Formula për ekuacionin e një rrafshi që kalon nga tre pika. Ekuacioni i një rrafshi përmes një përcaktori

Në këtë material, ne do të shohim se si të gjejmë ekuacionin e një rrafshi nëse dimë koordinatat e tre pikave të ndryshme që nuk shtrihen në të njëjtën drejtëz. Për ta bërë këtë, ne duhet të kujtojmë se në çfarë është një sistem koordinativ drejtkëndor hapësirë ​​tredimensionale. Për të filluar, ne do të prezantojmë parimin bazë ekuacioni i dhënë dhe t'ju tregojë saktësisht se si ta përdorni për të zgjidhur probleme specifike.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Së pari, duhet të kujtojmë një aksiomë, e cila tingëllon si kjo:

Përkufizimi 1

Nëse tre pika nuk përkojnë me njëra-tjetrën dhe nuk shtrihen në të njëjtën vijë, atëherë në hapësirën tredimensionale vetëm një rrafsh kalon nëpër to.

Me fjalë të tjera, nëse kemi tre pika të ndryshme, koordinatat e të cilave nuk përputhen dhe që nuk mund të lidhen me një vijë të drejtë, atëherë mund të përcaktojmë rrafshin që kalon nëpër të.

Le të themi se kemi një sistem koordinativ drejtkëndor. Le ta shënojmë O x y z. Ai përmban tre pika M me koordinata M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3), të cilat nuk mund të lidhen vijë e drejtë. Bazuar në këto kushte, ne mund të shkruajmë ekuacionin e rrafshit që na nevojitet. Ekzistojnë dy qasje për zgjidhjen e këtij problemi.

1. Qasja e parë përdor ekuacionin e planit të përgjithshëm. Në formën e shkronjave, shkruhet si A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0. Me ndihmën e tij, ju mund të përcaktoni në një sistem koordinativ drejtkëndor një plan të caktuar alfa që kalon nëpër pikën e parë të dhënë M 1 (x 1, y 1, z 1). Rezulton se vektor normal plani α do të ketë koordinatat A, B, C.

Përkufizimi i N

Duke ditur koordinatat e vektorit normal dhe koordinatat e pikës nëpër të cilën kalon rrafshi, mund të shkruajmë ekuacionin e përgjithshëm të këtij rrafshi.

Nga kjo do të vazhdojmë në të ardhmen.

Kështu, sipas kushteve të problemit, kemi koordinatat e pikës së dëshiruar (edhe tre) nëpër të cilën kalon rrafshi. Për të gjetur ekuacionin, duhet të llogaritni koordinatat e vektorit normal të tij. Le ta shënojmë n → .

Le të kujtojmë rregullin: çdo vektor jozero i një rrafshi të caktuar është pingul me vektorin normal të të njëjtit rrafsh. Atëherë kemi se n → do të jetë pingul me vektorët e përbërë nga pikat origjinale M 1 M 2 → dhe M 1 M 3 → . Atëherë mund të shënojmë n → si produkt vektorial të formës M 1 M 2 → · M 1 M 3 → .

Meqenëse M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) dhe M 1 M 3 → = x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1 (provat e këtyre barazive janë dhënë në artikullin kushtuar llogaritjes së koordinatave të një vektori nga koordinatat e pikave), atëherë rezulton se:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1

Nëse llogarisim përcaktorin, do të marrim koordinatat e vektorit normal n → që na duhen. Tani mund të shkruajmë ekuacionin që na nevojitet për një plan që kalon nëpër tre pika të dhëna.

2. Qasja e dytë për gjetjen e ekuacionit që kalon përmes M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3), bazohet në një koncept të tillë si koplanariteti i vektorëve.

Nëse kemi një grup pikash M (x, y, z), atëherë në një sistem koordinativ drejtkëndor ata përcaktojnë një plan për pikat e dhëna M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2 , z 2 ) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) vetëm në rastin kur vektorët M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1) , M 1 M 2 → = ( ​​x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) dhe M 1 M 3  → = (x 3 - x 1 , y 3 - y 1 , z 3 - z 1) do të jenë koplanare .

Në diagram do të duket kështu:

Kjo do të thotë se punë e përzier vektorët M 1 M → , M 1 M 2 → , M 1 M 3 → do të jenë të barabartë me zero: M 1 M → · M 1 M 2 → · M 1 M 3 → = 0, pasi ky është kushti kryesor për bashkëplanaritetin : M 1 M → = (x - x 1, y - y 1, z - z 1), M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) dhe M 1 M 3 → = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1).

Le të shkruajmë ekuacionin që rezulton në formë koordinative:

Pasi të llogarisim përcaktorin, mund të marrim ekuacionin e planit që na nevojitet për tre pika që nuk shtrihen në të njëjtën drejtëz M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) .

Nga ekuacioni që rezulton mund të shkohet në ekuacionin e rrafshit në segmente ose në ekuacioni normal aeroplan, nëse kushtet e problemit e kërkojnë atë.

Në paragrafin vijues do të japim shembuj se si zbatohen në praktikë qasjet që kemi treguar.

Shembuj problemash për kompozimin e një ekuacioni të një rrafshi që kalon nga 3 pika

Më parë, ne kemi identifikuar dy qasje që mund të përdoren për të gjetur ekuacionin e dëshiruar. Le të shohim se si ato përdoren për të zgjidhur problemet dhe kur duhet të zgjidhni secilën prej tyre.

Shembulli 1

Janë tre pika që nuk shtrihen në të njëjtën vijë, me koordinatat M 1 (- 3, 2, - 1), M 2 (- 1, 2, 4), M 3 (3, 3, - 1). Shkruani një ekuacion për rrafshin që kalon nëpër to.

Zgjidhje

Ne i përdorim të dyja metodat në mënyrë alternative.

1. Gjeni koordinatat e dy vektorëve që na duhen M 1 M 2 → , M 1 M 3 → :

M 1 M 2 → = - 1 - - 3 , 2 - 2 , 4 - - 1 ⇔ M 1 M 2 → = (2 , 0 , 5) M 1 M 3 → = 3 - - 3 , 3 - 2 , - 1 - - 1 ⇔ M 1 M 3 → = 6 , 1 , 0

Tani le të llogarisim produktin e tyre vektor. Ne nuk do të përshkruajmë llogaritjet e përcaktorit:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → 2 0 5 6 1 0 = - 5 i → + 30 j → + 2 k →

Kemi një vektor normal të rrafshit që kalon nëpër tri pikat e kërkuara: n → = (- 5, 30, 2) . Tjetra, duhet të marrim një nga pikat, për shembull, M 1 (- 3, 2, - 1) dhe të shkruajmë ekuacionin për rrafshin me vektor n → = (- 5, 30, 2). Marrim se: - 5 (x - (- 3)) + 30 (y - 2) + 2 (z - (- 1)) = 0 ⇔ - 5 x + 30 y + 2 z - 73 = 0

Ky është ekuacioni që na nevojitet për një aeroplan që kalon nëpër tre pika.

