Një shembull i zgjidhjes së një matrice të rendit të katërt duke përdorur metodën Gaussian. Metoda Gaussian në internet

Le të jepet sistemi, ∆≠0. (1)
Metoda e Gausitështë një metodë për të eliminuar në mënyrë sekuenciale të panjohurat.

Thelbi i metodës Gauss është shndërrimi i (1) në një sistem me një matricë trekëndore, nga e cila më pas merren vlerat e të gjitha të panjohurave në mënyrë sekuenciale (në të kundërt). Le të shqyrtojmë një nga skemat llogaritëse. Ky qark quhet qark një ndarje. Pra, le të shohim këtë diagram. Le të ndajë një 11 ≠0 (element kryesor) ekuacionin e parë me një 11. marrim
(2)
Duke përdorur ekuacionin (2), është e lehtë të eliminohen të panjohurat x 1 nga ekuacionet e mbetura të sistemit (për ta bërë këtë, mjafton të zbritet ekuacioni (2) nga secili ekuacion, i shumëzuar më parë me koeficientin përkatës për x 1) , domethënë në hapin e parë marrim
.
Me fjalë të tjera, në hapin 1, çdo element i rreshtave pasues, duke filluar nga i dyti, është i barabartë me diferencën midis elementit origjinal dhe produktit të "projeksionit" të tij në kolonën e parë dhe rreshtin e parë (të transformuar).
Pas kësaj, duke lënë vetëm ekuacionin e parë, kryejmë një transformim të ngjashëm mbi ekuacionet e mbetura të sistemit të marra në hapin e parë: zgjedhim prej tyre ekuacionin me elementin kryesor dhe, me ndihmën e tij, përjashtojmë x 2 nga pjesa e mbetur. ekuacionet (hapi 2).
Pas n hapash, në vend të (1), marrim një sistem ekuivalent
(3)
Kështu, në fazën e parë marrim një sistem trekëndor (3). Kjo fazë quhet goditje përpara.
Në fazën e dytë (e kundërta), gjejmë në mënyrë sekuenciale nga (3) vlerat x n, x n -1, ..., x 1.
Zgjidhjen që rezulton ta shënojmë si x 0. Atëherë diferenca ε=b-A x 0 quhet mbetje.
Nëse ε=0, atëherë zgjidhja e gjetur x 0 është e saktë.

Llogaritjet duke përdorur metodën Gaussian kryhen në dy faza:

1. Faza e parë quhet metoda përpara. Në fazën e parë, sistemi origjinal shndërrohet në një formë trekëndore.
2. Faza e dytë quhet goditje e kundërt. Në fazën e dytë, zgjidhet një sistem trekëndor ekuivalent me atë origjinal.

Koeficientët a 11, a 22, ... quhen elemente drejtuese.
Në çdo hap, elementi kryesor supozohej të ishte jozero. Nëse nuk është kështu, atëherë çdo element tjetër mund të përdoret si element kryesor, sikur të riorganizojë ekuacionet e sistemit.

Qëllimi i metodës së Gausit

Metoda e Gausit është projektuar për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve lineare. I referohet metodave të zgjidhjes së drejtpërdrejtë.

Llojet e metodës Gaussian

1. Metoda klasike Gaussian;
2. Modifikimet e metodës së Gausit. Një nga modifikimet e metodës Gaussian është një skemë me zgjedhjen e elementit kryesor. Një tipar i metodës Gauss me zgjedhjen e elementit kryesor është një rirregullim i tillë i ekuacioneve në mënyrë që në hapin k-të elementi kryesor të jetë elementi më i madh në kolonën k-të.
3. Metoda Jordano-Gauss;

Dallimi midis metodës Jordano-Gauss dhe asaj klasike Metoda e Gausit konsiston në zbatimin e rregullit drejtkëndësh, kur drejtimi i kërkimit të një zgjidhjeje ndodh përgjatë diagonales kryesore (transformimi në matricën e identitetit). Në metodën e Gausit, drejtimi i kërkimit të një zgjidhjeje ndodh përgjatë kolonave (transformimi në një sistem me një matricë trekëndore).
Le të ilustrojmë ndryshimin Metoda Jordano-Gauss nga metoda Gaussian me shembuj.

Shembull i një zgjidhjeje duke përdorur metodën Gaussian
Le të zgjidhim sistemin:

Për lehtësinë e llogaritjes, le të ndërrojmë rreshtat:

Le të shumëzojmë rreshtin e dytë me (2). Shtoni rreshtin e 3-të në rreshtin e dytë

Shumëzojeni rreshtin e dytë me (-1). Shtoni rreshtin e dytë në rreshtin e parë

Nga rreshti i parë shprehim x 3:
Nga rreshti i dytë shprehim x 2:
Nga rreshti i tretë shprehim x 1:

Një shembull i një zgjidhjeje duke përdorur metodën Jordano-Gauss
Le të zgjidhim të njëjtën SLAE duke përdorur metodën Jordano-Gauss.

Ne do të zgjedhim në mënyrë sekuenciale elementin zgjidhës RE, i cili shtrihet në diagonalen kryesore të matricës.
Elementi i rezolucionit është i barabartë me (1).



