Shtëpi » 2 Sezoni i shpërndarjes dhe grumbullimit » Zgjidhja e numrave kompleks. Zgjidhja e problemave me numra kompleks

Zgjidhja e numrave kompleks. Zgjidhja e problemave me numra kompleks

Përdorimi i ekuacioneve është i përhapur në jetën tonë. Ato përdoren në shumë llogaritje, ndërtime strukturash dhe madje edhe sporte. Njeriu përdorte ekuacione në kohët e lashta, dhe që atëherë përdorimi i tyre vetëm është rritur. Për qartësi, le të zgjidhim problemin e mëposhtëm:

Llogaritni \[ (z_1\cdot z_2)^(10),\] nëse \

Para së gjithash, le t'i kushtojmë vëmendje faktit që një numër përfaqësohet në algjebrikë, tjetri - në formë trigonometrike. Duhet të thjeshtohet dhe të sillet pamje tjetër

\[ z_2 = \frac(1)(4) (\cos\frac(\pi)(6)+i\sin\frac(\pi)(6)).\]

Shprehja \ thotë se para së gjithash bëjmë shumëzim dhe ngritje në fuqinë e 10-të duke përdorur formulën Moivre. Kjo formulë është formuluar për formën trigonometrike të një numri kompleks.

Ne marrim:

\[\fillim(vmatrix) z_1 \end(vmatrix)=\sqrt ((-1)^2+(\sqrt 3)^2)=\sqrt 4=2\]

\[\varphi_1=\pi+\arctan\frac(\sqrt 3)(-1)=\pi\arctan\sqrt 3=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2\pi)( 3)\]

Duke ndjekur rregullat për shumëzimin e numrave kompleksë në formë trigonometrike, ne bëjmë si më poshtë:

Në rastin tonë:

\[(z_1+z_2)^(10)=(\frac(1)(2))^(10)\cdot(\cos (10\cdot\frac(5\pi)(6))+i\sin \cdot\frac(5\pi)(6))=\frac(1)(2^(10))\cdot\cos \frac(25\pi)(3)+i\sin\frac(25\ pi)(3).\]

Duke e bërë të saktë thyesën \[\frac(25)(3)=8\frac(1)(3)\], arrijmë në përfundimin se mund të "përdredhim" 4 kthesa \[(8\pi rad.): \]

\[ (z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi)(3 ))\]

Përgjigje: \[(z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi) (3))\] Ky ekuacion mund të zgjidhet në një mënyrë tjetër, e cila përfundon në sjelljen e numrit të 2-të në formë algjebrike dhe më pas shumëzimin në formë algjebrike

, konvertoni rezultatin në formë trigonometrike dhe zbatoni formulën e Moivre:

Ku mund të zgjidh një sistem ekuacionesh me numra kompleksë në internet?

Shprehje, ekuacione dhe sisteme ekuacionesh
Me numra komplekse

Sot në klasë do të praktikojmë veprimet tipike me numra kompleks, si dhe do të zotërojmë teknikën e zgjidhjes së shprehjeve, ekuacioneve dhe sistemeve të ekuacioneve që përmbajnë këta numra. Kjo punëtoriështë një vazhdim i mësimit, dhe për këtë arsye nëse nuk jeni të njohur me temën, atëherë ju lutemi ndiqni lidhjen e mësipërme. Epo, për lexuesit më të përgatitur ju sugjeroj të ngroheni menjëherë:

Shembulli 1

Thjeshtoni një shprehje , Nëse . Paraqisni rezultatin në formë trigonometrike dhe vizatoni atë plan kompleks.

Zgjidhje: Pra, ju duhet të zëvendësoni fraksionin "e tmerrshëm", të bëni thjeshtime dhe të konvertoni rezultatin numër kompleks V formë trigonometrike. Plus një vizatim.

Cila është mënyra më e mirë për të zyrtarizuar vendimin? Me "të sofistikuara" shprehje algjebrikeËshtë më mirë ta kuptoni hap pas hapi. Së pari, vëmendja shpërqendrohet më pak, dhe së dyti, nëse detyra nuk pranohet, do të jetë shumë më e lehtë të gjesh gabimin.

1) Së pari, le të thjeshtojmë numëruesin. Le të zëvendësojmë vlerën në të, hapim kllapat dhe rregullojmë modelin e flokëve:

...Po, një Kuazimodo e tillë erdhi nga numrat kompleks...

Më lejoni t'ju kujtoj se gjatë shndërrimeve përdoren gjëra krejtësisht të thjeshta - rregulli i shumëzimit të polinomeve dhe barazia që tashmë është bërë banale. Gjëja kryesore është të bëni kujdes dhe të mos ngatërroheni nga shenjat.

2) Tani vjen emëruesi. Nëse, atëherë:

Vini re se në çfarë interpretimi të pazakontë përdoret formula e shumës katrore. Përndryshe, këtu mund të kryeni një rirregullim nënformula Natyrisht, rezultatet do të jenë të njëjta.

3) Dhe së fundi, e gjithë shprehja. Nëse, atëherë:

Për të hequr qafe një thyesë, shumëzoni numëruesin dhe emëruesin me shprehjen e konjuguar të emëruesit. Në të njëjtën kohë, për qëllimet e aplikimit formulat e diferencës katrore duhet së pari (dhe tashmë një domosdoshmëri!) vendos negativ pjesë reale për vendin e 2-të:

Dhe tani rregulli kryesor:

NE NUK JEMI NXITUAR! Është më mirë të luash të sigurt dhe të bësh një hap shtesë.
Në shprehje, ekuacione dhe sisteme me numra komplekse, llogaritje mendjemadhe verbale më e ngjeshur se kurrë!

Në hapin e fundit ndodhi prerje e mirë dhe kjo është vetëm një shenjë e madhe.

Shënim : në mënyrë rigoroze, këtu ndodhi pjesëtimi i një numri kompleks me numrin kompleks 50 (mos harroni se). Unë kam heshtur për këtë nuancë deri më tani dhe do të flasim për të pak më vonë.

Le ta shënojmë arritjen tonë me shkronjën

Le të paraqesim rezultatin e marrë në formë trigonometrike. Në përgjithësi, këtu mund të bëni pa një vizatim, por meqenëse kërkohet, është disi më racionale ta bëni atë tani:

Le të llogarisim modulin e një numri kompleks:

Nëse vizatoni në shkallën 1 njësi. = 1 cm (2 qeliza fletoreje), atëherë vlera e fituar mund të kontrollohet lehtësisht duke përdorur një vizore të rregullt.

Le të gjejmë një argument. Meqenëse numri ndodhet në 2 tremujori koordinativ, Se:

Këndi mund të kontrollohet lehtësisht me një raportor. Ky është avantazhi i padyshimtë i vizatimit.

Kështu: – numri i kërkuar në formë trigonometrike.

Le të kontrollojmë:
, që ishte ajo që duhej verifikuar.

Është i përshtatshëm për të gjetur vlera të panjohura të sinusit dhe kosinusit duke përdorur tabelë trigonometrike.

