Ekuacioni i drejtëzës që kalon nga dy pika. Në artikull" " Ju premtova të shikoni metodën e dytë të zgjidhjes së problemeve të paraqitura të gjetjes së derivatit, me këtë grafik funksioni dhe tangjenti i këtij grafiku. Ne do të diskutojmë këtë metodë në , mos humbasë! Pse në atë të radhës?

Fakti është se formula për ekuacionin e një vije të drejtë do të përdoret atje. Sigurisht, thjesht mund të tregoni këtë formulë dhe ju këshilloj ta mësoni. Por është më mirë të shpjegojmë se nga vjen (si rrjedh). Është e nevojshme! Nëse e harroni, mund ta rivendosni shpejtnuk do të jetë e vështirë. Gjithçka përshkruhet në detaje më poshtë. Pra, ne kemi plan koordinativ ka dy pika A(x 1; y 1) dhe B (x 2; y 2), vizatohet një vijë e drejtë nëpër pikat e treguara:

Këtu është vetë formula e drejtpërdrejtë:

*Dmth, kur zëvendësojmë koordinatat specifike të pikave, marrim një ekuacion të formës y=kx+b.

**Nëse thjesht e "mësoni përmendësh" këtë formulë, atëherë ekziston Mundësi e madhe ngatërrohen me indekset kur X. Për më tepër, indekset mund të përcaktohen në mënyra të ndryshme, për shembull:

Kjo është arsyeja pse është e rëndësishme të kuptojmë kuptimin.

Tani derivimi i kësaj formule. Gjithçka është shumë e thjeshtë!

Trekëndëshat ABE dhe ACF janë të ngjashëm në kënd i mprehtë(shenja e parë e ngjashmërisë trekëndëshat kënddrejtë). Nga kjo rrjedh se raportet e elementeve përkatëse janë të barabarta, domethënë:

Tani ne thjesht i shprehim këto segmente përmes ndryshimit në koordinatat e pikave:

Sigurisht, nuk do të ketë asnjë gabim nëse shkruani marrëdhëniet e elementeve në një mënyrë tjetër (gjëja kryesore është të ruani qëndrueshmërinë):

Rezultati do të jetë i njëjti ekuacion i vijës. Kjo është e gjitha!

Kjo do të thotë, pavarësisht se si caktohen vetë pikat (dhe koordinatat e tyre), duke kuptuar këtë formulë, gjithmonë do të gjeni ekuacionin e një vije të drejtë.

Formula mund të nxirret duke përdorur vetitë e vektorëve, por parimi i derivimit do të jetë i njëjtë, pasi do të flasim për proporcionalitetin e koordinatave të tyre. Në këtë rast, funksionon e njëjta ngjashmëri e trekëndëshave kënddrejtë. Sipas mendimit tim, përfundimi i përshkruar më sipër është më i qartë)).

Shikoni daljen duke përdorur koordinatat vektoriale >>>

Le të ndërtohet një vijë e drejtë në rrafshin koordinativ që kalon nga dy pikët e dhëna A (x 1; y 1) dhe B (x 2; y 2). Le të shënojmë një pikë arbitrare C në vijë me koordinata ( x; y). Ne gjithashtu shënojmë dy vektorë:

Dihet se për vektorët që shtrihen në vija paralele (ose në të njëjtën linjë), koordinatat e tyre përkatëse janë proporcionale, domethënë:

— shkruajmë barazinë e raporteve të koordinatave përkatëse:

Le të shohim një shembull:

Gjeni ekuacionin e drejtëzës që kalon në dy pika me koordinata (2;5) dhe (7:3).

Ju as nuk duhet të ndërtoni vetë vijën e drejtë. Ne aplikojmë formulën:

Është e rëndësishme që të kuptoni korrespondencën kur hartoni raportin. Nuk mund të gaboni nëse shkruani:

Përgjigje: y=-2/5x+29/5 go y=-0,4x+5,8

Për t'u siguruar që ekuacioni që rezulton është gjetur saktë, sigurohuni që të kontrolloni - zëvendësoni koordinatat e të dhënave në gjendjen e pikave në të. Ekuacionet duhet të jenë të sakta.

Kjo eshte e gjitha. Shpresoj se materiali ishte i dobishëm për ju.

Sinqerisht, Aleksandër.

P.S: Do të isha mirënjohës nëse më tregoni për faqen në rrjetet sociale.

Ekuacioni i një drejtëze që kalon këtë pikë V në këtë drejtim. Ekuacioni i drejtëzës që kalon nëpër dy pika të dhëna. Këndi ndërmjet dy vijave të drejta. Kushti i paralelizmit dhe pingulitetit të dy drejtëzave. Përcaktimi i pikës së kryqëzimit të dy drejtëzave

1. Ekuacioni i drejtëzës që kalon në një pikë të caktuar A(x 1 , y 1) në një drejtim të caktuar, të përcaktuar shpat k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

Ky ekuacion përcakton një laps me vija që kalojnë nëpër një pikë A(x 1 , y 1), e cila quhet qendra e rrezes.

2. Ekuacioni i një drejtëze që kalon nëpër dy pika: A(x 1 , y 1) dhe B(x 2 , y 2), e shkruar kështu:

Koeficienti këndor i një drejtëze që kalon nëpër dy pika të dhëna përcaktohet nga formula

3. Këndi midis vijave të drejta A Dhe Bështë këndi me të cilin duhet të rrotullohet drejtëza e parë A rreth pikës së kryqëzimit të këtyre vijave në drejtim të kundërt të akrepave të orës derisa të përputhet me vijën e dytë B. Nëse dy drejtëza jepen me ekuacione me pjerrësi

y = k 1 x + B 1 ,

Le të jepen dy pikë M(X 1 ,U 1) dhe N(X 2,y 2). Le të gjejmë ekuacionin e drejtëzës që kalon nëpër këto pika.

