Cila është sekuenca e numrave. Sekuencat e numrave

Oganesyan Eva

Sekuencat e numrave. Abstrakt.

Shkarko:

Pamja paraprake:

Institucion arsimor buxhetor komunal
"Shkolla e mesme nr.31"
qyteti i Barnaulit

Sekuencat e numrave

Abstrakt

Puna e përfunduar:
Oganesyan Eva,
Nxënës i klasës së 8-të të MBOU "Shkolla e Mesme Nr. 31"
Mbikëqyrësi:
Poleva Irina Alexandrovna,
mësuesi i matematikës MBOU "Shkolla e mesme nr. 31"

Barnaul - 2014

Hyrja…………………………………………………………………………………………

sekuencat e numrave…………………………………………………………………...3

Metodat për përcaktimin e sekuencave të numrave…………………………...4

Zhvillimi i doktrinës së progresioneve………………………………………………..5

Vetitë e vargjeve të numrave…………………………………7

Progresioni aritmetik…………………………………..................9

Progresioni gjeometrik………………………………………………………………………………….

konkluzioni…………………………………………………………………………………………………………………………………

Referencat………………………………………………………11

Hyrje

Qëllimi i këtij abstrakti– studimi i koncepteve bazë që lidhen me sekuencat e numrave, zbatimi i tyre në praktikë.
Detyrat:

Studioni aspektet historike të zhvillimit të doktrinës së progresioneve;
Konsideroni metodat e specifikimit dhe vetitë e sekuencave të numrave;
Njihuni me progresionet aritmetike dhe gjeometrike.

Aktualisht, sekuencat e numrave konsiderohen si raste të veçanta të një funksioni. Sekuenca e numrave është një funksion i argumentit natyror. Koncepti i një sekuence numerike u ngrit dhe u zhvillua shumë përpara krijimit të doktrinës së funksionit. Këtu janë shembuj të sekuencave me numra të pafund të njohur në kohët e lashta:

1, 2, 3, 4, 5, ... - një sekuencë numrash natyrorë.

2, 4, 6, 8, 10,… - një sekuencë numrash çift.

1, 3, 5, 7, 9,… - një sekuencë numrash tek.

1, 4, 9, 16, 25,… - një sekuencë katrorësh të numrave natyrorë.

2, 3, 5, 7, 11... - një sekuencë numrash të thjeshtë.

1, ½, 1 /3, ¼, 1 /5,… - një sekuencë numrash që janë reciproke me numrat natyrorë.

Numri i anëtarëve të secilës prej këtyre serive është i pafund; pesë sekuencat e para janë në rritje monotonike, e fundit është monotonike në rënie. Të gjitha sekuencat e listuara, përveç të 5-tës, jepen për faktin se për secilën prej tyre njihet një term i përbashkët, d.m.th., rregulli për marrjen e një termi me çdo numër. Për një sekuencë numrash të thjeshtë, termi i zakonshëm është i panjohur, por në shekullin III. para Krishtit e. shkencëtari Aleksandrian Eratosthenes tregoi një metodë (edhe pse shumë e rëndë) për të marrë anëtarin e saj të n-të. Kjo metodë u quajt "sitë e Eratosthenes".

Progresionet - lloje të veçanta të sekuencave numerike - gjenden në monumentet e mijëvjeçarit të II para Krishtit. e.

Sekuencat e numrave

Ekzistojnë përkufizime të ndryshme të një sekuence numrash.

Sekuenca e numrave – është një sekuencë elementësh të hapësirës së numrave (Wikipedia).

Sekuenca e numrave – është një grup numrash me numër.

Një funksion i formës y = f (x), xquhet funksioni i argumentit natyror osesekuencë numerikedhe shënojmë y = f(n) ose

, , , …, Për të treguar sekuencën, shënimi ().

Ne do t'i shkruajmë numrat çift pozitiv në rend rritës. Numri i parë i tillë është 2, i dyti është 4, i treti është 6, i katërti është 8, etj., kështu që marrim sekuencën: 2; 4; 6; 8; 10….

Natyrisht, në vendin e pestë në këtë sekuencë do të jetë numri 10, në vendin e dhjetë numri - 20, në vendin e qindtë numri - 200. Në përgjithësi, për çdo numër natyror n, mund të tregoni numrin çift pozitiv që korrespondon me të; është e barabartë me 2n.

Le të shohim një sekuencë tjetër. Ne do të shkruajmë thyesat e duhura me një numërues të barabartë me 1 në rend zbritës:

; ; ; ; ; … .

Për çdo numër natyror n, mund të tregojmë thyesën përkatëse; është e barabartë. Pra, në vendin e gjashtë duhet të ketë një fraksion, në datën e tridhjetë - , në të mijtën - një pjesë .

Numrat që formojnë sekuencën quhen përkatësisht të parët, të dytët, të tretët, të katërt etj. anëtarët e sekuencës. Anëtarët e një sekuence zakonisht përcaktohen me shkronja me indekse që tregojnë numrin serial të anëtarit. Për shembull:, , etj. në përgjithësi, anëtari i sekuencës me numrin n, ose, siç thonë ata, anëtari i n-të i sekuencës, tregon. Vetë sekuenca shënohet me (). Një sekuencë mund të përmbajë ose një numër të pafund termash ose një numër të fundëm. Në këtë rast quhet përfundimtar. Për shembull: një varg numrash dyshifrorë.10; 11; 12; 13; ...; 98; 99

Metodat për përcaktimin e sekuencave të numrave

Sekuencat mund të specifikohen në disa mënyra.

Zakonisht është më e përshtatshme të vendosni sekuencënformula për termin e tij të përbashkët të n-të, i cili ju lejon të gjeni çdo anëtar të sekuencës duke ditur numrin e tij. Në këtë rast themi se është dhënë sekuenca në mënyrë analitike. Për shembull: sekuenca e termave çift pozitiv=2n.

Detyra: gjeni formulën për termin e përgjithshëm të sekuencës (:

6; 20; 56; 144; 352;…

Zgjidhje. Le të shkruajmë secilin anëtar të sekuencës në formën e mëposhtme:

n=1: 6 = 2 3 = 3 =

n=2: 20 = 4 5 = 5 =

n=3: 56 = 8 7 = 7 =

Siç mund ta shohim, termat e sekuencës janë prodhimi i një fuqie prej dysh të shumëzuar me numra tek të njëpasnjëshëm, me dy të ngritur në një fuqi që është e barabartë me numrin e elementit në fjalë. Kështu, arrijmë në përfundimin se

Përgjigje: formula e termit të përgjithshëm:

Një mënyrë tjetër për të specifikuar një sekuencë është të specifikoni sekuencën duke përdorurrelacioni i përsëritjes. Një formulë që shpreh çdo anëtar të një sekuence, duke filluar nga disa deri tek ato të mëparshmet (një ose më shumë), quhet të përsëritura (nga fjala latine recurro - të kthehem).

Në këtë rast, specifikohen një ose disa elementë të parë të sekuencës, dhe pjesa tjetër përcaktohen sipas disa rregullave.

