Përdorimi i ekuacioneve është i përhapur në jetën tonë. Ato përdoren në shumë llogaritje, ndërtime strukturash dhe madje edhe sporte. Njeriu përdorte ekuacione në kohët e lashta, dhe që atëherë përdorimi i tyre vetëm është rritur. Për qartësi, le të zgjidhim problemin e mëposhtëm:
Llogaritni \[ (z_1\cdot z_2)^(10),\] nëse \
Para së gjithash, le t'i kushtojmë vëmendje faktit që një numër përfaqësohet në algjebrikë, tjetri - në formë trigonometrike. Duhet të thjeshtohet dhe të sillet pamje tjetër
\[ z_2 = \frac(1)(4) (\cos\frac(\pi)(6)+i\sin\frac(\pi)(6)).\]
Shprehja \ thotë se para së gjithash bëjmë shumëzim dhe ngritje në fuqinë e 10-të duke përdorur formulën Moivre. Kjo formulë është formuluar për formën trigonometrike të një numri kompleks.
Ne marrim:
\[\fillim(vmatrix) z_1 \end(vmatrix)=\sqrt ((-1)^2+(\sqrt 3)^2)=\sqrt 4=2\]
\[\varphi_1=\pi+\arctan\frac(\sqrt 3)(-1)=\pi\arctan\sqrt 3=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2\pi)( 3)\]
Duke ndjekur rregullat për shumëzimin e numrave kompleksë në formë trigonometrike, ne bëjmë si më poshtë:
Në rastin tonë:
\[(z_1+z_2)^(10)=(\frac(1)(2))^(10)\cdot(\cos (10\cdot\frac(5\pi)(6))+i\sin \cdot\frac(5\pi)(6))=\frac(1)(2^(10))\cdot\cos \frac(25\pi)(3)+i\sin\frac(25\ pi)(3).\]
Duke e bërë të saktë thyesën \[\frac(25)(3)=8\frac(1)(3)\], arrijmë në përfundimin se mund të "përdredhim" 4 kthesa \[(8\pi rad.): \]
\[ (z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi)(3 ))\]
Përgjigje: \[(z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi) (3))\] Ky ekuacion mund të zgjidhet në një mënyrë tjetër, e cila përfundon në sjelljen e numrit të 2-të në formë algjebrike dhe më pas shumëzimin në formë algjebrike
Ku mund të zgjidh një sistem ekuacionesh me numra kompleksë në internet?
Sot në klasë do të praktikojmë veprimet tipike me numra kompleks, si dhe do të zotërojmë teknikën e zgjidhjes së shprehjeve, ekuacioneve dhe sistemeve të ekuacioneve që përmbajnë këta numra. Kjo punëtoriështë një vazhdim i mësimit, dhe për këtë arsye nëse nuk jeni të njohur me temën, atëherë ju lutemi ndiqni lidhjen e mësipërme. Epo, për lexuesit më të përgatitur ju sugjeroj të ngroheni menjëherë:
Shembulli 1
Thjeshtoni një shprehje , Nëse . Paraqisni rezultatin në formë trigonometrike dhe vizatoni atë plan kompleks.
Zgjidhje: Pra, ju duhet të zëvendësoni fraksionin "e tmerrshëm", të bëni thjeshtime dhe të konvertoni rezultatin numër kompleks V formë trigonometrike. Plus një vizatim.
Cila është mënyra më e mirë për të zyrtarizuar vendimin? Me "të sofistikuara" shprehje algjebrikeËshtë më mirë ta kuptoni hap pas hapi. Së pari, vëmendja shpërqendrohet më pak, dhe së dyti, nëse detyra nuk pranohet, do të jetë shumë më e lehtë të gjesh gabimin.
1) Së pari, le të thjeshtojmë numëruesin. Le të zëvendësojmë vlerën në të, hapim kllapat dhe rregullojmë modelin e flokëve:
...Po, një Kuazimodo e tillë erdhi nga numrat kompleks...
Më lejoni t'ju kujtoj se gjatë shndërrimeve përdoren gjëra krejtësisht të thjeshta - rregulli i shumëzimit të polinomeve dhe barazia që tashmë është bërë banale. Gjëja kryesore është të bëni kujdes dhe të mos ngatërroheni nga shenjat.
