhe detyrën 7, mund të gjeni detyra me zgjidhje në faqen tonë të internetit në seksionet përkatëse. Gjithashtu, detyrat me logaritme gjenden në bankën e detyrave matematikore. Ju mund t'i gjeni të gjithë shembujt duke kërkuar në faqe.

Çfarë është një logaritëm

Logaritmet janë konsideruar gjithmonë një temë e vështirë në kurset e matematikës shkollore. Ka shumë përkufizime të ndryshme të logaritmit, por për disa arsye shumica e teksteve përdorin më komplekset dhe më të pasuksesshmet prej tyre.

Logaritmin do ta përcaktojmë thjesht dhe qartë. Për ta bërë këtë, le të krijojmë një tabelë:

Pra, ne kemi fuqi prej dy.

Logaritmet - vetitë, formulat, si të zgjidhen

Nëse e merrni numrin nga fundi, mund të gjeni lehtësisht fuqinë në të cilën do t'ju duhet të ngrini dy për të marrë këtë numër. Për shembull, për të marrë 16, duhet të ngrini dy në fuqinë e katërt. Dhe për të marrë 64, ju duhet të ngrini dy në fuqinë e gjashtë. Kjo mund të shihet nga tabela.

Dhe tani - në fakt, përkufizimi i logaritmit:

baza a e argumentit x është fuqia në të cilën duhet të rritet numri a për të marrë numrin x.

Përcaktimi: log a x = b, ku a është baza, x është argumenti, b është ajo me çfarë logaritmi është në të vërtetë i barabartë.

Për shembull, 2 3 = 8 ⇒log 2 8 = 3 (logaritmi bazë 2 i 8 është tre sepse 2 3 = 8). Me të njëjtin sukses, log 2 64 = 6, pasi 2 6 = 64.

Operacioni i gjetjes së logaritmit të një numri në një bazë të caktuar quhet. Pra, le të shtojmë një rresht të ri në tabelën tonë:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
regjistri 2 2 = 1	regjistri 2 4 = 2	regjistri 2 8 = 3	regjistri 2 16 = 4	regjistri 2 32 = 5	log 2 64 = 6

Fatkeqësisht, jo të gjitha logaritmet llogariten kaq lehtë. Për shembull, përpiquni të gjeni regjistrin 2 5. Numri 5 nuk është në tabelë, por logjika dikton që logaritmi do të shtrihet diku në interval. Sepse 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Numra të tillë quhen irracionalë: numrat pas presjes dhjetore mund të shkruhen pafundësisht dhe nuk përsëriten kurrë. Nëse logaritmi rezulton irracional, është më mirë ta lëmë kështu: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Është e rëndësishme të kuptohet se një logaritëm është një shprehje me dy variabla (bazën dhe argumentin). Në fillim, shumë njerëz ngatërrojnë se ku është baza dhe ku është argumenti. Për të shmangur keqkuptimet e bezdisshme, mjafton të shikoni foton:

Para nesh nuk është gjë tjetër veçse përkufizimi i një logaritmi. Mbani mend: logaritmi është një fuqi, në të cilën duhet të ndërtohet baza për të marrë një argument. Është baza që është ngritur në një fuqi - është e theksuar me të kuqe në foto. Rezulton se baza është gjithmonë në fund! Unë u them studentëve të mi këtë rregull të mrekullueshëm që në mësimin e parë - dhe nuk lind asnjë konfuzion.

Si të numërohen logaritmet

Ne e kemi kuptuar përkufizimin - gjithçka që mbetet është të mësojmë se si të numërojmë logaritmet, d.m.th. hiqni qafe shenjën "log". Për të filluar, vërejmë se nga përkufizimi rrjedhin dy fakte të rëndësishme:

Argumenti dhe baza duhet të jenë gjithmonë më të mëdha se zero. Kjo rrjedh nga përkufizimi i një shkalle nga një eksponent racional, në të cilin reduktohet përkufizimi i një logaritmi.
Baza duhet të jetë e ndryshme nga një, pasi një në çdo shkallë mbetet ende një. Për shkak të kësaj, pyetja "në çfarë fuqie duhet të ngrihet për të marrë dy" është e pakuptimtë. Nuk ka një diplomë të tillë!

Kufizime të tilla quhen varg vlerash të pranueshme(ODZ). Rezulton se ODZ e logaritmit duket kështu: log a x = b ⇒x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Vini re se nuk ka kufizime në numrin b (vlera e logaritmit). Për shembull, logaritmi mund të jetë negativ: log 2 0.5 = -1, sepse 0,5 = 2 −1.

Megjithatë, tani po shqyrtojmë vetëm shprehjet numerike, ku nuk kërkohet të dihet VA e logaritmit. Të gjitha kufizimet tashmë janë marrë parasysh nga autorët e problemeve. Por kur ekuacionet logaritmike dhe pabarazitë hyjnë në lojë, kërkesat DL do të bëhen të detyrueshme. Në fund të fundit, baza dhe argumenti mund të përmbajnë ndërtime shumë të forta që nuk korrespondojnë domosdoshmërisht me kufizimet e mësipërme.

Tani le të shohim skemën e përgjithshme për llogaritjen e logaritmeve. Ai përbëhet nga tre hapa:

Shprehni bazën a dhe argumentin x si fuqi me bazën minimale të mundshme më të madhe se një. Gjatë rrugës, është më mirë të heqësh qafe numrat dhjetorë;
Zgjidheni ekuacionin për ndryshoren b: x = a b ;
Numri b që rezulton do të jetë përgjigja.

Kjo eshte e gjitha! Nëse logaritmi rezulton irracional, kjo do të jetë e dukshme që në hapin e parë. Kërkesa që baza të jetë më e madhe se një është shumë e rëndësishme: kjo zvogëlon gjasat e gabimit dhe thjeshton shumë llogaritjet. Është e njëjta gjë me thyesat dhjetore: nëse i shndërroni menjëherë në ato të zakonshme, do të ketë shumë më pak gabime.