NE = SE - (A*B)/RE
RE - elementi zgjidhës (1), A dhe B - elementë matricë që formojnë një drejtkëndësh me elementët STE dhe RE.
Le të paraqesim llogaritjen e secilit element në formën e një tabele:

x 1	x 2	x 3	B
1 / 1 = 1	2 / 1 = 2	-2 / 1 = -2	1 / 1 = 1

Elementi zgjidhës është i barabartë me (3).
Në vend të elementit zgjidhës marrim 1, dhe në vetë kolonën shkruajmë zero.
Të gjithë elementët e tjerë të matricës, duke përfshirë elementët e kolonës B, përcaktohen nga rregulli drejtkëndësh.
Për ta bërë këtë, ne zgjedhim katër numra që ndodhen në kulmet e drejtkëndëshit dhe gjithmonë përfshijnë elementin zgjidhës RE.

x 1	x 2	x 3	B
0 / 3 = 0	3 / 3 = 1	1 / 3 = 0.33	4 / 3 = 1.33

Elementi i rezolucionit është (-4).
Në vend të elementit zgjidhës marrim 1, dhe në vetë kolonën shkruajmë zero.
Të gjithë elementët e tjerë të matricës, duke përfshirë elementët e kolonës B, përcaktohen nga rregulli drejtkëndësh.
Për ta bërë këtë, ne zgjedhim katër numra që ndodhen në kulmet e drejtkëndëshit dhe gjithmonë përfshijnë elementin zgjidhës RE.
Le të paraqesim llogaritjen e secilit element në formën e një tabele:

x 1	x 2	x 3	B
0 / -4 = 0	0 / -4 = 0	-4 / -4 = 1	-4 / -4 = 1

Përgjigju: x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 1

Zbatimi i metodës Gaussian

Metoda Gaussian zbatohet në shumë gjuhë programimi, në veçanti: Pascal, C++, php, Delphi, dhe ekziston gjithashtu një zbatim online i metodës Gaussian.

Duke përdorur metodën Gaussian

Zbatimi i metodës së Gausit në teorinë e lojës

Në teorinë e lojës, kur gjendet strategjia maksimale optimale e një lojtari, përpilohet një sistem ekuacionesh, i cili zgjidhet me metodën Gaussian.

Zbatimi i metodës së Gausit në zgjidhjen e ekuacioneve diferenciale

Për të gjetur një zgjidhje të pjesshme të një ekuacioni diferencial, së pari gjeni derivate të shkallës së duhur për zgjidhjen e shkruar të pjesshme (y=f(A,B,C,D)), të cilat zëvendësohen në ekuacionin origjinal. Më pas, për të gjetur variablat A, B, C, D, përpilohet një sistem ekuacionesh, i cili zgjidhet me metodën Gaussian.

Zbatimi i metodës Jordano-Gauss në programimin linear

Në programimin linear, veçanërisht në metodën simplex, rregulli i drejtkëndëshit, i cili përdor metodën Jordano-Gauss, përdoret për të transformuar tabelën simplex në çdo përsëritje.

Metoda Gaussian është e lehtë! Pse? Matematikani i famshëm gjerman Johann Carl Friedrich Gauss, gjatë jetës së tij, mori njohjen si matematikani më i madh i të gjitha kohërave, një gjeni, madje edhe pseudonimi "Mbreti i Matematikës". Dhe gjithçka gjeniale, siç e dini, është e thjeshtë! Nga rruga, jo vetëm pinjollët marrin para, por edhe gjenitë - portreti i Gauss ishte në kartëmonedhën 10 marka gjermane (para futjes së euros), dhe Gauss ende u buzëqesh në mënyrë misterioze gjermanëve nga pullat e zakonshme postare.

Metoda e Gausit është e thjeshtë në atë që MJAFTON NJOHURI PËR NXËNËSIN E KLASËS SË PESTË për ta zotëruar atë. Duhet të dini si të shtoni dhe shumëzoni! Nuk është rastësi që mësuesit shpesh e konsiderojnë metodën e përjashtimit sekuencial të të panjohurave në lëndët me zgjedhje të matematikës shkollore. Është një paradoks, por studentët e shohin metodën Gaussian më të vështirë. Asgjë për t'u habitur - ka të bëjë me metodologjinë, dhe unë do të përpiqem të flas për algoritmin e metodës në një formë të arritshme.

Së pari, le të sistemojmë pak njohuri rreth sistemeve të ekuacioneve lineare. Një sistem ekuacionesh lineare mund të:

1) Keni një zgjidhje unike.
2) Keni pafundësisht shumë zgjidhje.
3) Nuk ka zgjidhje (të jetë jo të përbashkët).

Metoda e Gausit është mjeti më i fuqishëm dhe universal për gjetjen e një zgjidhjeje ndonjë sistemet e ekuacioneve lineare. Siç kujtojmë, Rregulla e Cramer-it dhe metoda e matricës janë të papërshtatshme në rastet kur sistemi ka pafundësisht shumë zgjidhje ose është jokonsistent. Dhe metoda e eliminimit sekuencial të të panjohurave Gjithsesi do të na çojë në përgjigje! Në këtë mësim, ne do të shqyrtojmë përsëri metodën Gauss për rastin Nr. 1 (zgjidhja e vetme për sistemin), artikulli i kushtohet situatave të pikave Nr. 2-3. Vërej se vetë algoritmi i metodës funksionon njësoj në të tre rastet.

Le të kthehemi te sistemi më i thjeshtë nga mësimi Si të zgjidhim një sistem ekuacionesh lineare?
dhe zgjidhni atë duke përdorur metodën Gaussian.

Hapi i parë është të shkruani matrica e zgjeruar e sistemit:
. Unë mendoj se të gjithë mund të shohin se me çfarë parimi janë shkruar koeficientët. Linja vertikale brenda matricës nuk ka ndonjë kuptim matematikor - është thjesht një hapje për lehtësinë e projektimit.

Referenca :Unë ju rekomandoj të mbani mend kushtet algjebër lineare. Matrica e Sistemitështë një matricë e përbërë vetëm nga koeficientët për të panjohurat, në këtë shembull matrica e sistemit: . Matrica e Zgjeruar e Sistemit– kjo është e njëjta matricë e sistemit plus një kolonë me terma të lirë, në këtë rast: . Për shkurtësi, çdo matricë mund të quhet thjesht një matricë.

Pasi të jetë shkruar matrica e zgjeruar e sistemit, është e nevojshme të kryhen disa veprime me të, të cilat quhen gjithashtu transformimet elementare.