Një shembull i një sekuence të dhënë në mënyrë periodike është sekuenca e numrave Fibonacci - 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ..., në të cilën çdo numër pasues, duke filluar nga i treti, është shuma e dy të mëparshmeve. ato: 2 = 1 + 1; 3 = 2 + 1 e kështu me radhë. Kjo sekuencë mund të specifikohet në mënyrë periodike:

N N, = 1.

Detyra: pasardhësjepet duke përdorur relacionin e përsëritjes+ n N, = 4. Shkruani disa terma të parë të kësaj sekuence.

Zgjidhje. Le të gjejmë termin e tretë të sekuencës së dhënë:

+ =

etj.

Kur specifikoni sekuenca në mënyrë periodike, llogaritjet rezultojnë të jenë shumë të rënda, pasi për të gjetur elementë me numër të madh, është e nevojshme të gjenden të gjithë anëtarët e mëparshëm të sekuencës së specifikuar, për shembull, për të gjeturne duhet të gjejmë të gjithë 499 anëtarët e mëparshëm.

Metoda përshkruesecaktimi i një sekuence numrash është se shpjegon se nga cilat elementë është ndërtuar sekuenca.

Shembulli 1. "Të gjithë termat e sekuencës janë të barabartë me 1." Kjo do të thotë se ne po flasim për një sekuencë të palëvizshme 1, 1, 1, ..., 1, ....

Shembulli 2: "Sekuenca përbëhet nga të gjithë numrat e thjeshtë në rend rritës." Kështu, sekuenca e dhënë është 2, 3, 5, 7, 11, .... Me këtë metodë të specifikimit të sekuencës në këtë shembull, është e vështirë të përgjigjemi se me çfarë është, të themi, elementi i 1000-të i sekuencës.

Sekuenca numerike gjithashtu mund të specifikohet thjeshtduke renditur anëtarët e saj.

Zhvillimi i doktrinës së progresioneve

Fjala progresion është me origjinë latine (progressio), fjalë për fjalë do të thotë "lëvizje përpara" (si fjala "përparim") dhe gjendet për herë të parë te autori romak Boethius (shek. V-VI) fillimisht çdo sekuencë numerike e ndërtuar sipas një ligji që lejon vazhdimin e tij për një kohë të pacaktuar në një drejtim, për shembull, një sekuencë numrash natyrorë, katrorë dhe kube të tyre. Në fund të mesjetës dhe në fillim të kohëve moderne, ky term pushon së qeni në përdorim të zakonshëm. Në shekullin e 17-të, për shembull, J. Gregory përdor termin "seri" në vend të progresionit, dhe një matematikan tjetër i shquar anglez, J. Wallis, përdor termin "progresione të pafundme" për seritë e pafundme.

Aktualisht ne i konsiderojmë progresionet si raste të veçanta të sekuencave të numrave.

Informacioni teorik në lidhje me progresionet gjendet për herë të parë në dokumentet e Greqisë antike që kanë arritur tek ne.

Në Psammit, Arkimedi së pari krahason progresionet aritmetike dhe gjeometrike:

1,2,3,4,5,………………..

10, , ………….

Progresionet konsideroheshin si vazhdimësi e përmasave, prandaj epitetet aritmetike dhe gjeometrike u transferuan nga përmasat në progresione.

Kjo pikëpamje e progresioneve u ruajt nga shumë matematikanë të shekujve të 17-të dhe madje të 18-të. Kështu duhet shpjeguar fakti që simboli i gjetur në Barrow, dhe më pas te shkencëtarët e tjerë anglezë të asaj kohe, për të treguar një proporcion të vazhdueshëm gjeometrik, filloi të tregojë një progresion gjeometrik në tekstet shkollore angleze dhe franceze të shekullit të 18-të. Për analogji, përparimi aritmetik filloi të shënohej në këtë mënyrë.

Një nga provat e Arkimedit, e paraqitur në veprën e tij "Kuadratura e Parabolës", në thelb zbret në përmbledhjen e një progresioni gjeometrik pafundësisht në rënie.

Për të zgjidhur disa probleme në gjeometri dhe mekanikë, Arkimedi nxori një formulë për shumën e katrorëve të numrave natyrorë, megjithëse ishte përdorur më parë.

1/6n(n+1)(2n+1)

Disa formula që lidhen me progresionet ishin të njohura për shkencëtarët kinezë dhe indianë. Kështu, Aryabhatta (shek. V) dinte formula për termin e përgjithshëm, shumën e një progresion aritmetik, etj., Magavira (shekulli IX) përdori formulën: + + + ... + = 1/6n(n+1)(2n+1) dhe seri të tjera më komplekse. Sidoqoftë, rregulli për gjetjen e shumës së termave të një progresioni aritmetik arbitrar gjendet për herë të parë në Librin e Abacus (1202) nga Leonardo i Pizës. Në "Shkenca e Numrave" (1484), N. Schuke, ashtu si Arkimedi, krahason progresionin aritmetik me atë gjeometrik dhe jep një rregull të përgjithshëm për mbledhjen e çdo progresion gjeometrik pafundësisht në rënie. Formula për përmbledhjen e një progresion pafundësisht në rënie ishte e njohur nga P. Fermat dhe matematikanët e tjerë të shekullit të 17-të.

Problemet mbi progresionet aritmetike (dhe gjeometrike) gjenden gjithashtu në traktin e lashtë kinez "Matematika në nëntë libra", në të cilin, megjithatë, nuk ka asnjë tregues për përdorimin e ndonjë formule përmbledhjeje.

Problemet e para të progresionit që na kanë ardhur kanë të bëjnë me kërkesat e jetës ekonomike dhe të praktikës shoqërore, si shpërndarja e produkteve, ndarja e trashëgimisë etj.

Nga një tabelë kuneiforme mund të konkludojmë se, duke vëzhguar hënën nga hëna e re në hënën e plotë, babilonasit arritën në përfundimin e mëposhtëm: në pesë ditët e para pas hënës së re, rritja e ndriçimit të diskut hënor ndodh sipas ligjit. e progresionit gjeometrik me emërues 2. Në një tabelë tjetër të mëvonshme po flasim për progresionin gjeometrik përmbledhës:

1+2+ +…+ . zgjidhje dhe përgjigje S=512+(512-1), të dhënat në tabelë sugjerojnë se autori ka përdorur formulën.

Sn= +( -1), megjithatë, askush nuk e di se si e arriti atë.

Përmbledhja e progresioneve gjeometrike dhe përpilimi i problemeve përkatëse, të cilat jo gjithmonë plotësonin nevojat praktike, u kryen nga shumë amatorë të matematikës përgjatë mesjetës antike dhe të mesme.

Vetitë e sekuencave të numrave

Një sekuencë numerike është një rast i veçantë i një funksioni numerik, dhe për këtë arsye disa veti të funksioneve (kufizueshmëria, monotonia) merren gjithashtu në konsideratë për sekuencat.