Le të shohim se si funksionon kjo skemë duke përdorur shembuj specifikë:

Detyrë. Llogaritni logaritmin: log 5 25

Le të imagjinojmë bazën dhe argumentin si një fuqi prej pesë: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;

Le të krijojmë dhe zgjidhim ekuacionin:
log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

Morëm përgjigjen: 2.

Detyrë. Llogaritni logaritmin:

Detyrë. Llogaritni logaritmin: log 4 64

Le të imagjinojmë bazën dhe argumentin si një fuqi prej dysh: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6;
Le të krijojmë dhe zgjidhim ekuacionin:
log 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
Morëm përgjigjen: 3.

Detyrë. Llogaritni logaritmin: log 16 1

Le të imagjinojmë bazën dhe argumentin si një fuqi prej dy: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
Le të krijojmë dhe zgjidhim ekuacionin:
log 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
Morëm përgjigjen: 0.

Detyrë. Llogaritni logaritmin: log 7 14

Le të imagjinojmë bazën dhe argumentin si një fuqi prej shtatë: 7 = 7 1 ; 14 nuk mund të përfaqësohet si një fuqi e shtatë, pasi 7 1< 14 < 7 2 ;
Nga paragrafi i mëparshëm rezulton se logaritmi nuk llogaritet;
Përgjigja është pa ndryshim: log 7 14.

Një shënim i vogël për shembullin e fundit. Si mund të jeni i sigurt se një numër nuk është një fuqi e saktë e një numri tjetër? Është shumë e thjeshtë - thjesht vendoseni në faktorët kryesorë. Nëse zgjerimi ka të paktën dy faktorë të ndryshëm, numri nuk është një fuqi e saktë.

Detyrë. Zbuloni nëse numrat janë fuqi të sakta: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - shkalla e saktë, sepse ka vetëm një shumëzues;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - nuk është një fuqi e saktë, pasi ekzistojnë dy faktorë: 3 dhe 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - shkalla e saktë;
35 = 7 · 5 - përsëri jo një fuqi e saktë;
14 = 7 · 2 - përsëri jo një shkallë e saktë;

Vini re gjithashtu se vetë numrat e thjeshtë janë gjithmonë fuqi të sakta të tyre.

Logaritmi dhjetor

Disa logaritme janë aq të zakonshme sa kanë një emër dhe simbol të veçantë.

i argumentit x është logaritmi për bazën 10, d.m.th. Fuqia në të cilën duhet të rritet numri 10 për të marrë numrin x. Emërtimi: lg x.

Për shembull, log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - etj.

Që tani e tutje, kur një frazë si "Gjeni lg 0.01" shfaqet në një libër shkollor, dijeni se kjo nuk është një gabim shtypi. Ky është një logaritëm dhjetor. Sidoqoftë, nëse nuk jeni të njohur me këtë shënim, gjithmonë mund ta rishkruani atë:
log x = log 10 x

Çdo gjë që është e vërtetë për logaritmet e zakonshme është gjithashtu e vërtetë për logaritmet dhjetore.

Logaritmi natyror

Ekziston një logaritëm tjetër që ka përcaktimin e vet. Në disa mënyra, është edhe më i rëndësishëm se dhjetori. Po flasim për logaritmin natyror.

i argumentit x është logaritmi për bazën e e, d.m.th. fuqia në të cilën duhet të rritet numri e për të marrë numrin x. Emërtimi: ln x.

Shumë njerëz do të pyesin: cili është numri e? Ky është një numër irracional, vlera e tij e saktë nuk mund të gjendet dhe të shkruhet. Unë do të jap vetëm shifrat e para:
e = 2.718281828459…

Ne nuk do të hyjmë në detaje se çfarë është ky numër dhe pse është i nevojshëm. Vetëm mos harroni se e është baza e logaritmit natyror:
ln x = log e x

Kështu ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - etj. Nga ana tjetër, ln 2 është një numër irracional. Në përgjithësi, logaritmi natyror i çdo numri racional është irracional. Përveç, sigurisht, për një: ln 1 = 0.

Për logaritmet natyrore, të gjitha rregullat që janë të vërteta për logaritmet e zakonshme janë të vlefshme.

Shiko gjithashtu:

Logaritmi. Vetitë e logaritmit (fuqia e logaritmit).

Si të paraqesim një numër si logaritëm?

Ne përdorim përkufizimin e logaritmit.

Një logaritëm është një eksponent në të cilin baza duhet të ngrihet për të marrë numrin nën shenjën e logaritmit.

Kështu, për të paraqitur një numër të caktuar c si logaritëm në bazën a, duhet të vendosni një fuqi me bazë të njëjtë me bazën e logaritmit nën shenjën e logaritmit dhe të shkruani këtë numër c si eksponent:

Absolutisht çdo numër mund të përfaqësohet si një logaritëm - pozitiv, negativ, numër i plotë, i pjesshëm, racional, irracional:

Për të mos ngatërruar a dhe c në kushte stresuese të një testi ose provimi, mund të përdorni rregullin e mëposhtëm të memorizimit:

ajo që është poshtë zbret, ajo që është lart shkon lart.

Për shembull, ju duhet të përfaqësoni numrin 2 si logaritëm në bazën 3.

Kemi dy numra - 2 dhe 3. Këta numra janë baza dhe eksponenti, të cilët do t'i shkruajmë nën shenjën e logaritmit. Mbetet për të përcaktuar se cili nga këta numra duhet të shkruhet, në bazën e fuqisë dhe cili - lart, në eksponent.

Baza 3 në shënimin e një logaritmi është në fund, që do të thotë se kur paraqesim dy si logaritëm në bazën 3, ne gjithashtu do të shkruajmë 3 në bazë.

