Ekuacioni i rrafshit Howe. Ekuacioni i një rrafshi në segmente në boshte

Ekuacioni i sipërfaqes në hapësirë

Përkufizimi. Çdo ekuacion që lidh koordinatat x, y, z të çdo pike në një sipërfaqe është një ekuacion i asaj sipërfaqeje.

Ekuacioni i planit të përgjithshëm

Përkufizimi. Një plan është një sipërfaqe, të gjitha pikat e së cilës plotësojnë ekuacionin e përgjithshëm:

Ax + By + Cz + D = 0,

ku A, B, C janë koordinata vektoriale

vektor normal në aeroplan. Rastet e mëposhtme të veçanta janë të mundshme:

A = 0 - rrafshi është paralel me boshtin Ox

B = 0 - rrafshi është paralel me boshtin Oy

C = 0 - rrafshi është paralel me boshtin Oz

D = 0 - aeroplani kalon përmes origjinës

A = B = 0 - rrafshi është paralel me rrafshin xOy

A = C = 0 - rrafshi është paralel me rrafshin xOz

B = C = 0 - rrafshi është paralel me rrafshin yOz

A = D = 0 - aeroplani kalon nëpër boshtin Ox

B = D = 0 - rrafshi kalon nëpër boshtin Oy

C = D = 0 - avioni kalon nëpër boshtin Oz

A = B = D = 0 - rrafshi përkon me rrafshin xOy

A = C = D = 0 - rrafshi përkon me rrafshin xOz

B = C = D = 0 - rrafshi përkon me rrafshin yOz

Ekuacioni i një rrafshi që kalon nëpër tre pika

Në mënyrë që një rrafsh i vetëm të tërhiqet nëpër çdo tre pikë në hapësirë, është e nevojshme që këto pika të mos shtrihen në të njëjtën vijë të drejtë. Konsideroni pikat M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3) në përgjithësi Sistemi kartezian koordinatat Në mënyrë që një pikë arbitrare M(x, y, z) të shtrihet në të njëjtin rrafsh me pikat M1, M2, M3, është e nevojshme që vektorët të jenë koplanarë.

Kështu,

Ekuacioni i një rrafshi që kalon nëpër tre pika:

Ekuacioni i një rrafshi të dhënë dy pika dhe një vektor kolinear me rrafshin

Le të jepen pikat M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2) dhe një vektor.

Le të kompozojmë ekuacioni i rrafshët, duke kaluar nëpër pikat e dhëna M1 dhe M2 dhe një pikë arbitrare M(x, y, z) paralel me vektorin.

Vektorët dhe vektori duhet të jenë koplanar, d.m.th.

Ekuacioni i planit:

Ekuacioni i një rrafshi të dhënë një pikë dhe dy vektorë kolinear me rrafshin

Le të jepen dy vektorë, plane kolineare. Pastaj për një pikë arbitrare M(x, y, z) që i përket rrafshit, vektorët duhet të jenë koplanarë. Ekuacioni i planit:

Ekuacioni i një rrafshi për pikë dhe vektori normal

Teorema. Nëse një pikë M0(x0, y0, z0) është dhënë në hapësirë, atëherë ekuacioni i rrafshit që kalon nëpër pikën M0 pingul me vektorin normal (A, B, C) ka formën:

A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0.

Dëshmi. Për një pikë arbitrare M(x, y, z) që i përket rrafshit, ne hartojmë një vektor. Sepse vektori është një vektor normal, atëherë ai është pingul me rrafshin, dhe, për rrjedhojë, pingul me vektorin. Pastaj produkt me pika

Kështu, marrim ekuacionin e aeroplanit

Teorema është vërtetuar.

Ekuacioni i përgjithshëm i drejtëzës quhet i plotë, nëse të gjithë koeficientët e tij nuk janë të barabartë me 0. përndryshe quhet ekuacioni jo të plota.

D=0 Ax+By+Cz=0- aeroplan, duke kaluar nëpër origjinë.

