Zgjidh një sistem ekuacionesh kuadratike duke përdorur metodën e zëvendësimit. Video mësimi "Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve duke përdorur metodën e zëvendësimit

Mësim me temën: "Metoda e zëvendësimit për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve lineare"

Materiale shtesë
Të dashur përdorues, mos harroni të lini komentet, komentet, dëshirat tuaja. Të gjitha materialet janë kontrolluar nga një program antivirus.

Mjete mësimore dhe simulatorë në dyqanin online Integral për klasën e 7-të
Manuali elektronik "A në një vit. Kurs ekspres në gjeometri. Klasat 7-9"
1C: "Detyrat ndërvepruese të ndërtimit për klasat 7-10"

Çfarë është një sistem ekuacionesh?

Sistemi i ekuacioneve janë dy ekuacione lineare për të cilat ekziston një çift numrash që i plotëson të dy ekuacionet. Sistemi i ekuacioneve shkruhet si më poshtë:
$\fille(rastet)a_1x + b_1y +c = 0\\a_2x +b_2y +c = 0\fund(rastet)$

Të zgjidhësh një sistem ekuacionesh do të thotë të gjesh numra të tillë x dhe y në të cilët të dy ekuacionet kthehen në një barazi të vërtetë ose të vërtetosh se nuk ka zgjidhje për një sistem të caktuar ekuacionesh.

Ju mund ta vendosni këtë çift numrash grafikisht duke ndërtuar një grafik për çdo ekuacion të sistemit. Zgjidhja e sistemit do të jetë pika e kryqëzimit të këtyre grafikëve.

Kjo metodë nuk është shumë e përshtatshme, sepse... kërkon komplot.

Metoda e zëvendësimit

Një mënyrë tjetër për të zgjidhur një sistem ekuacionesh lineare është metoda e zëvendësimit.

Shembull.
Gjeni dy numra, ndryshimi i të cilëve është 12 dhe shuma e të cilëve është 36.

Zgjidhje.
Le të shënojmë me x dhe y numrat që duhen gjetur dhe të krijojmë një sistem ekuacionesh lineare.
$\fillimi(rastet)x - y = 12\\x + y = 36\fund(rastet)$

Le të paraqesim ekuacionin e parë si y = x - 12, dhe të paraqesim ekuacionin e dytë si y = 36 - x.

Atëherë sistemi i ekuacioneve mund të shkruhet si $\fille(rastet)y = x - 12\\y = 36 - x\end(rastet)$
Le të kombinojmë të dy ekuacionet.
x - 12 = 36 - x
2x = 48
x = 24
Pastaj, y = 12.

Përgjigje: x = 24, y = 12.

Morëm një çift numrash, i cili është zgjidhja e sistemit të ekuacioneve, pa vizatuar një grafik.

Le ta shkruajmë algoritmi për zgjidhjen e një sistemi ekuacionesh me dy ndryshore duke përdorur metodën e zëvendësimit:
1. Në ekuacionin e parë të sistemit shprehim y me x.
2. Në ekuacionin e dytë, në vend të y, zëvendësojmë shprehjen që kemi marrë në hapin e parë.
3. Zgjidheni ekuacionin e dytë dhe gjeni x.
4. Vlerën e gjetur të x e zëvendësojmë në ekuacionin e parë të sistemit.
5. Shkruani përgjigjen si çift numrash (x, y).

