Përkufizimi. Prizmaështë një shumëfaqësh, të gjitha kulmet e të cilit janë të vendosura në dy rrafshe paralele, dhe në të njëjtat dy rrafshe shtrihen dy faqe të prizmit, të cilat janë shumëkëndësha të barabartë me brinjë përkatësisht paralele, dhe të gjitha skajet që nuk shtrihen në këto rrafshe janë paralele.

Quhen dy fytyra të barabarta bazat e prizmit(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Të gjitha faqet e tjera të prizmit quhen fytyrat anësore(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Të gjitha fytyrat anësore formohen sipërfaqja anësore e prizmit .

Të gjitha faqet anësore të prizmit janë paralelograme .

Skajet që nuk shtrihen në bazat quhen skajet anësore të prizmit ( AA 1, BB 1, CC 1, DD 1, EE 1).

Diagonalja e prizmit është një segment, skajet e të cilit janë dy kulme të një prizmi që nuk shtrihen në të njëjtën faqe (AD 1).

Gjatësia e segmentit që lidh bazat e prizmit dhe pingul me të dyja bazat në të njëjtën kohë quhet lartësia e prizmit .

Përcaktimi:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Së pari, në rendin e kalimit, kulmet e njërës bazë tregohen, dhe më pas, në të njëjtin rend, kulmet e tjetrës; skajet e secilës skaj anësor përcaktohen me të njëjtat shkronja, vetëm kulmet shtrihen në një bazë përcaktohen me shkronja pa indeks, dhe në tjetrën - me një indeks)

Emri i prizmit lidhet me numrin e këndeve në figurë që shtrihen në bazën e tij, për shembull, në figurën 1 ka një pesëkëndësh në bazë, kështu që prizmi quhet prizëm pesëkëndësh. Por sepse një prizëm i tillë ka 7 fytyra, atëherë ai heptaedron(2 faqe - bazat e prizmit, 5 fytyra - paralelograme, - faqet anësore të tij)

Ndër prizmat e drejtë, veçohet një lloj i veçantë: prizmat e rregullt.

Një prizëm i drejtë quhet saktë, nëse bazat e tij janë shumëkëndësha të rregullt.

Paralelepiped

Paralelepiped drejtkëndëshe- një paralelipiped i drejtë, baza e të cilit është një drejtkëndësh.

Vetitë dhe teoremat:

,

ku d është diagonalja e katrorit;
a është ana e katrorit.

Një ide e një prizmi jepet nga:

• struktura të ndryshme arkitekturore;
• lodra per femije;
• kuti paketimi;
• artikuj dizajner etj.

Sipërfaqja e sipërfaqes totale dhe anësore të prizmit

S e plotë = ana S + 2S kryesore,

Ku S plot- sipërfaqja totale, Ana S- sipërfaqja anësore, Baza S- zona e bazës

Sipërfaqja anësore e një prizmi të drejtë është e barabartë me produktin e perimetrit të bazës dhe lartësisë së prizmit.

Ana S= P bazë * h,

Ku Ana S- zona e sipërfaqes anësore të një prizmi të drejtë,

P kryesore - perimetri i bazës së një prizmi të drejtë,

h është lartësia e prizmit të drejtë, e barabartë me skajin anësor.

Vëllimi i prizmit

Vëllimi i një prizmi është i barabartë me produktin e sipërfaqes së bazës dhe lartësisë.

Lloji i punës: 8
Tema: Prizma

gjendja

Në një prizëm të rregullt trekëndor ABCA_1B_1C_1, anët e bazës janë 4 dhe skajet anësore janë 10. Gjeni zonën e prerjes tërthore të prizmit nga rrafshi që kalon nga mesi i skajeve AB, AC, A_1B_1 dhe A_1C_1.

Zgjidhje

Merrni parasysh figurën e mëposhtme.

Prandaj, segmenti MN është mesi i trekëndëshit A_1B_1C_1 MN = \frac12 B_1C_1=2. Po kështu, KL=\frac12BC=2. Përveç kësaj, MK = NL = 10. Nga kjo rrjedh se katërkëndëshi MNLK është paralelogram. Meqenëse MK\paralel AA_1, atëherë MK\perp ABC dhe MK\perp KL. Prandaj, katërkëndëshi MNLK është një drejtkëndësh. S_(MNLK) = MK\cdot KL = 10\cdot 2 = 20.