2. Le të kemi një qasje të ndryshme. Le të shkruajmë ekuacionin për një plan me tre pika M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) në formën e mëposhtme:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0

Këtu mund të zëvendësoni të dhënat nga deklarata e problemit. Meqenëse x 1 = - 3, y 1 = 2, z 1 = - 1, x 2 = - 1, y 2 = 2, z 2 = 4, x 3 = 3, y 3 = 3, z 3 = - 1, si rezultat marrim:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = x - (- 3) y - 2 z - (- 1) - 1 - (- 3) 2 - 2 4 - (- 1) 3 - (- 3) 3 - 2 - 1 - (- 1) = = x + 3 y - 2 z + 1 2 0 5 6 1 0 = - 5 x + 30 y + 2 z - 73

Ne morëm ekuacionin që na duhej.

Përgjigje:- 5 x + 30 y + 2 z - 73 .

Por, çka nëse pikat e dhëna ende qëndrojnë në të njëjtën linjë dhe ne duhet të krijojmë një ekuacion të rrafshët për to? Këtu duhet thënë menjëherë se kjo gjendje nuk do të jetë plotësisht e saktë. Një numër i pafund planesh mund të kalojnë nëpër pika të tilla, kështu që është e pamundur të llogaritet një përgjigje e vetme. Le të shqyrtojmë një problem të tillë për të vërtetuar pasaktësinë e një formulimi të tillë të pyetjes.

Shembulli 2

Kemi një sistem koordinativ drejtkëndor në hapësirën tredimensionale, në të cilin vendosen tri pika me koordinatat M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1 , 1). Është e nevojshme të krijohet një ekuacion i aeroplanit që kalon nëpër të.

Zgjidhje

Le të përdorim metodën e parë dhe të fillojmë duke llogaritur koordinatat e dy vektorëve M 1 M 2 → dhe M 1 M 3 →. Le të llogarisim koordinatat e tyre: M 1 M 2 → = (- 4, 6, 2), M 1 M 3 → = - 6, 9, 3.

Produkti kryq do të jetë i barabartë me:

M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 i ⇀ + 0 j → + 0 k → = 0 →

Meqenëse M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = 0 →, atëherë vektorët tanë do të jenë kolinear (lexoni përsëri artikullin rreth tyre nëse keni harruar përkufizimin e këtij koncepti). Kështu, pikat fillestare M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1, 1) janë në të njëjtën linjë, dhe problemi ynë ka pafundësisht shumë opsionet përgjigje.

Nëse përdorim metodën e dytë, do të marrim:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0 ⇔ x - 5 y - (- 8) z - (- 2) 1 - 5 - 2 - (- 8) 0 - (- 2) - 1 - 5 1 - (- 8) 1 - (- 2) = 0 ⇔ ⇔ x - 5 y + 8 z + 2 - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 ⇔ 0 ≡ 0

Nga barazia që rezulton rrjedh gjithashtu se pikat e dhëna M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1, 1) janë në të njëjtën linjë.

Nëse dëshironi të gjeni të paktën një përgjigje për këtë problem nga numër i pafund opsionet e tij, duhet të kryeni hapat e mëposhtëm:

1. Shkruani ekuacionin e drejtëzës M 1 M 2, M 1 M 3 ose M 2 M 3 (nëse është e nevojshme, shikoni materialin për këtë veprim).

2. Merrni një pikë M 4 (x 4, y 4, z 4), e cila nuk shtrihet në vijën e drejtë M 1 M 2.

3. Shkruani ekuacionin e rrafshit që kalon në tre pika të ndryshme M 1, M 2 dhe M 4, jo të shtrirë në të njëjtën vijë të drejtë.

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter

Supozoni se duhet të gjejmë ekuacionin e një rrafshi që kalon nëpër tre pika të dhëna që nuk shtrihen në të njëjtën vijë. Duke shënuar vektorët e rrezes së tyre me dhe vektorin e rrezes aktuale me , ne mund të marrim lehtësisht ekuacionin e kërkuar në formë vektoriale. Në fakt, vektorët duhet të jenë koplanarë (të gjithë shtrihen në rrafshin e dëshiruar). Prandaj, produkt me pika vektoriale nga këta vektorë duhet të jetë i barabartë me zero:

Ky është ekuacioni i një rrafshi që kalon nëpër tre pika të dhëna, në formë vektori.

Duke kaluar te koordinatat, marrim ekuacionin në koordinata:

Nëse tre pika të dhëna shtrihen në të njëjtën vijë të drejtë, atëherë vektorët do të ishin kolinearë. Prandaj, elementët përkatës të dy rreshtave të fundit të përcaktorit në ekuacionin (18) do të ishin proporcionalë dhe përcaktorja do të ishte identike e barabartë me zero. Rrjedhimisht, ekuacioni (18) do të bëhej identik për çdo vlerë të x, y dhe z. Gjeometrikisht, kjo do të thotë se nëpër secilën pikë të hapësirës kalon një rrafsh në të cilin shtrihen tre pikat e dhëna.

Vërejtje 1. E njëjta problem mund të zgjidhet pa përdorur vektorë.

Duke shënuar koordinatat e tre pikave të dhëna, përkatësisht, do të shkruajmë ekuacionin e çdo rrafshi që kalon në pikën e parë:

Për të marrë ekuacionin e planit të dëshiruar, është e nevojshme të kërkohet që ekuacioni (17) të plotësohet nga koordinatat e dy pikave të tjera:

Nga ekuacionet (19), është e nevojshme të përcaktohet raporti i dy koeficientëve me të tretin dhe të futen vlerat e gjetura në ekuacionin (17).

Shembulli 1. Shkruani një ekuacion për një rrafsh që kalon nëpër pika.