Sekuenca të kufizuara

pasues () quhet të kufizuara sipër, që për çdo numër n, M.

pasues () quhet kufizohet më poshtë, nëse ka një numër të tillë m, që për çdo numër n, m.

pasues () quhet i kufizuar , nëse kufizohet sipër dhe kufizohet poshtë, domethënë, ekziston një numër i tillë M0, e cila për çdo numër n, M.

pasues () quhet e pakufizuar , nëse ka një numër të tillë M0 që ka një numër n të tillë që, M.

Detyra: eksploroni sekuencën = ndaj kufizimeve.

Zgjidhje. Sekuenca e dhënë është e kufizuar, pasi për çdo numër natyror n vlejnë pabarazitë e mëposhtme:

0 1,

Kjo do të thotë, sekuenca kufizohet më poshtë me zero, dhe në të njëjtën kohë kufizohet sipër me një, dhe për këtë arsye është gjithashtu e kufizuar.

Përgjigje: sekuenca është e kufizuar - nga poshtë me zero, dhe nga lart me një.

Sekuencat ngjitëse dhe zbritëse

pasues () quhet rritje , nëse secili anëtar është më i madh se ai i mëparshmi:

Për shembull, 1, 3, 5, 7.....2n -1,... është një sekuencë në rritje.

pasues () quhet zvogëluese , nëse secili prej anëtarëve të tij është më i vogël se ai i mëparshmi:

Për shembull, 1; - sekuencë në rënie.

Sekuencat në rritje dhe në rënie kombinohen me një term të përbashkët -sekuenca monotonike. Le të japim disa shembuj të tjerë.

1; - kjo sekuencë nuk është as në rritje e as në rënie (rend jo monotonik).

2n. Po flasim për sekuencën 2, 4, 8, 16, 32, ... - një sekuencë në rritje.

Në përgjithësi, nëse a > 1, atëherë sekuenca= rritet;

nëse 0 = zvogëlohet.

Progresioni aritmetik

Një sekuencë numerike, çdo anëtar i të cilit, duke filluar nga i dyti, është i barabartë me shumën e anëtarit të mëparshëm dhe të njëjtin numër d, quhetprogresion aritmetik, dhe numri d është diferenca e progresionit aritmetik.

Kështu, një progresion aritmetik është një sekuencë numrash

X, = = + d, (n = 2, 3, 4, …; a dhe d janë dhënë numra).

Shembulli 1. 1, 3, 5, 7, 9, 11, ... është një progresion aritmetik në rritje, i cili= 1, d = 2.

Shembulli 2. 20, 17, 14, 11, 8, 5, 2, –1, –4,... është një progresion aritmetik në rënie, i cili= 20, d = –3.

Shembulli 3. Konsideroni një sekuencë numrash natyrorë që, kur pjesëtohen me katër, japin një mbetje 1: 1; 5; 9; 13; 17; 21…

Secili prej termave të tij, duke filluar nga i dyti, fitohet duke shtuar numrin 4 në termin e mëparshëm.

Nuk është e vështirë të gjesh një shprehje të qartë (formulare).përmes n. Vlera e elementit pasardhës rritet me d në krahasim me atë të mëparshëm, pra, vlera n e elementit do të rritet me (n – 1)d në krahasim me termin e parë të progresionit aritmetik, d.m.th.

= + d (n – 1). Kjo është formula për termin e n-të të një progresion aritmetik.

Kjo është formula e shumës n kushtet e një progresion aritmetik.

Progresioni quhet progresion aritmetik, sepse çdo term në të, përveç të parit, është i barabartë me mesataren aritmetike të dy ngjitur me të - të mëparshmit dhe të mëpasshëm, në të vërtetë,

Progresioni gjeometrik

Një sekuencë numerike, të gjithë termat e së cilës janë të ndryshëm nga zero dhe secili term i të cilit, duke filluar nga i dyti, merret nga termi i mëparshëm duke shumëzuar me të njëjtin numër q, quhetprogresion gjeometrik, dhe numri q është emëruesi i progresionit gjeometrik. Kështu, një progresion gjeometrik është një sekuencë numrash (dhënë në mënyrë rekursive nga relacionet

B, = q (n = 2, 3, 4...; b dhe q janë dhënë numra).

Shembulli 1. 2, 6, 18, 54, ... – rritja e progresionit gjeometrik

2, q = 3.

Shembulli 2. 2, –2, 2, –2, … – progresion gjeometrik= 2, q = –1.

Një nga vetitë e dukshme të një progresion gjeometrik është se nëse sekuenca është një progresion gjeometrik, atëherë është edhe sekuenca e katrorëve, d.m.th.; ;…-

është një progresion gjeometrik termi i parë i të cilit është i barabartë me, dhe emëruesi është.

Formula për termin e n-të të progresionit gjeometrik është:

Formula për shumën e n termave të një progresion gjeometrik:

Veti karakteristikeprogresion gjeometrik: një sekuencë numerike është një progresion gjeometrik nëse dhe vetëm nëse katrori i secilit prej termave të tij, përveç të parit (dhe të fundit në rastin e një sekuence të fundme), është i barabartë me produktin e termave të mëparshëm dhe të mëpasshëm,

konkluzioni

Shumë shkencëtarë kanë studiuar sekuencat e numrave për shumë shekuj.Problemet e para të progresionit që na kanë ardhur kanë të bëjnë me kërkesat e jetës ekonomike dhe të praktikës shoqërore, si shpërndarja e produkteve, ndarja e trashëgimisë etj. Ato janë një nga konceptet kryesore të matematikës. Në punën time, u përpoqa të pasqyroja konceptet bazë që lidhen me sekuencat numerike, metodat e përcaktimit të tyre, vetitë dhe konsiderova disa prej tyre. Më vete, u morën parasysh progresionet (aritmetike dhe gjeometrike) dhe u diskutuan konceptet bazë që lidhen me to.

Referencat

A.G. Mordkovich, Algjebra, klasa e 10-të, tekst shkollor, 2012.
A.G. Mordkovich, Algjebra, klasa e 9-të, tekst shkollor, 2012.
Libër referimi i shkëlqyeshëm për nxënësit e shkollave. Moskë, Bustard, 2001.
G.I. Glaser, "Historia e matematikës në shkollë",

M.: Arsimi, 1964.

Revista “Matematika në shkollë”, 2002.
Shërbime arsimore në internet Webmath.ru
Enciklopedia universale e shkencës popullore në internet "Krugosvet"

Vida y= f(x), x RRETH N, Ku N– një grup numrash natyrorë (ose një funksion i një argumenti natyror), të shënuar y=f(n) ose y 1 ,y 2 ,…, y n,…. Vlerat y 1 ,y 2 ,y 3 ,… quhen përkatësisht anëtarët e parë, të dytë, të tretë, ... të vargut.

Për shembull, për funksionin y= n 2 mund të shkruhet:

y 1 = 1 2 = 1;

y 2 = 2 2 = 4;

y 3 = 3 2 = 9;…y n = n 2 ;…

Metodat për përcaktimin e sekuencave. Sekuencat mund të specifikohen në mënyra të ndryshme, ndër të cilat tre janë veçanërisht të rëndësishme: analitike, përshkruese dhe periodike.

1. Një sekuencë jepet në mënyrë analitike nëse jepet formula e saj n anëtari i th:

y n=f(n).

