Vetia e pjesëtueshmërisë. “Pjestueshmëria e një shume dhe një prodhimi me një numër të caktuar. Probleme të vështirësisë së shtuar”.

Lloji i mësimit: mësim i përgjithësimit dhe sistematizimit të njohurive

Teknologjitë: ruajtja e shëndetit, zhvillimi i aftësive kërkimore, trajnimi zhvillimor, mësimi i bazuar në problem, vetëdiagnostikimi dhe vetë-korrigjimi i rezultateve.

Elementet e përmbajtjes: Arsyetimi i saktë, një pohim i drejtë, një shenjë e pjesëtueshmërisë së një produkti, një shenjë e pjesëtueshmërisë së një shume.

Aktivitetet: diktim matematik,punë në tabelë dhe në fletore, punë ballore me klasën.

Rezultatet e planifikuara (UPD):

– provoni dhe zbatoni kur vendosni senëse çdo term është i pjesëtueshëm me një numër të caktuar, atëherë shuma është e pjesëtueshme me këtë numër;

– përfshihen në komunikim verbal, marrin pjesë në dialog;

Gjatë orëve të mësimit.

Diktimin e testit.

Shkruani formulën për shumëfishat: a) 17; b) 41.

Shkruani një formulë për numrat që, kur pjesëtohen me 17, lënë një mbetje prej 3; Kur ndahet me 41, mbetja është 3.

Tregoni dy veçori të ndryshme që karakterizojnë këtë grup 6; 12; 18; 24; tridhjetë; 36; 42; 48; 54; 60; 66; 72; 78; 84; 90; 96.

Gjeni shumëfishat e përbashkët të 5 dhe 4.

Në cilat kritere bazohen formulat?

a) 15n + 13; b)4 n +3; V)17 k + 8 ?

Komenti i mësuesit. Fletoret mblidhen për kontroll dhe zgjidhjet komentohen.

Bërja e ushtrimeve për pjesëtueshmërinë e një shume dhe një produkti

(Me gojë). A është shuma e pjesëtueshme me 3:

a) 450 + 160;

b) 150 +225;

c) 28422 + 22050;

Përfundimi është formuluar:

Nëse secili prej termave është i pjesëtueshëm me një numër, atëherë shuma e tyre është domosdoshmërisht e pjesëtueshme me të njëjtin numër.

Nëse çdo term përveç njërit është i pjesëtueshëm me një numër dhe një nuk pjesëtohet, atëherë shuma nuk pjesëtohet me këtë numër.

2. A është i vërtetë pohimi: nëse shuma pjesëtohet me 3, atëherë çdo term pjesëtohet me 3?

3. A është produkti i pjesëtueshëm me 3:

a) 6∙23∙75;

b) 6∙23∙14;

c) 37∙121∙19?

Përfundimi është formuluar:Nëse të paktën një nga faktorët është i pjesëtueshëm me ndonjë numër, atëherë edhe produkti i tyre do të pjesëtohet me këtë numër.

3. Përdorimi i vetive të pjesëtueshmërisë dhe të dhënave të pjesëtueshmërisë me një numërpër të çdo term, përcaktoni nëse është i pjesëtueshëm mepër të shuma ose produkti.

Zgjidhje.

Të gjitha ushtrimet zgjidhen me shkrim në tabelë.

Pa bërë llogaritje, përcaktoni nëse shprehjet e mëposhtme janë të pjesëtueshme me 4: a) 132 + 360 + 536; b) 540 – 332; c) 2512·127.

Zgjidhje .

a) meqenëse çdo term është i pjesëtueshëm me 4, shuma 132 + 360 + 536 pjesëtohet me 4;

b) meqenëse minuend-i 540 pjesëtohet me 4 dhe nëntrahni 332 pjesëtohet me 4, atëherë diferenca 540 – 332 pjesëtohet me 4;

c) meqenëse numri 2512 pjesëtohet me 4, atëherë prodhimi 2512·127 pjesëtohet me 4.

Krijo një formulë për numrat për të cilët shprehja:

a) 25 +X pjesëtueshëm me 25;

b) 78 +X pjesëtohet me 78.

3. Për cilat vlera të ndryshores është produkti:

a) 7 ∙A pjesëtueshëm me 7,

b) 17 ∙b i ndarë ngab .

