Ndarja e thyesave periodike. Ku të filloni të mësuarit e ndarjes

Numërimi në kokën tuaj, sipas shumë prej nesh, nuk është më i rëndësishëm në kohën tonë. Ka një kalkulator në çdo smartphone, dhe aq më tepër në një kompjuter dhe laptop. Megjithatë, nuk mund të futesh vazhdimisht në një kalkulator para çdo veprimi, hapi apo teshtitjeje, por duhet të numërosh vazhdimisht dhe shumë. - një aftësi shumë e nevojshme edhe në epokën tonë të teknologjisë së lartë të pajisjeve dhe sistemeve kompjuterike elektronike. Një shembull i thjeshtë që ilustron këto llogaritje teorike është sjellja e blerësve dhe shitësve në një dyqan: duhet të veproni shpejt, sepse ka një radhë të gjatë pas jush dhe nëse nuk dini si të numëroni në kokën tuaj, shitësi mund të ndryshojë ju - gabimisht ose me dashje. Fëmijët më shpesh bëjnë "përpjekjet" e tyre të para të pavarura në dyqan, kështu që numërimi mendor do të jetë shumë i dobishëm për ta.

nuk është një aftësi e lindur tek njerëzit dhe fëmijët shumë të vegjël nuk kanë ende një ide për numrat, sasinë ose veprimet me grupe objektesh (shtimi i një grupi në tjetrin, zbritja, etj.). Popujt primitivë të Azisë, Afrikës dhe Amerikës kanë gjithashtu ide të pazhvilluara për numrat dhe veprimet aritmetike: më së shpeshti sistemi i tyre i numrave përbëhet nga konceptet "një", "dy" dhe "shumë"; Disa fise mund të numërojnë deri në pesë, disa deri në shtatë, por pastaj të gjitha ndjekin konstanten "shumë". Nga kjo mund të konkludojmë se numërimi në përgjithësi është një funksion mjaft kompleks për vetëdijen njerëzore.

Pra, si mund t'i mësoni fëmijës tuaj manipulimet e para me numra? Përpara se të zotërojnë aftësinë për të vepruar me numra abstraktë, fëmijët duhet të kuptojnë numërimin përmes shembujve vizualë. Së pari, fëmija duhet të flasë për numrat, të paktën deri në dhjetëshen e parë, dhe të numërojë me vete objekte të ndryshme që mund të shihen përreth: zogj në pemë, lule në kopsht, njerëz në rrugë, makina në parking. , dhe kështu me radhë. Gradualisht, foshnja do të kuptojë "paraqitjen" e sasive specifike - qoftë një, pesë apo dhjetë artikuj. Me të menduarit abstrakt të pazhvilluar, fëmijët e vegjël kanë memorie vizuale shumë të zhvilluar, ata kujtojnë shpejt format dhe ngjyrat. Ju mund të praktikoni numërimin me të, duke treguar fotografi të ndritshme.

Gjëja kryesore është të kuptojmë se një fëmijë i vogël e percepton gjithçka si një lojë. Dhe të mësuarit për të numëruar gjithashtu duhet të paraqitet në një mënyrë lozonjare për ta bërë atë interesante për të. Me qasjen e duhur, foshnja do të kuptojë shumë shpejt informacionin, pasi në këtë moshë truri i tij thith çdo gjë të re në mënyrë shumë aktive. Ju nuk mund ta ulni atë në tryezë dhe t'i jepni një "leksion" të gjatë të mërzitshëm për veprimet aritmetike - fëmija do të humbasë vetëm interesin për të mësuar. Ju duhet të llogarisni me të në vende dhe situata të ndryshme, gjatë shëtitjeve, lojërave dhe aktiviteteve të tjera të përbashkëta. Ju mund të ofroni të gatuani diçka të shijshme së bashku dhe fëmija mund të ndihmojë në përcaktimin, për shembull, sa vezë nevojiten për të gatuar brumin.

Pasi të krijohen pak a shumë idetë për sasinë, loja mund të komplikohet. Mësojini fëmijës veprimet e para aritmetike - mbledhjen dhe zbritjen. Për shembull, merrni një shtëpi lodrash (një kuti e madhe e zakonshme mund të veprojë si ajo) dhe figura njerëzish ose kafshësh (mund të përdorni kube të zakonshme, të cilat ne do t'i quajmë, për shembull, "gnomes"). Vendosni një burrë të vogël në shtëpi dhe pyesni fëmijën se sa burra të vegjël jetojnë në shtëpi. Ai duhet të përgjigjet se është vetëm. Pastaj vendosni një figurinë tjetër në shtëpi dhe pyesni sa njerëz janë. Lëreni fëmijën të mendojë dhe të thotë përgjigjen e saktë. Në fillim do t'i duhen disa minuta për ta bërë këtë, ai do të bëjë gabime; Nuk duhet ta nxitoni ose ta qortoni. Kur thotë përgjigjen e saktë, duhet të hapë shtëpinë dhe të sigurohet që janë saktësisht dy persona. Modeli abstrakt që fëmija riprodhoi nga kujtesa u konfirmua nga një shembull i qartë. Shtoni dhe zbritni njerëz të vegjël nga numri i përgjithshëm i "banorëve" të shtëpisë, gjë që do të forcojë dhe zhvillojë aftësitë mendore të numërimit të fëmijës suaj.