Ekzistojnë transformimet e mëposhtme elementare:

1) Vargjet matricat Mund rirregulloj në disa vende. Për shembull, në matricën në shqyrtim, mund të riorganizoni pa dhimbje rreshtat e parë dhe të dytë:

2) Nëse ka (ose janë shfaqur) rreshta proporcionalë (si rast i veçantë - identike) në matricë, atëherë duhet të fshij Të gjitha këto rreshta janë nga matrica, përveç njërit. Konsideroni, për shembull, matricën . Në këtë matricë, tre rreshtat e fundit janë proporcionalë, kështu që mjafton të lihet vetëm një prej tyre: .

3) Nëse një rresht zero shfaqet në matricë gjatë transformimeve, atëherë duhet të jetë gjithashtu fshij. Nuk do të vizatoj, sigurisht, vija zero është vija në të cilën të gjitha zero.

4) Rreshti i matricës mund të jetë shumëzoj (pjesto) në çdo numër jo zero. Konsideroni, për shembull, matricën . Këtu këshillohet të ndani rreshtin e parë me -3 dhe të shumëzoni rreshtin e dytë me 2: . Ky veprim është shumë i dobishëm sepse thjeshton transformimet e mëtejshme të matricës.

5) Ky transformim shkakton më së shumti vështirësi, por në fakt nuk ka as asgjë të komplikuar. Në një rresht të një matrice mundeni shtoni një varg tjetër të shumëzuar me një numër, të ndryshme nga zero. Le të shohim matricën tonë nga një shembull praktik: . Së pari unë do të përshkruaj transformimin në detaje të mëdha. Shumëzojeni rreshtin e parë me –2: , Dhe në rreshtin e dytë shtojmë rreshtin e parë të shumëzuar me –2: . Tani rreshti i parë mund të ndahet "prapa" me –2: . Siç mund ta shihni, rreshti që është SHTUAR LI – nuk ka ndryshuar. Gjithmonë ndryshon rreshti QË ËSHTË SHTUAR UT.

Në praktikë, natyrisht, ata nuk e shkruajnë atë në mënyrë kaq të detajuar, por e shkruajnë shkurtimisht:

Edhe një herë: në rreshtin e dytë shtoi rreshtin e parë shumëzuar me –2. Një rresht zakonisht shumëzohet me gojë ose në një draft, me procesin e llogaritjes mendore që shkon diçka si kjo:

"Unë rishkruaj matricën dhe rishkruaj rreshtin e parë: »

“Kollona e parë. Në fund më duhet të marr zero. Prandaj, unë e shumëzoj atë në krye me –2: , dhe i shtoj të parën rreshtit të dytë: 2 + (–2) = 0. Rezultatin e shkruaj në rreshtin e dytë: »

“Tani kolona e dytë. Në krye, unë shumëzoj -1 me -2: . I shtoj të parën rreshtit të dytë: 1 + 2 = 3. Rezultatin e shkruaj në rreshtin e dytë: »

“Dhe kolona e tretë. Në krye shumëzoj -5 me -2: . I shtoj të parën rreshtit të dytë: –7 + 10 = 3. Rezultatin e shkruaj në rreshtin e dytë: »

Ju lutemi kuptoni me kujdes këtë shembull dhe kuptoni algoritmin e llogaritjes sekuenciale, nëse e kuptoni këtë, atëherë metoda Gaussian është praktikisht në xhepin tuaj. Por, sigurisht, ne do të punojmë ende për këtë transformim.

Shndërrimet elementare nuk e ndryshojnë zgjidhjen e sistemit të ekuacioneve

! KUJDES: konsiderohen manipulime nuk mund të përdoret, nëse ju ofrohet një detyrë ku matricat jepen "vetë". Për shembull, me "klasike" veprimet me matrica Në asnjë rrethanë nuk duhet të riorganizoni asgjë brenda matricave!

Le të kthehemi në sistemin tonë. Praktikisht bëhet copë-copë.

Le të shkruajmë matricën e zgjeruar të sistemit dhe, duke përdorur transformimet elementare, ta zvogëlojmë atë në pamje me shkallë:

(1) Rreshtit të dytë iu shtua rreshti i parë, shumëzuar me –2. Dhe përsëri: pse e shumëzojmë rreshtin e parë me –2? Për të marrë zero në fund, që do të thotë të heqësh qafe një ndryshore në rreshtin e dytë.

(2) Ndani rreshtin e dytë me 3.

Qëllimi i transformimeve elementare – zvogëlojeni matricën në formë hap pas hapi: . Në hartimin e detyrës, ata thjesht shënojnë "shkallët" me një laps të thjeshtë, dhe gjithashtu rrethojnë numrat që ndodhen në "hapat". Vetë termi "pamje e shkallëzuar" nuk është tërësisht teorik në literaturën shkencore dhe arsimore pamje trapezoidale ose pamje trekëndore.

Si rezultat i transformimeve elementare, kemi marrë ekuivalente sistemi origjinal i ekuacioneve:

Tani sistemi duhet të "zhbëhet" në drejtim të kundërt - nga poshtë lart, quhet ky proces e kundërta e metodës Gaussian.

Në ekuacionin e poshtëm tashmë kemi një rezultat të gatshëm: .

Le të shqyrtojmë ekuacionin e parë të sistemit dhe të zëvendësojmë vlerën e njohur tashmë të "y" në të:

Le të shqyrtojmë situatën më të zakonshme, kur metoda Gaussian kërkon zgjidhjen e një sistemi prej tre ekuacionesh lineare me tre të panjohura.

Shembulli 1

Zgjidheni sistemin e ekuacioneve duke përdorur metodën e Gausit:

Le të shkruajmë matricën e zgjeruar të sistemit:

Tani do të nxjerr menjëherë rezultatin që do të arrijmë gjatë zgjidhjes:

Dhe e përsëris, qëllimi ynë është ta sjellim matricën në një formë hap pas hapi duke përdorur transformime elementare. Ku të fillojë?

