Me çfarë është e barabartë pi? Llogaritja e shifrës së N-të të Pi pa llogaritur ato të mëparshme

Kohët e fundit, ekziston një formulë elegante për llogaritjen e Pi-së, e botuar për herë të parë në 1995 nga David Bailey, Peter Borwein dhe Simon Plouffe:

Do të duket: çfarë është e veçantë në lidhje me të - ka shumë formula për llogaritjen e Pi: nga metoda e shkollës Monte Carlo deri te integrali i pakuptueshëm Poisson dhe formula Francois Vieta nga mesjeta e vonë. Por është kjo formulë që ia vlen t'i kushtohet vëmendje e veçantë - ju lejon të llogaritni shifrën e n-të të pi pa gjetur ato të mëparshme. Për informacion mbi mënyrën se si funksionon kjo, si dhe kodin e gatshëm në C që llogarit shifrën 1,000,000, ju lutemi abonohuni.

Si funksionon algoritmi për llogaritjen e shifrës së N-të të Pi?
Për shembull, nëse na duhet shifra e 1000-të heksadecimal e Pi, ne e shumëzojmë të gjithë formulën me 16^1000, duke e kthyer kështu faktorin përpara kllapave në 16^(1000-k). Gjatë fuqizimit, ne përdorim algoritmin e fuqizimit binar ose, siç do të tregojë shembulli më poshtë, fuqizimin modul. Pas kësaj, ne llogarisim shumën e disa termave të serisë. Për më tepër, nuk është e nevojshme të llogaritet shumë: ndërsa k rritet, 16^(N-k) zvogëlohet shpejt, kështu që termat pasues nuk do të ndikojnë në vlerën e numrave të kërkuar). Kjo është e gjitha magji - e shkëlqyer dhe e thjeshtë.

Formula Bailey-Borwine-Plouffe u gjet nga Simon Plouffe duke përdorur algoritmin PSLQ, i cili u përfshi në listën e 10 algoritmeve më të mira të shekullit në 2000. Vetë algoritmi PSLQ u zhvillua nga Bailey. Këtu është një seri meksikane për matematikanët.
Nga rruga, koha e funksionimit të algoritmit është O (N), përdorimi i kujtesës është O (log N), ku N është numri serial i shenjës së dëshiruar.

Mendoj se do të ishte e përshtatshme të citohej kodi në C i shkruar drejtpërdrejt nga autori i algoritmit, David Bailey:

/* Ky program zbaton algoritmin BBP për të gjeneruar disa shifra heksadecimal duke filluar menjëherë pas një id pozicioni të caktuar, ose me fjalë të tjera duke filluar në pozicionin id + 1. Në shumicën e sistemeve që përdorin aritmetikën me pikë lundruese IEEE 64-bit, ky kod funksionon si duhet për sa kohë që d është më pak se afërsisht 1,18 x 10^7. Nëse mund të përdoret aritmetika 80-bit, ky kufi është dukshëm më i lartë. Çfarëdo aritmetike të përdoret, rezultatet për një id të pozicionit të caktuar mund të kontrollohen duke përsëritur me id-1 ose id+1 dhe duke verifikuar që shifrat gjashtëkëndore mbivendosen në mënyrë të përsosur me një zhvendosje prej një, me përjashtim të disa shifrave pasuese. Thyesat që rezultojnë zakonisht janë të sakta me të paktën 11 shifra dhjetore dhe të paktën 9 shifra gjashtëkëndore. */ /* David H. Bailey 2006-09-08 */ #përfshi #përfshi int main() ( pid i dyfishtë, s1, s2, s3, s4; seri të dyfishta (int m, int n); ihex i pavlefshëm (x dyfishtë, int m, char c); int id = 1000000; #define NHX 16 char chx ; - s3 - s4, pid = pid - (int) pid + 1.; fraksion = %i\n; ) void ihex (x dyfishtë, int nhx, char chx) /* Kjo kthen, në chx, shifrat e para nhx të fraksionit të x. */ ( int i; dyfish y; char hx = "0123456789ABCDEF"; y = fabs (x); për (i = 0; i< nhx; i++){ y = 16. * (y - floor (y)); chx[i] = hx[(int) y]; } } double series (int m, int id) /* This routine evaluates the series sum_k 16^(id-k)/(8*k+m) using the modular exponentiation technique. */ { int k; double ak, eps, p, s, t; double expm (double x, double y); #define eps 1e-17 s = 0.; /* Sum the series up to id. */ for (k = 0; k < id; k++){ ak = 8 * k + m; p = id - k; t = expm (p, ak); s = s + t / ak; s = s - (int) s; } /* Compute a few terms where k >= id. */ për (k = id; k<= id + 100; k++){ ak = 8 * k + m; t = pow (16., (double) (id - k)) / ak; if (t < eps) break; s = s + t; s = s - (int) s; } return s; } double expm (double p, double ak) /* expm = 16^p mod ak. This routine uses the left-to-right binary exponentiation scheme. */ { int i, j; double p1, pt, r; #define ntp 25 static double tp; static int tp1 = 0; /* If this is the first call to expm, fill the power of two table tp. */ if (tp1 == 0) { tp1 = 1; tp = 1.; for (i = 1; i < ntp; i++) tp[i] = 2. * tp; } if (ak == 1.) return 0.; /* Find the greatest power of two less than or equal to p. */ for (i = 0; i < ntp; i++) if (tp[i] >p) pushim; pt = tp; p1 = p; r = 1.; /* Kryeni modulin e algoritmit binar eksponencial ak. */ për (j = 1; j<= i; j++){ if (p1 >= pt)( r = 16. * r; r = r - (int) (r / ak) * ak; p1 = p1 - pt; ) pt = 0,5 * pt; nëse (pt >= 1.)( r = r * r; r = r - (int) (r / ak) * ak; ) ) kthen r; )
Çfarë mundësish ofron kjo? Për shembull: ne mund të krijojmë një sistem llogaritës të shpërndarë që llogarit numrin Pi dhe të vendosë një rekord të ri për saktësinë e llogaritjeve për të gjithë Habrin (që, meqë ra fjala, tani është 10 trilion vende dhjetore). Sipas të dhënave empirike, pjesa e pjesshme e numrit Pi është një sekuencë numrash normale (edhe pse kjo ende nuk është vërtetuar në mënyrë të besueshme), që do të thotë se sekuencat e numrave prej tij mund të përdoren në gjenerimin e fjalëkalimeve dhe numrave thjesht të rastit, ose në kriptografinë. algoritme (për shembull, hashing) . Ju mund të gjeni një larmi të madhe mënyrash për ta përdorur atë - thjesht duhet të përdorni imagjinatën tuaj.