Meqenëse kjo linjë kalon nëpër pikë M, atëherë sipas formulës (1.13) ekuacioni i tij ka formën

U – Y 1 = K(X–x 1),

Ku K– koeficienti këndor i panjohur.

Vlera e këtij koeficienti përcaktohet nga kushti që drejtëza e dëshiruar të kalojë nëpër pikë N, që do të thotë se koordinatat e tij plotësojnë ekuacionin (1.13)

Y 2 – Y 1 = K(X 2 – X 1),

Nga këtu mund të gjeni pjerrësinë e kësaj linje:

,

Ose pas konvertimit

(1.14)

Formula (1.14) përcakton Ekuacioni i drejtëzës që kalon nëpër dy pika M(X 1, Y 1) dhe N(X 2, Y 2).

Në rastin e veçantë kur pikat M(A, 0), N(0, B), A ¹ 0, B¹ 0, shtrihuni në boshtet e koordinatave, ekuacioni (1.14) do të marrë një formë më të thjeshtë

Ekuacioni (1.15) thirrur Ekuacioni i një drejtëze në segmente, Këtu A Dhe B shënoni segmentet e prera nga një vijë e drejtë në akset (Figura 1.6).

Figura 1.6

Shembulli 1.10. Shkruani një ekuacion për një vijë që kalon nëpër pika M(1, 2) dhe B(3, –1).

. Sipas (1.14), ekuacioni i vijës së dëshiruar ka formën

2(Y – 2) = -3(X – 1).

Transferimi i të gjithë anëtarëve në ana e majte, në fund marrim ekuacionin e kërkuar

3X + 2Y – 7 = 0.

Shembulli 1.11. Shkruani një ekuacion për një drejtëz që kalon nëpër një pikë M(2, 1) dhe pika e prerjes së vijave X+ Y - 1 = 0, X – y+ 2 = 0.

. Do të gjejmë koordinatat e pikës së prerjes së drejtëzave duke i zgjidhur këto ekuacione së bashku

Nëse i mbledhim këto ekuacione term pas termi, marrim 2 X+ 1 = 0, prej nga . Duke zëvendësuar vlerën e gjetur në çdo ekuacion, gjejmë vlerën e ordinatës U:

Tani le të shkruajmë ekuacionin e drejtëzës që kalon nëpër pikat (2, 1) dhe:

ose .

Prandaj ose -5 ( Y – 1) = X – 2.

Në fund marrim ekuacionin e vijës së dëshiruar në formë X + 5Y – 7 = 0.

Shembulli 1.12. Gjeni ekuacionin e drejtëzës që kalon nëpër pika M(2.1) dhe N(2,3).

Duke përdorur formulën (1.14), marrim ekuacionin

Nuk ka kuptim, që nga emëruesi i dytë e barabartë me zero. Nga kushtet e problemit del qartë se abshisat e të dy pikave kanë të njëjtën vlerë. Kjo do të thotë që vija e drejtë e dëshiruar është paralele me boshtin OY dhe ekuacioni i tij është: x = 2.

Koment . Nëse, kur shkruani ekuacionin e një rreshti duke përdorur formulën (1.14), një nga emëruesit rezulton të jetë i barabartë me zero, atëherë ekuacioni i dëshiruar mund të merret duke barazuar numëruesin përkatës me zero.

Le të shqyrtojmë mënyra të tjera për të përcaktuar një vijë në një aeroplan.

1. Le të jetë një vektor jozero pingul me drejtëzën e dhënë L, dhe pikë M 0(X 0, Y 0) shtrihet në këtë linjë (Figura 1.7).

Figura 1.7

Le të shënojmë M(X, Y) çdo pikë në një vijë L. Vektorët dhe Ortogonale. Duke përdorur kushtet e ortogonalitetit të këtyre vektorëve, marrim ose A(X – X 0) + B(Y – Y 0) = 0.

Ne kemi marrë ekuacionin e një drejtëze që kalon nëpër një pikë M 0 është pingul me vektorin. Ky vektor quhet Vektor normal në një vijë të drejtë L. Ekuacioni që rezulton mund të rishkruhet si

Oh + Wu + ME= 0, ku ME = –(AX 0 + Nga 0), (1.16),

Ku A Dhe NË– koordinatat e vektorit normal.

Ne marrim ekuacionin e përgjithshëm të drejtëzës në formë parametrike.

2. Një drejtëz në një rrafsh mund të përcaktohet si më poshtë: le të jetë një vektor jozero paralel me drejtëzën e dhënë. L dhe periudha M 0(X 0, Y 0) shtrihet në këtë linjë. Le të marrim përsëri një pikë arbitrare M(X, y) në një vijë të drejtë (Figura 1.8).

Figura 1.8

Vektorët dhe kolineare.

Le të shkruajmë kushtin për kolinearitetin e këtyre vektorëve: , ku T – numër arbitrar, i quajtur një parametër. Le ta shkruajmë këtë barazi në koordinata:

Këto ekuacione quhen Ekuacionet parametrike Drejt. Le të përjashtojmë parametrin nga këto ekuacione T:

Këto ekuacione përndryshe mund të shkruhen në formë

. (1.18)

Ekuacioni që rezulton quhet Ekuacioni kanonik i drejtëzës. Vektori quhet Vektori i drejtimit është i drejtë .

