Gjeni këndin ndërmjet drejtëzave të dhëna nga ekuacionet parametrike. Këndi ndërmjet dy vijave të drejta

Udhëzimet

Ju lutemi vini re

Periudha e funksionit tangjent trigonometrik është e barabartë me 180 gradë, që do të thotë se këndet e pjerrësisë së drejtëzave, në vlerë absolute, nuk mund ta kalojnë këtë vlerë.

Këshilla të dobishme

Nëse koeficientët këndorë janë të barabartë me njëri-tjetrin, atëherë këndi midis vijave të tilla është 0, pasi vija të tilla ose përkojnë ose janë paralele.

Për të përcaktuar vlerën e këndit midis vijave kryqëzuese, është e nevojshme që të dy linjat (ose njëra prej tyre) të zhvendosen në një pozicion të ri duke përdorur metodën e përkthimit paralel derisa ato të kryqëzohen. Pas kësaj, duhet të gjeni këndin midis vijave të kryqëzuara që rezultojnë.

Do t'ju duhet

• Vizore, trekëndësh kënddrejtë, laps, këndmues.

Udhëzimet

Pra, le të jepet vektori V = (a, b, c) dhe rrafshi A x + B y + C z = 0, ku A, B dhe C janë koordinatat e normales N. Pastaj kosinusi i këndit α ndërmjet vektorëve V dhe N është e barabartë me: cos α = (a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²)).

Për të llogaritur këndin në gradë ose radianë, duhet të llogarisni funksionin e anasjelltë të kosinusit nga shprehja që rezulton, d.m.th. arkozina:α = аrsсos ((a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²))).

Shembull: gjeni qoshe ndërmjet vektoriale(5, -3, 8) dhe aeroplan, dhënë me barazimin e përgjithshëm 2 x – 5 y + 3 z = 0. Zgjidhje: shënoni koordinatat e vektorit normal të rrafshit N = (2, -5, 3). Zëvendësoni të gjitha vlerat e njohura në formulën e dhënë: cos α = (10 + 15 + 24)/√3724 ≈ 0,8 → α = 36,87°.

Video mbi temën

Një vijë e drejtë që ka një pikë të përbashkët me një rreth është tangjente me rrethin. Një veçori tjetër e tangjentës është se ajo është gjithmonë pingul me rrezen e tërhequr në pikën e kontaktit, domethënë, tangjentja dhe rrezja formojnë një vijë të drejtë. qoshe. Nëse dy tangjente të një rrethi AB dhe AC janë tërhequr nga një pikë A, atëherë ato janë gjithmonë të barabarta me njëra-tjetrën. Përcaktimi i këndit ndërmjet tangjentëve ( qoshe ABC) është bërë duke përdorur teoremën e Pitagorës.

Udhëzimet

Për të përcaktuar këndin, duhet të dini rrezen e rrethit OB dhe OS dhe distancën e pikës fillestare të tangjentes nga qendra e rrethit - O. Pra, këndet ABO dhe ACO janë të barabarta, rrezja OB është, për shembull, 10 cm, dhe distanca nga qendra e rrethit AO është 15 cm Përcaktoni gjatësinë e tangjentës duke përdorur formulën në përputhje me teoremën e Pitagorës: AB = rrënja katrore e AO2 – OB2 ose 152 - 102 = 225 –. 100 = 125;

A. Le të jepen dy drejtëza Këto drejtëza, siç tregohet në kapitullin 1, formojnë kënde të ndryshme pozitive dhe negative, të cilat mund të jenë ose akute ose të mpirë. Duke ditur një nga këto kënde, ne mund të gjejmë lehtësisht ndonjë tjetër.

Nga rruga, për të gjitha këto kënde vlera numerike e tangjentes është e njëjtë, ndryshimi mund të jetë vetëm në shenjë

Ekuacionet e vijave. Numrat janë projeksionet e vektorëve të drejtimit të drejtëzave të para dhe të dyta. Prandaj, problemi zbret në përcaktimin e këndit midis vektorëve që marrim

Për thjeshtësi, mund të pajtohemi që këndi midis dy vijave të drejta kuptohet si një kënd pozitiv akut (si, për shembull, në Fig. 53).

Atëherë tangjentja e këtij këndi do të jetë gjithmonë pozitive. Kështu, nëse ka një shenjë minus në anën e djathtë të formulës (1), atëherë duhet ta heqim atë, d.m.th., të ruajmë vetëm vlerën absolute.