Më shumë informacion mbi temën mund të gjeni në artikullin e vetë David Bailey, ku ai flet në detaje për algoritmin dhe zbatimin e tij (pdf);

Dhe duket sikur sapo keni lexuar artikullin e parë në gjuhën ruse në lidhje me këtë algoritëm në RuNet - nuk gjeta asnjë tjetër.

Për shumë shekuj dhe madje, çuditërisht, mijëvjeçarë, njerëzit e kanë kuptuar rëndësinë dhe vlerën për shkencën e një konstante matematikore të barabartë me raportin e perimetrit të një rrethi me diametrin e tij. Numri Pi është ende i panjohur, por matematikanët më të mirë gjatë historisë sonë janë përfshirë me të. Shumica e tyre donin ta shprehnin atë si një numër racional.

1. Studiuesit dhe fansat e vërtetë të numrit Pi kanë organizuar një klub, për t'iu bashkuar të cilit duhet të dini përmendësh një numër mjaft të madh të shenjave të tij.

2. Që nga viti 1988 festohet “Dita e Pi”, e cila bie më 14 mars. Ata përgatisin sallata, ëmbëlsira, biskota dhe pasta me imazhin e tij.

3. Numri Pi tashmë është vendosur në muzikë dhe tingëllon mjaft mirë. Madje atij iu ngrit një monument në Seattle të Amerikës, përballë Muzeut të Artit të qytetit.

Në atë kohë të largët, ata u përpoqën të llogaritnin numrin Pi duke përdorur gjeometrinë. Fakti që ky numër është konstant për një shumëllojshmëri të gjerë rrathësh ishte i njohur nga gjeometritë në Egjiptin e Lashtë, Babiloninë, Indinë dhe Greqinë e Lashtë, të cilët deklaruan në veprat e tyre se ishte vetëm pak më shumë se tre.

Në një nga librat e shenjtë të xhainizmit (një fe e lashtë indiane që u ngrit në shekullin e 6 para Krishtit) përmendet se atëherë numri Pi konsiderohej i barabartë me rrënjën katrore të dhjetë, që në fund jep 3.162... .

Matematikanët grekë të lashtë matën një rreth duke ndërtuar një segment, por për të matur një rreth, ata duhej të ndërtonin një katror të barabartë, domethënë një figurë të barabartë në sipërfaqe me të.

Kur thyesat dhjetore nuk njiheshin ende, Arkimedi i madh gjeti vlerën e Pi me një saktësi prej 99.9%. Ai zbuloi një metodë që u bë baza për shumë llogaritje të mëvonshme, duke shkruar shumëkëndësha të rregullt në një rreth dhe duke e përshkruar atë rreth tij. Si rezultat, Arkimedi llogariti vlerën e Pi si raport 22 / 7 ≈ 3.142857142857143.

Në Kinë, matematikani dhe astronomi i oborrit, Zu Chongzhi në shekullin e 5-të para Krishtit. e. caktoi një vlerë më të saktë për Pi, duke e llogaritur atë në shtatë shifra dhjetore dhe përcaktoi vlerën e tij midis numrave 3, 1415926 dhe 3.1415927. Shkencëtarëve iu deshën më shumë se 900 vjet për të vazhduar këtë seri dixhitale.