Rastet e mbetura përcaktohen nga pozicioni i vektorit normal n=( A;B;C).

A=0 Ву+Сz+D=0- ekuacioni i aeroplanit, paralel me boshtin Ox.(Sepse vektori normal n=( 0;B;C) është pingul me boshtin Ox).

B=0 Ah+Сz+D=0 - ekuacioni i rrafshët, paralel me boshtin Oy.(Sepse vektori normal n=( A;0;C) është pingul me boshtin Oy).

С=0 Ah+Uu+D=0 - ekuacioni i rrafshët, paralel me boshtin Oz. (Sepse vektori normal n=( A;B;0) është pingul me boshtin Oz).

A=B=0 Сz+D=0 – z=-D/C – ekuacioni i rrafshët, paralel me rrafshin Oxy (pasi ky rrafsh është paralel me boshtet Ox dhe Oy).

A=C=0 Ву+D=0 - у=-D/В- ekuacioni i një rrafshi paralel me rrafshin Oxz (pasi ky rrafsh është paralel me boshtet Ox dhe Oz).

B=C=0 Ах+D=0 – x=-D/A- ekuacioni i një rrafshi paralel me rrafshin Oyz (pasi ky rrafsh është paralel me boshtet Oy dhe Oz).

A=D=0 By+Cz=0 - ekuacioni i një rrafshi që kalon nëpër boshtin Ox.

B=D=0 Ax+Cz=0 - ekuacioni i një rrafshi që kalon nëpër boshtin Oy.

A=B=D=0 Cz=0 (z=0) – Plani koordinativ oksi.(meqenëse ky rrafsh është paralel me Ox dhe kalon nga origjina).

A=C=D=0 By=0 (y=0) – plani koordinativ Охz.(pasi ky rrafsh është paralel me Oxz dhe kalon nga origjina).

B=C=D=0 Ax=0 (x=0) – avioni koordinativ Oyz.(pasi ky rrafsh është paralel me Ouz dhe kalon nga origjina).

Ekuacioni i një rrafshi që kalon nëpër tri pika të dhëna.

Le të nxjerrim ekuacionin e rrafshit që kalon nga 3 pika të ndryshme M 1 (x 1; y 1; z 1), M 2 (x 2; y 2; z 2), M 3 (x 3; y 3; z 3), jo të shtrirë në të njëjtën vijë të drejtë. Pastaj vektorët M 1 M 2 =(x 2 -x 1; y 2 ​​-y 1; z 2 -z 1) dhe M 1 M 3 =(x 3 -x 1;y 3 -y 1;z 3 -z 1) nuk janë kolineare. Prandaj, pika M(x,y,z) shtrihet në të njëjtin rrafsh me pikat M 1, M 2 dhe M 3 nëse dhe vetëm nëse vektorët M 1 M 2 , M 1 M 3 Dhe M 1 M=(x-x 1;y-y 1;z-z 1) - coplanar, d.m.th.  kur produkti i tyre i përzier është 0

(M 1 MM 1 M 2 · M 1 M 3 =0) , d.m.th.

(4) Ekuacioni i një rrafshi që kalon nëpër 3 pika të dhëna.

(Duke zgjeruar përcaktorin përgjatë vijës së 1-rë dhe duke e thjeshtuar, marrim ekuacionin e përgjithshëm të rrafshit: Ax+By+Cz+D=0).

Se. tre pika përcaktojnë në mënyrë unike një plan.

Ekuacioni i një plani në segmente në boshte.

Plani Π pret boshtet e koordinatave në pikat M 1 (a;0;0), M 2 (0;b;0), M 3 (0;0;c).

M(x;y;z) është një pikë e ndryshueshme e rrafshit.

M 1 M=(x-a;y;z)

M 1 M 2 =(0-a;b;0) përcaktojnë këtë plan

M 1 M 3 =(-a;0;c)

Ato. M 1 MM 1 M 2 · M 1 M 3 =0

Le të zgjerojmë përgjatë vijës së parë: (x-a)bc-y(-ac)+zab=xbc-abc+yac+zab=0

Le ta ndajmë barazinë me abc≠0. Ne marrim:

(5) ekuacioni i rrafshit në segmente në akset.

