Si janë vendosur numrat në vijën koordinative. Vija e koordinatave (vija numerike), rreze koordinative
Le të themi se Akili vrapon dhjetë herë më shpejt se breshka dhe është një mijë hapa pas saj. Gjatë kohës që i duhet Akilit për të vrapuar këtë distancë, breshka do të zvarritet njëqind hapa në të njëjtin drejtim. Kur Akili vrapon njëqind hapa, breshka zvarritet edhe dhjetë hapa të tjerë, e kështu me radhë. Procesi do të vazhdojë deri në pafundësi, Akili nuk do ta arrijë kurrë breshkën.
Ky arsyetim u bë një tronditje logjike për të gjithë brezat pasardhës. Aristoteli, Diogjeni, Kanti, Hegeli, Hilberti... Të gjithë ata e konsideronin aporinë e Zenonit në një mënyrë apo në një tjetër. Goditja ishte aq e fortë sa " ... diskutimet vazhdojnë edhe sot e kësaj dite komuniteti shkencor nuk ka arritur ende në një mendim të përbashkët mbi thelbin e paradokseve ... analiza matematikore, teoria e grupeve, qasjet e reja fizike dhe filozofike u përfshinë në studimin e çështjes; ; asnjëri prej tyre nuk u bë një zgjidhje e pranuar përgjithësisht e problemit..."[Wikipedia, "Aporia e Zenos". Të gjithë e kuptojnë se po mashtrohen, por askush nuk e kupton se në çfarë konsiston mashtrimi.
Nga pikëpamja matematikore, Zeno në aporinë e tij tregoi qartë kalimin nga sasia në . Ky kalim nënkupton aplikim në vend të atyre të përhershëm. Me sa kuptoj unë, aparati matematikor për përdorimin e njësive të ndryshueshme të matjes ose nuk është zhvilluar ende, ose nuk është aplikuar në aporinë e Zenoit. Zbatimi i logjikës sonë të zakonshme na çon në një kurth. Ne, për shkak të inercisë së të menduarit, aplikojmë njësi konstante të kohës në vlerën reciproke. Nga pikëpamja fizike, kjo duket sikur koha po ngadalësohet derisa të ndalojë plotësisht në momentin kur Akili kap breshkën. Nëse koha ndalon, Akili nuk mund ta kalojë më breshkën.
Nëse e kthejmë logjikën tonë të zakonshme, gjithçka bie në vend. Akili vrapon me një shpejtësi konstante. Çdo segment pasues i rrugës së tij është dhjetë herë më i shkurtër se ai i mëparshmi. Prandaj, koha e shpenzuar për tejkalimin e saj është dhjetë herë më pak se ajo e mëparshme. Nëse zbatojmë konceptin e "pafundësisë" në këtë situatë, atëherë do të ishte e saktë të thuhet "Akili do ta arrijë breshkën pafundësisht shpejt".
Si ta shmangni këtë kurth logjik? Qëndroni në njësi konstante kohore dhe mos kaloni në njësi reciproke. Në gjuhën e Zenonit duket kështu:
Në kohën që i duhen Akilit për të bërë një mijë hapa, breshka do të zvarritet njëqind hapa në të njëjtin drejtim. Gjatë intervalit tjetër kohor të barabartë me të parin, Akili do të vrapojë një mijë hapa të tjerë, dhe breshka do të zvarritet njëqind hapa. Tani Akili është tetëqind hapa përpara breshkës.
Kjo qasje përshkruan në mënyrë adekuate realitetin pa asnjë paradoks logjik. Por kjo nuk është një zgjidhje e plotë për problemin. Deklarata e Ajnshtajnit për papërmbajtshmërinë e shpejtësisë së dritës është shumë e ngjashme me aporinë e Zenonit "Akili dhe Breshka". Ne ende duhet të studiojmë, rimendojmë dhe zgjidhim këtë problem. Dhe zgjidhja duhet kërkuar jo në numër pafundësisht të madh, por në njësi matëse.
Një tjetër aporia interesante e Zenos tregon për një shigjetë fluturuese:
Një shigjetë fluturuese është e palëvizshme, pasi në çdo moment të kohës është në prehje, dhe duke qenë se është në pushim në çdo moment të kohës, ajo është gjithmonë në pushim.
Në këtë apori, paradoksi logjik kapërcehet shumë thjesht - mjafton të sqarohet se në çdo moment të kohës një shigjetë fluturuese është në pushim në pika të ndryshme të hapësirës, që në fakt është lëvizje. Këtu duhet theksuar edhe një pikë tjetër. Nga një fotografi e një makine në rrugë është e pamundur të përcaktohet as fakti i lëvizjes së saj, as distanca deri në të. Për të përcaktuar nëse një makinë po lëviz, ju nevojiten dy fotografi të bëra nga e njëjta pikë në pika të ndryshme kohore, por nuk mund të përcaktoni distancën prej tyre. Për të përcaktuar distancën nga një makinë, ju nevojiten dy fotografi të marra nga pika të ndryshme të hapësirës në një moment në kohë, por prej tyre nuk mund të përcaktoni faktin e lëvizjes (natyrisht, ju duhen ende të dhëna shtesë për llogaritjet, trigonometria do t'ju ndihmojë ). Ajo që dua të tërheq vëmendjen e veçantë është se dy pika në kohë dhe dy pika në hapësirë janë gjëra të ndryshme që nuk duhen ngatërruar, sepse ofrojnë mundësi të ndryshme për kërkime.
E mërkurë, 4 korrik 2018
Dallimet midis setit dhe multisetit përshkruhen shumë mirë në Wikipedia. Le të shohim.
