Përcaktimi i perimetrit të një figure gjeometrike. Çfarë është perimetri

Një nga konceptet themelore të matematikës është perimetri i një drejtkëndëshi. Në këtë temë ka shumë probleme, zgjidhja e të cilave nuk mund të bëhet pa formulën e perimetrit dhe aftësitë për ta llogaritur atë.

Konceptet Bazë

Një drejtkëndësh është një katërkëndësh në të cilin të gjitha këndet janë të drejta dhe anët e kundërta janë të barabarta dhe paralele në çifte. Në jetën tonë, shumë figura kanë formën e një drejtkëndëshi, për shembull, sipërfaqja e një tavoline, një fletore, etj.

Le të shohim një shembull: Një gardh duhet të ngrihet përgjatë kufijve të truallit. Për të zbuluar gjatësinë e secilës anë, duhet t'i matni ato.

Oriz. 1. Një truall në formë drejtkëndëshi.

Ngastra e tokës ka anët me gjatësi 2 m, 4 m, 2 m, 4 m Prandaj, për të zbuluar gjatësinë totale të gardhit, duhet të shtoni gjatësitë e të gjitha anëve.

2+2+4+4= 2·2+4·2 =(2+4)·2 =12 m.

Është kjo sasi që në përgjithësi quhet perimetër. Kështu, për të gjetur perimetrin, duhet të shtoni të gjitha anët e figurës. Shkronja P përdoret për të treguar perimetrin.

Për të llogaritur perimetrin e një figure drejtkëndëshe, nuk keni nevojë ta ndani atë në drejtkëndësha, ju duhet vetëm të matni të gjitha anët e kësaj figure me një vizore (masë shiriti) dhe të gjeni shumën e tyre.

Perimetri i një drejtkëndëshi matet në mm, cm, m, km e kështu me radhë. Nëse është e nevojshme, të dhënat në detyrë konvertohen në të njëjtin sistem matjeje.

Perimetri i një drejtkëndëshi matet në njësi të ndryshme: mm, cm, m, km e kështu me radhë. Nëse është e nevojshme, të dhënat në detyrë konvertohen në një sistem matjeje.

Formula për perimetrin e një figure

Nëse marrim parasysh faktin se anët e kundërta të një drejtkëndëshi janë të barabarta, atëherë mund të nxjerrim formulën për perimetrin e një drejtkëndëshi:

$P = (a+b) * 2$, ku a, b janë anët e figurës.

Oriz. 2. Drejtkëndësh, me anët e kundërta të shënuara.

Ekziston një mënyrë tjetër për të gjetur perimetrin. Nëse detyrës i jepet vetëm njëra anë dhe sipërfaqja e figurës, mund ta përdorni për të shprehur anën tjetër për sa i përket zonës. Atëherë formula do të duket si kjo:

$P = ((2S + 2a2)\mbi(a))$, ku S është sipërfaqja e drejtkëndëshit.

Oriz. 3. Drejtkëndësh me brinjë a, b.

Ushtrimi : Njehsoni perimetrin e një drejtkëndëshi nëse brinjët e tij janë 4 cm dhe 6 cm.

Zgjidhja:

Ne përdorim formulën $P = (a+b)*2$

$P = (4+6)*2=20 cm$

Kështu, perimetri i figurës është $P = 20 cm$.

Meqenëse perimetri është shuma e të gjitha anëve të një figure, gjysmëperimetri është shuma e vetëm një gjatësi dhe gjerësi. Për të marrë perimetrin, duhet të shumëzoni gjysmëperimetrin me 2.

Sipërfaqja dhe perimetri janë dy koncepte bazë për matjen e çdo figure. Ata nuk duhet të ngatërrohen, megjithëse janë të lidhur. Nëse e rritni ose ulni zonën, atëherë, në përputhje me rrethanat, perimetri i saj do të rritet ose ulet.