4. Në kafene u dorëzuan 4 kuti akullore. A mund të jetë që ne duhet të paguajmë 224 rubla për këtë?

Detyra krijuese

Vërtetoni se për të gjitha vlerat natyrore të ndryshores shprehja:

a) 56 ∙ (a+ b ) pjesëtohet me 14;

b) 144një + 12 b pjesëtueshëm me 12;

c) 100A – 40a pjesëtohet me 30.

2. Tregoni çdo pesë pjesëtues të numrit të barabartë me prodhimin: 32 · 24 · 21.

3. Tregoni cili nga pohimet e mëposhtme është i gabuar.

a) Nëse termat nuk pjesëtohen me një numër të caktuar, atëherë shuma nuk pjesëtohet me këtë numër.

b) Nëse prodhimi i dy numrave është i pjesëtueshëm me ndonjë numër, atëherë të paktën një nga faktorët është i pjesëtueshëm me këtë numër.

c) Nëse faktorët nuk pjesëtohen me asnjë numër, atëherë prodhimi nuk pjesëtohet me këtë numër.

d) Nëse diferenca është e plotpjesëtueshme me ndonjë numër, atëherë edhe minuend-i edhe subtrahend pjesëtohen me këtë numër.

Zgjidhje.

a) E rreme. Shembull: 7+3 = 10; 7 dhe 3 nuk pjesëtohen me 5, por 10 pjesëtohet me 5.

b) E rreme. Shembull: 6 10 = 60; 60 pjesëtohet me 15, por as 6 dhe as 10 nuk janë të pjesëtueshme.

c) E rreme. Shembull: 6 10 = 60; As 6 dhe as 10 nuk plotpjesëtohen me 15, por 60 ndahet me 15.

d) E rreme. Shembull: 23 - 21 = 2. Diferenca e 2 pjesëtohet me 2, por 23 dhe 21 nuk pjesëtohen me 2.

5. Duke përmbledhur

Përsëritja e vetive të pjesëtueshmërisë së produktit, shuma dhe ndryshimi i numrave. Vendosja e detyrave të shtëpisë. Duke komentuar vlerësimet.

klauzola 6.3, nr. 474, 475, (482, 483

Vetia e pjesëtueshmërisë. “Pjestueshmëria e një shume dhe një prodhimi me një numër të caktuar. Probleme të vështirësisë së shtuar”.
Lloji i mësimit: mësim i përgjithësimit dhe sistematizimit të njohurive
Teknologjitë: ruajtja e shëndetit, zhvillimi i aftësive kërkimore, edukimi zhvillimor, mësimi i bazuar në problem, vetë-diagnostikimi dhe vetë-korrigjimi i rezultateve.
Elementet e përmbajtjes: Arsyetimi i saktë, pohim i drejtë, shenja e pjesëtueshmërisë së një produkti, shenja e pjesëtueshmërisë së një shume.
Llojet e veprimtarive: diktim matematik, punë në dërrasë e zezë dhe në fletore, punë ballore me klasën.
Rezultatet e planifikuara (UPD):
Të jetë në gjendje: – të provojë dhe të zbatojë kur zgjidhë se nëse të paktën një nga faktorët nuk është i pjesëtueshëm me një numër të caktuar, atëherë i gjithë prodhimi është i pjesëtueshëm me këtë numër;
– provoni dhe zbatoni kur zgjidhni se nëse çdo term është i pjesëtueshëm me një numër të caktuar, atëherë shuma është e pjesëtueshme me këtë numër;
– angazhohen në komunikim verbal, marrin pjesë në dialog;
– formatoni saktë punën, pasqyroni vendimet tuaja me shkrim, gjeni një zgjidhje për problemin.

Gjatë orëve të mësimit.
Diktimin e testit.
Shkruani formulën për shumëfishat: a) 17; b) 41.
Shkruani një formulë për numrat që, kur pjesëtohen me 17, lënë një mbetje prej 3; Kur ndahet me 41, mbetja është 3.
Tregoni dy veçori të ndryshme që karakterizojnë këtë grup 6; 12; 18; 24; tridhjetë; 36; 42; 48; 54; 60; 66; 72; 78; 84; 90; 96.
Gjeni shumëfishat e përbashkët të 5 dhe 4.
Në cilat kritere bazohen formulat?
a) 15n + 13; b) 4n +3; c) 17k + 8?
Komenti i mësuesit. Fletoret mblidhen për kontroll dhe zgjidhjet komentohen.