Ekuacioni i rrafshit që kalon në të parën nga këto pika do të jetë:

Kushtet që avioni (17) të kalojë nëpër dy pika të tjera dhe pikën e parë janë:

Duke shtuar ekuacionin e dytë me të parin, gjejmë:

Duke zëvendësuar në ekuacionin e dytë, marrim:

Duke zëvendësuar në ekuacionin (17) në vend të A, B, C, përkatësisht, 1, 5, -4 (numra proporcionalë me ta), marrim:

Shembulli 2. Shkruani një ekuacion për një plan që kalon nëpër pikat (0, 0, 0), (1, 1, 1), (2, 2, 2).

Ekuacioni i çdo rrafshi që kalon nëpër pikën (0, 0, 0) do të jetë]

Kushtet për kalimin e këtij plani nëpër pikat (1, 1, 1) dhe (2, 2, 2) janë:

Duke e zvogëluar ekuacionin e dytë me 2, shohim se për të përcaktuar dy të panjohura, ekziston një ekuacion me

Nga këtu marrim. Tani duke zëvendësuar vlerën e aeroplanit në ekuacion, gjejmë:

Ky është ekuacioni i planit të dëshiruar; varet nga arbitrariteti

sasitë B, C (domethënë, nga relacioni d.m.th. ka një numër të pafund planesh që kalojnë nëpër tre pika të dhëna (tre pika të dhëna shtrihen në të njëjtën drejtëz).

Vërejtje 2. Problemi i tërheqjes së një plani nëpër tri pika të dhëna që nuk shtrihen në të njëjtën drejtëz zgjidhet lehtësisht në pamje e përgjithshme, nëse përdorim përcaktorë. Në të vërtetë, meqenëse në ekuacionet (17) dhe (19) koeficientët A, B, C nuk mund të jenë njëkohësisht të barabartë me zero, atëherë, duke i konsideruar këto ekuacione si sistem homogjen me tre të panjohura A, B, C, shkruani të nevojshme dhe gjendje e mjaftueshme ekzistenca e një zgjidhjeje për këtë sistem përveç zeros (Pjesa 1, Kapitulli VI, § 6):

Duke e zgjeruar këtë përcaktues në elementët e rreshtit të parë, marrim një ekuacion të shkallës së parë në lidhje me koordinatat aktuale, të cilat do të plotësohen, në veçanti, nga koordinatat e tre pikave të dhëna.

Ju gjithashtu mund ta verifikoni këtë të fundit drejtpërdrejt duke zëvendësuar koordinatat e cilësdo prej këtyre pikave në vend të . Në anën e majtë marrim një përcaktor në të cilin ose elementet e rreshtit të parë janë zero ose ka dy rreshta identikë. Kështu, ekuacioni i ndërtuar paraqet një plan që kalon nëpër tre pikat e dhëna.

Në këtë mësim do të shikojmë se si të përdorim përcaktorin për të krijuar ekuacioni i rrafshët. Nëse nuk e dini se çfarë është një përcaktues, shkoni te pjesa e parë e mësimit - "Matricat dhe përcaktuesit". Përndryshe, rrezikoni të mos kuptoni asgjë në materialin e sotëm.

Ekuacioni i një rrafshi që përdor tre pika

Pse na duhet fare një ekuacion i rrafshët? Është e thjeshtë: duke e ditur atë, ne mund të llogarisim lehtësisht këndet, distancat dhe gërmadhat e tjera në problemin C2. Në përgjithësi, nuk mund të bëni pa këtë ekuacion. Prandaj, ne formulojmë problemin:

Detyrë. Tre pika janë dhënë në hapësirë ​​që nuk shtrihen në të njëjtën linjë. Koordinatat e tyre:

M = (x1, y1, z1);
N = (x2, y2, z2);
K = (x 3, y 3, z 3);

Duhet të krijoni një ekuacion për aeroplanin që kalon nëpër këto tre pika. Për më tepër, ekuacioni duhet të duket si ky:

Ax + By + Cz + D = 0

ku numrat A, B, C dhe D janë koeficientët që, në fakt, duhet të gjenden.

Epo, si të merret ekuacioni i një rrafshi nëse dihen vetëm koordinatat e pikave? Mënyra më e lehtë është të zëvendësoni koordinatat në ekuacionin Ax + By + Cz + D = 0. Ju merrni një sistem prej tre ekuacionesh që mund të zgjidhen lehtësisht.

Shumë studentë e shohin këtë zgjidhje jashtëzakonisht të lodhshme dhe jo të besueshme. Provimi i Unifikuar i Shtetit në matematikë të vitit të kaluar tregoi se gjasat për të bërë një gabim llogaritës janë vërtet të larta.

Prandaj, mësuesit më të avancuar filluan të kërkonin zgjidhje më të thjeshta dhe më elegante. Dhe ata e gjetën atë! Vërtetë, pritja e marrë më tepër i referohet matematikë e lartë. Personalisht, më është dashur të gërmoj nëpër të gjithë Listën Federale të Teksteve për t'u siguruar që ne kemi të drejtën ta përdorim këtë teknikë pa asnjë justifikim apo provë.

Ekuacioni i një rrafshi përmes një përcaktori

Mjaft me tekstet e këngës, le t'i drejtohemi punës. Për të filluar, një teoremë rreth asaj se si përcaktuesi i një matrice dhe ekuacioni i planit janë të lidhura.

Teorema. Le të jepen koordinatat e tri pikave nëpër të cilat duhet të vizatohet rrafshi: M = (x 1, y 1, z 1); N = (x2, y2, z2); K = (x 3, y 3, z 3). Atëherë ekuacioni i këtij rrafshi mund të shkruhet përmes përcaktorit:

Si shembull, le të përpiqemi të gjejmë një palë planesh që ndodhin në të vërtetë në problemet C2. Shikoni sa shpejt llogaritet gjithçka:

A 1 = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
C1 = (1, 1, 1);

Ne hartojmë një përcaktor dhe e barazojmë me zero:

Zgjerojmë përcaktorin:

a = 1 1 (z − 1) + 0 0 x + (−1) 1 y = z − 1 − y;
b = (−1) 1 x + 0 1 (z − 1) + 1 0 y = −x;
d = a − b = z − 1 − y − (−x) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1;
d = 0 ⇒ x − y + z − 1 = 0;

Siç mund ta shihni, gjatë llogaritjes së numrit d, e "krehja" pak ekuacionin në mënyrë që variablat x, y dhe z të hynë në sekuencë e saktë. Kjo eshte e gjitha! Ekuacioni i aeroplanit është gati!