Udhëzimet

Nëse shumëkëndëshi që matet është i rregullt, domethënë të gjitha brinjët dhe këndet janë të barabarta, atëherë për të gjetur perimetrin, matni gjatësinë e njërës prej anëve të tij duke përdorur një vizore. Pastaj numëroni sasinë që është e barabartë me numrin e anëve të saj. Shumëzojeni numrin që rezulton me gjatësinë e anës së figurës. Ky do të jetë një shumëkëndësh.

Nëse shumëkëndëshi është simetrik dhe ka 2 ose 4 palë grupe të barabarta brinjësh, atëherë së pari matni gjatësinë e brinjëve në një nga seksionet që përsëriten. Pastaj shtoni vlerat që rezultojnë dhe, për të marrë perimetrin e figurës, shumëzojeni këtë shumë me numrin e pjesëve të përsëritura në shumëkëndësh.

Burimet:

• njësi rrethuese

Gjetja e perimetrit të një pesëkëndëshi është një detyrë që kërkon njohuri të gjera teorike, të menduarit hapësinor dhe logjik. Është gjithashtu e rëndësishme që vendimi të zyrtarizohet saktë.

Do t'ju duhet

• - Fletore;
• - sundimtar;
• - laps;
• - stilolaps;
• - kalkulator.

Udhëzimet

Një pesëkëndësh është një shumëkëndësh me . Pentagonët e rregullt dhe të parregullt. Një pesëkëndësh i rregullt është një shumëkëndësh konveks në të cilin të gjitha anët dhe të gjitha këndet janë të barabarta.

Një pesëkëndësh i parregullt është një shumëkëndësh, brinjët dhe këndet e të cilit nuk janë të barabarta. Në kursin bazë, shpesh merren parasysh pesëkëndëshat e rregullt.

Nëse problemi thotë se ana e një pesëkëndëshi të rregullt ABCDF është 5 cm, atëherë perimetri i tij do të jetë i barabartë me:

Në këtë rast, ju thjesht shumëzoni gjatësinë e anës së pesëkëndëshit me numrin e anëve, sepse janë të gjithë të barabartë me njëri-tjetrin (Fig. 1).

Nëse në detyrë hasni një pesëkëndësh të parregullt, atëherë së pari duhet të gjeni gjatësinë e secilës prej anëve të tij dhe më pas t'i shtoni ato.

K, problemi thotë se BO = 8, ОF = 4, BC = 7, këndi BOA = 90, këndi OAM = 45, OM = 3, AB = DF, BC = CD. Së pari, merrni parasysh trekëndëshin AOB: BO = 8. Nga kushti del se AO = ОF = 4. Trekëndëshi AOB është . AO dhe ОF – këmbët, AB – hipotenuzë. Sipas teoremës së Pitagorës, një katror është i barabartë me shumën e katrorëve të këmbëve.

Prandaj, AB ^2 = AO ^2 + ОF ^2.

AB ^2 = 8^2 + 4^2

AB ^2 = 64 + 16

AB = DF = 8,94.

Më pas merrni parasysh trekëndëshin AOF. AO = ОF = 4, ОМ = 3. Këndi АОВ = DOF = 90 (shtrirë si kryqe). Rrjedhimisht, AOM = BOD (si shtrirë në mënyrë tërthore), dhe AOM + BOD = 360 - AOB + DOF = 180. AOM = 90.

Nga kjo rezulton se trekëndëshi AOF është kënddrejtë.

Kjo do të thotë kënd AMO = AOM – OAM,

AMO = 90 – 45, AMO = 45.

Prandaj, trekëndëshi AOF është dykëndësh. Dhe në trekëndëshat izosceles, anët e barabarta shtrihen përballë këndeve. Pra AM = OM = 3.

Prandaj AF = 2AM = 6.

Tani mund të llogarisni perimetrin e pesëkëndëshit ABCDF.

P = 8,94*2+7*2+6

Një shumëkëndësh përbëhet nga disa segmente të lidhura me njëri-tjetrin dhe që formojnë një vijë të mbyllur. Të gjitha figurat në këtë klasë ndahen në të thjeshta dhe komplekse. Të thjeshtat përfshijnë trekëndëshat dhe katërkëndëshat, ndërsa ato komplekset përfshijnë shumëkëndëshat me një numër të madh partive, si dhe shumëkëndëshat me yje.