Siç mund ta shihni, "nuk mund të ketë dy elementë identikë në një grup", por nëse ka elementë identikë në një grup, një grup i tillë quhet "shumë grup". Qeniet e arsyeshme nuk do ta kuptojnë kurrë një logjikë të tillë absurde. Ky është niveli i papagajve që flasin dhe majmunëve të stërvitur, të cilët nuk kanë inteligjencë nga fjala "plotësisht". Matematikanët veprojnë si trajnerë të zakonshëm, duke na predikuar idetë e tyre absurde.
Njëherë e një kohë, inxhinierët që ndërtuan urën ishin në një varkë nën urë ndërsa testonin urën. Nëse ura u shemb, inxhinieri mediokër vdiq nën rrënojat e krijimit të tij. Nëse ura mund të përballonte ngarkesën, inxhinieri i talentuar ndërtoi ura të tjera.
Pavarësisht se sa matematikanët fshihen pas shprehjes "mendoni mua, unë jam në shtëpi", ose më mirë, "matematika studion koncepte abstrakte", ekziston një kordon kërthizor që i lidh ato në mënyrë të pandashme me realitetin. Ky kordon kërthizor është para. Le të zbatojmë teorinë e grupeve matematikore për vetë matematikanët.
Ne kemi studiuar shumë mirë matematikën dhe tani jemi ulur në arkë, duke dhënë rroga. Pra, një matematikan vjen tek ne për paratë e tij. I numërojmë të gjithë shumën dhe e shtrojmë në tryezën tonë në pirgje të ndryshme, në të cilat vendosim fatura të së njëjtës emërtim. Pastaj marrim një faturë nga çdo grumbull dhe i japim matematikanit "pagën e tij matematikore". Le t'i shpjegojmë matematikanit se ai do të marrë faturat e mbetura vetëm kur të provojë se një grup pa elementë identikë nuk është i barabartë me një grup me elementë identikë. Këtu fillon argëtimi.
Para së gjithash, logjika e deputetëve do të funksionojë: "Kjo mund të zbatohet për të tjerët, por jo për mua!" Më pas ata do të fillojnë të na sigurojnë se faturat e të njëjtit emërtim kanë numra të ndryshëm faturash, që do të thotë se ato nuk mund të konsiderohen të njëjtat elementë. Mirë, le t'i numërojmë pagat në monedha - nuk ka numra në monedha. Këtu matematikani do të fillojë të kujtojë furishëm fizikën: monedha të ndryshme kanë sasi të ndryshme papastërtie, struktura kristalore dhe renditja e atomeve është unike për secilën monedhë...
Dhe tani kam pyetjen më interesante: ku është vija përtej së cilës elementët e një grupi të shumëfishtë kthehen në elementë të një grupi dhe anasjelltas? Një linjë e tillë nuk ekziston - gjithçka vendoset nga shamanët, shkenca nuk është as afër të gënjejë këtu.
Shiko këtu. Ne zgjedhim stadiume futbolli me të njëjtën zonë. Zonat e fushave janë të njëjta - që do të thotë se ne kemi një shumë grup. Por po të shikojmë emrat e po këtyre stadiumeve, marrim shumë, sepse emrat janë të ndryshëm. Siç mund ta shihni, i njëjti grup elementësh është një grup dhe një grup shumëfish. Cila është e saktë? Dhe këtu matematikani-shaman-sharpist nxjerr nga mëngët një ace atuesh dhe fillon të na tregojë ose për një grup ose një multiset. Në çdo rast, ai do të na bindë se ka të drejtë.
Për të kuptuar se si shamanët modernë veprojnë me teorinë e grupeve, duke e lidhur atë me realitetin, mjafton t'i përgjigjemi një pyetjeje: si ndryshojnë elementët e një grupi nga elementët e një grupi tjetër? Unë do t'ju tregoj, pa asnjë "të konceptueshme si jo një tërësi e vetme" ose "jo e konceptueshme si një tërësi e vetme".
e diel, 18 mars 2018
Shuma e shifrave të një numri është një valle e shamanëve me një dajre, e cila nuk ka të bëjë fare me matematikën. Po, në mësimet e matematikës ne jemi mësuar të gjejmë shumën e shifrave të një numri dhe ta përdorim atë, por kjo është arsyeja pse ata janë shamanë, për t'u mësuar pasardhësve të tyre aftësitë dhe mençurinë e tyre, përndryshe shamanët thjesht do të vdesin.
Keni nevojë për prova? Hapni Wikipedia dhe provoni të gjeni faqen "Shuma e shifrave të një numri". Ajo nuk ekziston. Nuk ka asnjë formulë në matematikë që mund të përdoret për të gjetur shumën e shifrave të çdo numri. Në fund të fundit, numrat janë simbole grafike me të cilat ne shkruajmë numra, dhe në gjuhën e matematikës detyra tingëllon kështu: "Gjeni shumën e simboleve grafike që përfaqësojnë çdo numër". Matematikanët nuk mund ta zgjidhin këtë problem, por shamanët mund ta bëjnë atë lehtësisht.
Le të kuptojmë se çfarë dhe si bëjmë për të gjetur shumën e shifrave të një numri të caktuar. Dhe kështu, le të kemi numrin 12345. Çfarë duhet bërë për të gjetur shumën e shifrave të këtij numri? Le të shqyrtojmë të gjitha hapat në rend.
1. Shkruani numrin në një copë letër. Çfarë kemi bërë? Ne e kemi kthyer numrin në një simbol grafik numerik. Ky nuk është një operacion matematikor.
2. Ne e premë një fotografi që rezulton në disa fotografi që përmbajnë numra individualë. Prerja e një fotografie nuk është një operacion matematikor.