Detyrë. Shkruani një ekuacion për një rrafsh që kalon nëpër pika:

A = (0, 0, 0);
B 1 = (1, 0, 1);
D 1 = (0, 1, 1);

Ne zëvendësojmë menjëherë koordinatat e pikave në përcaktorin:

Ne e zgjerojmë përsëri përcaktorin:

a = 1 1 z + 0 1 x + 1 0 y = z;
b = 1 1 x + 0 0 z + 1 1 y = x + y;
d = a − b = z − (x + y ) = z − x − y;
d = 0 ⇒ z − x − y = 0 ⇒ x + y − z = 0;

Pra, ekuacioni i aeroplanit është marrë përsëri! Përsëri, në hapin e fundit na u desh të ndryshonim shenjat në të për të marrë një formulë më "të bukur". Nuk është aspak e nevojshme ta bëni këtë në këtë zgjidhje, por megjithatë rekomandohet - të thjeshtoni zgjidhjen e mëtejshme të problemit.

Siç mund ta shihni, kompozimi i ekuacionit të një aeroplani tani është shumë më i lehtë. Ne i zëvendësojmë pikat në matricë, llogarisim përcaktorin - dhe kjo është ajo, ekuacioni është gati.

Kjo mund të përfundojë mësimin. Megjithatë, shumë studentë harrojnë vazhdimisht atë që është brenda përcaktorit. Për shembull, cila rresht përmban x 2 ose x 3, dhe cila rresht përmban vetëm x. Për ta hequr këtë nga rruga, le të shohim se nga vjen secili numër.

Nga vjen formula me përcaktorin?

Pra, le të kuptojmë se nga vjen një ekuacion kaq i ashpër me një përcaktues. Kjo do t'ju ndihmojë ta mbani mend atë dhe ta zbatoni me sukses.

Të gjithë rrafshet që paraqiten në problemin C2 përcaktohen nga tre pika. Këto pika shënohen gjithmonë në vizatim, ose madje tregohen drejtpërdrejt në tekstin e problemit. Në çdo rast, për të krijuar një ekuacion do të duhet të shkruajmë koordinatat e tyre:

M = (x1, y1, z1);
N = (x2, y2, z2);
K = (x 3, y 3, z 3).

Le të shqyrtojmë një pikë tjetër në aeroplanin tonë me koordinata arbitrare:

T = (x, y, z)

Merrni çdo pikë nga tre të parat (për shembull, pika M) dhe vizatoni vektorë prej saj në secilën nga tre pikat e mbetura. Ne marrim tre vektorë:

MN = (x 2 − x 1 , y 2 − y 1 , z 2 − z 1 );
MK = (x 3 − x 1 , y 3 − y 1 , z 3 − z 1 );
MT = (x − x 1 , y − y 1 , z − z 1 ).

Tani le të kompozojmë nga këta vektorë matricë katrore dhe barazoni përcaktorin e tij me zero. Koordinatat e vektorëve do të bëhen rreshta të matricës - dhe do të marrim vetë përcaktuesin që tregohet në teoremë:

Kjo formulë do të thotë që vëllimi i një paralelipipedi të ndërtuar mbi vektorët MN, MK dhe MT është i barabartë me zero. Prandaj, të tre vektorët shtrihen në të njëjtin plan. Në veçanti, një pikë arbitrare T = (x, y, z) është pikërisht ajo që ne po kërkonim.

Zëvendësimi i pikave dhe vijave të një përcaktori

Përcaktuesit kanë disa veti të shkëlqyera që e bëjnë edhe më të lehtë zgjidhja e problemit C2. Për shembull, për ne nuk ka rëndësi se nga cila pikë i tërheqim vektorët. Prandaj, përcaktuesit e mëposhtëm japin të njëjtin ekuacion të rrafshët si ai i mësipërm:

Ju gjithashtu mund të ndërroni rreshtat e përcaktorit. Ekuacioni do të mbetet i pandryshuar. Për shembull, shumë njerëzve u pëlqen të shkruajnë një rresht me koordinatat e pikës T = (x; y; z) në krye. Ju lutemi, nëse është e përshtatshme për ju:

Disa njerëz janë të hutuar se në një nga rreshtat ka variabla x, y dhe z, të cilat nuk zhduken kur zëvendësojnë pikat. Por ato nuk duhet të zhduken! Duke zëvendësuar numrat në përcaktor, duhet të merrni këtë ndërtim:

Më pas përcaktori zgjerohet sipas diagramit të dhënë në fillim të mësimit dhe marrim ekuacioni standard aeroplan:

Ax + By + Cz + D = 0

Hidhini një sy një shembulli. Është i fundit në mësimin e sotëm. Do të ndërroj qëllimisht linjat për t'u siguruar që përgjigja do të japë të njëjtin ekuacion të aeroplanit.

Detyrë. Shkruani një ekuacion për një rrafsh që kalon nëpër pika:

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1).

Pra, ne konsiderojmë 4 pika:

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1);
T = (x, y, z).

Së pari, le të krijojmë një përcaktues standard dhe ta barazojmë me zero:

Zgjerojmë përcaktorin:

a = 0 1 (z − 1) + 1 0 (x − 1) + (−1) (−1) y = 0 + 0 + y;
b = (−1) 1 (x − 1) + 1 (−1) (z − 1) + 0 0 y = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
d = a − b = y − (2 − x − z ) = y − 2 + x + z = x + y + z − 2;
d = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Kjo është ajo, ne morëm përgjigjen: x + y + z − 2 = 0.

Tani le të riorganizojmë disa rreshta në përcaktor dhe të shohim se çfarë ndodh. Për shembull, le të shkruajmë një rresht me variablat x, y, z jo në fund, por në krye:

Ne zgjerojmë përsëri përcaktuesin që rezulton:

a = (x − 1) 1 (−1) + (z − 1) (−1) 1 + y 0 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
b = (z − 1) 1 0 + y (−1) (−1) + (x − 1) 1 0 = y;
d = a − b = 2 − x − z − y;
d = 0 ⇒ 2 − x − y − z = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Ne morëm saktësisht të njëjtin ekuacion të planit: x + y + z − 2 = 0. Kjo do të thotë se në të vërtetë nuk varet nga rendi i rreshtave. Mbetet vetëm të shkruajmë përgjigjen.