Bërja e ushtrimeve për pjesëtueshmërinë e një shume dhe një produkti
(Me gojë). A është shuma e pjesëtueshme me 3:
a) 450 + 160;
b) 150 +225;
c) 28422 + 22050;
Përfundimi është formuluar:
Nëse secili prej termave është i pjesëtueshëm me një numër, atëherë shuma e tyre është domosdoshmërisht e pjesëtueshme me të njëjtin numër.
Nëse çdo term përveç njërit është i pjesëtueshëm me një numër dhe një nuk pjesëtohet, atëherë shuma nuk pjesëtohet me këtë numër.

2. A është i vërtetë pohimi: nëse shuma pjesëtohet me 3, atëherë çdo term pjesëtohet me 3?
3. A është produkti i pjesëtueshëm me 3:
a) 6
·23
·75;
b) 6
·23
· 14;
c) 37
· 121
· 19?
Përfundimi është formuluar: Nëse të paktën një nga faktorët është i pjesëtueshëm me ndonjë numër, atëherë edhe produkti i tyre do të pjesëtohet me këtë numër.
3. Duke përdorur vetitë e pjesëtueshmërisë dhe të dhënat për pjesëtueshmërinë me numrin k të çdo termi, përcaktoni nëse shuma ose prodhimi është i pjesëtueshëm me k.
1 numër
Numri i 2-të
Numri i 3-të
Shuma
Puna

Zgjidhje.
1 numër
Numri i 2-të
Numri i 3-të
Shuma
Puna

d
d
d
d
d

n
d
d
n
d

d
n
d
n
d

d
d
n
n
d

n
n
d
Mund të ndahet
K° nuk mund të ndahet
d

n
d
n
Mund të ndahet
mund të mos ndajnë
d

d
n
n
Mund të ndahet
mund të mos ndajnë
d

n
n
n
Mund të ndahet
mund të mos ndajnë
n

Punëtori
Të gjitha ushtrimet zgjidhen me shkrim në tabelë.
Pa bërë llogaritje, përcaktoni nëse shprehjet e mëposhtme janë të pjesëtueshme me 4: a) 132 + 360 + 536; b) 540 – 332; c) 2512·127.
Zgjidhje.
a) meqenëse çdo term është i pjesëtueshëm me 4, shuma 132 + 360 + 536 pjesëtohet me 4;
b) meqenëse minuend-i 540 pjesëtohet me 4 dhe nëntrahni 332 pjesëtohet me 4, atëherë diferenca 540 – 332 pjesëtohet me 4;
c) meqenëse numri 2512 pjesëtohet me 4, atëherë prodhimi 2512·127 pjesëtohet me 4.
Krijo një formulë për numrat për të cilët shprehja:
a) 25 + x pjesëtohet me 25;
b) 78 + x pjesëtohet me 78.
3. Për cilat vlera të ndryshores është produkti:
a) 7
· a pjesëtohet me 7,
b) 17
· b është i pjesëtueshëm me b.
4. Në kafene u dorëzuan 4 kuti akullore. A mund të jetë që ne duhet të paguajmë 224 rubla për këtë?

Detyra krijuese
Vërtetoni se për të gjitha vlerat natyrore të ndryshores shprehja:
a) 56
· (a+b) pjesëtohet me 14;
b) 144 a + 12b pjesëtohet me 12;
c) 100 a – 40 a pjesëtohet me 30.
2. Tregoni çdo pesë pjesëtues të numrit të barabartë me prodhimin: 32 · 24 · 21.
3. Tregoni cili nga pohimet e mëposhtme është i gabuar.
a) Nëse termat nuk pjesëtohen me një numër të caktuar, atëherë shuma nuk pjesëtohet me atë numër.
b) Nëse prodhimi i dy numrave është i pjesëtueshëm me ndonjë numër, atëherë të paktën një nga faktorët është i pjesëtueshëm me këtë numër.
c) Nëse faktorët nuk pjesëtohen me asnjë numër, atëherë prodhimi nuk pjesëtohet me këtë numër.
d) Nëse diferenca është e pjesëtueshme me ndonjë numër, atëherë edhe minuend-i edhe subtrahend pjesëtohen me këtë numër.
Zgjidhje.
a) E rreme. Shembull: 7+3 = 10; 7 dhe 3 nuk pjesëtohen me 5, por 10 pjesëtohet me 5.
b) E rreme. Shembull: 6 (10 = 60; 60 pjesëtohet me 15, por as 6 dhe as 10 nuk janë të pjesëtueshme.
c) E rreme. Shembull: 6 (10 = 60; as 6 dhe as 10 nuk plotpjesëtohen me 15, por 60 ndahet me 15.
d) E rreme. Shembull: 23 - 21 = 2. Diferenca e 2 pjesëtohet me 2, por 23 dhe 21 nuk pjesëtohen me 2.