Përgjigju:

Një shembull i ngjashëm për vendim i pavarur:

Shembulli 2

Thjeshtoni një shprehje , Ku. Vizato numrin që rezulton në rrafshin kompleks dhe shkruaje në formë eksponenciale.

Mundohuni të mos humbisni shembuj edukativë. Mund të duken të thjeshta, por pa stërvitje, "hyrja në një pellg" nuk është thjesht e lehtë, por shumë e lehtë. Prandaj, ne "e kemi në dorë".

Shpesh detyra nuk e lejon mënyra e vetme zgjidhje:

Shembulli 3

Llogaritni nëse,

Zgjidhje: para së gjithash, le t'i kushtojmë vëmendje kushtit origjinal - njëri numër paraqitet në formë algjebrike, dhe tjetri në formë trigonometrike, madje edhe me gradë. Le ta rishkruajmë menjëherë në një formë më të njohur: .

Në çfarë forme duhet të kryhen llogaritjet? Shprehja padyshim përfshin shumëzimin e parë dhe ngritjen e mëtejshme në fuqinë e 10-të formula e Moivre, e cila është formuluar për formën trigonometrike të një numri kompleks. Pra, duket më logjike të konvertohet numri i parë. Le të gjejmë modulin dhe argumentin e tij:

Ne përdorim rregullin për shumëzimin e numrave kompleksë në formë trigonometrike:
nëse, atëherë

Duke e bërë thyesën të saktë, arrijmë në përfundimin se mund të "përdredhim" 4 kthesa (i gëzuar):

Zgjidhja e dytëështë shndërrimi i numrit të dytë në formë algjebrike , kryeni shumëzimin në formë algjebrike, kthejeni rezultatin në formë trigonometrike dhe përdorni formulën e Moivre.

Siç mund ta shihni, ekziston një veprim "shtesë". Ata që dëshirojnë mund ta ndjekin vendimin dhe të sigurohen që rezultatet të jenë të njëjta.

Kushti nuk thotë asgjë për formën e numrit kompleks përfundimtar, kështu që:

Përgjigju:

Por "për bukuri" ose sipas kërkesës, rezultati është i lehtë të imagjinohet në formë algjebrike:

Më vete:

Shembulli 4

Thjeshtoni një shprehje

Këtu duhet të kujtojmë veprimet me gradë, edhe pse një rregull i dobishëm Nuk është në manual, këtu është: .

Dhe një shënim më i rëndësishëm: shembulli mund të zgjidhet në dy stile. Mundësia e parë është të punoni me dy numrat dhe të qenit në rregull me thyesat. Opsioni i dytë është të përfaqësohet çdo numër si herësi i dy numrave: Dhe hiqni qafe strukturën katërkatëshe. Nga pikëpamja formale, nuk ka rëndësi se si vendosni, por ka një ndryshim thelbësor! Ju lutemi mendoni me kujdes për:
është një numër kompleks;
është herësi i dy numrave kompleks ( dhe ), por në varësi të kontekstit, mund të thuash edhe këtë: një numër i paraqitur si herës i dy numrave kompleks.

Zgjidhje e Shpejtë dhe përgjigja në fund të orës së mësimit.

Shprehjet janë të mira, por ekuacionet janë më të mira:

Ekuacione me koeficientë kompleksë

Si ndryshojnë ato nga ekuacionet "të zakonshme"? Shanset =)

Në dritën e komentit të mësipërm, le të fillojmë me këtë shembull:

Shembulli 5

Zgjidhe ekuacionin

Dhe një preambulë e menjëhershme "e nxehtë në thembra": fillimisht anën e djathtë ekuacioni pozicionohet si herës i dy numrave kompleks (dhe 13), dhe për këtë arsye do të ishte formë e keqe të rishkruhej kushti me numrin (edhe pse kjo nuk do të shkaktojë një gabim). Më qartë këtë dallim, meqë ra fjala, është e dukshme në fraksion - nëse, duke folur relativisht, , atëherë kjo vlerë kuptohet kryesisht si Rrënja komplekse "e plotë" e ekuacionit, dhe jo si pjesëtues i një numri, dhe sidomos jo si pjesë e një numri!

Zgjidhje, në parim, gjithashtu mund të organizohet hap pas hapi, por në në këtë rast loja nuk ia vlen qiriri. Detyra fillestare është të thjeshtojë gjithçka që nuk përmban të panjohurën "z", duke rezultuar në reduktimin e ekuacionit në formën:

Ne thjeshtojmë me besim fraksioni i mesëm:

Ne e transferojmë rezultatin në anën e djathtë dhe gjejmë ndryshimin:

Shënim : dhe përsëri ju tërheq vëmendjen në pikën kuptimplote - këtu nuk e zbritëm numrin nga numri, por i sollëm thyesat në emërues i përbashkët! Duhet të theksohet se tashmë në PROGRES të zgjidhjes nuk është e ndaluar të punohet me numra: , megjithatë, në shembullin në shqyrtim ky stil është më i dëmshëm sesa i dobishëm =)

Sipas rregullit të proporcionit, ne shprehim "zet":

Tani mund të pjesëtoni dhe të shumëzoni përsëri me konjugimin, por numrat e dyshimtë të ngjashëm në numërues dhe emërues sugjerojnë lëvizjen tjetër:

Përgjigju:

Për të kontrolluar, le të zëvendësojmë vlerën që rezulton në anën e majtë ekuacioni origjinal dhe le të bëjmë disa thjeshtime:

– fitohet ana e djathtë e ekuacionit origjinal, pra rrënja gjendet saktë.

...Tani, tani... Do të gjej diçka më interesante për ju... ja ku shkoni:

Shembulli 6

Zgjidhe ekuacionin

Ky ekuacion zvogëlohet në formën , që do të thotë se është linear. Unë mendoj se sugjerimi është i qartë - shkoni për të!

Sigurisht, si mund të jetosh pa të:

Ekuacioni kuadratik me koeficientë kompleks

Në klasë Numrat kompleksë për dummies ne zbuluam se ekuacioni kuadratik me koeficientë realë mund të kenë rrënjë komplekse të konjuguara, pas së cilës lind një pyetje logjike: pse, në fakt, vetë koeficientët nuk mund të jenë kompleks? Më lejoni të formuloj një rast të përgjithshëm:

Ekuacioni kuadratik me koeficientë komplekse arbitrare (1 ose 2 prej të cilave ose të treja mund të jenë veçanërisht të vlefshme) ka dy dhe vetëm dy rrënjë komplekse (ndoshta njëra ose të dyja janë të vlefshme). Në të njëjtën kohë, rrënjët (si reale ashtu edhe me pjesë imagjinare jo zero) mund të përkojë (të jetë shumëfish).

Një ekuacion kuadratik me koeficientë kompleksë zgjidhet duke përdorur të njëjtën skemë si ekuacioni "shkollë"., me disa ndryshime në teknikën e llogaritjes:

Shembulli 7

Gjeni rrënjët e një ekuacioni kuadratik

Zgjidhje: njësia imagjinare vjen e para dhe, në parim, mund ta heqësh qafe atë (duke shumëzuar të dyja anët me), megjithatë, nuk ka nevojë të veçantë për këtë.