Si ta mësoni fëmijën tuaj të shumëzojë dhe pjesëtojë

Nëse dhe janë procedura mjaft të lehta, atëherë është shumë më e vështirë për një fëmijë të kuptojë. Ndarja është edhe më e vështirë për t'u zotëruar. Në ndihmë të prindërve këtu do të vijnë edhe shembuj ilustrues, lodra dhe figurina.

Ju duhet të përgatisni kuti identike dhe grupe figurash. Në rastin më të thjeshtë, shifrat do të jenë guralecë, kube, kapakë shishe plastike - mund të gjeni gjithçka. Çdo kuti duhet të përmbajë një numër të barabartë figurash. Ftojeni fëmijën tuaj të mbushë një kuti duke vendosur figura në të. Lëreni të numërojë sa artikuj ka në kuti. Dhe pas kësaj, le të mbushë kutinë e dytë, sigurohuni që të ketë të njëjtin numër objektesh në të dhe numëroni numrin total të figurave në të dyja kutitë. Në fillim, një kuti duhet të përmbajë vetëm disa artikuj - dy, tre. Në këtë mënyrë, ju mund ta çoni fëmijën tuaj në idenë se dy herë tre janë gjashtë, dy herë dy janë katër, e kështu me radhë. Nuk ka nevojë të zmadhohen kutitë dhe shifrat në pafundësi: në këtë fazë është e rëndësishme që fëmija të kuptojë kuptimin specifik, material të shumëzimit si shuma e disa grupeve identike të objekteve. Faza tjetër është memorizimi i tabelave të shumëzimit. Duhet ta mësosh përmendësh, si një poezi. Më saktë, një grup poezish. "Rreshtat" në to janë shembuj: dy herë tre është gjashtë, dy herë katër është tetë... Mund të mësoni vetëm një "poemë" në të njëjtën kohë - shumëzim me dy, tre, katër, e kështu me radhë. Shumëzimi me pesë i ngjan gjithashtu një poezie në dukje - "rreshtat" e saj rimojnë njëra-tjetrën, kështu që është më e lehta për t'u mbajtur mend.

- veprimin më të vështirë për një fëmijë edhe në shkollën fillore e fillojnë më vonë se pjesët e tjera të aritmetikës; Ndarja është procedura e kundërt e shumëzimit, kështu që për ta zotëruar atë, fëmija duhet ta dijë tashmë tabelën e shumëzimit. Sidoqoftë, në fillim, do të bëjnë të njëjtat shembuj vizualë, dhe në këtë kuptim, ndarja është veprimi që është më i afërt dhe më i rëndësishëm për foshnjën. Si të ndani karamele midis të gjithëve në mënyrë që të gjithë të kenë një sasi të barabartë? Në fund të fundit, nëse dikush ka më pak se të tjerët, ai do të ofendohet. Është e nevojshme të ndahet në mënyrë të drejtë dhe në fillim kjo mund të bëhet me përzgjedhje: së pari shpërndani një karamele, pastaj një tjetër... Numri i përgjithshëm i ëmbëlsirave duhet të zgjidhet nga një i rritur në mënyrë që të ndahet me të vërtetë midis të gjithë fëmijëve pa një gjurmë. Më pas, mund t'i shpjegoni fëmijës se jo të gjithë numrat mund të ndahen me njëri-tjetrin. Në këtë rast, ndarja është më e vështirë se shumëzimi - në fund të fundit, absolutisht të gjithë numrat mund të shumëzohen. Nëse është e mundur, fëmijët njihen edhe me ndarjen me një mbetje: ëmbëlsirat e mbetura që nuk mund t'u shpërndahen të gjithëve në mënyrë të barabartë merren nga një i rritur (ose do të shkojnë te fëmijët më të bindur).

Si mund të ndihmoni një fëmijë

Kryerja e veprimeve aritmetike mund të thjeshtohet për një fëmijë nëse i tregoni për vetitë e numrave nga 2 në 10. Për shembull, 4 është dy herë dy; 5 mund të merret në mënyra të ndryshme - duke shtuar 3 në 3 ose 1 në 4. Vëmendje e veçantë duhet t'i kushtohet numrit 0. Për të thjeshtuar numërimin, duhet të kuptoni numrat e rrumbullakët: 30 është tre herë 10, dhe 5 është gjysma e 10.

Formula për trajtime më komplekse

Ndërsa fëmija juaj rritet dhe tashmë zotëron aritmetikën bazë, ju mund ta prezantoni atë me formulat për shtimin dhe shumëzimin e shpejtë të numrave të mëdhenj. Ka shumë formula të tilla, dhe këtu do të japim vetëm disa.