5. Duke përmbledhur
Përsëritja e vetive të pjesëtueshmërisë së produktit, shuma dhe ndryshimi i numrave. Vendosja e detyrave të shtëpisë. Duke komentuar vlerësimet.

13 FAQJA \* MERGEFORMAT 14115

kђ Kreu 115

Skedarët e bashkangjitur

Tema e mësimit: Pjesëtueshmëria e shumës dhe produktit.

Lloji i mësimit: një mësim për “zbulimin” e njohurive të reja.

Objektivat e mësimit:

1. Tema: Zgjeroni njohuritë e nxënësve për elementet më të thjeshta të teorisë së pjesëtueshmërisë së numrave natyrorë; të tregojë mënyra për të përdorur në llogaritje vetinë e pjesëtueshmërisë së shumës dhe prodhimit të numrave natyrorë.

2. Meta-subjekt: zhvillimi i aftësive të nxënësit për të kryer arsyetim të thjeshtë provues gjatë hulumtimit; zhvillimi i aftësive të nxënësve për të organizuar bashkëpunim dhe aktivitete të përbashkëta me mësuesin dhe bashkëmoshatarët, të punojnë individualisht, në grup, të argumentojnë dhe mbrojnë mendimet e tyre.

3. Personale: Kontribuoni në zhvillimin e kompetencës komunikuese në komunikim dhe bashkëpunim me bashkëmoshatarët gjatë punës në grup; nxisin formimin e një interesi të qëndrueshëm për këtë temë; zhvillimi i cilësive personale: përgjegjësia, vendosmëri.

teknikat dhe metodat:

Teknika reflektuese;

Teknikat për krijimin e një situate suksesi dhe zgjedhjeje individuale;

Metodat e vetë-diagnostikimit;

Metoda e kërkimit të pjesshëm;

Puna me tekstin shkollor.

Format e punës së studentëve:

Individual

Punë në çift

Frontale.

Rezultatet e planifikuara:

Nxënësit do të mësojnë vetitë e pjesëtueshmërisë së një shume dhe një produkti;

Përvetësimi i aftësive që nxënësit t'i përdorin në llogaritjen e vetive të pjesëtueshmërisë së një shume dhe një produkti.

Teknologjitë e aplikuara arsimore:

Qasja e aktivitetit të sistemit;

Teknologjia e të mësuarit të bazuar në problem.

Gjatë orëve të mësimit

1. Motivimi për aktivitete mësimore.

Përshëndetje shokë kadetë.

Djema, sot do të doja të filloja mësimin tonë me një fragment paksa qesharak, por për mendimin tim, shumë udhëzues të filmit të animuar të fëmijërisë sime "Vovka në Mbretërinë e Largët"

Ju lutemi shikoni me shumë kujdes. (Shikoni dhe diskutoni një fragment të filmit vizatimor).

Në çfarë mbështetej Vovka në fillim? (Ai "Dy nga arkivol" do ta bëjë punën për të)

Çfarë erdhi nga kjo (Ata ngatërruan gjithçka, dhe Vovka ende duhej të bënte gjithçka vetë)

Pse Vovka mbeti e uritur?

Si mundi të bënte një lug për plakën?

A mendoni se Vovka do të jetë në gjendje të ndërtojë një kasolle? Pse je i sigurt për këtë?

Jam absolutisht dakord me ty. Askush nuk do të bëjë punën tuaj për ju dhe rezultati do të varet nga cilësia e tij. Nëse dëshironi, mund të mësoni gjithçka.

Sot kemi një mësim për zbulimin e njohurive të reja. Dhe ju uroj suksese në kërkimin tuaj, njohuritë që keni grumbulluar, të paktën të vogla, por ende shumë të rëndësishme, patjetër do t'ju ndihmojnë në këtë!