2) Tani vjen emëruesi. Nëse, atëherë:
Vini re se në çfarë interpretimi të pazakontë përdoret formula e shumës katrore. Përndryshe, këtu mund të kryeni një rirregullim nënformula Natyrisht, rezultatet do të jenë të njëjta.
3) Dhe së fundi, e gjithë shprehja. Nëse, atëherë:
Për të hequr qafe një thyesë, shumëzoni numëruesin dhe emëruesin me shprehjen e konjuguar të emëruesit. Në të njëjtën kohë, për qëllimet e aplikimit formulat e diferencës katrore duhet së pari (dhe tashmë një domosdoshmëri!) vendos negativ pjesë reale për vendin e 2-të:
NE NUK JEMI NXITUAR! Është më mirë të luash të sigurt dhe të bësh një hap shtesë.
Në shprehje, ekuacione dhe sisteme me numra komplekse, llogaritje mendjemadhe verbale më e ngjeshur se kurrë!
Në hapin e fundit ndodhi prerje e mirë dhe kjo është vetëm një shenjë e madhe.
Shënim : në mënyrë rigoroze, këtu ndodhi pjesëtimi i një numri kompleks me numrin kompleks 50 (mos harroni se). Unë kam heshtur për këtë nuancë deri më tani dhe do të flasim për të pak më vonë.
Le ta shënojmë arritjen tonë me shkronjën
Le të paraqesim rezultatin e marrë në formë trigonometrike. Në përgjithësi, këtu mund të bëni pa një vizatim, por meqenëse kërkohet, është disi më racionale ta bëni atë tani:
Le të llogarisim modulin e një numri kompleks:
Nëse vizatoni në shkallën 1 njësi. = 1 cm (2 qeliza fletoreje), atëherë vlera e fituar mund të kontrollohet lehtësisht duke përdorur një vizore të rregullt.
Le të gjejmë një argument. Meqenëse numri ndodhet në 2 tremujori koordinativ, Se:
Këndi mund të kontrollohet lehtësisht me një raportor. Ky është avantazhi i padyshimtë i vizatimit.
Kështu: – numri i kërkuar në formë trigonometrike.
Le të kontrollojmë:
, që ishte ajo që duhej verifikuar.
Është i përshtatshëm për të gjetur vlera të panjohura të sinusit dhe kosinusit duke përdorur tabelë trigonometrike.
Përgjigju:
Një shembull i ngjashëm për vendim i pavarur:
Shembulli 2
Thjeshtoni një shprehje , Ku. Vizato numrin që rezulton në rrafshin kompleks dhe shkruaje në formë eksponenciale.
Mundohuni të mos humbisni shembuj edukativë. Mund të duken të thjeshta, por pa stërvitje, "hyrja në një pellg" nuk është thjesht e lehtë, por shumë e lehtë. Prandaj, ne "e kemi në dorë".
Shpesh detyra nuk e lejon mënyra e vetme zgjidhje:
Shembulli 3
Llogaritni nëse,
Zgjidhje: para së gjithash, le t'i kushtojmë vëmendje kushtit origjinal - njëri numër paraqitet në formë algjebrike, dhe tjetri në formë trigonometrike, madje edhe me gradë. Le ta rishkruajmë menjëherë në një formë më të njohur: .
Në çfarë forme duhet të kryhen llogaritjet? Shprehja padyshim përfshin shumëzimin e parë dhe ngritjen e mëtejshme në fuqinë e 10-të formula e Moivre, e cila është formuluar për formën trigonometrike të një numri kompleks. Pra, duket më logjike të konvertohet numri i parë. Le të gjejmë modulin dhe argumentin e tij:
Ne përdorim rregullin për shumëzimin e numrave kompleksë në formë trigonometrike:
nëse, atëherë
Duke e bërë thyesën të saktë, arrijmë në përfundimin se mund të "përdredhim" 4 kthesa (i gëzuar):
Zgjidhja e dytëështë shndërrimi i numrit të dytë në formë algjebrike , kryeni shumëzimin në formë algjebrike, kthejeni rezultatin në formë trigonometrike dhe përdorni formulën e Moivre.
Siç mund ta shihni, ekziston një veprim "shtesë". Ata që dëshirojnë mund ta ndjekin vendimin dhe të sigurohen që rezultatet të jenë të njëjta.
