Frekuenca relative. Stabiliteti i frekuencës relative
Përkufizimi. Lëreni brenda n eksperimente të përsëritura (teston) ndonjë ngjarje A ka ardhur n A një herë.
Numri n A quhet frekuenca e ngjarjes A , dhe raporti
quhet frekuenca (ose frekuenca) relative e një ngjarjeje A në serinë e testeve në shqyrtim.
Vetitë e frekuencës relative
Frekuenca relative e një ngjarjeje ka vetitë e mëposhtme.
1. Frekuenca e çdo ngjarjeje qëndron në intervalin nga zero në një, d.m.th.
2. Frekuenca e një ngjarjeje të pamundur është zero, d.m.th.
3. Frekuenca e një ngjarjeje të besueshme është 1, d.m.th.
4. Frekuenca e shumës së dy ngjarjeve të papajtueshme është e barabartë me shumën e frekuencave (frekuencave) të këtyre ngjarjeve, d.m.th. nëse =Ø, atëherë
Frekuenca ka prone , i quajtur pronë stabiliteti statistikor : me një rritje të numrit të eksperimenteve (d.m.th. me një rritje n ) frekuenca e një ngjarjeje merr vlera afër probabilitetit të kësaj ngjarjeje r .
Përkufizimi. Probabiliteti statistikor i ngjarjes Aështë numri rreth të cilit luhatet frekuenca relative e një ngjarjeje A me një numër mjaft të madh testesh (eksperimentesh) n .
Probabiliteti i ngjarjes A treguar nga simboli R (A ) ose r (A ). Shfaqja e një letre si një simbol i konceptit të "probabilitetit" r përcaktohet nga prania e tij në radhë të parë në një fjalë angleze probabiliteti - probabiliteti.
Sipas këtij përkufizimi
Vetitë e probabilitetit statistikor
1. Probabiliteti statistikor i çdo ngjarjeje A gjendet ndërmjet zeros dhe njës, d.m.th.
2. Probabiliteti statistikor i një ngjarje të pamundur ( A= Ø) është e barabartë me zero, d.m.th.
3. Probabiliteti statistikor i një ngjarjeje të besueshme ( A= Ω) është e barabartë me unitetin, d.m.th.
4. Probabiliteti statistikor i shumës të papajtueshme ngjarjet është e barabartë me shumën e probabiliteteve të këtyre ngjarjeve, d.m.th. Nëse A·B= Ø, atëherë
Përkufizimi klasik i probabilitetit
Lëreni eksperimentin të kryhet me n rezultatet që mund të përfaqësohen si një grup ngjarjesh të papajtueshme, po aq të mundshme. Ngjarja që shkakton ndodhjen e ngjarjes A , quhet e favorshme ose e favorshme, d.m.th. duke ndodhur w përfshin një ngjarje A , w A .
Përkufizimi. Probabiliteti i ngjarjes A quhet raporti i numrave m rastet e favorshme për këtë ngjarje, në numrin total n rastet, d.m.th.
Vetitë e probabilitetit "klasik".
1. Aksiomë jonegativiteti : probabiliteti i ndonjë ngjarjeje A jo negative, d.m.th.
R(A) ≥ 0.
2. Aksiomë normalizimi : probabiliteti i një ngjarjeje të caktuar ( A= Ω) është e barabartë me unitetin:
3. Aksiomë aditiviteti : probabiliteti i shumës të papajtueshme ngjarjet (ose probabiliteti i ndodhjes së një prej dy ngjarjeve të papajtueshme) është i barabartë me shumën e probabiliteteve të këtyre ngjarjeve, d.m.th. Nëse A·B=Ø, atëherë
Probabiliteti i ngjarjes: R() = 1 – R(A).
Për probabilitetin që një ngjarje të jetë shuma ndonjë dy ngjarje A Dhe NE, formula eshte e sakte:
Nëse ngjarjet A Dhe NË nuk mund të ndodhë si rezultat i një testi në të njëjtën kohë, d.m.th. me fjalë të tjera, nëse A·B- një ngjarje e pamundur, quhen të papajtueshme ose të papajtueshme , dhe pastaj R(A·B) = 0 dhe formula për probabilitetin e shumës së ngjarjeve merr një formë veçanërisht të thjeshtë:
Nëse ngjarjet A Dhe NË mund të ndodhin si rezultat i një testi, ato quhen të pajtueshme .