2 është më e lartë se tre. Dhe në shënimin e shkallës dy ne shkruajmë mbi tre, domethënë si një eksponent:

Logaritmet. Niveli i parë.

Logaritmet

Logaritmi numër pozitiv b bazuar në a, Ku a > 0, a ≠ 1, quhet eksponenti tek i cili duhet të rritet numri a, Për të marrë b.

Përkufizimi i logaritmit mund të shkruhet shkurt kështu:

Kjo barazi vlen për b > 0, a > 0, a ≠ 1. Zakonisht quhet identiteti logaritmik.
Veprimi i gjetjes së logaritmit të një numri quhet nga logaritmi.

Vetitë e logaritmeve:

Logaritmi i produktit:

Logaritmi i herësit:

Zëvendësimi i bazës së logaritmit:

Logaritmi i shkallës:

Logaritmi i rrënjës:

Logaritmi me bazën e fuqisë:

Logaritmet dhjetore dhe natyrore.

Logaritmi dhjetor numrat thërrasin logaritmin e këtij numri në bazën 10 dhe shkruajnë lg b
Logaritmi natyror numrat quhen logaritmi i atij numri në bazë e, Ku e- një numër irracional afërsisht i barabartë me 2.7. Në të njëjtën kohë ata shkruajnë ln b.

Shënime të tjera mbi algjebrën dhe gjeometrinë

Vetitë themelore të logaritmeve

Logaritmet, si çdo numër, mund të shtohen, zbriten dhe transformohen në çdo mënyrë. Por meqenëse logaritmet nuk janë saktësisht numra të zakonshëm, këtu ka rregulla, të cilat thirren vetitë kryesore.

Ju patjetër duhet t'i dini këto rregulla - pa to, asnjë problem i vetëm serioz logaritmik nuk mund të zgjidhet. Për më tepër, ka shumë pak prej tyre - mund të mësoni gjithçka brenda një dite. Pra, le të fillojmë.

Mbledhja dhe zbritja e logaritmeve

Konsideroni dy logaritme me baza të njëjta: log a x dhe log a y. Pastaj ato mund të shtohen dhe zbriten, dhe:

log a x + log a y = log a (x y);
log a x − log a y = log a (x: y).

Pra, shuma e logaritmeve është e barabartë me logaritmin e produktit, dhe diferenca është e barabartë me logaritmin e herësit. Ju lutemi vini re: pika kryesore këtu është baza identike. Nëse arsyet janë të ndryshme, këto rregulla nuk funksionojnë!

Këto formula do t'ju ndihmojnë të llogaritni një shprehje logaritmike edhe kur pjesët e saj individuale nuk merren parasysh (shihni mësimin "Çfarë është logaritmi"). Hidhini një sy shembujve dhe shikoni:

Regjistri 6 4 + regjistri 6 9.

Meqenëse logaritmet kanë të njëjtat baza, ne përdorim formulën e shumës:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Detyrë. Gjeni vlerën e shprehjes: log 2 48 − log 2 3.

Bazat janë të njëjta, ne përdorim formulën e ndryshimit:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Detyrë. Gjeni vlerën e shprehjes: log 3 135 − log 3 5.

Përsëri bazat janë të njëjta, kështu që kemi:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Siç mund ta shihni, shprehjet origjinale përbëhen nga logaritme "të këqija", të cilat nuk llogariten veçmas. Por pas shndërrimeve fitohen numra krejtësisht normalë. Shumë teste bazohen në këtë fakt. Po, shprehjet e ngjashme me testin ofrohen me gjithë seriozitetin (nganjëherë praktikisht pa ndryshime) në Provimin e Unifikuar të Shtetit.

Nxjerrja e eksponentit nga logaritmi

Tani le ta komplikojmë pak detyrën. Po sikur baza ose argumenti i një logaritmi të jetë një fuqi? Atëherë eksponenti i kësaj shkalle mund të hiqet nga shenja e logaritmit sipas rregullave të mëposhtme:

Është e lehtë të shihet se rregulli i fundit ndjek dy të parët. Por është më mirë ta mbani mend gjithsesi - në disa raste do të zvogëlojë ndjeshëm sasinë e llogaritjeve.

Sigurisht, të gjitha këto rregulla kanë kuptim nëse respektohet ODZ e logaritmit: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Dhe një gjë tjetër: mësoni të zbatoni të gjitha formulat jo vetëm nga e majta në të djathtë, por edhe anasjelltas , d.m.th. Ju mund të futni numrat përpara shenjës së logaritmit në vetë logaritmin.

Si të zgjidhni logaritmet

Kjo është ajo që kërkohet më shpesh.

Detyrë. Gjeni vlerën e shprehjes: log 7 49 6 .

Le të heqim qafe shkallën në argument duke përdorur formulën e parë:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Detyrë. Gjeni kuptimin e shprehjes:

Vini re se emëruesi përmban një logaritëm, baza dhe argumenti i të cilit janë fuqitë e sakta: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Ne kemi:

Unë mendoj se shembulli i fundit kërkon disa sqarime. Ku kanë shkuar logaritmet? Deri në momentin e fundit ne punojmë vetëm me emëruesin. Ne paraqitëm bazën dhe argumentin e logaritmit që qëndron atje në formën e fuqive dhe nxorëm eksponentët - morëm një fraksion "tre-katëshe".

Tani le të shohim fraksionin kryesor. Numëruesi dhe emëruesi përmbajnë të njëjtin numër: log 2 7. Meqenëse log 2 7 ≠ 0, ne mund ta zvogëlojmë thyesën - 2/4 do të mbetet në emërues. Sipas rregullave të aritmetikës, katër mund të transferohen në numërues, gjë që është bërë. Rezultati ishte përgjigja: 2.

Kalimi në një themel të ri

Duke folur për rregullat e mbledhjes dhe zbritjes së logaritmeve, theksova veçanërisht se ato punojnë vetëm me të njëjtat baza. Po nëse arsyet janë të ndryshme? Po sikur të mos jenë fuqi të sakta të të njëjtit numër?