Shembull. y n= 2n - 1 – sekuenca e numrave tek: 1, 3, 5, 7, 9, ...

2. Përshkruese Mënyra për të specifikuar një sekuencë numerike është të shpjegohet se nga cilët elementë është ndërtuar sekuenca.

Shembulli 1. "Të gjithë termat e sekuencës janë të barabartë me 1." Kjo do të thotë se ne po flasim për një sekuencë të palëvizshme 1, 1, 1, ..., 1, ....

3. Metoda e përsëritur e specifikimit të një sekuence është të specifikoni një rregull që ju lejon të llogaritni n- anëtari i një sekuence nëse anëtarët e mëparshëm të saj janë të njohur. Emri metodë e përsëritur vjen nga fjala latine të përsëritura- kthehu. Më shpesh, në raste të tilla, tregohet një formulë që lejon një shprehje n anëtari i sekuencës përmes atyre të mëparshme, dhe specifikoni 1-2 anëtarë fillestarë të sekuencës.

Shembulli 1. y 1 = 3; y n = y n–1 + 4 nëse n = 2, 3, 4,….

Këtu y 1 = 3; y 2 = 3 + 4 = 7;y 3 = 7 + 4 = 11; ….

Ju mund të shihni se sekuenca e marrë në këtë shembull mund të specifikohet edhe në mënyrë analitike: y n= 4n - 1.

Shembulli 2. y 1 = 1; y 2 = 1; y n = y n –2 + y n-1 nëse n = 3, 4,….

Këtu: y 1 = 1; y 2 = 1; y 3 = 1 + 1 = 2; y 4 = 1 + 2 = 3; y 5 = 2 + 3 = 5; y 6 = 3 + 5 = 8;

Sekuenca në këtë shembull është studiuar veçanërisht në matematikë sepse ka një sërë vetive dhe aplikimesh interesante. Quhet sekuenca Fibonacci, e quajtur sipas matematikanit italian të shekullit të 13-të. Është shumë e lehtë të përkufizosh sekuencën Fibonacci në mënyrë periodike, por shumë e vështirë nga ana analitike. n Numri i Fibonaçit shprehet përmes numrit të tij serial me formulën e mëposhtme.

Në pamje të parë, formula për n Numri i Fibonaccit duket i pabesueshëm, pasi formula që specifikon sekuencën e numrave natyrorë përmban vetëm rrënjë katrore, por ju mund të kontrolloni "me dorë" vlefshmërinë e kësaj formule për disa të parat. n.

Vetitë e sekuencave të numrave.

Një sekuencë numerike është një rast i veçantë i një funksioni numerik, prandaj një numër i vetive të funksioneve gjithashtu merren parasysh për sekuencat.

Përkufizimi . pasues ( y n} quhet në rritje nëse secili prej termave të tij (përveç të parës) është më i madh se ai i mëparshmi:

y 1 y 2 y 3 y n y n +1

Përkufizimi.Sekuenca ( y n} quhet zbritës nëse secili prej termave të tij (përveç të parës) është më i vogël se ai i mëparshmi:

y 1 > y 2 > y 3 > … > y n> y n +1 > … .

Sekuencat në rritje dhe në rënie kombinohen nën termin e përbashkët - sekuenca monotonike.

Shembulli 1. y 1 = 1; y n= n 2 - sekuenca në rritje.

Kështu, teorema e mëposhtme është e vërtetë (një veti karakteristike e një progresion aritmetik). Një sekuencë numrash është aritmetike nëse dhe vetëm nëse secili nga anëtarët e tij, përveç të parës (dhe të fundit në rastin e një sekuence të fundme), është i barabartë me mesataren aritmetike të anëtarëve të mëparshëm dhe të mëpasshëm.

Shembull. Me çfarë vlere x numrat 3 x + 2, 5x- 4 dhe 11 x+ 12 formojnë një progresion të fundëm aritmetik?

Sipas vetive karakteristike, shprehjet e dhëna duhet të kënaqin relacionin

5x – 4 = ((3x + 2) + (11x + 12))/2.

Zgjidhja e këtij ekuacioni jep x= –5,5. Në këtë vlerë x shprehjet e dhëna 3 x + 2, 5x- 4 dhe 11 x+ 12 marrin, përkatësisht, vlerat -14.5, –31,5, –48,5. Ky është një progresion aritmetik, ndryshimi i tij është -17.

Progresioni gjeometrik.

Një sekuencë numerike, të gjithë termat e së cilës janë jo zero dhe secili term i të cilit, duke filluar nga i dyti, merret nga termi i mëparshëm duke shumëzuar me të njëjtin numër q, quhet progresion gjeometrik, dhe numri q- emëruesi i një progresion gjeometrik.

Kështu, një progresion gjeometrik është një sekuencë numrash ( b n), të përcaktuara në mënyrë rekursive nga relacionet

b 1 = b, b n = b n –1 q (n = 2, 3, 4…).

(b Dhe q - numrat e dhënë, b ≠ 0, q ≠ 0).

Shembulli 1. 2, 6, 18, 54, ... – rritja e progresionit gjeometrik b = 2, q = 3.

Shembulli 2. 2, –2, 2, –2, … – progresion gjeometrik b= 2,q= –1.

Shembulli 3. 8, 8, 8, 8, … – progresion gjeometrik b= 8, q= 1.

Një progresion gjeometrik është një sekuencë në rritje nëse b 1 > 0, q> 1, dhe duke u ulur nëse b 1 > 0, 0 q

Një nga vetitë e dukshme të një progresion gjeometrik është se nëse sekuenca është një progresion gjeometrik, atëherë është edhe sekuenca e katrorëve, d.m.th.

b 1 2 , b 2 2 , b 3 2 , …, b n 2,... është një progresion gjeometrik termi i parë i të cilit është i barabartë me b 1 2 , dhe emëruesi është q 2 .

Formula n- termi i th i progresionit gjeometrik ka formën

b n= b 1 qn- 1 .

Ju mund të merrni një formulë për shumën e kushteve të një progresion të fundëm gjeometrik.

Le të jepet një progresion i kufizuar gjeometrik

b 1 ,b 2 ,b 3 , …, b n

le S n - shuma e anëtarëve të saj, d.m.th.

S n= b 1 + b 2 + b 3 + … +b n.

Është pranuar që q Nr 1. Për të përcaktuar S n përdoret një teknikë artificiale: kryhen disa shndërrime gjeometrike të shprehjes S n q.

S n q = (b 1 + b 2 + b 3 + … + b n –1 + b n)q = b 2 + b 3 + b 4 + …+ b n+ b n q = S n+ b n q– b 1 .

Kështu, S n q= S n +b n q – b 1 dhe prandaj

Kjo është formula me umma n terma të progresionit gjeometrik për rastin kur q≠ 1.

Në q= 1 formula nuk duhet të nxirret veçmas, është e qartë se në këtë rast S n= a 1 n.