2. Përditësimi i njohurive dhe aktivitetet e të mësuarit provë.

A) numërimi me gojë (shkallë)

Për ta bërë punën tuaj më të lehtë gjatë gjithë mësimit, le të bëjmë një ngrohje të vogël të trurit.

Në tavolinën tuaj në dosjen e detyrave ka karta që tregojnë një shkallë. (Rrëshqitja 1) Gjeji. (sipas opsioneve). Shenjë. Do t'ju duhet të ngjitni shkallët sa më lart që të jetë e mundur në 2 minuta, duke shënuar rezultatin e llogaritjes në çdo hap.

Koha ka mbaruar, ju keni mbaruar. Shkëmbeni kartat.

Kontrolloni rezultatet e njëri-tjetrit duke përdorur mostrën në rrëshqitje (Rrëshqitja 2)

Nëse detyra është përfunduar plotësisht dhe pa gabime, jepni një "A"

Ktheni kartat.

Ngrini dorën nëse keni një A. Te lumte!

Dhe kush bëri gabime, mendoni pse?

Ka vetëm dy arsye, më tregoni vetë. (pavëmendje, mosnjohje e tabelave të shumëzimit)

Kjo sugjeron edhe një herë që duhet të jeni më të vëmendshëm dhe nëse keni probleme me tabelën e shumëzimit, përsërisni përsëri në shtëpi.

B) Tani duhet të kujtojmë disa koncepte që do t'i përdorim në mësimin tonë. Unë sugjeroj të zgjidhni një fjalëkryq për këtë. Është në dosjet tuaja. Ne punojmë në çifte. Ju jap 3 minuta.

Si quhet rezultati i shumëzimit?

Si quhen numrat që mblidhen?

Si quhet numri me të cilin pjesëtohet?

Si quhen numrat që shumëzohen?

Si quhet rezultati i mbledhjes?

Cili është emri i një numri që ka më shumë se dy pjesëtues?

Cili është emri i një numri që ka dy pjesëtues?

Kontrolloni përgjigjet tuaja. (Rrëshqitja 3)

Cilat pyetje nuk keni mundur t'u përgjigjeni?

Le të përsërisim edhe një herë përkufizimet e këtyre koncepteve.

Çfarë përkufizimi mund t'i jepet konceptit vertikal?

Tani hapni fletoret tuaja dhe shkruani "!" në margjina. kundër një detyre që e keni përfunduar lehtë dhe shpejt në shtëpi, dhe “?”, nëse detyra shkaktoi vështirësi, ne do t'i kthehemi këtyre detyrave në mësimin tjetër.

Shkruani numrin dhe punën e madhe.

Plotësoni detyrën e mëposhtme: (Rrëshqitja 4)

B) 1. Zbulo nëse numri 4 është pjesëtues i prodhimit: (3min)

2. Zbuloni nëse numri 3 është pjesëtues i shumës:

3. Identifikimi i shkakut të vështirësisë.

Çfarë mund të thoni për veprat?

Rreth shumave?

Si e morët vesh?

Ndoshta dikush përdori një metodë tjetër dhe ishte në gjendje t'i përgjigjej pyetjes pa bërë llogaritjet? (Jo)

4. Ndërtimi i një projekti për të dalë nga vështirësia.

Pra, çfarë synimi do t'i vendosim vetes sot në klasë?

(mësoni të përcaktoni pa llogaritje nëse një shumë ose produkt është i pjesëtueshëm me një numër të caktuar) (Rrëshqitja 5)

Tema e mësimit tonë: "Vetitë e pjesëtueshmërisë së një produkti dhe një shumë" (Rrëshqitja 6)

Ju duhet t'i formuloni vetë këto veti dhe të provoni se ato funksionojnë në praktikë.

Minuta e edukimit fizik.

Ne punuam shumë - le të pushojmë,

Le të ngrihemi dhe të marrim frymë thellë.

Duart në anët, përpara,

Kthesë majtas, djathtas.

Tre kthesa, ngrihu drejt.

Ngrini krahët lart e poshtë.

Duart ulur ngadalë,

Ata u sollën buzëqeshje të gjithëve.

Bëhuni në grupe me 4 persona.

Mos harroni për rregullat e punës në grup.