Ekuacioni (5) mund të merret nga ekuacioni i përgjithshëm plani, duke supozuar se D≠0, pjesëtohet me D

Duke treguar –D/A=a, -D/B=b, -C/D=c – marrim ekuacionin 4.

Këndi ndërmjet dy rrafsheve. Kushtet për paralelizmin dhe pingulitetin e planeve.

Këndi φ ndërmjet dy rrafsheve α 1 dhe α 2 matet me këndin e rrafshit ndërmjet 2 rrezeve pingul me vijën e drejtë përgjatë së cilës kryqëzohen këto plane. Çdo dy plane që ndërpriten formojnë dy kënde që mblidhen deri në . Mjafton të përcaktohet një nga këto kënde.

Le të përcaktohen rrafshet me ekuacione të përgjithshme:

 1 : A 1 x+B 1 y+C 1 z+D 1 =0

 2 : A 2 x+ B 2 y+ C 2 z+ D 2 =0

NË Koordinatat kartezianeçdo plan përcaktohet nga një ekuacion i shkallës së parë në të panjohurat x, y dhe z, dhe çdo ekuacion i shkallës së parë me tre të panjohura përcakton një plan.

Le të marrim një vektor arbitrar me një fillim në pikë . Le të nxjerrim ekuacionin vendndodhja pikat M(x,y,z), për secilën prej të cilave vektori është pingul me vektorin. Le të shkruajmë kushtin e pingulitetit të vektorëve:

Ekuacioni që rezulton është linear në lidhje me x, y, z, prandaj, ai përcakton një plan që kalon nëpër pikën pingul me vektorin. Vektor quhet vektor normal i rrafshit. Hapja e kllapave në ekuacionin rezultues të aeroplanit dhe shënimi i numrit
shkronja D, le ta paraqesim atë në formën:

Ax + By + Cz + D = 0. (13.2)

Ky ekuacion quhet ekuacioni i planit të përgjithshëm. A, B, C dhe D janë koeficientët e ekuacionit, A 2 + B 2 + C 2 0.

1. Ekuacionet e rrafshnalta jo të plota.

Nëse në ekuacionin e përgjithshëm të një plani një, dy ose tre koeficientë janë të barabartë me zero, atëherë ekuacioni i rrafshit quhet jo i plotë. Ata mund të prezantohen rastet e mëposhtme:

1) D = 0 – aeroplani kalon nga origjina;

2) A = 0 – rrafshi është paralel me boshtin Ox;

3) B = 0 – rrafshi është paralel me boshtin Oy;

4) C = 0 - rrafshi është paralel me boshtin Oz;

5) A = B = 0 – rrafshi është paralel me rrafshin XOY;

6) A = C = 0 – rrafshi është paralel me rrafshin XOZ;

7) B = C = 0 – rrafshi është paralel me rrafshin YOZ;

8) A = D = 0 – rrafshi kalon nëpër boshtin Ox;

9) B = D = 0 – rrafshi kalon nëpër boshtin Oy;

10) C = D = 0 – aeroplani kalon nëpër boshtin Oz;

11) A = B = D = 0 – rrafshi përkon me rrafshin XOY;

12) A = C = D = 0 – rrafshi përkon me rrafshin XOZ;

13) C = B = D = 0 – rrafshi përkon me rrafshin YOZ.

2. Ekuacioni i një rrafshi në segmente.

Nëse në ekuacionin e përgjithshëm të planit D 0, atëherë ai mund të shndërrohet në formë

, (13.3)

që quhet ekuacion i rrafshët në segmente. - të përcaktojë gjatësitë e segmenteve të prera nga rrafshi në boshtet koordinative.