Mjafton thjesht të shumëzohen numrat dyshifrorë me 11. Për shembull, 23*11. Thjesht duhet të mblidhni numrat e faktorit të parë dhe të shkruani këtë faktor në përgjigje, në mes të të cilit shkruani shumën që rezulton: 2+3=5, pra, 23*11=253. Nëse gjatë mbledhjes së shifrave fitohet një numër dyshifror, atëherë shifra e parë e këtij numri i shtohet shifrës së parë të shumëzuesit. Për shembull, 38 * 11. 3+8=11; ia shtojmë të parën treve dhe të dytën shkruajmë në mes të përgjigjes: 38*11=418.

Mbledhja e numrave të mëdhenj mund të thjeshtohet duke rritur një shtesë me një numër, i cili më pas zbritet nga përgjigja. Për shembull: 358+340=(358+2)+340-2= 360+340-2=700-2=698.

Formula të tilla sigurisht që do të jenë me interes për shumë të rritur, sepse ato do të thjeshtojnë ndjeshëm procesin e punës, duke numëruar paratë dhe operacionet e tjera thelbësore me numra.

Në mësimin e fundit mësuam se si të mbledhim dhe zbresim numrat dhjetorë (shih mësimin “Shtimi dhe zbritja e numrave dhjetorë”). Në të njëjtën kohë, ne vlerësuam se sa llogaritjet janë thjeshtuar në krahasim me fraksionet e zakonshme "dykatëshe".

Fatkeqësisht, ky efekt nuk ndodh me shumëzimin dhe pjesëtimin e numrave dhjetorë. Në disa raste, shënimi dhjetor madje i ndërlikon këto operacione.

Së pari, le të prezantojmë një përkufizim të ri. Do ta shohim shpesh, dhe jo vetëm në këtë mësim.

Pjesa e rëndësishme e një numri është gjithçka midis shifrës së parë dhe të fundit jozero, duke përfshirë skajet. Po flasim vetëm për numra, presja dhjetore nuk merret parasysh.

Shifrat e përfshira në pjesën domethënëse të një numri quhen shifra domethënëse. Ato mund të përsëriten dhe madje të barabarta me zero.

Për shembull, merrni parasysh disa thyesa dhjetore dhe shkruani pjesët përkatëse domethënëse:

1. 91,25 → 9125 (shifra domethënëse: 9; 1; 2; 5);
2. 0,008241 → 8241 (shifra të rëndësishme: 8; 2; 4; 1);
3. 15.0075 → 150075 (shifra të rëndësishme: 1; 5; 0; 0; 7; 5);
4. 0,0304 → 304 (shifra domethënëse: 3; 0; 4);
5. 3000 → 3 (ka vetëm një shifër domethënëse: 3).

Ju lutemi vini re: zerot brenda pjesës së rëndësishme të numrit nuk shkojnë askund. Ne kemi hasur tashmë diçka të ngjashme kur mësuam të konvertonim thyesat dhjetore në thyesa të zakonshme (shihni mësimin " Dhjetrat").

Kjo pikë është kaq e rëndësishme, dhe gabimet bëhen kaq shpesh, saqë në të ardhmen e afërt do të publikoj një test mbi këtë temë. Sigurohuni që të praktikoni! Dhe ne, të armatosur me konceptin e pjesës domethënëse, do të vazhdojmë, në fakt, në temën e mësimit.

Shumëzimi i numrave dhjetorë

Operacioni i shumëzimit përbëhet nga tre hapa të njëpasnjëshëm:

1. Për çdo thyesë shkruani pjesën domethënëse. Do të merrni dy numra të plotë të zakonshëm - pa emërues dhe presje dhjetore;
2. Shumëzoni këta numra në çdo mënyrë të përshtatshme. Direkt, nëse numrat janë të vegjël, ose në një kolonë. Marrim pjesën e rëndësishme të fraksionit të dëshiruar;
3. Zbuloni se ku dhe me sa shifra është zhvendosur pika dhjetore në thyesat origjinale për të marrë pjesën domethënëse përkatëse. Kryeni ndërrime të kundërta për pjesën e rëndësishme të marrë në hapin e mëparshëm.

Më lejoni t'ju kujtoj edhe një herë se zerat në anët e pjesës domethënëse nuk merren kurrë parasysh. Injorimi i këtij rregulli çon në gabime.

1. 0,28 12,5;
2. 6,3 · 1,08;
3. 132,5 · 0,0034;
4. 0,0108 1600,5;
5. 5,25 · 10,000.

Punojmë me shprehjen e parë: 0,28 · 12,5.

1. Le të shkruajmë pjesët domethënëse për numrat nga kjo shprehje: 28 dhe 125;
2. Produkti i tyre: 28 · 125 = 3500;
3. Në faktorin e parë pika dhjetore zhvendoset 2 shifra djathtas (0,28 → 28), dhe në të dytin zhvendoset me 1 shifër më shumë. Në total, ju duhet një zhvendosje majtas me tre shifra: 3500 → 3,500 = 3.5.

Tani le të shohim shprehjen 6.3 · 1.08.