Së pari, shikoni numrin lart majtas:

Duhet të jetë pothuajse gjithmonë këtu njësi. Në përgjithësi, –1 (dhe nganjëherë numra të tjerë) do të bëjnë, por disi ka ndodhur tradicionalisht që një të tillë zakonisht vendoset atje. Si të organizoni një njësi? Ne shikojmë kolonën e parë - kemi një njësi të përfunduar! Transformimi i parë: ndërroni rreshtin e parë dhe të tretë:

Tani rreshti i parë do të mbetet i pandryshuar deri në fund të zgjidhjes. Tani mirë.

Njësia në këndin e sipërm majtas është e organizuar. Tani ju duhet të merrni zero në këto vende:

Ne marrim zero duke përdorur një transformim "të vështirë". Së pari merremi me rreshtin e dytë (2, –1, 3, 13). Çfarë duhet bërë për të marrë zero në pozicionin e parë? Duhet të në rreshtin e dytë shtoni rreshtin e parë të shumëzuar me –2. Mendërisht ose në një draft, shumëzojeni rreshtin e parë me –2: (–2, –4, 2, –18). Dhe ne vazhdimisht kryejmë (përsëri mendërisht ose në një draft) shtesë, në rreshtin e dytë shtojmë rreshtin e parë, tashmë të shumëzuar me –2:

Ne shkruajmë rezultatin në rreshtin e dytë:

Ne trajtojmë rreshtin e tretë në të njëjtën mënyrë (3, 2, -5, -1). Për të marrë një zero në pozicionin e parë, ju duhet në rreshtin e tretë shtoni rreshtin e parë të shumëzuar me –3. Mendërisht ose në një draft, shumëzojeni rreshtin e parë me –3: (–3, –6, 3, –27). DHE në rreshtin e tretë shtojmë rreshtin e parë të shumëzuar me –3:

Ne shkruajmë rezultatin në rreshtin e tretë:

Në praktikë, këto veprime zakonisht kryhen me gojë dhe shkruhen në një hap:

Nuk ka nevojë të numëroni gjithçka menjëherë dhe në të njëjtën kohë. Rendi i llogaritjeve dhe "shkrimi" i rezultateve konsistente dhe zakonisht është kështu: së pari ne rishkruajmë rreshtin e parë, dhe ngadalë fryjmë veten - në mënyrë të vazhdueshme dhe ME VËMENDJE:


Dhe unë kam diskutuar tashmë procesin mendor të vetë llogaritjeve më lart.

Në këtë shembull, kjo është e lehtë për t'u bërë, ne e ndajmë rreshtin e dytë me –5 (pasi të gjithë numrat janë të pjesëtueshëm me 5 pa mbetje). Në të njëjtën kohë, ne e ndajmë rreshtin e tretë me –2, sepse sa më të vegjël të jenë numrat, aq më e thjeshtë është zgjidhja:

Në fazën përfundimtare të transformimeve elementare, duhet të merrni një zero tjetër këtu:

Për këtë në rreshtin e tretë shtojmë rreshtin e dytë të shumëzuar me –2:


Mundohuni ta kuptoni vetë këtë veprim - shumëzoni mendërisht rreshtin e dytë me –2 dhe kryeni mbledhjen.

Veprimi i fundit i kryer është modeli i flokëve të rezultatit, ndajeni vijën e tretë me 3.

Si rezultat i transformimeve elementare, u mor një sistem ekuivalent ekuacionesh lineare:

I ftohtë.

Tani e kundërta e metodës Gaussian hyn në lojë. Ekuacionet "zgjidhen" nga poshtë lart.

Në ekuacionin e tretë tashmë kemi një rezultat të gatshëm:

Le të shohim barazimin e dytë: . Kuptimi i "zet" tashmë dihet, kështu:

Dhe së fundi, ekuacioni i parë: . "Igrek" dhe "zet" janë të njohura, është vetëm një çështje e gjërave të vogla:

Përgjigju:

Siç është vërejtur tashmë disa herë, për çdo sistem ekuacionesh është e mundur dhe e nevojshme të kontrollohet zgjidhja e gjetur, për fat të mirë, kjo është e lehtë dhe e shpejtë.

Shembulli 2

Ky është një shembull për një zgjidhje të pavarur, një mostër e modelit përfundimtar dhe një përgjigje në fund të mësimit.

Duhet të theksohet se juaj progresin e vendimit mund të mos përkojë me procesin tim të vendimit, dhe kjo është një veçori e metodës së Gausit. Por përgjigjet duhet të jenë të njëjta!

Shembulli 3

Zgjidh një sistem ekuacionesh lineare duke përdorur metodën e Gausit

Le të shkruajmë matricën e zgjeruar të sistemit dhe, duke përdorur transformimet elementare, ta sjellim atë në një formë hap pas hapi:

Ne shikojmë "hapin" e sipërm të majtë. Duhet të kemi një atje. Problemi është se nuk ka fare njësi në kolonën e parë, kështu që riorganizimi i rreshtave nuk do të zgjidhë asgjë. Në raste të tilla, njësia duhet të organizohet duke përdorur një transformim elementar. Kjo zakonisht mund të bëhet në disa mënyra. Unë bëra këtë:
(1) Në rreshtin e parë shtojmë rreshtin e dytë, shumëzuar me –1. Domethënë, ne shumëzuam mendërisht rreshtin e dytë me –1 dhe shtuam rreshtin e parë dhe të dytë, ndërsa rreshti i dytë nuk ndryshoi.

Tani lart majtas është “minus një”, që na shkon mjaft mirë. Kushdo që dëshiron të marrë +1 mund të kryejë një lëvizje shtesë: shumëzoni rreshtin e parë me –1 (ndryshoni shenjën e tij).

(2) Rreshti i parë i shumëzuar me 5 iu shtua rreshtit të dytë.

(3) Rreshti i parë u shumëzua me -1, në parim, kjo është për bukurinë. U ndryshua edhe shenja e vijës së tretë dhe u zhvendos në vendin e dytë, në mënyrë që në “hapin” e dytë të kishim njësinë e kërkuar.