Mesjeta

Shkencëtari i famshëm indian Madhava, i cili jetoi në kapërcyellin e shekujve 14 - 15, dhe u bë themeluesi i shkollës së astronomisë dhe matematikës në Kerala, për herë të parë në histori filloi të punojë në zgjerimin e funksioneve trigonometrike në seri. Vërtetë, vetëm dy nga veprat e tij kanë mbijetuar, dhe vetëm referenca dhe citate nga studentët e tij janë të njohura për të tjerët. Traktati shkencor "Mahajyanayana", i cili i atribuohet Madhava, thotë se numri Pi është 3.14159265359. Dhe në traktatin “Sadratnamala” jepet një numër me shifra dhjetore edhe më të sakta: 3.14159265358979324. Në numrat e dhënë, shifrat e fundit nuk korrespondojnë me vlerën e saktë.

Në shekullin e 15-të, matematikani dhe astronomi Samarkand Al-Kashi llogariti numrin Pi me gjashtëmbëdhjetë shifra dhjetore. Rezultati i tij u konsiderua më i sakti për 250 vitet e ardhshme.

W. Johnson, një matematikan nga Anglia, ishte një nga të parët që shënoi raportin e perimetrit të një rrethi me diametrin e tij me shkronjën π. Pi është shkronja e parë e fjalës greke "περιφέρεια" - rreth. Por ky emërtim arriti të pranohej në përgjithësi vetëm pasi u përdor në 1736 nga shkencëtari më i famshëm L. Euler.

konkluzioni

Shkencëtarët modernë vazhdojnë të punojnë për llogaritjet e mëtejshme të vlerave të Pi. Superkompjuterët janë përdorur tashmë për këtë. Në vitin 2011, një shkencëtar nga Shigeru Kondo, duke bashkëpunuar me studentin amerikan Alexander Yee, llogariti saktë një sekuencë prej 10 trilion shifrash. Por është ende e paqartë se kush e zbuloi numrin Pi, kush mendoi i pari për këtë problem dhe bëri llogaritjet e para të këtij numri vërtet mistik.

Nëse krahasoni rrathë me madhësi të ndryshme, do të vini re si vijon: madhësitë e rrathëve të ndryshëm janë proporcionale. Kjo do të thotë se kur diametri i një rrethi rritet me një numër të caktuar herë, gjatësia e këtij rrethi gjithashtu rritet me të njëjtin numër herë. Matematikisht kjo mund të shkruhet kështu:

ku C1 dhe C2 janë gjatësitë e dy rrathëve të ndryshëm, dhe d1 dhe d2 janë diametrat e tyre.
Kjo marrëdhënie funksionon në prani të një koeficienti proporcionaliteti - konstantja π tashmë e njohur për ne. Nga relacioni (1) mund të konkludojmë: gjatësia e një rrethi C është e barabartë me produktin e diametrit të këtij rrethi dhe një koeficient proporcionaliteti π të pavarur nga rrethi:

C = π d.

Kjo formulë mund të shkruhet edhe në një formë tjetër, duke shprehur diametrin d përmes rrezes R të një rrethi të caktuar:

С = 2π R.

Kjo formulë është pikërisht udhëzuesi për botën e rrathëve për nxënësit e klasës së shtatë.

Që nga kohërat e lashta, njerëzit janë përpjekur të përcaktojnë vlerën e kësaj konstante. Për shembull, banorët e Mesopotamisë llogaritën sipërfaqen e një rrethi duke përdorur formulën:

Nga vjen π = 3?

Në Egjiptin e lashtë, vlera për π ishte më e saktë. Në vitet 2000-1700 p.e.s., një skrib i quajtur Ahmes përpiloi një papirus në të cilin gjejmë receta për zgjidhjen e problemeve të ndryshme praktike. Kështu, për shembull, për të gjetur zonën e një rrethi, ai përdor formulën:

Nga cilat arsye arriti në këtë formulë? – E panjohur. Megjithatë, ndoshta bazuar në vëzhgimet e tij, siç bënë filozofët e tjerë të lashtë.

Në gjurmët e Arkimedit

Cili nga dy numrat është më i madh se 22/7 ose 3,14?
- Janë të barabartë.
- Pse?
- Secili prej tyre është i barabartë me π.
A. A. Vlasov. Nga Karta e Provimit.

Disa njerëz besojnë se thyesa 22/7 dhe numri π janë identikisht të barabartë. Por ky është një keqkuptim. Përveç përgjigjes së gabuar të mësipërme në provim (shih epigrafin), mund t'i shtoni këtij grupi edhe një enigmë shumë argëtuese. Detyra thotë: "rregulloni një ndeshje në mënyrë që barazia të bëhet e vërtetë".

