Si zbulohet një modul në një katror. Zhvillimi metodologjik i “Ekuacioneve me modul

Moduli i numrit aështë distanca nga origjina në pikën A(a).

Për të kuptuar këtë përkufizim, le të zëvendësojmë variablin açdo numër, për shembull 3 dhe përpiquni ta lexoni përsëri:

Moduli i numrit 3 është distanca nga origjina në pikën A(3 ).

Bëhet e qartë se moduli nuk është asgjë më shumë se një distancë e zakonshme. Le të përpiqemi të shohim distancën nga origjina në pikën A( 3 )

Largësia nga origjina në pikën A ( 3 ) është e barabartë me 3 (tre njësi ose tre hapa).

Moduli i një numri tregohet nga dy vija vertikale, për shembull:

Moduli i numrit 3 shënohet si më poshtë: |3|

Moduli i numrit 4 shënohet si më poshtë: |4|

Moduli i numrit 5 shënohet si më poshtë: |5|

Ne kërkuam modulin e numrit 3 dhe zbuluam se është i barabartë me 3. Pra, e shkruajmë atë:

Lexohet si: "Moduli i numrit tre është tre"

Tani le të përpiqemi të gjejmë modulin e numrit -3. Përsëri, ne kthehemi te përkufizimi dhe zëvendësojmë numrin -3 në të. Vetëm në vend të një pike A përdorni një pikë të re B. Ndalesa e plotë A kemi përdorur tashmë në shembullin e parë.

Moduli i numrit - 3 është distanca nga origjina në një pikë B(—3 ).

Distanca nga një pikë në tjetrën nuk mund të jetë negative. Prandaj, moduli i çdo numri negativ, duke qenë një distancë, gjithashtu nuk do të jetë negativ. Moduli i numrit -3 do të jetë numri 3. Largësia nga origjina deri në pikën B(-3) është gjithashtu e barabartë me tre njësi:

Lexohet si: "Moduli i numrit minus tre është tre"

Moduli i numrit 0 është i barabartë me 0, pasi pika me koordinatë 0 përkon me origjinën e koordinatave, d.m.th. distanca nga origjina në pikë O(0) barazohet me zero:

"Moduli i zeros është zero"

Ne nxjerrim përfundime:

• Moduli i një numri nuk mund të jetë negativ;
• Për një numër pozitiv dhe zero, moduli është i barabartë me vetë numrin, dhe për një numër negativ - numri i kundërt;
• Numrat e kundërt kanë module të barabarta.

Numra të kundërt

Numrat që ndryshojnë vetëm në shenja quhen përballë. Për shembull, numrat −2 dhe 2 janë të kundërt. Ato ndryshojnë vetëm në shenja. Numri -2 ka një shenjë minus, dhe 2 ka një shenjë plus, por ne nuk e shohim atë, sepse plus, siç thamë më herët, tradicionalisht nuk shkruhet.

Më shumë shembuj të numrave të kundërt:

Numrat e kundërt kanë module të barabarta. Për shembull, le të gjejmë modulet për −2 dhe 2

Figura tregon se distanca nga origjina në pikat A(-2) Dhe B(2) njësoj e barabartë me dy hapa.

Ju pëlqeu mësimi?
Bashkohuni me grupin tonë të ri VKontakte dhe filloni të merrni njoftime për mësime të reja

Ne nuk zgjedhim matematikën profesionin e saj dhe ajo na zgjedh neve.

Matematikani rus Yu.I. Manin

Ekuacionet me modul

Problemet më të vështira për t'u zgjidhur në matematikën shkollore janë ekuacionet që përmbajnë variabla nën shenjën e modulit. Për të zgjidhur me sukses ekuacione të tilla, duhet të dini përkufizimin dhe vetitë themelore të modulit. Natyrisht, studentët duhet të kenë aftësi për të zgjidhur ekuacione të këtij lloji.

Konceptet dhe vetitë themelore

Moduli (vlera absolute) i një numri real shënohet me dhe përcaktohet si më poshtë:

Karakteristikat e thjeshta të një moduli përfshijnë marrëdhëniet e mëposhtme:

Shënim, që dy vetitë e fundit janë të vlefshme për çdo shkallë çift.