Koment . Është e lehtë të shihet se nëse është vektori normal në vijë L, atëherë vektori i drejtimit të tij mund të jetë vektor pasi , d.m.th.

Shembulli 1.13. Shkruani ekuacionin e drejtëzës që kalon në një pikë M 0 (1, 1) paralel me rreshtin 3 X + 2U– 8 = 0.

Zgjidhje . Vektori është vektori normal për linjat e dhëna dhe të dëshiruara. Le të përdorim ekuacionin e një drejtëze që kalon nëpër një pikë M 0 me një vektor normal të dhënë 3( X –1) + 2(U– 1) = 0 ose 3 X + 2u– 5 = 0. Kemi marrë ekuacionin e vijës së dëshiruar.

Ekuacioni i një vije të drejtë në një plan.
Vektori i drejtimit është i drejtë. Vektor normal

Një vijë e drejtë në një aeroplan është një nga më të thjeshtat forma gjeometrike, i njohur për ju që nga ajo kohë klasat e vogla, dhe sot do të mësojmë se si ta trajtojmë atë duke përdorur metoda gjeometria analitike. Për të zotëruar materialin, duhet të jeni në gjendje të ndërtoni një vijë të drejtë; e di se çfarë ekuacioni përcakton një drejtëz, në veçanti, një drejtëz që kalon nga origjina e koordinatave dhe drejtëza paralele me boshtet e koordinatave. Ky informacion mund të gjenden në manual Grafikët dhe vetitë e funksioneve elementare, e kam krijuar për matan, por seksionin rreth funksion linear Doli shumë e suksesshme dhe e detajuar. Prandaj, të dashur çajnik, ngrohuni aty më parë. Përveç kësaj, ju duhet të keni njohuri baze O vektorët, përndryshe kuptimi i materialit do të jetë i paplotë.

Aktiv këtë mësim Ne do të shikojmë mënyrat në të cilat mund të krijoni një ekuacion të një vije të drejtë në një plan. Unë rekomandoj që të mos neglizhoni shembujt praktikë (edhe nëse duket shumë i thjeshtë), pasi do t'u jap atyre elementë dhe fakte të rëndësishme, teknikat teknike që do të kërkohen në të ardhmen, duke përfshirë në seksione të tjera të matematikës së lartë.

• Si të shkruhet një ekuacion i një drejtëze me një koeficient këndi?
• Si ?
• Si të gjeni një vektor drejtimi duke përdorur ekuacionin e përgjithshëm të një drejtëze?
• Si të shkruhet një ekuacion i një drejtëze të dhënë një pikë dhe një vektor normal?

dhe fillojmë:

Ekuacioni i një drejtëze me pjerrësi

Forma e njohur "shkollë" e ekuacionit të drejtë quhet ekuacioni i një vije të drejtë me pjerrësinë. Për shembull, nëse një drejtëz jepet nga ekuacioni, atëherë pjerrësia e saj është: . Le të shqyrtojmë kuptimi gjeometrik koeficienti i dhënë dhe si ndikon vlera e saj në vendndodhjen e linjës:

Në lëndën e gjeometrisë vërtetohet se pjerrësia e drejtëzës është e barabartë me tangjente e këndit ndërmjet drejtimit të boshtit pozitivdhe kjo linjë: , dhe këndi "zhvidhos" në drejtim të kundërt të akrepave të orës.

Për të mos rrëmuar vizatimin, vizatova kënde vetëm për dy vija të drejta. Le të shqyrtojmë vijën "e kuqe" dhe pjerrësinë e saj. Sipas sa më sipër: (këndi "alfa" tregohet nga një hark i gjelbër). Për vijën e drejtë "blu" me koeficientin e këndit, barazia është e vërtetë (këndi "beta" tregohet me një hark kafe). Dhe nëse dihet tangjentja e këndit, atëherë nëse është e nevojshme është e lehtë të gjendet dhe vetë këndi duke përdorur funksioni i anasjelltë– arktangjent. Siç thonë ata, një tabelë trigonometrike ose një mikrollogaritës në duart tuaja. Kështu, koeficienti këndor karakterizon shkallën e pjerrësisë së vijës së drejtë ndaj boshtit të abshisës.

Në këtë rast, është e mundur rastet e mëposhtme:

1) Nëse pjerrësia është negative: atëherë vija, përafërsisht, shkon nga lart poshtë. Shembuj janë linjat e drejta "blu" dhe "mjedër" në vizatim.

2) Nëse pjerrësia është pozitive: atëherë vija shkon nga poshtë lart. Shembuj - vija të drejta "të zeza" dhe "të kuqe" në vizatim.

3) Nëse pjerrësia është zero: , atëherë ekuacioni merr formën , dhe drejtëza përkatëse është paralele me boshtin. Një shembull është vija e drejtë "e verdhë".

4) Për një familje vijash paralele me një bosht (nuk ka asnjë shembull në vizatim, përveç vetë boshtit), koeficienti këndor nuk ekziston (tangjentja prej 90 gradë nuk është e përcaktuar).

Sa më i madh të jetë koeficienti i pjerrësisë në vlerë absolute, aq më i pjerrët shkon grafiku i vijës së drejtë..