Algoritëm i dobishëm
Kur gjeni probabilitete duke përdorur përkufizimin klasik të probabilitetit, duhet të ndiqet algoritmi i mëposhtëm.
1. Është e nevojshme të kuptohet qartë se nga çfarë përbëhet eksperimenti.
2. Tregoni qartë se për çfarë bëhet fjalë. A, probabiliteti i të cilit duhet gjetur.
3. Formuloni qartë se çfarë do të përbëjë një ngjarje elementare në problemin në shqyrtim. Duke formuluar dhe përcaktuar një ngjarje elementare, duhet të kontrollohen tre kushte që duhet të plotësohen nga grupi i rezultateve, d.m.th. Ω.
6. Duke ndjekur përkufizimin klasik të probabilitetit, përcaktoni
Gjatë zgjidhjes së problemeve gabimi më i zakonshëm është një kuptim i paqartë i asaj që merret si një ngjarje elementare w , dhe nga kjo varet korrektësia e ndërtimit të grupit dhe korrektësia e llogaritjes së probabilitetit të një ngjarjeje. Zakonisht në praktikë, rezultati më i thjeshtë merret si një ngjarje elementare, e cila nuk mund të "ndahet" në më të thjeshta.
Dihet që një ngjarje e rastësishme për shkak të një testi mund ose nuk mund të ndodhë. Por në të njëjtën kohë, ka mundësi të ndryshme për ngjarje të ndryshme në të njëjtin gjyq. Le të shohim një shembull. Nëse ka njëqind topa identikë të përzier me kujdes në një urnë, dhe prej tyre vetëm dhjetë janë të zinj, dhe pjesa tjetër janë të bardha, atëherë kur një top tërhiqet rastësisht, ka një shans më të madh që të shfaqet një i bardhë. Mundësia e ndodhjes së një ose një ngjarjeje tjetër në një test të caktuar ka një masë numerike, e cila quhet probabiliteti i kësaj ngjarjeje, dhe sipas teorisë së probabilitetit, mund të llogaritet se sa është shansi për të parë një top të zi ose të bardhë.
Përkufizimi klasik i probabilitetit
Le të supozojmë se gjatë një testi të caktuar, ndodhja e $n$ ngjarje elementare po aq të mundshme është e mundur. Nga kjo sasi, numri $m$ është numri i atyre ngjarjeve elementare që favorizojnë shfaqjen e një ngjarjeje të caktuar $A$. Atëherë probabiliteti i ngjarjes $A$ është relacioni $P\left(A\right)=\frac(m)(n) $.
Shembulli nr. 1.
Në urnë ka 3 topa të bardhë dhe 5 të zinj, të cilët ndryshojnë vetëm në ngjyrë. Testi konsiston në tërheqjen e një topi në mënyrë të rastësishme nga një urnë. Ne e konsiderojmë ngjarjen $A$ si "shfaqja e një topi të bardhë". Llogaritni probabilitetin e ngjarjes $A$.
Gjatë provës, ndonjë nga tetë topat mund të hiqet. Të gjitha këto ngjarje janë elementare sepse janë të papajtueshme dhe përbëjnë një grup të plotë. Është gjithashtu e qartë se të gjitha këto ngjarje janë po aq të mundshme. Pra, për të llogaritur probabilitetin $P\left(A\djathtas)$ mund të aplikojmë përkufizimin e tij klasik. Si zgjidhje kemi: $n=8$, $m=3$, dhe probabiliteti i nxjerrjes së të bardhës nga topat do të jetë i barabartë me $P\left(A\right)=\frac(3)(8 ) $.
Karakteristikat e mëposhtme rrjedhin nga përkufizimi klasik i probabilitetit:
- probabiliteti i një ngjarjeje të besueshme $V$ është gjithmonë e barabartë me një, domethënë $P\left(V\right)=1$; kjo shpjegohet me faktin se një ngjarje e besueshme favorizohet nga të gjitha ngjarjet elementare, pra $m=n$;
- probabiliteti i një ngjarjeje të pamundur $H$ është gjithmonë zero, pra $P\left(H\right)=0$; kjo shpjegohet me faktin se ngjarja e pamundur nuk favorizohet nga asnjë prej atyre elementare, pra $m=0$;
- probabiliteti i ndonjë ngjarjeje të rastësishme $A$ gjithmonë plotëson kushtin $0
Kështu, në rastin e përgjithshëm, probabiliteti i ndonjë ngjarjeje plotëson pabarazinë $0\le P\left(A\right)\le 1$.