Kushti nuk thotë asgjë për formën e numrit kompleks përfundimtar, kështu që:
Përgjigju:
Por "për bukuri" ose sipas kërkesës, rezultati është i lehtë të imagjinohet në formë algjebrike:
Më vete:
Shembulli 4
Thjeshtoni një shprehje
Këtu duhet të kujtojmë veprimet me gradë, edhe pse një rregull i dobishëm Nuk është në manual, këtu është: .
Dhe një shënim më i rëndësishëm: shembulli mund të zgjidhet në dy stile. Mundësia e parë është të punoni me dy numrat dhe të qenit në rregull me thyesat. Opsioni i dytë është të përfaqësohet çdo numër si herësi i dy numrave: Dhe hiqni qafe strukturën katërkatëshe. Nga pikëpamja formale, nuk ka rëndësi se si vendosni, por ka një ndryshim thelbësor! Ju lutemi mendoni me kujdes për:
është një numër kompleks;
është herësi i dy numrave kompleks ( dhe ), por në varësi të kontekstit, mund të thuash edhe këtë: një numër i paraqitur si herës i dy numrave kompleks.
Zgjidhje e Shpejtë dhe përgjigja në fund të orës së mësimit.
Shprehjet janë të mira, por ekuacionet janë më të mira:
Si ndryshojnë ato nga ekuacionet "të zakonshme"? Shanset =)
Në dritën e komentit të mësipërm, le të fillojmë me këtë shembull:
Shembulli 5
Zgjidhe ekuacionin
Dhe një preambulë e menjëhershme "e nxehtë në thembra": fillimisht anën e djathtë ekuacioni pozicionohet si herës i dy numrave kompleks (dhe 13), dhe për këtë arsye do të ishte formë e keqe të rishkruhej kushti me numrin (edhe pse kjo nuk do të shkaktojë një gabim). Më qartë këtë dallim, meqë ra fjala, është e dukshme në fraksion - nëse, duke folur relativisht, , atëherë kjo vlerë kuptohet kryesisht si Rrënja komplekse "e plotë" e ekuacionit, dhe jo si pjesëtues i një numri, dhe sidomos jo si pjesë e një numri!
Zgjidhje, në parim, gjithashtu mund të organizohet hap pas hapi, por në në këtë rast loja nuk ia vlen qiriri. Detyra fillestare është të thjeshtojë gjithçka që nuk përmban të panjohurën "z", duke rezultuar në reduktimin e ekuacionit në formën:
Ne thjeshtojmë me besim fraksioni i mesëm:
Ne e transferojmë rezultatin në anën e djathtë dhe gjejmë ndryshimin:
Shënim
: dhe përsëri ju tërheq vëmendjen në pikën kuptimplote - këtu nuk e zbritëm numrin nga numri, por i sollëm thyesat në emërues i përbashkët! Duhet të theksohet se tashmë në PROGRES të zgjidhjes nuk është e ndaluar të punohet me numra: , megjithatë, në shembullin në shqyrtim ky stil është më i dëmshëm sesa i dobishëm =)
Sipas rregullit të proporcionit, ne shprehim "zet":
Tani mund të pjesëtoni dhe të shumëzoni përsëri me konjugimin, por numrat e dyshimtë të ngjashëm në numërues dhe emërues sugjerojnë lëvizjen tjetër:
Përgjigju:
Për të kontrolluar, le të zëvendësojmë vlerën që rezulton në anën e majtë ekuacioni origjinal dhe le të bëjmë disa thjeshtime:
– fitohet ana e djathtë e ekuacionit origjinal, pra rrënja gjendet saktë.
...Tani, tani... Do të gjej diçka më interesante për ju... ja ku shkoni:
Shembulli 6
Zgjidhe ekuacionin
Ky ekuacion zvogëlohet në formën , që do të thotë se është linear. Unë mendoj se sugjerimi është i qartë - shkoni për të!
Sigurisht, si mund të jetosh pa të:
Në klasë Numrat kompleksë për dummies ne zbuluam se ekuacioni kuadratik me koeficientë realë mund të kenë rrënjë komplekse të konjuguara, pas së cilës lind një pyetje logjike: pse, në fakt, vetë koeficientët nuk mund të jenë kompleks? Më lejoni të formuloj një rast të përgjithshëm:
Ekuacioni kuadratik me koeficientë komplekse arbitrare (1 ose 2 prej të cilave ose të treja mund të jenë veçanërisht të vlefshme) ka dy dhe vetëm dy rrënjë komplekse (ndoshta njëra ose të dyja janë të vlefshme). Në të njëjtën kohë, rrënjët (si reale ashtu edhe me pjesë imagjinare jo zero) mund të përkojë (të jetë shumëfish).