Përgjigjuni pyetjeve në kartat tuaja me shkrim dhe nxirrni një përfundim.

A e përfunduan të gjithë detyrën?

Çfarë modeli keni parë për shumën, çfarë përfundimi mund të nxirrni (Grupet 1 dhe 2)

Tregoni vetinë e pjesëtueshmërisë së një shume.

Mirë, çfarë modeli mund të gjurmohet për punën? (3 dhe 4 grupe)

Formuloni vetinë e pjesëtueshmërisë së një produkti.

5. Zbatimi i projektit të përfunduar

Tani le të kthehemi te detyra në rrëshqitje dhe të kontrollojmë nëse supozimet tona janë të sakta. (Po)

Pra, ne kemi formuluar vetitë e pjesëtueshmërisë së një shume dhe një produkti. Le të kontrollojmë korrektësinë e vetive që formuluam. Hapni tekstin shkollor në faqen 102.

Epo, kishit të drejtë (po)

6. Konsolidimi primar.

Thjesht duhet të mësojmë se si të përdorim vetitë e pjesëtueshmërisë së një shume dhe një produkti.

Libër mësuesi (f. 104):

Nr 350.357-me gojë

Nr 358 (c, d) - tabelë dhe fletore

Nr. 359.360 (a,b) - gjithashtu

Mirë, bravo.

Tani le të përsërisim edhe një herë vetitë e pjesëtueshmërisë që ju vetë zbuluat sot, tregojini ato njëri-tjetrit.

7. Reflektim mbi veprimtaritë në orën e mësimit.

Mësimi ynë po përfundon, le ta përmbledhim.

Çfarë synimi i keni vënë vetes? (mësoni të përcaktoni pa llogaritje nëse një shumë ose produkt është i pjesëtueshëm me një numër të caktuar)

A mendoni se e keni arritur qëllimin tuaj (Po)

Tani merrni kartat e vetëvlerësimit nga dosja, firmosni ato dhe vlerësoni aktivitetet tuaja në mësim.

8. Detyrë shtëpie:

Nr. 356(a), 358(a,b), 360(c,d)

Djema, të gjithë keni punuar shumë frytdhënës sot, pa përjashtim, faleminderit për punën tuaj.

Do të doja ta mbyllja mësimin me fjalët e një proverb popullor vietnamez: “Mund të mësosh vetëm kur studion; Mund të arrish atje vetëm nëse ecësh.” Mos harroni këtë.

Për ata që kanë marrë vlerësime me gojë, ju lutemi sillni ditarët tuaj. Dhe kushdo që ka përfunduar detyrën shtesë, të vijë tek unë me fletore.

Le të japim një shembull që vërteton vlefshmërinë e vetive të pjesëtimit të shumës së dy numrave natyrorë me një numër natyror të dhënë. Le të tregojmë se barazia (18+36):6=18:6+36:6 është e saktë. Së pari, le të llogarisim vlerën e shprehjes nga ana e majtë e barazisë. Meqenëse 18+36=54, atëherë (18+36):6=54:6. Nga tabela e shumëzimit gjejmë 54:6=9 (shih seksionin mbi teorinë e pjesëtimit duke përdorur tabelën e shumëzimit). Le të kalojmë në llogaritjen e vlerës së shprehjes 18:6+36:6. Nga tabela e shumëzimit kemi 18:6=3 dhe 36:6=6, pra 18:6+36:6=3+6=9. Prandaj, barazia (18+36):6=18:6+36:6 është e saktë.

Ju gjithashtu duhet t'i kushtoni vëmendje faktit që kjo veti, si dhe vetia shoqëruese e mbledhjes së numrave natyrorë, ju lejon të pjesëtoni shumën e tre ose më shumë numrave natyrorë me një numër natyror të caktuar. Për shembull, herësi (14+8+4+2):2 është i barabartë me shumën e herësve të mëposhtëm 14:2+8:2+4:2+2:2.

Vetia e pjesëtimit të diferencës së dy numrave natyrorë me një numër natyror.

Ngjashëm me vetinë e mëparshme, formulohet vetia e pjesëtimit të diferencës së dy numrave natyrorë me një numër natyror të caktuar: pjesëtimi i diferencës së dy numrave me një numër të caktuar është njësoj si të zbritet nga herësi i minuendit dhe numri i dhënë. herësi i nëntrahendës dhe numrit të dhënë.