Për lehtësi, ne shkruajmë koeficientët:

Të mos humbasim “minusin” e një anëtari të lirë! ...Mund të mos jetë e qartë për të gjithë - Unë do ta rishkruaj ekuacionin në formë standarde :

Le të llogarisim diskriminuesin:

Dhe këtu është pengesa kryesore:

Aplikimi formulë e përgjithshme nxjerrja e rrënjës (shih paragrafin e fundit të artikullit Numrat kompleksë për dummies) i ndërlikuar nga vështirësi serioze që lidhen me argumentin radikal të numrit kompleks (shikojeni vetë). Por ka një mënyrë tjetër, "algjebrike"! Ne do të kërkojmë rrënjën në formën:

Le të vendosim në katror të dy anët:

Dy numra kompleks janë të barabartë nëse pjesët e tyre reale dhe imagjinare janë të barabarta. Kështu, marrim sistemin e mëposhtëm:

Sistemi është më i lehtë për t'u zgjidhur duke zgjedhur (një mënyrë më e plotë është të shprehemi nga ekuacioni i 2-të - të zëvendësojmë në të 1-tin, të marrim dhe zgjidhim një ekuacion bikuadratik). Duke supozuar se autori i problemit nuk është një përbindësh, ne parashtrojmë hipotezën se dhe janë numra të plotë. Nga ekuacioni i parë rezulton se "x" modul më shumë se "Y". Përveç kësaj, produkti pozitiv na tregon se të panjohurat janë të së njëjtës shenjë. Bazuar në sa më sipër dhe duke u fokusuar në ekuacionin e 2-të, shkruajmë të gjitha çiftet që përputhen me të:

Është e qartë se ekuacioni i parë i sistemit plotësohet nga dy çiftet e fundit, pra:

Një kontroll i ndërmjetëm nuk do të dëmtonte:

e cila ishte ajo që duhej të kontrollohej.

Ju mund të zgjidhni si një rrënjë "pune". ndonjë kuptimi. Është e qartë se është më mirë të merret versioni pa "kundër":

Ne gjejmë rrënjët, duke mos harruar, meqë ra fjala, se:

Përgjigju:

Le të kontrollojmë nëse rrënjët e gjetura plotësojnë ekuacionin :

1) Le të zëvendësojmë:

barazi e vërtetë.

2) Le të zëvendësojmë:

barazi e vërtetë.

Kështu, zgjidhja u gjet drejt.

Bazuar në problemin që sapo diskutuam:

Shembulli 8

Gjeni rrënjët e ekuacionit

Duhet të theksohet se rrënja katrore e thjesht komplekse numrat mund të nxirren lehtësisht duke përdorur formulën e përgjithshme , Ku , kështu që të dyja metodat janë paraqitur në mostër. Vërejtja e dytë e dobishme ka të bëjë me faktin se nxjerrja paraprake e rrënjës së një konstante nuk e thjeshton aspak zgjidhjen.

Tani mund të relaksoheni - në këtë shembull do të largoheni me një frikë të lehtë :)

Shembulli 9

Zgjidheni ekuacionin dhe kontrolloni

Zgjidhjet dhe përgjigjet në fund të orës së mësimit.

Paragrafi i fundit i artikullit i kushtohet

sistem ekuacionesh me numra kompleks

Le të pushojmë dhe... mos u tensiono =) Le të shqyrtojmë rastin më të thjeshtë - një sistem prej dy ekuacionesh lineare me dy të panjohura:

Shembulli 10

Të zgjidhë sistemin e ekuacioneve. Paraqisni përgjigjen në forma algjebrike dhe eksponenciale, përshkruani rrënjët në vizatim.

Zgjidhje: vetë kushti sugjeron që sistemi ka një zgjidhje unike, domethënë duhet të gjejmë dy numra që plotësojnë ndaj të gjithëve ekuacioni i sistemit.

Sistemi vërtet mund të zgjidhet në një mënyrë "fëminore". (shpreh një variabël në terma të një tjetri) , megjithatë është shumë më i përshtatshëm për t'u përdorur Formulat e Cramer-it. Le të llogarisim përcaktues kryesor sistemet:

, që do të thotë se sistemi ka një zgjidhje unike.

E përsëris se është më mirë të merrni kohën tuaj dhe të shkruani hapat sa më shumë të jetë e mundur:

Ne shumëzojmë numëruesin dhe emëruesin me një njësi imagjinare dhe marrim rrënjën e parë:

Po kështu:

Janë marrë anët përkatëse të djathta, etj.

Le të bëjmë vizatimin:

Le të paraqesim rrënjët në formë eksponenciale. Për ta bërë këtë, ju duhet të gjeni modulet dhe argumentet e tyre:

1) - arktangjentja e "dy" llogaritet "dobët", kështu që e lëmë kështu:

Aplikimi

Zgjidhja e çdo lloj ekuacioni online në faqe për studentët dhe nxënësit e shkollës për të konsoliduar materialin e studiuar.. Zgjidhja e ekuacioneve online. Ekuacionet online. Ka ekuacione algjebrike, parametrike, transcendentale, funksionale, diferenciale dhe lloje të tjera të ekuacioneve vlerën e saktë rrënjë, por ju lejon të shkruani zgjidhjen në formën e një formule, e cila mund të përfshijë parametra. Shprehje analitike lejojnë jo vetëm llogaritjen e rrënjëve, por edhe analizimin e ekzistencës dhe sasisë së tyre në varësi të vlerave të parametrave, gjë që shpesh është edhe më e rëndësishme për përdorim praktik sesa vlerat specifike të rrënjëve. Zgjidhja e ekuacioneve online.. Ekuacionet online. Zgjidhja e një ekuacioni është detyra e gjetjes së vlerave të tilla të argumenteve në të cilat arrihet kjo barazi. Kushtet shtesë (numër i plotë, real, etj.) Mund të vendosen në vlerat e mundshme të argumenteve. Zgjidhja e ekuacioneve online.. Ekuacionet online. Ju mund ta zgjidhni ekuacionin në internet menjëherë dhe me saktësi të lartë të rezultatit. Argumentet e funksioneve të specifikuara (ndonjëherë të quajtura "variabla") quhen "të panjohura" në rastin e një ekuacioni. Vlerat e të panjohurave në të cilat arrihet kjo barazi quhen zgjidhje ose rrënjë të këtij ekuacioni. Ata thonë për rrënjët që kënaqin këtë ekuacion. Të zgjidhësh një ekuacion në internet do të thotë të gjesh grupin e të gjitha zgjidhjeve (rrënjëve) të tij ose të provosh se nuk ka rrënjë. Zgjidhja e ekuacioneve online.. Ekuacionet online. Ekuacionet, grupet e rrënjëve të të cilave përkojnë quhen ekuivalente ose të barabarta. Ekuivalente konsiderohen gjithashtu ekuivalente që nuk kanë rrënjë. Ekuivalenca e ekuacioneve ka vetinë e simetrisë: nëse një ekuacion është ekuivalent me një tjetër, atëherë ekuacioni i dytë është i barabartë me të parin. Ekuivalenca e ekuacioneve ka vetinë e kalueshmërisë: nëse një ekuacion është i barabartë me një tjetër, dhe i dyti është i barabartë me një të tretë, atëherë ekuacioni i parë është i barabartë me të tretin. Vetia e ekuivalencës së ekuacioneve na lejon të kryejmë transformime me to, në të cilat bazohen metodat për zgjidhjen e tyre. Zgjidhja e ekuacioneve online.. Ekuacionet online. Faqja do t'ju lejojë të zgjidhni ekuacionin në internet. Ekuacionet për të cilat njihen zgjidhjet analitike përfshijnë ekuacione algjebrike jo më të larta se shkalla e katërt: ekuacioni linear, ekuacioni kuadratik, ekuacion kub dhe një ekuacion të shkallës së katërt. Ekuacionet algjebrike të shkallëve më të larta në rast i përgjithshëm zgjidhje analitike nuk kanë, megjithëse disa prej tyre mund të reduktohen në ekuacione të shkallëve më të ulëta. Ekuacionet që përfshijnë funksione transcendentale quhen transcendentale. Midis tyre, për disa janë të njohura zgjidhjet analitike ekuacionet trigonometrike, që nga zero funksionet trigonometrike i njohur mirë. Në rastin e përgjithshëm, kur nuk mund të gjendet një zgjidhje analitike, përdoren metoda numerike. Metodat numerike mos jepni një zgjidhje të saktë, por vetëm ju lejoni të ngushtoni intervalin në të cilin shtrihet rrënja në një të paracaktuar vlera e vendosur. Zgjidhja e ekuacioneve në internet.. Ekuacionet në internet.. Në vend të një ekuacioni në internet, ne do të imagjinojmë se si formohet e njëjta shprehje varësia lineare dhe jo vetëm përgjatë një tangjente të drejtë, por edhe në pikën e lakimit të grafikut. Kjo metodë është e domosdoshme në çdo kohë në studimin e lëndës. Shpesh ndodh që zgjidhja e ekuacioneve t'i afrohet vlerës përfundimtare me numra të pafund dhe regjistrimet vektoriale. Është e nevojshme të kontrollohen të dhënat fillestare dhe ky është thelbi i detyrës. Përndryshe, kushti lokal konvertohet në një formulë. Përmbysja përgjatë vijës së drejtë nga funksioni i dhënë, të cilin kalkulatori i ekuacionit do ta llogarisë pa shumë vonesa në ekzekutim, kompensimi do të shërbehet nga privilegji i hapësirës. Do të flasim për performancën e nxënësve në komuniteti shkencor. Megjithatë, si të gjitha sa më sipër, do të na ndihmojë në procesin e gjetjes dhe kur të zgjidhni plotësisht ekuacionin, ruani përgjigjen që rezulton në skajet e segmentit të drejtë. Drejtëzat në hapësirë ​​priten në një pikë dhe kjo pikë quhet e prerë nga drejtëza. Intervali në linjë tregohet siç është specifikuar më parë. Do të publikohet postimi më i lartë për studimin e matematikës. Cakto vlerën e argumentit nga parametrikisht sipërfaqe e dhënë dhe zgjidhja e ekuacionit në internet do të jetë në gjendje të përshkruajë parimet e aksesit produktiv në funksion. Shiriti Möbius, ose pafundësia siç quhet, duket si një figurë tetë. Kjo është një sipërfaqe e njëanshme, jo e dyanshme. Sipas parimit të njohur përgjithësisht për të gjithë, ne do të pranojmë objektivisht ekuacionet lineare si emërtim bazë siç është në fushën e kërkimit. Vetëm dy vlera të argumenteve të dhëna në mënyrë sekuenciale janë në gjendje të zbulojnë drejtimin e vektorit. Duke supozuar se një zgjidhje tjetër për ekuacionet në internet është shumë më tepër sesa thjesht zgjidhja e saj do të thotë të merrni një version të plotë të invariantit si rezultat. pa qasje e integruar studentët e kanë të vështirë të studiojnë këtë material. Si më parë, për çdo rast të veçantë, kalkulatori ynë i përshtatshëm dhe i zgjuar i ekuacionit në internet do t'i ndihmojë të gjithë në periudha të vështira, sepse thjesht duhet të specifikoni parametrat e hyrjes dhe vetë sistemi do të llogarisë përgjigjen. Përpara se të fillojmë futjen e të dhënave, do të na duhet një mjet input, i cili mund të bëhet pa shumë vështirësi. Numri i çdo vlerësimi të përgjigjes do të çojë në një ekuacion kuadratik për përfundimet tona, por kjo nuk është aq e lehtë për t'u bërë, sepse është e lehtë të vërtetohet e kundërta. Teoria, për shkak të karakteristikave të saj, nuk mbështetet njohuri praktike. Të shohësh një kalkulator fraksioni në fazën e publikimit të përgjigjes nuk është një detyrë e lehtë në matematikë, pasi alternativa e shkrimit të një numri në një grup ndihmon në rritjen e rritjes së funksionit. Megjithatë, do të ishte e gabuar të mos flasim për trajnimin e studentëve, kështu