Një sistem ekuacionesh lineare me dy të panjohura janë dy ose më shumë ekuacione lineare për të cilat është e nevojshme të gjenden të gjitha zgjidhjet e tyre të përbashkëta. Ne do të shqyrtojmë sistemet e dy ekuacioneve lineare në dy të panjohura. Një pamje e përgjithshme e një sistemi me dy ekuacione lineare me dy të panjohura është paraqitur në figurën më poshtë:

(a1*x + b1*y = c1,
( a2*x + b2*y = c2

Këtu x dhe y janë ndryshore të panjohura, a1, a2, b1, b2, c1, c2 janë disa numra realë. Zgjidhja e një sistemi me dy ekuacione lineare në dy të panjohura është një çift numrash (x,y) të tillë që nëse i zëvendësojmë këta numra në ekuacionet e sistemit, atëherë secili prej ekuacioneve të sistemit kthehet në një barazi të vërtetë. Shqyrtoni një nga mënyrat për të zgjidhur një sistem ekuacionesh lineare, përkatësisht metodën e zëvendësimit.

Algoritmi i zgjidhjes me metodën e zëvendësimit

Algoritmi për zgjidhjen e një sistemi ekuacionesh lineare duke përdorur metodën e zëvendësimit:

1. Zgjidhni një ekuacion (është më mirë të zgjidhni atë ku numrat janë më të vegjël) dhe shprehni një variabël prej tij në terma të një tjetri, për shembull, x në terma y. (ju gjithashtu mund të përdorni y përmes x).

2. Zëvendësoni shprehjen që rezulton në vend të ndryshores përkatëse në një ekuacion tjetër. Kështu, marrim një ekuacion linear me një të panjohur.

3. Zgjidheni ekuacionin linear që rezulton dhe merrni një zgjidhje.

4. Zgjidhjen që rezulton e zëvendësojmë me shprehjen e marrë në paragrafin e parë dhe marrim të panjohurën e dytë nga zgjidhja.

5. Kontrolloni zgjidhjen që rezulton.

Shembull

Për ta bërë më të qartë, le të zgjidhim një shembull të vogël.

Shembulli 1. Zgjidheni sistemin e ekuacioneve:

(x+2*y =12
(2*x-3*y=-18

Zgjidhja:

1. Nga ekuacioni i parë i këtij sistemi shprehim ndryshoren x. Kemi x= (12 -2*y);

2. Zëvendësojmë këtë shprehje në ekuacionin e dytë, marrim 2*x-3*y=-18; 2 * (12 -2 * y) - 3 * y = -18; 24 - 4y - 3*y = -18;

3. Zgjidheni ekuacionin linear që rezulton: 24 - 4y - 3*y = -18; 24-7*y =-18; -7*y = -42; y=6;

4. Zëvendësoni rezultatin e marrë me shprehjen e marrë në paragrafin e parë. x= (12 -2*y); x=12-2*6 = 0; x=0;

5. Ne kontrollojmë zgjidhjen që rezulton për ta bërë këtë, ne i zëvendësojmë numrat e gjetur në sistemin origjinal.

(x+2*y =12;
(2*x-3*y=-18;

{0+2*6 =12;
{2*0-3*6=-18;

{12 =12;
{-18=-18;

Ne morëm barazitë e sakta, prandaj gjetëm zgjidhjen saktë.

Le të analizojmë dy lloje zgjidhjesh për sistemet e ekuacioneve:

1. Zgjidhja e sistemit duke përdorur metodën e zëvendësimit.
2. Zgjidhja e sistemit me mbledhje (zbritje) term pas termi të ekuacioneve të sistemit.

Për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve me metodën e zëvendësimit ju duhet të ndiqni një algoritëm të thjeshtë:
1. Shprehni. Nga çdo ekuacion ne shprehim një ndryshore.
2. Zëvendësues. Ne e zëvendësojmë vlerën që rezulton në një ekuacion tjetër në vend të ndryshores së shprehur.
3. Zgjidheni ekuacionin që rezulton me një ndryshore. Ne gjejmë një zgjidhje për sistemin.

Për të vendosur sistem me metodën e mbledhjes (zbritjes) term-pas-term duhet:
1. Zgjidhni një variabël për të cilën do të bëjmë koeficientë identikë.
2. Shtojmë ose zbresim ekuacione, duke rezultuar në një ekuacion me një ndryshore.
3. Zgjidheni ekuacionin linear që rezulton. Ne gjejmë një zgjidhje për sistemin.