Përgjigju

Lloji i punës: 8
Tema: Prizma

gjendja

Vëllimi i një prizmi të rregullt katërkëndor ABCDA_1B_1C_1D_1 është 24 . Pika K është mesi i skajit CC_1. Gjeni vëllimin e piramidës KBCD.

Zgjidhje

Sipas kushtit, KC është lartësia e piramidës KBCD. CC_1 është lartësia e prizmit ABCDA_1B_1C_1D_1.

Meqenëse K është mesi i CC_1, atëherë KC=\frac12CC_1. Le të CC_1=H, atëherë KC=\frac12H. Vini re gjithashtu se S_(BCD)=\frac12S_(ABCD). Pastaj, V_(KBCD)= \frac13S_(BCD)\cdot\frac(H)(2)= \frac13\cdot\frac12S_(ABCD)\cdot\frac(H)(2)= \frac(1)(12)\cdot S_(ABCD)\cdot H= \frac(1)(12)V_(ABCDA_1B_1C_1D_1). Prandaj, V_(KBCD)=\frac(1)(12)\cdot24=2.

Përgjigju

Burimi: “Matematika. Përgatitja për Provimin e Unifikuar të Shtetit 2017. Niveli i profilit." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

Lloji i punës: 8
Tema: Prizma

gjendja

Gjeni sipërfaqen anësore të një prizmi të rregullt gjashtëkëndor, ana e bazës së të cilit është 6 dhe lartësia 8.

Zgjidhje

Zona e sipërfaqes anësore të prizmit gjendet me formulën ana S. = P bazë · h = 6a\cdot h, ku P bazë. dhe h janë, përkatësisht, perimetri i bazës dhe lartësia e prizmit, e barabartë me 8, dhe a është ana e një gjashtëkëndëshi të rregullt, e barabartë me 6. Prandaj, ana S. = 6\cpika 6\cpika 8 = 288.

Përgjigju

Burimi: “Matematika. Përgatitja për Provimin e Unifikuar të Shtetit 2017. Niveli i profilit." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

Lloji i punës: 8
Tema: Prizma

gjendja

Uji u derdh në një enë në formë të një prizmi të rregullt trekëndor. Niveli i ujit arrin 40 cm Në çfarë lartësie do të jetë niveli i ujit nëse ai derdhet në një enë tjetër me të njëjtën formë, ana e bazës së së cilës është dy herë më e madhe se e para? Shprehni përgjigjen tuaj në centimetra.

Zgjidhje

Le të jetë a ana e bazës së enës së parë, atëherë 2 a është ana e bazës së enës së dytë. Sipas kushtit, vëllimi i lëngut V në enët e parë dhe të dytë është i njëjtë. Le të shënojmë me H nivelin në të cilin lëngu është ngritur në enën e dytë. Pastaj V= \frac12\cdot a^2\cdot\sin60^(\circ)\cdot40= \frac(a^2\sqrt3)(4)\cdot40, Dhe, V=\frac((2a)^2\sqrt3)(4)\cdot H. Nga këtu \frac(a^2\sqrt3)(4)\cdot40=\frac((2a)^2\sqrt3)(4)\cdot H, 40=4H, H=10.

Përgjigju

Burimi: “Matematika. Përgatitja për Provimin e Unifikuar të Shtetit 2017. Niveli i profilit." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

Lloji i punës: 8
Tema: Prizma

gjendja

Në një prizëm të rregullt gjashtëkëndor ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1 të gjitha skajet janë të barabarta me 2. Gjeni distancën midis pikave A dhe E_1.

Zgjidhje

Trekëndëshi AEE_1 është drejtkëndor, pasi buza EE_1 është pingul me rrafshin e bazës së prizmit, këndi AEE_1 do të jetë një kënd i drejtë.

Pastaj, nga teorema e Pitagorës, AE_1^2 = AE^2 + EE_1^2. Le të gjejmë AE nga trekëndëshi AFE duke përdorur teoremën e kosinusit. Çdo kënd i brendshëm i një gjashtëkëndëshi të rregullt është 120^(\circ). Pastaj AE^2= AF^2+FE^2-2\cdot AF\cdot FE\cdot\cos120^(\circ)= 2^2+2^2-2\cdot2\cdot2\cdot\majtas (-\frac12 \djathtas).