Për më tepër, nëse, ku, atëherë dhe

Karakteristikat më komplekse të modulit, të cilat mund të përdoren në mënyrë efektive gjatë zgjidhjes së ekuacioneve me modul, formulohen përmes teoremave të mëposhtme:

Teorema 1.Për çdo funksion analitik Dhe pabarazia është e vërtetë

Teorema 2. Barazia është e barabartë me pabarazinë.

Teorema 3. Barazia baraz me pabarazi.

Le të shohim shembuj tipikë të zgjidhjes së problemeve në temën “Ekuacionet, që përmban variabla nën shenjën e modulit."

Zgjidhja e ekuacioneve me modul

Metoda më e zakonshme në matematikën shkollore për zgjidhjen e ekuacioneve me modul është metoda, bazuar në zgjerimin e modulit. Kjo metodë është universale, megjithatë, në rastin e përgjithshëm, përdorimi i tij mund të çojë në llogaritje shumë të rënda. Në këtë drejtim, studentët duhet të dinë të tjera, metoda dhe teknika më efektive për zgjidhjen e ekuacioneve të tilla. Në veçanti, është e nevojshme të ketë aftësi në zbatimin e teoremave, dhënë në këtë artikull.

Shembulli 1. Zgjidhe ekuacionin. (1)

Zgjidhje. Ne do të zgjidhim ekuacionin (1) duke përdorur metodën "klasike" - metodën e zbulimit të moduleve. Për ta bërë këtë, le të ndajmë boshtin e numrave pika dhe në intervale dhe shqyrtoni tre raste.

1. Nëse , atëherë , , , dhe ekuacioni (1) merr formën . Nga kjo rrjedh. Megjithatë, këtu , prandaj vlera e gjetur nuk është rrënja e ekuacionit (1).

2. Nëse, atëherë nga ekuacioni (1) marrim ose .

Që atëherë rrënja e ekuacionit (1).

3. Nëse, atëherë ekuacioni (1) merr formën ose . Le të theksojmë se.

Përgjigje: ,.

Kur zgjidhim ekuacionet pasuese me një modul, ne do të përdorim në mënyrë aktive vetitë e moduleve për të rritur efikasitetin e zgjidhjes së ekuacioneve të tilla.

Shembulli 2. Zgjidhe ekuacionin.

Zgjidhje. Që nga dhe atëherë nga ekuacioni që rrjedh. Në këtë drejtim, , , dhe ekuacioni merr formën. Nga këtu marrim. Megjithatë, prandaj ekuacioni origjinal nuk ka rrënjë.

Përgjigje: pa rrënjë.

Shembulli 3. Zgjidhe ekuacionin.

Zgjidhje. Që atëherë. Nëse, atëherë dhe ekuacioni merr formën.

Nga këtu marrim.

Shembulli 4. Zgjidhe ekuacionin.

Zgjidhje.Le ta rishkruajmë ekuacionin në formë ekuivalente. (2)

Ekuacioni që rezulton i përket ekuacioneve të tipit .

Duke marrë parasysh teoremën 2, mund të argumentohet se ekuacioni (2) është ekuivalent me pabarazinë . Nga këtu marrim.

Përgjigje:.

Shembulli 5. Zgjidhe ekuacionin.

Zgjidhje. Ky ekuacion ka formën. Prandaj, sipas teoremës 3, këtu kemi pabarazi ose .

Shembulli 6. Zgjidhe ekuacionin.

Zgjidhje. Le të supozojmë se. Sepse, atëherë ekuacioni i dhënë merr formën e një ekuacioni kuadratik, (3)

Ku . Meqenëse ekuacioni (3) ka një rrënjë të vetme pozitive dhe, pastaj . Nga këtu marrim dy rrënjë të ekuacionit origjinal: Dhe .

Shembulli 7. Zgjidhe ekuacionin. (4)

Zgjidhje. Që nga ekuacioniështë e barabartë me kombinimin e dy ekuacioneve: Dhe, atëherë gjatë zgjidhjes së ekuacionit (4) është e nevojshme të merren parasysh dy raste.

1. Nëse , atëherë ose .

Nga këtu marrim , dhe .