Zgjidhja e sistemit janë pikat e kryqëzimit të grafikëve të funksionit.

Le të shqyrtojmë në detaje zgjidhjen e sistemeve duke përdorur shembuj.

Shembulli #1:

Le të zgjidhim me metodën e zëvendësimit

Zgjidhja e një sistemi ekuacionesh duke përdorur metodën e zëvendësimit

2x+5y=1 (1 ekuacion)
x-10y=3 (ekuacioni i 2-të)

1. Shprehni
Mund të shihet se në ekuacionin e dytë ka një ndryshore x me koeficient 1, që do të thotë se është më e lehtë të shprehet ndryshorja x nga ekuacioni i dytë.
x=3+10y

2. Pasi e kemi shprehur, zëvendësojmë 3+10y në ekuacionin e parë në vend të ndryshores x.
2(3+10y)+5y=1

3. Zgjidheni ekuacionin që rezulton me një ndryshore.
2(3+10y)+5y=1 (hapni kllapat)
6+20v+5y=1
25v=1-6
25v=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0.2

Zgjidhja e sistemit të ekuacioneve janë pikat e kryqëzimit të grafikëve, prandaj duhet të gjejmë x dhe y, sepse pika e kryqëzimit përbëhet nga x dhe y Le të gjejmë x, në pikën e parë ku e shprehëm, e zëvendësojmë y-në .
x=3+10y
x=3+10*(-0.2)=1

Është zakon të shkruajmë pikë në radhë të parë shkruajmë variablin x, dhe në vendin e dytë ndryshoren y.
Përgjigje: (1; -0.2)

Shembulli #2:

Le të zgjidhim duke përdorur metodën e mbledhjes (zbritjes) term-pas-term.

Zgjidhja e një sistemi ekuacionesh duke përdorur metodën e mbledhjes

3x-2y=1 (1 ekuacion)
2x-3y=-10 (ekuacioni i dytë)

1. Ne zgjedhim një ndryshore, le të themi se zgjedhim x. Në ekuacionin e parë, ndryshorja x ka një koeficient 3, në të dytin - 2. Ne duhet t'i bëjmë koeficientët të njëjtë, për këtë kemi të drejtë të shumëzojmë ekuacionet ose të pjesëtojmë me çdo numër. Ekuacionin e parë e shumëzojmë me 2, të dytin me 3 dhe marrim një koeficient total prej 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Zbrisni të dytën nga ekuacioni i parë për të hequr qafe variablin x.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6.4

3. Gjeni x. Ne e zëvendësojmë y-në e gjetur në ndonjë nga ekuacionet, le të themi në ekuacionin e parë.
3x-2y=1
3x-2*6.4=1
3x-12.8=1
3x=1+12.8
3x=13.8 |:3
x=4.6

Pika e kryqëzimit do të jetë x=4.6; y=6.4
Përgjigje: (4.6; 6.4)

Dëshironi të përgatiteni për provime falas? Tutor në internet falas. Pa shaka.

Sistemet e ekuacioneve përdoren gjerësisht në sektorin ekonomik për modelimin matematikor të proceseve të ndryshme. Për shembull, kur zgjidhni problemet e menaxhimit dhe planifikimit të prodhimit, rrugëve të logjistikës (problemi i transportit) ose vendosjes së pajisjeve.

Sistemet e ekuacioneve përdoren jo vetëm në matematikë, por edhe në fizikë, kimi dhe biologji, kur zgjidhen problemet e gjetjes së madhësisë së popullsisë.

Një sistem ekuacionesh lineare është dy ose më shumë ekuacione me disa ndryshore për të cilat është e nevojshme të gjendet një zgjidhje e përbashkët. Një sekuencë e tillë numrash për të cilat të gjitha ekuacionet bëhen barazi të vërteta ose vërtetojnë se sekuenca nuk ekziston.