Frekuenca relative dhe qëndrueshmëria e saj
Përkufizimi 1
Supozoni se janë kryer një numër mjaft i madh provash, në secilën prej të cilave një ngjarje e caktuar $A$ mund ose nuk mund të ndodhë. Teste të tilla quhen një seri testimi.
Supozoni se kryhet një seri provash $n$ në të cilën ngjarje $A$ ndodh $m$ herë. Këtu numri $m$ quhet frekuencë absolute e ngjarjes $A$, dhe raporti $\frac(m)(n) $ quhet frekuencë relative e ngjarjes $A$. Për shembull, nga fikësit e zjarrit $n=20$ të përdorur gjatë zjarrit, fikësit e zjarrit $m=3$ nuk funksionuan (ngjarja $A$). Këtu $m=3$ është frekuenca absolute e ngjarjes $A$, dhe $\frac(m)(n) =\frac(3)(20) $ është frekuenca relative.
Përvoja praktike dhe sensi i shëndoshë sugjerojnë që për $n$ të vogla vlerat e frekuencës relative nuk mund të jenë të qëndrueshme, por nëse numri i testeve rritet, atëherë vlerat e frekuencës relative duhet të stabilizohen.
Shembulli nr. 2.
Trajneri zgjedh pesë djem nga dhjetë për të marrë pjesë në ekip. Në sa mënyra mund të formojë një ekip nëse dy djem të veçantë që përbëjnë bërthamën e ekipit do të jenë në ekip?
Në përputhje me kushtet e detyrës, ekipit do t'i bashkohen menjëherë dy djem. Ndaj, mbetet të përzgjidhen tre djem nga tetë. Në këtë rast, vetëm përbërja është e rëndësishme, kështu që rolet e të gjithë anëtarëve të ekipit nuk ndryshojnë. Kjo do të thotë se kemi të bëjmë me kombinime.
Kombinimet e elementeve $n$ nga $m$ janë kombinime që përbëhen nga elementë $m$ dhe që ndryshojnë nga njëri-tjetri në të paktën një element, por jo në renditjen e elementeve.
Numri i kombinimeve llogaritet duke përdorur formulën $C_(n)^(m) =\frac(n{m!\cdot \left(n-m\right)!} $.!}
Kështu, numri i mënyrave të ndryshme për të formuar një ekip prej tre djemsh, duke i zgjedhur ata nga tetë djem, është numri i kombinimeve të 8 elementeve nga 3:
$C_(8)^(3) =\frac(8{3!\cdot \left(8-3\right)!} =\frac{8!}{3!\cdot 5!} =\frac{6\cdot 7\cdot 8}{1\cdot 2\cdot 3} =56$!}
Shembulli nr. 3.
Në një raft në zyrë ka 15 libra të renditur në mënyrë të rastësishme, 5 prej tyre në algjebër. Mësuesi merr tre libra në mënyrë të rastësishme. Gjeni probabilitetin që të paktën një nga librat e marrë të jetë në algjebër.
Ngjarjet $A$ (të paktën një nga tre librat e marrë është një libër algjebër) dhe $\bar(A)$ (asnjë nga tre librat e marrë nuk është një libër algjebër) janë të kundërta, prandaj P(A) + P( $ \bar(A)$) = 1. Prandaj P(A) = 1-P($\bar(A)$). Kështu, probabiliteti i dëshiruar P(A) = 1 - $C_(10)^(3)\, /C_(15)^(3)\, $= 1 - 24/91 = 67/91.
Shembulli nr. 4.
Nga njëzet shoqëri aksionare, katër janë të huaja. Qytetari bleu një aksion nga gjashtë shoqëri aksionare. Sa është probabiliteti që dy nga aksionet e blera të jenë aksione të shoqërive aksionare të huaja?