Zgjidhja do të ishte kjo: ju duhet të formoni një "çati" për dy ndeshjet vertikale në të majtë, duke përdorur një nga ndeshjet vertikale në emëruesin në të djathtë. Do të merrni një imazh vizual të shkronjës π.

Shumë njerëz e dinë se përafrimi π = 22/7 u përcaktua nga matematikani i lashtë grek Arkimedi. Për nder të kësaj, ky përafrim shpesh quhet numri "Archimedean". Arkimedi arriti jo vetëm të vendosë një vlerë të përafërt për π, por edhe të gjejë saktësinë e këtij përafrimi, domethënë, të gjejë një interval të ngushtë numerik të cilit i përket vlera π. Në një nga veprat e tij, Arkimedi provon një zinxhir pabarazish, të cilat në një mënyrë moderne do të dukeshin kështu:

mund të shkruhet më thjeshtë: 3,140 909< π < 3,1 428 265...

Siç mund ta shohim nga pabarazitë, Arkimedi gjeti një vlerë mjaft të saktë me një saktësi deri në 0.002. Gjëja më e habitshme është se ai gjeti dy shifrat e para dhjetore: 3.14... Kjo është vlera që përdorim më shpesh në llogaritjet e thjeshta.

Përdorimi praktik

Dy persona janë duke udhëtuar në një tren:
- Shikoni, binarët janë të drejtë, rrotat janë të rrumbullakëta.
Nga vjen trokitja?
- Prej nga? Rrotat janë të rrumbullakëta, por zona
rrethi pi er katror, ​​ky është katrori që troket!

Si rregull, ata njihen me këtë numër të mahnitshëm në klasën e 6-7, por e studiojnë atë më thellësisht deri në fund të klasës së 8-të. Në këtë pjesë të artikullit do të paraqesim formulat bazë dhe më të rëndësishme që do të jenë të dobishme për ju në zgjidhjen e problemeve gjeometrike, por për të filluar, ne do të pranojmë të marrim π si 3.14 për lehtësinë e llogaritjes.

Ndoshta formula më e famshme midis nxënësve të shkollës që përdor π është formula për gjatësinë dhe sipërfaqen e një rrethi. E para, formula për sipërfaqen e një rrethi, shkruhet si më poshtë:

ku S është zona e rrethit, R është rrezja e tij, D është diametri i rrethit.

Perimetri i një rrethi, ose, siç quhet nganjëherë, perimetri i një rrethi, llogaritet me formulën:

C = 2 π R = π d,

ku C është perimetri, R është rrezja, d është diametri i rrethit.

Është e qartë se diametri d është i barabartë me dy rreze R.

Nga formula për perimetrin, mund të gjeni lehtësisht rrezen e rrethit:

ku D është diametri, C është perimetri, R është rrezja e rrethit.

Këto janë formula bazë që çdo student duhet të dijë. Gjithashtu, ndonjëherë është e nevojshme të llogaritet zona jo e të gjithë rrethit, por vetëm e pjesës së tij - sektorit. Prandaj, ne ju paraqesim - një formulë për llogaritjen e sipërfaqes së një sektori të një rrethi. Ajo duket kështu:

ku S është zona e sektorit, R është rrezja e rrethit, α është këndi qendror në gradë.

Kaq misterioze 3.14

Në të vërtetë, është misterioze. Sepse për nder të këtyre numrave magjikë ata organizojnë festa, bëjnë filma, mbajnë ngjarje publike, shkruajnë poezi dhe shumë më tepër.

Për shembull, në vitin 1998, u publikua një film nga regjisori amerikan Darren Aronofsky i quajtur "Pi". Filmi mori shumë çmime.

Çdo vit më 14 mars në orën 1:59:26 të mëngjesit, personat e interesuar në matematikë festojnë "Ditën e Pi". Për festën, njerëzit përgatisin një tortë të rrumbullakët, ulen në një tryezë të rrumbullakët dhe diskutojnë numrin Pi, zgjidhin probleme dhe enigma që lidhen me Pi.

Poetët i kushtuan vëmendje edhe këtij numri mahnitës, një person i panjohur shkroi:
Thjesht duhet të përpiqeni të mbani mend gjithçka ashtu siç është - tre, katërmbëdhjetë, pesëmbëdhjetë, nëntëdhjetë e dy dhe gjashtë.

Le te argetohemi!

Ne ju ofrojmë enigma interesante me numrin Pi. Zbuloni fjalët që janë të koduara më poshtë.

1. π R

2. π L

3. π k

Përgjigjet: 1. Festa; 2. Dosja; 3. Kërcitje.