që secili do të themi aq sa duhet bërë. Ekuacioni kub i gjetur më parë me të drejtë do t'i përkasë fushës së përkufizimit dhe do të përmbajë hapësirën vlerat numerike, si dhe ndryshore simbolike. Pasi të kenë mësuar ose mësuar përmendësh teoremën, studentët tanë do ta provojnë veten vetëm me ana më e mirë, dhe ne do të jemi të lumtur për ta. Ndryshe nga kryqëzimet e shumta të fushës, ekuacionet tona online përshkruhen nga një plan lëvizjeje duke shumëzuar dy dhe tre vija të kombinuara numerike. Një grup në matematikë nuk është përcaktuar në mënyrë unike. Zgjidhja më e mirë, sipas studentëve, është regjistrimi i plotë i shprehjes. Siç u tha gjuha shkencore, abstragimi i shprehjeve simbolike nuk hyn në gjendjen e punëve, por zgjidhja e ekuacioneve jep një rezultat të paqartë në të gjitha rastet e njohura. Kohëzgjatja e mësimit të mësuesit varet nga nevojat për këtë propozim. Analiza tregoi se sa të nevojshme janë të gjithë teknikat llogaritëse në shumë fusha, dhe është absolutisht e qartë se një makinë llogaritëse ekuacionesh është një mjet i domosdoshëm në duart e talentuara të një studenti. Një qasje besnike ndaj studimit të matematikës përcakton rëndësinë e pikëpamjeve nga drejtime të ndryshme. Ju dëshironi të identifikoni një nga teoremat kryesore dhe të zgjidhni ekuacionin në një mënyrë të tillë, në varësi të përgjigjes së të cilit do të ketë nevojë të mëtejshme për zbatimin e tij. Analitika në këtë fushë po fiton vrull. Le të fillojmë nga fillimi dhe të nxjerrim formulën. Duke thyer nivelin e rritjes së funksionit, vija përgjatë tangjentes në pikën e lakimit sigurisht që do të çojë në faktin se zgjidhja e ekuacionit në linjë do të jetë një nga aspektet kryesore në ndërtimin e të njëjtit grafik nga argumenti i funksionit. Një qasje amatore ka të drejtë të zbatohet nëse këtë gjendje nuk bie ndesh me përfundimet e nxënësve. Është nëndetyra që vendos analizën e kushteve matematikore si ekuacione lineare në domenin ekzistues të përkufizimit të objektit që sillet në sfond. Kompensimi në drejtim të ortogonalitetit redukton reciprokisht avantazhin e të vetmit vlerë absolute. Zgjidhja e ekuacioneve me modul në internet jep të njëjtin numër zgjidhjesh nëse hapni kllapat fillimisht me një shenjë plus dhe më pas me një shenjë minus. Në këtë rast, do të ketë dy herë më shumë zgjidhje, dhe rezultati do të jetë më i saktë. Një kalkulator i qëndrueshëm dhe i saktë i ekuacioneve në internet është suksesi në arritjen e qëllimit të synuar në detyrën e vendosur nga mësuesi. Metoda e kërkuar duket e mundur të zgjidhet për shkak të dallimeve domethënëse në pikëpamjet e shkencëtarëve të mëdhenj. Ekuacioni kuadratik që rezulton përshkruan kurbën e vijave, të ashtuquajturën parabolë, dhe shenja do të përcaktojë konveksitetin e saj në sistem katror koordinatat Nga ekuacioni marrim si diskriminuesin ashtu edhe vetë rrënjët sipas teoremës së Vietës. Hapi i parë është të paraqisni shprehjen si një fraksion të duhur ose të papërshtatshëm dhe të përdorni një kalkulator fraksioni. Në varësi të kësaj, do të formohet plani për llogaritjet tona të mëtejshme. Matematika në qasje teorike do të jetë e dobishme në çdo fazë. Rezultatin do ta paraqesim patjetër si një ekuacion kub, sepse do t'i fshehim rrënjët e tij në këtë shprehje për të thjeshtuar detyrën për një student në një universitet. Çdo metodë është e mirë nëse është e përshtatshme për analiza sipërfaqësore. Shtesë veprimet aritmetike nuk do të çojë në gabime në llogaritje. Përcakton përgjigjen me një saktësi të dhënë. Duke përdorur zgjidhjen e ekuacioneve, le ta pranojmë - gjetja e ndryshores së pavarur të një funksioni të caktuar nuk është aq e lehtë, veçanërisht gjatë periudhës së studimit. vijat paralele në pafundësi. Duke pasur parasysh përjashtimin, nevoja është shumë e dukshme. Dallimi i polaritetit është i qartë. Nga përvoja e mësimdhënies në institute, mësuesi ynë mësoi mësimi kryesor, mbi të cilat u studiuan plotësisht ekuacionet online kuptimi matematik. Këtu flitej për përpjekje më të larta dhe aftësi të veçanta në zbatimin e teorisë. Në favor të përfundimeve tona, nuk duhet parë nga një prizëm. Deri vonë, besohej se një grup i mbyllur rritet me shpejtësi mbi rajonin ashtu siç është dhe zgjidhja e ekuacioneve thjesht duhet të hetohet. Në fazën e parë nuk kemi marrë parasysh gjithçka opsionet e mundshme, por kjo qasje është më e justifikuar se kurrë. Veprimet shtesë me kllapa justifikojnë disa përparime përgjatë boshteve të ordinatave dhe abshisave, të cilat nuk mund të anashkalohen me sy të lirë. Në kuptimin e një rritjeje proporcionale të gjerë të funksionit, ekziston një pikë e përkuljes. Edhe një herë do të vërtetojmë se si kusht i nevojshëm do të zbatohet gjatë gjithë intervalit të zvogëlimit të njërit apo tjetrit pozicion zbritës të vektorit. Në një hapësirë ​​të kufizuar, ne do të zgjedhim një variabël nga blloku fillestar i skriptit tonë. Një sistem i ndërtuar si bazë përgjatë tre vektorëve është përgjegjës për mungesën e momentit kryesor të forcës. Megjithatë, kalkulatori i ekuacionit gjeneroi dhe ndihmoi në gjetjen e të gjitha termave të ekuacionit të ndërtuar, si mbi sipërfaqe ashtu edhe përgjatë vijave paralele. Rreth pikënisje Le të përshkruajmë një rreth të caktuar. Kështu, ne do të fillojmë të lëvizim lart përgjatë vijave të seksionit, dhe tangjentja do të përshkruajë rrethin përgjatë gjithë gjatësisë së tij, duke rezultuar në një kurbë të quajtur involute. Meqë ra fjala, le të tregojmë pak histori për këtë kurbë. Fakti është se historikisht në matematikë nuk kishte asnjë koncept të vetë matematikës në kuptimin e saj të pastër siç është sot. Më parë, të gjithë shkencëtarët bënin një gjë shkaku i përbashkët, pra shkenca. Më vonë, disa shekuj më vonë, kur botën shkencore i mbushur me një sasi kolosale informacioni, njerëzimi ende identifikoi shumë disiplina. Ato mbeten ende të pandryshuara. E megjithatë, çdo vit, shkencëtarët në mbarë botën përpiqen të provojnë se shkenca është e pakufishme dhe ju nuk do ta zgjidhni ekuacionin nëse nuk keni njohuri për këtë fushë. shkencat natyrore. Mund të mos jetë e mundur që përfundimisht t'i jepet fund. Të mendosh për këtë është po aq e kotë