Progresioni quhet gjeometrik sepse çdo term në të, përveç të parit, është i barabartë me mesataren gjeometrike të termave të mëparshëm dhe të mëpasshëm. Në të vërtetë, që nga

bn=bn- 1 q;

bn = bn+ 1 /q,

prandaj, b n 2=bn- 1 bn+ 1 dhe teorema e mëposhtme është e vërtetë (një veti karakteristike e një progresion gjeometrik):

një sekuencë numrash është një progresion gjeometrik nëse dhe vetëm nëse katrori i secilit prej termave të tij, përveç të parit (dhe të fundit në rastin e një sekuence të fundme), është i barabartë me produktin e termave të mëparshëm dhe të mëpasshëm.

Kufiri i konsistencës.

Le të ketë një sekuencë ( c n} = {1/n}. Kjo sekuencë quhet harmonike, pasi secili prej termave të tij, duke filluar nga i dyti, është mesatarja harmonike midis termave të mëparshëm dhe të mëpasshëm. Mesatarja gjeometrike e numrave a Dhe b ka një numër

Përndryshe sekuenca quhet divergjente.

Bazuar në këtë përkufizim, mund të vërtetohet, për shembull, ekzistenca e një kufiri A=0 për sekuencën harmonike ( c n} = {1/n). Le të jetë ε një numër pozitiv arbitrarisht i vogël. Diferenca merret parasysh

A ekziston një gjë e tillë? N kjo është për të gjithë n ≥ N vlen pabarazia 1 /N ? Nëse e marrim si Nçdo numër natyror më i madh se 1/ε , pastaj për të gjithë n ≥ N vlen pabarazia 1 /n ≤ 1/N ε, Q.E.D.

Provimi i pranisë së një kufiri për një sekuencë të caktuar ndonjëherë mund të jetë shumë i vështirë. Sekuencat më të shpeshta janë studiuar mirë dhe janë të renditura në librat e referencës. Ka teorema të rëndësishme që ju lejojnë të arrini në përfundimin se një sekuencë e caktuar ka një kufi (dhe madje ta llogarisni atë), bazuar në sekuencat e studiuara tashmë.

Teorema 1. Nëse një sekuencë ka një kufi, atëherë ajo është e kufizuar.

Teorema 2. Nëse një sekuencë është monotone dhe e kufizuar, atëherë ajo ka një kufi.

Teorema 3. Nëse sekuenca ( a n} ka një kufi A, pastaj sekuencat ( ca n}, {a n+ c) dhe (| a n|} kanë kufij cA, A +c, |A| në përputhje me rrethanat (këtu c– numër arbitrar).

Teorema 4. Nëse sekuencat ( a n} Dhe ( b n) kanë kufij të barabartë me A Dhe B pa n + qbn) ka një kufi pA+ qB.

Teorema 5. Nëse sekuencat ( a n) Dhe ( b n)kanë kufij të barabartë me A Dhe B në përputhje me rrethanat, atëherë sekuenca ( a n b n) ka një kufi AB.

Teorema 6. Nëse sekuencat ( a n} Dhe ( b n) kanë kufij të barabartë me A Dhe B në përputhje me rrethanat, dhe, përveç kësaj, b n ≠ 0 dhe B≠ 0, pastaj sekuenca ( a n / b n) ka një kufi A/B.

Anna Chugainova

Para se të fillojmë të vendosim problemet e progresionit aritmetik, le të shqyrtojmë se çfarë është një sekuencë numrash, pasi një progresion aritmetik është një rast i veçantë i një sekuence numrash.

Një sekuencë numrash është një grup numrash, secili element i të cilit ka numrin e vet serial. Elementet e këtij grupi quhen anëtarë të sekuencës. Numri serial i një elementi të sekuencës tregohet nga një indeks:

Elementi i parë i sekuencës;

Elementi i pestë i sekuencës;

- elementi "n" i sekuencës, d.m.th. elementi "qëndron në radhë" në numrin n.

Ekziston një lidhje midis vlerës së një elementi të sekuencës dhe numrit të sekuencës së tij. Prandaj, ne mund ta konsiderojmë një sekuencë si një funksion, argumenti i të cilit është numri rendor i elementit të sekuencës. Me fjalë të tjera, mund të themi se sekuenca është një funksion i argumentit natyror:

Sekuenca mund të vendoset në tre mënyra:

1 . Sekuenca mund të specifikohet duke përdorur një tabelë. Në këtë rast, ne thjesht vendosim vlerën e secilit anëtar të sekuencës.

Për shembull, Dikush vendosi të merrte menaxhimin personal të kohës dhe për të filluar, të llogarisë sa kohë shpenzon në VKontakte gjatë javës. Duke regjistruar kohën në tabelë, ai do të marrë një sekuencë të përbërë nga shtatë elementë:

Rreshti i parë i tabelës tregon numrin e ditës së javës, e dyta - kohën në minuta. Ne shohim që, domethënë, të hënën Dikush kaloi 125 minuta në VKontakte, domethënë të enjten - 248 minuta, dhe, domethënë, të Premten vetëm 15.

2 . Sekuenca mund të specifikohet duke përdorur formulën e termit të n-të.

Në këtë rast, varësia e vlerës së një elementi të sekuencës nga numri i tij shprehet drejtpërdrejt në formën e një formule.

Për shembull, nëse , atëherë

Për të gjetur vlerën e një elementi të sekuencës me një numër të caktuar, ne e zëvendësojmë numrin e elementit në formulën e termit të n-të.

Ne bëjmë të njëjtën gjë nëse duhet të gjejmë vlerën e një funksioni nëse dihet vlera e argumentit. Ne e zëvendësojmë vlerën e argumentit në ekuacionin e funksionit:

Nëse, për shembull, , Kjo

Më lejoni të vërej edhe një herë se në një sekuencë, ndryshe nga një funksion numerik arbitrar, argumenti mund të jetë vetëm një numër natyror.

3 . Sekuenca mund të specifikohet duke përdorur një formulë që shpreh varësinë e vlerës së numrit të anëtarit të sekuencës n nga vlerat e anëtarëve të mëparshëm.

Në këtë rast, nuk mjafton të dimë vetëm numrin e anëtarit të sekuencës për të gjetur vlerën e tij. Duhet të specifikojmë anëtarin e parë ose anëtarët e parë të sekuencës. ,

Për shembull, merrni parasysh sekuencën Mund të gjejmë vlerat e anëtarëve të sekuencës një nga një

Kjo do të thotë, çdo herë, për të gjetur vlerën e termit të n-të të sekuencës, kthehemi te dy të mëparshmet. Kjo metodë e specifikimit të një sekuence quhet të përsëritura, nga fjala latine recurro- kthehu.

Tani mund të përcaktojmë një progresion aritmetik. Një progresion aritmetik është një rast i thjeshtë i veçantë i një sekuence numrash.

Progresioni aritmetik është një sekuencë numerike, çdo anëtar i së cilës, duke filluar nga i dyti, është i barabartë me atë të mëparshëm të shtuar në të njëjtin numër.

Numri thirret dallimi i progresionit aritmetik. Diferenca e një progresioni aritmetik mund të jetë pozitiv, negativ ose i barabartë me zero.

Nëse title="d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} në rritje.

Për shembull, 2; 5; 8; 11;...