Të apasionuarit pas matematikës në mbarë botën hanë një copë byrek çdo vit më katërmbëdhjetë mars - në fund të fundit, është dita e Pi, numri më i famshëm irracional. Kjo datë lidhet drejtpërdrejt me numrin, shifrat e para të të cilit janë 3.14. Pi është raporti i perimetrit të një rrethi me diametrin e tij. Meqenëse është irracionale, është e pamundur të shkruhet si thyesë. Ky është një numër pafundësisht i gjatë. Ai u zbulua mijëra vjet më parë dhe është studiuar vazhdimisht që atëherë, por a ka ende Pi ndonjë sekret? Nga origjina e lashtë në një të ardhme të pasigurt, këtu janë disa nga faktet më interesante rreth Pi.

Duke mësuar përmendësh Pi

Rekordi për memorizimin e numrave dhjetorë i përket Rajvir Meena nga India, i cili arriti të mbajë mend 70,000 shifra - ai e vendosi rekordin më 21 mars 2015. Më parë, mbajtësi i rekordit ishte Chao Lu nga Kina, i cili arriti të kujtonte 67,890 shifra - ky rekord u vendos në 2005. Mbajtësi jozyrtar i rekordeve është Akira Haraguchi, i cili e regjistroi veten në video duke përsëritur 100 mijë shifra në vitin 2005 dhe së fundmi publikoi një video ku arrin të mbajë mend 117 mijë shifra. Rekordi do të bëhej zyrtar vetëm nëse kjo video do të regjistrohej në prani të një përfaqësuesi të Librit të Rekordeve Guinness dhe pa konfirmim mbetet vetëm një fakt mbresëlënës, por nuk konsiderohet arritje. Të apasionuarit pas matematikës duan të mësojnë përmendësh numrin Pi. Shumë njerëz përdorin teknika të ndryshme mnemonike, për shembull poezinë, ku numri i shkronjave në çdo fjalë përputhet me shifrat e Pi. Çdo gjuhë ka versionet e veta të frazave të ngjashme që ju ndihmojnë të mbani mend si numrat e parë, ashtu edhe qindëshin e plotë.

Ekziston një gjuhë Pi

Matematikanët, të apasionuar pas letërsisë, shpikën një dialekt në të cilin numri i shkronjave në të gjitha fjalët korrespondon me shifrat e Pi në rend të saktë. Shkrimtari Mike Keith madje shkroi një libër, Not a Wake, i cili është shkruar tërësisht në Pi. Të apasionuarit pas një krijimtarie të tillë i shkruajnë veprat e tyre në përputhje të plotë me numrin e shkronjave dhe kuptimin e numrave. Ky nuk ka zbatim praktik, por është një fenomen mjaft i zakonshëm dhe i njohur në rrethet e shkencëtarëve entuziastë.

Rritja eksponenciale

Pi është një numër i pafund, kështu që sipas definicionit njerëzit nuk do të jenë kurrë në gjendje të përcaktojnë shifrat e sakta të këtij numri. Megjithatë, numri i numrave dhjetorë është rritur shumë që kur Pi u përdor për herë të parë. E përdorën edhe babilonasit, por u mjaftonte një fraksion prej tre të plota dhe një e teta. Kinezët dhe krijuesit e Dhiatës së Vjetër ishin plotësisht të kufizuar në tre. Deri në vitin 1665, Sir Isaac Newton kishte llogaritur 16 shifrat e Pi. Deri në vitin 1719, matematikani francez Tom Fante de Lagny kishte llogaritur 127 shifra. Ardhja e kompjuterëve ka përmirësuar rrënjësisht njohuritë njerëzore për Pi. Nga viti 1949 deri në vitin 1967, numri i shifrave të njohura për njeriun u rrit nga 2,037 në 500,000 Jo shumë kohë më parë, Peter Trueb, një shkencëtar nga Zvicra, ishte në gjendje të llogariste 2.24 trilion shifra të Pi! U deshën 105 ditë. Sigurisht, ky nuk është kufiri. Ka të ngjarë që me zhvillimin e teknologjisë do të jetë e mundur të vendoset një shifër edhe më e saktë - pasi Pi është i pafund, thjesht nuk ka kufi për saktësinë, dhe vetëm tiparet teknike të teknologjisë kompjuterike mund ta kufizojnë atë.

Llogaritja e Pi me dorë

Nëse dëshironi ta gjeni vetë numrin, mund të përdorni teknikën e modës së vjetër - do t'ju duhet një vizore, një kavanoz dhe një varg, ose mund të përdorni një raportues dhe një laps. Ana negative e përdorimit të një kanaçe është se ajo duhet të jetë e rrumbullakët dhe saktësia do të përcaktohet nga sa mirë një person mund ta mbështjellë litarin rreth tij. Ju mund të vizatoni një rreth me një raportues, por kjo kërkon gjithashtu aftësi dhe saktësi, pasi një rreth i pabarabartë mund të shtrembërojë seriozisht matjet tuaja. Një metodë më e saktë përfshin përdorimin e gjeometrisë. Ndani rrethin në shumë segmente, si një pica në feta, dhe më pas llogaritni gjatësinë e një vije të drejtë që do ta kthente çdo segment në një trekëndësh dykëndësh. Shuma e anëve do të japë numrin e përafërt Pi. Sa më shumë segmente të përdorni, aq më i saktë do të jetë numri. Sigurisht, në llogaritjet tuaja nuk do të jeni në gjendje t'i afroheni rezultateve të një kompjuteri, megjithatë, këto eksperimente të thjeshta ju lejojnë të kuptoni më në detaje se cili është numri Pi dhe si përdoret në matematikë.