3. Shndërroni simbolet individuale grafike në numra. Ky nuk është një operacion matematikor.
4. Shtoni numrat që rezultojnë. Tani kjo është matematika.
Shuma e shifrave të numrit 12345 është 15. Këto janë "kurset e prerjes dhe qepjes" nga shamanët që përdorin matematikanët. Por kjo nuk është e gjitha.
Nga pikëpamja matematikore, nuk ka rëndësi se në cilin sistem numrash shkruajmë një numër. Pra, në sisteme të ndryshme numrash shuma e shifrave të të njëjtit numër do të jetë e ndryshme. Në matematikë, sistemi i numrave tregohet si nënshkrim në të djathtë të numrit. Me numrin e madh 12345, nuk dua të mashtroj kokën, le të marrim parasysh numrin 26 nga artikulli rreth. Le ta shkruajmë këtë numër në sistemet e numrave binar, oktal, dhjetor dhe heksadecimal. Ne nuk do të shikojmë çdo hap nën një mikroskop, ne e kemi bërë tashmë këtë. Le të shohim rezultatin.
Siç mund ta shihni, në sisteme të ndryshme numrash shuma e shifrave të të njëjtit numër është e ndryshme. Ky rezultat nuk ka të bëjë fare me matematikën. Është njësoj sikur të përcaktoni sipërfaqen e një drejtkëndëshi në metra dhe centimetra, do të merrnit rezultate krejtësisht të ndryshme.
Zero duket e njëjtë në të gjitha sistemet e numrave dhe nuk ka shumë shifrash. Ky është një argument tjetër në favor të faktit se. Pyetje për matematikanët: si përcaktohet diçka që nuk është numër në matematikë? Çfarë, për matematikanët nuk ekziston asgjë përveç numrave? Unë mund ta lejoj këtë për shamanët, por jo për shkencëtarët. Realiteti nuk ka të bëjë vetëm me numrat.
Rezultati i marrë duhet të konsiderohet si provë se sistemet e numrave janë njësi matëse për numrat. Në fund të fundit, ne nuk mund të krahasojmë numrat me njësi të ndryshme matëse. Nëse të njëjtat veprime me njësi të ndryshme matëse të së njëjtës sasi çojnë në rezultate të ndryshme pas krahasimit të tyre, atëherë kjo nuk ka të bëjë fare me matematikën.
Çfarë është matematika e vërtetë? Kjo ndodh kur rezultati i një operacioni matematikor nuk varet nga madhësia e numrit, njësia matëse e përdorur dhe nga kush e kryen këtë veprim.
Oh! A nuk është ky banja e grave?
- Grua e re! Ky është një laborator për studimin e shenjtërisë indefilike të shpirtrave gjatë ngjitjes së tyre në qiell! Halo në krye dhe shigjeta lart. Çfarë tualeti tjetër?
Femër... Halo sipër dhe shigjeta poshtë janë mashkull.
Nëse një vepër e tillë e artit të dizajnit shkëlqen para syve tuaj disa herë në ditë,
Atëherë nuk është për t'u habitur që papritmas gjeni një ikonë të çuditshme në makinën tuaj:
Personalisht, unë përpiqem të shoh minus katër gradë në një person që po derdhet (një foto) (një përbërje prej disa fotografish: shenja minus, numri katër, përcaktimi i shkallës). Dhe nuk mendoj se kjo vajzë është një budallaqe që nuk di fizikë. Ajo thjesht ka një stereotip të fortë të perceptimit të imazheve grafike. Dhe matematikanët na mësojnë këtë gjatë gjithë kohës. Ja një shembull.
1A nuk është "minus katër gradë" ose "një a". Ky është "njeriu i kulluar" ose numri "njëzet e gjashtë" në shënimin heksadecimal. Ata njerëz që vazhdimisht punojnë në këtë sistem numrash e perceptojnë automatikisht një numër dhe një shkronjë si një simbol grafik.
Linja e koordinatave.
Le të marrim një vijë të drejtë të zakonshme. Le ta quajmë drejtëz x (Fig. 1). Le të zgjedhim një pikë referimi O në këtë vijë të drejtë, dhe gjithashtu të tregojmë me një shigjetë drejtimin pozitiv të kësaj vije të drejtë (Fig. 2). Kështu, do të kemi numra pozitivë në të djathtë të pikës O, dhe numra negativë në të majtë. Le të zgjedhim një shkallë, domethënë madhësinë e një segmenti të drejtë, të barabartë me një. Ne e bëmë atë vijë koordinative(Fig. 3). Çdo numër korrespondon me një pikë specifike të vetme në këtë linjë. Për më tepër, ky numër quhet koordinata e kësaj pike. Kjo është arsyeja pse linja quhet vijë koordinative. Dhe pika e referencës O quhet origjina.
Për shembull, në Fig. 4 pika B ndodhet në një distancë prej 2 në të djathtë të origjinës. Pika D ndodhet në një distancë prej 4 në të majtë të origjinës. Prandaj, pika B ka koordinatën 2 dhe pika D ka koordinatën -4. Vetë pika O, duke qenë pikë referimi, ka koordinatë 0 (zero). Kjo zakonisht shkruhet kështu: O(0), B(2), D(-4). Dhe për të mos thënë vazhdimisht "pika D me koordinatë të tillë dhe të tillë", ata thonë më thjesht: "pika 0, pika 2, pika -4". Dhe në këtë rast mjafton të caktoni vetë pikën nga koordinata e saj (Fig. 5).
Duke ditur koordinatat e dy pikave në një vijë koordinative, gjithmonë mund të llogarisim distancën midis tyre. Le të themi se kemi dy pika A dhe B me koordinatat a dhe b, përkatësisht. Atëherë distanca ndërmjet tyre do të jetë |a - b|. Shënimi |a - b| lexohet si "a minus b modul" ose "moduli i ndryshimit midis numrave a dhe b".