Për shembull, merrni parasysh dy vija të drejta. Këtu, pra, vija e drejtë ka një pjerrësi më të madhe. Më lejoni t'ju kujtoj se moduli ju lejon të injoroni shenjën, ne jemi vetëm të interesuar vlerat absolute koeficientët këndorë.

Nga ana tjetër, një vijë e drejtë është më e pjerrët se linjat e drejta .

Anasjelltas: sa më i vogël të jetë koeficienti i pjerrësisë në vlerë absolute, aq më e sheshtë është vija e drejtë.

Për linjat e drejta pabarazia është e vërtetë, pra vija e drejtë është më e sheshtë. Rrëshqitje për fëmijë, për të mos i dhënë vetes mavijosje dhe gunga.

Pse është e nevojshme kjo?

Zgjatni mundimin tuaj Njohja e fakteve të mësipërme ju lejon të shihni menjëherë gabimet tuaja, në veçanti, gabimet kur ndërtoni grafikët - nëse vizatimi rezulton të jetë "qartësisht diçka e gabuar". Është e këshillueshme që ju menjëherë ishte e qartë se, për shembull, vija e drejtë është shumë e pjerrët dhe shkon nga poshtë lart, dhe vija e drejtë është shumë e sheshtë, e shtypur afër boshtit dhe shkon nga lart poshtë.

NË problemet gjeometrike ah, shpesh shfaqen disa vija të drejta, kështu që është e përshtatshme t'i caktoni ato disi.

Emërtimet: vijat e drejta janë caktuar të vogla me shkronja latine: . Një opsion popullor është përcaktimi i tyre duke përdorur të njëjtën shkronjë me nënshkrime natyrore. Për shembull, pesë rreshtat që sapo shikuam mund të shënohen me .

Meqenëse çdo vijë e drejtë përcaktohet në mënyrë unike nga dy pika, ajo mund të shënohet me këto pika: etj. Emërtimi nënkupton qartë se pikat i përkasin vijës.

Është koha për t'u ngrohur pak:

Si të shkruhet një ekuacion i një drejtëze me një koeficient këndi?

Nëse dihet një pikë që i përket një drejtëze të caktuar dhe koeficienti këndor i kësaj drejtëze, atëherë ekuacioni i kësaj drejtëze shprehet me formulën:

Shembulli 1

Shkruani një ekuacion për një drejtëz me pjerrësi nëse dihet se pika i përket drejtëzës së dhënë.

Zgjidhje: Le të hartojmë ekuacionin e drejtëzës duke përdorur formulën . NË në këtë rast:

Përgjigju:

Ekzaminimi bëhet thjesht. Së pari, ne shikojmë ekuacionin që rezulton dhe sigurohemi që pjerrësia jonë është në vend. Së dyti, koordinatat e pikës duhet të kënaqen këtë ekuacion. Le t'i lidhim ato në ekuacionin:

Marrë barazi e vërtetë, që do të thotë se pika plotëson ekuacionin që rezulton.

konkluzioni: Ekuacioni u gjet saktë.

Një shembull më i ndërlikuar për vendim i pavarur:

Shembulli 2

Shkruani një ekuacion për një drejtëz nëse dihet se këndi i saj i prirjes ndaj drejtimit pozitiv të boshtit është , dhe pika i përket kësaj drejtëze.

Nëse keni ndonjë vështirësi, rilexoni material teorik. Më saktë, më praktike, i anashkaloj shumë prova.

Zilja Thirrja e fundit, vdiq mbrëmja e maturës, dhe pas portës Shtëpi shkollë Ajo që na pret është, në fakt, gjeometria analitike. Shakatë kanë mbaruar... Ose ndoshta ata sapo kanë filluar =)

Me nostalgji tundim stilolapsin drejt të njohurit dhe njihemi me ekuacionin e përgjithshëm të një vije të drejtë. Sepse në gjeometrinë analitike kjo është pikërisht ajo që përdoret:

Ekuacioni i përgjithshëm vija e drejtë ka formën: , ku janë disa numra. Në të njëjtën kohë, koeficientët njëkohësisht nuk janë të barabarta me zero, pasi ekuacioni humbet kuptimin e tij.

Le të vishemi me kostum dhe ta lidhim ekuacionin me koeficientin e pjerrësisë. Së pari, le t'i zhvendosim të gjitha termat në anën e majtë:

Termi me "X" duhet të vihet në radhë të parë:

Në parim, ekuacioni tashmë ka formën , por sipas rregullave të mirësjelljes matematikore, koeficienti i termit të parë (në këtë rast) duhet të jetë pozitiv. Shenjat e ndryshimit:

Mbaje mend këte veçori teknike! Koeficientin e parë (më shpesh) e bëjmë pozitiv!

Në gjeometrinë analitike, ekuacioni i një vije të drejtë do të jepet pothuajse gjithmonë formë e përgjithshme. Epo, nëse është e nevojshme, mund të reduktohet lehtësisht në formën "shkollë" me një koeficient këndor (me përjashtim të vijave të drejta paralele me boshtin e ordinatave).

Le të pyesim veten se çfarë mjaft dini të ndërtoni një vijë të drejtë? Dy pikë. Por më shumë rreth këtij incidenti të fëmijërisë, tani qëndron rregulli me shigjeta. Çdo vijë e drejtë ka një pjerrësi shumë specifike, e cila është e lehtë për t'u "përshtatur". vektoriale.

Një vektor që është paralel me një drejtëz quhet vektor i drejtimit të asaj drejtëze. Është e qartë se çdo vijë e drejtë ka një numër të pafund të vektorëve të drejtimit, dhe të gjithë do të jenë kolinear (bashkëdrejtues ose jo - nuk ka rëndësi).