Formulat për kalimin në një themel të ri vijnë në shpëtim. Le t'i formulojmë ato në formën e një teoreme:

Le të jepet logaritmi log a x. Atëherë për çdo numër c të tillë që c > 0 dhe c ≠ 1, barazia është e vërtetë:

Në veçanti, nëse vendosim c = x, marrim:

Nga formula e dytë del se baza dhe argumenti i logaritmit mund të ndërrohen, por në këtë rast e gjithë shprehja është "përmbysur", d.m.th. logaritmi shfaqet në emërues.

Këto formula rrallë gjenden në shprehjet e zakonshme numerike. Është e mundur të vlerësohet se sa të përshtatshëm janë ato vetëm kur zgjidhen ekuacionet logaritmike dhe pabarazitë.

Megjithatë, ka probleme që nuk mund të zgjidhen fare, përveçse duke kaluar në një themel të ri. Le të shohim disa nga këto:

Detyrë. Gjeni vlerën e shprehjes: log 5 16 log 2 25.

Vini re se argumentet e të dy logaritmave përmbajnë fuqi të sakta. Le të nxjerrim treguesit: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Tani le të "ndryshojmë" logaritmin e dytë:

Meqenëse produkti nuk ndryshon kur riorganizojmë faktorët, ne shumëzuam me qetësi katër dhe dy, dhe më pas u morëm me logaritmet.

Detyrë. Gjeni vlerën e shprehjes: log 9 100 lg 3.

Baza dhe argumenti i logaritmit të parë janë fuqi të sakta. Le ta shkruajmë këtë dhe të heqim qafe treguesit:

Tani le të heqim qafe logaritmin dhjetor duke kaluar në një bazë të re:

Identiteti bazë logaritmik

Shpesh në procesin e zgjidhjes është e nevojshme të paraqitet një numër si logaritëm në një bazë të caktuar.

Në këtë rast, formulat e mëposhtme do të na ndihmojnë:

Në rastin e parë, numri n bëhet eksponent në argument. Numri n mund të jetë absolutisht çdo gjë, sepse është vetëm një vlerë logaritmi.

Formula e dytë është në fakt një përkufizim i parafrazuar. Kështu quhet: .

Në fakt, çfarë ndodh nëse numri b ngrihet në një fuqi të tillë që numri b në këtë fuqi të japë numrin a? Kjo është e drejtë: rezultati është i njëjti numër a. Lexojeni përsëri këtë paragraf me kujdes - shumë njerëz ngecin në të.

Ashtu si formulat për kalimin në një bazë të re, identiteti logaritmik bazë është ndonjëherë zgjidhja e vetme e mundshme.

Detyrë. Gjeni kuptimin e shprehjes:

Vini re se log 25 64 = log 5 8 - thjesht mori katrorin nga baza dhe argumenti i logaritmit. Duke marrë parasysh rregullat për shumëzimin e fuqive me të njëjtën bazë, marrim:

Nëse dikush nuk e di, kjo ishte një detyrë e vërtetë nga Provimi i Unifikuar i Shtetit :)

Njësia logaritmike dhe zero logaritmike

Si përfundim, do të jap dy identitete që vështirë se mund të quhen veti - përkundrazi, ato janë pasoja të përkufizimit të logaritmit. Vazhdimisht shfaqen në probleme dhe çuditërisht krijojnë probleme edhe për nxënësit “të avancuar”.

log a a = 1 është. Mbani mend një herë e përgjithmonë: logaritmi për çdo bazë a të vetë asaj baze është i barabartë me një.
log a 1 = 0 është. Baza a mund të jetë çdo gjë, por nëse argumenti përmban një, logaritmi është i barabartë me zero! Sepse një 0 = 1 është një pasojë e drejtpërdrejtë e përkufizimit.

Këto janë të gjitha pronat. Sigurohuni që të praktikoni zbatimin e tyre! Shkarkoni fletën e mashtrimit në fillim të mësimit, printojeni dhe zgjidhni problemet.

Ato rrjedhin nga përkufizimi i tij. Dhe kështu logaritmi i numrit b bazuar në A përkufizohet si eksponent në të cilin duhet të ngrihet një numër a për të marrë numrin b(logaritmi ekziston vetëm për numrat pozitivë).

Nga ky formulim del se llogaritja x=log a b, është e barabartë me zgjidhjen e ekuacionit a x =b. Për shembull, regjistri 2 8 = 3 sepse 8 = 2 3 . Formulimi i logaritmit bën të mundur justifikimin se nëse b=a c, pastaj logaritmi i numrit b bazuar në a barazohet Me. Është gjithashtu e qartë se tema e logaritmeve është e lidhur ngushtë me temën e fuqive të një numri.

Me logaritme, si me çdo numër, mund të bëni veprimet e mbledhjes, zbritjes dhe transformohen në çdo mënyrë të mundshme. Por për shkak të faktit se logaritmet nuk janë numra krejtësisht të zakonshëm, këtu zbatohen rregullat e tyre të veçanta, të cilat quhen vetitë kryesore.

Mbledhja dhe zbritja e logaritmeve.

Le të marrim dy logaritme me të njëjtat baza: log a x Dhe log a y. Atëherë është e mundur të kryhen veprimet e mbledhjes dhe zbritjes:

log a x+ log a y= log a (x·y);

log a x - log a y = log a (x:y).

log a(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = log a x 1 + log a x 2 + log a x 3 + ... + log a x k.

Nga Teorema e koeficientit të logaritmit Mund të merret edhe një veçori tjetër e logaritmit. Është e njohur që log a 1 = 0, pra

log a 1 /b= log a 1 - log a b= -log a b.

Kjo do të thotë se ka një barazi:

log a 1 / b = - log a b.