Ekuacioni linear

Ekuacionet e trajtës ax+by=c quhen lineare. Emërtimet x, y janë të panjohurat vlera e të cilave duhet gjetur, b, a janë koeficientët e variablave, c është termi i lirë i ekuacionit.
Zgjidhja e një ekuacioni duke e vizatuar do të duket si një vijë e drejtë, të gjitha pikat e së cilës janë zgjidhje të polinomit.

Llojet e sistemeve të ekuacioneve lineare

Shembujt më të thjeshtë konsiderohen të jenë sistemet e ekuacioneve lineare me dy ndryshore X dhe Y.

F1(x, y) = 0 dhe F2(x, y) = 0, ku F1,2 janë funksione dhe (x, y) janë variabla funksioni.

Zgjidh sistemin e ekuacioneve - kjo do të thotë gjetja e vlerave (x, y) në të cilat sistemi kthehet në një barazi të vërtetë ose vërtetimi që vlerat e përshtatshme të x dhe y nuk ekzistojnë.

Një çift vlerash (x, y), të shkruara si koordinatat e një pike, quhet zgjidhje e një sistemi ekuacionesh lineare.

Nëse sistemet kanë një zgjidhje të përbashkët ose nuk ekziston asnjë zgjidhje, ato quhen ekuivalente.

Sistemet homogjene të ekuacioneve lineare janë sisteme ana e djathtë e të cilave është e barabartë me zero. Nëse pjesa e djathtë pas shenjës së barabartë ka një vlerë ose shprehet me një funksion, një sistem i tillë është heterogjen.

Numri i variablave mund të jetë shumë më tepër se dy, atëherë duhet të flasim për një shembull të një sistemi ekuacionesh lineare me tre ose më shumë ndryshore.

Kur përballen me sisteme, nxënësit e shkollës supozojnë se numri i ekuacioneve duhet domosdoshmërisht të përkojë me numrin e të panjohurave, por nuk është kështu. Numri i ekuacioneve në sistem nuk varet nga variablat mund të ketë aq sa dëshironi.

Metoda të thjeshta dhe komplekse për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve

Nuk ka asnjë metodë të përgjithshme analitike për zgjidhjen e sistemeve të tilla; Kursi i matematikës shkollore përshkruan në detaje metoda të tilla si ndryshimi, mbledhja algjebrike, zëvendësimi, si dhe metodat grafike dhe matricore, zgjidhje me metodën Gaussian.

Detyra kryesore kur mësoni metodat e zgjidhjes është të mësoni se si të analizoni saktë sistemin dhe të gjeni algoritmin optimal të zgjidhjes për secilin shembull. Gjëja kryesore nuk është të mësosh përmendësh një sistem rregullash dhe veprimesh për secilën metodë, por të kuptosh parimet e përdorimit të një metode të veçantë.

Zgjidhja e shembujve të sistemeve të ekuacioneve lineare në kurrikulën e arsimit të përgjithshëm të klasës së 7-të është mjaft e thjeshtë dhe e shpjeguar me shumë detaje. Në çdo tekst të matematikës, këtij seksioni i kushtohet vëmendje e mjaftueshme. Zgjidhja e shembujve të sistemeve të ekuacioneve lineare duke përdorur metodën Gauss dhe Cramer është studiuar më hollësisht në vitet e para të arsimit të lartë.