Shembull. Përcaktoni këndin midis vijave të drejta

Sipas formulës (1) kemi

Me. Nëse tregohet se cila nga anët e këndit është fillimi dhe cila është fundi i tij, atëherë, duke numëruar gjithmonë drejtimin e këndit në drejtim të kundërt të akrepave të orës, mund të nxjerrim diçka më shumë nga formula (1). Siç mund të shihet lehtësisht nga Fig. 53, shenja e marrë në anën e djathtë të formulës (1) do të tregojë se çfarë lloj këndi - akut ose i mpirë - formon vija e dytë e drejtë me të parën.

(Në të vërtetë, nga Fig. 53 shohim se këndi ndërmjet vektorëve të drejtimit të parë dhe të dytë është ose i barabartë me këndin e dëshiruar midis vijave të drejta, ose ndryshon prej tij me ±180°.)

d. Nëse drejtëzat janë paralele, atëherë vektorët e drejtimit të tyre janë paralelë Duke zbatuar kushtin e paralelizmit të dy vektorëve, marrim!

Ky është një kusht i domosdoshëm dhe i mjaftueshëm për paralelizmin e dy drejtëzave.

Shembull. Direkt

janë paralele sepse

e. Nëse drejtëzat janë pingule atëherë edhe vektorët e drejtimit të tyre janë pingul. Duke zbatuar kushtin e pingulitetit të dy vektorëve, marrim kushtin e pingulitetit të dy drejtëzave, përkatësisht

Shembull. Direkt

janë pingul për faktin se

Në lidhje me kushtet e paralelizmit dhe pingulitetit do të zgjidhim dy problemat e mëposhtme.

f. Vizatoni një vijë përmes një pike paralele me drejtëzën e dhënë

Zgjidhja kryhet si kjo. Meqenëse vija e dëshiruar është paralele me këtë, atëherë për vektorin e drejtimit të saj mund të marrim të njëjtin me atë të vijës së dhënë, d.m.th., një vektor me projeksionet A dhe B. Dhe pastaj ekuacioni i vijës së dëshiruar do të shkruhet në formulari (§ 1)

Shembull. Ekuacioni i drejtëzës që kalon nëpër pikën (1; 3) paralel me drejtëzën

do të ketë tjetër!

g. Vizatoni një vijë përmes një pike pingul me drejtëzën e dhënë

Këtu nuk është më e përshtatshme të merret vektori me projeksionet A dhe si vektor udhëzues, por është e nevojshme të merret vektori pingul me të. Prandaj, projeksionet e këtij vektori duhet të zgjidhen sipas kushtit të pingulitetit të të dy vektorëve, d.m.th. sipas kushtit

Ky kusht mund të përmbushet në mënyra të panumërta, pasi këtu është një ekuacion me dy të panjohura, por mënyra më e lehtë është të merret ose atëherë ekuacioni i rreshtit të dëshiruar do të shkruhet në formë

Shembull. Ekuacioni i drejtëzës që kalon në pikën (-7; 2) në një drejtëz pingule

do të ketë si më poshtë (sipas formulës së dytë)!

h. Në rastin kur vijat jepen me ekuacione të formës

Përkufizimi. Nëse jepen dy drejtëza y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, atëherë këndi i mprehtë ndërmjet këtyre drejtëzave do të përcaktohet si

Dy drejtëza janë paralele nëse k 1 = k 2. Dy drejtëza janë pingul nëse k 1 = -1 / k 2.

Teorema. Drejtëzat Ax + Bу + C = 0 dhe A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 janë paralele kur koeficientët A 1 = λA, B 1 = λB janë proporcional. Nëse gjithashtu C 1 = λC, atëherë linjat përkojnë. Si zgjidhje për sistemin e ekuacioneve të këtyre drejtëzave gjenden koordinatat e pikës së prerjes së dy drejtëzave.

Ekuacioni i drejtëzës që kalon në një pikë të caktuar

pingul me një vijë të caktuar

Përkufizimi. Një drejtëz që kalon nëpër pikën M 1 (x 1, y 1) dhe pingul me drejtëzën y ​​= kx + b përfaqësohet nga ekuacioni:

Largësia nga pika në vijë

Teorema. Nëse është dhënë një pikë M(x 0, y 0), atëherë distanca në drejtëzën Ax + Bу + C = 0 përcaktohet si

.