Pra, jemi të bindur se ekuacioni i rrafshit nuk varet nga sekuenca e vijave. Mund të bëjmë llogaritje të ngjashme dhe të vërtetojmë se ekuacioni i rrafshit nuk varet nga pika, koordinatat e së cilës i zbresim nga pikat e tjera.

Në problemin e konsideruar më sipër, ne përdorëm pikën B 1 = (1, 0, 1), por ishte mjaft e mundur të merrej C = (1, 1, 0) ose D 1 = (0, 1, 1). Në përgjithësi, çdo pikë nga koordinatat e njohura, i shtrirë në aeroplanin e dëshiruar.

Në mënyrë që një rrafsh i vetëm të tërhiqet nëpër çdo tre pikë në hapësirë, është e nevojshme që këto pika të mos shtrihen në të njëjtën vijë të drejtë.

Konsideroni pikat M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) në përgjithësi Sistemi kartezian koordinatat

Në mënyrë që një pikë arbitrare M(x, y, z) të shtrihet në të njëjtin rrafsh me pikat M 1, M 2, M 3, është e nevojshme që vektorët të jenë koplanarë.

(
) = 0

Kështu,

Ekuacioni i një rrafshi që kalon nëpër tre pika:

Ekuacioni i një rrafshi të dhënë dy pika dhe një vektor kolinear me rrafshin.

Le të jepen pikat M 1 (x 1,y 1,z 1),M 2 (x 2,y 2,z 2) dhe vektori
.

Le të krijojmë një ekuacion për një plan që kalon nëpër pikat e dhëna M 1 dhe M 2 dhe një pikë arbitrare M (x, y, z) paralele me vektorin .

Vektorët
dhe vektor
duhet të jetë koplanar, d.m.th.

(
) = 0

Ekuacioni i planit:

Ekuacioni i një rrafshi duke përdorur një pikë dhe dy vektorë,

kolinear me aeroplanin.

Le të jepen dy vektorë
Dhe
, plane kolineare. Pastaj për një pikë arbitrare M(x, y, z) që i përket rrafshit, vektorët
duhet të jetë koplanar.

Ekuacioni i planit:

Ekuacioni i një rrafshi për pikë dhe vektori normal .

Teorema. Nëse në hapësirë ​​është dhënë një pikë M 0 (X 0 , y 0 , z 0 ), pastaj ekuacioni i rrafshit që kalon nëpër pikën M 0 pingul me vektorin normal (A, B, C) ka formën:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Dëshmi. Për një pikë arbitrare M(x, y, z) që i përket rrafshit, ne hartojmë një vektor. Sepse vektoriale është vektori normal, atëherë ai është pingul me rrafshin, dhe, për rrjedhojë, pingul me vektorin
. Pastaj produkti skalar

= 0

Kështu, marrim ekuacionin e aeroplanit

Teorema është e vërtetuar.

Ekuacioni i një rrafshi në segmente.

Nëse në ekuacionin e përgjithshëm Ax + Bi + Cz + D = 0 i ndajmë të dyja anët me (-D)

,

duke zëvendësuar
, marrim ekuacionin e rrafshit në segmente:

Numrat a, b, c janë pikat e kryqëzimit të rrafshit me boshtet x, y, z, përkatësisht.

Ekuacioni i një rrafshi në formë vektori.

Ku

- vektori i rrezes së pikës aktuale M(x, y, z),

Një vektor njësi që ka drejtimin e një pingule të rënë në një plan nga origjina.

,  dhe  janë këndet e formuara nga ky vektor me boshtet x, y, z.

p është gjatësia e kësaj pingule.

Në koordinata, ky ekuacion duket si ky:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

Distanca nga një pikë në një aeroplan.

Distanca nga një pikë arbitrare M 0 (x 0, y 0, z 0) në rrafshin Ax+By+Cz+D=0 është:

Shembull. Gjeni ekuacionin e rrafshit, duke ditur se pika P(4; -3; 12) është baza e pingulit të rënë nga origjina në këtë rrafsh.

Pra A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, ne përdorim formulën:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Shembull. Gjeni ekuacionin e një rrafshi që kalon nga dy pika P(2; 0; -1) dhe

Q(1; -1; 3) pingul me rrafshin 3x + 2y – z + 5 = 0.

Vektori normal në rrafshin 3x + 2y – z + 5 = 0
paralel me rrafshin e dëshiruar.

Ne marrim:

Shembull. Gjeni ekuacionin e rrafshit që kalon nëpër pikat A(2, -1, 4) dhe

B(3, 2, -1) pingul me rrafshin X + në + 2z – 3 = 0.

Ekuacioni i kërkuar i rrafshit ka formën: A x+B y+C z+ D = 0, vektor normal për këtë plan (A, B, C). Vektor
(1, 3, -5) i përket aeroplanit. Rrafshi që na është dhënë, pingul me atë të dëshiruar, ka një vektor normal (1, 1, 2). Sepse Pikat A dhe B u përkasin të dy rrafsheve, dhe planet janë reciprokisht pingul, atëherë

Pra, vektori normal (11, -7, -2). Sepse pika A i përket rrafshit të dëshiruar, atëherë koordinatat e saj duhet të plotësojnë ekuacionin e këtij rrafshi, d.m.th. 112 + 71 - 24 +D= 0;D= -21.

Në total, marrim ekuacionin e aeroplanit: 11 x - 7y – 2z – 21 = 0.

Shembull. Gjeni ekuacionin e rrafshit, duke ditur se pika P(4, -3, 12) është baza e pingulit të rënë nga origjina në këtë rrafsh.

Gjetja e koordinatave të vektorit normal
= (4, -3, 12). Ekuacioni i kërkuar i rrafshit ka formën: 4 x – 3y + 12z+ D = 0. Për të gjetur koeficientin D, ne zëvendësojmë koordinatat e pikës P në ekuacionin:

16 + 9 + 144 + D = 0

Në total, marrim ekuacionin e kërkuar: 4 x – 3y + 12z – 169 = 0

Shembull. Janë dhënë koordinatat e kulmeve të piramidës: A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),

Gjeni gjatësinë e skajit A 1 A 2.

Gjeni këndin midis skajeve A 1 A 2 dhe A 1 A 4.

Gjeni këndin midis skajit A 1 A 4 dhe faqes A 1 A 2 A 3.

Së pari gjejmë vektorin normal të fytyrës A 1 A 2 A 3 si prodhim i kryqëzuar i vektorëve
Dhe
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Le të gjejmë këndin ndërmjet vektorit normal dhe vektorit
.

-4 – 4 = -8.