Zbulimi i Pi

Babilonasit e lashtë dinin për ekzistencën e numrit Pi tashmë katër mijë vjet më parë. Pllakat babilonase llogaritin Pi si 3,125, dhe një papirus matematikor egjiptian tregon numrin 3,1605. Në Bibël, Pi është dhënë në gjatësinë e vjetëruar të kubitëve, dhe matematikani grek Arkimedi përdori teoremën e Pitagorës, një marrëdhënie gjeometrike midis gjatësisë së brinjëve të një trekëndëshi dhe sipërfaqes së figurave brenda dhe jashtë rrathëve. për të përshkruar Pi. Kështu, mund të themi me besim se Pi është një nga konceptet më të lashta matematikore, megjithëse emri i saktë i këtij numri u shfaq relativisht kohët e fundit.

Pamje e re në Pi

Edhe përpara se numri Pi të fillonte të lidhej me rrathët, matematikanët kishin tashmë shumë mënyra për ta emërtuar këtë numër. Për shembull, në tekstet e lashta të matematikës mund të gjendet një frazë në latinisht që mund të përkthehet përafërsisht si "sasia që tregon gjatësinë kur diametri shumëzohet me të". Numri irracional u bë i famshëm kur shkencëtari zviceran Leonhard Euler e përdori atë në punën e tij mbi trigonometrinë në 1737. Megjithatë, simboli grek për Pi nuk u përdor ende - kjo ndodhi vetëm në një libër nga një matematikan më pak i njohur, William Jones. Ai e përdori atë tashmë në 1706, por ai kaloi pa u vënë re për një kohë të gjatë. Me kalimin e kohës, shkencëtarët e miratuan këtë emër, dhe tani është versioni më i famshëm i emrit, megjithëse më parë quhej edhe numri Ludolf.

A është Pi një numër normal?

Pi është padyshim një numër i çuditshëm, por sa ndjek ligjet normale matematikore? Shkencëtarët kanë zgjidhur tashmë shumë pyetje që lidhen me këtë numër irracional, por disa mistere mbeten. Për shembull, nuk dihet se sa shpesh përdoren të gjithë numrat - numrat 0 deri në 9 duhet të përdoren në proporcion të barabartë. Megjithatë, statistikat mund të gjurmohen nga triliona shifrat e para, por për faktin se numri është i pafund, është e pamundur të vërtetohet diçka me siguri. Ka probleme të tjera që ende u shmangen shkencëtarëve. Është e mundur që zhvillimi i mëtejshëm i shkencës do të ndihmojë në hedhjen e dritës mbi to, por për momentin ai mbetet përtej fushëveprimit të inteligjencës njerëzore.

Pi tingëllon hyjnore

Shkencëtarët nuk mund t'u përgjigjen disa pyetjeve në lidhje me numrin Pi, megjithatë, çdo vit ata e kuptojnë thelbin e tij gjithnjë e më mirë. Tashmë në shekullin e tetëmbëdhjetë, irracionaliteti i këtij numri u vërtetua. Për më tepër, numri është vërtetuar të jetë transcendental. Kjo do të thotë se nuk ka një formulë specifike që ju lejon të llogaritni Pi duke përdorur numra racionalë.

Pakënaqësia me numrin Pi

Shumë matematikanë janë thjesht të dashuruar me Pi, por ka edhe nga ata që besojnë se këto shifra nuk janë veçanërisht domethënëse. Përveç kësaj, ata pretendojnë se numri Tau, i cili është dy herë më i madh se Pi, është më i përshtatshëm për t'u përdorur si një numër irracional. Tau tregon marrëdhënien midis perimetrit dhe rrezes, për të cilën disa besojnë se përfaqëson një metodë më logjike llogaritjeje. Sidoqoftë, është e pamundur të përcaktohet në mënyrë të qartë ndonjë gjë në këtë çështje, dhe njëri dhe tjetri numri do të kenë gjithmonë mbështetës, të dyja metodat kanë të drejtën e jetës, kështu që ky është vetëm një fakt interesant dhe jo një arsye për të menduar se nuk duhet përdorni numrin Pi.