Dëshmi. Le të jetë pika M 1 (x 1, y 1) baza e pingulit të rënë nga pika M në një drejtëz të dhënë. Atëherë distanca midis pikave M dhe M 1:

(1)

Koordinatat x 1 dhe y 1 mund të gjenden duke zgjidhur sistemin e ekuacioneve:

Ekuacioni i dytë i sistemit është ekuacioni i një drejtëze që kalon nëpër një pikë të caktuar M 0 pingul me një drejtëz të caktuar. Nëse e transformojmë ekuacionin e parë të sistemit në formën:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + Nga 0 + C = 0,

atëherë, duke zgjidhur, marrim:

Duke i zëvendësuar këto shprehje në ekuacionin (1), gjejmë:

Teorema është vërtetuar.

Shembull. Përcaktoni këndin ndërmjet drejtëzave: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k1 = -3; k 2 = 2; tgφ = ; φ= p /4.

Shembull. Tregoni se drejtëzat 3x – 5y + 7 = 0 dhe 10x + 6y – 3 = 0 janë pingul.

Zgjidhje. Gjejmë: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, pra, vijat janë pingule.

Shembull. Janë dhënë kulmet e trekëndëshit A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Gjeni ekuacionin e lartësisë të nxjerrë nga kulmi C.

Zgjidhje. Gjejmë ekuacionin e anës AB: ; 4 x = 6 y – 6;

2 x – 3 y + 3 = 0;

Ekuacioni i lartësisë së kërkuar ka formën: Ax + By + C = 0 ose y = kx + b. k = . Atëherë y = . Sepse lartësia kalon nëpër pikën C, atëherë koordinatat e saj plotësojnë këtë ekuacion: nga ku b = 17. Gjithsej: .

Përgjigje: 3 x + 2 y – 34 = 0.

Ekuacioni i një drejtëze që kalon nëpër një pikë të caktuar në një drejtim të caktuar. Ekuacioni i drejtëzës që kalon nëpër dy pika të dhëna. Këndi ndërmjet dy vijave të drejta. Kushti i paralelizmit dhe pingulitetit të dy drejtëzave. Përcaktimi i pikës së kryqëzimit të dy drejtëzave

1. Ekuacioni i drejtëzës që kalon në një pikë të caktuar A(x 1 , y 1) në një drejtim të caktuar, të përcaktuar nga pjerrësia k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

Ky ekuacion përcakton një laps me vija që kalojnë nëpër një pikë A(x 1 , y 1), e cila quhet qendra e rrezes.

2. Ekuacioni i një drejtëze që kalon nëpër dy pika: A(x 1 , y 1) dhe B(x 2 , y 2), e shkruar kështu:

Koeficienti këndor i një vije të drejtë që kalon nëpër dy pika të dhëna përcaktohet nga formula

3. Këndi midis vijave të drejta A Dhe Bështë këndi me të cilin duhet të rrotullohet drejtëza e parë A rreth pikës së kryqëzimit të këtyre vijave në drejtim të kundërt të akrepave të orës derisa të përputhet me vijën e dytë B. Nëse dy drejtëza jepen me ekuacione me pjerrësi

y = k 1 x + B 1 ,

y = k 2 x + B 2 , (4)

atëherë këndi ndërmjet tyre përcaktohet me formulë

Duhet të theksohet se në numëruesin e thyesës, pjerrësia e vijës së parë zbritet nga pjerrësia e vijës së dytë.

Nëse ekuacionet e një drejtëze jepen në formë të përgjithshme

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0,

A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (6)

këndi ndërmjet tyre përcaktohet nga formula

4. Kushtet për paralelizmin e dy drejtëzave:

a) Nëse drejtëzat jepen nga ekuacionet (4) me një koeficient këndor, atëherë kushti i nevojshëm dhe i mjaftueshëm për paralelizmin e tyre është barazia e koeficientëve të tyre këndorë:

k 1 = k 2 . (8)

b) Për rastin kur drejtëzat jepen me ekuacione në formën e përgjithshme (6), kusht i domosdoshëm dhe i mjaftueshëm për paralelizmin e tyre është që koeficientët për koordinatat e rrymës përkatëse në ekuacionet e tyre të jenë proporcionale, d.m.th.