Këndi i dëshiruar  ndërmjet vektorit dhe rrafshit do të jetë i barabartë me  = 90 0 - .

Gjeni sipërfaqen e fytyrës A 1 A 2 A 3.

Gjeni vëllimin e piramidës.

Gjeni ekuacionin e rrafshit A 1 A 2 A 3.

Le të përdorim formulën për ekuacionin e një rrafshi që kalon nga tre pika.

2x + 2y + 2z – 8 = 0

x + y + z – 4 = 0;

Kur përdorni versionin e kompjuterit " Kursi i lartë i matematikës” ju mund të ekzekutoni një program që do të zgjidhë shembullin e mësipërm për çdo koordinatë të kulmeve të piramidës.

Për të nisur programin, klikoni dy herë në ikonën:

Në dritaren e programit që hapet, vendosni koordinatat e kulmeve të piramidës dhe shtypni Enter. Në këtë mënyrë, të gjitha pikat e vendimit mund të merren një nga një.

Shënim: Për të ekzekutuar programin, programi Maple ( Waterloo Maple Inc.) i çdo versioni, duke filluar me MapleV Release 4, duhet të instalohet në kompjuterin tuaj.

Ju mund të vendosni menyra te ndryshme(një pikë dhe një vektor, dy pika dhe një vektor, tre pika, etj.). Me këtë në mendje mund të ketë ekuacioni i aeroplanit lloje te ndryshme. Gjithashtu, subjekt i kushte të caktuara rrafshet mund të jenë paralele, pingule, prerëse etj. Ne do të flasim për këtë në këtë artikull. Ne do të mësojmë se si të krijojmë një ekuacion të përgjithshëm të një rrafshi dhe më shumë.

Forma normale e ekuacionit

Le të themi se ekziston një hapësirë ​​​​R 3 që ka një sistem koordinativ drejtkëndor XYZ. Le të përcaktojmë vektorin α, i cili do të lirohet nga pikënisje O. Nëpër skajin e vektorit α vizatojmë një rrafsh P, i cili do të jetë pingul me të.

Le të shënojmë një pikë arbitrare në P si Q = (x, y, z). Le të nënshkruajmë vektorin e rrezes së pikës Q me shkronjën p. Në këtë rast, gjatësia e vektorit α është e barabartë me р=IαI dhe Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

Ky është një vektor njësi që drejtohet anash, si vektori α. α, β dhe γ janë këndet që formohen ndërmjet vektorit Ʋ dhe drejtime pozitive boshtet hapësinore x, y, z përkatësisht. Projeksioni i çdo pike QϵП në vektorin Ʋ është vlerë konstante, e cila është e barabartë me p: (p,Ʋ) = p(p≥0).

Ekuacioni i mësipërm ka kuptim kur p=0. E vetmja gjë është se rrafshi P në këtë rast do të presë pikën O (α=0), e cila është origjina e koordinatave, dhe vektori njësi Ʋ i lëshuar nga pika O do të jetë pingul me P, pavarësisht drejtimit të tij, i cili do të thotë se vektori Ʋ përcaktohet me saktësi ndaj shenjës. Ekuacioni i mëparshëm është ekuacioni i planit tonë P, i shprehur në formë vektoriale. Por në koordinata do të duket kështu:

P këtu është më i madh ose i barabartë me 0. Ne kemi gjetur ekuacionin e rrafshit në hapësirë ​​në formë normale.

Ekuacioni i përgjithshëm

Nëse e shumëzojmë ekuacionin në koordinata me ndonjë numër që nuk është i barabartë me zero, marrim një ekuacion të barabartë me këtë, duke përcaktuar pikërisht atë plan. Do të duket kështu:

Këtu A, B, C janë numra që janë njëkohësisht të ndryshëm nga zero. Ky ekuacion quhet ekuacion i planit të përgjithshëm.

Ekuacionet e aeroplanëve. Raste të veçanta

Ekuacioni në formën e përgjithshme mund të modifikohet në prani të kushteve shtesë. Le të shohim disa prej tyre.

Le të supozojmë se koeficienti A është 0. Kjo do të thotë se aeroplan i dhënë paralel me boshtin e dhënë Ox. Në këtë rast, forma e ekuacionit do të ndryshojë: Ву+Cz+D=0.

Në mënyrë të ngjashme, forma e ekuacionit do të ndryshojë në kushtet e mëposhtme:

• Së pari, nëse B = 0, atëherë ekuacioni do të ndryshojë në Ax + Cz + D = 0, që do të tregojë paralelizëm me boshtin Oy.
• Së dyti, nëse C=0, atëherë ekuacioni do të shndërrohet në Ax+By+D=0, i cili do të tregojë paralelizëm me boshtin e dhënë Oz.
• Së treti, nëse D=0, ekuacioni do të duket si Ax+By+Cz=0, që do të thotë se rrafshi kryqëzon O (origjina).
• Së katërti, nëse A=B=0, atëherë ekuacioni do të ndryshojë në Cz+D=0, i cili do të jetë paralel me Oxy.
• Së pesti, nëse B=C=0, atëherë ekuacioni bëhet Ax+D=0, që do të thotë se rrafshi me Oyz është paralel.
• Së gjashti, nëse A=C=0, atëherë ekuacioni do të marrë formën Ву+D=0, domethënë do të raportojë paralelizëm tek Oxz.

Lloji i ekuacionit në segmente

Në rastin kur numrat A, B, C, D janë të ndryshëm nga zero, forma e ekuacionit (0) mund të jetë si më poshtë:

x/a + y/b + z/c = 1,

në të cilat a = -D/A, b = -D/B, c = -D/C.

Ne marrim si rezultat Vlen të përmendet se ky aeroplan do të kryqëzojë boshtin Ox në një pikë me koordinata (a,0,0), Oy - (0,b,0) dhe Oz - (0,0,c. ).

Duke marrë parasysh ekuacionin x/a + y/b + z/c = 1, nuk është e vështirë të imagjinohet vizualisht vendosja e rrafshit në lidhje me një sistem të caktuar koordinativ.

Koordinatat normale vektoriale

Vektori normal n në planin P ka koordinata që janë koeficientë ekuacioni i përgjithshëm të një rrafshi të caktuar, pra n (A, B, C).

Për të përcaktuar koordinatat e normales n, mjafton të dihet ekuacioni i përgjithshëm i një rrafshi të caktuar.

