Data: 20.11.2014

Çfarë është një derivat?

Tabela e derivateve.

Derivati ​​është një nga konceptet kryesore të matematikës së lartë. Në këtë mësim do të prezantojmë këtë koncept. Le të njihemi, pa formulime dhe prova të rrepta matematikore.

Ky njohje do t'ju lejojë të:

Të kuptojë thelbin e detyrave të thjeshta me derivate;

Zgjidhini me sukses këto detyra më të thjeshta;

Përgatituni për mësime më serioze mbi derivatet.

Së pari - një surprizë e këndshme.)

Përkufizimi i rreptë i derivatit bazohet në teorinë e kufijve dhe gjëja është mjaft e ndërlikuar. Kjo është shqetësuese. Por zbatimi praktik i derivateve, si rregull, nuk kërkon njohuri kaq të gjera dhe të thella!

Për të përfunduar me sukses shumicën e detyrave në shkollë dhe universitet, mjafton të dini vetëm disa terma- për të kuptuar detyrën, dhe vetëm disa rregulla- për ta zgjidhur atë. Kjo eshte e gjitha. Kjo më bën të lumtur.

Le të fillojmë të njihemi?)

Termat dhe emërtimet.

Ka shumë operacione të ndryshme matematikore në matematikën elementare. Mbledhja, zbritja, shumëzimi, fuqizimi, logaritmi etj. Nëse këtyre veprimeve u shtoni edhe një operacion, matematika elementare bëhet më e lartë. Ky operacion i ri quhet diferencimi. Përkufizimi dhe kuptimi i këtij operacioni do të diskutohet në mësime të veçanta.

Është e rëndësishme të kuptohet këtu se diferencimi është thjesht një veprim matematikor mbi një funksion. Ne marrim çdo funksion dhe, sipas rregullave të caktuara, e transformojmë atë. Rezultati do të jetë një funksion i ri. Ky funksion i ri quhet: derivat.

Diferencimi- veprim në një funksion.

Derivat- rezultati i këtij veprimi.

Ashtu si, për shembull, shuma- rezultati i shtimit. Ose private- rezultati i ndarjes.

Duke ditur termat, të paktën mund t'i kuptoni detyrat.) Formulimet janë si më poshtë: gjeni derivatin e një funksioni; merr derivatin; të dallojë funksionin; llogarit derivatin e kështu me radhë. Kjo është e gjitha njëjtë. Sigurisht, ka edhe detyra më komplekse, ku gjetja e derivatit (diferencimit) do të jetë vetëm një nga hapat në zgjidhjen e problemit.

Derivati ​​tregohet me një vizë në krye të djathtë të funksionit. Si kjo: y" ose f"(x) ose S"(t) e kështu me radhë.

Leximi igrek stroke, ef stroke from x, es stroke from te, Epo, e kuptoni ...)

Një i thjeshtë mund të tregojë gjithashtu derivatin e një funksioni të caktuar, për shembull: (2x+3)", (x 3 )" , (sinx)" etj. Shpesh derivatet shënohen duke përdorur diferenciale, por ne nuk do ta konsiderojmë një shënim të tillë në këtë mësim.

Le të supozojmë se kemi mësuar të kuptojmë detyrat. Gjithçka që mbetet është të mësoni se si t'i zgjidhni ato.) Më lejoni t'ju kujtoj edhe një herë: gjetja e derivatit është transformimi i një funksioni sipas rregullave të caktuara.Çuditërisht, ka shumë pak nga këto rregulla.

Për të gjetur derivatin e një funksioni, duhet të dini vetëm tre gjëra. Tre shtylla mbi të cilat qëndron i gjithë diferencimi. Këtu janë këto tre shtylla:

1. Tabela e derivateve (formula e diferencimit).

3. Derivat i një funksioni kompleks.

Le të fillojmë me radhë. Në këtë mësim do të shikojmë tabelën e derivateve.

Tabela e derivateve.

Ka një numër të pafund funksionesh në botë. Midis këtij grupi ka funksione që janë më të rëndësishmet për përdorim praktik. Këto funksione gjenden në të gjitha ligjet e natyrës. Nga këto funksione, si nga tullat, mund të ndërtoni të gjitha të tjerat. Kjo klasë funksionesh quhet funksionet elementare. Janë këto funksione që studiohen në shkollë - lineare, kuadratike, hiperbola, etj.

Diferencimi i funksioneve "nga e para", d.m.th. Bazuar në përkufizimin e derivatit dhe teorinë e kufijve, kjo është një gjë mjaft punë intensive. Dhe matematikanët janë gjithashtu njerëz, po, po!) Kështu ata thjeshtuan jetën e tyre (dhe neve). Ata llogaritën derivatet e funksioneve elementare para nesh. Rezultati është një tabelë e derivateve, ku gjithçka është gati.)

Këtu është, kjo pjatë për funksionet më të njohura. Në të majtë është një funksion elementar, në të djathtë është derivati ​​i tij.

	Funksioni y	Derivati ​​i funksionit y y"
1	C (vlera konstante)	C" = 0
2	x	x" = 1
3	x n (n - çdo numër)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x
4	mëkat x	(sin x)" = cosx
	cos x	(cos x)" = - sin x
	tg x
	ctg x
5	harku x
	arccos x
	arktan x
	arcctg x
4	a x
	e x
5	log a x
	n x ( a = e)

Unë rekomandoj t'i kushtoni vëmendje grupit të tretë të funksioneve në këtë tabelë të derivateve. Derivati ​​i një funksioni fuqie është një nga formulat më të zakonshme, nëse jo më e zakonshme! E kuptoni sugjerimin?) Po, këshillohet të njihni përmendësh tabelën e derivateve. Nga rruga, kjo nuk është aq e vështirë sa mund të duket. Mundohuni të zgjidhni më shumë shembuj, vetë tabela do të mbahet mend!)