Nëse , atëherë çdo term i një progresioni aritmetik është më i vogël se ai i mëparshmi, dhe progresioni është në rënie.

Për shembull, 2; -1; -4; -7;...

Nëse , atëherë të gjithë kushtet e progresionit janë të barabartë me të njëjtin numër, dhe progresioni është stacionare.

Për shembull, 2; 2; 2; 2; ...

Vetia kryesore e një progresion aritmetik:

Le të shohim vizatimin.

Ne e shohim atë

, dhe në të njëjtën kohë

Duke shtuar këto dy barazi, marrim:

Le të ndajmë të dyja anët e barazisë me 2:

Pra, çdo anëtar i progresionit aritmetik, duke filluar nga i dyti, është i barabartë me mesataren aritmetike të dy fqinjëve:

Për më tepër, që nga

, dhe në të njëjtën kohë

, Kjo

, dhe për këtë arsye

Çdo term i një progresion aritmetik, duke filluar me title="k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

Formula e termit të th.

Ne shohim se termat e progresionit aritmetik plotësojnë marrëdhëniet e mëposhtme:

dhe në fund

kemi marrë formula e termit të n-të.

E RËNDËSISHME!Çdo anëtar i një progresion aritmetik mund të shprehet përmes dhe. Duke ditur termin e parë dhe ndryshimin e një progresion aritmetik, mund të gjeni cilindo nga termat e tij.

Shuma e n termave të një progresion aritmetik.

Në një progresion aritmetik arbitrar, shumat e termave të barabarta nga ato ekstreme janë të barabarta me njëra-tjetrën:

Konsideroni një progresion aritmetik me n terma. Le të jetë shuma e n kushteve të këtij progresioni e barabartë me .

Le t'i rregullojmë termat e progresionit së pari në rendin rritës të numrave dhe më pas në rend zbritës:

Le të shtojmë në dyshe:

Shuma në çdo kllapa është , numri i çifteve është n.

Ne marrim:

Pra, shuma e n termave të një progresion aritmetik mund të gjendet duke përdorur formulat:

Le të shqyrtojmë zgjidhjen e problemeve të progresionit aritmetik.

1 . Sekuenca jepet me formulën e termit të n-të: . Vërtetoni se kjo sekuencë është një progresion aritmetik.

Le të vërtetojmë se ndryshimi midis dy termave ngjitur të sekuencës është i barabartë me të njëjtin numër.

Ne zbuluam se ndryshimi midis dy anëtarëve ngjitur të sekuencës nuk varet nga numri i tyre dhe është një konstante. Prandaj, sipas përkufizimit, kjo sekuencë është një progresion aritmetik.

2 . Jepet një progresion aritmetik -31; -27;...

a) Gjeni 31 terma të progresionit.

b) Përcaktoni nëse numri 41 përfshihet në këtë progresion.

A) Ne shohim se;

Le të shkruajmë formulën për termin e n-të për progresionin tonë.

Në përgjithësi

Në rastin tonë , Kjo është arsyeja pse

Ne marrim:

b) Supozoni se numri 41 është një anëtar i sekuencës. Le të gjejmë numrin e tij. Për ta bërë këtë, le të zgjidhim ekuacionin:

Ne morëm vlerën natyrore të n, prandaj, po, numri 41 është një anëtar i progresionit. Nëse vlera e gjetur e n-së nuk do të ishte një numër natyror, atëherë do të përgjigjeshim se numri 41 NUK është anëtar i progresionit.

3 . a) Ndërmjet numrave 2 dhe 8, vendosni 4 numra në mënyrë që ata së bashku me këta numra të formojnë një progresion aritmetik.

b) Gjeni shumën e termave të progresionit që rezulton.

A) Le të fusim katër numra midis numrave 2 dhe 8:

Ne morëm një progresion aritmetik me 6 anëtarë.

Le të gjejmë ndryshimin e këtij progresi. Për ta bërë këtë, ne përdorim formulën për termin e n-të:

Tani është e lehtë të gjesh kuptimet e numrave:

3,2; 4,4; 5,6; 6,8

Përgjigje: a) po; b) 30

4. Kamioni transporton një ngarkesë guri të grimcuar me peshë 240 tonë, duke rritur shkallën e transportit me të njëjtin numër tonësh çdo ditë. Dihet se ditën e parë janë transportuar 2 tonë gurë të grimcuar. Përcaktoni sa tonë gurë të grimcuar u transportuan në ditën e dymbëdhjetë nëse e gjithë puna përfundoi në 15 ditë.

Sipas gjendjes së problemit, sasia e gurit të grimcuar që transporton kamioni rritet çdo ditë me të njëjtin numër. Prandaj, kemi të bëjmë me një progresion aritmetik.

Le ta formulojmë këtë problem në termat e një progresion aritmetik.

Gjatë ditës së parë janë transportuar 2 tonë gurë të grimcuar: a_1=2.

E gjithë puna u krye në 15 ditë: .

Kamioni po transporton një grumbull guri të grimcuar me peshë 240 tonë:

Duhet të gjejmë.

Së pari, le të gjejmë ndryshimin e progresionit. Le të përdorim formulën për shumën e n kushteve të një progresion.

Në rastin tonë:

Djepi. Pelena. Qaj.
fjalë. Hapi. Ftohtë. Doktor.
Duke vrapuar përreth. Lodrat. Vëllai.
oborr Lëkundje. kopshti i fëmijëve.
Shkolla. Dy. Trojka. Pesë.
Topi. Hapi. Gipsi. Shtrati.
Luftoni. Gjak. Hundë e thyer.
oborr Miqtë. Partia. Forca.
Instituti. Pranvera. Shkurre.
Vera. Sesioni. Bishtat.
Birra. Vodka. Xhin me akull.
Kafe. Sesioni. Diploma.
Romantizmi. Dashuria. Yll.
Duart. Buzët. Një natë pa gjumë.
Dasma. vjehrra. vjehrri. Kurth.
Argumenti. Klubi. Miqtë. Kupa.
Shtëpia. Punë. Shtëpia. Familja.
dielli. Vera. borë. Dimër.
Djali. Pelena. Djepi.
Stresi. Zonja. Shtrati.
Biznesi. Paratë. Planifikoni. Emergjenca.
TV. Seria.
Shtëpi fshati. Qershitë. Kungull i njomë.
Flokë gri. Migrenë. Gota.
Nipi. Pelena. Djepi.
Stresi. Presioni. Shtrati.
Zemra. Veshkat. Kockat. Doktor.
Fjalimet. Arkivoli. Lamtumirë. Qaj.

Sekuenca e jetës

SEKUENCA - numra ose elementë të renditur në një rend të organizuar. Sekuencat mund të jenë të fundme (me një numër të kufizuar elementesh) ose të pafundme, siç është sekuenca e plotë e numrave natyrorë 1, 2, 3, 4………

Fjalor enciklopedik shkencor dhe teknik

Përkufizimi:Sekuenca numerike quhet numerike e dhënë në bashkësinë N e numrave natyrorë Për sekuencat numerike, zakonisht në vend të f(n) shkruani a n dhe shënoni sekuencën si më poshtë: ( a n ). Numrat a 1 , a 2 , …, një n,… thirrur elementet e sekuencës.