Unë do të shënoj vektorin e drejtimit në mënyrën e mëposhtme: .

Por një vektor nuk mjafton për të ndërtuar një vijë të drejtë, vektori është i lirë dhe nuk është i lidhur me asnjë pikë në rrafsh. Prandaj, është gjithashtu e nevojshme të dihet një pikë që i përket linjës.

Si të shkruhet një ekuacion i një drejtëze duke përdorur një pikë dhe një vektor drejtimi?

Nëse dihet një pikë e caktuar që i përket një linje dhe vektori i drejtimit të kësaj linje, atëherë ekuacioni i kësaj rreshti mund të përpilohet duke përdorur formulën:

Ndonjëherë quhet ekuacioni kanonik drejt .

Çfarë duhet bërë kur një nga koordinatatështë e barabartë me zero, do ta kuptojmë në shembujt praktikë më poshtë. Nga rruga, ju lutem vini re - të dyja përnjëherë koordinatat nuk mund të jenë të barabarta me zero, pasi vektori zero nuk specifikon një drejtim specifik.

Shembulli 3

Shkruani një ekuacion për një vijë të drejtë duke përdorur një pikë dhe një vektor drejtimi

Zgjidhje: Le të hartojmë ekuacionin e një drejtëze duke përdorur formulën. Në këtë rast:

Duke përdorur vetitë e proporcionit shpëtojmë nga thyesat:

Dhe ne e sjellim ekuacionin në formën e tij të përgjithshme:

Përgjigju:

Si rregull, nuk ka nevojë të bëni një vizatim në shembuj të tillë, por për hir të të kuptuarit:

Në vizatim shohim pikën e fillimit, vektorin e drejtimit origjinal (mund të vizatohet nga çdo pikë në rrafsh) dhe vijën e drejtë të ndërtuar. Nga rruga, në shumë raste është më e përshtatshme për të ndërtuar një vijë të drejtë duke përdorur një ekuacion me një koeficient këndor. Është e lehtë të transformojmë ekuacionin tonë në formë dhe të zgjedhim lehtësisht një pikë tjetër për të ndërtuar një vijë të drejtë.

Siç u përmend në fillim të paragrafit, një vijë e drejtë ka pafundësisht shumë vektorë drejtimi, dhe të gjithë ata janë kolinear. Për shembull, unë vizatova tre vektorë të tillë: . Cilido qoftë vektori i drejtimit që zgjedhim, rezultati do të jetë gjithmonë i njëjti ekuacion drejtvizor.

Le të krijojmë një ekuacion të një vije të drejtë duke përdorur një pikë dhe një vektor drejtimi:

Zgjidhja e proporcionit:

Ndani të dyja anët me –2 dhe merrni ekuacionin e njohur:

Të interesuarit mund të testojnë vektorët në të njëjtën mënyrë ose ndonjë vektor tjetër kolinear.

Tani le të vendosim problem i anasjelltë:

Si të gjeni një vektor drejtimi duke përdorur ekuacionin e përgjithshëm të një drejtëze?

Shume e thjeshte:

Nëse një drejtëz jepet nga një ekuacion i përgjithshëm në sistem drejtkëndor koordinatat, atëherë vektori është vektori i drejtimit të kësaj linje.

Shembuj të gjetjes së vektorëve të drejtimit të drejtëzave:

Deklarata na lejon të gjejmë vetëm një vektor drejtimi nga një numër i pafund, por nuk kemi nevojë për më shumë. Edhe pse në disa raste këshillohet të zvogëlohen koordinatat e vektorëve të drejtimit:

Kështu, ekuacioni specifikon një vijë të drejtë që është paralele me boshtin dhe koordinatat e vektorit të drejtimit që rezulton ndahen në mënyrë të përshtatshme me –2, duke marrë saktësisht vektorin bazë si vektorin e drejtimit. Logjike.

Në mënyrë të ngjashme, ekuacioni specifikon një vijë të drejtë paralele me boshtin, dhe duke pjesëtuar koordinatat e vektorit me 5, marrim vektorin ort si vektor të drejtimit.

Tani le ta bëjmë atë duke kontrolluar shembullin 3. Shembulli u ngrit, kështu që ju kujtoj se në të kemi përpiluar ekuacionin e një drejtëze duke përdorur një pikë dhe një vektor drejtimi

Së pari, duke përdorur ekuacionin e drejtëzës ne rindërtojmë vektorin e drejtimit të saj: – çdo gjë është në rregull, ne kemi marrë vektorin origjinal (në disa raste rezultati mund të jetë një vektor kolinear me atë origjinal, dhe kjo zakonisht vërehet lehtë nga proporcionaliteti i koordinatave përkatëse).

Së dyti, koordinatat e pikës duhet të plotësojnë ekuacionin. Ne i zëvendësojmë ato në ekuacionin:

Është marrë barazia e saktë, për të cilën jemi shumë të lumtur.

konkluzioni: Detyra u krye saktë.

Shembulli 4

Shkruani një ekuacion për një vijë të drejtë duke përdorur një pikë dhe një vektor drejtimi

Ky është një shembull që ju duhet ta zgjidhni vetë. Zgjidhja dhe përgjigja janë në fund të mësimit. Është shumë e këshillueshme që të kontrolloni duke përdorur algoritmin e sapo diskutuar. Mundohuni të kontrolloni gjithmonë (nëse është e mundur) një draft. Është marrëzi të bësh gabime ku mund të shmangen 100%.