Gjetja e vlerës së tabelës së derivatit, siç e kuptoni, nuk është detyra më e vështirë. Prandaj, shumë shpesh në detyra të tilla ka çipa shtesë. Ose në formulimin e detyrës, ose në funksionin origjinal, i cili nuk duket të jetë në tabelë...

Le të shohim disa shembuj:

1. Gjeni derivatin e funksionit y = x 3

Nuk ka një funksion të tillë në tabelë. Por ekziston një derivat i një funksioni fuqie në formë të përgjithshme (grupi i tretë). Në rastin tonë n=3. Pra, ne zëvendësojmë tre në vend të n dhe shkruajmë me kujdes rezultatin:

(x 3) " = 3 x 3-1 = 3x 2

Kjo eshte.

Përgjigje: y" = 3x 2

2. Gjeni vlerën e derivatit të funksionit y = sinx në pikën x = 0.

Kjo detyrë do të thotë që së pari duhet të gjeni derivatin e sinusit dhe më pas të zëvendësoni vlerën x = 0 në këtë derivat. Pikërisht në atë rend! Përndryshe, ndodh që ata të zëvendësojnë menjëherë zeron në funksionin origjinal... Na kërkohet të gjejmë jo vlerën e funksionit origjinal, por vlerën. derivati ​​i tij. Derivati, më lejoni t'ju kujtoj, është një funksion i ri.

Duke përdorur tabletën gjejmë sinusin dhe derivatin përkatës:

y" = (mëkat x)" = cosx

Ne e zëvendësojmë zeron në derivatin:

y"(0) = cos 0 = 1

Kjo do të jetë përgjigja.

3. Diferenconi funksionin:

Çfarë, a frymëzon?) Nuk ka një funksion të tillë në tabelën e derivateve.

Më lejoni t'ju kujtoj se të diferencosh një funksion do të thotë thjesht të gjesh derivatin e këtij funksioni. Nëse harroni trigonometrinë elementare, kërkimi i derivatit të funksionit tonë është mjaft i mundimshëm. Tabela nuk ndihmon...

Por nëse shohim se funksioni ynë është kosinus me kënd të dyfishtë, atëherë gjithçka bëhet më mirë menjëherë!

Po Po! Mos harroni se transformimi i funksionit origjinal para diferencimit mjaft e pranueshme! Dhe ndodh që ta bëjë jetën shumë më të lehtë. Duke përdorur formulën e kosinusit me kënd të dyfishtë:

Ato. funksioni ynë i ndërlikuar nuk është gjë tjetër veçse y = cosx. Dhe ky është një funksion i tabelës. Ne marrim menjëherë:

Përgjigje: y" = - mëkat x.

Shembull për të diplomuarit dhe studentët e avancuar:

4. Gjeni derivatin e funksionit:

Nuk ka një funksion të tillë në tabelën e derivateve, natyrisht. Por nëse ju kujtohet matematika elementare, veprimet me fuqi... Atëherë është mjaft e mundur ta thjeshtoni këtë funksion. Si kjo:

Dhe x në fuqinë e një të dhjetës është tashmë një funksion tabelor! Grupi i tretë, n=1/10. Ne shkruajmë drejtpërdrejt sipas formulës:

Kjo eshte e gjitha. Kjo do të jetë përgjigja.

Shpresoj që gjithçka të jetë e qartë me shtyllën e parë të diferencimit - tabelën e derivateve. Mbetet të merremi me dy balenat e mbetura. Në mësimin e ardhshëm do të mësojmë rregullat e diferencimit.

Nëse ndiqni përkufizimin, atëherë derivati ​​i një funksioni në një pikë është kufiri i raportit të rritjes së funksionit Δ y tek rritja e argumentit Δ x:

Gjithçka duket se është e qartë. Por provoni të përdorni këtë formulë për të llogaritur, të themi, derivatin e funksionit f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x mëkat x. Nëse bëni gjithçka sipas definicionit, atëherë pas nja dy faqesh llogaritje thjesht do të bini në gjumë. Prandaj, ka mënyra më të thjeshta dhe më efektive.

Për të filluar, vërejmë se nga e gjithë shumëllojshmëria e funksioneve mund të dallojmë të ashtuquajturat funksione elementare. Këto janë shprehje relativisht të thjeshta, derivatet e të cilave janë llogaritur dhe renditur prej kohësh. Funksione të tilla janë mjaft të lehta për t'u mbajtur mend - së bashku me derivatet e tyre.

Derivatet e funksioneve elementare

Funksionet elementare janë të gjitha ato të listuara më poshtë. Derivatet e këtyre funksioneve duhet të njihen përmendësh. Për më tepër, nuk është aspak e vështirë t'i mësosh përmendësh - kjo është arsyeja pse ato janë elementare.

Pra, derivatet e funksioneve elementare:

Emri	Funksioni	Derivat
Konstante	f(x) = C, C ∈ R	0 (po, zero!)
Fuqia me eksponent racional	f(x) = x n	n · x n − 1
Sinus	f(x) = mëkat x	cos x
Kosinusi	f(x) = cos x	−mëkat x(minus sinus)
Tangjente	f(x) = tg x	1/ko 2 x
Kotangjente	f(x) = ctg x	− 1/mëkat 2 x
Logaritmi natyror	f(x) = log x	1/x
Logaritmi arbitrar	f(x) = log a x	1/(x ln a)
Funksioni eksponencial	f(x) = e x	e x(asgje nuk ka ndryshuar)

Nëse një funksion elementar shumëzohet me një konstante arbitrare, atëherë derivati ​​i funksionit të ri gjithashtu llogaritet lehtësisht:

(C · f)’ = C · f ’.