Udhëzimet

Më shpesh në problemet hasim një trekëndësh të rregullt me partive oh a. Meqenëse shumëkëndëshi është i rregullt, atëherë të tre ai partive s janë të barabarta. Prandaj, duke ditur mesataren dhe lartësinë e një trekëndëshi, mund t'i gjeni të gjitha partive s. Për ta bërë këtë, përdorni metodën e gjetjes partive s :a=x/cosα partive s, d.m.th. a=b=c=a, a=b=c=x/cosα, ku x është lartësia, mediana ose përgjysmuesja Gjeni të tre të panjohurat në mënyrë të ngjashme partive s në një trekëndësh izosceles, por me një kusht - një lartësi të caktuar. Duhet të projektohet në bazën e trekëndëshit. Duke ditur lartësinë e bazës x, gjeni partive y a:a=x/cosα Meqënëse trekëndëshi është dykëndësh, gjeni atë partive s si më poshtë:a=b=x/cosα.Pasi të keni gjetur anën partive s të një trekëndëshi, njehsoni gjatësinë e bazës së trekëndëshit, duke përdorur teoremën e Pitagorës për të gjetur gjysmën e bazës: c/2=√(x/cosα)^2-(x^2)=√x^2 (1 -cos^2α)/ cos^2α =xtgα.Nga këtu gjeni bazën:c=2xtgα.

Sheshi përfaqëson, partive s prej të cilave llogariten në disa mënyra. Secila prej tyre diskutohet më poshtë Metoda e parë sugjeron gjetjen partive s katror. Meqenëse të gjitha këndet e një katrori janë kënde të drejta, i presim përgjysmë në atë mënyrë që të formohen dy trekëndësha kënddrejtë me kënde 45 gradë në . Përkatësisht, partive dhe katrori është i barabartë me:a=b=c=f=d*cosα=d√2/2, ku d është katrori, nëse katrori është i gdhendur në një rreth, atëherë duke ditur rrezen e këtij rrethi partive y:a4=R√2, ku R është rrezja e rrethit.

Kanë shumë partive ato poligone partive llogaritni y në mënyrën e fundit - duke hyrë shumëkëndëshi në një rreth. Për ta bërë këtë, vizatoni një shumëkëndësh të rregullt me ​​arbitrare partive ami, dhe rreth tij është një rreth me një rreze të caktuar R. Imagjinoni që në problem ju jepet një n-gon arbitrar. Nëse rreth kësaj përshkruhet një rreth shumëkëndëshi, pastaj për të gjetur partive Ju aplikoni formulën: an=2Rsinα/2.

Video mbi temën

Perimetri shumëkëndëshi quhet një vijë e mbyllur e thyer e përbërë nga të gjitha anët e saj. Gjetja e gjatësisë së këtij parametri zbret në mbledhjen e gjatësive të anëve. Nëse të gjithë segmentet që formojnë perimetrin e një figure të tillë gjeometrike dydimensionale kanë përmasa të njëjta, shumëkëndëshi quhet i rregullt. Në këtë rast, llogaritja e perimetrit thjeshtohet shumë.

Udhëzimet

Në rastin më të thjeshtë, kur gjatësia e anës (a) të saktë shumëkëndëshi dhe numrin e kulmeve (n) në të, për të llogaritur gjatësinë e perimetrit (P), thjesht shumëzojini këto dy madhësi: P = a*n. Për shembull, gjatësia e një perimetri me një anë prej 15 cm duhet të jetë e barabartë me 15 * 6 = 90 cm.