1. Le të shkruajmë pjesët domethënëse: 63 dhe 108;
2. Prodhimi i tyre: 63 · 108 = 6804;
3. Përsëri, dy zhvendosje djathtas: me 2 dhe 1 shifra, respektivisht. Gjithsej - përsëri 3 shifra në të djathtë, kështu që zhvendosja e kundërt do të jetë 3 shifra në të majtë: 6804 → 6.804. Këtë herë nuk ka asnjë zero pasuese.

Arritëm në shprehjen e tretë: 132.5 · 0.0034.

1. Pjesë të rëndësishme: 1325 dhe 34;
2. Produkti i tyre: 1325 · 34 = 45,050;
3. Në fraksionin e parë, pika dhjetore lëviz në të djathtë me 1 shifër, dhe në të dytën - deri në 4. Gjithsej: 5 në të djathtë. Ne zhvendosemi me 5 në të majtë: 45,050 → .45050 = 0.4505. Zero u hoq në fund dhe u shtua në pjesën e përparme për të mos lënë një pikë dhjetore "të zhveshur".

Shprehja e mëposhtme është: 0.0108 · 1600.5.

1. Shkruajmë pjesët domethënëse: 108 dhe 16 005;
2. Ne i shumëzojmë ato: 108 · 16,005 = 1,728,540;
3. Numrat i numërojmë pas presjes dhjetore: në numrin e parë janë 4, në të dytin 1. Totali është përsëri 5. Kemi: 1,728,540 → 17,28540 = 17,2854. Në fund, zeroja "shtesë" u hoq.

Më në fund, shprehja e fundit: 5,25 10,000.

1. Pjesë të rëndësishme: 525 dhe 1;
2. Ne i shumëzojmë ato: 525 · 1 = 525;
3. Pjesa e parë zhvendoset 2 shifra djathtas, dhe fraksioni i dytë zhvendoset 4 shifra majtas (10,000 → 1,0000 = 1). Gjithsej 4 − 2 = 2 shifra majtas. Ne kryejmë një zhvendosje të kundërt me 2 shifra në të djathtë: 525, → 52,500 (duhej të shtonim zero).

Shënim në shembullin e fundit: meqenëse pika dhjetore lëviz në drejtime të ndryshme, zhvendosja totale gjendet përmes diferencës. Kjo është një pikë shumë e rëndësishme! Ja një shembull tjetër:

Konsideroni numrat 1.5 dhe 12.500 Kemi: 1.5 → 15 (zhvendosja me 1 djathtas); 12,500 → 125 (zhvendosja 2 majtas). Ne "hapim" 1 shifër në të djathtë, dhe pastaj 2 në të majtë. Si rezultat, ne hapëm 2 − 1 = 1 shifër në të majtë.

Ndarja dhjetore

Ndarja është ndoshta operacioni më i vështirë. Sigurisht, këtu mund të veproni me analogji me shumëzimin: ndani pjesët domethënëse dhe më pas "lëvizni" pikën dhjetore. Por në këtë rast ka shumë hollësi që mohojnë kursimet e mundshme.

Prandaj, le të shohim një algoritëm universal, i cili është pak më i gjatë, por shumë më i besueshëm:

1. Shndërroni të gjitha thyesat dhjetore në thyesa të zakonshme. Me pak praktikë, ky hap do t'ju marrë disa sekonda;
2. Ndani thyesat që rezultojnë në mënyrë klasike. Me fjalë të tjera, shumëzojeni thyesën e parë me të dytën "të përmbysur" (shih mësimin "Shumëzimi dhe pjesëtimi i thyesave numerike");
3. Nëse është e mundur, paraqiteni sërish rezultatin si thyesë dhjetore. Ky hap është gjithashtu i shpejtë, pasi emëruesi shpesh është tashmë një fuqi prej dhjetë.

Detyrë. Gjeni kuptimin e shprehjes:

1. 3,51: 3,9;
2. 1,47: 2,1;
3. 6,4: 25,6:
4. 0,0425: 2,5;
5. 0,25: 0,002.

Le të shqyrtojmë shprehjen e parë. Së pari, le t'i konvertojmë thyesat në dhjetore:

Le të bëjmë të njëjtën gjë me shprehjen e dytë. Numëruesi i thyesës së parë do të faktorizohet përsëri:

Ekziston një pikë e rëndësishme në shembujt e tretë dhe të katërt: pasi të hiqni qafe shënimin dhjetor, shfaqen fraksione të reduktueshme. Megjithatë, ne nuk do ta bëjmë këtë ulje.

Shembulli i fundit është interesant sepse numëruesi i thyesës së dytë përmban një numër të thjeshtë. Nuk ka thjesht asgjë për të faktorizuar këtu, kështu që ne e konsiderojmë atë drejtpërdrejt:

Ndonjëherë ndarja rezulton në një numër të plotë (po flas për shembullin e fundit). Në këtë rast, hapi i tretë nuk kryhet fare.

Për më tepër, kur ndahen, shpesh lindin fraksione "të shëmtuara" që nuk mund të shndërrohen në dhjetore. Kjo dallon ndarjen nga shumëzimi, ku rezultatet paraqiten gjithmonë në formë dhjetore. Natyrisht, në këtë rast hapi i fundit përsëri nuk kryhet.