3. Ekuacioni i rrafshit normal.

Ekuacioni

Ku - kosinuset e drejtimit të vektorit normal të rrafshit , thirri ekuacioni normal aeroplan. Për të reduktuar ekuacionin e përgjithshëm të aeroplanit në pamje normale ai duhet të shumëzohet me një faktor normalizues:
,

në këtë rast, shenja para rrënjës zgjidhet nga kushti .

Distanca d nga pika në rrafsh përcaktohet me formulën: .

4. Ekuacioni i një rrafshi që kalon nëpër tre pika

Le të marrim një pikë arbitrare të rrafshit M(x,y,z) dhe të lidhim pikën M 1 me secilën nga tre ato të mbetura. Marrim tre vektorë. Që tre vektorë t'i përkasin të njëjtit rrafsh, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që ata të jenë koplanar. Kushti për bashkëplanaritetin e tre vektorëve është që ata të jenë të barabartë me zero produkt i përzier, që është .

Duke shkruar këtë barazi përmes koordinatave të pikave, marrim ekuacionin e kërkuar:

. (13.5)

5. Këndi midis planeve.

Planet mund të jenë paralele, të përkojnë ose të kryqëzohen, duke formuar kënd dihedral. Le të përcaktohen dy plane nga ekuacionet e përgjithshme dhe . Që rrafshet të përkojnë, është e nevojshme që koordinatat e çdo pike që plotëson ekuacionin e parë të plotësojnë edhe ekuacionin e dytë.

Ky do të jetë rasti nëse
.

Nëse , atëherë rrafshet janë paralele.

Këndi i formuar nga dy plane të kryqëzuara është e barabartë me këndin të formuar nga vektorët e tyre normalë. Kosinusi i këndit ndërmjet vektorëve përcaktohet me formulën:

Nëse , atëherë aeroplanët janë pingul.

Shembulli 21. Shkruani një ekuacion për një rrafsh që kalon në dy pika Dhe pingul me rrafshin.

Le të shkruajmë ekuacionin e kërkuar në pamje e përgjithshme: . Meqenëse aeroplani duhet të kalojë nëpër pikat dhe , koordinatat e pikave duhet të plotësojnë ekuacionin e planit. Duke zëvendësuar koordinatat e pikave dhe , marrim: dhe .

Nga kushti i pingulitetit të rrafsheve kemi: . Vektor të vendosura në rrafshin e dëshiruar dhe, për rrjedhojë, pingul me vektorin normal: .

Kapitulli V*. Ekuacionet e drejtëzave dhe planeve në hapësirë.

§64. Ekuacioni i planit të përgjithshëm

Le të shqyrtojmë një aeroplan arbitrar në hapësirë. Le të M 0 ( X 0 ; në 0 , z 0) është një pikë e këtij rrafshi, dhe n = (A; B; C) - cilido nga vektorët e tij normalë. Në paragrafin e mëparshëm u vërtetua se ekuacioni i këtij rrafshi ka formën

A( x - x 0) + V ( y - y 0) + C ( z - z 0) = 0.

Le ta shkruajmë kështu:

A X+B y+C z- A X 0 - B y 0 - C z 0 = 0.

Përcaktimi i numrit - A X 0 - B y 0 - C z 0 deri në D, marrim ekuacionin

A X+B y+C z+ D = 0. (1)

Kështu, çdo plan në hapësirë ​​mund të specifikohet me ekuacionin (1), d.m.th. ekuacioni linear me tre variabla.

Deklarata e kundërt është gjithashtu e vërtetë: çdo ekuacion linear me tre ndryshore, domethënë çdo ekuacion i formës (1), përcakton një plan.

Në fakt, në ekuacionin (1) të paktën një nga koeficientët A, B, C nuk është e barabartë me zero, përndryshe ekuacioni (1) nuk është linear. Le të, për shembull, C =/= 0, atëherë ekuacioni mund të rishkruhet si më poshtë:

A ( X- 0) + B( në-0) + C ( z+ D / C) = 0.