Çfarë është një modul?
Nga ana algjebrike, moduli i një numri x është një numër jo negativ. Shënuar me |x|. Për më tepër, nëse x > 0, atëherë |x| = x. Nëse x< 0, то |x| = -x. Если x = 0, то |x| = 0.
Gjeometrikisht, moduli i një numri x është distanca midis një pike dhe origjinës. Dhe nëse ka dy pika me koordinata x1 dhe x2, atëherë |x1 - x2| është distanca ndërmjet këtyre pikave.
Moduli quhet gjithashtu vlerë absolute.
Çfarë mund të themi tjetër kur bëhet fjalë për vijën koordinative? Sigurisht, për intervalet numerike.
Llojet e intervaleve numerike.
Le të themi se kemi dy numra a dhe b. Për më tepër, b > a (b është më i madh se a). Në një vijë koordinative, kjo do të thotë se pika b është në të djathtë të pikës a. Le ta zëvendësojmë b në pabarazinë tonë me ndryshoren x. Kjo është x > a. Atëherë x janë të gjithë numrat që janë më të mëdhenj se a. Në vijën koordinative, këto janë, përkatësisht, të gjitha pikat në të djathtë të pikës a. Kjo pjesë e vijës është e hijezuar (Fig. 6). Një grup i tillë pikash quhet tra i hapur, dhe ky interval numerik shënohet me (a; +∞), ku shenja +∞ lexohet si "plus pafundësi". Ju lutemi vini re se vetë pika a nuk përfshihet në këtë interval dhe tregohet nga një rreth i lehtë.
Le të shqyrtojmë edhe rastin kur x ≥ a. Atëherë x janë të gjithë numrat që janë më të mëdhenj ose të barabartë me a. Në vijën e koordinatave, këto janë të gjitha pika në të djathtë të a, si dhe pika a në vetvete (në figurën 7, pika a është treguar tashmë me një rreth të errët). Një grup i tillë pikash quhet tra i mbyllur(ose thjesht një rreze), dhe ky interval numerik është caktuar .
Vija e koordinatave quhet gjithashtu boshti koordinativ. Ose vetëm boshti x.
Është e pamundur të pretendosh se dini matematikë nëse nuk dini të ndërtoni grafikë, të përshkruani pabarazitë në një vijë koordinative dhe të punoni me boshtet e koordinatave. Komponenti vizual në shkencë është jetik, sepse pa shembuj vizualë, formulat dhe llogaritjet ndonjëherë mund të bëhen shumë konfuze. Në këtë artikull do të shikojmë se si të punojmë me boshtet e koordinatave dhe do të mësojmë se si të ndërtojmë grafikë të thjeshtë funksionesh.
Aplikimi
Linja e koordinatave është baza e llojeve më të thjeshta të grafikëve që një nxënës ndesh në rrugën e tij arsimore. Përdoret pothuajse në çdo temë matematikore: gjatë llogaritjes së shpejtësisë dhe kohës, projektimit të madhësive të objekteve dhe llogaritjes së sipërfaqes së tyre, në trigonometri kur punohet me sinus dhe kosinus.
Vlera kryesore e një linje të tillë të drejtpërdrejtë është qartësia. Meqenëse matematika është një shkencë që kërkon një nivel të lartë të të menduarit abstrakt, grafikët ndihmojnë në përfaqësimin e një objekti në botën reale. Si po sillet ai? Në cilën pikë të hapësirës do të jeni në pak sekonda, minuta, orë? Çfarë mund të thuhet për të në krahasim me objektet e tjera? Çfarë shpejtësie ka ai në një moment të zgjedhur rastësisht në kohë? Si të karakterizohet lëvizja e tij?
Dhe ne po flasim për shpejtësinë për një arsye - kjo është ajo që shpesh shfaqin grafikët e funksioneve. Ata gjithashtu mund të shfaqin ndryshime në temperaturën ose presionin brenda një objekti, madhësinë e tij dhe orientimin në lidhje me horizontin. Kështu, ndërtimi i një linje koordinative shpesh kërkohet në fizikë.
Grafiku njëdimensional
Ekziston një koncept i shumëdimensionalitetit. Mjafton vetëm një numër për të përcaktuar vendndodhjen e një pike. Ky është pikërisht rasti me përdorimin e një linje koordinative. Nëse hapësira është dydimensionale, atëherë kërkohen dy numra. Grafikët e këtij lloji përdoren shumë më shpesh, dhe ne patjetër do t'i shikojmë ato pak më vonë në artikull.
Çfarë mund të shihni duke përdorur pikat në bosht nëse ka vetëm një? Ju mund të shihni madhësinë e objektit, pozicionin e tij në hapësirë në lidhje me një "zero", domethënë pikën e zgjedhur si origjinë.
Nuk do të jetë e mundur të shihen ndryshime në parametra me kalimin e kohës, pasi të gjitha leximet do të shfaqen për një moment specifik. Sidoqoftë, duhet të filloni diku! Pra, le të fillojmë.
Si të ndërtoni një bosht koordinativ
Së pari ju duhet të vizatoni një vijë horizontale - ky do të jetë boshti ynë. Në anën e djathtë do ta "mprehim" në mënyrë që të duket si një shigjetë. Në këtë mënyrë ne tregojmë drejtimin në të cilin do të rriten numrat. Shigjeta zakonisht nuk vendoset në drejtimin në rënie. Tradicionalisht boshti drejtohet djathtas, kështu që ne do të ndjekim vetëm këtë rregull.
