Sipërfaqja e një trekëndëshi. Sipërfaqja e trekëndëshit ABC është

Le të jetë e nevojshme të përcaktohet zona trekëndëshi ABC. Le të vizatojmë vija të drejta nëpër kulmet e saj C dhe B, paralel me anët AB dhe AC.

Marrim një paralelogram ABC. Sipërfaqja e saj është e barabartë me prodhimin e bazës AB dhe lartësisë CO. Paralelogrami ABC përbëhet nga dy trekëndësha të barabartë ABC dhe BCD, pra, sipërfaqja e trekëndëshit ABC është e barabartë me gjysmën e sipërfaqes së paralelogramit, d.m.th. S \(\Delta\)ABC = 1/2 AB CO.

Nga këtu: Sipërfaqja e një trekëndëshi është e barabartë me gjysmën e produktit të bazës dhe lartësisë së tij.

S \(\Delta\) = \(\frac(a h)(2)\)

Kjo formulë mund të përfaqësohet si më poshtë:

S \(\Delta\) = \(\frac(a)(2)\) h, ose S \(\Delta\) = a\(\frac(h)(2)\).

Formulat për llogaritjen e sipërfaqes së një trekëndëshi

1. Nga gjeometria, formula e Heronit është e njohur:

$$ S = \sqrt(р (р - а)(р - b) (р - с)),$$

(ku p = ( a + b + c) / 2 - gjysmëperimetër), i cili ju lejon të llogaritni sipërfaqen e një trekëndëshi bazuar në anët e tij.

2 . Teorema. Sipërfaqja e një trekëndëshi është e barabartë me gjysmën e produktit të dy brinjëve dhe sinusit të këndit ndërmjet tyre:

S = 1/2 p.e.s mëkati A.

Dëshmi. Nga gjeometria dihet se sipërfaqja e një trekëndëshi është e barabartë me gjysmën e produktit të anës së trekëndëshit dhe lartësia e ulur në këtë anë nga kulmi i kundërt.

S = 1/2 b h b (1)

Nëse këndi A është akut, atëherë nga trekëndëshi ABN gjejmë ВН = h b = c mëkati A.

Nëse këndi A është i mpirë, atëherë

VN = h b = c mëkat (π - A)= Me mëkati A.

Nëse këndi A është i drejtë, atëherë sin A = 1 dhe
h b= AB = Me = Me mëkati A.

Prandaj, në të gjitha rastet h b = c sin A. Duke zëvendësuar me barazinë (1), marrim formulën që duhet vërtetuar.

Në të njëjtën mënyrë marrim formulat: S = 1 / 2 ab mëkat C= 1/2 ac mëkati B

3. Bazuar në teoremën e sinusit:

$$ b = \frac(a sinB)(sinA); \;\; c = \frac(a sinC)(sinA) $$

Duke zëvendësuar këto shprehje në formulën (1), marrim formulën e mëposhtme:

$$ S = \frac(a^2 sinB sinC)(2sinA) $$

Sheshi trekëndëshi ABCështë e barabartë me 198. Përgjysmuesja AL pret mesoren BM në pikën K. Gjeni sipërfaqen e katërkëndëshit MCLK nëse dihet se BL:CL=7:4.

Ne ndërtojmë një skicë:

Është mjaft e vështirë të shihet menjëherë ecuria e zgjidhjes së problemit, por gjithmonë mund të shtrojmë pyetjen: çfarë mund të gjendet duke përdorur të dhënat në gjendjen dhe vetitë e njohura për ne?

Mund të përcaktojmë sipërfaqet e disa trekëndëshave, merrni parasysh:

Meqenëse AM=MC, kjo do të thotë se sipërfaqet e trekëndëshave do të jenë të barabarta, domethënë:

Konsideroni trekëndëshat ALB dhe ALC. Kushti thotë se BL:CL=7:4. Le të prezantojmë koeficientin e proporcionalitetit "x" dhe të shkruajmë formulat për zonat e tyre:

Raporti i sipërfaqes do të jetë:

Dimë gjithashtu se S ALB +S ALC =198. Mund të llogarisim zonat:

Ju lutemi vini re se në gjendje nuk na jepet asnjë kënd dhe dimensionet lineare(gjatësitë e elementeve), kështu që nuk duhet të humbisni përpjekje për llogaritjen e këndeve dhe gjatësive (anët, medianat, përgjysmuesit, etj.). Pse?

Kur kushti jep marrëdhëniet e segmenteve (këndeve) dhe nuk ka vlerë specifike, atëherë me shumë mundësi me të dhëna të tilla është e mundur të ndërtohen shumë variante të figurës. *Jo çdo student mund ta shohë këtë menjëherë;

Prandaj, në raste të tilla, përpiquni të përdorni relacione - domethënë: marrëdhëniet e elementeve, zonave, përdorni ngjashmërinë e trekëndëshave nëse është e mundur.

Këtu mund të gjejmë raportin e brinjëve të trekëndëshit. Le të shprehim sipërfaqet e trekëndëshave:

Nisur nga fakti se AM=MC rrjedh se

Tani vëmendje! Jemi afër fundit. Ekziston edhe një lidhje nga e cila mund të vendosim raportin e sipërfaqeve të dy trekëndëshave. Të shprehim sipërfaqet e trekëndëshave.

Sipërfaqja e një trekëndëshi ABC e barabartë me 12 . Në një vijë të drejtë AC pikë e marrë D Kështu që
pika Cështë mesi i segmentit pas Krishtit. Pika K– mesi i anës AB,
drejt KD kalon anash B.C. në pikën L.
a) Vërtetoni këtë BL:LC=2:1.
b) Gjeni sipërfaqen e trekëndëshit BLK.

Së pari, ne do të bëjmë me kujdes një vizatim, duke vënë në dukje barazinë e segmenteve ndërsa shkojmë.

Tani është e lehtë për ta parë këtë duke lidhur pikat NË Dhe D, marrim një trekëndësh ABD,
në të cilën DK Dhe dielli janë mesataret sipas definicionit (e mbani mend atë?)

Dhe medianat në pikën e kryqëzimit ndahen në raport 2: 1 , duke numëruar nga lart.
Ajo është bërë. Shkruani, a mund ta vërtetoni vetë këtë pronë?
Gjeni sipërfaqen e një trekëndëshi BLK mund të bëhet në mënyra të ndryshme. Le AE- mesatarja e tretë

trekëndëshi ABD, do të kalojë përmes pikës L kryqëzimi i dy të parave.
mesatare dielli ndan një trekëndësh ABD në dy trekëndësha të barabartë.
Prandaj zona ABD dyfishuar më shumë zonë ABC dhe është e barabartë me 12 2 = 24.
Tre median ndajnë një trekëndësh në gjashtë trekëndësha të barabartë.
Nga këtu është e lehtë të gjesh zonën e trekëndëshit të dëshiruar BLK. 24:6 = 4 .
Vërej se të dyja këto deklarata duhet gjithashtu të jenë në gjendje të vërtetohen.
========================================
Ju mund të krahasoni sipërfaqet e trekëndëshave BLK Dhe ABC pa prekur mesataren.

Këta trekëndësha kanë një kënd të përbashkët NË, le të përfitojmë nga ky fakt.

Tani le të gjejmë raportin e sipërfaqes:

Kështu, zona BLK tri herë më pak sipërfaqe ABC.