Zgjidhja e sistemeve duke përdorur metodën e zëvendësimit

Veprimet e metodës së zëvendësimit synojnë të shprehin vlerën e një ndryshore në terma të të dytës. Shprehja zëvendësohet në ekuacionin e mbetur, pastaj reduktohet në një formë me një ndryshore. Veprimi përsëritet në varësi të numrit të të panjohurave në sistem

Le të japim një zgjidhje për një shembull të një sistemi ekuacionesh lineare të klasës 7 duke përdorur metodën e zëvendësimit:

Siç mund të shihet nga shembulli, ndryshorja x u shpreh përmes F(X) = 7 + Y. Shprehja rezultuese, e zëvendësuar në ekuacionin e dytë të sistemit në vend të X, ndihmoi për të marrë një ndryshore Y në ekuacionin e dytë. . Zgjidhja e këtij shembulli është e lehtë dhe ju lejon të merrni vlerën Y. Hapi i fundit është të kontrolloni vlerat e marra.

Nuk është gjithmonë e mundur të zgjidhet një shembull i një sistemi ekuacionesh lineare me zëvendësim. Ekuacionet mund të jenë komplekse dhe shprehja e ndryshores në termat e të panjohurës së dytë do të jetë shumë e rëndë për llogaritjet e mëtejshme. Kur ka më shumë se 3 të panjohura në sistem, zgjidhja me zëvendësim është gjithashtu e papërshtatshme.

Zgjidhja e një shembulli të një sistemi ekuacionesh lineare johomogjene:

Zgjidhje duke përdorur mbledhjen algjebrike

Kur kërkoni zgjidhje për sistemet duke përdorur metodën e mbledhjes, ekuacionet shtohen term pas termi dhe shumëzohen me numra të ndryshëm. Qëllimi përfundimtar i operacioneve matematikore është një ekuacion në një ndryshore.

Zbatimi i kësaj metode kërkon praktikë dhe vëzhgim. Zgjidhja e një sistemi ekuacionesh lineare duke përdorur metodën e mbledhjes kur ka 3 ose më shumë ndryshore nuk është e lehtë. Shtimi algjebrik është i përshtatshëm për t'u përdorur kur ekuacionet përmbajnë thyesa dhe dhjetore.

Algoritmi i zgjidhjes:

1. Shumëzoni të dyja anët e ekuacionit me një numër të caktuar. Si rezultat i veprimit aritmetik, një nga koeficientët e ndryshores duhet të bëhet i barabartë me 1.
2. Shtoni shprehjen që rezulton term pas termi dhe gjeni një nga të panjohurat.
3. Zëvendësoni vlerën që rezulton në ekuacionin e dytë të sistemit për të gjetur variablin e mbetur.

Metoda e zgjidhjes duke futur një ndryshore të re

Një variabël i ri mund të futet nëse sistemi kërkon gjetjen e një zgjidhjeje për jo më shumë se dy ekuacione, gjithashtu numri i të panjohurave duhet të jetë jo më shumë se dy.

Metoda përdoret për të thjeshtuar një nga ekuacionet duke futur një ndryshore të re. Ekuacioni i ri zgjidhet për të panjohurën e futur dhe vlera që rezulton përdoret për të përcaktuar variablin origjinal.

Shembulli tregon se duke futur një ndryshore të re t, ishte e mundur të reduktohej ekuacioni i parë i sistemit në një trinom kuadratik standard. Ju mund të zgjidhni një polinom duke gjetur diskriminuesin.

Është e nevojshme të gjendet vlera e diskriminuesit duke përdorur formulën e njohur: D = b2 - 4*a*c, ku D është diskriminuesi i dëshiruar, b, a, c janë faktorët e polinomit. Në shembullin e dhënë, a=1, b=16, c=39, pra D=100. Nëse diskriminuesi është më i madh se zero, atëherë ekzistojnë dy zgjidhje: t = -b±√D / 2*a, nëse diskriminuesi është më i vogël se zero, atëherë ka një zgjidhje: x = -b / 2*a.

Zgjidhja për sistemet rezultuese gjendet me metodën e shtimit.

Metoda vizuale për zgjidhjen e sistemeve

I përshtatshëm për 3 sisteme ekuacionesh. Metoda konsiston në ndërtimin e grafikëve të çdo ekuacioni të përfshirë në sistem në boshtin koordinativ. Koordinatat e pikave të kryqëzimit të kurbave do të jenë zgjidhja e përgjithshme e sistemit.