sa ngrohja e ajrit jashtë. Le të gjejmë intervalin në të cilin argumenti, nëse vlera e tij është pozitive, do të përcaktojë modulin e vlerës në një drejtim në rritje të mprehtë. Reagimi do t'ju ndihmojë të gjeni të paktën tre zgjidhje, por do t'ju duhet t'i kontrolloni ato. Le të fillojmë me faktin se ne duhet të zgjidhim ekuacionin në internet duke përdorur shërbimin unik të faqes sonë të internetit. Le të fusim të dy anët e ekuacionit të dhënë, të klikojmë në butonin "ZGJIDH" dhe të marrim përgjigjen e saktë brenda vetëm disa sekondave. Në raste të veçanta, le të marrim një libër për matematikën dhe të kontrollojmë dy herë përgjigjen tonë, domethënë, të shikojmë vetëm përgjigjen dhe gjithçka do të bëhet e qartë. I njëjti projekt për një paralelipiped artificial të tepërt do të fluturojë jashtë. Ka një paralelogram me të anët paralele, dhe ai shpjegon shumë parime dhe qasje për të studiuar marrëdhënien hapësinore të procesit nga poshtë-lart të akumulimit të hapësirës së zbrazët në barazimet. pamje natyrale. Ekuacionet lineare të paqarta tregojnë varësinë e ndryshores së dëshiruar nga e përbashkëta jonë për momentin vendim kohe dhe ju duhet të nxirrni disi dhe të sillni thyesë e papërshtatshme për një rast jo të parëndësishëm. Shënoni dhjetë pika në vijën e drejtë dhe vizatoni një kurbë nëpër secilën pikë në drejtimin e dhënë, me pikën konvekse lart. Pa shumë vështirësi, kalkulatori ynë i ekuacionit do ta paraqesë shprehjen në një formë të tillë që kontrolli i tij për vlefshmërinë e rregullave do të jetë i dukshëm edhe në fillim të regjistrimit. Sistemi i paraqitjeve të veçanta të stabilitetit për matematikanët vjen i pari, përveç nëse parashikohet ndryshe nga formula. Ne do t'i përgjigjemi kësaj me një prezantim të detajuar të një raporti mbi temën e gjendjes izomorfike të një sistemi plastik të trupave dhe zgjidhja e ekuacioneve në internet do të përshkruajë lëvizjen e secilës pikë materiale në këtë sistem. Në nivelin e hulumtimit të thelluar, do të jetë e nevojshme të sqarohet në detaje çështja e përmbysjeve të të paktën shtresës së poshtme të hapësirës. Sipas renditjes në rritje në seksionin e ndërprerjes së funksionit, ne do të aplikojmë metodë e përgjithshme një studiues i shkëlqyer, meqë ra fjala, bashkatdhetari ynë, dhe ne do të flasim më poshtë për sjelljen e avionit. Në fuqi karakteristika të forta funksioni i dhënë në mënyrë analitike, ne përdorim vetëm kalkulatorin e ekuacionit në internet për qëllimin e tij të synuar brenda kufijve të autoritetit që rrjedhin. Duke arsyetuar më tej, ne do ta fokusojmë rishikimin tonë në homogjenitetin e vetë ekuacionit, domethënë ana e djathtë e tij është e barabartë me zero. Le të sigurohemi edhe një herë që vendimi ynë në matematikë është i saktë. Për të shmangur marrjen e një zgjidhjeje të parëndësishme, ne do të bëjmë disa rregullime në kushtet fillestare për problemin e stabilitetit të kushtëzuar të sistemit. Le të krijojmë një ekuacion kuadratik, për të cilin shkruajmë dy hyrje duke përdorur formulën e njohur dhe gjejmë rrënjë negative. Nëse një rrënjë është pesë njësi më e madhe se rrënja e dytë dhe e tretë, atëherë duke bërë ndryshime në argumenti kryesor në këtë mënyrë shtrembërojmë kushtet fillestare të nëndetyrës. Nga vetë natyra e saj, diçka e pazakontë në matematikë mund të përshkruhet gjithmonë me të qindtën më të afërt të një numri pozitiv. Llogaritësi i fraksionit është disa herë më i lartë se analogët e tij në burime të ngjashme në momentin më të mirë të ngarkesës së serverit. Në sipërfaqen e vektorit të shpejtësisë që rritet përgjatë boshtit të ordinatave, ne vizatojmë shtatë vija, të përkulura në drejtime të kundërta me njëra-tjetrën. Krahasueshmëria e argumentit të funksionit të caktuar është përpara leximeve të numëruesit të bilancit të rikuperimit. Në matematikë, këtë fenomen mund ta paraqesim përmes një ekuacioni kub me koeficientë imagjinarë, si dhe në progresionin bipolar të vijave në rënie. Pikat kritike ndryshimet e temperaturës në shumë mënyra përshkruajnë procesin e dekompozimit të një kompleksi funksioni thyesor nga shumëzuesit. Nëse ju thuhet të zgjidhni një ekuacion, mos nxitoni ta bëni atë menjëherë, përfundimisht vlerësoni së pari të gjithë planin e veprimit dhe vetëm atëherë pranoni qasja e duhur. Sigurisht që do të ketë përfitime. Lehtësia e punës është e dukshme dhe e njëjta gjë vlen edhe në matematikë. Zgjidheni ekuacionin në internet. Të gjitha ekuacionet online janë një lloj të caktuar një rekord numrash ose parametrash dhe një variabël që do të përcaktohet. Llogaritni këtë variabël, domethënë gjeni vlera specifike ose intervale të një grupi vlerash në të cilat do të mbahet identiteti. Kushtet fillestare dhe përfundimtare varen drejtpërdrejt. NË zgjidhje e përgjithshme Ekuacionet zakonisht përfshijnë disa variabla dhe konstante, duke vendosur të cilat do të marrim familje të tëra zgjidhjesh për një deklaratë të caktuar problemi. Në përgjithësi, kjo justifikon përpjekjet e investuara në rritjen e funksionalitetit të një kubi hapësinor me një anë të barabartë me 100 centimetra. Ju mund të aplikoni një teoremë ose lemë në çdo fazë të ndërtimit të një përgjigjeje. Faqja prodhon gradualisht një kalkulator ekuacioni nëse është e nevojshme në çdo interval të shfaqjes së produkteve përmbledhëse vlera më e vogël. Në gjysmën e rasteve, një top i tillë është i zbrazët, jo në një masë më të madhe plotëson kërkesat për vendosjen e një përgjigjeje të ndërmjetme. Të paktën në boshtin e ordinatave në drejtim të reduktimit të paraqitjes së vektorit, kjo proporcion do të jetë padyshim më optimale se shprehja e mëparshme. Në orën kur funksionet lineare do të kryhet një analizë e plotë e pikave, ne në fakt do të bashkojmë të gjithë numrat tanë kompleksë dhe hapësirat planare bipolare. Duke zëvendësuar një ndryshore në shprehjen që rezulton, ju do të zgjidhni ekuacionin hap pas hapi dhe do të jepni përgjigjen më të detajuar me saktësi të lartë. Do të ishte një formë e mirë nga ana e një studenti që të kontrollonte edhe një herë veprimet e tij në matematikë. Përqindja në raportin e fraksioneve regjistroi integritetin e rezultatit në të gjitha fushat e rëndësishme të