Në rast se njëra nga koordinatat e vektorit të drejtimit është zero, vazhdoni shumë thjesht:

Shembulli 5

Zgjidhje: Formula nuk është e përshtatshme pasi emëruesi në anën e djathtë është zero. Ka një dalje! Duke përdorur vetitë e proporcionit, ne e rishkruajmë formulën në formë, dhe pjesa tjetër rrotullohet përgjatë një rutine të thellë:

Përgjigju:

Ekzaminimi:

1) Rivendos vektorin drejtues të vijës së drejtë:
– vektori që rezulton është kolinear me vektorin e drejtimit origjinal.

2) Zëvendësoni koordinatat e pikës në ekuacionin:

Merret barazia e saktë

konkluzioni: detyra e përfunduar saktë

Shtrohet pyetja, pse të shqetësoheni me formulën nëse ekziston një version universal që do të funksionojë në çdo rast? Ka dy arsye. Së pari, formula është në formën e një fraksioni kujtohet shumë më mirë. Dhe së dyti, disavantazhi formula universale eshte ajo rreziku për t'u ngatërruar rritet ndjeshëm kur zëvendësohen koordinatat.

Shembulli 6

Shkruani një ekuacion për një vijë të drejtë duke përdorur një pikë dhe një vektor drejtimi.

Ky është një shembull që ju duhet ta zgjidhni vetë.

Le të kthehemi te dy pikat e kudogjendura:

Si të shkruhet një ekuacion i një drejtëze duke përdorur dy pika?

Nëse njihen dy pika, atëherë ekuacioni i një vije të drejtë që kalon nëpër këto pika mund të përpilohet duke përdorur formulën:

Në fakt, ky është një lloj formule dhe ja pse: nëse njihen dy pika, atëherë vektori do të jetë vektori i drejtimit të vijës së dhënë. Në mësim Vektorë për dummies kemi konsideruar detyra më e thjeshtë– si të gjejmë koordinatat e një vektori nga dy pika. Sipas këtij problemi, koordinatat e vektorit të drejtimit janë:

shënim : pikat mund të "këmbehen" dhe formula mund të përdoret . Një zgjidhje e tillë do të jetë e barabartë.

Shembulli 7

Shkruani një ekuacion të një drejtëze duke përdorur dy pika .

Zgjidhje: Ne përdorim formulën:

Krehja e emëruesve:

Dhe përzieni kuvertën:

Tani është koha për të hequr qafe numrat thyesorë. Në këtë rast, ju duhet të shumëzoni të dy anët me 6:

Hapni kllapat dhe sillni në mendje ekuacionin:

Përgjigju:

Ekzaminimiështë e qartë - koordinatat e pikave fillestare duhet të plotësojnë ekuacionin që rezulton:

1) Zëvendësoni koordinatat e pikës:

Barazi e vërtetë.

2) Zëvendësoni koordinatat e pikës:

Barazi e vërtetë.

konkluzioni: Ekuacioni i drejtëzës është shkruar saktë.

Nëse të paktën një e pikëve nuk e plotëson ekuacionin, kërkoni një gabim.

Vlen të përmendet se verifikimi grafik në këtë rast është i vështirë, pasi ndërtoni një vijë të drejtë dhe shikoni nëse pikat i përkasin asaj , jo aq e thjeshtë.

Do të shënoj disa aspekte të tjera teknike të zgjidhjes. Ndoshta në këtë problem është më fitimprurëse përdorimi i formulës së pasqyrës dhe në të njëjtat pika bëni një ekuacion:

Më pak fraksione. Nëse dëshironi, mund ta kryeni zgjidhjen deri në fund, rezultati duhet të jetë i njëjti ekuacion.

Pika e dytë është të shikojmë përgjigjen përfundimtare dhe të kuptojmë nëse mund të thjeshtohet më tej? Për shembull, nëse merrni ekuacionin , atëherë këshillohet ta zvogëloni atë me dy: - ekuacioni do të përcaktojë të njëjtën vijë të drejtë. Megjithatë, kjo tashmë është një temë bisede pozicioni relativ i vijave.

Pasi ka marrë përgjigjen në shembullin 7, për çdo rast, kontrollova nëse TË GJITHA koeficientët e ekuacionit janë të pjesëtueshëm me 2, 3 ose 7. Edhe pse, më së shpeshti reduktime të tilla bëhen gjatë zgjidhjes.

Shembulli 8

Shkruani një ekuacion për një vijë që kalon nëpër pika .

Ky është një shembull për një zgjidhje të pavarur, e cila do t'ju lejojë të kuptoni dhe praktikoni më mirë teknikat e llogaritjes.

Ngjashëm me paragrafin e mëparshëm: nëse në formulë njëri prej emërtuesve (koordinata e vektorit të drejtimit) bëhet zero, pastaj e rishkruajmë në formën . Përsëri, vini re se sa e vështirë dhe e hutuar duket ajo. Unë nuk shoh shumë kuptim për të sjellë shembuj praktik, pasi ne e kemi zgjidhur tashmë një problem të tillë (shih Nr. 5, 6).

Vektor normal i drejtpërdrejtë (vektor normal)

Çfarë është normale? Me fjalë të thjeshta, normalja është pingul. Domethënë, vektori normal i një drejtëze është pingul me një drejtëz të caktuar. Natyrisht, çdo vijë e drejtë ka një numër të pafund të tyre (si dhe vektorët e drejtimit), dhe të gjithë vektorët normalë të vijës së drejtë do të jenë kolinearë (bashkëdrejtues ose jo, nuk bën dallim).