2. Nëse , atëherë ose .

Që atëherë.

Përgjigje: , , , .

Shembulli 8.Zgjidhe ekuacionin . (5)

Zgjidhje. Që atëherë dhe atëherë. Nga këtu dhe nga ekuacioni (5) rrjedh se dhe , d.m.th. këtu kemi një sistem ekuacionesh

Megjithatë, ky sistem ekuacionesh është i paqëndrueshëm.

Përgjigje: pa rrënjë.

Shembulli 9. Zgjidhe ekuacionin. (6)

Zgjidhje. Nëse shënojmë , atëherë dhe nga ekuacioni (6) marrim

Ose . (7)

Meqenëse ekuacioni (7) ka formën , ky ekuacion është i barabartë me pabarazinë . Nga këtu marrim. Që atëherë ose .

Përgjigje:.

Shembulli 10.Zgjidhe ekuacionin. (8)

Zgjidhje.Sipas teoremës 1, ne mund të shkruajmë

(9)

Duke marrë parasysh ekuacionin (8), arrijmë në përfundimin se të dyja pabarazitë (9) kthehen në barazi, d.m.th. ekziston një sistem ekuacionesh

Megjithatë, sipas Teoremës 3, sistemi i mësipërm i ekuacioneve është i barabartë me sistemin e pabarazive

(10)

Duke zgjidhur sistemin e pabarazive (10) marrim . Meqenëse sistemi i pabarazive (10) është i barabartë me ekuacionin (8), ekuacioni origjinal ka një rrënjë të vetme.

Përgjigje:.

Shembulli 11. Zgjidhe ekuacionin. (11)

Zgjidhje. Le të dhe , atëherë barazia rrjedh nga ekuacioni (11).

Nga kjo rrjedh se dhe . Kështu, këtu kemi një sistem pabarazish

Zgjidhja e këtij sistemi pabarazish është Dhe .

Përgjigje: ,.

Shembulli 12.Zgjidhe ekuacionin. (12)

Zgjidhje. Ekuacioni (12) do të zgjidhet me metodën e zgjerimit sekuencial të moduleve. Për ta bërë këtë, le të shqyrtojmë disa raste.

1. Nëse , atëherë .

1.1. Nëse , atëherë dhe , .

1.2. Nëse, atëherë. Megjithatë, prandaj, në këtë rast, ekuacioni (12) nuk ka rrënjë.

2. Nëse , atëherë .

2.1. Nëse , atëherë dhe , .

2.2. Nëse , atëherë dhe .

Përgjigje: , , , , .

Shembulli 13.Zgjidhe ekuacionin. (13)

Zgjidhje. Meqenëse ana e majtë e ekuacionit (13) është jonegative, atëherë . Në këtë drejtim, dhe ekuacioni (13)

merr formën ose .

Dihet se ekuacioni është e barabartë me kombinimin e dy ekuacioneve Dhe, duke zgjidhur të cilat ne marrim, . Sepse, atëherë ekuacioni (13) ka një rrënjë.

Përgjigje:.

Shembulli 14. Zgjidh sistemin e ekuacioneve (14)

Zgjidhje. Që dhe , atëherë dhe . Rrjedhimisht, nga sistemi i ekuacioneve (14) marrim katër sisteme ekuacionesh:

Rrënjët e sistemeve të mësipërme të ekuacioneve janë rrënjët e sistemit të ekuacioneve (14).

Përgjigje: ,, , , , , , .

Shembulli 15. Zgjidh sistemin e ekuacioneve (15)

Zgjidhje. Që atëherë. Në këtë drejtim, nga sistemi i ekuacioneve (15) fitojmë dy sisteme ekuacionesh

Rrënjët e sistemit të parë të ekuacioneve janë dhe , dhe nga sistemi i dytë i ekuacioneve marrim dhe .

Përgjigje: , , , .

Shembulli 16. Zgjidh sistemin e ekuacioneve (16)

Zgjidhje. Nga ekuacioni i parë i sistemit (16) del se .

Që atëherë . Le të shqyrtojmë ekuacionin e dytë të sistemit. Që nga viti, Se , dhe ekuacioni merr formën, , ose .