Duke përdorur shkronjat, kjo veti e ndarjes mund të shkruhet si më poshtë: (a-b):c=a:c-b:c, ku a, b dhe c janë numra natyrorë të tillë që a është më i madh ose i barabartë me b, dhe gjithashtu a dhe b mund të pjesëtohen me c.

Si shembull që konfirmon vetinë e pjesëtimit në shqyrtim, do të tregojmë vlefshmërinë e barazisë (45-25):5=45:5-25:5. Meqenëse 45-25=20 (nëse është e nevojshme, studioni artikullin për zbritjen e numrave natyrorë), atëherë (45-25):5=20:5. Duke përdorur tabelën e shumëzimit, gjejmë se herësi që rezulton është i barabartë me 4. Tani le të llogarisim vlerën e shprehjes 45:5-25:5, e cila është në anën e djathtë të barazisë. Nga tabela e shumëzimit kemi 45:5=9 dhe 25:5=5, pastaj 45:5-25:5=9-5=4. Prandaj, barazia (45-25):5=45:5-25:5 është e vërtetë.

Vetia e pjesëtimit të prodhimit të dy numrave natyrorë me një numër natyror.

Nëse shihni lidhja midis pjesëtimit dhe shumëzimit, atëherë do të jetë e dukshme edhe vetia e pjesëtimit të prodhimit të dy numrave natyrorë me një numër natyror të caktuar të barabartë me një nga faktorët. Formulimi i tij është si vijon: rezultati i pjesëtimit të prodhimit të dy numrave natyrorë me një numër natyror të caktuar, i cili është i barabartë me njërin nga faktorët, është i barabartë me faktorin tjetër. Këtu është forma fjalë për fjalë e kësaj vepre të ndarjes: (a·b):a=b ose (a·b):b=a, ku a dhe b janë disa numra natyrorë.

Për shembull, nëse produktin e numrave 2 dhe 8 e ndajmë me 2, fitojmë 8, dhe (3·7):7=3.

Tani do të supozojmë se pjesëtuesi nuk është i barabartë me asnjë nga faktorët që formojnë dividentin. Le të formulojmë vetinë e pjesëtimit të prodhimit të dy numrave natyrorë me një numër natyror të dhënë për këto raste. Në këtë rast, do të supozojmë se të paktën një nga faktorët mund të pjesëtohet me një numër natyror të caktuar. Pra, pjesëtimi i prodhimit të dy numrave natyrorë me një numër natyror të caktuar është njësoj si pjesëtimi i njërit prej faktorëve me këtë numër dhe shumëzimi i rezultatit me një faktor tjetër.

Prona e deklaruar është, për ta thënë butë, jo e dukshme. Por nëse kujtojmë se shumëzimi i numrave natyrorë është në thelb shtimi i një numri të caktuar termash të barabartë (për këtë shkruhet në pjesën teorike të kuptimit të shumëzimit të numrave natyrorë), atëherë vetia në fjalë rrjedh nga.

Le ta shkruajmë këtë veti duke përdorur shkronja. Le të jenë numra natyrorë a, b dhe c. Atëherë, nëse a mund të pjesëtohet me c, atëherë barazia është e vërtetë (a·b):c=(a:c)·b; nëse b mund të pjesëtohet me c, atëherë barazia është e vërtetë (a·b):c=a·(b:c); dhe nëse të dyja a dhe b mund të pjesëtohen me c, atëherë të dyja barazitë qëndrojnë njëkohësisht, d.m.th. (a·b):c=(a:c)·b=a·(b:c) .

Për shembull, për shkak të vetive të konsideruara të pjesëtimit të prodhimit të dy numrave natyrorë me një numër natyror të caktuar, barazitë (8 6): 2 = (8: 2) 6 dhe (8 6): 2 = 8 (6: 2 ) janë të vlefshme, që mund të shkruhet si barazi e dyfishtë e formës (8·6):2=(8:2)·6=8·(6:2) .

Vetia e pjesëtimit të një numri natyror me prodhimin e dy numrave natyrorë.

Le të shohim situatën e mëposhtme. Supozoni se duhet të ndajmë çmimet në mënyrë të barabartë midis pjesëmarrësve të ekipeve b, c njerëzve në secilin ekip (do të supozojmë se numrat natyrorë a, b dhe c janë të tillë që mund të kryhet ndarja e specifikuar). Si mund ta bëj këtë? Le të shqyrtojmë dy raste.