Numri i përgjithshëm i kombinimeve për zgjedhjen e shoqërive aksionare është i barabartë me numrin e kombinimeve 20 me 6, që është $(\rm C)_((\rm 20))^((\rm 6)) $. Numri i rezultateve të favorshme përcaktohet si produkti $(\rm C)_((\rm 4))^((\rm 2)) \cdot (\rm C)_((\rm 16))^(( \rm 4) ) $, ku faktori i parë tregon numrin e kombinimeve të zgjedhjes së shoqërive aksionare të huaja nga katër. Por çdo kombinim të tillë mund ta hasin shoqëri aksionare që nuk janë të huaja. Numri i kombinimeve të shoqërive të tilla aksionare do të jetë $(\rm C)_((\rm 16))^((\rm 4)) $. Prandaj, probabiliteti i dëshiruar do të shkruhet në formën $(\rm P)=\frac((\rm C)_((\rm 4))^((\rm 2)) \cdot (\rm C)_ ((\rm 16 ))^((\rm 4)) )((\rm C)_((\rm 20))^((\rm 6)) =0,28$.
Shembulli nr. 5.
Në një grumbull prej 18 pjesësh ka 4 jo standarde. 5 pjesë zgjidhen në mënyrë të rastësishme. Gjeni probabilitetin që dy nga këto 5 pjesë të jenë jo standarde.
Numri i të gjitha rezultateve të papajtueshme po aq të mundshme $n$ është i barabartë me numrin e kombinimeve 18 me 5, d.m.th. $n=C_(18)^(5) =8568$.
Le të numërojmë numrin e rezultateve $m$ të favorshme për ngjarjen A. Ndër 5 detajet e marra në mënyrë të rastësishme duhet të jenë 3 standarde dhe 2 jo standarde. Numri i mënyrave për të zgjedhur dy pjesë jo standarde nga 4 jo standarde të disponueshme është i barabartë me numrin e kombinimeve 4 me 2: $C_(4)^(2) =6$.
Numri i mënyrave për të zgjedhur tre pjesë standarde nga 14 pjesë standarde të disponueshme është $C_(14)^(3) =364$.
Çdo grup pjesësh standarde mund të kombinohet me çdo grup pjesësh jo standarde, kështu që numri i përgjithshëm i kombinimeve $m$ është $m=C_(4)^(2) \cdot C_(14)^(3) =6 \cdot 364=2184$.
Probabiliteti i dëshiruar i ngjarjes A është i barabartë me raportin e numrit të rezultateve $m$ të favorshme për ngjarjen me numrin $n$ të të gjitha ngjarjeve po aq të mundshme dhe të papajtueshme $P(A)=\frac(2184)(8568) =0.255.$
Shembulli nr. 6.
Një urnë përmban 5 topa të zinj dhe 6 të bardhë. 4 topa janë tërhequr në mënyrë të rastësishme. Gjeni probabilitetin që mes tyre të ketë të paktën një top të bardhë.
Le të jetë ngjarja $$ që nga topat e tërhequr të paktën një është i bardhë.
Le të shqyrtojmë ngjarjen e kundërt $\bar()$ - midis topave të vizatuar nuk ka asnjë të bardhë. Kjo do të thotë që të 4 topat e tërhequr janë të zinj.
Ne përdorim formula të kombinatorikës.
Numri i mënyrave për të marrë katër topa nga njëmbëdhjetë:
$n=!_(11)^(4) =\frac(11{4!\cdot (11-4)!} =330$!}
Numri i mënyrave për të hequr katër topa të zinj nga njëmbëdhjetë:
$m=!_(5)^(4) =\frac(5{4!\cdot (5-4)!} =5$!}
Ne marrim: $\; (\bar())=\frac(m)(n) =\frac(5)(330) =\frac(1)(66) $; $P(A)=1-\; (\bar(A))=1-\frac(1)(66) =\frac(65)(66) $.
Përgjigje: probabiliteti që midis katër topave të tërhequr të mos ketë asnjë top të bardhë është $\frac(65)(66) $.