Në përgjithësi, konstantet mund të hiqen nga shenja e derivatit. Për shembull:

(2x 3)' = 2 · ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Natyrisht, funksionet elementare mund t'i shtohen njëri-tjetrit, të shumëzohen, të ndahen - dhe shumë më tepër. Kështu do të shfaqen funksione të reja, jo më veçanërisht elementare, por edhe të diferencuara sipas rregullave të caktuara. Këto rregulla diskutohen më poshtë.

Derivati ​​i shumës dhe diferencës

Le të jepen funksionet f(x) Dhe g(x), derivatet e të cilave janë të njohura për ne. Për shembull, mund të merrni funksionet elementare të diskutuara më sipër. Atëherë mund të gjeni derivatin e shumës dhe ndryshimit të këtyre funksioneve:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Pra, derivati ​​i shumës (diferencës) i dy funksioneve është i barabartë me shumën (diferencën) e derivateve. Mund të ketë më shumë terma. Për shembull, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Në mënyrë të rreptë, nuk ka asnjë koncept të "zbritjes" në algjebër. Ekziston një koncept i "elementit negativ". Prandaj dallimi f − g mund të rishkruhet si shumë f+ (−1) g, dhe pastaj mbetet vetëm një formulë - derivati ​​i shumës.

f(x) = x 2 + mëkat x; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Funksioni f(x) është shuma e dy funksioneve elementare, pra:

f ’(x) = (x 2 + mëkat x)’ = (x 2)’ + (mëkat x)’ = 2x+ cos x;

Ne arsyetojmë në mënyrë të ngjashme për funksionin g(x). Vetëm ka tashmë tre terma (nga pikëpamja e algjebrës):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Përgjigje:
f ’(x) = 2x+ cos x;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Derivat i produktit

Matematika është një shkencë logjike, kështu që shumë njerëz besojnë se nëse derivati ​​i një shume është i barabartë me shumën e derivateve, atëherë derivati ​​i produktit grevë">i barabartë me produktin e derivateve. Por vidhosni! Derivati ​​i një produkti llogaritet duke përdorur një formulë krejtësisht të ndryshme. Domethënë:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Formula është e thjeshtë, por shpesh harrohet. Dhe jo vetëm nxënësit e shkollës, por edhe studentët. Rezultati është problemet e zgjidhura gabimisht.

Detyrë. Gjeni derivatet e funksioneve: f(x) = x 3 cos x; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .

Funksioni f(x) është produkt i dy funksioneve elementare, kështu që gjithçka është e thjeshtë:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3) 'cos x + x 3 (ko x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (− mëkat x) = x 2 (3 cos x − x mëkat x)

Funksioni g(x) shumëzuesi i parë është pak më i ndërlikuar, por skema e përgjithshme nuk ndryshon. Natyrisht, faktori i parë i funksionit g(x) është një polinom dhe derivati ​​i tij është derivati ​​i shumës. Ne kemi:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)' · e x + (x 2 + 7x− 7) ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Përgjigje:
f ’(x) = x 2 (3 cos x − x mëkat x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Ju lutemi vini re se në hapin e fundit derivati ​​faktorizohet. Formalisht, kjo nuk ka nevojë të bëhet, por shumica e derivateve nuk llogariten më vete, por për të ekzaminuar funksionin. Kjo do të thotë që më tej derivati ​​do të barazohet me zero, do të përcaktohen shenjat e tij etj. Për një rast të tillë, është më mirë të kemi një shprehje të faktorizuar.

Nëse ka dy funksione f(x) Dhe g(x), dhe g(x) ≠ 0 në grupin që na intereson, mund të përcaktojmë një funksion të ri h(x) = f(x)/g(x). Për një funksion të tillë mund të gjeni edhe derivatin:

Jo i dobët, apo jo? Nga erdhi minusi? Pse g 2? Dhe si kjo! Kjo është një nga formulat më komplekse - nuk mund ta kuptoni pa një shishe. Prandaj, është më mirë ta studiojmë atë me shembuj specifik.

Detyrë. Gjeni derivatet e funksioneve:

Numëruesi dhe emëruesi i çdo thyese përmbajnë funksione elementare, kështu që gjithçka që na nevojitet është formula për derivatin e herësit:

Sipas traditës, le të faktorizojmë numëruesin - kjo do ta thjeshtojë shumë përgjigjen:

Një funksion kompleks nuk është domosdoshmërisht një formulë gjysmë kilometër e gjatë. Për shembull, mjafton të marrësh funksionin f(x) = mëkat x dhe zëvendësoni variablin x, të themi, në x 2 + ln x. Do të funksionojë f(x) = mëkat ( x 2 + ln x) - ky është një funksion kompleks. Ai gjithashtu ka një derivat, por nuk do të jetë e mundur ta gjesh atë duke përdorur rregullat e diskutuara më sipër.

Cfare duhet te bej? Në raste të tilla, zëvendësimi i një ndryshoreje dhe formule për derivatin e një funksioni kompleks ndihmon:

f ’(x) = f ’(t) · t', Nëse x zëvendësohet nga t(x).