Sipas paragrafit të mëparshëm, ekuacioni që rezulton, dhe rrjedhimisht ekuacioni (1), përcakton një plan që kalon nëpër pikën M 0 (0; 0; - D / C) pingul me vektorin n(A; B; C).

Ekuacioni (1) quhet ekuacioni i planit të përgjithshëm.

Theksojmë se në këtë ekuacion koeficientët A, B, C janë koordinatat e vektorit normal të rrafshit.

Për shembull, nëse rrafshi është dhënë nga ekuacioni 3 X + 4y- 5z+ 17 = 0, atëherë mund të themi menjëherë se është pingul me vektorin (3; 4; -5).

Detyrë. Gjeni vektorin normal të njësisë së rrafshit

7X + 4në - 4z + 1 = 0.

Si vektor normal të këtij rrafshi mund të marrim vektorin n = (7; 4; -4). Le të gjejmë gjatësinë e saj: | n | = √49 + 16 + 16 = 9. Prandaj, vektori normal njësi është vektori (7 / 9 ; 4 / 9 ;- 4 / 9). Vektori i kundërt me të (- 7/9 ;- 4/9 ;- 4/9) gjithashtu do të jetë padyshim normal vektor njësi ky aeroplan.

Le të shqyrtojmë se si ndodhet avioni në lidhje me sistemin e koordinatave në varësi të vlerave të A, B, C, D në ekuacionin e përgjithshëm të aeroplanit.

a) Nëse në ekuacionin (1) A = 0, d.m.th nëse ky ekuacion ka formën B y+C z+ D = 0, atëherë vektori normal ka koordinata (0; B; C). Një vektor me koordinata të tilla është pingul me boshtin Oh, pra, rrafshi është paralel me këtë bosht. Nëse jo vetëm A = 0, por edhe D = 0, domethënë nëse ekuacioni ka formën B y+C z= 0, atëherë rrafshi kalon përmes origjinës. Prandaj, në rastin A = D = 0, rrafshi kalon nëpër bosht Oh, Në mënyrë të ngjashme konsiderohen rastet kur B = 0 (rrafshi është paralel me boshtin e ordinatave) ose C = 0 (rrafshi është paralel me boshtin aplikativ).

b) Nëse në ekuacionin (1) A = 0 dhe B = 0, d.m.th. nëse ekuacioni ka formën C z+ D = 0, atëherë vektori normal ka koordinata (0; 0; C). Një vektor me këto koordinata është pingul me rrafshin xOy, pra, në këtë rast rrafshi (1) është paralel plan koordinativ xOy. Nëse jo vetëm A = B = 0, por edhe D = 0, domethënë nëse ekuacioni ka formën C z= 0, atëherë rrafshi nuk është vetëm paralel me rrafshin koordinativ xOy, por kalon edhe nga origjina. Prandaj, në rastin A = B = D = 0, ekuacioni (1) specifikon planin koordinativ xOy.

Rastet konsiderohen në mënyrë të ngjashme kur disa çifte të tjera koeficientësh për variablat x, y, z në ekuacionin (1) është i barabartë me zero.

c) Nëse në ekuacionin (1) D = 0, pra nëse ekuacioni ka formën A X+B y+C z= 0, atëherë rrafshi kalon përmes origjinës pingul me vektorin (A; B; C).

d) Nëse në ekuacionin (1) të gjithë koeficientët për variablat dhe anëtar i lirë janë të ndryshme nga zero, atëherë mund të shndërrohet në një ekuacion të rrafshit në segmente:

Në këtë rast aeroplani kryqëzohet boshtet e koordinatave në pika:
(- D/A; 0; 0), (0;- D/B; 0), (0; 0; - D/C). Është e lehtë të ndërtosh një aeroplan duke përdorur këto tre pika.

Në këtë artikull do të shqyrtojmë ekuacionin e përgjithshëm të një rrafshi në hapësirë. Le të përcaktojmë konceptet e ekuacioneve të planit të plotë dhe jo të plotë. Për të ndërtuar një ekuacion të planit të përgjithshëm, përdorni kalkulatorin online të ekuacionit të planit.