Kushtojini vëmendje edhe shembujve të tretë dhe të katërt. Në to, ne qëllimisht nuk i zvogëlojmë thyesat e zakonshme të marra nga numrat dhjetorë. Përndryshe, kjo do të komplikojë detyrën e kundërt - duke përfaqësuar përgjigjen përfundimtare përsëri në formë dhjetore.

Mbani mend: vetia themelore e një thyese (si çdo rregull tjetër në matematikë) në vetvete nuk do të thotë se ajo duhet të zbatohet kudo dhe gjithmonë, në çdo rast.

) dhe emërues për emërues (marrim emëruesin e prodhimit).

Formula për shumëzimin e thyesave:

Për shembull:

Para se të filloni të shumëzoni numëruesit dhe emëruesit, duhet të kontrolloni nëse thyesa mund të zvogëlohet. Nëse mund ta zvogëloni fraksionin, do të jetë më e lehtë për ju të bëni llogaritjet e mëtejshme.

Pjesëtimi i një thyese të përbashkët me një thyesë.

Pjesëtimi i thyesave që përfshijnë numra natyrorë.

Nuk është aq e frikshme sa duket. Ashtu si në rastin e mbledhjes, ne e shndërrojmë numrin e plotë në një thyesë me një në emërues. Për shembull:

Shumëzimi i thyesave të përziera.

Rregullat për shumëzimin e thyesave (të përziera):

• shndërroni thyesat e përziera në fraksione të papërshtatshme;
• shumëzimi i numëruesve dhe emërtuesve të thyesave;
• zvogëloni fraksionin;
• Nëse merrni një thyesë të papërshtatshme, atëherë ne e shndërrojmë thyesën e papërshtatshme në një fraksion të përzier.

Shënim! Për të shumëzuar një fraksion të përzier me një fraksion tjetër të përzier, së pari duhet t'i ktheni ato në formën e fraksioneve të pahijshme, dhe më pas të shumëzoni sipas rregullit për shumëzimin e fraksioneve të zakonshme.

Mënyra e dytë për të shumëzuar një thyesë me një numër natyror.

Mund të jetë më e përshtatshme të përdoret metoda e dytë e shumëzimit të një thyese të zakonshme me një numër.

Shënim! Për të shumëzuar një thyesë me një numër natyror, duhet të pjesëtoni emëruesin e thyesës me këtë numër dhe ta lini numëruesin të pandryshuar.

Nga shembulli i dhënë më sipër, është e qartë se ky opsion është më i përshtatshëm për t'u përdorur kur emëruesi i një thyese ndahet pa mbetje me një numër natyror.

Thyesat shumëkatëshe.

Në shkollën e mesme, shpesh hasen thyesat trekatëshe (ose më shumë). Shembull:

Për ta sjellë një fraksion të tillë në formën e tij të zakonshme, përdorni ndarjen me 2 pika:

Shënim! Gjatë pjesëtimit të thyesave, radha e pjesëtimit është shumë e rëndësishme. Kini kujdes, këtu është e lehtë të ngatërrohesh.

Shënim, Për shembull:

Kur pjesëtohet një me çdo thyesë, rezultati do të jetë i njëjti thyesë, vetëm i përmbysur:

Këshilla praktike për shumëzimin dhe pjesëtimin e thyesave:

1. Gjëja më e rëndësishme kur punoni me shprehje thyesore është saktësia dhe vëmendja. Bëni të gjitha llogaritjet me kujdes dhe saktësi, të përqendruar dhe qartë. Është më mirë të shkruani disa rreshta shtesë në draftin tuaj sesa të humbisni në llogaritjet mendore.

2. Në detyrat me lloje të ndryshme thyesash kalohet te lloji i thyesave të zakonshme.

3. Zvogëlojmë të gjitha thyesat derisa të mos jetë më e mundur të zvogëlohen.

4. Shprehjet thyesore me shumë nivele i shndërrojmë në të zakonshme duke përdorur ndarjen me 2 pikë.

5. Ndani një njësi me një fraksion në kokën tuaj, thjesht duke e kthyer fraksionin.

"Matematika e pastër është, në mënyrën e vet, poezia e idesë logjike".
Albert Einstein

1. Llogaritja e shpejtë e interesit

Ndoshta, në epokën e kredive dhe planeve me këste, aftësia matematikore më e rëndësishme mund të quhet llogaritja mjeshtërore e interesit në mendje. Mënyra më e shpejtë për të llogaritur një përqindje të caktuar të një numri është të shumëzoni përqindjen e dhënë me atë numër dhe më pas të hidhni dy shifrat e fundit në rezultatin që rezulton, sepse një përqindje nuk është asgjë më shumë se një e qindta.

Sa është 20% e 70? 70 × 20 = 1400. Ne hedhim dy shifra dhe marrim 14. Kur riorganizojmë faktorët, produkti nuk ndryshon dhe nëse përpiqeni të llogaritni 70% të 20, përgjigja do të jetë gjithashtu 14.