Si rregull, situata me të kuptuarit e kësaj formule është edhe më e trishtuar sesa me derivatin e herësit. Prandaj, është gjithashtu më mirë të shpjegohet duke përdorur shembuj specifikë, me një përshkrim të detajuar të secilit hap.

Detyrë. Gjeni derivatet e funksioneve: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = mëkat ( x 2 + ln x)

Vini re se nëse në funksion f(x) në vend të shprehjes 2 x+ 3 do të jetë e lehtë x, atëherë marrim një funksion elementar f(x) = e x. Prandaj, ne bëjmë një zëvendësim: le 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Ne kërkojmë derivatin e një funksioni kompleks duke përdorur formulën:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

Dhe tani - vëmendje! Ne kryejmë zëvendësimin e kundërt: t = 2x+ 3. Ne marrim:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Tani le të shohim funksionin g(x). Është e qartë se ajo duhet të zëvendësohet x 2 + ln x = t. Ne kemi:

g ’(x) = g ’(t) · t’ = (mëkat t)’ · t’ = cos t · t ’

Zëvendësimi i kundërt: t = x 2 + ln x. Pastaj:

g ’(x) = cos ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x)' = kosto ( x 2 + ln x) · (2 x + 1/x).

Kjo eshte e gjitha! Siç shihet nga shprehja e fundit, i gjithë problemi është reduktuar në llogaritjen e shumës derivative.

Përgjigje:
f ’(x) = 2 · e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) si ( x 2 + ln x).

Shumë shpesh në mësimet e mia, në vend të termit "derivativ", përdor fjalën "prim". Për shembull, goditja e shumës është e barabartë me shumën e goditjeve. A është kjo më e qartë? Epo, kjo është mirë.

Kështu, llogaritja e derivatit zbret në heqjen e të njëjtave goditje sipas rregullave të diskutuara më sipër. Si shembull i fundit, le të kthehemi te fuqia derivatore me një eksponent racional:

(x n)’ = n · x n − 1

Pak njerëz e dinë këtë në rol n mund të jetë një numër thyesor. Për shembull, rrënja është x 0.5. Po sikur të ketë diçka të zbukuruar nën rrënjë? Përsëri, rezultati do të jetë një funksion kompleks - atyre u pëlqen të japin ndërtime të tilla në teste dhe provime.

Detyrë. Gjeni derivatin e funksionit:

Së pari, le të rishkruajmë rrënjën si një fuqi me një eksponent racional:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Tani bëjmë një zëvendësim: le x 2 + 8x − 7 = t. Derivatin e gjejmë duke përdorur formulën:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)' · t’ = 0,5 · t−0,5 · t ’.

Le të bëjmë zëvendësimin e kundërt: t = x 2 + 8x− 7. Kemi:

f ’(x) = 0,5 · ( x 2 + 8x− 7) −0,5 · ( x 2 + 8x− 7)’ = 0,5 (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Më në fund, kthehemi te rrënjët:

Derivat

Llogaritja e derivatit të një funksioni matematikor (diferencimi) është një problem shumë i zakonshëm kur zgjidhet matematika e lartë. Për funksionet e thjeshta (elementare) matematikore, kjo është një çështje mjaft e thjeshtë, pasi tabelat e derivateve për funksionet elementare janë përpiluar prej kohësh dhe janë lehtësisht të arritshme. Megjithatë, gjetja e derivatit të një funksioni kompleks matematikor nuk është një detyrë e parëndësishme dhe shpesh kërkon përpjekje dhe kohë të konsiderueshme.

Gjeni derivatin në internet

Shërbimi ynë në internet ju lejon të heqni qafe llogaritjet e gjata të pakuptimta dhe gjeni derivatin në internet në një moment. Për më tepër, duke përdorur shërbimin tonë të vendosur në faqen e internetit www.site, mund të llogarisni derivat në internet si nga një funksion elementar ashtu edhe nga një shumë kompleks që nuk ka zgjidhje analitike. Përparësitë kryesore të faqes sonë në krahasim me të tjerët janë: 1) nuk ka kërkesa strikte për metodën e futjes së një funksioni matematikor për llogaritjen e derivatit (për shembull, kur futni funksionin sine x, mund ta futni atë si sin x ose sin (x) ose mëkat[x], etj. d.); 2) llogaritja e derivateve në internet ndodh menjëherë në modalitet online dhe absolutisht falas; 3) ne ju lejojmë të gjeni derivatin e një funksioni ndonjë porosi, ndryshimi i renditjes së derivatit është shumë i lehtë dhe i kuptueshëm; 4) ne ju lejojmë të gjeni derivatin e pothuajse çdo funksioni matematikor në internet, madje edhe ato shumë komplekse që nuk mund të zgjidhen nga shërbime të tjera. Përgjigja e dhënë është gjithmonë e saktë dhe nuk mund të përmbajë gabime.

Përdorimi i serverit tonë do t'ju lejojë të 1) llogarisni derivatin në internet për ju, duke eliminuar llogaritjet që kërkojnë kohë dhe të lodhshme gjatë të cilave mund të bëni një gabim ose gabim shtypi; 2) nëse e llogaritni vetë derivatin e një funksioni matematikor, atëherë ne ju ofrojmë mundësinë të krahasoni rezultatin e marrë me llogaritjet e shërbimit tonë dhe të siguroheni që zgjidhja është e saktë ose të gjeni një gabim që ka depërtuar; 3) përdorni shërbimin tonë në vend të përdorimit të tabelave të derivateve të funksioneve të thjeshta, ku shpesh kërkon kohë për të gjetur funksionin e dëshiruar.