Logaritmet e dy numrave reciprokë për të njëjtën arsye do të ndryshojnë nga njëri-tjetri vetëm nga shenja. Kështu që:

Regjistri 3 9= - log 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.

Siç e dini, kur shumëzohen shprehjet me fuqi, eksponentët e tyre gjithmonë mblidhen (a b *a c = a b+c). Ky ligj matematik u nxor nga Arkimedi, dhe më vonë, në shekullin e 8-të, matematikani Virasen krijoi një tabelë të eksponentëve të numrave të plotë. Ishin ata që shërbyen për zbulimin e mëtejshëm të logaritmeve. Shembuj të përdorimit të këtij funksioni mund të gjenden pothuajse kudo ku është e nevojshme të thjeshtohet shumëzimi i rëndë me mbledhje të thjeshtë. Nëse kaloni 10 minuta duke lexuar këtë artikull, ne do t'ju shpjegojmë se çfarë janë logaritmet dhe si të punoni me to. Në një gjuhë të thjeshtë dhe të arritshme.

Përkufizimi në matematikë

Një logaritëm është një shprehje e formës së mëposhtme: log a b=c, d.m.th., logaritmi i çdo numri jonegativ (d.m.th., çdo pozitiv) "b" në bazën e tij "a" konsiderohet të jetë fuqia "c. ” në të cilën baza “a” duhet të ngrihet për të marrë në fund vlerën “b”. Le të analizojmë logaritmin duke përdorur shembuj, le të themi se ekziston një shprehje log 2 8. Si të gjejmë përgjigjen? Është shumë e thjeshtë, ju duhet të gjeni një fuqi të tillë që nga 2 në fuqinë e kërkuar të merrni 8. Pasi të keni bërë disa llogaritje në kokën tuaj, marrim numrin 3! Dhe kjo është e vërtetë, sepse 2 në fuqinë e 3 jep përgjigjen si 8.

Llojet e logaritmeve

Për shumë nxënës dhe studentë, kjo temë duket e ndërlikuar dhe e pakuptueshme, por në fakt logaritmet nuk janë aq të frikshme, gjëja kryesore është të kuptoni kuptimin e tyre të përgjithshëm dhe të mbani mend vetitë e tyre dhe disa rregulla. Ekzistojnë tre lloje të veçanta të shprehjeve logaritmike:

Logaritmi natyror ln a, ku baza është numri i Euler-it (e = 2.7).
Dhjetor a, ku baza është 10.
Logaritmi i çdo numri b në bazën a>1.

Secila prej tyre zgjidhet në një mënyrë standarde, duke përfshirë thjeshtimin, reduktimin dhe reduktimin pasues në një logaritëm të vetëm duke përdorur teorema logaritmike. Për të marrë vlerat e sakta të logaritmeve, duhet të mbani mend vetitë e tyre dhe sekuencën e veprimeve gjatë zgjidhjes së tyre.

Rregulla dhe disa kufizime

Në matematikë ka disa rregulla-kufizime që pranohen si aksiomë, pra nuk janë objekt diskutimi dhe janë të vërteta. Për shembull, është e pamundur të ndash numrat me zero, dhe është gjithashtu e pamundur të nxjerrësh rrënjën çift të numrave negativë. Logaritmet gjithashtu kanë rregullat e tyre, duke ndjekur të cilat lehtë mund të mësoni të punoni edhe me shprehje logaritmike të gjata dhe të mëdha:

Baza "a" duhet të jetë gjithmonë më e madhe se zero dhe jo e barabartë me 1, përndryshe shprehja do të humbasë kuptimin e saj, sepse "1" dhe "0" në çdo shkallë janë gjithmonë të barabarta me vlerat e tyre;
nëse a > 0, atëherë a b >0, rezulton se edhe “c” duhet të jetë më e madhe se zero.

Si të zgjidhni logaritmet?

Për shembull, jepet detyra për të gjetur përgjigjen e ekuacionit 10 x = 100. Kjo është shumë e lehtë, ju duhet të zgjidhni një fuqi duke ngritur numrin dhjetë në të cilin marrim 100. Kjo, natyrisht, është 10 2 = 100.

Tani le ta paraqesim këtë shprehje në formë logaritmike. Marrim log 10 100 = 2. Kur zgjidhim logaritme, të gjitha veprimet praktikisht konvergojnë për të gjetur fuqinë në të cilën është e nevojshme të futet baza e logaritmit për të marrë një numër të caktuar.

Për të përcaktuar me saktësi vlerën e një shkalle të panjohur, duhet të mësoni se si të punoni me një tabelë gradash. Duket kështu:

Siç mund ta shihni, disa eksponentë mund të merren me mend në mënyrë intuitive nëse keni një mendje teknike dhe njohuri për tabelën e shumëzimit. Sidoqoftë, për vlera më të mëdha do t'ju duhet një tavolinë energjie. Mund të përdoret edhe nga ata që nuk dinë asgjë për tema komplekse matematikore. Kolona e majtë përmban numra (baza a), rreshti i sipërm i numrave është vlera e fuqisë c në të cilën është ngritur numri a. Në kryqëzim, qelizat përmbajnë vlerat e numrave që janë përgjigja (a c =b). Le të marrim, për shembull, qelizën e parë me numrin 10 dhe ta katrorojmë atë, marrim vlerën 100, e cila tregohet në kryqëzimin e dy qelizave tona. Gjithçka është aq e thjeshtë dhe e lehtë sa që edhe humanisti më i vërtetë do ta kuptojë!

Ekuacionet dhe pabarazitë

Rezulton se në kushte të caktuara eksponenti është logaritmi. Prandaj, çdo shprehje numerike matematikore mund të shkruhet si barazi logaritmike. Për shembull, 3 4 = 81 mund të shkruhet si logaritmi bazë 3 i 81 i barabartë me katër (log 3 81 = 4). Për fuqitë negative rregullat janë të njëjta: 2 -5 = 1/32 e shkruajmë si logaritëm, marrim log 2 (1/32) = -5. Një nga seksionet më tërheqëse të matematikës është tema e "logaritmeve". Ne do të shikojmë shembujt dhe zgjidhjet e ekuacioneve më poshtë, menjëherë pasi të studiojmë vetitë e tyre. Tani le të shohim se si duken pabarazitë dhe si t'i dallojmë ato nga ekuacionet.