(4) Rreshtit të tretë iu shtua rreshti i dytë, shumëzuar me 2.

(5) Rreshti i tretë u nda me 3.

Një shenjë e keqe që tregon një gabim në llogaritje (më rrallë, një gabim shtypi) është një fund "i keq". Kjo do të thotë, nëse kemi diçka si , më poshtë, dhe, në përputhje me rrethanat, , atëherë me një shkallë të lartë probabiliteti mund të themi se është bërë një gabim gjatë transformimeve elementare.

Ne ngarkojmë të kundërtën, në hartimin e shembujve ata shpesh nuk e rishkruajnë vetë sistemin, por ekuacionet "merren drejtpërdrejt nga matrica e dhënë". Goditja e kundërt, ju kujtoj, funksionon nga poshtë lart. Po, këtu është një dhuratë:

Përgjigju: .

Shembulli 4

Zgjidh një sistem ekuacionesh lineare duke përdorur metodën e Gausit

Ky është një shembull që ju ta zgjidhni vetë, është disi më i ndërlikuar. Është në rregull nëse dikush ngatërrohet. Zgjidhja e plotë dhe modelimi i mostrës në fund të mësimit. Zgjidhja juaj mund të jetë e ndryshme nga zgjidhja ime.

Në pjesën e fundit do të shikojmë disa veçori të algoritmit Gaussian.
Karakteristika e parë është se ndonjëherë disa variabla mungojnë në ekuacionet e sistemit, për shembull:

Si të shkruani saktë matricën e zgjeruar të sistemit? Unë kam folur tashmë për këtë pikë në klasë. Rregulli i Kramerit. Metoda e matricës. Në matricën e zgjeruar të sistemit, ne vendosim zero në vend të variablave që mungojnë:

Nga rruga, ky është një shembull mjaft i lehtë, pasi kolona e parë tashmë ka një zero, dhe ka më pak transformime elementare për të kryer.

Karakteristika e dytë është kjo. Në të gjithë shembujt e shqyrtuar, ne vendosëm ose –1 ose +1 në "hapat". A mund të ketë numra të tjerë atje? Në disa raste munden. Konsideroni sistemin: .

Këtu në "hapin" e sipërm të majtë kemi një dy. Por vërejmë faktin se të gjithë numrat në kolonën e parë janë të pjesëtueshëm me 2 pa mbetje - dhe tjetri është dy dhe gjashtë. Dhe të dy lart majtas do të na përshtaten! Në hapin e parë, duhet të kryeni transformimet e mëposhtme: shtoni rreshtin e parë të shumëzuar me –1 në rreshtin e dytë; në rreshtin e tretë shtoni rreshtin e parë të shumëzuar me –3. Në këtë mënyrë do të marrim zerat e kërkuara në kolonën e parë.

Ose një shembull tjetër konvencional: . Këtu na përshtaten edhe tre në "hapin" e dytë, pasi 12 (vendi ku duhet të marrim zero) ndahet me 3 pa mbetje. Është e nevojshme të kryhet transformimi i mëposhtëm: shtoni rreshtin e dytë në rreshtin e tretë, shumëzuar me -4, si rezultat i së cilës do të merret zeroja që na nevojitet.

Metoda e Gausit është universale, por ka një veçori. Ju mund të mësoni me besim të zgjidhni sisteme duke përdorur metoda të tjera (metoda e Cramer, metoda e matricës) fjalë për fjalë herën e parë - ata kanë një algoritëm shumë të rreptë. Por në mënyrë që të ndiheni të sigurt në metodën Gaussian, ju duhet të arrini mirë në të dhe të zgjidhni të paktën 5-10 sisteme. Prandaj, në fillim mund të ketë konfuzion dhe gabime në llogaritjet, dhe nuk ka asgjë të pazakontë ose tragjike për këtë.

Moti me shi vjeshte jashtë dritares.... Prandaj, për të gjithë ata që duan një shembull më kompleks për ta zgjidhur vetë:

Shembulli 5

Zgjidh një sistem prej katër ekuacionesh lineare me katër të panjohura duke përdorur metodën e Gausit.

Një detyrë e tillë nuk është aq e rrallë në praktikë. Unë mendoj se edhe një çajnik që e ka studiuar plotësisht këtë faqe do të kuptojë algoritmin për zgjidhjen e një sistemi të tillë në mënyrë intuitive. Në thelb, gjithçka është e njëjtë - ka vetëm më shumë veprime.

Rastet kur sistemi nuk ka zgjidhje (jokonsistente) ose ka pafundësisht shumë zgjidhje diskutohen në mësim Sistemet dhe sistemet e papajtueshme me një zgjidhje të përgjithshme. Aty mund të rregulloni algoritmin e konsideruar të metodës Gaussian.

Ju uroj suksese!

Zgjidhjet dhe përgjigjet:

Shembulli 2: Zgjidhje : Le të shkruajmë matricën e zgjeruar të sistemit dhe, duke përdorur transformimet elementare, ta sjellim atë në një formë hap pas hapi.


Transformimet elementare të kryera:
(1) Rreshtit të dytë iu shtua rreshti i parë, shumëzuar me –2. Rreshti i parë iu shtua rreshtit të tretë, shumëzuar me –1. Kujdes! Këtu mund të tundoheni të zbrisni të parën nga rreshti i tretë, unë rekomandoj shumë të mos e zbritni atë - rreziku i gabimit rritet shumë. Thjesht paloseni!
(2) Shenja e rreshtit të dytë u ndryshua (shumëzuar me –1). Linjat e dyta dhe të treta janë ndërruar. shënim, që në “hapa” nuk mjaftohemi vetëm me një, por edhe me –1, që është edhe më i përshtatshëm.
(3) Rreshtit të tretë iu shtua rreshti i dytë, shumëzuar me 5.
(4) Shenja e rreshtit të dytë u ndryshua (shumëzuar me –1). Rreshti i tretë u nda me 14.