Le të jepet një sistem koordinativ arbitrar drejtkëndor Kartezian Oxyz. Ekuacioni i përgjithshëm i një rrafshi është një ekuacion linear i formës:

Ax+By+Cz+D=0,

(1)

Ku A, B, C, D− disa konstante, dhe të paktën një nga elementet A , B Dhe C të ndryshme nga zero.

Do të tregojmë se ekuacioni linear (1) në hapësirë ​​përcakton një rrafsh dhe çdo rrafsh në hapësirë ​​mund të përfaqësohet me ekuacionin linear (1). Le të vërtetojmë teoremën e mëposhtme.

Teorema 1. Në një karteziane arbitrare sistem drejtkëndor koordinon në hapësirë ​​çdo rrafsh α mund të jepet me ekuacionin linear (1). Anasjelltas, çdo ekuacion linear (1) në një sistem koordinativ arbitrar drejtkëndor kartezian në hapësirë ​​përcakton një plan.

Dëshmi. Mjafton të vërtetohet se avioni α përcaktohet nga një ekuacion linear për çdo sistem koordinativ drejtkëndor kartezian, pasi atëherë ai do të përcaktohet nga një ekuacion linear për çdo zgjedhje të sistemit koordinativ drejtkëndor kartezian.

Le të jepet një aeroplan në hapësirë α . Le të zgjedhim akset kau Dhe Oy në mënyrë që ato të jenë të vendosura në një aeroplan α , dhe boshti Oz Le ta drejtojmë pingul me këtë rrafsh. Pastaj ekuacioni linear z= 0 do të jetë ekuacioni i rrafshit, sepse koordinatat e çdo pike që i përket këtij rrafshi plotësojnë ekuacionin z= 0, por koordinatat e çdo pike që nuk shtrihet në këtë plan nuk janë. Pjesa e parë e teoremës është vërtetuar.

Le të fiksohet një sistem koordinativ drejtkëndor arbitrar kartezian Oxyz. Merrni parasysh ekuacionin linear (1), ku të paktën një nga elementet A , B Dhe C të ndryshme nga zero. Atëherë ekuacioni (1) ka të paktën një zgjidhje x 0 , y 0 , z 0 . Vërtet. Lëre nga koeficientët A≠0. Le të marrim numra arbitrar y 0 , z 0 . Pastaj

Duke zbritur identitetin (2) nga ekuacioni (1), marrim

Le të tregojmë se (3) përcakton një rrafsh të caktuar që kalon nëpër pikë M 0 (x 0 , y 0 , z 0) dhe pingul me vektorin n={A,B,C} (n≠0, pasi të paktën një nga numrat A,B,C të ndryshme nga zero).

Nëse pika M 0 (x 0 , y 0 , z 0) i përket aeroplanit α , atëherë koordinatat e tij plotësojnë ekuacionin (3), sepse vektorët n={A,B,C) dhe pingul (Fig. 1) dhe produkti skalar i tyre është zero:

.

Nëse pika M(x, y, z) nuk shtrihet në aeroplan α , pastaj vektorët n={A,B,C) dhe nuk janë ortogonale. Atëherë produkti skalar i tyre nuk është i barabartë me zero, d.m.th. koordinatat e pikave M(x, y, z) nuk e plotësojnë kushtin (3). Teorema është vërtetuar.

Njëkohësisht me vërtetimin e Teoremës 1, morëm deklaratën e mëposhtme.

Pohimi 1. Në një sistem koordinativ drejtkëndor kartezian, një vektor me përbërës ( A, B, C) pingul me rrafshin Sëpatë+Nga+Cz+D=0.

Vektor n=(A, B, C) quhet vektor i rrafshit normal, e përcaktuar me ekuacionin linear (1).