Është dhënë shprehja e mëposhtme: log 2 (x-1) > 3 - është një pabarazi logaritmike, pasi vlera e panjohur "x" është nën shenjën logaritmike. Dhe gjithashtu në shprehjen krahasohen dy madhësi: logaritmi i numrit të dëshiruar me bazën dy është më i madh se numri tre.

Dallimi më i rëndësishëm midis ekuacioneve logaritmike dhe pabarazive është se ekuacionet me logaritme (për shembull, logaritmi 2 x = √9) nënkuptojnë një ose më shumë vlera numerike specifike në përgjigje, ndërsa kur zgjidhet një pabarazi, të dy diapazoni i pranueshëm vlerat dhe pikat përcaktohen duke thyer këtë funksion. Si pasojë, përgjigja nuk është një grup i thjeshtë numrash individualë, si në përgjigjen e një ekuacioni, por një seri e vazhdueshme ose grup numrash.

Teorema themelore rreth logaritmeve

Kur zgjidhni detyra primitive për gjetjen e vlerave të logaritmit, vetitë e tij mund të mos dihen. Megjithatë, kur bëhet fjalë për ekuacionet logaritmike ose pabarazitë, para së gjithash, është e nevojshme të kuptohen qartë dhe të zbatohen në praktikë të gjitha vetitë themelore të logaritmeve. Ne do t'i shikojmë shembujt e ekuacioneve më vonë, le të shohim më në detaje secilën veçori.

Identiteti kryesor duket si ky: a logaB =B. Zbatohet vetëm kur a është më e madhe se 0, jo e barabartë me një, dhe B është më e madhe se zero.
Logaritmi i produktit mund të paraqitet në formulën e mëposhtme: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Në këtë rast, kushti i detyrueshëm është: d, s 1 dhe s 2 > 0; a≠1. Ju mund të jepni një provë për këtë formulë logaritmike, me shembuj dhe zgjidhje. Le të log a s 1 = f 1 dhe log a s 2 = f 2, pastaj a f1 = s 1, a f2 = s 2. Marrim se s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (vetitë e gradë ), dhe më pas sipas përkufizimit: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, që është ajo që duhej vërtetuar.
Logaritmi i herësit duket kështu: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
Teorema në formën e një formule merr formën e mëposhtme: log a q b n = n/q log a b.

Kjo formulë quhet "vetia e shkallës së logaritmit". Ajo i ngjan vetive të shkallëve të zakonshme dhe nuk është për t'u habitur, sepse e gjithë matematika bazohet në postulate natyrore. Le të shohim provën.

Le të log a b = t, rezulton një t =b. Nëse i ngremë të dyja pjesët në fuqinë m: a tn = b n ;

por meqenëse a tn = (a q) nt/q = b n, prandaj log a q b n = (n*t)/t, atëherë log a q b n = n/q log a b. Teorema është vërtetuar.

Shembuj të problemeve dhe pabarazive

Llojet më të zakonshme të problemeve në logaritme janë shembuj të ekuacioneve dhe pabarazive. Ato gjenden pothuajse në të gjitha librat me probleme, si dhe janë pjesë e detyrueshme e provimeve të matematikës. Për të hyrë në një universitet ose për të kaluar provimet pranuese në matematikë, duhet të dini se si t'i zgjidhni saktë detyra të tilla.

Fatkeqësisht, nuk ka asnjë plan ose skemë të vetme për zgjidhjen dhe përcaktimin e vlerës së panjohur të logaritmit, por disa rregulla mund të zbatohen për çdo pabarazi matematikore ose ekuacion logaritmik. Para së gjithash, duhet të zbuloni nëse shprehja mund të thjeshtohet ose reduktohet në një formë të përgjithshme. Ju mund të thjeshtoni shprehjet e gjata logaritmike nëse përdorni saktë vetitë e tyre. Le t'i njohim shpejt.

Kur zgjidhim ekuacione logaritmike, duhet të përcaktojmë se çfarë lloj logaritmi kemi: një shprehje shembull mund të përmbajë një logaritëm natyror ose një dhjetor.

Këtu janë shembuj ln100, ln1026. Zgjidhja e tyre zbret në faktin se ata duhet të përcaktojnë fuqinë në të cilën baza 10 do të jetë e barabartë me 100 dhe 1026, përkatësisht. Për të zgjidhur logaritmet natyrore, duhet të aplikoni identitete logaritmike ose vetitë e tyre. Le të shohim shembuj të zgjidhjes së problemeve logaritmike të llojeve të ndryshme.

Si të përdorni formulat e logaritmit: me shembuj dhe zgjidhje

Pra, le të shohim shembuj të përdorimit të teoremave bazë rreth logaritmeve.

Vetia e logaritmit të një produkti mund të përdoret në detyra ku është e nevojshme të zbërthehet një vlerë e madhe e numrit b në faktorë më të thjeshtë. Për shembull, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Përgjigja është 9.
log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - siç mund ta shihni, duke përdorur vetinë e katërt të fuqisë së logaritmit, arritëm të zgjidhim një shprehje në dukje komplekse dhe të pazgjidhshme. Thjesht duhet të faktorizoni bazën dhe më pas të hiqni vlerat e eksponentit nga shenja e logaritmit.