E tëra çfarë ju duhet të bëni është gjeni derivatin në internet- është për të përdorur shërbimin tonë në

Veprimi i gjetjes së derivatit quhet diferencim.

Si rezultat i zgjidhjes së problemeve të gjetjes së derivateve të funksioneve më të thjeshta (dhe jo shumë të thjeshta) duke përcaktuar derivatin si kufi të raportit të rritjes me rritjen e argumentit, u shfaq një tabelë e derivateve dhe rregulla të përcaktuara saktësisht të diferencimit. . Të parët që punuan në fushën e gjetjes së derivateve ishin Isak Njutoni (1643-1727) dhe Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

Prandaj, në kohën tonë, për të gjetur derivatin e ndonjë funksioni, nuk keni nevojë të llogaritni kufirin e lartpërmendur të raportit të rritjes së funksionit me rritjen e argumentit, por duhet të përdorni vetëm tabelën e derivatet dhe rregullat e diferencimit. Algoritmi i mëposhtëm është i përshtatshëm për gjetjen e derivatit.

Për të gjetur derivatin, ju duhet një shprehje nën shenjën kryesore zbërthejnë funksionet e thjeshta në komponentë dhe përcaktoni se çfarë veprimesh (produkti, shuma, koeficienti) këto funksione janë të lidhura. Më pas, derivatet e funksioneve elementare i gjejmë në tabelën e derivateve, dhe formulat për derivatet e produktit, shumës dhe koeficientit - në rregullat e diferencimit. Tabela e derivateve dhe rregullat e diferencimit jepen pas dy shembujve të parë.

Shembulli 1. Gjeni derivatin e një funksioni

Zgjidhje. Nga rregullat e diferencimit zbulojmë se derivati ​​i një shume funksionesh është shuma e derivateve të funksioneve, d.m.th.

Nga tabela e derivateve zbulojmë se derivati ​​i "X" është i barabartë me një, dhe derivati ​​i sinusit është i barabartë me kosinusin. Ne i zëvendësojmë këto vlera në shumën e derivateve dhe gjejmë derivatin e kërkuar nga kushti i problemit:

Shembulli 2. Gjeni derivatin e një funksioni

Zgjidhje. Dallojmë si derivat të një shume në të cilën termi i dytë ka një faktor konstant mund të hiqet nga shenja e derivatit;

Nëse ende lindin pyetje se nga vjen diçka, ato zakonisht zgjidhen pas njohjes me tabelën e derivateve dhe rregullat më të thjeshta të diferencimit. Ne po kalojmë drejt tyre tani.

Tabela e derivateve të funksioneve të thjeshta

1. Derivat i një konstante (numri). Çdo numër (1, 2, 5, 200...) që është në shprehjen e funksionit. Gjithmonë e barabartë me zero. Kjo është shumë e rëndësishme të mbahet mend, pasi kërkohet shumë shpesh
2. Derivat i ndryshores së pavarur. Më shpesh "X". Gjithmonë e barabartë me një. Kjo është gjithashtu e rëndësishme të mbahet mend për një kohë të gjatë
3. Derivat i gradës. Kur zgjidhni problemet, duhet të shndërroni rrënjët jo katrore në fuqi.
4. Derivati ​​i një ndryshoreje në fuqinë -1
5. Derivat i rrënjës katrore
6. Derivat i sinusit
7. Derivat i kosinusit
8. Derivat i tangjentes
9. Derivat i kotangjentes
10. Derivat i arksinës
11. Derivat i arkkosinës
12. Derivat i arktangjentit
13. Derivat i kotangjentes harkore
14. Derivat i logaritmit natyror
15. Derivat i një funksioni logaritmik
16. Derivati ​​i eksponentit
17. Derivat i një funksioni eksponencial

Rregullat e diferencimit

1. Derivat i shumës ose diferencës
2. Derivat i produktit
2a. Derivat i një shprehjeje të shumëzuar me një faktor konstant
3. Derivati ​​i herësit
4. Derivat i një funksioni kompleks

Rregulli 1.Nëse funksionet

janë të diferencueshëm në një moment, atëherë funksionet janë të diferencueshëm në të njëjtën pikë

dhe

ato. derivati ​​i shumës algjebrike të funksioneve është i barabartë me shumën algjebrike të derivateve të këtyre funksioneve.

Pasoja. Nëse dy funksione të diferencueshëm ndryshojnë nga një term konstant, atëherë derivatet e tyre janë të barabartë, d.m.th.

Rregulli 2.Nëse funksionet

janë të diferencueshëm në një moment, atëherë produkti i tyre është i diferencueshëm në të njëjtën pikë

dhe

ato. Derivati ​​i prodhimit të dy funksioneve është i barabartë me shumën e produkteve të secilit prej këtyre funksioneve dhe derivatin e tjetrit.

Përfundimi 1. Faktori konstant mund të hiqet nga shenja e derivatit:

Përfundimi 2. Derivati ​​i produktit të disa funksioneve të diferencueshëm është i barabartë me shumën e produkteve të derivatit të secilit faktor dhe të gjithë të tjerëve.

Për shembull, për tre shumëzues:

Rregulli 3.Nëse funksionet

të diferencueshme në një moment Dhe , atëherë në këtë pikë herësi i tyre është gjithashtu i diferencueshëmu/v , dhe

ato. derivati ​​i herësit të dy funksioneve është i barabartë me një thyesë, numëruesi i së cilës është diferenca midis produkteve të emëruesit dhe derivatit të numëruesit dhe numëruesit dhe derivatit të emëruesit, dhe emëruesi është katrori i numëruesi i mëparshëm.