Një ekuacion kuadratik me koeficientë kompleksë zgjidhet duke përdorur të njëjtën skemë si ekuacioni "shkollë"., me disa ndryshime në teknikën e llogaritjes:
Shembulli 7
Gjeni rrënjët e një ekuacioni kuadratik
Zgjidhje: njësia imagjinare vjen e para dhe, në parim, mund ta heqësh qafe atë (duke shumëzuar të dyja anët me), megjithatë, nuk ka nevojë të veçantë për këtë.
Për lehtësi, ne shkruajmë koeficientët:
Të mos humbasim “minusin” e një anëtari të lirë! ...Mund të mos jetë e qartë për të gjithë - Unë do ta rishkruaj ekuacionin në formë standarde :
Le të llogarisim diskriminuesin:
Dhe këtu është pengesa kryesore:
Aplikimi formulë e përgjithshme nxjerrja e rrënjës (shih paragrafin e fundit të artikullit Numrat kompleksë për dummies)
i ndërlikuar nga vështirësi serioze që lidhen me argumentin radikal të numrit kompleks (shikojeni vetë). Por ka një mënyrë tjetër, "algjebrike"! Ne do të kërkojmë rrënjën në formën:
Le të vendosim në katror të dy anët:
Dy numra kompleks janë të barabartë nëse pjesët e tyre reale dhe imagjinare janë të barabarta. Kështu, marrim sistemin e mëposhtëm:
Sistemi është më i lehtë për t'u zgjidhur duke zgjedhur (një mënyrë më e plotë është të shprehemi nga ekuacioni i 2-të - të zëvendësojmë në të 1-tin, të marrim dhe zgjidhim një ekuacion bikuadratik). Duke supozuar se autori i problemit nuk është një përbindësh, ne parashtrojmë hipotezën se dhe janë numra të plotë. Nga ekuacioni i parë rezulton se "x" modul më shumë se "Y". Përveç kësaj, produkti pozitiv na tregon se të panjohurat janë të së njëjtës shenjë. Bazuar në sa më sipër dhe duke u fokusuar në ekuacionin e 2-të, shkruajmë të gjitha çiftet që përputhen me të:
Është e qartë se ekuacioni i parë i sistemit plotësohet nga dy çiftet e fundit, pra:
Një kontroll i ndërmjetëm nuk do të dëmtonte:
e cila ishte ajo që duhej të kontrollohej.
Ju mund të zgjidhni si një rrënjë "pune". ndonjë kuptimi. Është e qartë se është më mirë të merret versioni pa "kundër":
Ne gjejmë rrënjët, duke mos harruar, meqë ra fjala, se:
Përgjigju:
Le të kontrollojmë nëse rrënjët e gjetura plotësojnë ekuacionin :
1) Le të zëvendësojmë:
barazi e vërtetë.
2) Le të zëvendësojmë:
barazi e vërtetë.
Kështu, zgjidhja u gjet drejt.
Bazuar në problemin që sapo diskutuam:
Shembulli 8
Gjeni rrënjët e ekuacionit
Duhet të theksohet se rrënja katrore e thjesht komplekse numrat mund të nxirren lehtësisht duke përdorur formulën e përgjithshme , Ku , kështu që të dyja metodat janë paraqitur në mostër. Vërejtja e dytë e dobishme ka të bëjë me faktin se nxjerrja paraprake e rrënjës së një konstante nuk e thjeshton aspak zgjidhjen.
Tani mund të relaksoheni - në këtë shembull do të largoheni me një frikë të lehtë :)
Shembulli 9
Zgjidheni ekuacionin dhe kontrolloni
Zgjidhjet dhe përgjigjet në fund të orës së mësimit.
Paragrafi i fundit i artikullit i kushtohet
Le të pushojmë dhe... mos u tensiono =) Le të shqyrtojmë rastin më të thjeshtë - një sistem prej dy ekuacionesh lineare me dy të panjohura:
Shembulli 10
Të zgjidhë sistemin e ekuacioneve. Paraqisni përgjigjen në forma algjebrike dhe eksponenciale, përshkruani rrënjët në vizatim.