Detyra nga Provimi i Unifikuar i Shtetit

Logaritmet gjenden shpesh në provimet pranuese, veçanërisht shumë probleme logaritmike në Provimin e Unifikuar të Shtetit (provim shtetëror për të gjithë maturantët). Në mënyrë tipike, këto detyra janë të pranishme jo vetëm në pjesën A (pjesa më e lehtë testuese e provimit), por edhe në pjesën C (detyrat më komplekse dhe më voluminoze). Provimi kërkon njohuri të sakta dhe të përsosura të temës “Logaritmet natyrore”.

Shembujt dhe zgjidhjet e problemeve janë marrë nga versionet zyrtare të Provimit të Unifikuar të Shtetit. Le të shohim se si zgjidhen detyra të tilla.

Jepet log 2 (2x-1) = 4. Zgjidhje:
le ta rishkruajmë shprehjen, duke e thjeshtuar pak log 2 (2x-1) = 2 2, me përcaktimin e logaritmit marrim se 2x-1 = 2 4, pra 2x = 17; x = 8,5.

Është mirë që të reduktohen të gjitha logaritmet në të njëjtën bazë në mënyrë që zgjidhja të mos jetë e rëndë dhe konfuze.
Të gjitha shprehjet nën shenjën e logaritmit tregohen si pozitive, prandaj, kur eksponenti i një shprehjeje që është nën shenjën e logaritmit dhe si bazë e saj nxirret si shumëzues, shprehja e mbetur nën logaritëm duhet të jetë pozitive.

Gama e vlerave të pranueshme (APV) të logaritmit

Tani le të flasim për kufizimet (ODZ - diapazoni i vlerave të lejuara të variablave).

Kujtojmë se, për shembull, rrënja katrore nuk mund të merret nga numrat negativë; ose nëse kemi një thyesë, atëherë emëruesi nuk mund të jetë i barabartë me zero. Logaritmet kanë kufizime të ngjashme:

Kjo do të thotë, edhe argumenti edhe baza duhet të jenë më të mëdha se zero, por baza nuk mund të jetë ende e barabartë.

Pse eshte ajo?

Le të fillojmë me një gjë të thjeshtë: le të themi këtë. Atëherë, për shembull, numri nuk ekziston, pasi pavarësisht se në çfarë fuqie ngremë, gjithmonë rezulton. Për më tepër, ajo nuk ekziston për askënd. Por në të njëjtën kohë mund të jetë e barabartë me çdo gjë (për të njëjtën arsye - e barabartë me çdo shkallë). Prandaj, objekti nuk paraqet interes dhe thjesht u hodh nga matematika.

Ne kemi një problem të ngjashëm në rastin: për çdo fuqi pozitive është, por nuk mund të ngrihet fare në një fuqi negative, pasi kjo do të rezultojë në pjesëtim me zero (më lejoni t'ju kujtoj se).

Kur përballemi me problemin e ngritjes në një fuqi thyesore (që paraqitet si rrënjë: . Për shembull, (d.m.th.), por ajo nuk ekziston.

Prandaj, është më e lehtë të flakësh arsyet negative sesa të ndërhysh me to.

Epo, meqenëse baza jonë a mund të jetë vetëm pozitive, atëherë pavarësisht se në çfarë fuqie e ngremë atë, ne gjithmonë do të marrim një numër rreptësisht pozitiv. Pra, argumenti duhet të jetë pozitiv. Për shembull, ai nuk ekziston, pasi nuk do të jetë një numër negativ në asnjë shkallë (apo edhe zero, prandaj edhe ai nuk ekziston).

Në problemet me logaritmet, gjëja e parë që duhet të bëni është të shkruani ODZ. Më lejoni t'ju jap një shembull:

Le të zgjidhim ekuacionin.

Le të kujtojmë përkufizimin: një logaritëm është fuqia në të cilën baza duhet të ngrihet për të marrë një argument. Dhe sipas kushtit kjo shkallë është e barabartë me: .

Marrim ekuacionin e zakonshëm kuadratik: . Le ta zgjidhim duke përdorur teoremën e Vietës: shuma e rrënjëve është e barabartë dhe prodhimi. Lehtë për t'u marrë, këto janë numra dhe.

Por nëse menjëherë i merrni dhe i shkruani të dy këta numra në përgjigje, mund të merrni 0 pikë për problemin. Pse? Le të mendojmë se çfarë ndodh nëse i zëvendësojmë këto rrënjë në ekuacionin fillestar?

Kjo është qartësisht e pasaktë, pasi baza nuk mund të jetë negative, domethënë rrënja është "palë e tretë".

Për të shmangur grackat e tilla të pakëndshme, duhet të shkruani ODZ edhe para se të filloni të zgjidhni ekuacionin:

Pastaj, pasi kemi marrë rrënjët dhe, ne menjëherë e hedhim rrënjën dhe shkruajmë përgjigjen e saktë.

Shembulli 1(përpiqu ta zgjidhësh vetë) :

Gjeni rrënjën e ekuacionit. Nëse ka disa rrënjë, tregoni më të voglin prej tyre në përgjigjen tuaj.

Zgjidhja:

Para së gjithash, le të shkruajmë ODZ:

Tani le të kujtojmë se çfarë është një logaritëm: në çfarë fuqie ju nevojitet për të ngritur bazën për të marrë argumentin? Tek e dyta. Kjo eshte:

Duket se rrënja më e vogël është e barabartë. Por kjo nuk është kështu: sipas ODZ, rrënja është e jashtme, domethënë nuk është fare rrënja e këtij ekuacioni. Kështu, ekuacioni ka vetëm një rrënjë: .

Përgjigje: .

Identiteti bazë logaritmik

Le të kujtojmë përkufizimin e logaritmit në formë të përgjithshme:

Le të zëvendësojmë logaritmin në barazinë e dytë:

Kjo barazi quhet identiteti bazë logaritmik. Edhe pse në thelb kjo është barazi - thjesht e shkruar ndryshe përkufizimi i logaritmit:

Kjo është fuqia në të cilën ju duhet të ngrini për të arritur.

Për shembull:

Zgjidh shembujt e mëposhtëm:

Shembulli 2.