Metoda grafike ka një numër nuancash. Le të shohim disa shembuj të zgjidhjes së sistemeve të ekuacioneve lineare në mënyrë vizuale.

Siç shihet nga shembulli, për secilën rresht janë ndërtuar dy pika, vlerat e ndryshores x janë zgjedhur në mënyrë arbitrare: 0 dhe 3. Bazuar në vlerat e x, janë gjetur vlerat për y: 3 dhe 0. Pikat me koordinatat (0, 3) dhe (3, 0) janë shënuar në grafik dhe janë lidhur me një vijë.

Hapat duhet të përsëriten për ekuacionin e dytë. Pika e prerjes së vijave është zgjidhja e sistemit.

Shembulli i mëposhtëm kërkon gjetjen e një zgjidhjeje grafike të një sistemi ekuacionesh lineare: 0.5x-y+2=0 dhe 0.5x-y-1=0.

Siç shihet nga shembulli, sistemi nuk ka zgjidhje, sepse grafikët janë paralelë dhe nuk kryqëzohen në të gjithë gjatësinë e tyre.

Sistemet nga shembujt 2 dhe 3 janë të ngjashëm, por kur ndërtohen, bëhet e qartë se zgjidhjet e tyre janë të ndryshme. Duhet mbajtur mend se nuk është gjithmonë e mundur të thuhet nëse një sistem ka një zgjidhje apo jo, është gjithmonë e nevojshme të ndërtohet një grafik.

Matrica dhe varietetet e saj

Matricat përdoren për të shkruar në mënyrë koncize një sistem ekuacionesh lineare. Një matricë është një lloj i veçantë tabele i mbushur me numra. n*m ka n - rreshta dhe m - kolona.

Një matricë është katror kur numri i kolonave dhe rreshtave është i barabartë. Një matricë-vektor është një matricë e një kolone me një numër pafundësisht të mundshëm rreshtash. Një matricë me ato përgjatë njërës prej diagonaleve dhe elementëve të tjerë zero quhet identitet.

Një matricë e kundërt është një matricë, kur shumëzohet me të cilën ajo origjinale kthehet në një matricë njësi, një matricë e tillë ekziston vetëm për atë origjinale.

Rregullat për shndërrimin e një sistemi ekuacionesh në një matricë

Në lidhje me sistemet e ekuacioneve, koeficientët dhe termat e lirë të ekuacioneve shkruhen si numra matricë;

Një rresht matricë thuhet se është jozero nëse të paktën një element i rreshtit nuk është zero. Prandaj, nëse në ndonjë nga ekuacionet numri i variablave ndryshon, atëherë është e nevojshme të futet zero në vend të të panjohurës që mungon.

Kolonat e matricës duhet të korrespondojnë rreptësisht me variablat. Kjo do të thotë se koeficientët e ndryshores x mund të shkruhen vetëm në një kolonë, për shembull e para, koeficienti i të panjohurës y - vetëm në të dytën.

Kur shumëzoni një matricë, të gjithë elementët e matricës shumëzohen në mënyrë sekuenciale me një numër.

Opsione për gjetjen e matricës së kundërt

Formula për gjetjen e matricës së kundërt është mjaft e thjeshtë: K -1 = 1 / |K|, ku K -1 është matrica e kundërt, dhe |K| është përcaktor i matricës. |K| nuk duhet të jetë e barabartë me zero, atëherë sistemi ka një zgjidhje.

Përcaktori llogaritet lehtësisht për një matricë dy-nga-dy ju vetëm duhet të shumëzoni elementët diagonale me njëri-tjetrin. Për opsionin "tre nga tre" ekziston një formulë |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Ju mund të përdorni formulën, ose mund të mbani mend se duhet të merrni një element nga çdo rresht dhe çdo kolonë në mënyrë që numrat e kolonave dhe rreshtave të elementeve të mos përsëriten në punë.