E kundërta:

Përgjigju: .

Shembulli 4: Zgjidhje : Le të shkruajmë matricën e zgjeruar të sistemit dhe, duke përdorur transformimet elementare, ta sjellim atë në një formë hap pas hapi:

Konvertimet e kryera:
(1) Rreshtit të parë iu shtua një rresht i dytë. Kështu, njësia e dëshiruar organizohet në "hapin" e sipërm majtas.
(2) Rreshti i parë i shumëzuar me 7 iu shtua rreshtit të dytë.

Me "hapin" e dytë gjithçka përkeqësohet , "kandidatët" për të janë numrat 17 dhe 23, dhe na duhet ose një ose –1. Transformimet (3) dhe (4) do të synojnë marrjen e njësisë së dëshiruar

(3) Rreshtit të tretë iu shtua rreshti i dytë, shumëzuar me –1.
(4) Rreshtit të dytë iu shtua rreshti i tretë, shumëzuar me –3.
(3) Rreshtit të tretë iu shtua rreshti i dytë, shumëzuar me 4. Rreshti i dytë iu shtua rreshtit të katërt, shumëzuar me –1.
(4) Shenja e rreshtit të dytë u ndryshua. Rreshti i katërt u nda me 3 dhe u vendos në vend të rreshtit të tretë.
(5) Rreshtit të katërt iu shtua rreshti i tretë, shumëzuar me –5.

E kundërta:

Këtu mund të zgjidhni një sistem ekuacionesh lineare falas Metoda e Gausit në internet madhësi të mëdha në numra komplekse me një zgjidhje shumë të detajuar. Llogaritësi ynë mund të zgjidhë në internet si sistemet e zakonshme të përcaktuara ashtu edhe ato të pacaktuara të ekuacioneve lineare me metodën Gauss, e cila ka një numër të pafund zgjidhjesh. Në këtë rast, në përgjigje do të merrni varësinë e disa variablave përmes të tjerëve, të lirë. Ju gjithashtu mund të kontrolloni sistemin e ekuacioneve për konsistencë në internet duke përdorur zgjidhjen Gaussian.

Madhësia e matricës: 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 34 3 4 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 78 88 88 80 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 X 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 334 34 3 3 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 78 88 88 80 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101

Rreth metodës

Kur zgjidhni një sistem ekuacionesh lineare në internet duke përdorur metodën Gaussian, kryhen hapat e mëposhtëm.

1. Shkruajmë matricën e zgjeruar.
2. Në fakt, zgjidhja ndahet në hapa përpara dhe prapa të metodës Gaussian. Qasja e drejtpërdrejtë e metodës Gaussian është reduktimi i një matrice në një formë hap pas hapi. E kundërta e metodës Gaussian është reduktimi i një matrice në një formë të veçantë hap pas hapi. Por në praktikë, është më e përshtatshme që menjëherë të zero atë që ndodhet si sipër ashtu edhe poshtë elementit në fjalë. Llogaritësi ynë përdor pikërisht këtë qasje.
3. Është e rëndësishme të theksohet se kur zgjidhet duke përdorur metodën Gaussian, prania në matricën e të paktën një rreshti zero me anën e djathtë JO-zero (kolona e termave të lirë) tregon papajtueshmërinë e sistemit. Në këtë rast, një zgjidhje për sistemin linear nuk ekziston.

Për të kuptuar më mirë se si funksionon algoritmi Gaussian në internet, futni çdo shembull, zgjidhni "zgjidhje shumë e detajuar" dhe shikoni zgjidhjen e tij në internet.

Le të jepet një sistem ekuacionesh algjebrike lineare që duhet të zgjidhet (gjeni vlera të tilla të të panjohurave xi që e kthejnë çdo ekuacion të sistemit në një barazi).

Ne e dimë se një sistem ekuacionesh algjebrike lineare mund të:

1) Nuk ka zgjidhje (të jetë jo të përbashkët).
2) Ka pafundësisht shumë zgjidhje.
3) Keni një zgjidhje të vetme.

Siç kujtojmë, rregulli i Cramer-it dhe metoda e matricës nuk janë të përshtatshme në rastet kur sistemi ka pafundësisht shumë zgjidhje ose është i paqëndrueshëm. Metoda e Gausit – mjeti më i fuqishëm dhe më i gjithanshëm për gjetjen e zgjidhjeve për çdo sistem ekuacionesh lineare, e cila në çdo rast do të na çojë në përgjigje! Vetë algoritmi i metodës funksionon njësoj në të tre rastet. Nëse metodat Cramer dhe matricë kërkojnë njohuri të përcaktuesve, atëherë për të aplikuar metodën e Gausit ju nevojitet vetëm njohuri për veprimet aritmetike, gjë që e bën atë të aksesueshme edhe për nxënësit e shkollave fillore.

Transformimet e matricës së shtuar ( kjo është matrica e sistemit - një matricë e përbërë vetëm nga koeficientët e të panjohurave, plus një kolonë me terma të lirë) sistemet e ekuacioneve algjebrike lineare në metodën e Gausit:

1) Me troki matricat Mund rirregulloj në disa vende.

2) nëse në matricë shfaqen (ose ekzistojnë) rreshta proporcionalë (si rast i veçantë - identike), atëherë duhet fshij Të gjitha këto rreshta janë nga matrica, përveç njërit.

3) nëse një rresht zero shfaqet në matricë gjatë transformimeve, atëherë duhet të jetë gjithashtu fshij.

4) një rresht i matricës mund të jetë shumëzoj (pjesto) në çdo numër të ndryshëm nga zero.

5) në një rresht të matricës mundeni shtoni një varg tjetër të shumëzuar me një numër, të ndryshme nga zero.

Në metodën e Gausit, transformimet elementare nuk e ndryshojnë zgjidhjen e sistemit të ekuacioneve.