5. Kushtet për pingulitetin e dy drejtëzave:

a) Në rastin kur drejtëzat jepen nga ekuacionet (4) me koeficient këndor, kusht i domosdoshëm dhe i mjaftueshëm për pingulitetin e tyre është që koeficientët këndorë të tyre të jenë të kundërt në madhësi dhe të kundërt në shenjë, d.m.th.

Ky kusht mund të shkruhet edhe në formë

k 1 k 2 = -1. (11)

b) Nëse ekuacionet e drejtëzave janë dhënë në formën e përgjithshme (6), atëherë kushti për pingulitetin e tyre (i domosdoshëm dhe i mjaftueshëm) është që të plotësojnë barazinë.

A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)

6. Koordinatat e pikës së prerjes së dy drejtëzave gjenden duke zgjidhur sistemin e ekuacioneve (6). Drejtëzat (6) priten nëse dhe vetëm nëse

1. Shkruani ekuacionet e drejtëzave që kalojnë në pikën M, njëra prej të cilave është paralele dhe tjetra pingul me drejtëzën e dhënë l.

Do të jetë e dobishme për çdo student që përgatitet për Provimin e Bashkuar të Shtetit në matematikë të përsërisë temën "Gjetja e një këndi midis drejtëzave". Siç tregojnë statistikat, gjatë kalimit të testit të certifikimit, detyrat në këtë seksion të stereometrisë shkaktojnë vështirësi për një numër të madh studentësh. Në të njëjtën kohë, detyrat që kërkojnë gjetjen e këndit ndërmjet vijave të drejta gjenden në Provimin e Unifikuar të Shtetit si në nivelin bazë ashtu edhe në atë të specializuar. Kjo do të thotë që të gjithë duhet të jenë në gjendje t'i zgjidhin ato.

Pikat kryesore

Ekzistojnë 4 lloje të pozicioneve relative të vijave në hapësirë. Ato mund të përkojnë, të kryqëzohen, të jenë paralele ose të kryqëzuara. Këndi midis tyre mund të jetë akut ose i drejtë.

Për të gjetur këndin midis rreshtave në Provimin e Unifikuar të Shtetit ose, për shembull, në zgjidhje, nxënësit e shkollave në Moskë dhe qytete të tjera mund të përdorin disa mënyra për të zgjidhur problemet në këtë seksion të stereometrisë. Ju mund ta përfundoni detyrën duke përdorur ndërtime klasike. Për ta bërë këtë, ia vlen të mësoni aksiomat dhe teoremat themelore të stereometrisë. Nxënësi duhet të jetë i aftë të arsyetojë logjikisht dhe të krijojë vizatime në mënyrë që ta çojë detyrën në një problem planimetrik.

Ju gjithashtu mund të përdorni metodën e vektorit të koordinatave duke përdorur formula, rregulla dhe algoritme të thjeshta. Gjëja kryesore në këtë rast është të kryeni të gjitha llogaritjet në mënyrë korrekte. Projekti arsimor Shkolkovo do t'ju ndihmojë të përmirësoni aftësitë tuaja për zgjidhjen e problemeve në stereometri dhe seksione të tjera të kursit shkollor.

Unë do të jem i shkurtër. Këndi ndërmjet dy vijave të drejta është i barabartë me këndin ndërmjet vektorëve të drejtimit të tyre. Kështu, nëse arrini të gjeni koordinatat e vektorëve të drejtimit a = (x 1 ; y 1 ; z 1) dhe b = (x 2 ; y 2 ​​; z 2), mund të gjeni këndin. Më saktësisht, kosinusi i këndit sipas formulës:

Le të shohim se si funksionon kjo formulë duke përdorur shembuj specifikë:

Detyrë. Në kubin ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, shënohen pikat E dhe F - përkatësisht pikat e mesme të skajeve A 1 B 1 dhe B 1 C 1. Gjeni këndin midis drejtëzave AE dhe BF.

Meqenëse skaji i kubit nuk është i specifikuar, le të vendosim AB = 1. Ne prezantojmë një sistem koordinativ standard: origjina është në pikën A, boshtet x, y, z drejtohen përkatësisht përgjatë AB, AD dhe AA 1. Segmenti njësi është i barabartë me AB = 1. Tani le të gjejmë koordinatat e vektorëve të drejtimit për vijat tona.