Ekzistojnë disa përkufizime të konceptit të probabilitetit. Le të japim përkufizimin klasik. Ajo shoqërohet me konceptin e një rezultati të favorshëm. Ato rezultate elementare (d.m.th.), në cat. ndodh ngjarja që na intereson, do ta quajmë të favorshme për këtë ngjarje. Def. : Besoj ngjarja A quhet. raporti i numrit të rezultateve të favorshme për këtë ngjarje me numrin total të të gjitha të papajtueshmeve po aq të mundshme e. i., duke formuar një grup të plotë. P(A) = m/n, ku m është numri i e. i., i favorshëm për ngjarjen A; n – numri i të gjitha të mundshmeve e. Dhe. testet. Nga përkufizimi i probabilitetit rrjedhin vetitë e tij Frekuenca relative (RF) e një ngjarjeje është raporti i numrit të sprovave në të cilat ndodhi ngjarja me numrin total të provave të kryera në të vërtetë. (JO omega!!!). Përkufizimi i OC supozon se testet janë kryer në të vërtetë, d.m.th. ver. llogaritur para eksperimentit dhe OC pas eksperimentit. Nëse eksperimentet kryhen në të njëjtat kushte, në secilën prej maceve. numri i testeve është mjaft i madh, atëherë OC shfaq stabilitet. Kjo veti qëndron në faktin se në eksperimente të ndryshme OC ndryshon pak, aq më pak bëhen më shumë teste, duke u luhatur rreth një numri të caktuar konstant. Ky numër është ver. ndodhja e ngjarjes. Se. Është vërtetuar eksperimentalisht se OR mund të merret si një vlerë e përafërt probabiliteti. 5.Probabiliteti statistikor. Përkufizimi klasik i probabilitetit supozon se numri i rezultateve elementare të një prove është i kufizuar. Në praktikë, shpesh ka teste, numri i rezultateve të mundshme është mace. pafundësisht. Në raste të tilla, përkufizimi klasik nuk është i zbatueshëm. Së bashku me klasiken def. përdorin statistikat. Def: stat. ver. (r.v.) ngjarje - frekuenca relative (RF) ose një numër afër saj. MY janë teste që teorikisht mund të vazhdojnë pafundësisht (studime, sondazhe sociale, hedhje monedhash). Rezultati i testit është rezultati i mundshëm i testit. Një ngjarje është një abstraksion i rezultatit të një testi (nëse një fenomen ka ndodhur në MY apo jo). Për shembull, hedhja e një monedhe është një provë, dhe shfaqja e "kokave" është një ngjarje. Ngjarja zakonisht shënohet me lat të mëdha. shkronjat A, B, C. LLOJET E NGJARJEVE: 1. Një ngjarje që do të ndodhë në çdo rezultat të testit quhet e besueshme. 2. E pamundur - nuk do të ndodhë në asnjë rezultat të testit. 3. E rastësishme - mund të ndodhë ose jo si rezultat i testit. P.sh., hidhet një pjatë. Ngjarja A – numri i pikëve jo > 6: i besueshëm. Ngjarja B – numri i pikëve > 6: e pamundur. Ngjarja C – 1 deri në 6: rastësore. NGJARJE TË RASTËSISHME 1. Po aq të mundshme - ato për të cilat ekziston barazia e rezultateve individuale të testit. P.sh., duke nxjerrë një mbret, ACE, mbretëreshë, fole nga një kuvertë letrash. 2. E mundur unike - e tillë nëse të paktën njëra prej tyre është e sigurt se do të ndodhë në test. P.sh., në një familje ka 2 fëmijë: A – 2 djem, B – 2 vajza, C – 1 m dhe 1 d. Kombinatorika. Formulat themelore të kombinatorikës. Kombinatorika është shkenca e lidhjeve. Një lidhje kuptohet si çdo koleksion elementesh të një grupi të caktuar. Për shembull, shumë studentë të ulur në një klasë. Të gjitha lidhjet ndahen në 3 grupe: 1) Vendosjet. R-mi e n elementeve me m () quhen lidhje të tilla që ndryshojnë nga njëra-tjetra qoftë në përbërjen e elementeve, qoftë në rendin e lidhjes së elementeve, ose të dyja. Anm = n!