Zgjidhja e shembujve të sistemeve të ekuacioneve lineare duke përdorur metodën e matricës

Metoda e matricës për të gjetur një zgjidhje ju lejon të zvogëloni hyrjet e rënda kur zgjidhni sisteme me një numër të madh variablash dhe ekuacionesh.

Në shembull, një nm janë koeficientët e ekuacioneve, matrica është një vektor x n janë variabla dhe b n janë terma të lirë.

Zgjidhja e sistemeve duke përdorur metodën Gaussian

Në matematikën e lartë, metoda Gaussian studiohet së bashku me metodën Cramer dhe procesi i gjetjes së zgjidhjeve për sistemet quhet metoda e zgjidhjes Gauss-Cramer. Këto metoda përdoren për të gjetur variabla të sistemeve me një numër të madh ekuacionesh lineare.

Metoda e Gausit është shumë e ngjashme me zgjidhjet me zëvendësim dhe mbledhje algjebrike, por është më sistematike. Në kursin e shkollës, zgjidhja me metodën Gaussian përdoret për sistemet me 3 dhe 4 ekuacione. Qëllimi i metodës është të zvogëlojë sistemin në formën e një trapezi të përmbysur. Me anë të shndërrimeve dhe zëvendësimeve algjebrike, vlera e një ndryshoreje gjendet në një nga ekuacionet e sistemit. Ekuacioni i dytë është një shprehje me 2 të panjohura, ndërsa 3 dhe 4 janë, përkatësisht, me 3 dhe 4 ndryshore.

Pas sjelljes së sistemit në formën e përshkruar, zgjidhja e mëtejshme reduktohet në zëvendësimin vijues të variablave të njohur në ekuacionet e sistemit.

Në tekstet shkollore për klasën 7, një shembull i një zgjidhjeje me metodën Gauss përshkruhet si më poshtë:

Siç shihet nga shembulli, në hapin (3) janë marrë dy ekuacione: 3x 3 -2x 4 =11 dhe 3x 3 +2x 4 =7. Zgjidhja e ndonjë prej ekuacioneve do t'ju lejojë të zbuloni një nga variablat x n.

Teorema 5, e cila përmendet në tekst, thotë se nëse një nga ekuacionet e sistemit zëvendësohet me një ekuivalent, atëherë sistemi që rezulton do të jetë gjithashtu i barabartë me atë origjinal.

Metoda Gaussian është e vështirë për t'u kuptuar nga nxënësit e shkollave të mesme, por është një nga mënyrat më interesante për të zhvilluar zgjuarsinë e fëmijëve të regjistruar në programe të avancuara mësimore në klasat e matematikës dhe fizikës.

Për lehtësinë e regjistrimit, llogaritjet zakonisht bëhen si më poshtë:

Koeficientët e ekuacioneve dhe termat e lirë shkruhen në formën e një matrice, ku çdo rresht i matricës korrespondon me një nga ekuacionet e sistemit. ndan anën e majtë të ekuacionit nga e djathta. Numrat romakë tregojnë numrin e ekuacioneve në sistem.

Fillimisht shkruani matricën me të cilën do të punohet, pastaj të gjitha veprimet e kryera me një nga rreshtat. Matrica që rezulton shkruhet pas shenjës "shigjeta" dhe veprimet e nevojshme algjebrike vazhdojnë derisa të arrihet rezultati.

Rezultati duhet të jetë një matricë në të cilën një nga diagonalet është e barabartë me 1, dhe të gjithë koeficientët e tjerë janë të barabartë me zero, domethënë, matrica reduktohet në një formë njësi. Nuk duhet të harrojmë të kryejmë llogaritjet me numra në të dy anët e ekuacionit.

Kjo metodë regjistrimi është më pak e rëndë dhe ju lejon të mos shpërqendroheni duke renditur shumë të panjohura.