Zakonisht sekuenca e numrave përcaktohet nga detyra n elementi th ose një formulë e përsëritur me të cilën çdo element pasues përcaktohet përmes atij të mëparshëm. Një mënyrë përshkruese për të specifikuar një sekuencë numerike është gjithashtu e mundur. Për shembull:

Të gjithë anëtarët e sekuencës janë të barabartë me "1". Kjo do të thotë se ne po flasim për një sekuencë të palëvizshme 1, 1, 1, ..., 1, ....

Sekuenca përbëhet nga të gjithë numrat e thjeshtë në rend rritës. Kështu, sekuenca e dhënë është 2, 3, 5, 7, 11, .... Me këtë metodë të specifikimit të sekuencës në këtë shembull, është e vështirë të përgjigjemi se me çfarë është, të themi, elementi i 1000-të i sekuencës.

Me metodën e përsëritur, tregoni një formulë që ju lejon të shprehni n anëtari i sekuencës përmes atyre të mëparshme, dhe specifikoni 1-2 anëtarë fillestarë të sekuencës.

y 1 = 3; y n =y n-1 + 4 , Nëse n = 2, 3, 4,…

Këtu y 1 = 3; y 2 = 3 + 4 = 7;y 3 = 7 + 4 = 11; ….

y 1 = 1; y 2 = 1; y n =y n-2 + y n-1 , Nëse n = 3, 4,…

Këtu: y 1 = 1; y 2 = 1; y 3 = 1 + 1 = 2; y 4 = 1 + 2 = 3; y 5 = 2 + 3 = 5; y 6 = 3 + 5 = 8;

Sekuenca e shprehur me formulën e përsëritjes y n =y n-1 + 4 mund të specifikohet edhe në mënyrë analitike: y n= y 1 +4*(n-1)

Le të kontrollojmë: y2=3+4*(2-1)=7, y3=3+4*(3-1)=11

Këtu nuk kemi nevojë të njohim anëtarin e mëparshëm të sekuencës numerike për të llogaritur elementin e n-të, ne vetëm duhet të specifikojmë numrin e tij dhe vlerën e elementit të parë.

Siç mund ta shohim, kjo metodë e specifikimit të një sekuence numerike është shumë e ngjashme me metodën analitike të specifikimit të funksioneve. Në fakt, një sekuencë numrash është një lloj i veçantë i funksionit të numrave, kështu që një numër i vetive të funksioneve mund të merren parasysh për sekuencat.

Sekuencat e numrave janë një temë shumë interesante dhe edukative. Kjo temë gjendet në detyrat me kompleksitet të shtuar që u ofrohen studentëve nga autorët e materialeve didaktike, në problemet e olimpiadave matematikore, provimeve pranuese në Institucionet e Arsimit të Lartë dhe. Dhe nëse doni të mësoni më shumë rreth llojeve të ndryshme të sekuencave të numrave, klikoni këtu. Epo, nëse gjithçka është e qartë dhe e thjeshtë për ju, por përpiquni të përgjigjeni.

Hyrje………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

1. Pjesa teorike……………………………………………………………………….4

Konceptet dhe termat bazë ……………………………………………………………………………………………………………………………………

1.1 Llojet e sekuencave………………………………………………………………...6

1.1.1. Sekuenca me numra të kufizuar dhe të pakufizuar…..6

1.1.2.Monotonia e sekuencave……………………………………………6

1.1.3. Sekuenca pafundësisht të mëdha dhe pafundësisht të vogla…….7

1.1.4. Vetitë e sekuencave infiniteminale………………………8

1.1.5.Sekuencat konvergjente dhe divergjente dhe vetitë e tyre.....9

1.2 Kufiri i sekuencës……………………………………………………….11

1.2.1 Teorema mbi kufijtë e sekuencave……………………………………15

1.3 Progresioni aritmetik…………………………………………………….

1.3.1. Vetitë e progresionit aritmetik…………………………………..17

1.4 Progresioni gjeometrik………………………………………………………………..19

1.4.1. Vetitë e progresionit gjeometrik…………………………………….19

1.5. Numrat e Fibonaçit………………………………………………………………..21

1.5.1 Lidhja e numrave të Fibonaçit me fusha të tjera të njohurive……………………….22

1.5.2. Përdorimi i serisë së numrave Fibonacci për të përshkruar natyrën e gjallë dhe të pajetë………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….23

2. Hulumtimi vetanak………………………………………………………….28

përfundimi………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….30

Lista e referencave…………………………………………………………………………………………………………………………………….

Hyrje.

Sekuencat e numrave janë një temë shumë interesante dhe edukative. Kjo temë gjendet në detyrat me kompleksitet të shtuar që u ofrohen studentëve nga autorët e materialeve didaktike, në problemet e olimpiadave matematikore, provimeve pranuese në Institucionet e Arsimit të Lartë dhe Provimit të Unifikuar të Shtetit. Unë jam i interesuar të mësoj se si sekuencat matematikore lidhen me fushat e tjera të njohurive.

Qëllimi i punës kërkimore: Të zgjerojë njohuritë për vargun e numrave.

1. Konsideroni sekuencën;

2. Konsideroni vetitë e tij;

3. Merrni parasysh detyrën analitike të sekuencës;

4. Të demonstrojë rolin e saj në zhvillimin e fushave të tjera të dijes.

5. Demonstroni përdorimin e serisë së numrave Fibonacci për të përshkruar natyrën e gjallë dhe të pajetë.

1. Pjesa teorike.

Konceptet dhe termat bazë.

Përkufizimi. Një sekuencë numerike është një funksion i formës y = f(x), x О N, ku N është bashkësia e numrave natyrorë (ose një funksion i një argumenti natyror), i shënuar y = f(n) ose y1, y2, …, edhe,…. Vlerat y1, y2, y3,... quhen përkatësisht anëtarët e parë, të dytë, të tretë,... të sekuencës.

Një numër a quhet kufi i vargut x = (x n ) nëse për një numër pozitiv arbitrarisht të vogël ε të paracaktuar arbitrarisht ekziston një numër natyror N i tillë që për të gjithë n>N pabarazia |x n - a|< ε.

Nëse numri a është kufiri i sekuencës x = (x n ), atëherë ata thonë se x n priret në a dhe shkruajnë

Një sekuencë (yn) thuhet se po rritet nëse çdo anëtar (përveç të parit) është më i madh se ai i mëparshmi:

y1< y2 < y3 < … < yn < yn+1 < ….

Një sekuencë (yn) quhet zvogëluese nëse çdo anëtar (përveç të parit) është më i vogël se ai i mëparshmi:

y1 > y2 > y3 > … > yn > yn+1 > ….

Sekuencat në rritje dhe në rënie kombinohen nën termin e përbashkët - sekuenca monotonike.

Një sekuencë quhet periodike nëse ka një numër natyror T të tillë që, duke filluar nga disa n, vlen barazia yn = yn+T. Numri T quhet gjatësia e periudhës.