/(n-m)! Detyrë. Sa numra të ndryshëm dyshifrorë mund të bëhen nga një grup shifrash (1;2;3;4) dhe në mënyrë që shifrat e numrit të jenë të ndryshme. Dhe nga 4 në 2 = 4!/(4-2)! = 24/2=12 2) Kombinimet. Kombinimet e n elementeve mbi m janë ato përbërje që ndryshojnë nga njëri-tjetri vetëm në përbërjen e elementeve (rendi nuk është i rëndësishëm) Nga n në m = n!/m!*(n-m)! Detyrë. Në sa mënyra një grup prej 30 personash mund të shpërndajë kupona në sanatoriumin Ussuri? C nga 30 në 3 = 30!/3!*(30-3)! = 28*29*30/1*2*3 = 4060. 3) Permutacionet (Pn). Permutacionet e n elementeve janë ato lidhje që përfshijnë të gjithë n elementët dhe ndryshojnë nga njëri-tjetri vetëm për nga radha e lidhjes së tyre. Detyrë. Në sa mënyra mund të vendosen 6 kadetë në një rresht në terrenin e parakalimit? RREGULLI I SHUMËS - nëse objekti a mund të zgjidhet nga një grup në mënyra të ndryshme s, dhe objekti b - në mënyra të ndryshme r, atëherë zgjedhja e njërit prej elementeve a ose bar mund të kryhet në mënyra të ndryshme r + s. RREGULLI I PRODUKTIT - nëse objekti a mund të zgjidhet në mënyra të ndryshme dhe pas çdo zgjedhjeje të tillë, objekti b mund të zgjidhet në mënyra të ndryshme r, atëherë zgjedhja e një çifti elementësh mund të kryhet në mënyra të ndryshme r*s (a dhe b = r*s). Përkufizimi klasik i probabilitetit. Vetitë e probabilitetit. Probabiliteti i ngjarjes A është raporti i numrit të rezultateve të favorshme për këtë ngjarje me numrin total të të gjitha rezultateve elementare të papajtueshme po aq të mundshme që formojnë grupin e plotë (P(A)=m/n). VETITË V-TI: 1) Numri i ngjarjeve të besueshme = 1. Sepse D është një ngjarje e besueshme, atëherë çdo rezultat i mundshëm i testit favorizon ngjarjen, d.m.th. m=n. P(D) = m/n = n/n = 1/ 2) Numri i ngjarjeve të pamundura është zero. Sepse ngjarja N është e pamundur, atëherë asnjë prej rezultateve elementare nuk e favorizon ngjarjen, d.m.th. m=0. P(D) = m/n = 0/n = 0/ 3) Vlera e një ngjarjeje të rastësishme është një numër pozitiv ndërmjet 0 dhe 1. Ngjarja e rastësishme S favorizohet vetëm nga një element nga numri i përgjithshëm. rezultatet e testit, d.m.th. 0 0 Kështu, vlera e çdo ngjarjeje plotëson pabarazinë e dyfishtë: 0<=P(A)<=1. Frekuenca relative. Stabiliteti i frekuencave relative. Përkufizimi statistikor i probabilitetit. Frekuenca relative e një ngjarjeje është raporti i numrit të sprovave në të cilat ndodhi ngjarja me numrin total të provave të kryera në të vërtetë. W(A)=m/n, ku m është numri i dukurive të ngjarjes, n është numri total i provave. Vlera sugjeron, por frekuenca relative rregullohet. V nuk kërkon që ngjarjet të ndodhin, por frekuenca relative po. Me fjalë të tjera, ngjarje të caktuara llogariten para eksperimenteve, dhe rel. frekuenca - pas. STABILITETI relativ i frekuencës. Vëzhgimet afatgjata kanë treguar se nëse eksperimentet kryhen në kushte identike, në secilën prej të cilave numri i testeve është mjaft i madh, atëherë frekuenca relative shfaq vetinë e stabilitetit. Kjo veti konsiston në faktin se në eksperimente të ndryshme frekuenca relative ndryshon pak, duke u luhatur rreth një numri të caktuar konstant. Doli se ky numër konstant është ndodhja e ngjarjes W(A) = P(A). Vlera STATISTIKE e një ngjarjeje është numri rreth të cilit grupohen frekuencat relative të kësaj ngjarjeje dhe në kushte konstante dhe një rritje të pakufizuar të numrit të testeve, frekuenca relative ndryshon pak nga ky numër. thirrur frekuenca relative ( ose frekuenca) ngjarjet A në serinë e eksperimenteve në shqyrtim. Frekuenca relative e