Llogaritni perimetrin e të tillëve shumëkëndëshi përgjatë rrezes së njohur (R) të rrethit të përshkruar rreth tij është gjithashtu e mundur. Për ta bërë këtë, së pari shprehni gjatësinë e anës duke përdorur rrezen dhe numrin e kulmeve (n), dhe më pas shumëzoni vlerën që rezulton me numrin e anëve. Për të llogaritur gjatësinë e anës, shumëzojeni rrezen me sinusin e Pi të pjesëtuar me numrin e kulmeve dhe dyfishoni rezultatin: R*sin(π/n)*2. Nëse është më e përshtatshme për ju të llogaritni funksionin trigonometrik në , zëvendësoni Pi me 180°: R*sin(180°/n)*2. Llogaritni perimetrin duke shumëzuar vlerën që rezulton me numrin e kulmeve: P = R*sin(π/n)*2*n = R*sin(180°/n)*2*n. Për shembull, nëse një gjashtëkëndësh është i gdhendur në një rreth me rreze 50 cm, perimetri i tij do të ketë një gjatësi prej 50*sin(180°/6)*2*6 = 50*0.5*12 = 300 cm.

Në mënyrë të ngjashme, ju mund të përdorni perimetrin pa e ditur gjatësinë e anës së saktë shumëkëndëshi, nëse është afër një rrethi me një rreze të njohur (r). Në këtë rast, për të llogaritur madhësinë e anës së figurës, vetëm funksioni trigonometrik i përdorur do të ndryshojë nga ai i mëparshmi. Zëvendësoni sinusin me tangjenten në formulën për

Perimetri është një nga termat matematikorë, ose më saktë, gjeometrikë, i përdorur kryesisht për llogaritjen e anëve të një figure.

Nga artikulli ynë do të mësoni se çfarë është perimetri dhe si matet duke përdorur shembullin e formave themelore gjeometrike.

Përkufizimi i perimetrit

Perimetri është gjatësia totale e të gjitha anëve ose perimetri i një figure. Perimetri shënohet me shkronjën e madhe “P”, dhe mund të matet në njësi të ndryshme gjatësie, si milimetra (mm), centimetra (cm), metra (m), etj. Për forma të ndryshme, ekzistojnë formula të ndryshme për gjetjen e perimetrit. Më poshtë do të japim disa shembuj se si të zbulojmë perimetrin e një drejtkëndëshi dhe disa forma të tjera.

Matja e perimetrit

Nëse keni nevojë të zbuloni perimetrin e një figure komplekse (shifra të tilla përfshijnë figura me vija të pabarabarta), atëherë për këtë do t'ju duhet një litar ose fije. Duke përdorur këto gjëra, duhet të përshkruani skicën e saktë të figurës, dhe për të mos u ngatërruar, mund të bëni shenja në litar me një laps. Ose thjesht mund ta prisni, dhe më pas t'i bashkëngjitni të gjitha pjesët në vizore. Kështu, do të zbuloni se cili është perimetri i pothuajse çdo figure komplekse.

Ekziston një pajisje tjetër për llogaritjen e perimetrit të figurave komplekse: quhet lakormetër (vargmatësi me rul). Me ndihmën e tij, ju duhet të instaloni rulin në çdo pikë të figurës dhe të përshkruani konturin e figurës me rul. Numri që rezulton do të jetë i barabartë me perimetrin. Ju mund të mësoni për gjetjen e perimetrit të formave të tjera gjeometrike nga artikulli ynë. Epo, ne do t'ju tregojmë për disa mënyra të tjera për të ndryshuar perimetrin për forma të ndryshme.

Rrethi, katrori, trekëndëshi barabrinjës

Le të shohim gjithashtu se si të zbulojmë perimetrin e një rrethi. Kjo është mjaft e thjeshtë: ju vetëm duhet të përcaktoni perimetrin, dhe kjo mund të bëhet duke shumëzuar rrezen “r” me numrin π≈3.14 dhe më pas me 2 (P=L=2∙π∙r).

Në detyrat e mëposhtme të testit duhet të gjeni perimetrin e figurës së treguar në figurë.

Ju mund ta gjeni perimetrin e një figure në mënyra të ndryshme. Ju mund ta transformoni formën origjinale në mënyrë që perimetri i formës së re të mund të llogaritet lehtësisht (për shembull, ndryshoni në një drejtkëndësh).