Le të vendosim një shenjë zero, e cila do të shfaqë origjinën e koordinatave. Ky është pikërisht vendi nga i cili bëhet numërimi mbrapsht, qoftë madhësia, pesha, shpejtësia apo ndonjë gjë tjetër. Përveç zeros, duhet të tregojmë të ashtuquajturën vlerë të ndarjes, d.m.th., të prezantojmë një njësi standarde, në përputhje me të cilën do të vizatojmë sasi të caktuara në bosht. Kjo duhet bërë në mënyrë që të jetë në gjendje të gjejë gjatësinë e një segmenti në një vijë koordinative.
Ne do të vendosim pika ose "nocat" në vijë në distanca të barabarta nga njëra-tjetra, dhe nën to do të shkruajmë përkatësisht 1,2,3, e kështu me radhë. Dhe tani, gjithçka është gati. Por ju ende duhet të mësoni se si të punoni me orarin që rezulton.
Llojet e pikave në një vijë koordinative
Në shikim të parë në vizatimet e propozuara në tekstet shkollore, bëhet e qartë: pikat në bosht mund të hije ose jo. A mendoni se ky është një aksident? Aspak! Një pikë "e ngurtë" përdoret për një pabarazi jo të rreptë - një që lexohet "më e madhe ose e barabartë me". Nëse duhet të kufizojmë rreptësisht intervalin (për shembull, "x" mund të marrë vlera nga zero në një, por nuk e përfshin atë), ne do të përdorim një pikë "të zbrazët", që është, në fakt, një rreth i vogël. në bosht. Duhet të theksohet se studentët nuk i pëlqejnë vërtet pabarazitë strikte, sepse ato janë më të vështira për t'u punuar.
Në varësi të pikave që përdorni në tabelë, do të emërtohen intervalet e ndërtuara. Nëse pabarazia në të dyja anët nuk është e rreptë, atëherë marrim një segment. Nëse nga njëra anë rezulton të jetë "e hapur", atëherë do të quhet një gjysmë interval. Së fundi, nëse një pjesë e një vije kufizohet nga të dyja anët me pika të zbrazëta, ajo do të quhet një interval.
Aeroplan
Kur ndërtojmë dy vija të drejta, tashmë mund të marrim parasysh grafikët e funksioneve. Le të themi se vija horizontale do të jetë boshti kohor, dhe vija vertikale do të jetë distanca. Dhe tani ne jemi në gjendje të përcaktojmë se sa larg do të mbulojë objekti në një minutë ose një orë udhëtim. Kështu, puna me një aeroplan bën të mundur monitorimin e ndryshimeve në gjendjen e një objekti. Kjo është shumë më interesante sesa të studiosh një gjendje statike.
Grafiku më i thjeshtë në një rrafsh të tillë është një vijë e drejtë që pasqyron funksionin Y(X) = aX + b. A përkulet linja? Kjo do të thotë se objekti ndryshon karakteristikat e tij gjatë procesit të kërkimit.
Imagjinoni se jeni duke qëndruar në çatinë e një ndërtese dhe mbani një gur në dorën tuaj të shtrirë. Kur ta lëshoni, ai do të fluturojë poshtë, duke filluar lëvizjen e tij nga shpejtësia zero. Por në një sekondë do të përshkojë 36 kilometra në orë. Guri do të vazhdojë të përshpejtohet dhe për të grafikuar lëvizjen e tij, do t'ju duhet të matni shpejtësinë e tij në disa pika në kohë, duke vendosur pika në bosht në vendet e duhura.
Si parazgjedhje, shenjat në vijën e koordinatave horizontale emërtohen përkatësisht X1, X2, X3, dhe në vijën vertikale të koordinatave - Y1, Y2, Y3, përkatësisht. Duke i projektuar ato në një plan dhe duke gjetur kryqëzime, gjejmë fragmente të vizatimit që rezulton. Duke i lidhur me një rresht, marrim një grafik të funksionit. Në rastin e një guri që bie, funksioni kuadratik do të jetë: Y(X) = aX * X + bX + c.
Shkalla
Sigurisht, nuk është e nevojshme të vendosni vlera të plota pranë ndarjeve në linjë. Nëse po konsideroni lëvizjen e një kërmilli që zvarritet me një shpejtësi prej 0,03 metrash në minutë, vendosni vlerat në vijën e koordinatave në fraksione. Në këtë rast, vendosni vlerën e ndarjes në 0,01 metra.
Është veçanërisht i përshtatshëm për të bërë vizatime të tilla në një fletore katrore - këtu mund të shihni menjëherë nëse ka hapësirë të mjaftueshme në fletë për orarin tuaj dhe nëse nuk do të shkoni përtej kufijve. Nuk është e vështirë të llogarisni forcën tuaj, sepse gjerësia e qelizës në një fletore të tillë është 0,5 centimetra. Ishte e nevojshme të zvogëlohej vizatimi. Ndryshimi i shkallës së grafikut nuk do të bëjë që ai të humbasë apo të ndryshojë vetitë e tij.
Koordinatat e një pike dhe një segmenti
Kur jepet një problem matematikor në një mësim, ai mund të përmbajë parametra të figurave të ndryshme gjeometrike, si në formën e gjatësisë së anëve, perimetrit, sipërfaqes dhe në formën e koordinatave. Në këtë rast, mund t'ju duhet të ndërtoni figurën dhe të merrni disa të dhëna që lidhen me të. Shtrohet pyetja: si të gjejmë informacionin e kërkuar në vijën e koordinatave? Dhe si të ndërtoni një figurë?
Për shembull, ne po flasim për një pikë. Pastaj deklarata e problemit do të përmbajë një shkronjë të madhe dhe do të ketë disa numra në kllapa, më së shpeshti dy (kjo do të thotë se do të numërojmë në hapësirën dy-dimensionale). Nëse ka tre numra në kllapa, të shkruar të ndarë me pikëpresje ose presje, atëherë kjo është një hapësirë tredimensionale. Çdo vlerë është një koordinatë në boshtin përkatës: së pari përgjatë horizontales (X), pastaj përgjatë vertikale (Y).