ngjarjes ka si më poshtë vetitë: 1. Frekuenca e çdo ngjarjeje qëndron ndërmjet zeros dhe një, d.m.th. 2. Frekuenca e një ngjarje të pamundur është zero, d.m.th. 3. Frekuenca e një ngjarjeje të besueshme është 1, d.m.th. 4. Frekuenca e shumës së dy ngjarjeve të papajtueshme është e barabartë me shumën e frekuencës Frekuenca ka një veçori tjetër themelore të quajtur veti e stabilitetit statistikor: me rritjen e numrit të eksperimenteve (d.m.th. n) merr vlera afër një numri konstant (thonë: frekuenca stabilizohet, duke iu afruar një numri të caktuar, frekuenca luhatet rreth një numri të caktuar, ose vlerat e saj grupohen rreth një numri të caktuar). Kështu, për shembull, në eksperimentin (K. Pearson) me hedhjen e një monedhe - frekuenca relative e paraqitjes së stemës me 12.000 dhe 24.000 hedhje rezultoi e barabartë me 0.5015 dhe 0.5005, përkatësisht, d.m.th. frekuenca i afrohet numrit. Frekuenca e të pasurit një djalë, siç tregojnë vëzhgimet, luhatet rreth numrit 0,515. Vini re se teoria e probabilitetit studion vetëm ato dukuri të rastësishme masive me një rezultat të pasigurt për të cilat supozohet qëndrueshmëria e frekuencës relative. Përkufizimi statistikor i probabilitetit Për të studiuar matematikisht një ngjarje të rastësishme, është e nevojshme të futet një vlerësim sasior i ngjarjes. Është e qartë se disa ngjarje kanë më shumë gjasa (“më shumë gjasa”) të ndodhin se të tjerat. Ky vlerësim është probabiliteti i një ngjarjeje,
ato. një numër që shpreh shkallën e mundësisë së shfaqjes së tij në eksperimentin në shqyrtim. Ka disa përkufizime matematikore të probabilitetit, të gjitha ato plotësojnë dhe përgjithësojnë njëra-tjetrën. Konsideroni një eksperiment që mund të përsëritet çdo numër herë (ata thonë: "kryhen teste të përsëritura"), në të cilin vërehet ndonjë ngjarje A. Probabiliteti statistikor ngjarjet Aështë numri rreth të cilit luhatet frekuenca relative e ngjarjes A për një numër mjaft të madh provash (eksperimentesh). Probabiliteti i ngjarjes A treguar nga simboli R(A). Sipas këtij përkufizimi: Arsyetimi matematik për afërsinë e frekuencës relative dhe probabilitetit R(A) të ndonjë ngjarjeje A shërben si teorema e J. Bernoulli. Probabilitetet R(A) vetitë e 1-4 frekuencave relative atribuohen: 1. Probabiliteti statistikor i ndonjë ngjarjeje qëndron ndërmjet zeros dhe një, d.m.th. 2. Probabiliteti statistikor i një ngjarjeje të pamundur është zero, d.m.th. 3. Probabiliteti statistikor i një ngjarjeje të besueshme është i barabartë me 1, d.m.th. 4. Probabiliteti statistikor i shumës së dy ngjarjeve të papajtueshme është i barabartë me shumën e shpeshtësisë së këtyre ngjarjeve, d.m.th. nëse, atëherë Metoda statistikore e përcaktimit të probabilitetit, bazuar në përvojën reale, zbulon plotësisht përmbajtjen e këtij koncepti. Disavantazhi i përkufizimit statistikor është paqartësia e probabilitetit statistikor; Pra, në shembullin e hedhjes së një monedhe, mund të merrni si probabilitet jo vetëm numrin 0.5, por edhe 0.49 ose 0.51, etj. Për të përcaktuar me besueshmëri probabilitetin, duhet të bëni një numër të madh testesh, gjë që nuk është gjithmonë e lehtë ose e lirë. Përkufizimi klasik i probabilitetit Ekziston një mënyrë e thjeshtë për të përcaktuar probabilitetin e një ngjarjeje, bazuar në barazinë e cilësdo prej një numri të kufizuar rezultatesh të eksperimentit. Lëreni eksperimentin të kryhet me n rezultatet që mund të përfaqësohen si grup i plotë i të papajtueshmeve po aq të mundshme