Kjo metodë është shumë e thjeshtë në rastin e numrave të rrumbullakët, por çfarë nëse duhet të llogarisni, për shembull, përqindjen e numrit 72 ose 29? Në një situatë të tillë, do t'ju duhet të sakrifikoni saktësinë për hir të shpejtësisë dhe të rrumbullakosni numrin (në shembullin tonë, 72 rrumbullakoset në 70, dhe 29 në 30), dhe më pas përdorni të njëjtën teknikë me shumëzim dhe duke hedhur poshtë dy të fundit. shifra.

2. Kontroll i shpejtë i pjesëtueshmërisë

A është e mundur që 408 karamele të ndahen në mënyrë të barabartë mes 12 fëmijëve? Është e lehtë t'i përgjigjesh kësaj pyetjeje pa ndihmën e një kalkulatori, nëse mbani mend shenjat e thjeshta të pjesëtueshmërisë që na mësuan në shkollë.

Një numër pjesëtohet me 2 nëse shifra e fundit e tij plotpjesëtohet me 2.

Një numër pjesëtohet me 3 nëse shuma e shifrave që përbëjnë numrin pjesëtohet me 3. Për shembull, merrni numrin 501, imagjinoni atë si 5 + 0 + 1 = 6. 6 pjesëtohet me 3, që do të thotë Vetë numri 501 ndahet me 3.

Një numër plotpjesëtohet me 4 nëse numri i formuar nga dy shifrat e tij të fundit plotpjesëtohet me 4. Për shembull, merrni 2,340 dy shifrat e fundit, i cili plotpjesëtohet me 4.

Një numër pjesëtohet me 5 nëse shifra e fundit e tij është 0 ose 5.

Një numër pjesëtohet me 6 nëse pjesëtohet me 2 dhe 3.

Një numër pjesëtohet me 9 nëse shuma e shifrave që përbëjnë numrin pjesëtohet me 9. Për shembull, merrni numrin 6 390, imagjinoni si 6 + 3 + 9 + 0 = 18. 18 pjesëtohet me 9, që do të thotë se vetë numri është 6 390 pjesëtohet me 9.

Një numër pjesëtohet me 12 nëse plotpjesëtohet me 3 dhe 4.

3. Llogaritja e shpejtë e rrënjës katrore

Rrënja katrore e 4 është 2. Çdokush mund ta llogarisë këtë. Po në lidhje me rrënjën katrore të 85?

Për një zgjidhje të shpejtë të përafërt, gjejmë numrin katror më të afërt me atë të dhënë, në këtë rast është 81 = 9^2.

Tani gjejmë katrorin tjetër më të afërt. Në këtë rast është 100 = 10^2.

Rrënja katrore e 85 është diku midis 9 dhe 10, dhe meqenëse 85 është më afër 81 se 100, rrënja katrore e këtij numri do të ishte 9-diçka.

4. Llogaritja e shpejtë e kohës pas së cilës një depozitë në para në një përqindje të caktuar do të dyfishohet

Dëshironi të zbuloni shpejt kohën që do t'ju duhet që depozitat tuaja të parave me një normë të caktuar interesi të dyfishohen? As këtu nuk keni nevojë për kalkulator, thjesht dini "rregullin e 72".

Ne e ndajmë numrin 72 me normën tonë të interesit, pas së cilës marrim periudhën e përafërt pas së cilës depozita do të dyfishohet.

Nëse investimi bëhet me 5% në vit, atëherë do të duhen pak më shumë se 14 vjet që ai të dyfishohet.

Pse pikërisht 72 (nganjëherë marrin 70 ose 69)? Si punon? Wikipedia do t'u përgjigjet këtyre pyetjeve në detaje.

5. Llogaritja e shpejtë e kohës pas së cilës një depozitë në para në një përqindje të caktuar do të trefishohet

Në këtë rast, norma e interesit në depozitë duhet të bëhet pjesëtues i numrit 115.

Nëse investimi bëhet me 5% në vit, do të duhen 23 vjet që ai të trefishohet.

6. Llogaritni shpejt tarifën tuaj për orë

Imagjinoni që po kaloni intervista me dy punëdhënës që nuk japin paga në formatin e zakonshëm të "rublave në muaj", por flasin për pagat vjetore dhe pagat për orë. Si të llogarisni shpejt se ku paguajnë më shumë? Ku paga vjetore është 360,000 rubla, ose ku paguajnë 200 rubla në orë?

Për të llogaritur pagesën për një orë punë kur shpallni pagën vjetore, duhet të hidhni tre shifrat e fundit nga shuma e deklaruar dhe më pas të ndani numrin që rezulton me 2.

360,000 kthehet në 360 ÷ 2 = 180 rubla në orë. Duke qenë të gjitha gjërat e tjera të barabarta, rezulton se propozimi i dytë është më i mirë.

7. Matematikë e avancuar në gishtat tuaj

Gishtat tuaj janë të aftë për shumë më tepër sesa mbledhje dhe zbritje të thjeshtë.

Duke përdorur gishtat, mund të shumëzoni lehtësisht me 9 nëse papritur harroni tabelën e shumëzimit.