A ju kujtohet se si të ndërtoni një segment? Ju e keni marrë këtë në gjeometri. Nëse ka dy pika, atëherë midis tyre mund të tërhiqet një vijë e drejtë. Janë koordinatat e tyre që tregohen në kllapa nëse një segment shfaqet në problem. Për shembull: A(15, 13) - B(1, 4). Për të ndërtuar një vijë të tillë të drejtë, duhet të gjeni dhe shënoni pika në planin koordinativ dhe më pas t'i lidhni ato. Kjo është ajo!
Dhe çdo shumëkëndësh, siç e dini, mund të vizatohet duke përdorur segmente. Problemi është zgjidhur.
Llogaritjet
Le të themi se ekziston një objekt, pozicioni i të cilit përgjatë boshtit X karakterizohet nga dy numra: fillon në një pikë me koordinatë (-3) dhe përfundon në (+2). Nëse duam të zbulojmë gjatësinë e këtij objekti, duhet të zbresim numrin më të vogël nga numri më i madh. Vini re se një numër negativ thith shenjën e zbritjes sepse "minus herë minus bën plus". Pra, shtojmë (2+3) dhe marrim 5. Ky është rezultati i kërkuar.
Një shembull tjetër: na jepet pika e fundit dhe gjatësia e objektit, por jo pika e fillimit (dhe duhet ta gjejmë atë). Le të jetë pozicioni i pikës së njohur (6), dhe madhësia e objektit që studiohet - (4). Duke zbritur gjatësinë nga koordinata përfundimtare, marrim përgjigjen. Gjithsej: (6 - 4) = 2.
Numrat negativë
Në praktikë, shpesh është e nevojshme të punohet me vlera negative. Në këtë rast, ne do të lëvizim përgjatë boshtit të koordinatave në të majtë. Për shembull, një objekt 3 centimetra i lartë noton në ujë. Një e treta e saj është e zhytur në lëng, dy të tretat janë në ajër. Pastaj, duke zgjedhur sipërfaqen e ujit si bosht, ne përdorim llogaritje të thjeshta aritmetike për të marrë dy numra: pika e sipërme e objektit ka një koordinatë prej (+2), dhe pjesa e poshtme - (-1) centimetër.
Është e lehtë të shihet se në rastin e një avioni kemi katër të katërtat e një vije koordinative. Secila prej tyre ka numrin e vet. Në pjesën e parë (sipër djathtas) do të ketë pika që kanë dy koordinata pozitive, në të dytën - lart majtas - vlerat përgjatë boshtit "x" do të jenë negative, dhe në boshtin "y" - pozitive. E treta dhe e katërta numërohen më tej në drejtim të kundërt të akrepave të orës.
Pronë e rëndësishme
Ju e dini se një vijë e drejtë mund të përfaqësohet si një numër i pafund pikësh. Mund të shikojmë me aq kujdes sa të duam çdo numër vlerash në secilën anë të boshtit, por nuk do të hasim dublikatë. Kjo duket naive dhe e kuptueshme, por kjo deklaratë buron nga një fakt i rëndësishëm: çdo numër korrespondon me një dhe vetëm një pikë në vijën koordinative.
konkluzioni
Mos harroni se çdo bosht, figura dhe, nëse është e mundur, grafikë duhet të ndërtohen duke përdorur një vizore. Njësitë e matjes nuk u shpikën rastësisht nga njeriu - nëse bëni një gabim kur vizatoni, rrezikoni të shihni një imazh që nuk është ai që duhet të ishte marrë.
Jini të kujdesshëm dhe të kujdesshëm kur ndërtoni grafikët dhe llogaritjet. Si çdo shkencë e studiuar në shkollë, matematika e do saktësinë. Bëni pak përpjekje dhe notat e mira nuk do të kërkojnë shumë kohë për të arritur.
Numrat negativë janë numra me shenjë minus (−), për shembull −1, −2, −3. Lexohet si: minus një, minus dy, minus tre.
Shembull aplikimi numra negativështë një termometër që tregon temperaturën e trupit, ajrit, tokës ose ujit. Në dimër, kur jashtë është shumë ftohtë, temperatura mund të jetë negative (ose, siç thonë njerëzit, "minus").
Për shembull, −10 gradë ftohtë:
Numrat e zakonshëm që kemi parë më herët, si 1, 2, 3, quhen pozitivë. Numrat pozitivë janë numra me shenjë plus (+).
Kur shkruajmë numra pozitivë, shenja + nuk shkruhet, prandaj shohim numrat 1, 2, 3 që janë të njohur për ne, por duhet të kemi parasysh se këta numra pozitivë duken kështu: +1, +2 , +3.
Përmbajtja e mësimitKjo është një vijë e drejtë në të cilën ndodhen të gjithë numrat: negativ dhe pozitiv. Duket kështu:
Numrat e paraqitur këtu janë nga -5 në 5. Në fakt, vija e koordinatave është e pafundme. Figura tregon vetëm një fragment të vogël të tij.
Numrat në vijën e koordinatave janë shënuar si pika. Në figurë, pika e trashë e zezë është origjina. Numërimi mbrapsht fillon nga zero. Numrat negativë janë shënuar në të majtë të origjinës, dhe numrat pozitivë në të djathtë.