veprimtarisë së vektorit zero. Trivialiteti konfirmohet në fund të veprimeve të përfunduara. Me një detyrë të thjeshtë, studentët mund të mos kenë ndonjë vështirësi nëse e zgjidhin ekuacionin online në kohën më të shkurtër të mundshme, por mos harrojnë të gjitha rregullat e ndryshme. Një grup nënbashkësish kryqëzohen në një rajon të shënimit konvergjent. NË raste të ndryshme produkti nuk është faktorizuar gabimisht. Ata do t'ju ndihmojnë të zgjidhni ekuacionin në internet në seksionin tonë të parë, kushtuar bazave teknikat matematikore për seksione të rëndësishme për studentët në universitete dhe shkolla teknike. Shembujt e përgjigjes nuk do të na mbajnë në pritje për disa ditë, që nga procesi ndërveprimin më të mirë analiza vektoriale me gjetje sekuenciale të zgjidhjeve u patentua në fillim të shekullit të kaluar. Rezulton se përpjekjet për të krijuar marrëdhënie me ekipin përreth nuk kanë qenë të kota. Disa breza më vonë, shkencëtarët në mbarë botën i bënë njerëzit të besojnë se matematika është mbretëresha e shkencave. Pavarësisht nëse është përgjigja e majtë apo e djathta, është ende e nevojshme të shënohen termat shterues në tre rreshta, pasi në rastin tonë do të flasim qartë vetëm për analiza vektoriale vetitë e matricës. Ekuacionet jolineare dhe lineare, së bashku me ekuacionet bikuadratike, mori një pozicion të veçantë në librin tonë rreth praktikat më të mira duke llogaritur trajektoren e lëvizjes në hapësirën e të gjithëve pikat materiale sistem i mbyllur. Analiza lineare do të na ndihmojë të realizojmë idenë produkt me pika tre vektorë të njëpasnjëshëm. Në fund të çdo deklarate, detyra bëhet më e lehtë duke zbatuar përjashtime numerike të optimizuara në mbivendosjet e hapësirës së numrave që po kryhen. Një gjykim i ndryshëm nuk do të kundërshtojë përgjigjen e gjetur formë e lirë trekëndësh në një rreth. Këndi midis dy vektorëve përmban përqindjen e kërkuar të diferencës dhe zgjidhja e ekuacioneve në internet shpesh zbulon një rrënjë e përbashkët ekuacionet në krahasim me kushtet fillestare. Përjashtimi vepron si një katalizator në të gjithë procesin e pashmangshëm të gjetjes vendim pozitiv në fushën e përcaktimit të funksionit. Nëse nuk thuhet se nuk mund të përdorni kompjuterin, atëherë kalkulatori i ekuacionit në internet është i duhuri për nevojat tuaja. detyra të vështira. Thjesht duhet të futni të dhënat tuaja të kushtëzuara në formatin e duhur dhe serveri ynë do të lëshojë një përgjigje të plotë rezultuese në kohën më të shkurtër të mundshme. Një funksion eksponencial rritet shumë më shpejt se ai linear. Talmudet e literaturës së zgjuar të bibliotekës dëshmojnë për këtë. Do të kryejë llogaritjen në në një kuptim të përgjithshëm siç do të bënte një ekuacion kuadratik i dhënë me tre koeficientë kompleksë. Një parabolë në pjesën e sipërme të një gjysmëplani karakterizon një drejtvizor lëvizje paralele përgjatë boshteve të pikave. Këtu vlen të përmendet ndryshimi potencial në hapësirën e punës së trupit. Në këmbim të një rezultati jo optimal, llogaritësi ynë i fraksionit me të drejtë zë pozicionin e parë në vlerësimin matematikor të rishikimit të programeve funksionale në anën e serverit. Lehtësia e përdorimit të këtij shërbimi do të vlerësohet nga miliona përdorues të internetit. Nëse nuk dini si ta përdorni, ne do të jemi të lumtur t'ju ndihmojmë. Gjithashtu dëshirojmë të vëmë re dhe të theksojmë veçanërisht ekuacionin kub nga një sërë problemesh të shkollës fillore, kur është e nevojshme të gjejmë shpejt rrënjët e tij dhe të ndërtojmë një grafik të funksionit në një plan. Grada më të larta riprodhimi është një nga më të vështirat problemet matematikore në institut dhe caktohet një numër i mjaftueshëm orësh për studimin e tij. Si të gjitha ekuacionet lineare, edhe ekuacionet tona nuk bëjnë përjashtim sipas shumë rregullave objektive, hidhini një sy pika të ndryshme vizion, dhe do të jetë e thjeshtë dhe e mjaftueshme për të vendosur kushtet fillestare. Intervali i rritjes përkon me intervalin e konveksitetit të funksionit. Zgjidhja e ekuacioneve në internet. Studimi i teorisë bazohet në ekuacione në internet nga seksione të shumta mbi studimin e disiplinës kryesore. Në rastin e një qasjeje të tillë në probleme të pasigurta, është shumë e thjeshtë të paraqitet zgjidhja e ekuacioneve në një formë të paracaktuar dhe jo vetëm të nxirren përfundime, por edhe të parashikohet rezultati i një zgjidhjeje kaq pozitive. Mësoni fusha lëndore shërbimi do të na ndihmojë më së shumti traditat më të mira matematikë, pikërisht siç është zakon në Lindje. NË momentet më të mira intervali kohor, detyra të ngjashme u shumëzuan me një faktor të përbashkët prej dhjetë. Bollëku i shumëzimeve të variablave të shumtë në kalkulatorin e ekuacionit filloi të shumëzohej me cilësi dhe jo me variabla sasiorë si masa ose pesha e trupit. Për të shmangur rastet e çekuilibrit sistemi material, derivimi i një konverteri tredimensional bazuar në konvergjencën e parëndësishme të jodegjeneruar matricat matematikore. Plotësoni detyrën dhe zgjidhni ekuacionin në koordinatat e dhëna, meqenëse prodhimi është i panjohur paraprakisht, ashtu si të gjitha variablat e përfshirë në kohën pas hapësinore. Aktiv afatshkurtër zhvendosni faktorin e përbashkët përtej kllapave dhe ndajeni me më të madhin pjesëtues i përbashkët të dyja pjesët paraprakisht. Nga nëngrupi i mbuluar i numrave që rezulton, nxirrni në mënyrë të detajuar tridhjetë e tre pika me radhë në periudhë e shkurtër. Në masën që në mënyrën më të mirë të mundshme Zgjidhja e një ekuacioni në internet është e mundur për çdo student Duke parë përpara, le të themi një gjë e rëndësishme, por kyçe, pa të cilën do të jetë e vështirë të jetosh në të ardhmen. Në shekullin e kaluar, shkencëtari i madh vuri re një sërë modelesh në teorinë e matematikës. Në praktikë, rezultati nuk ishte përshtypja e pritshme e ngjarjeve. Megjithatë, në parim, pikërisht kjo zgjidhje e ekuacioneve në internet ndihmon për të përmirësuar të kuptuarit dhe perceptimin e një qasjeje holistike për studimin dhe konsolidimin praktik të materialit teorik të mbuluar nga studentët. Është shumë më e lehtë për ta bërë këtë gjatë kohës së studimit.