Kur përdorni një ekuacion në segmente, i cili ka formën x/a + y/b + z/c = 1, si kur përdorni një ekuacion të përgjithshëm, mund të shkruani koordinatat e çdo vektori normal të një rrafshi të caktuar: (1/a + 1/b + 1/ Me).

Vlen të përmendet se vektori normal ndihmon në zgjidhjen e një sërë problemesh. Më të zakonshmet përfshijnë probleme që përfshijnë vërtetimin e pingulitetit ose paralelizmit të rrafsheve, problemet e gjetjes së këndeve midis planeve ose këndeve midis rrafsheve dhe drejtëzave.

Lloji i ekuacionit të planit sipas koordinatave të pikës dhe vektorit normal

Një vektor jozero n pingul me një plan të caktuar quhet normal për një plan të caktuar.

Le të supozojmë se në hapësirën koordinative (drejtkëndore sistemi i koordinatave) Oxyz i dhënë:

• pika Mₒ me koordinata (xₒ,yₒ,zₒ);
• vektor zero n=A*i+B*j+C*k.

Është e nevojshme të krijohet një ekuacion për një plan që do të kalojë nëpër pikën Mₒ pingul me normalen n.

Ne zgjedhim çdo pikë arbitrare në hapësirë ​​dhe e shënojmë atë M (x y, z). Le të jetë vektori i rrezes së çdo pike M (x,y,z) r=x*i+y*j+z*k, dhe vektori i rrezes së pikës Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. Pika M do t'i përkasë një rrafshi të caktuar nëse vektori MₒM është pingul me vektorin n. Le të shkruajmë kushtin e ortogonalitetit duke përdorur produktin skalar:

[MₒM, n] = 0.

Meqenëse MₒM = r-rₒ, ekuacioni vektorial i rrafshit do të duket kështu:

Ky ekuacion mund të ketë një formë tjetër. Për ta bërë këtë, përdoren vetitë e produktit skalar, dhe transformimi është Pjesa e dorës së majtë ekuacionet

= - . Nëse e shënojmë si c, marrim ekuacionin e mëposhtëm: - c = 0 ose = c, që shpreh qëndrueshmërinë e projeksioneve në vektorin normal të vektorëve të rrezes së pikave të dhëna që i përkasin rrafshit. Tani mund të merrni pamjen koordinative të rekordit ekuacioni vektorial

plani ynë = 0. Meqenëse r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k, dhe n = A*i+B*j+C*k, ne ne kemi:

Rezulton se kemi një ekuacion për një plan që kalon nëpër një pikë pingul me normalen n:

A*(x- xₒ)+B*(y- yₒ)C*(z-zₒ)=0.

Lloji i ekuacionit të planit sipas koordinatave të dy pikave dhe një vektori kolinear me rrafshin

Le të specifikojmë dy pika arbitrare M′ (x′,y′,z′) dhe M″ (x″,y″,z″), si dhe një vektor a (a′,a″,a‴).

Tani mund të krijojmë një ekuacion për një plan të caktuar që do të kalojë nëpër pikat ekzistuese M′ dhe M″, si dhe çdo pikë M me koordinata (x, y, z) paralele me vektorin e dhënë a.

Në këtë rast, vektorët M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) dhe M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) duhet të jenë të njëtrajtshëm me vektorin a=(a′,a″,a‴), që do të thotë se (M′M, M″M, a)=0.

Pra, ekuacioni ynë i planit në hapësirë ​​do të duket kështu:

Lloji i ekuacionit të një rrafshi që kryqëzon tre pika

Le të themi se kemi tri pika: (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), të cilat nuk i përkasin të njëjtës drejtëz. Është e nevojshme të shkruhet ekuacioni i një rrafshi që kalon nëpër tre pika të dhëna. Teoria e gjeometrisë pretendon se ky lloj rrafshi ekziston vërtet, por është i vetmi dhe unik. Meqenëse ky plan pret pikën (x′,y′,z′), forma e ekuacionit të tij do të jetë si më poshtë:

Këtu A, B, C janë të ndryshme nga zero në të njëjtën kohë. Gjithashtu, rrafshi i dhënë pret edhe dy pika të tjera: (x″,y″,z″) dhe (x‴,y‴,z‴). Në këtë drejtim, duhet të plotësohen kushtet e mëposhtme:

Tani mund të krijojmë një sistem homogjen me të panjohura u, v, w: Në tonë ose z vepron si një pikë arbitrare që plotëson ekuacionin (1). Duke pasur parasysh ekuacionin (1) dhe sistemin e ekuacioneve (2) dhe (3), sistemi i ekuacioneve të treguar në figurën e mësipërme plotësohet nga vektori N (A,B,C), i cili është jo i parëndësishëm. Kjo është arsyeja pse përcaktorja e këtij sistemi është e barabartë me zero.

Ekuacioni (1) që kemi marrë është ekuacioni i rrafshit. Ai kalon në 3 pika saktësisht, dhe kjo është e lehtë për t'u kontrolluar. Për ta bërë këtë, ne duhet të zgjerojmë përcaktuesin tonë në elementët në rreshtin e parë. Nga vetitë ekzistuese të përcaktorit rrjedh se rrafshi ynë kryqëzon njëkohësisht tre pika të dhëna fillimisht (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) . Domethënë, ne e kemi zgjidhur detyrën që na është caktuar.

Këndi dihedral ndërmjet planeve

Një kënd dihedral përfaqëson një hapësinor figura gjeometrike, i formuar nga dy gjysmërrafshe që dalin nga një vijë e drejtë. Me fjalë të tjera, kjo është pjesa e hapësirës që kufizohet nga këto gjysmëplane.

Le të themi se kemi dy plane me ekuacionet e mëposhtme:

Ne e dimë se vektorët N=(A,B,C) dhe N1=(A1,B1,C1) janë pingul sipas aeroplanë të dhënë. Në këtë drejtim, këndi φ ndërmjet vektorëve N dhe N1 është i barabartë me këndin (dyhedral) që ndodhet midis këtyre rrafsheve. Produkt skalar ka formën:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

pikërisht sepse

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

Mjafton të merret parasysh se 0≤φ≤π.