Prandaj, AE^2=4+4+4=12,

AE_1^2=12+4=16,

AE_1=4.

Përgjigju

Burimi: “Matematika. Përgatitja për Provimin e Unifikuar të Shtetit 2017. Niveli i profilit." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

Lloji i punës: 8
Tema: Prizma

gjendja

Gjeni sipërfaqen anësore të një prizmi të drejtë, në bazën e të cilit shtrihet një romb me diagonale të barabarta me 4\sqrt5 dhe 8, dhe një skaj anësor i barabartë me 5.

Zgjidhje

Zona e sipërfaqes anësore të një prizmi të drejtë gjendet duke përdorur formulën ana S. = P bazë · h = 4a\cdot h, ku P bazë. dhe h, përkatësisht, perimetri i bazës dhe lartësia e prizmit, e barabartë me 5, dhe a është ana e rombit. Le të gjejmë anën e rombit duke përdorur faktin se diagonalet e rombit ABCD janë reciproke pingule dhe të përgjysmuara nga pika e kryqëzimit.

Vëllimi i prizmit. Zgjidhja e problemeve

Gjeometria është mjeti më i fuqishëm për të mprehur aftësitë tona mendore dhe për të na mundësuar të mendojmë dhe arsyetojmë saktë.

G. Galileo

Qëllimi i mësimit:

• të mësojë zgjidhjen e problemeve për llogaritjen e vëllimit të prizmave, të përmbledhë dhe sistemojë informacionin që nxënësit kanë për një prizëm dhe elementët e tij, të zhvillojë aftësinë për të zgjidhur probleme me kompleksitet të shtuar;
• të zhvillojë të menduarit logjik, aftësinë për të punuar në mënyrë të pavarur, aftësitë e kontrollit të ndërsjellë dhe vetëkontrollit, aftësinë për të folur dhe dëgjuar;
• zhvilloni zakonin e punësimit të vazhdueshëm në disa aktivitete të dobishme, duke nxitur reagimin, punën e palodhur dhe saktësinë.

Lloji i mësimit: mësim mbi zbatimin e njohurive, aftësive dhe aftësive.

Pajisjet: karta kontrolli, media projektor, prezantim “Mësimi. Prism Volume”, kompjuterë.

Gjatë orëve të mësimit

• Brinjët anësore të prizmit (Fig. 2).
• Sipërfaqja anësore e prizmit (Figura 2, Figura 5).
• Lartësia e prizmit (Fig. 3, Fig. 4).
• Prizma e drejtë (Figura 2,3,4).
• Një prizëm i prirur (Figura 5).
• Prizma e saktë (Fig. 2, Fig. 3).
• Seksioni diagonal i prizmit (Figura 2).
• Diagonalja e prizmit (Figura 2).
• Seksioni pingul i prizmit (Fig. 3, Fig. 4).
• Sipërfaqja anësore e prizmit.
• Sipërfaqja e përgjithshme e prizmit.
• Vëllimi i prizmit.

1. KONTROLLI I detyrave të shtëpisë (8 min)

Shkëmbeni fletoret, kontrolloni zgjidhjen në rrëshqitje dhe shënoni atë (shënoni 10 nëse problemi është përpiluar)

Krijo një problem bazuar në figurë dhe zgjidhe atë. Nxënësi mbron në tabelë problemën që ka përpiluar. Figura 6 dhe Figura 7.





Kapitulli 2,§3
Problemi.2. Gjatësitë e të gjitha skajeve të një prizmi të rregullt trekëndor janë të barabarta me njëra-tjetrën. Llogaritni vëllimin e prizmit nëse sipërfaqja e tij është cm 2 (Fig. 8)



Kapitulli 2,§3
Detyra 5. Baza e prizmit të drejtë ABCA 1B 1C1 është trekëndësh kënddrejtë ABC (këndi ABC=90°), AB=4cm. Llogaritni vëllimin e prizmit nëse rrezja e rrethit të përshkruar rreth trekëndëshit ABC është 2,5 cm dhe lartësia e prizmit është 10 cm. (Figura 9).



Kapitulli 2,§3
Detyra 29. Gjatësia e faqes së bazës së një prizmi të rregullt katërkëndor është 3 cm. Diagonalja e prizmit formon një kënd prej 30° me rrafshin e faqes anësore. Llogaritni vëllimin e prizmit (Figura 10).