***

Çfarë kanë të përbashkët një rrotë Lada Priora, një unazë martese dhe disku i maces suaj? Sigurisht që do thoni bukurinë dhe stilin, por unë guxoj të debatoj me ju. Pi! Ky është një numër që bashkon të gjithë rrathët, rrathët dhe rrumbullakësinë, të cilat përfshijnë në veçanti unazën e nënës sime, timonin nga makina e preferuar e babait tim, madje edhe diskun e maces sime të preferuar Murzik. Jam i gatshëm të vë bast se në renditjen e konstantave më të njohura fizike dhe matematikore, Pi do të zërë padyshim vendin e parë. Por çfarë fshihet pas saj? Ndoshta disa fjalë të tmerrshme mallkuese nga matematikanët? Le të përpiqemi ta kuptojmë këtë çështje.

Cili është numri "Pi" dhe nga ka ardhur?

Emërtimi modern i numrave π (Pi) u shfaq falë matematikanit anglez Johnson në 1706. Kjo është shkronja e parë e fjalës greke περιφέρεια (periferia ose rrethi). Për ata që morën matematikën shumë kohë më parë, dhe përveç kësaj, në asnjë mënyrë, le t'ju kujtojmë se numri Pi është raporti i perimetrit të një rrethi me diametrin e tij. Vlera është një konstante, domethënë konstante për çdo rreth, pavarësisht nga rrezja e tij. Njerëzit e dinin këtë në kohët e lashta. Kështu, në Egjiptin e lashtë, numri Pi u mor si i barabartë me raportin 256/81, dhe në tekstet Vedike vlera jepet si 339/108, ndërsa Arkimedi propozoi raportin 22/7. Por as këto dhe as shumë mënyra të tjera për të shprehur numrin Pi nuk dhanë një rezultat të saktë.

Doli se numri Pi është transcendental dhe, në përputhje me rrethanat, irracional. Kjo do të thotë se nuk mund të paraqitet si thyesë e thjeshtë. Nëse e shprehim atë në terma dhjetorë, atëherë sekuenca e shifrave pas pikës dhjetore do të nxitojë në pafundësi, dhe, për më tepër, pa përsëritur periodikisht veten. Çfarë do të thotë e gjithë kjo? Shume e thjeshte. Dëshironi të dini numrin e telefonit të vajzës që ju pëlqen? Ndoshta mund të gjendet në sekuencën e shifrave pas pikës dhjetore të Pi.

Këtu mund ta shihni numrin e telefonit ↓

Numri Pi i saktë deri në 10,000 shifra.

π= 3,
1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989..

Nuk e gjete? Pastaj hidhini një sy.

Në përgjithësi, ky mund të jetë jo vetëm një numër telefoni, por çdo informacion i koduar duke përdorur numra. Për shembull, nëse i imagjinoni të gjitha veprat e Alexander Sergeevich Pushkin në formë dixhitale, atëherë ato u ruajtën në numrin Pi edhe para se t'i shkruante, madje edhe para se të lindte. Në parim, ato ruhen ende atje. Meqë ra fjala, mallkimet e matematikanëve në π janë të pranishëm edhe, dhe jo vetëm matematikanët. Me një fjalë, numri Pi përmban gjithçka, madje edhe mendime që do të vizitojnë kokën tuaj të ndritur nesër, pasnesër, në një vit, ose ndoshta në dy. Kjo është shumë e vështirë për t'u besuar, por edhe nëse imagjinojmë se e besojmë, do të jetë edhe më e vështirë të marrim informacion prej tij dhe ta deshifrojmë atë. Pra, në vend që të thellohemi në këto numra, ndoshta është më e lehtë t'i afroheni vajzës që ju pëlqen dhe t'i kërkoni numrin?.. Por për ata që nuk janë në kërkim të mënyrave të lehta, ose thjesht të interesuar se cili është numri Pi, unë ofroj disa mënyra. llogaritjet. Konsideroni të shëndetshme.

Me çfarë është e barabartë Pi? Metodat për llogaritjen e tij:

1. Metoda eksperimentale. Nëse numri Pi është raporti i perimetrit të një rrethi me diametrin e tij, atëherë mënyra e parë, ndoshta më e dukshme për të gjetur konstantën tonë misterioze do të jetë të bëjmë manualisht të gjitha matjet dhe të llogarisim numrin Pi duke përdorur formulën π=l. /d. Ku l është perimetri i rrethit, dhe d është diametri i tij. Gjithçka është shumë e thjeshtë, thjesht duhet të armatoseni me një fije për të përcaktuar perimetrin, një vizore për të gjetur diametrin dhe, në fakt, gjatësinë e vetë fillit, dhe një kalkulator nëse keni probleme me ndarjen e gjatë. Roli i mostrës që do të matet mund të jetë një tenxhere apo një kavanoz me tranguj, nuk ka rëndësi, gjëja kryesore është? në mënyrë që të ketë një rreth në bazë.