Në fakt, dy plane që kryqëzohen formojnë dy kënde (dyhedral): φ 1 dhe φ 2. Shuma e tyre është e barabartë me π (φ 1 + φ 2 = π). Sa i përket kosinuseve të tyre, vlerat e tyre absolute janë të barabarta, por ato ndryshojnë në shenjë, domethënë cos φ 1 = -cos φ 2. Nëse në ekuacionin (0) zëvendësojmë A, B dhe C me numrat përkatësisht -A, -B dhe -C, atëherë ekuacioni që marrim do të përcaktojë të njëjtin rrafsh, të vetmin, këndin φ në ekuacioni cosφ=NN 1 /|N||N 1 | do të zëvendësohet me π-φ.

Ekuacioni i një rrafshi pingul

Planet ndërmjet të cilave këndi është 90 gradë quhen pingul. Duke përdorur materialin e paraqitur më sipër, mund të gjejmë ekuacionin e një rrafshi pingul me një tjetër. Le të themi se kemi dy plane: Ax+By+Cz+D=0 dhe A¹x+B1y+C¹z+D=0. Mund të themi se do të jenë pingul nëse cosφ=0. Kjo do të thotë se NN1=AA¹+BB1+CC1=0.

Ekuacioni i rrafshit paralel

Dy plane që nuk përmbajnë pika të përbashkëta quhen paralele.

Kushti (ekuacionet e tyre janë të njëjta si në paragrafin e mëparshëm) është që vektorët N dhe N1, të cilët janë pingul me ta, të jenë kolinearë. Dhe kjo do të thotë se ato janë përmbushur kushtet e mëposhtme proporcionaliteti:

A/A1=B/B1=C/C1.

Nëse zgjaten kushtet e proporcionalitetit - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

kjo tregon se këto aeroplanë përkojnë. Kjo do të thotë se ekuacionet Ax+By+Cz+D=0 dhe A¹x+B1y+C1z+D1=0 përshkruajnë një rrafsh.

Distanca në aeroplan nga pika

Le të themi se kemi një plan P, i cili jepet me ekuacionin (0). Është e nevojshme të gjendet largësia deri në të nga një pikë me koordinata (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ. Për ta bërë këtë, duhet të sillni ekuacionin e planit P në formë normale:

(ρ,v)=р (р≥0).

NË në këtë rastρ (x,y,z) është vektori i rrezes së pikës sonë Q që ndodhet në P, p është gjatësia e pingulit P që u lirua nga pikë zero, v është vektori njësi, i cili ndodhet në drejtimin a.

Diferenca ρ-ρº vektori i rrezes së një pike Q = (x, y, z), që i përket P, si dhe vektori i rrezes së një pike të caktuar Q 0 = (xₒ, yₒ, zₒ) është një vektor i tillë, vlere absolute projeksioni i të cilit mbi v është i barabartë me distancën d, e cila duhet të gjendet nga Q 0 = (xₒ,уₒ,zₒ) në P:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, por

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =ρ-(ρ 0 ,v).

Kështu rezulton

d=|(ρ 0 ,v)-р|.

Kështu do të gjejmë vlere absolute shprehja që rezulton, domethënë d-ja e dëshiruar.

Duke përdorur gjuhën e parametrave, ne marrim qartë:

d=|Ахₒ+Вуₒ+Czₒ|/√(А²+В²+С²).

Nëse pikë e caktuar Q 0 është në anën tjetër të rrafshit P, si origjina e koordinatave, atëherë midis vektorit ρ-ρ 0 dhe v ndodhet pra:

d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-р>0.

Në rastin kur pika Q 0, së bashku me origjinën e koordinatave, ndodhet në të njëjtën anë të P, atëherë këndi i krijuar është i mprehtë, domethënë:

d=(ρ-ρ 0 ,v)=р - (ρ 0 , v)>0.

Si rezultat, rezulton se në rastin e parë (ρ 0 ,v)>р, në të dytin (ρ 0 ,v)<р.

Plani tangjent dhe ekuacioni i tij

Rrafshi tangjent me sipërfaqen në pikën e kontaktit Mº është një plan që përmban të gjitha tangjentet e mundshme me kthesat e tërhequra përmes kësaj pike në sipërfaqe.

Me këtë lloj ekuacioni sipërfaqësor F(x,y,z)=0, ekuacioni i planit tangjent në pikën tangjente Mº(xº,yº,zº) do të duket kështu:

F x (xº,yº,zº)(x- xº)+ F x (xº, yº, zº)(y- yº)+ F x (xº, yº,zº)(z-zº)=0.

Nëse e specifikoni sipërfaqen në formë të qartë z=f (x,y), atëherë plani tangjent do të përshkruhet nga ekuacioni:

z-zº =f(xº, yº)(x- xº)+f(xº, yº)(y- yº).

Kryqëzimi i dy planeve

Në sistemin koordinativ (drejtkëndor) ndodhet Oxyz, jepen dy rrafshe П′ dhe П″, të cilët kryqëzohen dhe nuk përkojnë. Meqenëse çdo rrafsh i vendosur në një sistem koordinativ drejtkëndor përcaktohet nga një ekuacion i përgjithshëm, do të supozojmë se P′ dhe P″ jepen nga ekuacionet A′x+B′y+C′z+D′=0 dhe A″x +B″y+ С″z+D″=0. Në këtë rast, kemi n' (A',B',C') normale të planit P' dhe n' normale (A″,B″,C″) të planit P″. Meqenëse planet tona nuk janë paralele dhe nuk përkojnë, këta vektorë nuk janë kolinearë. Duke përdorur gjuhën e matematikës, mund ta shkruajmë këtë kusht si më poshtë: n′≠ n″ ↔ (A′,B′,C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. Vija e drejtë që shtrihet në kryqëzimin e P′ dhe P″ le të shënohet me shkronjën a, në këtë rast a = P′ ∩ P″.

a është një vijë e drejtë që përbëhet nga bashkësia e të gjitha pikave të planeve (të përbashkëta) P′ dhe P″. Kjo do të thotë që koordinatat e çdo pike që i përket drejtëzës a duhet të plotësojnë njëkohësisht ekuacionet A′x+B′y+C′z+D′=0 dhe A″x+B″y+C″z+D″=0 . Kjo do të thotë që koordinatat e pikës do të jenë një zgjidhje e pjesshme e sistemit të mëposhtëm të ekuacioneve:

Si rezultat, rezulton se zgjidhja (e përgjithshme) e këtij sistemi ekuacionesh do të përcaktojë koordinatat e secilës prej pikave të drejtëzës, e cila do të veprojë si pika e kryqëzimit të P′ dhe P″, dhe do të përcaktojë vijën e drejtë. a në sistemin koordinativ Oxyz (drejtkëndor) në hapësirë.