Le të numërojmë gishtat nga e majta në të djathtë nga 1 në 10.

Nëse duam të shumëzojmë 9 me 5, atëherë përkulim gishtin e pestë në të majtë.

Tani le të shohim duart. Rezulton katër gishta të papërkulur përpara atij të përkulur. Ato përfaqësojnë dhjetëra. Dhe pesë gishta të papërkulur pas atij të përkulur. Ato përfaqësojnë njësi. Përgjigje: 45.

Nëse duam të shumëzojmë 9 me 6, atëherë përkulim gishtin e gjashtë majtas. Ne marrim pesë gishta të papërkulur para gishtit të përkulur dhe katër pas. Përgjigje: 54.

Në këtë mënyrë ju mund të riprodhoni të gjithë kolonën e shumëzimit me 9.

8. Shumëzoni me 4 shpejt

Ekziston një mënyrë jashtëzakonisht e thjeshtë për të shumëzuar numra të mëdhenj me 4 me shpejtësi rrufeje Për ta bërë këtë, thjesht ndani operacionin në dy hapa, duke shumëzuar numrin e dëshiruar me 2 dhe më pas përsëri me 2.

Shihni vetë. Jo të gjithë mund të shumëzojnë 1223 me 4 në kokën e tyre. Tani bëjmë 1223 × 2 = 2446 dhe më pas 2446 × 2 = 4892. Kjo është shumë më e thjeshtë.

9. Përcaktoni shpejt minimumin e kërkuar

Imagjinoni që po bëni një seri prej pesë testesh, për të cilat ju duhet një rezultat minimal prej 92 për të kaluar testi i fundit, dhe rezultatet e mëparshme janë si më poshtë: 81, 98, 90, 93. Si të llogarisni minimumin e kërkuar. që duhet të bëni në testin e fundit?

Për ta bërë këtë, ne numërojmë sa pikë kemi nën / kapërcyer në testet që kemi përfunduar tashmë, duke treguar mungesën me numra negativë dhe rezultatet me një diferencë si pozitive.

Pra, 81 − 92 = −11; 98 − 92 = 6; 90 − 92 = −2; 93 − 92 = 1.

Duke mbledhur këta numra, marrim rregullimin për minimumin e kërkuar: −11 + 6 − 2 + 1 = −6.

Rezultati është një deficit prej 6 pikësh, që do të thotë se rritet minimumi i kërkuar: 92 + 6 = 98. Gjërat janë të këqija. :(

10. Paraqitni shpejt vlerën e një thyese

Vlera e përafërt e një thyese të zakonshme mund të përfaqësohet shumë shpejt si një thyesë dhjetore nëse fillimisht reduktohet në raporte të thjeshta dhe të kuptueshme: 1/4, 1/3, 1/2 dhe 3/4.

Për shembull, kemi një thyesë 28/77, e cila është shumë afër 28/84 = 1/3, por meqenëse kemi rritur emëruesin, numri fillestar do të jetë pak më i madh, domethënë pak më shumë se 0,33.

11. Mashtrimi i supozimit të numrave

Ju mund të luani pak David Blaine dhe të befasoni miqtë tuaj me një truk matematikor interesant, por shumë të thjeshtë.

1. Kërkojini një shoku të gjejë ndonjë numër të plotë.
2. Lëreni ta shumëzojë me 2.
3. Pastaj ai do t'i shtojë 9 numrit që rezulton.
4. Tani le të zbresë 3 nga numri që rezulton.
5. Tani le ta ndajë numrin që rezulton në gjysmë (në çdo rast, ai do të ndahet pa mbetje).
6. Së fundi, kërkojini atij të zbresë nga numri që rezulton numrin që ai mendoi në fillim.

Përgjigja do të jetë gjithmonë 3.

Po, është shumë budalla, por shpesh efekti i tejkalon të gjitha pritjet.

Bonus

Dhe, sigurisht, nuk mund të mos futnim në këtë postim të njëjtën foto me një metodë shumë të lezetshme shumëzimi.

Është e qartë se numrat me fuqi mund të shtohen si sasi të tjera , duke i shtuar njëra pas tjetrës me shenjat e tyre.

Pra, shuma e a 3 dhe b 2 është 3 + b 2.
Shuma e një 3 - b n dhe h 5 -d 4 është një 3 - b n + h 5 - d 4.

Shanset fuqi të barabarta të ndryshoreve identike mund të shtohet ose zbritet.

Pra, shuma e 2a 2 dhe 3a 2 është e barabartë me 5a 2.

Është gjithashtu e qartë se nëse merrni dy katrorë a, ose tre katrorë a, ose pesë katrorë a.

Por gradë variabla të ndryshëm Dhe shkallë të ndryshme variabla identike, duhet të kompozohen duke i shtuar me shenjat e tyre.

Pra, shuma e një 2 dhe një 3 është shuma e një 2 + a 3.

Është e qartë se katrori i a-së dhe kubi i a-së nuk është i barabartë me dyfishin e katrorit të a-së, por me dyfishin e kubit të a-së.

Shuma e a 3 b n dhe 3a 5 b 6 është a 3 b n + 3a 5 b 6.