Vija e koordinatave vazhdon pafundësisht në të dyja anët. Pafundësia në matematikë simbolizohet me simbolin ∞. Drejtimi negativ do të tregohet me simbolin −∞, dhe drejtimi pozitiv me simbolin +∞. Atëherë mund të themi se të gjithë numrat nga minus pafundësia në plus pafundësi janë të vendosura në vijën koordinative:
Çdo pikë në vijën koordinative ka emrin dhe koordinatën e vet. Emriështë ndonjë shkronjë latine. Koordinoniështë një numër që tregon pozicionin e një pike në këtë vijë. E thënë thjesht, një koordinatë është vetë numri që duam të shënojmë në vijën koordinative.
Për shembull, pika A(2) lexohet si "pika A me koordinatën 2" dhe do të shënohet në vijën e koordinatave si më poshtë:
Këtu Aështë emri i pikës, 2 është koordinata e pikës A.
Shembulli 2. Pika B(4) lexohet si "pika B me koordinatën 4"
Këtu Bështë emri i pikës, 4 është koordinata e pikës B.
Shembulli 3. Pika M(−3) lexohet si "pika M me koordinatë minus tre" dhe do të shënohet në vijën e koordinatave si më poshtë:
Këtu Mështë emri i pikës, −3 është koordinata e pikës M .
Pikat mund të përcaktohen me çdo shkronjë. Por përgjithësisht pranohet t'i tregojmë ato me shkronja të mëdha latine. Për më tepër, fillimi i raportit, i cili quhet ndryshe origjinën zakonisht shënohet me shkronjën latine të madhe O
Është e lehtë të vërehet se numrat negativ qëndrojnë në të majtë në lidhje me origjinën, dhe numrat pozitivë qëndrojnë në të djathtë.
Ka fraza të tilla si "Sa më larg majtas, aq më pak" Dhe "sa më në të djathtë, aq më shumë". Ju ndoshta tashmë e keni marrë me mend se për çfarë po flasim. Me çdo hap në të majtë, numri do të ulet në rënie. Dhe me çdo hap në të djathtë, numri do të rritet. Një shigjetë që tregon në të djathtë tregon një drejtim pozitiv referimi.
Krahasimi i numrave negativë dhe pozitivë
Rregulli 1. Çdo numër negativ është më i vogël se çdo numër pozitiv.
Për shembull, le të krahasojmë dy numra: −5 dhe 3. Minus pesë më pak se tre, pavarësisht se pesë bie në sy para së gjithash si një numër më i madh se tre.
Kjo për faktin se −5 është një numër negativ, dhe 3 është pozitiv. Në vijën e koordinatave mund të shihni se ku ndodhen numrat −5 dhe 3
Mund të shihet se -5 shtrihet në të majtë dhe 3 në të djathtë. Dhe ne e thamë atë "Sa më larg majtas, aq më pak" . Dhe rregulli thotë se çdo numër negativ është më i vogël se çdo numër pozitiv. Nga kjo rrjedh se
−5 < 3
"Minus pesë është më pak se tre"
Rregulli 2. Nga dy numra negativë, ai që ndodhet në të majtë në vijën e koordinatave është më i vogël.
Për shembull, le të krahasojmë numrat −4 dhe −1. Minus katër më pak, se minus një.
Kjo përsëri për faktin se në vijën koordinative −4 ndodhet në të majtë se −1
Mund të shihet se −4 shtrihet në të majtë dhe −1 në të djathtë. Dhe ne e thamë atë "Sa më larg majtas, aq më pak" . Dhe rregulli thotë se nga dy numra negativë, ai që ndodhet në të majtë në vijën koordinative është më i vogël. Nga kjo rrjedh se
Minus katër është më pak se minus një
Rregulli 3. Zero është më e madhe se çdo numër negativ.
Për shembull, le të krahasojmë 0 dhe −3. Zero më shumë se minus tre. Kjo për faktin se në vijën koordinative 0 ndodhet më shumë në të djathtë se −3
Mund të shihet se 0 shtrihet në të djathtë dhe −3 në të majtë. Dhe ne e thamë atë "sa më në të djathtë, aq më shumë" . Dhe rregulli thotë se zeroja është më e madhe se çdo numër negativ. Nga kjo rrjedh se
Zero është më e madhe se minus tre
Rregulli 4. Zero është më pak se çdo numër pozitiv.
Për shembull, le të krahasojmë 0 dhe 4. Zero më pak, se 4. Kjo është në parim e qartë dhe e vërtetë. Por ne do të përpiqemi ta shohim këtë me sytë tanë, përsëri në vijën e koordinatave:
Mund të shihet se në vijën e koordinatave 0 ndodhet në të majtë, dhe 4 në të djathtë. Dhe ne e thamë atë "Sa më larg majtas, aq më pak" . Dhe rregulli thotë se zero është më pak se çdo numër pozitiv. Nga kjo rrjedh se
Zero është më pak se katër
A ju pëlqeu mësimi?
Bashkohuni me grupin tonë të ri VKontakte dhe filloni të merrni njoftime për mësime të reja
Tema: “Koordinatat në vijë të drejtë”.
- Jepni një kuptim të plotë të numrave të rinj.
- Mësoni të lexoni dhe shkruani numrat pozitivë dhe negativë dhe përfaqësoni ato si pika në një vijë.
- Përcaktoni koordinatat e pikave, gjeni koordinatat e një pike, shënoni një pikë në një vijë koordinative me koordinatat e saj.
- Të zhvillojë aftësitë e të menduarit, vëmendjen, kulturën e të lexuarit, kulturën e të folurit matematikor dhe zhvillimin e veprimtarisë së nxënësve.
Pajisjet: linja e koordinatave demonstruese, termometri demonstrues, tabelat, veglat (vizore me ndarje), kartat.