Ballafaqimi me ta do të jetë edhe më i lehtë sesa me vektorët udhëzues:

Nëse një drejtëz jepet nga një ekuacion i përgjithshëm në një sistem koordinativ drejtkëndor, atëherë vektori është vektori normal i kësaj drejtëze.

Nëse koordinatat e vektorit të drejtimit duhet të "tërhiqen" me kujdes nga ekuacioni, atëherë koordinatat e vektorit normal thjesht mund të "hiqen".

Vektori normal është gjithmonë ortogonal me vektorin e drejtimit të drejtëzës. Le të verifikojmë ortogonalitetin e këtyre vektorëve duke përdorur produkt me pika:

Do të jap shembuj me të njëjtat ekuacione si për vektorin e drejtimit:

A është e mundur të ndërtohet një ekuacion i një drejtëze me një pikë dhe një vektor normal? E ndjej në zorrët e mia, është e mundur. Nëse dihet vektori normal, atëherë drejtimi i vetë vijës së drejtë përcaktohet qartë - kjo është një "strukturë e ngurtë" me një kënd prej 90 gradë.

Si të shkruhet një ekuacion i një drejtëze të dhënë një pikë dhe një vektor normal?

Nëse dihet një pikë e caktuar që i përket një drejtëze dhe vektori normal i kësaj linje, atëherë ekuacioni i kësaj drejtëze shprehet me formulën:

Këtu gjithçka funksionoi pa fraksione dhe surpriza të tjera. Ky është vektori ynë normal. Duaje atë. Dhe respekt =)

Shembulli 9

Shkruani një ekuacion të një drejtëze të dhënë një pikë dhe një vektor normal. Gjeni vektorin e drejtimit të drejtëzës.

Zgjidhje: Ne përdorim formulën:

Ekuacioni i përgjithshëm i vijës së drejtë është marrë, le të kontrollojmë:

1) "Hiqni" koordinatat e vektorit normal nga ekuacioni: – po, me të vërtetë, vektori origjinal është marrë nga kushti (ose duhet të merret një vektor kolinear).

2) Le të kontrollojmë nëse pika e plotëson ekuacionin:

Barazi e vërtetë.

Pasi të jemi të bindur se ekuacioni është hartuar saktë, do të kryejmë të dytin, më shumë pjesë e lehtë detyrat. Ne nxjerrim vektorin drejtues të vijës së drejtë:

Përgjigju:

Në vizatim situata duket si kjo:

Për qëllime trajnimi, një detyrë e ngjashme për zgjidhjen e pavarur:

Shembulli 10

Shkruani një ekuacion të drejtëzës nga një pikë dhe vektor normal. Gjeni vektorin e drejtimit të drejtëzës.

Pjesa e fundit e mësimit do t'i kushtohet më pak të zakonshme, por gjithashtu specie të rëndësishme ekuacionet e një drejtëze në një rrafsh

Ekuacioni i një drejtëze në segmente.
Ekuacioni i drejtëzës në formë parametrike

Ekuacioni i një drejtëze në segmente ka formën , ku janë konstante jozero. Disa lloje ekuacionesh nuk mund të përfaqësohen në këtë formë, për shembull, proporcionaliteti i drejtpërdrejtë (pasi anëtar i lirëështë e barabartë me zero dhe nuk ka asnjë mënyrë për të marrë një në anën e djathtë).

Ky është, në mënyrë figurative, një lloj ekuacioni "teknik". Një detyrë e zakonshme është të paraqesë ekuacionin e përgjithshëm të një drejtëze si një ekuacion të një drejtëze në segmente. Si është i përshtatshëm? Ekuacioni i një linje në segmente ju lejon të gjeni shpejt pikat e kryqëzimit të një linje me boshtet koordinative, e cila mund të jetë shumë e rëndësishme në disa probleme të matematikës së lartë.

Le të gjejmë pikën e kryqëzimit të drejtëzës me boshtin. Ne rivendosim "y" dhe ekuacioni merr formën . Pika e dëshiruar automatikisht rezulton: .

E njëjta gjë me boshtin – pika në të cilën drejtëza pret boshtin e ordinatave.

Mësimi nga seria "Algoritmet gjeometrike"

Përshëndetje i dashur lexues!

Sot do të fillojmë të mësojmë algoritme që lidhen me gjeometrinë. Fakti është se problemet e olimpiadave në shkencat kompjuterike, ka mjaft tema që lidhen me gjeometrinë llogaritëse, dhe zgjidhja e problemeve të tilla shpesh shkakton vështirësi.

Gjatë disa mësimeve, ne do të shqyrtojmë një numër nëndetyrash elementare mbi të cilat bazohet zgjidhja e shumicës së problemeve në gjeometrinë llogaritëse.

Në këtë mësim do të krijojmë një program për gjetja e ekuacionit të një drejtëze, duke kaluar neper te dhene dy pika. Për të zgjidhur problemet gjeometrike, na duhen disa njohuri mbi gjeometrinë llogaritëse. Një pjesë të mësimit do t'i kushtojmë njohjes së tyre.

Vështrime nga Gjeometria Llogaritëse

Gjeometria llogaritëse është një degë e shkencës kompjuterike që studion algoritmet për zgjidhjen e problemeve gjeometrike.

Të dhënat fillestare për probleme të tilla mund të jenë një grup pikash në një plan, një grup segmentesh, një shumëkëndësh (të specifikuar, për shembull, nga një listë e kulmeve të tij në rend të akrepave të orës), etj.