Pohimi 2. Nëse dy ekuacione të planit të përgjithshëm

Dëshmi. Meqenëse ekuacionet (4) dhe (5) përcaktojnë të njëjtin rrafsh, atëherë vektorët normalë n 1 ={A 1 ,B 1 ,ME 1) dhe n 2 ={A 2 ,B 2 , ME 2) kolinear. Meqenëse vektorët n 1 ≠0, n 2 ≠0, atëherë ka një numër të tillë λ , Çfarë n 2 =n 1 λ . Nga këtu kemi: A 2 =A 1 λ , B 2 =B 1 λ , ME 2 =ME 1 λ . Le ta vërtetojmë këtë D 2 =D 1 λ . Natyrisht, aeroplanët që përputhen kanë pikë e përbashkët M 0 (x 0 , y 0 , z 0), pra

Meqenëse tre barazitë e para nga shprehjet (6) janë plotësuar, atëherë D 1 λ −D 2 =0. Ato. D 2 =D 1 λ . Deklarata është vërtetuar.

Ekuacionet e rrafshnalta jo të plota

Përkufizimi 1. Ekuacioni i përgjithshëm i planit (1) quhet i plotë nëse të gjithë koeficientët A, B, C, D janë të ndryshme nga zero. Nëse të paktën një nga koeficientët A, B, C, Dështë e barabartë me zero, atëherë ekuacioni i përgjithshëm i rrafshit quhet jo i plotë.

Le të shqyrtojmë gjithçka opsionet e mundshme ekuacionet jo të plota aeroplan:

Në D Ax+By+Cz=0, duke kaluar nga origjina (Fig. 2). Në të vërtetë, periudhë O(0,0,0) e plotëson këtë sistem ekuacionesh lineare.

Në A=0, kemi ekuacionin e rrafshit By+Cz+D=0, e cila është paralele me boshtin kau(Fig.3). Në këtë rast, vektori normal i aeroplanit n={0,B,C) shtrihet në planin koordinativ Oyz.

Në B=0, kemi ekuacionin e rrafshit Ax+Cz+D=0, e cila është paralele me boshtin Oy(Fig.4).

Në C=0, kemi ekuacionin e rrafshit Ax+By+D=0, e cila është paralele me boshtin Oz(Fig.5).

Në A=0,B=0 kemi ekuacionin e rrafshit Cz+D Oksi(Fig.6).

Në B=0,C=0 kemi ekuacionin e rrafshit Ax+D=0, e cila është paralele me planin koordinativ Oyz(Fig.7).

Në A=0,C=0 kemi ekuacionin e rrafshit By+D=0, e cila është paralele me planin koordinativ Oxz(Fig.8).

Në A=0,B=0,D=0 kemi ekuacionin e rrafshit Cz Oksi(Fig.9).

Në B=0,C=0,D=0 kemi ekuacionin e rrafshit Ax=0, që përkon me planin koordinativ Oyz(Fig. 10).

Në A=0,C=0,D=0 kemi ekuacionin e rrafshit By=0, që përkon me planin koordinativ Oxz(Fig. 11).

Le të shohim shembuj të ndërtimit të një ekuacioni të planit të përgjithshëm.

Shembulli 1. Ndërtoni ekuacionin e përgjithshëm të një rrafshi që kalon nga një pikë M(4,−1,2) paralel me planin koordinativ Oksi.

Zgjidhje. Ekuacioni i përgjithshëm i një rrafshi që kalon në një pikë të caktuar M(x 0 ,y 0 ,z 0) ka formën (3). Zëvendësimi i koordinatave të pikave M në (3), marrim:

z−2=0

Përgjigje: +3 y+z=0.

Përgjigje:

2x+3y+z=0.

Gjendet një kalkulator në internet për ndërtimin e ekuacionit të përgjithshëm të një aeroplani. Aty do të gjeni edhe shembuj të ndërtimit të një ekuacioni të përgjithshëm të një rrafshi nëse njihen tre pika të këtij rrafshi ose nëse njihen një pikë dhe vektori normal i këtij rrafshi.

Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Lëkundjet harmonike Formula e fizikës së frekuencës së lëkundjeve