Metoda e Gausit përbëhet nga dy faza:

1. "Lëvizja e drejtpërdrejtë" - duke përdorur transformimet elementare, sillni matricën e zgjeruar të një sistemi ekuacionesh algjebrike lineare në një formë hapi "trekëndëshi": elementët e matricës së zgjeruar që ndodhen nën diagonalen kryesore janë të barabarta me zero (lëvizja nga lart-poshtë). Për shembull, për këtë lloj:

Për ta bërë këtë, kryeni hapat e mëposhtëm:

1) Le të shqyrtojmë ekuacionin e parë të një sistemi ekuacionesh algjebrike lineare dhe koeficienti për x 1 është i barabartë me K. E dyta, e treta, etj. ne i transformojmë ekuacionet si më poshtë: pjesëtojmë çdo ekuacion (koeficientët për të panjohurat, duke përfshirë termat e lirë) me koeficientin për të panjohurën x 1, që është në çdo ekuacion, dhe shumëzojmë me K. Pas kësaj, i zbresim të parin nga i dyti. ekuacioni (koeficientët për të panjohurat dhe termat e lirë). Për x 1 në ekuacionin e dytë marrim koeficientin 0. Nga ekuacioni i tretë i transformuar zbresim ekuacionin e parë derisa të gjitha ekuacionet përveç të parit, për të panjohurën x 1, të kenë një koeficient 0.

2) Le të kalojmë në ekuacionin tjetër. Le të jetë ky ekuacioni i dytë dhe koeficienti për x 2 i barabartë me M. Ne vazhdojmë me të gjitha ekuacionet "më të ulëta" siç përshkruhet më sipër. Kështu, "nën" të panjohurën x 2 do të ketë zero në të gjitha ekuacionet.

3) Kaloni në ekuacionin tjetër dhe kështu me radhë derisa të mbetet një e panjohur e fundit dhe termi i lirë i transformuar.

1. "Lëvizja e kundërt" e metodës Gauss është të merret një zgjidhje për një sistem ekuacionesh algjebrike lineare (lëvizja "nga poshtë-lart"). Nga ekuacioni i fundit "më i ulët" marrim një zgjidhje të parë - të panjohurën x n. Për ta bërë këtë, ne zgjidhim ekuacionin elementar A * x n = B. Në shembullin e dhënë më sipër, x 3 = 4. Ne e zëvendësojmë vlerën e gjetur në ekuacionin e ardhshëm "të sipërm" dhe e zgjidhim atë në lidhje me të panjohurën tjetër. Për shembull, x 2 – 4 = 1, d.m.th. x 2 = 5. Dhe kështu me radhë derisa të gjejmë të gjitha të panjohurat.

Shembull.

Le të zgjidhim sistemin e ekuacioneve lineare duke përdorur metodën e Gausit, siç këshillojnë disa autorë:

Le të shkruajmë matricën e zgjeruar të sistemit dhe, duke përdorur transformimet elementare, ta sjellim atë në një formë hap pas hapi:

Ne shikojmë "hapin" e sipërm të majtë. Duhet të kemi një atje. Problemi është se nuk ka fare njësi në kolonën e parë, kështu që riorganizimi i rreshtave nuk do të zgjidhë asgjë. Në raste të tilla, njësia duhet të organizohet duke përdorur një transformim elementar. Kjo zakonisht mund të bëhet në disa mënyra. Le ta bejme kete:
1 hap . Në rreshtin e parë shtojmë rreshtin e dytë, shumëzuar me –1. Domethënë, ne shumëzuam mendërisht rreshtin e dytë me –1 dhe shtuam rreshtin e parë dhe të dytë, ndërsa rreshti i dytë nuk ndryshoi.

Tani lart majtas është “minus një”, që na shkon mjaft mirë. Kushdo që dëshiron të marrë +1 mund të kryejë një veprim shtesë: shumëzoni rreshtin e parë me –1 (ndryshoni shenjën e tij).

Hapi 2 . Rreshti i parë, shumëzuar me 5, u shtua në rreshtin e dytë.

Hapi 3 . Rreshti i parë u shumëzua me -1, në parim, kjo është për bukurinë. U ndryshua edhe shenja e vijës së tretë dhe u zhvendos në vendin e dytë, në mënyrë që në “hapin” e dytë të kishim njësinë e kërkuar.

Hapi 4 . Rreshti i tretë iu shtua rreshtit të dytë, shumëzuar me 2.

Hapi 5 . Rreshti i tretë u nda me 3.

Një shenjë që tregon një gabim në llogaritje (më rrallë, një gabim shtypi) është një fund "i keq". Kjo do të thotë, nëse kemi marrë diçka si (0 0 11 |23) më poshtë, dhe, në përputhje me rrethanat, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, atëherë me një shkallë të lartë probabiliteti mund të themi se është bërë një gabim gjatë fillore transformimet.

Le të bëjmë të kundërtën në hartimin e shembujve, vetë sistemi shpesh nuk rishkruhet, por ekuacionet "merren drejtpërdrejt nga matrica e dhënë". Lëvizja e kundërt, ju kujtoj, funksionon nga poshtë lart. Në këtë shembull, rezultati ishte një dhuratë:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, pra x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1

Përgjigju:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.

Le të zgjidhim të njëjtin sistem duke përdorur algoritmin e propozuar. marrim

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Pjesëtojmë ekuacionin e dytë me 5 dhe të tretën me 3. Marrim:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Duke shumëzuar ekuacionin e dytë dhe të tretë me 4, marrim:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Zbresim ekuacionin e parë nga ekuacioni i dytë dhe i tretë, kemi:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Pjestojeni ekuacionin e tretë me 0.64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Shumëzoni ekuacionin e tretë me 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Duke zbritur të dytën nga ekuacioni i tretë, marrim një matricë të zgjeruar "të shkallëzuar":

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Kështu, meqenëse gabimi i grumbulluar gjatë llogaritjeve, marrim x 3 = 0.96 ose afërsisht 1.

x 2 = 3 dhe x 1 = –1.