Ecuria e mësimit:
2. Numërimi me gojë."Metodë e butë e uljes."
A i zgjidhi Dunno saktë shembujt?
| 0,2 + 0,4 = 0,6 0,3 + 0,03 = 0,06 0,7 – 0,2 = 0,5 |
3,1 – 0,8 = 2,3 6,4 x 10 = 0,64 |
Cila rreze quhet rreze koordinative?
A ka një fund rrezja koordinative? Fillimi?
Cilët numra u korrespondojnë pikave A, E, C, D në rreze koordinative?
Cilat pika në rreze koordinative i korrespondojnë numrave 2, 4, 5, 8?
2. Përgatitja për studimin e materialit të ri.
Problemi 1. Ketri ka dalë nga zgavra dhe po vrapon lart e poshtë trungut të pemës.
Çfarë duhet të dini për të përcaktuar pozicionin e një ketri në një pemë? A mjafton të dish vetëm distancën e ketrit nga zgavra?
Problemi 2. “Meteori” u largua nga fshati Gornopravdinsk dhe po lëviz me një shpejtësi prej 40 km/h.
Ku do të jetë Meteori pas 2 orësh?
A mjafton të dish vetëm distancën? ( Përgjigju: jo, duhet të dini edhe drejtimin).
3. Prezantimi i materialit të ri.
Punë praktike me klasën. (Puna e nxënësve në dërrasë të zezë dhe puna e klasës në fletore).
Vizatoni një vijë horizontale.
Shënoni pikën O mbi të (origjina).
Zgjidhni një segment të vetëm dhe zhvendoseni djathtas dhe majtas nga origjina një herë, dy, tre, etj. një herë.
Nën secilën pikë, shënoni numrin përkatës.
Pse është e papërshtatshme kjo shkallë? (I njëjti numër shfaqet nën dy pika të ndryshme).
Si të dilni nga kjo vështirësi?
Në matematikë, është zakon të shkruani numra që shkojnë në të majtë të origjinës me një shenjë minus "-".
Prezantimi i konceptit të numrave pozitivë dhe negativë.
Drejtimi në të djathtë nga origjina quhet pozitiv, dhe drejtimi në vijën e drejtë tregohet me një shigjetë. Numrat që ndodhen në të djathtë të pikës O quhen pozitive.
Në të majtë të pikës O ndodhet numra negativ, dhe drejtimi në të majtë të pikës O quhet negativ (drejtimi negativ nuk tregohet).
Numrat negativë shkruhen me një shenjë "-".
Ata lexojnë: “Minus një”, “Minus dy”, “Minus tre” etj.
Numri 0 - origjina nuk është as numër pozitiv dhe as negativ. Ndan numrat pozitivë nga negativë.
Linja e koordinatave.
Përkufizimi: quhet një vijë e drejtë me një pikë referimi, një segment njësi dhe një drejtim të zgjedhur në të vijë koordinative.
Detyrë: emërtoni një vijë midis këtyre rreshtave që është një vijë koordinative.
Koordinata e pikës.
Përkufizimi: një numër që tregon pozicionin e një pike në një drejtëzë quhet koordinata e kësaj pike.
Puna sipas tekstit shkollor. Përsëritni përcaktimin e vijës së koordinatave; koordinatat e pikave.
Prezantoni konceptin e një vije koordinative vertikale.
Punoni sipas tabelës.
Ata thonë: “Pika A ka koordinatën 2”; "Pika C ka koordinatë - 4."
Ata shkruajnë: A (2); V (3.5); C (-4); D(-2).
Ata lexojnë: “Pika A me koordinatë 2”; “Pika C me koordinatë – 4”, etj.
Lehtësim psikologjik:(Dëgjohet kolona zanore "Sound of the sea").
Në sfondin e "zhurmës së valëve", tingëllon një fragment nga vepra e M. Gorky "Kënga e Skifterit":
“... Deti i stërmadh, duke psherëtirë psherëtimë pranë bregut, e zuri gjumi dhe i palëvizshëm në largësi, i larë në shkëlqimin blu të hënës. E butë dhe e argjendtë, ajo shkrihet atje me qiellin blu, të butë dhe fle i qetë, duke reflektuar pëlhurën transparente të reve cirrus, të palëvizshëm dhe duke mos fshehur modelet e arta të yjeve. Duket se qielli po anon gjithnjë e më poshtë mbi det, duke dashur të kuptojë se për çfarë pëshpëritin dallgët e shqetësuara, duke rrëshqitur përgjumur drejt bregut...”
4. Konsolidimi i materialit të ri.
Momenti i lojës.(Tabela demonstruese me vijë koordinative).
Mësuesi/ja përforcon pikën. Nxënësit emërtojnë koordinatën e saj.
Mësuesi thërret numrin. Nxënësit forcojnë një pikë me një koordinatë të dhënë.
Punë praktike:(Në tabela ka karta me një vijë koordinative në të cilën janë shënuar pikat).
Shkruani koordinatat e pikave A, B, C, D, E, K, O, M.
Momenti i lojës:"Gjeni gabimin."
Pikat A, B, C, D janë shënuar në vijën e koordinatave.
Dunno shkroi koordinatat e pikave si kjo: A (2), B (- 3), C (- 2), D (- 4). A e ka shkruar saktë?
5. Përmbledhje e mësimit.
Nxënësit u përgjigjen pyetjeve të mësuesit:
Cila drejtëzë quhet vijë koordinative?
Cilët numra janë koordinatat e pikave në vijën koordinative në të djathtë të origjinës? Në të majtë të origjinës?
Cila është koordinata e origjinës?
6. Notimi.
7. Detyrë shtëpie: paragrafi 26 nr.902 – gojore nr.903 nr.904.
Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Lëkundjet harmonike Formula e fizikës së frekuencës së lëkundjeve