Zgjidhje: vetë kushti sugjeron që sistemi ka një zgjidhje unike, domethënë duhet të gjejmë dy numra që plotësojnë ndaj të gjithëve ekuacioni i sistemit.
Sistemi vërtet mund të zgjidhet në një mënyrë "fëminore". (shpreh një variabël në terma të një tjetri)
, megjithatë është shumë më i përshtatshëm për t'u përdorur Formulat e Cramer-it. Le të llogarisim përcaktues kryesor sistemet:
, që do të thotë se sistemi ka një zgjidhje unike.
E përsëris se është më mirë të merrni kohën tuaj dhe të shkruani hapat sa më shumë të jetë e mundur:
Ne shumëzojmë numëruesin dhe emëruesin me një njësi imagjinare dhe marrim rrënjën e parë:
Po kështu:
Janë marrë anët përkatëse të djathta, etj.
Le të bëjmë vizatimin:
Le të paraqesim rrënjët në formë eksponenciale. Për ta bërë këtë, ju duhet të gjeni modulet dhe argumentet e tyre:
1) - arktangjentja e "dy" llogaritet "dobët", kështu që e lëmë kështu:
AGJENCIA FEDERALE PËR ARSIM
INSTITUCIONI ARSIMOR SHTETËROR
ARSIMI I LARTË PROFESIONAL
"UNIVERSITETI SHTETËROR PEDAGOGJIK I VORONEZH"
DEPARTAMENTI AGLEBRE DHE GJEOMETRI
Numrat kompleks
(detyrat e zgjedhura)
PUNË KUALIFIKUESE E diplomuar
specialiteti 050201.65 matematikë
(me specialitet shtesë 050202.65 informatikë)
Plotësuar nga: student i vitit të 5-të
fizike dhe matematikore
fakultetit
Drejtues shkencor:
VORONEZH – 2008
1. Hyrje…………………………………………………………………………..
2. Numrat kompleksë (probleme të zgjedhura)
2.1. Numrat kompleksë në formë algjebrike………………………….
2.2. Interpretimi gjeometrik i numrave kompleks…………………
2.3. Forma trigonometrike e numrave kompleks
2.4. Zbatimi i teorisë së numrave kompleksë në zgjidhjen e ekuacioneve të shkallës 3 dhe 4……………………………………………………………………………………
2.5. Numrat kompleks dhe parametrat……………………………………………
3. Përfundimi………………………………………………………………………………
4. Lista e referencave………………………………………………………
1. Hyrje
Në programin e matematikës kursi shkollor prezantohet teoria e numrave duke përdorur shembuj të bashkësive numrat natyrorë, i tërë, racional, irracional, d.m.th. në grupin e numrave realë, imazhet e të cilëve mbushin të gjithë boshti numerik. Por tashmë në klasën e 8-të nuk ka furnizim të mjaftueshëm të numrave realë kur zgjidhen ekuacionet kuadratike me një diskriminues negativ. Prandaj, ishte e nevojshme të plotësohej stoku i numrave realë me ndihmën e numrave kompleksë, për të cilët rrënja katrore e numër negativ ka kuptim.
Zgjedhja e temës “Numrat kompleks” si temë e diplomimit punë kualifikuese, është se koncepti i një numri kompleks zgjeron njohuritë e nxënësve rreth sistemet e numrave, në lidhje me zgjidhjen e një klase të gjerë problemesh të përmbajtjes algjebrike dhe gjeometrike, në lidhje me zgjidhjen ekuacionet algjebrikeçdo shkallë dhe për zgjidhjen e problemeve me parametra.
Kjo tezë shqyrton zgjidhjen e 82 problemeve.
Pjesa e parë e seksionit kryesor "Numrat kompleks" ofron zgjidhje për problemet me numra kompleks në formë algjebrike, përcakton veprimet e mbledhjes, zbritjes, shumëzimit, pjesëtimit, operacionin e konjugimit për numrat kompleks në formë algjebrike, fuqinë e një njësie imagjinare. , moduli i një numri kompleks, dhe gjithashtu përcakton rregullin e nxjerrjes së rrënjës katrore të një numri kompleks.
Në pjesën e dytë zgjidhen problema mbi interpretimin gjeometrik të numrave kompleksë në formën e pikave ose vektorëve të planit kompleks.