Duke e zgjidhur në këtë mënyrë, nuk do të ngatërroheni kurrë në llogaritje dhe, pavarësisht gabimeve në llogaritje, do të merrni rezultatin.

Kjo metodë e zgjidhjes së një sistemi të ekuacioneve algjebrike lineare është lehtësisht e programueshme dhe nuk merr parasysh veçoritë specifike të koeficientëve për të panjohurat, sepse në praktikë (në llogaritjet ekonomike dhe teknike) duhet të merret me koeficientët jo të plotë.

Ju uroj suksese! Shihemi në klasë! Tutor.

blog.site, kur kopjoni materialin plotësisht ose pjesërisht, kërkohet një lidhje me burimin origjinal.

Sot po shikojmë metodën e Gausit për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve algjebrike lineare. Ju mund të lexoni se cilat janë këto sisteme në artikullin e mëparshëm kushtuar zgjidhjes së të njëjtave SLAE duke përdorur metodën Cramer. Metoda Gauss nuk kërkon ndonjë njohuri specifike, ju duhet vetëm vëmendje dhe qëndrueshmëri. Pavarësisht se nga pikëpamja matematikore, trajnimi shkollor është i mjaftueshëm për ta zbatuar atë, nxënësit shpesh e kanë të vështirë ta zotërojnë këtë metodë. Në këtë artikull ne do të përpiqemi t'i reduktojmë ato në asgjë!

Metoda e Gausit

M Metoda Gaussian– metoda më universale për zgjidhjen e SLAE-ve (me përjashtim të sistemeve shumë të mëdha). Ndryshe nga sa u diskutua më parë, ai është i përshtatshëm jo vetëm për sistemet që kanë një zgjidhje të vetme, por edhe për sistemet që kanë një numër të pafund zgjidhjesh. Këtu ka tre opsione të mundshme.

1. Sistemi ka një zgjidhje unike (përcaktori i matricës kryesore të sistemit nuk është i barabartë me zero);
2. Sistemi ka një numër të pafund zgjidhjesh;
3. Nuk ka zgjidhje, sistemi është i papajtueshëm.

Pra, ne kemi një sistem (le të ketë një zgjidhje) dhe do ta zgjidhim duke përdorur metodën Gaussian. Si punon?

Metoda e Gausit përbëhet nga dy faza - përpara dhe anasjelltas.

Goditja e drejtpërdrejtë e metodës Gaussian

Së pari, le të shkruajmë matricën e zgjeruar të sistemit. Për ta bërë këtë, shtoni një kolonë anëtarësh të lirë në matricën kryesore.

I gjithë thelbi i metodës së Gausit është ta sjellë këtë matricë në një formë të shkallëzuar (ose, siç thonë ata, trekëndore), përmes transformimeve elementare. Në këtë formë, duhet të ketë vetëm zero nën (ose sipër) diagonales kryesore të matricës.

Çfarë mund të bëni:

1. Ju mund të riorganizoni rreshtat e matricës;
2. Nëse ka rreshta të barabartë (ose proporcional) në një matricë, ju mund t'i hiqni të gjitha, përveç njërit prej tyre;
3. Ju mund të shumëzoni ose ndani një varg me çdo numër (përveç zeros);
4. Rreshtat null hiqen;
5. Ju mund të bashkëngjitni një varg të shumëzuar me një numër të ndryshëm nga zero në një varg.

Metoda e kundërt Gaussian

Pasi ta transformojmë sistemin në këtë mënyrë, një i panjohur Xn bëhet e njohur, dhe ju mund t'i gjeni të gjitha të panjohurat e mbetura në rend të kundërt, duke zëvendësuar x-të tashmë të njohura në ekuacionet e sistemit, deri në të parën.

Kur interneti është gjithmonë pranë, ju mund të zgjidhni një sistem ekuacionesh duke përdorur metodën Gaussian online. Thjesht duhet të futni koeficientët në kalkulatorin online. Por duhet ta pranoni, është shumë më e këndshme të kuptosh se shembulli nuk u zgjidh nga një program kompjuterik, por nga truri yt.

Një shembull i zgjidhjes së një sistemi ekuacionesh duke përdorur metodën e Gausit

Dhe tani - një shembull në mënyrë që gjithçka të bëhet e qartë dhe e kuptueshme. Le të jepet një sistem ekuacionesh lineare dhe ju duhet ta zgjidhni atë duke përdorur metodën e Gausit:

Së pari shkruajmë matricën e zgjeruar:

Tani le të bëjmë transformimet. Kujtojmë se duhet të arrijmë një pamje trekëndore të matricës. Le të shumëzojmë rreshtin e parë me (3). Shumëzojeni rreshtin e dytë me (-1). Shtoni rreshtin e dytë në rreshtin e parë dhe merrni:

Pastaj shumëzojeni rreshtin e tretë me (-1). Le të shtojmë rreshtin e tretë në rreshtin e dytë:

Le të shumëzojmë rreshtin e parë me (6). Le të shumëzojmë rreshtin e dytë me (13). Le të shtojmë rreshtin e dytë në rreshtin e parë:

Voila - sistemi është sjellë në formën e duhur. Mbetet për të gjetur të panjohurat:

Sistemi në këtë shembull ka një zgjidhje unike. Ne do të shqyrtojmë zgjidhjen e sistemeve me një numër të pafund zgjidhjesh në një artikull të veçantë. Ndoshta në fillim nuk do të dini se ku të filloni transformimin e matricës, por pas praktikës së duhur do ta kuptoni dhe do të thyeni SLAE duke përdorur metodën Gaussian si arra. Dhe nëse papritmas hasni në një SLA që rezulton të jetë një arrë shumë e fortë për t'u goditur, kontaktoni autorët tanë! mundeni duke lënë një kërkesë në Zyrën e Korrespondencës. Së bashku do të zgjidhim çdo problem!

Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Lëkundjet harmonike Formula e fizikës së frekuencës së lëkundjeve