2. Bashkëpunimi mes mësuesit dhe klasës (2-3 min.).

Qëllimi: përmbledhja e rezultateve të ngrohjes teorike (nxënësit vlerësojnë njëri-tjetrin), të mësojnë se si të zgjidhin problemet në temë.

3. MINUTA FIZIKE (3 min)
4. ZGJIDHJA E PROBLEMIT (10 min)

Në këtë fazë mësuesi organizon punën ballore për përsëritjen e metodave të zgjidhjes së problemave planimetrike dhe formulave planimetrike. Klasa ndahet në dy grupe, disa zgjidhin probleme, të tjerët punojnë në kompjuter. Pastaj ata ndryshojnë. U kërkohet nxënësve të zgjidhin të gjitha nr.8 (me gojë), nr.9 (me gojë). Më pas ndahen në grupe dhe vazhdojnë me zgjidhjen e problemave nr.14, nr.30, nr.32.

Kapitulli 2, §3, faqet 66-67

Problemi 8. Të gjitha skajet e një prizmi të rregullt trekëndor janë të barabarta me njëra-tjetrën. Gjeni vëllimin e prizmit nëse zona e prerjes kryq të rrafshit që kalon nëpër skajin e bazës së poshtme dhe mesit të anës së bazës së sipërme është e barabartë me cm (Fig. 11).



Kapitulli 2,§3, faqe 66-67
Problemi 9. Baza e prizmit të drejtë është katror dhe skajet anësore të tij janë dyfishi i madhësisë së faqes së bazës. Llogaritni vëllimin e prizmit nëse rrezja e rrethit të përshkruar pranë seksionit të prizmit nga një rrafsh që kalon nga ana e bazës dhe nga mesi i skajit anësor të kundërt është e barabartë me cm (Fig. 12)



Kapitulli 2,§3, faqe 66-67
Problemi 14 Baza e një prizmi të drejtë është një romb, një nga diagonalet e të cilit është e barabartë me anën e tij. Llogaritni perimetrin e seksionit me një plan që kalon nëpër diagonalen kryesore të bazës së poshtme, nëse vëllimi i prizmit është i barabartë dhe të gjitha faqet anësore janë katrore (Fig. 13).



Kapitulli 2,§3, faqe 66-67
Problemi 30 ABCA 1 B 1 C 1 është një prizëm i rregullt trekëndor, të gjitha skajet e të cilit janë të barabarta me njëra-tjetrën, pika është mesi i skajit BB 1. Llogaritni rrezen e rrethit të gdhendur në seksionin e prizmit nga rrafshi AOS, nëse vëllimi i prizmit është i barabartë me (Fig. 14).



Kapitulli 2,§3, faqe 66-67
Problemi 32 Në një prizëm të rregullt katërkëndor, shuma e sipërfaqeve të bazave është e barabartë me sipërfaqen e sipërfaqes anësore. Llogaritni vëllimin e prizmit nëse diametri i rrethit të përshkruar pranë seksionit kryq të prizmit nga një rrafsh që kalon nëpër dy kulmet e bazës së poshtme dhe kulmin e kundërt të bazës së sipërme është 6 cm (Fig. 15).



Gjatë zgjidhjes së problemeve, nxënësit krahasojnë përgjigjet e tyre me ato të dhëna nga mësuesi. Kjo është një zgjidhje shembullore e një problemi me komente të hollësishme... Punë individuale e një mësuesi me nxënës të “fortë” (10 min.).

5. Nxënësit punojnë të pavarur në testin në kompjuter

1. Ana e bazës së një prizmi të rregullt trekëndor është e barabartë me , dhe lartësia është 5. Gjeni vëllimin e prizmit.

1) 152) 45 3) 104) 125) 18

2. Zgjidhni pohimin e saktë.

1) Vëllimi i një prizmi të drejtë, baza e të cilit është një trekëndësh kënddrejtë është i barabartë me produktin e sipërfaqes së bazës dhe lartësisë.

2) Vëllimi i një prizmi të rregullt trekëndor llogaritet me formulën V = 0,25a 2 h - ku a është ana e bazës, h është lartësia e prizmit.

3) Vëllimi i një prizmi të drejtë është i barabartë me gjysmën e produktit të sipërfaqes së bazës dhe lartësisë.