Nëse e zëvendësoni vlerënnë ekuacionin e parë të sistemit (16), pastaj , ose .

Përgjigje: ,.

Për një studim më të thellë të metodave të zgjidhjes së problemeve, lidhur me zgjidhjen e ekuacioneve, që përmban variabla nën shenjën e modulit, Ju mund të rekomandoni mësime nga lista e literaturës së rekomanduar.

1. Mbledhja e problemave në matematikë për aplikantët në kolegje / Ed. M.I. Skanavi. – M.: Paqja dhe Edukimi, 2013. – 608 f.

2. Suprun V.P. Matematika për nxënësit e shkollave të mesme: detyra me kompleksitet të shtuar. – M.: CD “Librocom” / URSS, 2017. – 200 f.

3. Suprun V.P. Matematika për nxënësit e shkollave të mesme: metoda jo standarde për zgjidhjen e problemeve. – M.: CD “Librocom” / URSS, 2017. – 296 f.

Ende keni pyetje?

Për të marrë ndihmë nga një mësues, regjistrohu.

faqe interneti, kur kopjoni materialin plotësisht ose pjesërisht, kërkohet një lidhje me burimin.

Në këtë artikull do të shqyrtojmë në detaje moduli i numrit. Ne do të japim përkufizime të ndryshme të modulit të një numri, do të prezantojmë shënimin dhe do të ofrojmë ilustrime grafike. Në të njëjtën kohë, le të shohim shembuj të ndryshëm të gjetjes së modulit të një numri sipas përkufizimit. Pas kësaj, ne do të rendisim dhe justifikojmë vetitë kryesore të modulit. Në fund të artikullit, ne do të flasim se si përcaktohet dhe gjendet moduli i një numri kompleks.

Navigimi i faqes.

Moduli i numrave - përkufizimi, shënimi dhe shembuj

Fillimisht prezantojmë përcaktimi i modulit të numrit. Modulin e numrit a do ta shkruajmë si , pra majtas dhe djathtas numrit do të vendosim viza vertikale për të formuar shenjën e modulit. Le të japim disa shembuj. Për shembull, moduli −7 mund të shkruhet si ; moduli 4.125 shkruhet si dhe moduli ka një shënim të formës.

Përkufizimi i mëposhtëm i modulit i referohet , dhe për rrjedhojë , dhe numrave të plotë, dhe numrave racionalë dhe irracionalë, si pjesë përbërëse të grupit të numrave realë. Do të flasim për modulin e një numri kompleks në.

Përkufizimi.

Moduli i numrit a– ky është ose vetë numri a, nëse a është numër pozitiv, ose numri −a, e kundërta e numrit a, nëse a është numër negativ, ose 0, nëse a=0.

Përkufizimi i shprehur i modulit të një numri shpesh shkruhet në formën e mëposhtme , kjo hyrje do të thotë se nëse a>0, nëse a=0, dhe nëse a<0 .

Regjistrimi mund të paraqitet në një formë më kompakte . Ky shënim do të thotë se nëse (a është më e madhe ose e barabartë me 0), dhe nëse a<0 .

Ekziston edhe hyrja . Këtu duhet të shpjegojmë veçmas rastin kur a=0. Në këtë rast kemi , por −0=0, pasi zero konsiderohet një numër që është i kundërt me vetveten.

Le të japim shembuj të gjetjes së modulit të një numri duke përdorur një përkufizim të deklaruar. Për shembull, le të gjejmë modulet e numrave 15 dhe . Le të fillojmë duke gjetur. Meqenëse numri 15 është pozitiv, moduli i tij, sipas përkufizimit, është i barabartë me vetë këtë numër, domethënë . Cili është moduli i një numri? Meqenëse është një numër negativ, moduli i tij është i barabartë me numrin e kundërt me numrin, domethënë numrin . Kështu,.

Për të përfunduar këtë pikë, ne paraqesim një përfundim që është shumë i përshtatshëm për t'u përdorur në praktikë kur gjejmë modulin e një numri. Nga përkufizimi i modulit të një numri rezulton se moduli i një numri është i barabartë me numrin nën shenjën e modulit pa marrë parasysh shenjën e tij, dhe nga shembujt e diskutuar më sipër kjo është shumë qartë e dukshme. Deklarata e deklaruar shpjegon pse quhet edhe moduli i një numri vlera absolute e numrit. Pra, moduli i një numri dhe vlera absolute e një numri janë një dhe e njëjta.