ngjarjet. Rezultate të tilla quhen raste, shanse, ngjarje elementare, përvojë - klasike. Ata thonë për një përvojë të tillë që zbret në diagrami i rastit ose skema e urnës(pasi problemi probabilistik për një eksperiment të tillë mund të zëvendësohet nga një problem ekuivalent me urna që përmbajnë topa me ngjyra të ndryshme). Rasti w, i cili çon në ndodhjen e ngjarjes A, thirri të favorshme(ose të favorshme) për të, d.m.th. çështja w përfshin ngjarjen A: . Probabiliteti i ngjarjes A quhet raporti i numrave m rastet e favorshme për këtë ngjarje, në numrin total n rastet, d.m.th. Së bashku me emërtimin R(A) për probabilitetin e një ngjarjeje A shënimi i përdorur është r, d.m.th. p=P(A). Më poshtë vijon nga përkufizimi klasik i probabilitetit: vetitë: 1. Probabiliteti i ndonjë ngjarjeje qëndron ndërmjet zeros dhe një, d.m.th. 2. Probabiliteti i një ngjarjeje të pamundur është zero, d.m.th. 3. Probabiliteti i një ngjarjeje të besueshme është 1, d.m.th. 4. Probabiliteti i shumës së ngjarjeve të papajtueshme është i barabartë me shumën e shpeshtësisë së këtyre ngjarjeve, d.m.th. nëse, atëherë Shembulli 1.3. Një urnë përmban 12 topa të bardhë dhe 8 të zinj. Sa është probabiliteti që një top i tërhequr rastësisht të jetë i bardhë? Zgjidhje: Le A– një ngjarje që konsiston në faktin se është tërhequr një top i bardhë. Është e qartë se është numri i të gjitha rasteve po aq të mundshme. Numri i rasteve që favorizojnë ngjarjen A, është e barabartë me 12, d.m.th. . Rrjedhimisht, sipas formulës (1.3) kemi: , d.m.th. . Përkufizimi gjeometrik i probabiliteteve Përkufizimi gjeometrik i probabilitetit përdoret në rastin kur rezultatet e eksperimentit janë po aq të mundshme, dhe PES është një grup i pafundëm i panumërueshëm. Le të shqyrtojmë në rrafsh një rajon Ω me sipërfaqe , dhe brenda rajonit Ω ,
rajoni D me sipërfaqe S D(shih Fig. 6). Një pikë zgjidhet rastësisht në rajonin Ω X. Kjo zgjedhje mund të interpretohet si duke hedhur një pikë X në rajonΩ. Në këtë rast, hyrja e një pike në rajonin Ω është një ngjarje e besueshme, në D- e rastësishme. Supozohet se të gjitha pikat e rajonit Ω janë të barabarta (të gjitha ngjarjet elementare janë njësoj të mundshme), d.m.th. që një pikë e hedhur mund të godasë çdo pikë në rajonin Ω dhe probabilitetin për të hyrë në rajon Dështë proporcionale me sipërfaqen e kësaj zone dhe nuk varet nga vendndodhja dhe forma e saj. Lëreni ngjarjen, d.m.th. pika e hedhur do të bjerë në zonë D. Oriz. 6 Probabiliteti gjeometrik ngjarjet A quhet raporti i sipërfaqes së një rajoni D në zonën e rajonit Ω, d.m.th. në të dytën: ku nëpër mes masa (S, l,V) zonat. Probabiliteti gjeometrik ka gjithçka vetitë e natyrshme në përkufizimin klasik: 1. Probabiliteti gjeometrik i çdo ngjarjeje qëndron ndërmjet zeros dhe njës, d.m.th. 2. Probabiliteti gjeometrik i një ngjarjeje të pamundur është zero, d.m.th. 3. Probabiliteti gjeometrik i një ngjarjeje të besueshme është 1, d.m.th. 4. Probabiliteti gjeometrik i shumës së ngjarjeve të papajtueshme është i barabartë me shumën e shpeshtësisë së këtyre ngjarjeve, d.m.th. nëse, atëherë4. Frekuenca relative. Stabiliteti i frekuencës relative.
W(A) = m/n, ku m është numri i dukurive të ngjarjes A, n është numri total i provave. Përcaktimi i probabilitetit nuk kërkon që testet të kryhen realisht.
këto ngjarje, d.m.th. nëse, atëherë 
.
(1.2)
.
(1.3)
Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës
Artikulli vijues: Lëkundjet harmonike Formula e fizikës së frekuencës së lëkundjeve