Gjeni kuptimin e shprehjes.

Zgjidhja:

Le të kujtojmë rregullin nga seksioni:, domethënë, kur një fuqi ngrihet në një fuqi, eksponentët shumëzohen. Le ta zbatojmë atë:

Shembulli 3.

Vërtetoni këtë.

Zgjidhja:

Vetitë e logaritmeve

Fatkeqësisht, detyrat nuk janë gjithmonë kaq të thjeshta - shpesh së pari duhet të thjeshtoni shprehjen, ta sillni atë në formën e saj të zakonshme dhe vetëm atëherë do të jetë e mundur të llogaritni vlerën. Kjo është më e lehtë për ta bërë nëse e dini vetitë e logaritmeve. Pra, le të mësojmë vetitë themelore të logaritmeve. Unë do të vërtetoj secilën prej tyre, sepse çdo rregull është më i lehtë për t'u mbajtur mend nëse e dini se nga vjen.

Të gjitha këto veti duhet të mbahen mend pa to, shumica e problemeve me logaritme nuk mund të zgjidhen.

Dhe tani për të gjitha vetitë e logaritmeve në më shumë detaje.

Prona 1:

Dëshmi:

Le të jetë atëherë.

Kemi: , etj.

Vetia 2: Shuma e logaritmeve

Shuma e logaritmeve me baza të njëjta është e barabartë me logaritmin e produktit: .

Dëshmi:

Le të jetë atëherë. Le të jetë atëherë.

Shembull: Gjeni kuptimin e shprehjes: .

Zgjidhja:.

Formula që sapo mësuat ndihmon për të thjeshtuar shumën e logaritmeve, jo ndryshimin, kështu që këto logaritme nuk mund të kombinohen menjëherë. Por ju mund të bëni të kundërtën - "ndani" logaritmin e parë në dy: Dhe këtu është thjeshtimi i premtuar:
.
Pse është e nevojshme kjo? Epo, për shembull: çfarë është e barabartë?

Tani është e qartë se.

Tani thjeshtoje vetë:

Detyrat:

Përgjigjet:

Vetia 3: Diferenca e logaritmeve:

Dëshmi:

Gjithçka është saktësisht e njëjtë si në pikën 2:

Le të jetë atëherë.

Le të jetë atëherë. Ne kemi:

Shembulli nga paragrafi i mëparshëm tani bëhet edhe më i thjeshtë:

Një shembull më i ndërlikuar: . A mund të kuptoni se si ta zgjidhni vetë?

Këtu duhet theksuar se nuk kemi një formulë të vetme për logaritmet në katror. Kjo është diçka e ngjashme me një shprehje - nuk mund të thjeshtohet menjëherë.

Prandaj, le të bëjmë një pushim nga formulat për logaritmet dhe të mendojmë se çfarë lloj formulash përdorim më shpesh në matematikë? Që në klasën e 7-të!

Kjo -. Ju duhet të mësoheni me faktin se ata janë kudo! Ato ndodhin në probleme eksponenciale, trigonometrike dhe irracionale. Prandaj, ato duhet të mbahen mend.

Nëse shikoni nga afër dy termat e parë, bëhet e qartë se kjo dallimi i katrorëve:

Përgjigja për të kontrolluar:

Thjeshtoje vetë.

Shembuj

Përgjigjet.

Vetia 4: Marrja e eksponentit nga argumenti i logaritmit:

Dëshmi: Dhe këtu përdorim edhe përkufizimin e logaritmit: le, atëherë. Kemi: , etj.

Ky rregull mund të kuptohet në këtë mënyrë:

Kjo do të thotë, shkalla e argumentit zhvendoset përpara logaritmit si koeficient.

Shembull: Gjeni kuptimin e shprehjes.

Zgjidhja: .

Vendosni vetë:

Shembuj:

Përgjigjet:

Vetia 5: Marrja e eksponentit nga baza e logaritmit:

Dëshmi: Le të jetë atëherë.

Kemi: , etj.
Mbani mend: nga bazat shkalla shprehet si e kundërta numër, ndryshe nga rasti i mëparshëm!

Vetia 6: Heqja e eksponentit nga baza dhe argumenti i logaritmit:

Ose nëse gradat janë të njëjta: .

Prona 7: Kalimi në një bazë të re:

Dëshmi: Le të jetë atëherë.

Kemi: , etj.

Vetia 8: Ndërroni bazën dhe argumentin e logaritmit:

Dëshmi: Ky është një rast i veçantë i formulës 7: nëse zëvendësojmë, marrim: , etj.

Le të shohim disa shembuj të tjerë.

Shembulli 4.

Gjeni kuptimin e shprehjes.

Ne përdorim vetitë e logaritmeve nr. 2 - shuma e logaritmeve me të njëjtën bazë është e barabartë me logaritmin e produktit:

Shembulli 5.

Gjeni kuptimin e shprehjes.

Zgjidhja:

Ne përdorim vetinë e logaritmeve nr.3 dhe nr.4:

Shembulli 6.

Gjeni kuptimin e shprehjes.

Zgjidhja:

Le të përdorim vetinë nr. 7 - kalojmë në bazën 2:

Shembulli 7.

Gjeni kuptimin e shprehjes.

Zgjidhja:

Si ju pëlqen artikulli?

Nëse jeni duke lexuar këto rreshta, atëherë keni lexuar të gjithë artikullin.

Dhe kjo është e lezetshme!

Tani na tregoni si ju pëlqen artikulli?

A keni mësuar si të zgjidhni logaritmet? Nëse jo, cili është problemi?

Na shkruani në komentet më poshtë.

Dhe, po, fat të mirë në provimet tuaja.

Për Provimin e Bashkuar të Shtetit dhe Provimin e Bashkuar të Shtetit dhe në jetën në përgjithësi

Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Lëkundjet harmonike Formula e fizikës së frekuencës së lëkundjeve