Një zgjidhje tjetër është kërkimi i perimetrit të figurës drejtpërdrejt (si shuma e gjatësive të të gjitha anëve të saj). Por në këtë rast, nuk mund të mbështeteni vetëm në vizatim, por të gjeni gjatësitë e segmenteve bazuar në të dhënat e problemit.

Do të doja t'ju paralajmëroja: në një nga detyrat, midis opsioneve të propozuara të përgjigjes, nuk gjeta atë që funksionoi për mua.

C) .

Le të lëvizim anët e drejtkëndëshave të vegjël nga zona e brendshme në atë të jashtme. Si rezultat, drejtkëndëshi i madh mbyllet. Formula për gjetjen e perimetrit të një drejtkëndëshi

Në këtë rast, a=9a, b=3a+a=4a. Kështu, P=2(9a+4a)=26a. Perimetrit të drejtkëndëshit të madh i shtojmë shumën e gjatësive të katër segmenteve, secili prej të cilëve është i barabartë me 3a. Si rezultat, P=26a+4∙3a= 38a .

C) .

Pas transferimit të anëve të brendshme të drejtkëndëshave të vegjël në zonën e jashtme, marrim një drejtkëndësh të madh, perimetri i të cilit është P=2(10x+6x)=32x, dhe katër segmente, dy me gjatësi x, dy me gjatësi 2x.

Gjithsej, P=32x+2∙2x+2∙x= 38x .

?) .

Le të lëvizim 6 "hapa" horizontale nga brenda në jashtë. Perimetri i drejtkëndëshit të madh që rezulton është P=2(6y+8y)=28y. Mbetet për të gjetur shumën e gjatësive të segmenteve brenda drejtkëndëshit 4y+6∙y=10y. Pra, perimetri i figurës është P=28y+10y= 38 vjec .

D) .

Le të lëvizim segmentet vertikale nga zona e brendshme e figurës në të majtë, në zonën e jashtme. Për të marrë një drejtkëndësh të madh, zhvendosni një nga segmentet me gjatësi 4x në këndin e poshtëm të majtë.

Perimetrin e figurës origjinale e gjejmë si shumën e perimetrit të këtij drejtkëndëshi të madh dhe gjatësisë së tre segmenteve të mbetura brenda P=2(10x+8x)+6x+4x+2x= 48x .

E) .

Duke transferuar anët e brendshme të drejtkëndëshave të vegjël në zonën e jashtme, marrim një katror të madh. Perimetri i tij është P=4∙10x=40x. Për të marrë perimetrin e figurës origjinale, duhet të shtoni shumën e gjatësive të tetë segmenteve, secili 3x i gjatë, në perimetrin e katrorit. Gjithsej, P=40x+8∙3x= 64x .

B) .

Le të lëvizim të gjitha "hapat" horizontale dhe segmentet e sipërme vertikale në zonën e jashtme. Perimetri i drejtkëndëshit që rezulton është P=2(7y+4y)=22y. Për të gjetur perimetrin e figurës origjinale, duhet të shtoni në perimetrin e drejtkëndëshit shumën e gjatësive të katër segmenteve, secili me gjatësi y: P=22y+4∙y= 26 vjec .

D) .

Le të lëvizim të gjitha vijat horizontale nga zona e brendshme në atë të jashtme dhe të lëvizim dy vijat e jashtme vertikale në këndin e majtë dhe të djathtë, përkatësisht, z në të majtë dhe në të djathtë. Si rezultat, marrim një drejtkëndësh të madh, perimetri i të cilit është P=2(11z+3z)=28z.

Perimetri i figurës origjinale është i barabartë me shumën e perimetrit të drejtkëndëshit të madh dhe gjatësisë së gjashtë segmenteve përgjatë z: P=28z+6∙z= 34z .

B) .

Zgjidhja është plotësisht e ngjashme me zgjidhjen e shembullit të mëparshëm. Pas transformimit të figurës, gjejmë perimetrin e drejtkëndëshit të madh:

P=2(5z+3z)=16z. Perimetrit të drejtkëndëshit i shtojmë shumën e gjatësive të gjashtë segmenteve të mbetura, secili prej të cilëve është i barabartë me z: P=16z+6∙z= 22z .