Rezultati mund të jetë ose një përgjigje për disa pyetje (si p.sh. a i përket një pikë një segmenti, a kryqëzohen dy segmente, ...), ose ndonjë objekt gjeometrik (për shembull, poligonin më të vogël konveks që lidh pikat e dhëna, sipërfaqen e një shumëkëndësh, etj.) .

Problemet e gjeometrisë llogaritëse do t'i shqyrtojmë vetëm në rrafsh dhe vetëm në sistemin koordinativ kartezian.

Vektorët dhe koordinatat

Për të aplikuar metodat e gjeometrisë llogaritëse, është e nevojshme të përkthehen imazhet gjeometrike në gjuhën e numrave. Do të supozojmë se avioni është dhënë sistemi kartezian koordinatat, në të cilat drejtimi i rrotullimit në drejtim të kundërt të akrepave të orës quhet pozitiv.

Tani objektet gjeometrike marrin shprehje analitike. Pra, për të specifikuar një pikë, mjafton të tregohen koordinatat e saj: një çift numrash (x; y). Një segment mund të specifikohet duke treguar koordinatat e skajeve të tij, një vijë e drejtë mund të specifikohet duke treguar koordinatat e një çifti pikash;

Por mjeti ynë kryesor për zgjidhjen e problemeve do të jenë vektorët. Prandaj, më lejoni të kujtoj disa informacione rreth tyre.

Segmenti i linjës AB, e cila ka një pikë A konsiderohet fillimi (pika e aplikimit), dhe pika NË– fundi, i quajtur vektor AB dhe tregojnë ose , ose të trasha shkronje e vogel, Për shembull A .

Për të treguar gjatësinë e një vektori (d.m.th., gjatësinë e segmentit përkatës), do të përdorim simbolin e modulit (për shembull, ).

Një vektor arbitrar do të ketë koordinata të barabarta me ndryshimin midis koordinatave përkatëse të fundit dhe fillimit të tij:

,

këtu janë pikat A Dhe B kanë koordinata përkatësisht.

Për llogaritjet do të përdorim konceptin kënd i orientuar, pra këndi duke marrë parasysh marrëveshje reciproke vektorët.

Këndi i orientuar ndërmjet vektorëve a Dhe b pozitive nëse rrotullimi është nga vektori a te vektori b zhvillohet në drejtim pozitiv(në drejtim të kundërt) dhe negativ në rastin tjetër. Shih Fig.1a, Fig.1b. Thuhet gjithashtu se një çift vektorësh a Dhe b i orientuar pozitivisht (negativisht).

Kështu, vlera e këndit të orientuar varet nga radha në të cilën renditen vektorët dhe mund të marrin vlera në interval.

Shumë probleme në gjeometrinë llogaritëse përdorin konceptin e produkteve vektoriale (të anore ose pseudoskalare) të vektorëve.

Prodhimi vektorial i vektorëve a dhe b është prodhimi i gjatësisë së këtyre vektorëve dhe i sinusit të këndit ndërmjet tyre:

.

Prodhimi kryq i vektorëve në koordinata:

Shprehja në të djathtë është një përcaktues i rendit të dytë:

Ndryshe nga përkufizimi i dhënë në gjeometrinë analitike, ai është skalar.

Shenjë produkt vektorial përcakton pozicionin e vektorëve në raport me njëri-tjetrin:

a Dhe b të orientuar pozitivisht.

Nëse vlera është , atëherë një palë vektorësh a Dhe b të orientuar negativisht.

Produkti kryq i vektorëve jozero është zero nëse dhe vetëm nëse janë kolinear ( ). Kjo do të thotë se ata shtrihen në të njëjtën linjë ose në vija paralele.

Le të shohim disa probleme të thjeshta që janë të nevojshme kur zgjidhni ato më komplekse.

Le të përcaktojmë ekuacionin e një drejtëze nga koordinatat e dy pikave.

Ekuacioni i një drejtëze që kalon nga dy pika të ndryshme, të specifikuara nga koordinatat e tyre.

Le të jepen dy pika që nuk përputhen në një vijë të drejtë: me koordinata (x1; y1) dhe me koordinata (x2; y2). Prandaj, një vektor me një fillim në një pikë dhe një fund në një pikë ka koordinata (x2-x1, y2-y1). Nëse P(x, y) është një pikë arbitrare në drejtëzën tonë, atëherë koordinatat e vektorit janë të barabarta me (x-x1, y – y1).

Duke përdorur produktin vektorial, kushti për kolinearitetin e vektorëve dhe mund të shkruhet si më poshtë:

Ato. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0

Ekuacionin e fundit e rishkruajmë si më poshtë:

sëpatë + nga + c = 0, (1)

c = x1 (y1-y2) + y1 (x2-x1)

Pra, vija e drejtë mund të specifikohet me një ekuacion të formës (1).

Detyra 1. Janë dhënë koordinatat e dy pikave. Gjeni paraqitjen e tij në formën ax + nga + c = 0.

Në këtë mësim mësuam disa informacione rreth gjeometrisë llogaritëse. Zgjidhëm problemin e gjetjes së ekuacionit të drejtëzës nga koordinatat e dy pikave.

Në mësimin tjetër do të krijojmë një program për të gjetur pikën e kryqëzimit të dy drejtëzave të dhëna nga ekuacionet tona.

Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Lëkundjet harmonike Formula e fizikës së frekuencës së lëkundjeve