Moduli i një numri si distancë

Gjeometrikisht, moduli i një numri mund të interpretohet si distancë. Le të japim përcaktimi i modulit të një numri në distancë.

Përkufizimi.

Moduli i numrit a– kjo është distanca nga origjina në vijën koordinative deri në pikën që i përgjigjet numrit a.

Ky përkufizim është në përputhje me përkufizimin e modulit të një numri të dhënë në paragrafin e parë. Le ta sqarojmë këtë pikë. Distanca nga origjina në pikën që i korrespondon një numri pozitiv është e barabartë me këtë numër. Zero korrespondon me origjinën, prandaj distanca nga origjina në pikën me koordinatë 0 është e barabartë me zero (nuk keni nevojë të lini mënjanë një segment të vetëm njësi dhe asnjë segment të vetëm që përbën ndonjë fraksion të një segmenti njësi në mënyrë për të arritur nga pika O në një pikë me koordinatë 0). Distanca nga origjina në një pikë me një koordinatë negative është e barabartë me numrin e kundërt të koordinatës së kësaj pike, pasi është e barabartë me distancën nga origjina në pikën koordinata e së cilës është numri i kundërt.

Për shembull, moduli i numrit 9 është i barabartë me 9, pasi distanca nga origjina në pikën me koordinatë 9 është e barabartë me nëntë. Le të japim një shembull tjetër. Pika me koordinatë −3.25 ndodhet në një distancë prej 3.25 nga pika O, pra .

Përkufizimi i deklaruar i modulit të një numri është një rast i veçantë i përcaktimit të modulit të ndryshimit të dy numrave.

Përkufizimi.

Moduli i diferencës së dy numrave a dhe b është e barabartë me distancën ndërmjet pikave të drejtëzës koordinative me koordinatat a dhe b.

Kjo do të thotë, nëse jepen pikat në vijën koordinative A(a) dhe B(b), atëherë distanca nga pika A në pikën B është e barabartë me modulin e ndryshimit midis numrave a dhe b. Nëse marrim pikën O (origjina) si pikën B, atëherë marrim përkufizimin e modulit të një numri të dhënë në fillim të këtij paragrafi.

Përcaktimi i modulit të një numri duke përdorur rrënjën katrore aritmetike

Herë pas here ndodh përcaktimi i modulit nëpërmjet rrënjës katrore aritmetike.

Për shembull, le të llogarisim modulin e numrave −30 dhe bazuar në këtë përkufizim. ne kemi. Në mënyrë të ngjashme, ne llogarisim modulin e dy të tretave: .

Përkufizimi i modulit të një numri përmes rrënjës katrore aritmetike është gjithashtu në përputhje me përkufizimin e dhënë në paragrafin e parë të këtij neni. Le ta tregojmë. Le të jetë a një numër pozitiv, dhe le të jetë −a një numër negativ. Pastaj Dhe , nëse a=0 , atëherë .

Karakteristikat e modulit

Moduli ka një numër rezultatesh karakteristike - vetitë e modulit. Tani do të paraqesim kryesoret dhe më të përdorurat prej tyre. Kur justifikojmë këto veti, ne do të mbështetemi në përkufizimin e modulit të një numri për sa i përket distancës.

Le të fillojmë me vetinë më të dukshme të modulit - Moduli i një numri nuk mund të jetë një numër negativ. Në formë literale, kjo veti ka formën për çdo numër a. Kjo veti është shumë e lehtë për t'u justifikuar: moduli i një numri është një distancë, dhe distanca nuk mund të shprehet si një numër negativ.

Le të kalojmë te vetia e modulit tjetër. Moduli i një numri është zero nëse dhe vetëm nëse ky numër është zero. Moduli i zeros është zero sipas definicionit. Zero korrespondon me origjinën, asnjë pikë tjetër në vijën koordinative nuk korrespondon me zero, pasi çdo numër real shoqërohet me një pikë të vetme në vijën koordinative. Për të njëjtën arsye, çdo numër tjetër përveç zeros korrespondon me një pikë të ndryshme nga origjina. Dhe distanca nga origjina në çdo pikë tjetër përveç pikës O nuk është zero, pasi distanca midis dy pikave është zero nëse dhe vetëm nëse këto pika përkojnë. Arsyetimi i mësipërm vërteton se vetëm moduli i zeros është i barabartë me zero.