• Së pari, mund të zbuloni numrin total të pjesëmarrësve (për ta bërë këtë ju duhet të llogaritni produktin b·c) dhe më pas të ndani të gjitha çmimet a me të gjithë pjesëmarrësit b·c. Matematikisht, ky proces korrespondon me një:(b·c) .
• Së dyti, çmimet a mund të ndahen në b ekipe, pas së cilës numri i çmimeve që rezulton në secilin ekip (do të jetë i barabartë me herësin a:b) ndahet në c pjesëmarrës. Matematikisht, ky proces përshkruhet me shprehjen (a:b):c.

Është e qartë se si në kategorinë e parë ashtu edhe në atë të dytë, secili pjesëmarrës do të marrë të njëjtin numër çmimesh. Kjo do të thotë, një barazi e formës do të jetë e vërtetë a:(b·c)=(a:b):c, e cila është një paraqitje fjalë për fjalë e vetive të pjesëtimit të një numri natyror me produktin e dy numrave natyrorë. Duhet të theksohet se për shkak të vetive komutative të shumëzimit të numrave natyrorë, barazia që rezulton mund të shkruhet në formën a:(b·c)=(a:c):b .

Mbetet vetëm të formulohet vetia e pjesëtimit në shqyrtim: pjesëtimi i një numri natyror me një produkt është njësoj si pjesëtimi i këtij numri me një nga faktorët, dhe më pas pjesëtimi i herësit që rezulton me një faktor tjetër.

Le të japim një shembull. Le të tregojmë vlefshmërinë e barazisë 18:(2·3)=(18:2):3, e cila do të konfirmojë vetinë e pjesëtimit të një numri natyror me prodhimin e dy numrave natyrorë. Meqenëse 2·3=6, atëherë herësi 18:(2·3) është i barabartë me 18:6=3. Tani le të llogarisim vlerën e shprehjes (18:2):3. Nga tabela e shumëzimit gjejmë se 18:2=9, dhe 9:3=3, pastaj (18:2):3=3. Prandaj, 18:(2·3)=(18:2):3.

Vetia e pjesëtimit të zeros me një numër natyror.

Ne kemi pranuar konventën se numri zero (mos harroni se zero nuk është një numër natyror) do të thotë mungesë e diçkaje. Kështu, pjesëtimi i zeros me një numër natyror është pjesëtimi i "asgjë" në disa pjesë. Natyrisht, në secilën prej pjesëve që rezultojnë do të ketë gjithashtu "asgjë", domethënë zero. Kështu që, 0:a=0, ku a është çdo numër natyror.

Shprehja që rezulton është një paraqitje fjalë për fjalë e vetive të pjesëtimit të zeros me një numër natyror, i cili formulohet si më poshtë: rezultati i pjesëtimit të zeros me një numër natyror arbitrar është zero.

Për shembull, 0:105=0, dhe herësi i zeros i pjesëtuar me 300,553 është gjithashtu zero.

Një numër natyror nuk mund të pjesëtohet me zero.

Pse një numër natyror nuk mund të pjesëtohet me zero? Le ta kuptojmë këtë.

Supozoni se një numër natyror a mund të pjesëtohet me zero, dhe rezultati i pjesëtimit është një numër tjetër natyror b, domethënë, barazia a:0=b është e vërtetë. Nëse kujtojmë lidhjen ndërmjet pjesëtimit dhe shumëzimit, atëherë barazia e shkruar a:0=b nënkupton vlefshmërinë e barazisë b·0=a. Megjithatë, vetia e shumëzimit të një numri natyror dhe zeros thotë se b·0=0. Krahasimi i dy barazive të fundit tregon se a=0, që nuk mund të jetë, pasi thamë se a është një numër natyror. Kështu, supozimi ynë për mundësinë e pjesëtimit të një numri natyror me zero çon në një kontradiktë.

Kështu që, një numër natyror nuk mund të pjesëtohet me zero.

Bibliografi.

• Matematika. Çdo tekst shkollor për klasat 1, 2, 3, 4 të institucioneve të arsimit të përgjithshëm.
• Matematika. Çdo tekst shkollor për klasën e 5-të të institucioneve të arsimit të përgjithshëm.