Zbritja kompetencat kryhen në të njëjtën mënyrë si shtimi, me përjashtim të faktit që shenjat e nëntrupave duhet të ndryshohen në përputhje me rrethanat.

Ose:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5 (a - h) 6 - 2 (a - h) 6 = 3 (a - h) 6

Fuqitë e shumëzimit

Numrat me fuqi mund të shumëzohen, si sasitë e tjera, duke i shkruar njëri pas tjetrit, me ose pa një shenjë shumëzimi ndërmjet tyre.

Kështu, rezultati i shumëzimit të a 3 me b 2 është a 3 b 2 ose aaabb.

Ose:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Rezultati në shembullin e fundit mund të renditet duke shtuar variabla identike.
Shprehja do të marrë formën: a 5 b 5 y 3.

Duke krahasuar disa numra (ndryshore) me fuqitë, mund të shohim se nëse çdo dy prej tyre shumëzohen, atëherë rezultati është një numër (ndryshore) me fuqi të barabartë me shuma shkallë termash.

Pra, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Këtu 5 është fuqia e rezultatit të shumëzimit, e barabartë me 2 + 3, shuma e fuqive të termave.

Pra, a n .a m = a m+n .

Për një n, a merret si faktor aq herë sa fuqia e n-së;

Dhe një m merret si faktor aq herë sa shkalla m është e barabartë me;

Prandaj, fuqitë me baza të njëjta mund të shumëzohen duke mbledhur eksponentët e fuqive.

Pra, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Dhe x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6.

Ose:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Shumëzoni (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Përgjigje: x 4 - y 4.
Shumëzoni (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Ky rregull është gjithashtu i vërtetë për numrat, eksponentët e të cilëve janë negativ.

1. Pra, a -2 .a -3 = a -5 . Kjo mund të shkruhet si (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Nëse a + b shumëzohen me a - b, rezultati do të jetë a 2 - b 2: dmth

Rezultati i shumëzimit të shumës ose ndryshimit të dy numrave është i barabartë me shumën ose ndryshimin e katrorëve të tyre.

Nëse shumëzoni shumën dhe ndryshimin e dy numrave të ngritur në katrore, rezultati do të jetë i barabartë me shumën ose ndryshimin e këtyre numrave në e katërta gradë.

Pra, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

Ndarja e gradave

Numrat me fuqi mund të ndahen si numrat e tjerë, duke zbritur nga dividenti ose duke i vendosur në formë thyese.

Kështu, një 3 b 2 pjesëtuar me b 2 është e barabartë me një 3.

Ose:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

Shkrimi i një 5 të ndarë me një 3 duket si $\frac(a^5)(a^3)$. Por kjo është e barabartë me një 2. Në një seri numrash
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
çdo numër mund të pjesëtohet me një tjetër, dhe eksponenti do të jetë i barabartë me ndryshim treguesit e numrave të pjesëtueshëm.

Kur ndahen shkallët me të njëjtën bazë, zbriten eksponentët e tyre..

Pra, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. Kjo është, $\frac(vvv)(vv) = y$.

Dhe a n+1:a = a n+1-1 = a n . Kjo është, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

Ose:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12 (b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3

Rregulli është gjithashtu i vërtetë për numrat me negativ vlerat e gradave.
Rezultati i pjesëtimit të -5 me -3 është -2.
Gjithashtu, $\frac(1)(aaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 ose $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Shtë e nevojshme të zotëroni shumë mirë shumëzimin dhe ndarjen e fuqive, pasi operacione të tilla përdoren shumë gjerësisht në algjebër.

Shembuj të zgjidhjes së shembujve me thyesa që përmbajnë numra me fuqi

1. Zvogëloni eksponentët me $\frac(5a^4)(3a^2)$ Përgjigje: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Zvogëloni eksponentët me $\frac(6x^6)(3x^5)$. Përgjigje: $\frac(2x)(1)$ ose 2x.

3. Zvogëloni eksponentët a 2 /a 3 dhe a -3 /a -4 dhe sillni në një emërues të përbashkët.
a 2 .a -4 është a -2 numëruesi i parë.
a 3 .a -3 është një 0 = 1, numëruesi i dytë.
a 3 .a -4 është a -1, numëruesi i përbashkët.
Pas thjeshtimit: a -2 /a -1 dhe 1/a -1 .

4. Zvogëloni eksponentët 2a 4 /5a 3 dhe 2 /a 4 dhe sillni në një emërues të përbashkët.
Përgjigje: 2a 3 /5a 7 dhe 5a 5 /5a 7 ose 2a 3 /5a 2 dhe 5/5a 2.

5. Shumëzoni (a 3 + b)/b 4 me (a - b)/3.

6. Shumëzoni (a 5 + 1)/x 2 me (b 2 - 1)/(x + a).

7. Shumëzoni b 4 /a -2 me h -3 /x dhe a n /y -3.

8. Pjestoni një 4 /y 3 me një 3 /y 2 . Përgjigje: a/y.

9. Pjestoni (h 3 - 1)/d 4 me (d n + 1)/h.