Le të vazhdojmë. Numrat e kundërt kanë module të barabarta, domethënë për çdo numër a. Në të vërtetë, dy pika në vijën koordinative, koordinatat e të cilave janë numra të kundërt, janë në të njëjtën distancë nga origjina, që do të thotë se modulet e numrave të kundërt janë të barabarta.

Vetia e mëposhtme e modulit është: Moduli i prodhimit të dy numrave është i barabartë me produktin e modulit të këtyre numrave, domethënë, . Sipas përkufizimit, moduli i prodhimit të numrave a dhe b është i barabartë ose me a·b nëse , ose me −(a·b) nëse . Nga rregullat e shumëzimit të numrave real del se prodhimi i moduleve të numrave a dhe b është i barabartë ose me a·b, , ose me −(a·b) nëse , që vërteton vetinë në fjalë.

Moduli i herësit të një pjesëtuar me b është i barabartë me herësin e modulit të një numri të pjesëtuar me modulin e b, domethënë, . Le të justifikojmë këtë veti të modulit. Meqenëse herësi është i barabartë me produktin, atëherë. Në bazë të pasurisë së mëparshme që kemi . Gjithçka që mbetet është të përdoret barazia , e cila është e vlefshme në bazë të përcaktimit të modulit të një numri.

Vetia e mëposhtme e një moduli shkruhet si një pabarazi: , a , b dhe c janë numra realë arbitrarë. Pabarazia e shkruar nuk është gjë tjetër veçse pabarazia e trekëndëshit. Për ta bërë këtë të qartë, le të marrim pikat A(a), B(b), C(c) në vijën e koordinatave dhe të shqyrtojmë një trekëndësh të degjeneruar ABC, kulmet e të cilit shtrihen në të njëjtën drejtëz. Sipas definicionit, moduli i diferencës është i barabartë me gjatësinë e segmentit AB, - gjatësinë e segmentit AC dhe - gjatësinë e segmentit CB. Meqenëse gjatësia e çdo brinjë të trekëndëshit nuk e kalon shumën e gjatësive të dy brinjëve të tjera, atëherë pabarazia është e vërtetë Prandaj, pabarazia është gjithashtu e vërtetë.

Pabarazia e sapo provuar është shumë më e zakonshme në formë . Pabarazia e shkruar zakonisht konsiderohet si një veti e veçantë e modulit me formulimin: " Moduli i shumës së dy numrave nuk e kalon shumën e moduleve të këtyre numrave" Por pabarazia vjen drejtpërdrejt nga mosbarazimi nëse vendosim −b në vend të b dhe marrim c=0.

Moduli i një numri kompleks

Le të japim përcaktimi i modulit të një numri kompleks. Të na jepet numër kompleks, i shkruar në formë algjebrike, ku x dhe y janë disa numra realë, që përfaqësojnë, përkatësisht, pjesët reale dhe imagjinare të një numri kompleks të dhënë z, dhe është njësia imagjinare.

Udhëzimet

Nëse një modul përfaqësohet si një funksion i vazhdueshëm, atëherë vlera e argumentit të tij mund të jetë pozitive ose negative: |x| = x, x ≥ 0; |x| = - x, x

z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2);
z1 - z2 = (x1 - x2) + i(y1 - y2);

Është e lehtë të shihet se mbledhja dhe zbritja e numrave kompleks ndjek të njëjtin rregull si mbledhja dhe .

Prodhimi i dy numrave kompleks është i barabartë me:

z1*z2 = (x1 + iy1)*(x2 + iy2) = x1*x2 + i*y1*x2 + i*x1*y2 + (i^2)*y1*y2.

Meqenëse i^2 = -1, rezultati përfundimtar është:

(x1*x2 - y1*y2) + i(x1*y2 + x2*y1).