Ku të kërkoni gjëra në faqet e tjera

Kur gjeni derivatin e një produkti dhe një herës në problemet reale, është gjithmonë e nevojshme të zbatohen disa rregulla diferencimi në të njëjtën kohë, kështu që ka më shumë shembuj për këto derivate në artikull."Derivati ​​i produktit dhe koeficienti i funksioneve".

Komentoni. Ju nuk duhet të ngatërroni një konstante (domethënë një numër) si një term në një shumë dhe si një faktor konstant! Në rastin e një termi, derivati ​​i tij është i barabartë me zero, dhe në rastin e një faktori konstant, ai hiqet nga shenja e derivateve. Ky është një gabim tipik që ndodh në fazën fillestare të studimit të derivateve, por ndërsa studenti mesatar zgjidh disa shembuj një dhe dypjesësh, ai nuk e bën më këtë gabim.

Dhe nëse, kur diferenconi një produkt ose koeficient, keni një term u"v, në të cilën u- një numër, për shembull, 2 ose 5, domethënë një konstante, atëherë derivati ​​i këtij numri do të jetë i barabartë me zero dhe, për rrjedhojë, i gjithë termi do të jetë i barabartë me zero (ky rast diskutohet në shembullin 10).

Një gabim tjetër i zakonshëm është zgjidhja mekanike e derivatit të një funksioni kompleks si derivat i një funksioni të thjeshtë. Kjo është arsyeja pse derivat i një funksioni kompleks i kushtohet një artikull i veçantë. Por së pari do të mësojmë të gjejmë derivate të funksioneve të thjeshta.

Gjatë rrugës, nuk mund të bësh pa transformuar shprehjet. Për ta bërë këtë, mund t'ju duhet të hapni manualin në dritare të reja. Veprimet me fuqi dhe rrënjë Dhe Veprimet me thyesa .

Nëse jeni duke kërkuar zgjidhje për derivatet e thyesave me fuqi dhe rrënjë, domethënë kur funksioni duket si , më pas ndiqni mësimin “Derivati ​​i shumave të thyesave me fuqi dhe rrënjë”.

Nëse keni një detyrë si , më pas do të merrni mësimin “Derivatet e funksioneve të thjeshta trigonometrike”.

Shembuj hap pas hapi - si të gjeni derivatin

Shembulli 3. Gjeni derivatin e një funksioni

Zgjidhje. Përcaktojmë pjesët e shprehjes së funksionit: e gjithë shprehja përfaqëson një produkt, dhe faktorët e saj janë shuma, në të dytin prej të cilëve njëri prej termave përmban një faktor konstant. Ne zbatojmë rregullin e diferencimit të produktit: derivati ​​i produktit të dy funksioneve është i barabartë me shumën e produkteve të secilit prej këtyre funksioneve nga derivati ​​i tjetrit:

Më pas, zbatojmë rregullin e diferencimit të shumës: derivati ​​i një shume algjebrike të funksioneve është i barabartë me shumën algjebrike të derivateve të këtyre funksioneve. Në rastin tonë, në çdo shumë, termi i dytë ka një shenjë minus. Në çdo shumë shohim një variabël të pavarur, derivati ​​i së cilës është i barabartë me një, dhe një konstante (numër), derivati ​​i së cilës është i barabartë me zero. Pra, "X" kthehet në një, dhe minus 5 kthehet në zero. Në shprehjen e dytë, "x" shumëzohet me 2, kështu që ne shumëzojmë dy me të njëjtën njësi si derivati ​​i "x". Ne marrim vlerat e derivateve të mëposhtme:

Ne i zëvendësojmë derivatet e gjetura në shumën e produkteve dhe marrim derivatin e të gjithë funksionit të kërkuar nga kushti i problemit:

Dhe ju mund të kontrolloni zgjidhjen e problemit të derivateve në.

Shembulli 4. Gjeni derivatin e një funksioni

Zgjidhje. Na kërkohet të gjejmë derivatin e herësit. Zbatojmë formulën për diferencimin e herësit: derivati ​​i herësit të dy funksioneve është i barabartë me një thyesë, numëruesi i së cilës është diferenca midis produkteve të emëruesit dhe derivatit të numëruesit dhe numëruesit dhe derivatit të emërues, dhe emëruesi është katrori i numëruesit të mëparshëm. Ne marrim:

Ne kemi gjetur tashmë derivatin e faktorëve në numërues në shembullin 2. Le të mos harrojmë gjithashtu se produkti, i cili është faktori i dytë në numërues në shembullin aktual, merret me një shenjë minus:

Nëse jeni duke kërkuar zgjidhje për problemet në të cilat ju duhet të gjeni derivatin e një funksioni, ku ka një grumbull të vazhdueshëm rrënjësh dhe fuqish, si p.sh. , atëherë mirë se vini në klasë "Derivati ​​i shumave të thyesave me fuqi dhe rrënjë" .

Nëse keni nevojë të mësoni më shumë rreth derivateve të sinuseve, kosinuseve, tangjentëve dhe funksioneve të tjera trigonometrike, domethënë kur funksioni duket si , pastaj një mësim për ju "Derivatet e funksioneve të thjeshta trigonometrike" .