=

AGJENCIA FEDERALE PËR ARSIM

INSTITUCIONI ARSIMOR SHTETËROR

ARSIMI I LARTË PROFESIONAL

"UNIVERSITETI SHTETËROR PEDAGOGJIK I VORONEZH"

DEPARTAMENTI AGLEBRE DHE GJEOMETRI

Numrat kompleks

(detyrat e zgjedhura)

PUNË KUALIFIKUESE E diplomuar

specialiteti 050201.65 matematikë

(me specialitet shtesë 050202.65 informatikë)

Plotësuar nga: student i vitit të 5-të

fizike dhe matematikore

fakultetit

Drejtues shkencor:

VORONEZH – 2008


1. Hyrje…………………………………………………………………………..

2. Numrat kompleksë (probleme të zgjedhura)

2.1. Numrat kompleksë në formë algjebrike………………………….

2.2. Interpretimi gjeometrik i numrave kompleks…………………

2.3. Forma trigonometrike e numrave kompleks

2.4. Zbatimi i teorisë së numrave kompleksë në zgjidhjen e ekuacioneve të shkallës 3 dhe 4……………………………………………………………………………………

2.5. Numrat kompleks dhe parametrat……………………………………………

3. Përfundimi………………………………………………………………………………

4. Lista e referencave………………………………………………………


1. Hyrje

Në programin e matematikës kursi shkollor prezantohet teoria e numrave duke përdorur shembuj të bashkësive numrat natyrorë, i tërë, racional, irracional, d.m.th. në grupin e numrave realë, imazhet e të cilëve mbushin të gjithë boshti numerik. Por tashmë në klasën e 8-të nuk ka furnizim të mjaftueshëm të numrave realë kur zgjidhen ekuacionet kuadratike me një diskriminues negativ. Prandaj, ishte e nevojshme të plotësohej stoku i numrave realë me ndihmën e numrave kompleksë, për të cilët rrënja katrore e numër negativ ka kuptim.

Zgjedhja e temës “Numrat kompleks” si temë e diplomimit punë kualifikuese, është se koncepti i një numri kompleks zgjeron njohuritë e nxënësve rreth sistemet e numrave, në lidhje me zgjidhjen e një klase të gjerë problemesh të përmbajtjes algjebrike dhe gjeometrike, në lidhje me zgjidhjen ekuacionet algjebrikeçdo shkallë dhe për zgjidhjen e problemeve me parametra.

Kjo tezë shqyrton zgjidhjen e 82 problemeve.

Pjesa e parë e seksionit kryesor "Numrat kompleks" ofron zgjidhje për problemet me numra kompleks në formë algjebrike, përcakton veprimet e mbledhjes, zbritjes, shumëzimit, pjesëtimit, operacionin e konjugimit për numrat kompleks në formë algjebrike, fuqinë e një njësie imagjinare. , moduli i një numri kompleks, dhe gjithashtu përcakton rregullin e nxjerrjes së rrënjës katrore të një numri kompleks.

Në pjesën e dytë zgjidhen problema mbi interpretimin gjeometrik të numrave kompleksë në formën e pikave ose vektorëve të planit kompleks.

Pjesa e tretë shqyrton veprimet mbi numrat kompleks në formë trigonometrike. Formulat e përdorura janë: Moivre dhe nxjerrja e rrënjës së një numri kompleks.

Pjesa e katërt i kushtohet zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës 3 dhe 4.

Gjatë zgjidhjes së problemeve në pjesën e fundit, "Numrat kompleks dhe parametrat", përdoret dhe konsolidohet informacioni i dhënë në pjesët e mëparshme. Një seri problemesh në kapitull i kushtohen përcaktimit të familjeve të vijave në planin kompleks, dhënë nga ekuacionet(pabarazitë) me një parametër. Në një pjesë të ushtrimeve ju duhet të zgjidhni ekuacionet me një parametër (mbi fushën C). Ka detyra ku një ndryshore komplekse përmbush njëkohësisht një sërë kushtesh. Një tipar i veçantë i zgjidhjes së problemeve në këtë seksion është reduktimi i shumë prej tyre në zgjidhjen e ekuacioneve (pabarazive, sistemeve) të shkallës së dytë, irracionale, trigonometrike me një parametër.

Një tipar i paraqitjes së materialit në secilën pjesë është inputi fillestar bazat teorike, dhe më pas zbatimi i tyre praktik në zgjidhjen e problemeve.

Në fund tezëështë paraqitur një listë e literaturës së përdorur. Shumica e tyre paraqesin material teorik, merren parasysh dhe jepen zgjidhje për disa probleme detyra praktike për një vendim të pavarur. Vëmendje e veçantë Unë do të doja t'u referohesha burimeve të tilla si:

1. Gordienko N.A., Belyaeva E.S., Firstov V.E., Serebryakova I.V. Numrat kompleks dhe zbatimet e tyre: Teksti mësimor. . Materiali mjete mësimore paraqitet në formë leksionesh dhe ushtrimesh praktike.

2. Shklyarsky D.O., Chentsov N.N., Yaglom I.M. Detyrat e zgjedhura dhe teorema të matematikës elementare. Aritmetika dhe algjebra. Libri përmban 320 probleme që lidhen me algjebrën, aritmetikën dhe teorinë e numrave. Këto detyra ndryshojnë dukshëm në natyrë nga detyrat standarde të shkollës.


2. Numrat kompleksë (probleme të zgjedhura)

2.1. Numrat kompleksë në formë algjebrike

Zgjidhja e shumë problemeve në matematikë dhe në fizikë zbret në zgjidhjen e ekuacioneve algjebrike, d.m.th. ekuacionet e formës

,

ku a0, a1, …, an janë numra realë. Prandaj, studimi i ekuacioneve algjebrike është një nga çështjet më të rëndësishme në matematikë. Për shembull, rrënjë të vërteta nuk ka një ekuacion kuadratik me diskriminues negativ. Ekuacioni më i thjeshtë i tillë është ekuacioni

.

Në mënyrë që ky ekuacion të ketë një zgjidhje, është e nevojshme të zgjerohet bashkësia e numrave realë duke i shtuar rrënjën e ekuacionit.

.

Le ta shënojmë këtë rrënjë me

. Kështu, sipas përkufizimit, ose,

prandaj,

.

quhet njësi imagjinare. Me ndihmën e tij dhe me ndihmën e një çifti numrash realë, përpilohet një shprehje e formës.

Shprehja që rezulton u quajt numra komplekse sepse ato përmbanin pjesë reale dhe imagjinare.

Pra, numrat kompleks janë shprehje të formës

, dhe janë numra realë, dhe është një simbol i caktuar që plotëson kushtin . Numri quhet pjesa reale e një numri kompleks, dhe numri është pjesa imagjinare e tij. Simbolet , përdoren për t'i treguar ato.

Numrat kompleksë të formularit janë numra realë

, dhe janë numra realë, dhe është një simbol i caktuar që plotëson kushtin . Numri quhet pjesa reale e një numri kompleks, dhe numri është pjesa imagjinare e tij. Simbolet , përdoren për t'i treguar ato.

dhe, për rrjedhojë, bashkësia e numrave kompleks përmban bashkësinë e numrave realë.

quhen thjesht imagjinare. Dy numra kompleks të formës dhe quhen të barabartë nëse pjesët reale dhe imagjinare të tyre janë të barabarta, d.m.th. nëse barazitë, .



Shënimi algjebrik i numrave kompleks lejon veprimet mbi ta sipas rregullave të zakonshme të algjebrës. Sa është shpejtësia e dritës

Lëkundjet harmonike Formula e fizikës së frekuencës së lëkundjeve .
© 2015 | Rreth sajtit
| Kontaktet