Veprimet e fuqizimit dhe nxjerrjes së rrënjës për numrat kompleks përcaktohen në të njëjtën mënyrë si për numrat realë. Megjithatë, në rajonin kompleks, për çdo numër, ekzistojnë saktësisht n numra b të tillë që b^n = a, domethënë n rrënjë të shkallës së n-të.

Në veçanti, kjo do të thotë se çdo ekuacion algjebrik i shkallës n me një ndryshore ka saktësisht n rrënjë komplekse, disa prej të cilave mund të jenë .

Video mbi temën

Burimet:

• Leksioni "Numrat kompleks" në 2019

Një rrënjë është një ikonë që tregon operacionin matematikor të gjetjes së një numri, ngritja e të cilit në fuqinë e treguar përpara shenjës së rrënjës duhet të japë numrin e treguar pikërisht nën këtë shenjë. Shpesh, për të zgjidhur problemet që përfshijnë rrënjët, nuk mjafton vetëm të llogaritet vlera. Është e nevojshme të kryhen operacione shtesë, njëra prej të cilave është futja e një numri, ndryshoreje ose shprehjeje nën shenjën e rrënjës.

Udhëzimet

Përcaktoni eksponentin e rrënjës. Një eksponent është një numër i plotë që tregon fuqinë në të cilën duhet të rritet rezultati i llogaritjes së rrënjës për të marrë shprehjen radikale (numri nga i cili është nxjerrë kjo rrënjë). Eksponenti i rrënjës si një mbishkrim përpara ikonës së rrënjës. Nëse kjo nuk është e specifikuar, është rrënja katrore, fuqia e së cilës është dy. Për shembull, eksponenti i rrënjës √3 është dy, eksponenti i 3√3 është tre, eksponenti i rrënjës ⁴√3 është katër, etj.

Ngrini numrin që dëshironi të futni nën shenjën e rrënjës në një fuqi të barabartë me eksponentin e kësaj rrënjë, të përcaktuar nga ju në hapin e mëparshëm. Për shembull, nëse duhet të futni numrin 5 nën shenjën e rrënjës ⁴√3, atëherë indeksi i shkallës së rrënjës është katër dhe ju duhet rezultati i ngritjes së 5 në fuqinë e katërt 5⁴=625. Ju mund ta bëni këtë në çdo mënyrë të përshtatshme për ju - në kokën tuaj, duke përdorur një kalkulator ose shërbimet përkatëse të pritura.

Vendosni vlerën e marrë në hapin e mëparshëm nën shenjën e rrënjës si një shumëzues i shprehjes radikale. Për shembullin e përdorur në hapin e mëparshëm me shtimin e ⁴√3 5 (5*4√3) nën rrënjë, ky veprim mund të bëhet kështu: 5*4√3=⁴√(625*3).

Thjeshtoni shprehjen radikale që rezulton nëse është e mundur. Për shembull nga hapat e mëparshëm, ju vetëm duhet të shumëzoni numrat nën shenjën e rrënjës: 5*⁴√3=⁴√(625*3)=4√1875. Kjo përfundon operacionin e futjes së numrit nën rrënjë.

Nëse problemi përmban variabla të panjohur, atëherë hapat e përshkruar më sipër mund të kryhen në formë të përgjithshme. Për shembull, nëse duhet të futni një ndryshore të panjohur x nën rrënjën e katërt, dhe shprehja radikale është 5/x³, atëherë e gjithë sekuenca e veprimeve mund të shkruhet si më poshtë: x*4√(5/x³)=4 √(x4*5/x³)= ⁴√(x*5).

Burimet:

• si quhet shenja e rrënjës?

Numrat realë nuk janë të mjaftueshëm për të zgjidhur ndonjë ekuacion kuadratik. Ekuacioni më i thjeshtë kuadratik që nuk ka rrënjë midis numrave realë është x^2+1=0. Gjatë zgjidhjes së tij, rezulton se x=±sqrt(-1), dhe sipas ligjeve të algjebrës elementare, nxjerrni rrënjën e një shkalle çift nga negative. numratështë e ndaluar.

Moduli i numrave është një koncept i ri në matematikë. Le të hedhim një vështrim më të afërt se çfarë është një modul numrash dhe si të punojmë me të?