Shembulli 5. Gjeni derivatin e një funksioni

Zgjidhje. Në këtë funksion shohim një produkt, një nga faktorët e të cilit është rrënja katrore e ndryshores së pavarur, derivatin e së cilës e kemi njohur në tabelën e derivateve. Duke përdorur rregullin për diferencimin e produktit dhe vlerën tabelare të derivatit të rrënjës katrore, marrim:

Zgjidhjen e problemit të derivatit mund ta kontrolloni në Llogaritësi i derivateve në internet .

Shembulli 6. Gjeni derivatin e një funksioni

Zgjidhje. Në këtë funksion shohim një herës, dividenda e të cilit është rrënja katrore e ndryshores së pavarur. Duke përdorur rregullin e diferencimit të herësve, të cilin e përsëritëm dhe e zbatuam në shembullin 4, dhe vlerën në tabelë të derivatit të rrënjës katrore, marrim:

Për të hequr qafe një thyesë në numërues, shumëzojeni numëruesin dhe emëruesin me .

Si të gjendet derivati, si të merret derivati? Në këtë mësim do të mësojmë se si të gjejmë derivatet e funksioneve. Por, përpara se të studioni këtë faqe, unë rekomandoj fuqimisht që të njiheni me materialin metodologjik Formula të nxehta për kursin e matematikës në shkollë. Manuali i referencës mund të hapet ose shkarkohet në faqe Formula dhe tabela matematikore. Gjithashtu nga atje do të na duhet Tabela e derivateve, është më mirë ta printoni atë, shpesh do t'ju duhet t'i referoheni, jo vetëm tani, por edhe jashtë linje.

Hani? Le të fillojmë. Kam dy lajme për ju: të mira dhe shumë të mira. Lajmi i mirë është ky: për të mësuar se si të gjeni derivatet, nuk duhet të dini dhe të kuptoni se çfarë është një derivat. Për më tepër, është më e përshtatshme të tretet përkufizimi i derivatit të një funksioni, kuptimi matematik, fizik, gjeometrik i derivatit më vonë, pasi një studim cilësor i teorisë, për mendimin tim, kërkon studimin e një numri tema të tjera, si dhe disa përvojë praktike.
Dhe tani detyra jonë është të zotërojmë teknikisht të njëjtat derivate. Lajmi shumë i mirë është se të mësuarit për të marrë derivatet nuk është aq i vështirë, ka një algoritëm mjaft të qartë për zgjidhjen (dhe shpjegimin) e kësaj detyre, për shembull, janë më të vështira për t'u zotëruar;

Unë rekomandoj rendin e mëposhtëm të studimit të temës:: Së pari, ky artikull. Atëherë duhet të lexoni mësimin më të rëndësishëm Derivat i një funksioni kompleks. Këto dy klasa bazë do t'i marrin aftësitë tuaja nga e para. Më pas mund të njiheni me derivate më komplekse në artikull Derivatet komplekse. Derivat logaritmik. Nëse shiriti është shumë i lartë, së pari lexoni gjë Problemet tipike më të thjeshta me derivatet. Përveç materialit të ri, mësimi mbulon lloje të tjera, më të thjeshta të derivateve dhe është një mundësi e shkëlqyer për të përmirësuar teknikën tuaj të diferencimit. Përveç kësaj, letrat e testimit përmbajnë pothuajse gjithmonë detyra për gjetjen e derivateve të funksioneve që specifikohen në mënyrë implicite ose parametrike. Ekziston edhe një mësim i tillë: Derivatet e funksioneve implicite dhe parametrikisht të përcaktuara.

Do të përpiqem në një formë të arritshme, hap pas hapi, t'ju mësoj se si të gjeni derivatet e funksioneve. Të gjitha informacionet janë paraqitur në detaje, me fjalë të thjeshta.

Në fakt, le të shohim menjëherë një shembull:

Shembulli 1

Gjeni derivatin e një funksioni

Zgjidhja:

Ky është një shembull i thjeshtë, ju lutemi gjeni në tabelën e derivateve të funksioneve elementare. Tani le të shohim zgjidhjen dhe të analizojmë se çfarë ndodhi? Dhe ndodhi kjo: kishim një funksion, i cili si rezultat i zgjidhjes u kthye në funksion.

E thënë fare thjeshtë, për të gjetur derivatin e një funksioni, duhet ta ktheni atë në një funksion tjetër sipas rregullave të caktuara. Shikoni përsëri tabelën e derivateve - aty funksionet kthehen në funksione të tjera. Përjashtimi i vetëm është funksioni eksponencial, i cili kthehet në vetvete. Operacioni i gjetjes së derivatit quhet diferencimi .

Emërtimet: Derivati ​​shënohet me ose .

KUJDES, E RËNDËSISHME! Duke harruar të vendosni një goditje (aty ku është e nevojshme), ose të vizatoni një goditje shtesë (aty ku nuk është e nevojshme) - GABIM I MADH! Një funksion dhe derivati ​​i tij janë dy funksione të ndryshme!

Le të kthehemi në tabelën tonë të derivateve. Nga kjo tabelë është e dëshirueshme memorizoj: rregullat e diferencimit dhe derivatet e disa funksioneve elementare, veçanërisht:

derivat i konstantes:
, ku është një numër konstant;

derivat i një funksioni fuqie:
, veçanërisht: , , .

Pse kujtohet? Kjo njohuri është njohuri bazë për derivatet. Dhe nëse nuk mund t'i përgjigjeni pyetjes së mësuesit "Cili është derivati ​​i një numri?", atëherë studimet tuaja në universitet mund të përfundojnë për ju (Unë personalisht jam i njohur me dy raste të jetës reale). Përveç kësaj, këto janë formulat më të zakonshme që duhet t'i përdorim pothuajse sa herë që hasim derivate.