Metoda e konsideruar e llogaritjes është më e thjeshta, por, për fat të keq, ajo ka dy të meta të rëndësishme që ndikojnë në saktësinë e numrit Pi që rezulton. Së pari, gabimi i instrumenteve matëse (në rastin tonë, një vizore me fije), dhe së dyti, nuk ka asnjë garanci që rrethi që po matim do të ketë formën e duhur. Prandaj, nuk është për t'u habitur që matematika na ka dhënë shumë metoda të tjera për llogaritjen e π, ku nuk ka nevojë të bëjmë matje të sakta.

2. Seria Leibniz. Ka disa seri të pafundme që ju lejojnë të llogarisni me saktësi Pi në një numër të madh vendesh dhjetore. Një nga seritë më të thjeshta është seria Leibniz. π = (4/1) - (4/3) + (4/5) - (4/7) + (4/9) - (4/11) + (4/13) - (4/15) . ..
Është e thjeshtë: marrim thyesa me 4 në numërues (kjo është ajo që është sipër) dhe një numër nga sekuenca e numrave tek në emërues (kjo është ajo që është më poshtë), i mbledhim dhe i zbresim në mënyrë sekuenciale me njëri-tjetrin dhe marrim numrin Pi. . Sa më shumë përsëritje ose përsëritje të veprimeve tona të thjeshta, aq më i saktë është rezultati. E thjeshtë, por jo efektive, meqë ra fjala, duhen 500,000 përsëritje për të marrë vlerën e saktë të Pi në dhjetë shifra dhjetore. Kjo do të thotë, ne do të duhet të ndajmë katër të pafat deri në 500,000 herë, dhe përveç kësaj, do të duhet të zbresim dhe shtojmë rezultatet e marra 500,000 herë. Dëshironi të provoni?

3. Seriali Nilakanta. Nuk keni kohë për të ndërhyrë me serialin Leibniz? Ekziston një alternativë. Seria Nilakanta, megjithëse është pak më e ndërlikuar, na lejon të marrim shpejt rezultatin e dëshiruar. π = 3 + 4/(2*3*4) — 4/(4*5*6) + 4/(6*7*8) — 4/(8*9*10) + 4/(10*11 *12) - (4/(12*13*14) ... Unë mendoj se nëse shikoni me kujdes fragmentin fillestar të serialit, gjithçka bëhet e qartë dhe komentet janë të panevojshme. Le të vazhdojmë me këtë.

4. Metoda Monte Carlo Një metodë mjaft interesante për llogaritjen e Pi është metoda Monte Carlo. Ajo mori një emër kaq ekstravagant për nder të qytetit me të njëjtin emër në mbretërinë e Monakos. Dhe arsyeja për këtë është rastësia. Jo, nuk u emërua rastësisht, metoda bazohet thjesht në numra të rastësishëm dhe çfarë mund të jetë më e rastësishme se numrat që shfaqen në tavolinat e ruletit të kazinosë Monte Carlo? Llogaritja e Pi nuk është aplikimi i vetëm i kësaj metode në vitet pesëdhjetë, ajo u përdor në llogaritjet e bombës me hidrogjen. Por le të mos shpërqendrohemi.

Merrni një katror me një anë të barabartë me 2r, dhe futni një rreth me rreze r. Tani nëse vendosni pika në një katror në mënyrë të rastësishme, atëherë probabiliteti P Fakti që një pikë bie në një rreth është raporti i sipërfaqeve të rrethit dhe katrorit. P=S kr /S kv =2πr 2 /(2r) 2 =π/4.

Tani le të shprehim numrin Pi nga këtu π=4P. Mbetet vetëm për të marrë të dhëna eksperimentale dhe për të gjetur probabilitetin P si raport i goditjeve në rreth N kr për të goditur në shesh N sq.. Në përgjithësi, formula e llogaritjes do të duket si kjo: π=4N cr / N katror.

Do të doja të theksoja se për të zbatuar këtë metodë, nuk është e nevojshme të shkoni në një kazino, mjafton të përdorni ndonjë gjuhë programimi pak a shumë të mirë. Epo, saktësia e rezultateve të marra do të varet nga numri i pikëve të vendosura në përputhje me rrethanat, aq më shumë, aq më e saktë. Ju uroj fat 😉

Numri Tau (Në vend të një përfundimi).

Njerëzit që janë larg matematikës me shumë mundësi nuk e dinë, por ndodh që numri Pi të ketë një vëlla dyfishin e tij. Ky është numri Tau(τ), dhe nëse Pi është raporti i perimetrit me diametrin, atëherë Tau është raporti i kësaj gjatësi me rrezen. Dhe sot ka propozime nga disa matematikanë për të braktisur numrin Pi dhe për ta zëvendësuar atë me Tau, pasi kjo është në shumë mënyra më e përshtatshme. Por tani për tani këto janë vetëm propozime, dhe siç tha Lev Davidovich Landau: "Teoria e re fillon të dominojë kur mbështetësit e së vjetrës vdesin".