Pjesa e tretë shqyrton veprimet mbi numrat kompleks në formë trigonometrike. Formulat e përdorura janë: Moivre dhe nxjerrja e rrënjës së një numri kompleks.
Pjesa e katërt i kushtohet zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës 3 dhe 4.
Gjatë zgjidhjes së problemeve në pjesën e fundit, "Numrat kompleks dhe parametrat", përdoret dhe konsolidohet informacioni i dhënë në pjesët e mëparshme. Një seri problemesh në kapitull i kushtohen përcaktimit të familjeve të vijave në planin kompleks, dhënë nga ekuacionet(pabarazitë) me një parametër. Në një pjesë të ushtrimeve ju duhet të zgjidhni ekuacionet me një parametër (mbi fushën C). Ka detyra ku një ndryshore komplekse përmbush njëkohësisht një sërë kushtesh. Një tipar i veçantë i zgjidhjes së problemeve në këtë seksion është reduktimi i shumë prej tyre në zgjidhjen e ekuacioneve (pabarazive, sistemeve) të shkallës së dytë, irracionale, trigonometrike me një parametër.
Një tipar i paraqitjes së materialit në secilën pjesë është inputi fillestar bazat teorike, dhe më pas zbatimi i tyre praktik në zgjidhjen e problemeve.
Në fund tezëështë paraqitur një listë e literaturës së përdorur. Shumica e tyre paraqesin material teorik, merren parasysh dhe jepen zgjidhje për disa probleme detyra praktike për një vendim të pavarur. Vëmendje e veçantë Unë do të doja t'u referohesha burimeve të tilla si:
1. Gordienko N.A., Belyaeva E.S., Firstov V.E., Serebryakova I.V. Numrat kompleks dhe zbatimet e tyre: Teksti mësimor. . Materiali mjete mësimore paraqitet në formë leksionesh dhe ushtrimesh praktike.
2. Shklyarsky D.O., Chentsov N.N., Yaglom I.M. Detyrat e zgjedhura dhe teorema të matematikës elementare. Aritmetika dhe algjebra. Libri përmban 320 probleme që lidhen me algjebrën, aritmetikën dhe teorinë e numrave. Këto detyra ndryshojnë dukshëm në natyrë nga detyrat standarde të shkollës.
2. Numrat kompleksë (probleme të zgjedhura)
2.1. Numrat kompleksë në formë algjebrike
Zgjidhja e shumë problemeve në matematikë dhe në fizikë zbret në zgjidhjen e ekuacioneve algjebrike, d.m.th. ekuacionet e formës
,ku a0, a1, …, an janë numra realë. Prandaj, studimi i ekuacioneve algjebrike është një nga çështjet më të rëndësishme në matematikë. Për shembull, rrënjë të vërteta nuk ka një ekuacion kuadratik me diskriminues negativ. Ekuacioni më i thjeshtë i tillë është ekuacioni
.Në mënyrë që ky ekuacion të ketë një zgjidhje, është e nevojshme të zgjerohet bashkësia e numrave realë duke i shtuar rrënjën e ekuacionit.
.Le ta shënojmë këtë rrënjë me
. Kështu, sipas përkufizimit, ose,prandaj,
.quhet njësi imagjinare. Me ndihmën e tij dhe me ndihmën e një çifti numrash realë, përpilohet një shprehje e formës.
Shprehja që rezulton u quajt numra komplekse sepse ato përmbanin pjesë reale dhe imagjinare.
Pra, numrat kompleks janë shprehje të formës, dhe janë numra realë, dhe është një simbol i caktuar që plotëson kushtin . Numri quhet pjesa reale e një numri kompleks, dhe numri është pjesa imagjinare e tij. Simbolet , përdoren për t'i treguar ato.
Numrat kompleksë të formularit janë numra realë, dhe janë numra realë, dhe është një simbol i caktuar që plotëson kushtin . Numri quhet pjesa reale e një numri kompleks, dhe numri është pjesa imagjinare e tij. Simbolet , përdoren për t'i treguar ato.
dhe, për rrjedhojë, bashkësia e numrave kompleks përmban bashkësinë e numrave realë.quhen thjesht imagjinare. Dy numra kompleks të formës dhe quhen të barabartë nëse pjesët reale dhe imagjinare të tyre janë të barabarta, d.m.th. nëse barazitë, .