Në realitet, shembujt e thjeshtë tabelare janë zakonisht të rrallë, kur gjenden derivatet, fillimisht përdoren rregullat e diferencimit dhe më pas një tabelë e derivateve të funksioneve elementare.

Në këtë drejtim, ne vazhdojmë të shqyrtojmë rregullat e diferencimit:

1) Një numër konstant mund (dhe duhet) të hiqet nga shenja e derivatit

Ku është një numër konstant (konstant)

Shembulli 2

Gjeni derivatin e një funksioni

Le të shohim tabelën e derivateve. Derivati ​​i kosinusit është aty, por ne kemi .

Është koha për të përdorur rregullin, ne nxjerrim faktorin konstant nga shenja e derivatit:

Tani e konvertojmë kosinusin tonë sipas tabelës:

Epo, këshillohet që të "krehni" pak rezultatin - vendosni shenjën minus në radhë të parë, në të njëjtën kohë duke hequr qafe kllapat:

2) Derivati ​​i shumës është i barabartë me shumën e derivateve

Shembulli 3

Gjeni derivatin e një funksioni

Le të vendosim. Siç ndoshta e keni vënë re tashmë, hapi i parë që kryhet gjithmonë kur gjejmë një derivat është që ne mbyllim të gjithë shprehjen në kllapa dhe vendosim një kryetar në krye djathtas:

Le të zbatojmë rregullin e dytë:

Ju lutemi vini re se për diferencim, të gjitha rrënjët dhe shkallët duhet të përfaqësohen në formë, dhe nëse janë në emërues, atëherë lëvizini ato lart. Si ta bëjmë këtë diskutohet në materialet e mia mësimore.

Tani le të kujtojmë rregullin e parë të diferencimit - marrim faktorët (numrat) konstant jashtë shenjës së derivatit:

Zakonisht, gjatë zgjidhjes, këto dy rregulla zbatohen njëkohësisht (për të mos rishkruar përsëri një shprehje të gjatë).

Të gjitha funksionet e vendosura nën goditje janë funksione elementare të tabelës duke përdorur tabelën që ne kryejmë transformimin:

Mund të lini gjithçka ashtu siç është, pasi nuk ka më goditje, dhe derivati ​​është gjetur. Sidoqoftë, shprehjet si kjo zakonisht thjeshtojnë:

Është e këshillueshme që të gjitha fuqitë e tipit të përfaqësohen përsëri në formën e rrënjëve me eksponentë negativë duhet të rivendosen në emërues. Edhe pse nuk duhet ta bëni këtë, nuk do të jetë gabim.

Shembulli 4

Gjeni derivatin e një funksioni

Mundohuni ta zgjidhni vetë këtë shembull (përgjigjuni në fund të mësimit). Të interesuarit mund të përdorin edhe kurs intensiv në formatin pdf, i cili është veçanërisht i rëndësishëm nëse keni shumë pak kohë në dispozicionin tuaj.

3) Derivati ​​i produktit të funksioneve

Duket se analogjia sugjeron formulën ...., por befasia është se:

Ky është një rregull i pazakontë (si, në fakt, të tjerët) rrjedh nga përkufizimet derivative. Por ne do të ndalemi në teori për momentin - tani është më e rëndësishme të mësojmë se si të zgjidhim:

Shembulli 5

Gjeni derivatin e një funksioni

Këtu kemi produktin e dy funksioneve në varësi të .
Së pari ne zbatojmë rregullin tonë të çuditshëm dhe më pas i transformojmë funksionet duke përdorur tabelën e derivateve:

E veshtire? Aspak, mjaft i arritshëm edhe për një çajnik.

Shembulli 6

Gjeni derivatin e një funksioni

Ky funksion përmban shumën dhe prodhimin e dy funksioneve - trinomit kuadratik dhe logaritmit. Nga shkolla kujtojmë se shumëzimi dhe pjesëtimi kanë përparësi ndaj mbledhjes dhe zbritjes.

Është e njëjta gjë këtu. NE FILLIM ne përdorim rregullin e diferencimit të produktit:

Tani për kllapa përdorim dy rregullat e para:

Si rezultat i zbatimit të rregullave të diferencimit nën goditje, na mbeten vetëm funksionet elementare, duke përdorur tabelën e derivateve, i kthejmë ato në funksione të tjera:

Gati.

Me njëfarë përvoje në gjetjen e derivateve, derivatet e thjeshta nuk duket se kanë nevojë të përshkruhen në detaje të tilla. Në përgjithësi, ato zakonisht vendosen me gojë, dhe kjo shkruhet menjëherë .

Shembulli 7

Gjeni derivatin e një funksioni

Ky është një shembull që ju duhet ta zgjidhni vetë (përgjigjuni në fund të mësimit)

4) Derivati ​​i funksioneve herës

U hap një kapelë në tavan, mos u shqetësoni, është një defekt.
Por ky është realiteti i ashpër:

Shembulli 8

Gjeni derivatin e një funksioni

Çfarë mungon këtu - shuma, diferenca, produkti, thyesa…. Me çfarë të filloj?! Ka dyshime, nuk ka dyshime, por, GJITHSESI Së pari, vizatoni kllapa dhe vendosni një goditje lart djathtas:

Tani shikojmë shprehjen në kllapa, si mund ta thjeshtojmë atë? Në këtë rast vërehet një faktor, i cili, sipas rregullit të parë, këshillohet të vendoset jashtë shenjës së derivatit.

Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Lëkundjet harmonike Formula e fizikës së frekuencës së lëkundjeve