Një progresion aritmetik është një sekuencë (an), çdo term i së cilës, duke filluar nga i dyti, është i barabartë me shumën e termit të mëparshëm dhe të njëjtit numër d, quhet progresion aritmetik, dhe numri d është diferenca e një progresion aritmetik.

Kështu, një progresion aritmetik është një sekuencë numerike (an) e përcaktuar në mënyrë periodike nga relacionet

a1 = a, an = an–1 + d (n = 2, 3, 4, …)

Një progresion gjeometrik është një sekuencë në të cilën të gjithë termat janë të ndryshëm nga zero dhe secili term i të cilit, duke filluar nga i dyti, merret nga termi i mëparshëm duke shumëzuar me të njëjtin numër q.

Kështu, një progresion gjeometrik është një sekuencë numerike (bn) e përcaktuar në mënyrë periodike nga relacionet

b1 = b, bn = bn–1 q (n = 2, 3, 4…).

1.1 Llojet e sekuencave.

1.1.1 Sekuenca të kufizuara dhe të pakufizuara.

Një sekuencë (bn) thuhet se është e kufizuar sipër nëse ka një numër M të tillë që për çdo numër n vlen pabarazia bn≤ M;

Një sekuencë (bn) quhet e kufizuar më poshtë nëse ka një numër M të tillë që për çdo numër n vlen pabarazia bn≥ M;

Për shembull:

1.1.2 Monotonia e sekuencave.

Një sekuencë (bn) quhet jozritëse (jozvogëluese) nëse për çdo numër n pabarazia bn≥ bn+1 (bn ≤bn+1) është e vërtetë;

Një sekuencë (bn) quhet zvogëluese (në rritje) nëse për çdo numër n pabarazia bn> bn+1 (bn

Sekuencat zvogëluese dhe rritëse quhen rreptësisht monotonike, sekuencat jo në rritje quhen monotonike në kuptimin e gjerë.

Sekuencat që janë të kufizuara si sipër ashtu edhe poshtë quhen të kufizuara.

Sekuenca e të gjitha këtyre llojeve quhet monotonike.

1.1.3 Sekuenca pafundësisht të mëdha dhe të vogla.

Një sekuencë pafundësisht e vogël është një funksion ose sekuencë numerike që tenton në zero.

Një sekuencë an quhet e pafundme nëse

Një funksion quhet infinitezimal në një fqinjësi të pikës x0 nëse ℓimx→x0 f(x)=0.

Një funksion quhet pafundësisht i vogël në pafundësi nëse ℓimx→.+∞ f(x)=0 ose ℓimx→-∞ f(x)=0

Gjithashtu infinitezimal është një funksion që përfaqëson ndryshimin midis një funksioni dhe kufirit të tij, domethënë nëse ℓimx→.+∞ f(x)=a, atëherë f(x) − a = α(x), ℓimx→.+∞ f(( x)-a)=0.

Një sekuencë pafundësisht e madhe është një funksion ose sekuencë numerike që tenton në pafundësi.

Një sekuencë an thuhet se është pafundësisht e madhe nëse

ℓimn→0 an=∞.

Një funksion thuhet se është pafundësisht i madh në një fqinjësi të pikës x0 nëse ℓimx→x0 f(x)= ∞.

Një funksion thuhet se është pafundësisht i madh në pafundësi nëse

ℓimx→.+∞ f(x)= ∞ ose ℓimx→-∞ f(x)= ∞ .

1.1.4 Vetitë e sekuencave infiniteminale.

Shuma e dy sekuencave pafundësisht të vogla është në vetvete një sekuencë infinite vogël.

Dallimi i dy sekuencave infinitimale është në vetvete gjithashtu një sekuencë infinite vogël.

Shuma algjebrike e çdo numri të fundëm të sekuencave infinitimale është në vetvete gjithashtu një sekuencë infiniteminale.

Prodhimi i një sekuence të kufizuar dhe një sekuence infinite vogël është një sekuencë infinite vogël.

Prodhimi i çdo numri të fundëm të sekuencave infinite vogël është një sekuencë infinite vogël.

Çdo sekuencë pafundësisht e vogël është e kufizuar.

Nëse një sekuencë e palëvizshme është pafundësisht e vogël, atëherë të gjithë elementët e saj, duke filluar nga një pikë e caktuar, janë të barabartë me zero.

Nëse e gjithë sekuenca infiniteminale përbëhet nga elementë identikë, atëherë këta elementë janë zero.

Nëse (xn) është një sekuencë pafundësisht e madhe që nuk përmban terma zero, atëherë ekziston një sekuencë (1/xn) që është infinite e vogël. Sidoqoftë, nëse (xn) përmban zero elementë, atëherë sekuenca (1/xn) mund të përcaktohet ende duke filluar nga një numër n, dhe do të jetë ende infinite vogël.

Nëse (an) është një sekuencë pafundësisht e vogël që nuk përmban terma zero, atëherë ekziston një sekuencë (1/an) që është pafundësisht e madhe. Nëse (an) megjithatë përmban zero elementë, atëherë sekuenca (1/an) mund të përcaktohet ende duke filluar nga një numër n dhe do të jetë ende pafundësisht i madh.

1.1.5 Sekuencat konvergjente dhe divergjente dhe vetitë e tyre.

Një sekuencë konvergjente është një sekuencë elementësh të një grupi X që ka një kufi në këtë grup.

Një sekuencë divergjente është një sekuencë që nuk është konvergjente.

Çdo sekuencë infiniteminale është konvergjente. Kufiri i tij është zero.

Heqja e çdo numri të kufizuar elementësh nga një sekuencë e pafundme nuk ndikon as në konvergjencën dhe as në kufirin e asaj sekuence.

Çdo sekuencë konvergjente është e kufizuar. Megjithatë, jo çdo sekuencë e kufizuar konvergjon.

Nëse vargu (xn) konvergjon, por nuk është infinit i vogël, atëherë, duke u nisur nga një numër i caktuar, përcaktohet një sekuencë (1/xn), e cila është e kufizuar.

Shuma e sekuencave konvergjente është gjithashtu një sekuencë konvergjente.

Dallimi i sekuencave konvergjente është gjithashtu një sekuencë konvergjente.

Prodhimi i sekuencave konvergjente është gjithashtu një sekuencë konvergjente.

Koeficienti i dy sekuencave konvergjente përcaktohet duke filluar nga një element, përveç nëse sekuenca e dytë është infinite e vogël. Nëse është përcaktuar herësi i dy sekuencave konvergjente, atëherë ai është një sekuencë konvergjente.

Nëse një sekuencë konvergjente kufizohet më poshtë, atëherë asnjë nga infimumet e saj nuk e kalon kufirin e saj.

Nëse një sekuencë konvergjente është e kufizuar më lart, atëherë kufiri i saj nuk kalon asnjë nga kufijtë e sipërm.

Nëse për ndonjë numër termat e një sekuence konvergjente nuk i kalojnë termat e një sekuence tjetër konvergjente, atëherë kufiri i sekuencës së parë gjithashtu nuk e kalon kufirin e së dytës.

Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Lëkundjet harmonike Formula e fizikës së frekuencës së lëkundjeve