4) Vëllimi i një prizmi të rregullt katërkëndor llogaritet me formulën V = a 2 h-ku a është ana e bazës, h është lartësia e prizmit.

5) Vëllimi i një prizmi të rregullt gjashtëkëndor llogaritet me formulën V = 1.5a 2 h, ku a është ana e bazës, h është lartësia e prizmit.

3. Brinja e bazës së një prizmi të rregullt trekëndor është e barabartë me . Një rrafsh tërhiqet përmes anës së bazës së poshtme dhe majës së kundërt të bazës së sipërme, e cila kalon në një kënd prej 45° me bazën. Gjeni vëllimin e prizmit.

1) 92) 9 3) 4,54) 2,255) 1,125

4. Baza e prizmit të drejtë është një romb, brinja e të cilit është 13 dhe njëra nga diagonalet është 24. Gjeni vëllimin e prizmit nëse diagonalja e faqes anësore është 14.

V=S h kryesore = a 2 h

Ana S =Pl=4al

Ana S =Ph=4ah

Seksioni anësor S =ahv2=alv2

Perimetri S =a 2

Prizma në optikë

Në optikë, një prizëm është një objekt në formën e një trupi gjeometrik (prizmi) i bërë nga materiali transparent. Vetitë e prizmave përdoren gjerësisht në optikë, veçanërisht në dylbi. Dylbitë prizmatike përdorin një prizëm të dyfishtë Porro dhe një prizëm Abbe, të emërtuar sipas shpikësve të tyre. Këto prizma, për shkak të strukturës dhe rregullimit të tyre të veçantë, krijojnë një ose një tjetër efekt optik.

Një prizëm Porro është një prizëm baza e të cilit është një trekëndësh dykëndësh. Një prizëm i dyfishtë Porro krijohet për shkak të rregullimit të veçantë në hapësirë ​​të dy prizmave Porro. Prizmi i dyfishtë Porro ju lejon të ktheni imazhin, të rrisni distancën optike midis lentës dhe okularit, duke ruajtur dimensionet e jashtme.

Një prizëm Abbe është një prizëm baza e të cilit është një trekëndësh me kënde 30°, 60°, 90°. Një prizëm Abbe përdoret kur është e nevojshme të përmbyset një imazh pa devijuar vijën e shikimit ndaj objektit.

Matja e volumit

Vëllimet e hambarëve të grurit dhe strukturave të tjera në formën e kubeve, prizmave dhe cilindrave u llogaritën nga egjiptianët dhe babilonasit, kinezët dhe indianët duke shumëzuar sipërfaqen e bazës me lartësinë. Megjithatë, Lindja e lashtë njihte kryesisht vetëm disa rregulla, të gjetura eksperimentalisht, të cilat përdoreshin për të gjetur vëllime për zonat e figurave. Në një kohë të mëvonshme, kur gjeometria u formua si shkencë, u gjet një qasje e përgjithshme për llogaritjen e vëllimeve të poliedrave.

Ndër shkencëtarët e shquar grekë të shekujve V - IV. para Krishtit, të cilët zhvilluan teorinë e vëllimeve ishin Demokriti i Abderës dhe Eudoksi i Knidit. Euklidi nuk e përdor termin "vëllim". Për të, termi "kub", për shembull, nënkupton gjithashtu vëllimin e një kubi. Në librin XI të “Parimeve”, ndër të tjera janë paraqitur teoremat e përmbajtjes së mëposhtme.

• 1. Paralelepipedët me lartësi dhe baza të barabarta janë të barabarta në madhësi.
• 2. Raporti i vëllimeve të dy paralelepipedëve me lartësi të barabarta është i barabartë me raportin e sipërfaqeve të bazave të tyre.
• 3. Në paralelepipedët me sipërfaqe të barabartë, sipërfaqet e bazave janë në përpjesëtim të zhdrejtë me lartësitë.

Teoremat e Euklidit kanë të bëjnë vetëm me krahasimin e vëllimeve, pasi Euklidi ndoshta e konsideronte llogaritjen e drejtpërdrejtë të vëllimeve të trupave si një çështje manualesh praktike në gjeometri. Në veprat e aplikuara të Heronit të Aleksandrisë, ekzistojnë rregulla për llogaritjen e vëllimit të kubit, prizmit, paralelepipedit dhe figurave të tjera hapësinore.