Le të shohim një shembull:

U larguam nga shtëpia për të shkuar në dyqan. Kemi ecur 300 m, matematikisht kjo shprehje mund të shkruhet si +300, kuptimi i numrit 300 nga shenja "+" nuk do të ndryshojë. Largësia ose moduli i një numri në matematikë është e njëjta gjë dhe mund të shkruhet kështu: |300|=300. Shenja e modulit të një numri tregohet me dy vija vertikale.

Dhe më pas ecëm 200 metra në drejtim të kundërt. Matematikisht, ne mund ta shkruajmë rrugën e kthimit si -200. Por ne nuk themi “dolëm minus dyqind metra”, megjithëse u kthyem, sepse distanca si sasi mbetet pozitive. Për këtë qëllim, koncepti i një moduli u prezantua në matematikë. Distanca ose moduli i numrit -200 mund të shkruhet kështu: |-200|=200.

Karakteristikat e modulit.

Përkufizimi:
Moduli i një numri ose vlera absolute e një numriështë distanca nga pika e fillimit deri në pikën e destinacionit.

Moduli i një numri të plotë jo i barabartë me zero është gjithmonë një numër pozitiv.

Moduli është shkruar kështu:

1. Moduli i një numri pozitiv është i barabartë me vetë numrin.
| a|=a

2. Moduli i një numri negativ është i barabartë me numrin e kundërt.
|- a|=a

3. Moduli i zeros është i barabartë me zero.
|0|=0

4. Modulet e numrave të kundërt janë të barabarta.
| a|=|-a|=a

Pyetje të ngjashme:
Cili është moduli i një numri?
Përgjigje: Moduli është distanca nga pika e fillimit deri në pikën e destinacionit.

Nëse vendosni një shenjë "+" përpara një numri të plotë, çfarë ndodh?
Përgjigje: numri nuk do të ndryshojë kuptimin e tij, për shembull, 4=+4.

Nëse vendosni një shenjë "-" përpara një numri të plotë, çfarë ndodh?
Përgjigje: numri do të ndryshojë në, për shembull, 4 dhe -4.

Cilët numra kanë të njëjtin modul?
Përgjigje: numrat pozitivë dhe zero do të kenë të njëjtin modul. Për shembull, 15=|15|.

Cilët numra kanë modulin e numrit të kundërt?
Përgjigje: për numrat negativ, moduli do të jetë i barabartë me numrin e kundërt. Për shembull, |-6|=6.

Shembulli #1:
Gjeni modulin e numrave: a) 0 b) 5 c) -7?

Zgjidhja:
a) |0|=0
b) |5|=5
c)|-7|=7

Shembulli #2:
A ka dy numra të ndryshëm, modulet e të cilëve janë të barabartë?

Zgjidhja:
|10|=10
|-10|=10

Modulet e numrave të kundërt janë të barabartë.

Shembulli #3:
Cilët dy numra të kundërt kanë modulin 9?

Zgjidhja:
|9|=9
|-9|=9

Përgjigje: 9 dhe -9.

Shembulli #4:
Ndiqni këto hapa: a) |+5|+|-3| b) |-3|+|-8| c)|+4|-|+1|

Zgjidhja:
a) |+5|+|-3|=5+3=8
b) |-3|+|-8|=3+8=11
c)|+4|-|+1|=4-1=3

Shembulli #5:
Gjeni: a) modulin e numrit 2 b) modulin e numrit 6 c) modulin e numrit 8 d) modulin e numrit 1 e) modulin e numrit 0.
Zgjidhja:

a) moduli i numrit 2 shënohet si |2| ose |+2| është e njëjta gjë.
|2|=2

b) moduli i numrit 6 shënohet si |6| ose |+6| është e njëjta gjë.
|6|=6

c) moduli i numrit 8 shënohet si |8| ose |+8| është e njëjta gjë.
|8|=8

d) moduli i numrit 1 shënohet si |1| ose |+1| është e njëjta gjë.
|1|=1

e) moduli i numrit 0 shënohet si |0|, |+0| ose |-0| është e njëjta gjë.
|0|=0

Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Lëkundjet harmonike Formula e fizikës së frekuencës së lëkundjeve