Përdorimi falas i çdo metode zgjidhjeje do të kërkojë kujdes dhe përvojë. Jo të gjitha metodat janë të një natyre aplikative. Disa metoda për të gjetur zgjidhje janë më të preferueshme në një fushë të caktuar të veprimtarisë njerëzore, ndërsa të tjera ekzistojnë për qëllime edukative.

Ruajtja e privatësisë suaj është e rëndësishme për ne. Për këtë arsye, ne kemi zhvilluar një politikë të privatësisë që përshkruan se si ne përdorim dhe ruajmë informacionin tuaj. Ju lutemi rishikoni praktikat tona të privatësisë dhe na tregoni nëse keni ndonjë pyetje.

Mbledhja dhe përdorimi i informacionit personal

Informacioni personal i referohet të dhënave që mund të përdoren për të identifikuar ose kontaktuar një person specifik.

Mund t'ju kërkohet të jepni informacionin tuaj personal në çdo kohë kur na kontaktoni.

Më poshtë janë disa shembuj të llojeve të informacionit personal që mund të mbledhim dhe se si mund ta përdorim këtë informacion.

Çfarë informacioni personal mbledhim:

• Kur dorëzoni një aplikim në sajt, ne mund të mbledhim informacione të ndryshme, duke përfshirë emrin tuaj, numrin e telefonit, adresën e emailit, etj.

Si i përdorim të dhënat tuaja personale:

• Informacioni personal që mbledhim na lejon t'ju kontaktojmë me oferta unike, promovime dhe ngjarje të tjera dhe ngjarje të ardhshme.
• Herë pas here, ne mund të përdorim të dhënat tuaja personale për të dërguar njoftime dhe komunikime të rëndësishme.
• Ne gjithashtu mund të përdorim të dhënat personale për qëllime të brendshme, si kryerja e auditimeve, analizave të të dhënave dhe kërkimeve të ndryshme, me qëllim që të përmirësojmë shërbimet që ofrojmë dhe t'ju ofrojmë rekomandime në lidhje me shërbimet tona.
• Nëse merrni pjesë në një tërheqje çmimesh, konkurs ose promovim të ngjashëm, ne mund të përdorim informacionin që ju jepni për të administruar programe të tilla.

Zbulimi i informacionit palëve të treta

Ne nuk ua zbulojmë informacionin e marrë nga ju palëve të treta.

Përjashtimet:

• Nëse është e nevojshme - në përputhje me ligjin, procedurën gjyqësore, në procedurat ligjore dhe/ose në bazë të kërkesave publike ose kërkesave nga autoritetet qeveritare në territorin e Federatës Ruse - për të zbuluar informacionin tuaj personal. Ne gjithashtu mund të zbulojmë informacione për ju nëse përcaktojmë se një zbulim i tillë është i nevojshëm ose i përshtatshëm për qëllime sigurie, zbatimi të ligjit ose qëllime të tjera me rëndësi publike.
• Në rast të një riorganizimi, bashkimi ose shitjeje, ne mund t'i transferojmë informacionet personale që mbledhim te pala e tretë pasardhëse e aplikueshme.

Mbrojtja e informacionit personal

Ne marrim masa paraprake - duke përfshirë administrative, teknike dhe fizike - për të mbrojtur informacionin tuaj personal nga humbja, vjedhja dhe keqpërdorimi, si dhe aksesi, zbulimi, ndryshimi dhe shkatërrimi i paautorizuar.

Respektimi i privatësisë suaj në nivel kompanie

Për t'u siguruar që informacioni juaj personal është i sigurt, ne i komunikojmë punonjësve tanë standardet e privatësisë dhe sigurisë dhe zbatojmë në mënyrë rigoroze praktikat e privatësisë.

Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Lëkundjet harmonike Formula e fizikës së frekuencës së lëkundjeve