Le të gjejmë koordinatat e vektorit AE. Për këtë na duhen pikat A = (0; 0; 0) dhe E = (0.5; 0; 1). Meqenëse pika E është mesi i segmentit A 1 B 1, koordinatat e saj janë të barabarta me mesataren aritmetike të koordinatave të skajeve. Vini re se origjina e vektorit AE përkon me origjinën e koordinatave, kështu që AE = (0.5; 0; 1).

Tani le të shohim vektorin BF. Në mënyrë të ngjashme, ne analizojmë pikat B = (1; 0; 0) dhe F = (1; 0.5; 1), sepse F është mesi i segmentit B 1 C 1. Ne kemi:
BF = (1 − 1; 0,5 − 0; 1 − 0) = (0; 0,5; 1).

Pra, vektorët e drejtimit janë gati. Kosinusi i këndit ndërmjet drejtëzave është kosinusi i këndit ndërmjet vektorëve të drejtimit, pra kemi:

Detyrë. Në një prizëm të rregullt trekëndor ABCA 1 B 1 C 1, të gjitha skajet e të cilit janë të barabarta me 1, pikat D dhe E janë shënuar - përkatësisht pikat e mesme të skajeve A 1 B 1 dhe B 1 C 1. Gjeni këndin midis drejtëzave AD dhe BE.

Le të prezantojmë një sistem koordinativ standard: origjina është në pikën A, boshti x drejtohet përgjatë AB, z - përgjatë AA 1. Le ta drejtojmë boshtin y në mënyrë që rrafshi OXY të përputhet me rrafshin ABC. Segmenti njësi është i barabartë me AB = 1. Le të gjejmë koordinatat e vektorëve të drejtimit për vijat e kërkuara.

Së pari, le të gjejmë koordinatat e vektorit AD. Merrni parasysh pikat: A = (0; 0; 0) dhe D = (0.5; 0; 1), sepse D - mesi i segmentit A 1 B 1. Meqenëse fillimi i vektorit AD përkon me origjinën e koordinatave, marrim AD = (0.5; 0; 1).

Tani le të gjejmë koordinatat e vektorit BE. Pika B = (1; 0; 0) është e lehtë për t'u llogaritur. Me pikën E - mesi i segmentit C 1 B 1 - është pak më e ndërlikuar. Ne kemi:

Mbetet për të gjetur kosinusin e këndit:

Detyrë. Në një prizëm të rregullt gjashtëkëndor ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , të gjitha skajet e të cilit janë të barabarta me 1, janë shënuar pikat K dhe L - përkatësisht pikat e mesme të skajeve A 1 B 1 dhe B 1 C 1. . Gjeni këndin midis drejtëzave AK dhe BL.

Le të prezantojmë një sistem koordinativ standard për një prizëm: ne vendosim origjinën e koordinatave në qendër të bazës së poshtme, boshti x drejtohet përgjatë FC, boshti y drejtohet përmes mesit të segmenteve AB dhe DE, dhe z boshti drejtohet vertikalisht lart. Segmenti njësi është përsëri i barabartë me AB = 1. Le të shkruajmë koordinatat e pikave të interesit për ne:

Pikat K dhe L janë përkatësisht mesi i segmenteve A 1 B 1 dhe B 1 C 1, kështu që koordinatat e tyre gjenden përmes mesatares aritmetike. Duke ditur pikat, gjejmë koordinatat e vektorëve të drejtimit AK dhe BL:

Tani le të gjejmë kosinusin e këndit:

Detyrë. Në një piramidë të rregullt katërkëndëshe SABCD, të gjitha skajet e së cilës janë të barabarta me 1, shënohen pikat E dhe F - përkatësisht mesi i anëve SB dhe SC. Gjeni këndin midis drejtëzave AE dhe BF.

Le të prezantojmë një sistem koordinativ standard: origjina është në pikën A, boshtet x dhe y janë të drejtuar përkatësisht përgjatë AB dhe AD, dhe boshti z drejtohet vertikalisht lart. Segmenti njësi është i barabartë me AB = 1.

Pikat E dhe F janë përkatësisht mesi i segmenteve SB dhe SC, kështu që koordinatat e tyre gjenden si mesatare aritmetike e skajeve. Le të shkruajmë koordinatat e pikave me interes për ne:
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)

Duke ditur pikat, gjejmë koordinatat e vektorëve të drejtimit AE dhe BF:

Koordinatat e vektorit AE përkojnë me koordinatat e pikës E, pasi pika A është origjina. Mbetet për të gjetur kosinusin e këndit: