Shtëpi » 2 Shpërndarja » Si të gjeni lartësinë e një trapezi të gdhendur në një rreth. Elementet, llojet dhe karakteristikat e trapezit të figurës gjeometrike

Si të gjeni lartësinë e një trapezi të gdhendur në një rreth. Elementet, llojet dhe karakteristikat e trapezit të figurës gjeometrike

  1. Segmenti që lidh mesin e diagonaleve të një trapezi është i barabartë me gjysmën e diferencës së bazave
  2. Trekëndëshat e formuar nga bazat e një trapezi dhe segmentet e diagonaleve deri në pikën e tyre të kryqëzimit janë të ngjashëm
  3. Trekëndëshat e formuar nga segmente të diagonaleve të një trapezi, anët e të cilave shtrihen në anët anësore të trapezit - të barabartë në madhësi (kanë të njëjtën zonë)
  4. Nëse i zgjatni anët e trapezit drejt bazës më të vogël, atëherë ato do të kryqëzohen në një pikë me vijën e drejtë që lidh mesin e bazave
  5. Një segment që lidh bazat e një trapezi dhe kalon nëpër pikën e kryqëzimit të diagonaleve të trapezit ndahet me këtë pikë në një proporcion të barabartë me raportin e gjatësive të bazave të trapezit.
  6. Një segment paralel me bazat e trapezit dhe i tërhequr përmes pikës së kryqëzimit të diagonaleve ndahet në gjysmë nga kjo pikë dhe gjatësia e tij është e barabartë me 2ab/(a + b), ku a dhe b janë bazat e trapezoid

Vetitë e një segmenti që lidh mesin e diagonaleve të një trapezi

Le të lidhim mesin e diagonaleve të trapezit ABCD, si rezultat i të cilit do të kemi një segment LM.
Një segment që lidh mesin e diagonaleve të një trapezi shtrihet në vijën e mesme të trapezit.

Ky segment paralel me bazat e trapezit.

Gjatësia e segmentit që lidh mesin e diagonaleve të një trapezi është e barabartë me gjysmën e diferencës së bazave të tij.

LM = (Pas Krishtit - Para Krishtit)/2
ose
LM = (a-b)/2

Vetitë e trekëndëshave të formuar nga diagonalet e një trapezi


Trekëndëshat që formohen nga bazat e një trapezi dhe pika e kryqëzimit të diagonaleve të trapezit - janë të ngjashme.
Trekëndëshat BOC dhe AOD janë të ngjashëm. Meqenëse këndet BOC dhe AOD janë vertikale, ato janë të barabarta.
Këndet OCB dhe OAD janë kënde të brendshme që shtrihen në mënyrë tërthore me drejtëza paralele AD dhe BC (bazat e trapezit janë paralele me njëra-tjetrën) dhe një drejtëz sekante AC, prandaj janë të barabarta.
Këndet OBC dhe ODA janë të barabarta për të njëjtën arsye (të brendshme tërthore).

Meqenëse të tre këndet e një trekëndëshi janë të barabartë me këndet përkatëse të një trekëndëshi tjetër, atëherë këta trekëndësha janë të ngjashëm.

Çfarë rrjedh nga kjo?

Për të zgjidhur problemet në gjeometri, ngjashmëria e trekëndëshave përdoret si më poshtë. Nëse i dimë gjatësitë e dy elementeve përkatës të trekëndëshave të ngjashëm, atëherë gjejmë koeficientin e ngjashmërisë (ndajmë njërin me tjetrin). Nga ku gjatësitë e të gjithë elementëve të tjerë lidhen me njëra-tjetrën me saktësisht të njëjtën vlerë.

Vetitë e trekëndëshave të shtrirë në anën anësore dhe diagonaleve të një trapezi


Konsideroni dy trekëndësha të shtrirë në anët anësore të trapezit AB dhe CD. Këta janë trekëndëshat AOB dhe COD. Përkundër faktit se madhësitë e anëve individuale të këtyre trekëndëshave mund të jenë krejtësisht të ndryshme, por sipërfaqet e trekëndëshave të formuar nga anët anësore dhe pika e prerjes së diagonaleve të trapezit janë të barabarta, domethënë trekëndëshat janë të barabartë në madhësi.


Nëse anët e trapezit i zgjerojmë drejt bazës më të vogël, atëherë pika e kryqëzimit të anëve do të jetë përkojnë me një vijë të drejtë që kalon nga mesi i bazave.

Kështu, çdo trapezoid mund të zgjerohet në një trekëndësh. Në këtë rast:

  • Trekëndëshat e formuar nga bazat e një trapezi me një kulm të përbashkët në pikën e kryqëzimit të anëve të zgjatura janë të ngjashëm
  • Vija e drejtë që lidh mesin e bazave të trapezit është, në të njëjtën kohë, mediana e trekëndëshit të ndërtuar

Vetitë e një segmenti që lidh bazat e një trapezi


Nëse vizatojmë një segment, skajet e të cilit shtrihen mbi bazat e një trapezi, i cili shtrihet në pikën e kryqëzimit të diagonaleve të trapezit (KN), atëherë raporti i segmenteve përbërës të tij nga ana e bazës me pikën e kryqëzimit. i diagonaleve (KO/ON) do të jetë i barabartë me raportin e bazave të trapezit(BC/AD).

KO/ON = BC/AD

Kjo veti rrjedh nga ngjashmëria e trekëndëshave përkatës (shih më lart).

Vetitë e një segmenti paralel me bazat e një trapezi


Nëse vizatojmë një segment paralel me bazat e trapezit dhe që kalon nëpër pikën e kryqëzimit të diagonaleve të trapezit, atëherë ai do të ketë vetitë e mëposhtme:

  • Distanca e specifikuar (KM) të përgjysmuar nga pika e kryqëzimit të diagonaleve të trapezit
  • Gjatësia e seksionit kalimi nëpër pikën e kryqëzimit të diagonaleve të trapezit dhe paralel me bazat është i barabartë me KM = 2ab/(a + b)

Formulat për gjetjen e diagonaleve të një trapezi


a, b- bazat trapezoide

c,d- faqet e trapezit

d1 d2- diagonalet e një trapezi

α β - kënde me bazë më të madhe të trapezit

Formulat për gjetjen e diagonaleve të një trapezi përmes bazave, brinjëve dhe këndeve në bazë

Grupi i parë i formulave (1-3) pasqyron një nga vetitë kryesore të diagonaleve trapezoide:

1. Shuma e katrorëve të diagonaleve të një trapezi është e barabartë me shumën e katrorëve të brinjëve plus dyfishin e produktit të bazave të tij. Kjo veti e diagonaleve trapezoide mund të vërtetohet si një teoremë më vete

2 . Kjo formulë fitohet duke transformuar formulën e mëparshme. Sheshi i diagonales së dytë hidhet përmes shenjës së barabartë, pas së cilës rrënja katrore nxirret nga ana e majtë dhe e djathtë e shprehjes.

3 . Kjo formulë për gjetjen e gjatësisë së diagonales së një trapezi është e ngjashme me atë të mëparshme, me ndryshimin se një diagonale tjetër lihet në anën e majtë të shprehjes.

Grupi tjetër i formulave (4-5) janë të ngjashëm në kuptim dhe shprehin një marrëdhënie të ngjashme.

Grupi i formulave (6-7) ju lejon të gjeni diagonalen e një trapezi nëse dihet baza më e madhe e trapezit, njëra anë dhe këndi në bazë.

Formulat për gjetjen e diagonaleve të një trapezi në lartësi

Shënim. Ky mësim ofron zgjidhje për problemet e gjeometrisë për trapezoidët. Nëse nuk keni gjetur një zgjidhje për një problem gjeometrie të llojit që ju intereson, bëni një pyetje në forum.

Detyrë.
Diagonalet e trapezit ABCD (AD | | BC) priten në pikën O. Gjeni gjatësinë e bazës BC të trapezit nëse baza AD = 24 cm, gjatësia AO = 9 cm, gjatësia OS = 6 cm.

Zgjidhje.
Zgjidhja e këtij problemi është ideologjikisht absolutisht identike me problemet e mëparshme.

Trekëndëshat AOD dhe BOC janë të ngjashëm në tre kënde - AOD dhe BOC janë vertikale, dhe këndet e mbetura janë të barabarta në çift, pasi ato formohen nga kryqëzimi i një drejtëze dhe dy drejtëzave paralele.

Meqenëse trekëndëshat janë të ngjashëm, të gjitha dimensionet e tyre gjeometrike janë të lidhura me njëra-tjetrën, ashtu si dimensionet gjeometrike të segmenteve AO dhe OC të njohura për ne sipas kushteve të problemit. Kjo është

AO/OC = AD/BC
9/6 = 24 / para Krishtit
BC = 24 * 6 / 9 = 16

Përgjigju: 16 cm

Detyrë .
Në trapezin ABCD dihet se AD=24, BC=8, AC=13, BD=5√17. Gjeni zonën e trapezit.

Zgjidhje .
Për të gjetur lartësinë e një trapezi nga kulmet e bazës më të vogël B dhe C, ne ulim dy lartësi në bazën më të madhe. Meqenëse trapezi është i pabarabartë, shënojmë gjatësinë AM = a, gjatësinë KD = b ( të mos ngatërrohet me shënimin në formulë gjetja e zonës së një trapezi). Meqenëse bazat e trapezit janë paralele, dhe ne kemi rënë dy lartësi pingul me bazën më të madhe, atëherë MBCK është një drejtkëndësh.

Mjetet
AD = AM+BC+KD
a + 8 + b = 24
a = 16 - b

Trekëndëshat DBM dhe ACK janë drejtkëndëshe, kështu që këndet e tyre të drejta formohen nga lartësitë e trapezit. Le ta shënojmë lartësinë e trapezit me h. Pastaj, nga teorema e Pitagorës

H 2 + (24 - a) 2 = (5√17) 2
Dhe
h 2 + (24 - b) 2 = 13 2

Le të marrim parasysh se a = 16 - b, pastaj në ekuacionin e parë
h 2 + (24 - 16 + b) 2 = 425
h 2 = 425 - (8 + b) 2

Le të zëvendësojmë vlerën e katrorit të lartësisë në ekuacionin e dytë të marrë duke përdorur teoremën e Pitagorës. Ne marrim:
425 - (8 + b) 2 + (24 - b) 2 = 169
-(64 + 16b + b) 2 + (24 - b) 2 = -256
-64 - 16b - b 2 + 576 - 48b + b 2 = -256
-64b = -768
b = 12

Pra, KD = 12
Ku
h 2 = 425 - (8 + b) 2 = 425 - (8 + 12) 2 = 25
h = 5

Gjeni sipërfaqen e trapezit në lartësinë e tij dhe gjysmën e shumës së bazave
, ku a b - baza e trapezit, h - lartësia e trapezit
S = (24 + 8) * 5 / 2 = 80 cm 2

Përgjigju: sipërfaqja e trapezit është 80 cm2.

Shtëpia e konviktit FGKOU "MKK" për nxënësit e Ministrisë së Mbrojtjes së Federatës Ruse"

"MIRATUAR"

Drejtues i një disipline të veçantë

(matematika, shkenca kompjuterike dhe TIK)

Yu. V. Krylova ____________

"___" _____________ 2015

« Trapeziumi dhe vetitë e tij»

Zhvillimi metodologjik

mësues i matematikës

Shatalina Elena Dmitrievna

Shqyrtuar dhe

në mbledhjen e ZKM të datës _________________

Protokolli nr.______

Moska

2015

Tabela e përmbajtjes

Hyrje 2

    Përkufizimet 3

    Vetitë e një trapezi izoscelular 4

    Rrathë të brendashkruar dhe të rrethuar 7

    Vetitë e trapezoidëve të brendashkruar dhe të rrethuar 8

    Vlerat mesatare në trapez 12

    Vetitë e një trapezi arbitrar 15

    Shenjat e trapezit 18

    Ndërtime shtesë në trapez 20

    Zona e trapezit 25

10. Përfundim

Lista e literaturës së përdorur

Aplikimi

    Dëshmi të disa vetive të trapezit 27

    Detyrat për punë të pavarur

    Probleme në temën "Trapezoid" me kompleksitet të shtuar

    Test shqyrtimi me temën "Trapezoid"

Hyrje

Kjo vepër i kushtohet një figure gjeometrike të quajtur trapezoid. "Një figurë e zakonshme," thoni ju, por nuk është kështu. Është e mbushur me shumë sekrete dhe mistere, nëse e shikoni më nga afër dhe e studioni më tej, do të zbuloni shumë gjëra të reja në botën e gjeometrisë, që nuk janë zgjidhur më parë;

Trapezoid - fjala greke trapezion - "tavolinë". Huamarrja në shekullin e 18-të nga lat. gjuhë, ku trapezioni është greqishtja. Ai është një katërkëndësh, dy anët e kundërta të të cilit janë paralele. Trapeziumi u ndesh për herë të parë nga shkencëtari i lashtë grek Posidonius (shekulli II para Krishtit). Në jetën tonë ka shumë figura të ndryshme. Në klasën e 7-të u njohëm nga afër me trekëndëshin në klasën e 8-të, sipas programit shkollor, filluam të studiojmë trapezin. Kjo shifër na interesoi dhe në tekstin shkollor është shkruar në mënyrë të papranueshme pak për të. Prandaj, vendosëm ta marrim këtë çështje në duart tona dhe të gjejmë informacione rreth trapezit. vetitë e tij.

Puna shqyrton vetitë e njohura të nxënësve nga materiali i trajtuar në tekstin shkollor, por kryesisht vetitë e panjohura që janë të nevojshme për zgjidhjen e problemeve komplekse. Sa më i madh të jetë numri i problemeve që zgjidhen, aq më shumë pyetje lindin gjatë zgjidhjes së tyre. Përgjigja e këtyre pyetjeve ndonjëherë duket si një mister, duke mësuar vetitë e reja të trapezit, metodat e pazakonta për zgjidhjen e problemeve, si dhe teknikën e ndërtimeve shtesë, gradualisht zbulojmë sekretet e trapezit. Në internet, nëse e shkruani në një motor kërkimi, ka shumë pak literaturë mbi metodat për zgjidhjen e problemeve në temën "trapezoid". Në procesin e punës për projektin, u gjet një sasi e madhe informacioni që do t'i ndihmojë studentët në një studim të thelluar të gjeometrisë.

Trapezoid.

    Përkufizimet

Trapezoid – një katërkëndësh në të cilin vetëm një palë brinjë është paralele (dhe çifti tjetër i brinjëve nuk është paralel).

Brinjët paralele të një trapezi quhen arsyet. .
Dy të tjerat janë anët Nëse anët janë të barabarta, quhet trapez

izosceles Një trapez që ka kënde të drejta në anët e tij quhet

drejtkëndësheSegmenti që lidh mesin e anëve quhet.

vija e mesme e trapezit

2 Distanca ndërmjet bazave quhet lartësia e trapezit.



3. Vetitë e një trapezi izoscelular

4



1
. Diagonalet e një trapezi izoscelular janë të barabarta.



0. Projeksioni i anës anësore të një trapezi izoscelular mbi bazën më të madhe është i barabartë me gjysmën e ndryshimit të bazave dhe projeksioni i diagonales është i barabartë me shumën e bazave.

3. Rreth i brendashkruar dhe i rrethuar

Nëse shuma e bazave të një trapezi është e barabartë me shumën e anëve, atëherë në të mund të futet një rreth.
E

Nëse trapezi është i njëtrajtshëm, atëherë rreth tij mund të përshkruhet një rreth.


4. Vetitë e trapezëve të brendashkruar dhe të rrethuar


2.Nëse një rreth mund të brendashkrohet në një trapez izoscelular, atëherë

4 . shuma e gjatësive të bazave është e barabartë me shumën e gjatësive të brinjëve. Prandaj, gjatësia e anës është e barabartë me gjatësinë e vijës së mesme të trapezit.



    Nëse një rreth është i gdhendur në një trapezoid, atëherë anët nga qendra e tij janë të dukshme në një kënd prej 90 °. m Nëse një rreth është i gdhendur në një trapez dhe prek njërën nga anët, ai e ndan atë në segmente , dhe n


1

0 atëherë rrezja e rrethit të brendashkruar është e barabartë me mesataren gjeometrike të këtyre segmenteve.






. Nëse një rreth është ndërtuar mbi bazën më të vogël të një trapezi si diametër, kalon nëpër mes pikat e diagonaleve dhe prek bazën e poshtme, atëherë këndet e trapezit janë 30°, 30°, 150°, 150°.

5. Vlerat mesatare në një trapez






    Mesatarja gjeometrike Në çdo trapez me baza a Dhe b Për > ab :



pabarazia është e vërtetë

6. Vetitë e një trapezi arbitrar

1
. Pikat e mesit të diagonaleve të një trapezi dhe ato të mesit të anëve anësore shtrihen në të njëjtën vijë të drejtë.



2. Përgjysmorët e këndeve ngjitur me njërën nga anët anësore të trapezit janë pingul dhe kryqëzohen në një pikë që shtrihet në vijën e mesme të trapezit, d.m.th., kur ato kryqëzohen, formohet një trekëndësh kënddrejtë me një hipotenuzë të barabartë me anësoren. anësor.



3. Segmentet e një vije të drejtë paralele me bazat e trapezit, që kryqëzojnë anët anësore dhe diagonalet e trapezit, të mbyllura ndërmjet anës anësore dhe diagonales, janë të barabarta.

    Pika e kryqëzimit të vazhdimit të anëve të një trapezi arbitrar, pika e kryqëzimit të diagonaleve të tij dhe pikat e mesit të bazave shtrihen në të njëjtën vijë të drejtë.



5. Kur diagonalet e një trapezi arbitrar kryqëzohen, formohen katër trekëndësha me një kulm të përbashkët, dhe trekëndëshat ngjitur me bazat janë të ngjashëm dhe trekëndëshat ngjitur me brinjët janë të barabartë në madhësi (d.m.th., kanë sipërfaqe të barabarta).

6. Shuma e katrorëve të diagonaleve të një trapezi arbitrar është e barabartë me shumën e katrorëve të brinjëve anësore të shtuara në dyfishin e prodhimit të bazave.


d 1 2 + d 2 2 = c 2 + d 2 + 2 ab

7
. Në një trapez drejtkëndor, ndryshimi në katrorët e diagonaleve është i barabartë me ndryshimin në katrorët e bazave d 1 2 - d 2 2 = Në çdo trapez me baza 2 – Dhe 2

8 . Vijat e drejta që kryqëzojnë anët e një këndi ndërpresin segmentet proporcionale nga anët e këndit.


9. Një segment paralel me bazat dhe që kalon nëpër pikën e kryqëzimit të diagonaleve ndahet në gjysmë nga kjo e fundit.

7. Shenjat e një trapezi


8. Ndërtime shtesë në trapez

1. Segmenti që lidh mesin e anëve është vija e mesme e trapezit.

2
. Një segment paralel me njërën nga anët anësore të një trapezi, njëri skaj i të cilit përkon me mesin e anës tjetër anësore, tjetri i përket vijës së drejtë që përmban bazën.

3
. Nëse jepen të gjitha anët e një trapezi, një vijë e drejtë paralele me anën vizatohet përmes kulmit të bazës më të vogël. Rezultati është një trekëndësh me anët e barabarta me anët anësore të trapezit dhe ndryshimin në bazat. Duke përdorur formulën e Heronit, gjeni sipërfaqen e trekëndëshit, pastaj lartësinë e trekëndëshit, e cila është e barabartë me lartësinë e trapezit.

4

. Lartësia e një trapezi izoscelular, e nxjerrë nga kulmi i bazës më të vogël, e ndan bazën më të madhe në segmente, njëra prej të cilave është e barabartë me gjysmën e diferencës së bazave dhe tjetra me gjysmën e shumës së bazave të trapezit, d.m.th., vija e mesme e trapezit.

5. Lartësitë e trapezit, të ulura nga majat e njërës bazë, presin një segment të barabartë me bazën e parë në një vijë të drejtë që përmban bazën tjetër.

6
. Një segment paralel me njërën nga diagonalet e trapezit tërhiqet përmes një kulmi - një pikë që është fundi i diagonales tjetër. Rezultati është një trekëndësh me dy brinjë të barabarta me diagonalet e trapezit dhe e treta e barabartë me shumën e bazave


7
.Segmenti që lidh mesin e diagonaleve është i barabartë me gjysmën e ndryshimit të bazave të trapezit.

8. Përgjysmorët e këndeve ngjitur me njërën nga anët anësore të trapezit janë pingul dhe kryqëzohen në një pikë të shtrirë në vijën e mesme të trapezit, d.m.th., kur ato kryqëzohen, formohet një trekëndësh kënddrejtë me një hipotenuzë të barabartë me anësoren. anësor.

9. Përgjysmuesja e një këndi trapezoid pret një trekëndësh dykëndësh.


1
0. Diagonalet e një trapezi arbitrar, kur kryqëzohen, formojnë dy trekëndësha të ngjashëm me një koeficient ngjashmërie të barabartë me raportin e bazave dhe dy trekëndësha të barabartë ngjitur me brinjët anësore.

1
1. Diagonalet e një trapezi arbitrar, kur kryqëzohen, formojnë dy trekëndësha të ngjashëm me një koeficient ngjashmërie të barabartë me raportin e bazave dhe dy trekëndësha të barabartë ngjitur me brinjët anësore.

1
2. Vazhdimi i anëve të trapezit deri në kryqëzim bën të mundur marrjen në konsideratë të trekëndëshave të ngjashëm.

13. Nëse një rreth është i gdhendur në një trapezoid izoscelular, atëherë llogaritni lartësinë e trapezit - mesatarja gjeometrike e prodhimit të bazave të trapezit ose dyfishi i mesatares gjeometrike të produktit të segmenteve të anës anësore në të cilën ai ndahet me pikën e tangjencës.


9. Zona e një trapezi

1 . Sipërfaqja e një trapezi është e barabartë me produktin e gjysmës së shumës së bazave dhe lartësisë S = ½( Për + a) h ose

P

Sipërfaqja e një trapezi është e barabartë me prodhimin e vijës së mesme të trapezit dhe lartësisë së tij S = m h .

2. Sipërfaqja e një trapezi është e barabartë me produktin e një ane dhe një pingule të tërhequr nga mesi i anës tjetër në vijën që përmban anën e parë.


    Sipërfaqja e një trapezi izoscelular me rreze rrethi të brendashkruar të barabartë me rdhe këndi në bazëα :

10. Përfundim

KU, SI DHE PËR ÇFARË PËRDORET TRAPEZI?

Trapezi në sport: Trapezi është padyshim një shpikje progresive e njerëzimit. Është krijuar për të lehtësuar duart tona dhe për ta bërë rrëshqitjen në ajër një pushim të rehatshëm dhe të lehtë. Ecja në një dërrasë të shkurtër nuk ka fare kuptim pa një trapez, pasi pa të është e pamundur të shpërndash saktë tërheqjen midis hapit dhe këmbëve dhe të përshpejtosh në mënyrë efektive.

Trapezi në modë: Trapezi në veshje ishte i popullarizuar në mesjetë, në epokën romane të shekujve 9-11. Në atë kohë, baza e veshjeve të grave ishin tunikat e gjata deri në dysheme, tunika u zgjerua shumë, gjë që krijonte një efekt trapezoid. Ringjallja e siluetës ndodhi në vitin 1961 dhe u bë një himn për rininë, pavarësinë dhe sofistikimin. Modelja e brishtë Leslie Hornby, e njohur si Twiggy, luajti një rol të madh në popullarizimin e trapezit. Një vajzë e shkurtër me një strukturë anoreksike dhe sy të mëdhenj u bë simbol i epokës, dhe veshjet e saj të preferuara ishin fustanet e shkurtër të linjës A.

Trapezoidi në natyrë: Trapezi gjendet edhe në natyrë. Njerëzit kanë një muskul trapezius, dhe disa njerëz kanë një fytyrë në formë trapezi. Petalet e luleve, yjësitë dhe sigurisht mali Kilimanjaro kanë gjithashtu një formë trapezi.

Trapezi në jetën e përditshme: Trapezi përdoret edhe në jetën e përditshme, sepse forma e tij është praktike. Gjendet në objekte si: kovë ekskavatori, tavolinë, vidë, makinë.

Trapezi është një simbol i arkitekturës Inka. Forma stilistike mbizotëruese në arkitekturën Inka është e thjeshtë, por e këndshme - trapezi. Ajo ka jo vetëm rëndësi funksionale, por edhe dizajn artistik rreptësisht të kufizuar. Portat e dyerve, dritaret dhe kamaret trapezoidale gjenden në ndërtesa të të gjitha llojeve, si në tempuj ashtu edhe në ndërtesa më të vogla me ndërtime më të vrazhda, si të thuash. Trapezi gjendet edhe në arkitekturën moderne. Kjo formë ndërtesash është e pazakontë, ndaj ndërtesa të tilla tërheqin gjithmonë sytë e kalimtarëve.

Trapezi në teknologji: Trapezi përdoret në projektimin e pjesëve në teknologjinë hapësinore dhe aviacionin. Për shembull, disa panele diellore në stacionet hapësinore kanë formën e një trapezi sepse kanë një sipërfaqe të madhe, që do të thotë se grumbullojnë më shumë energji diellore.

Në shekullin e 21-të, njerëzit praktikisht nuk mendojnë më për kuptimin e formave gjeometrike në jetën e tyre. Atyre nuk u intereson fare se çfarë forme janë tavolina, syzet apo telefoni i tyre. Ata thjesht zgjedhin formën që është praktike. Por përdorimi i objektit, qëllimi i tij dhe rezultati i punës mund të varen nga forma e kësaj apo asaj gjëje. Sot ju njohëm me një nga arritjet më të mëdha të njerëzimit - trapezin. Ne hapëm derën e botës së mrekullueshme të figurave, ju treguam sekretet e trapezit dhe ju treguam se gjeometria është kudo rreth nesh.

Lista e literaturës së përdorur

    Bolotov A.A., Prokhorenko V.I., Safonov V.F., Teoria dhe problemet e matematikës. Libri 1 Udhëzues studimi për aplikantët M.1998 Shtëpia botuese MPEI.

    Bykov A.A., Malyshev G.Yu., GUVS Fakulteti i Trajnimit Parauniversitar. Matematika. Manuali edukativo-metodologjik 4 pjesa M2004

    Gordin R.K. Planimetria. Libri i problemeve.

    Ivanov A.A. Ivanov A.P., Matematika: Një udhëzues për përgatitjen për Provimin e Unifikuar të Shtetit dhe pranimin në universitete - M: Shtëpia Botuese MIPT, 2003-288f. ISBN 5-89155-188-3

    Pigolkina T.S., Ministria e Arsimit dhe Shkencës e Federatës Ruse, Institucioni Federal Buxhetor i Shtetit Arsimor i Arsimit Shtesë për Fëmijë "ZFTSH Instituti i Fizikës dhe Teknologjisë në Moskë (Universiteti Shtetëror)". Matematika. Planimetria. Detyrat nr.2 për klasat e 10-ta (viti akademik 2012-2013).

    Pigolkina T.S., Planimetria (pjesa 1). M., Shtëpia Botuese e Universitetit të Hapur Rus 1992.

    Sharygin I.F Probleme të zgjedhura në gjeometri për provimet konkurruese në universitete (1987-1990) Revista Lvov "Quantor" 1991.

    Enciklopedia "Avanta Plus", Matematikë M., World of Encyclopedias Avanta 2009.

Aplikimi

1. Vërtetim i disa vetive të trapezit.

1. Një vijë e drejtë që kalon nëpër pikën e kryqëzimit të diagonaleve të një trapezi paralel me bazat e tij, kryqëzon anët anësore të trapezit në pikatK Dhe L . Vërtetoni se nëse bazat e një trapezi janë të barabarta A a Dhe , Kjo gjatësia e segmentit KL e barabartë me mesataren gjeometrike të bazave të trapezit. Dëshmi

LeRRETH - pika e kryqëzimit të diagonaleve,pas Krishtit = a, diell = Dhe . Direkt KL paralel me bazënpas Krishtit , pra,K RRETH║ pas Krishtit , trekëndëshatNË K RRETH DheKEQ janë të ngjashme, pra


(1)

(2)

Le të zëvendësojmë (2) në (1), marrim KO =

Po kështu L.O.= Pastaj K L = K.O. + L.O. =

    NË Për çdo trapezoid, mesi i bazave, pika e kryqëzimit të diagonaleve dhe pika e kryqëzimit të vazhdimit të anëve anësore shtrihen në të njëjtën vijë të drejtë.

    Vërtetim: Lërini zgjatimet e brinjëve të priten në pikëTE. Përmes pikësTE dhe periudhaRRETH kryqëzimet diagonalele të vizatojmë një vijë të drejtë CO.

K

Le të vërtetojmë se kjo vijë i ndan bazat në gjysmë.

RRETH domethënëseVM = x, MS = y, AN = Dhe, ND = v . Ne kemi:

∆ VKM ~ ∆AKN →

M

x

B

C

Y

∆ MK C ~ ∆NKD → →

Në këtë artikull ne do të përpiqemi të pasqyrojmë vetitë e një trapezi sa më plotësisht të jetë e mundur. Në veçanti, do të flasim për karakteristikat dhe vetitë e përgjithshme të një trapezi, si dhe për vetitë e një trapezi të gdhendur dhe një rrethi të gdhendur në një trapezoid. Do të prekim edhe vetitë e një trapezi izosceles dhe drejtkëndor.

Një shembull i zgjidhjes së një problemi duke përdorur vetitë e diskutuara do t'ju ndihmojë ta zgjidhni atë në kokën tuaj dhe të mbani mend më mirë materialin.

Trapez dhe të gjithë-të gjithë-të gjithë

Për të filluar, le të kujtojmë shkurtimisht se çfarë është një trapezoid dhe cilat koncepte të tjera lidhen me të.

Pra, një trapez është një figurë katërkëndëshe, dy anët e së cilës janë paralele me njëra-tjetrën (këto janë bazat). Dhe të dyja nuk janë paralele - këto janë anët.

Në një trapezoid, lartësia mund të ulet - pingul me bazat. Viza qendrore dhe diagonalet janë tërhequr. Është gjithashtu e mundur të vizatoni një përgjysmues nga çdo kënd i trapezit.

Tani do të flasim për vetitë e ndryshme që lidhen me të gjithë këta elementë dhe kombinimet e tyre.

Vetitë e diagonaleve trapezoide

Për ta bërë më të qartë, ndërsa jeni duke lexuar, skiconi trapezoidin ACME në një copë letër dhe vizatoni diagonale në të.

  1. Nëse gjeni mesin e secilës prej diagonaleve (le t'i quajmë këto pika X dhe T) dhe i lidhni ato, ju merrni një segment. Një nga vetitë e diagonaleve të një trapezi është se segmenti HT shtrihet në vijën e mesit. Dhe gjatësia e saj mund të merret duke e ndarë ndryshimin e bazave me dy: ХТ = (a – b)/2.
  2. Para nesh është i njëjti trapezoid ACME. Diagonalet kryqëzohen në pikën O. Le të shohim trekëndëshat AOE dhe MOK, të formuar nga segmente të diagonaleve së bashku me bazat e trapezit. Këta trekëndësha janë të ngjashëm. Koeficienti i ngjashmërisë k i trekëndëshave shprehet përmes raportit të bazave të trapezit: k = AE/KM.
    Raporti i sipërfaqeve të trekëndëshave AOE dhe MOK përshkruhet me koeficientin k 2 .
  3. I njëjti trapez, të njëjtat diagonale që ndërpriten në pikën O. Vetëm këtë herë do të shqyrtojmë trekëndëshat që formuan segmentet e diagonaleve së bashku me brinjët e trapezit. Zonat e trekëndëshave AKO dhe EMO janë të barabarta në madhësi - zonat e tyre janë të njëjta.
  4. Një pronë tjetër e një trapezi përfshin ndërtimin e diagonaleve. Pra, nëse vazhdoni anët e AK dhe ME në drejtim të bazës më të vogël, atëherë herët a vonë ato do të kryqëzohen në një pikë të caktuar. Tjetra, vizatoni një vijë të drejtë përmes mesit të bazave të trapezit. Ai kryqëzon bazat në pikat X dhe T.
    Nëse tani e zgjerojmë drejtëzën XT, atëherë ajo do të lidhë së bashku pikën e prerjes së diagonaleve të trapezit O, pikë në të cilën kryqëzohen zgjatimet e brinjëve dhe mesi i bazave X dhe T.
  5. Përmes pikës së prerjes së diagonaleve do të vizatojmë një segment që do të lidhë bazat e trapezit (T shtrihet në bazën më të vogël KM, X në AE më të madhe). Pika e kryqëzimit të diagonaleve e ndan këtë segment në raportin e mëposhtëm: TO/OX = KM/AE.
  6. Tani, përmes pikës së kryqëzimit të diagonaleve, do të vizatojmë një segment paralel me bazat e trapezit (a dhe b). Pika e kryqëzimit do ta ndajë atë në dy pjesë të barabarta. Ju mund të gjeni gjatësinë e segmentit duke përdorur formulën 2ab/(a + b).

Vetitë e vijës së mesme të një trapezi

Vizatoni vijën e mesme në trapez paralel me bazat e tij.

  1. Gjatësia e vijës së mesme të një trapezi mund të llogaritet duke shtuar gjatësitë e bazave dhe duke i ndarë ato në gjysmë: m = (a + b)/2.
  2. Nëse vizatoni ndonjë segment (lartësi, për shembull) përmes të dy bazave të trapezit, vija e mesme do ta ndajë atë në dy pjesë të barabarta.

Vetia përgjysmuese e trapezit

Zgjidhni çdo kënd të trapezit dhe vizatoni një përgjysmues. Le të marrim, për shembull, këndin KAE të trapezoidit tonë ACME. Pasi të keni përfunduar vetë ndërtimin, mund të verifikoni lehtësisht që përgjysmuesi shkëput nga baza (ose vazhdimi i tij në një vijë të drejtë jashtë vetë figurës) një segment me të njëjtën gjatësi si ana.

Vetitë e këndeve të trapezit

  1. Cilido nga dy çiftet e këndeve ngjitur me anën që zgjidhni, shuma e këndeve në çift është gjithmonë 180 0: α + β = 180 0 dhe γ + δ = 180 0.
  2. Le të lidhim mesin e bazave të trapezit me një segment TX. Tani le të shohim këndet në bazat e trapezit. Nëse shuma e këndeve për cilindo prej tyre është 90 0, gjatësia e segmentit TX mund të llogaritet lehtësisht bazuar në ndryshimin në gjatësitë e bazave, të ndarë në gjysmë: TX = (AE – KM)/2.
  3. Nëse vizat paralele vizatohen nëpër anët e një këndi trapezoid, ato do t'i ndajnë anët e këndit në segmente proporcionale.

Vetitë e një trapezi barabrinjës (barabrinjës).

  1. Në një trapezoid izoscelular, këndet në çdo bazë janë të barabarta.
  2. Tani ndërtoni përsëri një trapezoid për ta bërë më të lehtë të imagjinoni se për çfarë po flasim. Shikoni me kujdes bazën AE - kulmi i bazës së kundërt M është projektuar në një pikë të caktuar të vijës që përmban AE. Distanca nga kulmi A deri në pikën e projeksionit të kulmit M dhe vija e mesme e trapezit izoscelor janë të barabarta.
  3. Disa fjalë për vetinë e diagonaleve të një trapezi izosceles - gjatësitë e tyre janë të barabarta. Dhe gjithashtu këndet e prirjes së këtyre diagonaleve në bazën e trapezit janë të njëjta.
  4. Një rreth mund të përshkruhet vetëm rreth një trapezi dykëndësh, pasi shuma e këndeve të kundërta të një katërkëndëshi është 180 0 - një parakusht për këtë.
  5. Vetia e një trapezi izoscelular rrjedh nga paragrafi i mëparshëm - nëse një rreth mund të përshkruhet afër trapezit, ai është dykëndor.
  6. Nga veçoritë e një trapezi izoscelular rrjedh vetia e lartësisë së një trapezi: nëse diagonalet e tij kryqëzohen në kënde të drejta, atëherë gjatësia e lartësisë është e barabartë me gjysmën e shumës së bazave: h = (a + b)/2.
  7. Përsëri, vizatoni segmentin TX përmes pikave të mesit të bazave të trapezit - në një trapezoid izosceles është pingul me bazat. Dhe në të njëjtën kohë TX është boshti i simetrisë së një trapezi izosceles.
  8. Këtë herë, ulni lartësinë nga kulmi i kundërt i trapezit në bazën më të madhe (le ta quajmë atë a). Do të merrni dy segmente. Gjatësia e një mund të gjendet nëse gjatësitë e bazave shtohen dhe ndahen në gjysmë: (a + b)/2. E marrim të dytën kur zbresim më të voglin nga baza më e madhe dhe e ndajmë ndryshimin që rezulton me dy: (a – b)/2.

Vetitë e një trapezi të gdhendur në një rreth

Meqenëse tashmë po flasim për një trapezoid të gdhendur në një rreth, le të ndalemi në këtë çështje më në detaje. Në veçanti, ku qendra e rrethit është në lidhje me trapezin. Edhe këtu, rekomandohet që të merrni kohë për të marrë një laps dhe për të vizatuar atë që do të diskutohet më poshtë. Në këtë mënyrë do të kuptoni më shpejt dhe do të mbani mend më mirë.

  1. Vendndodhja e qendrës së rrethit përcaktohet nga këndi i prirjes së diagonales së trapezit në anën e saj. Për shembull, një diagonale mund të shtrihet nga maja e një trapezi në një kënd të drejtë në anën. Në këtë rast, baza më e madhe kryqëzon qendrën e rrethit të rrethuar pikërisht në mes (R = ½AE).
  2. Diagonalja dhe ana mund të takohen gjithashtu në një kënd të mprehtë - atëherë qendra e rrethit është brenda trapezoidit.
  3. Qendra e rrethit të rrethuar mund të jetë jashtë trapezit, përtej bazës së tij më të madhe, nëse ka një kënd të mpirë midis diagonales së trapezit dhe anës.
  4. Këndi i formuar nga diagonalja dhe baza e madhe e trapezit ACME (këndi i brendashkruar) është gjysma e këndit qendror që korrespondon me të: MAE = ½ MOE.
  5. Shkurtimisht rreth dy mënyrave për të gjetur rrezen e një rrethi të kufizuar. Metoda e parë: shikoni me kujdes vizatimin tuaj - çfarë shihni? Mund të vëreni lehtësisht se diagonalja e ndan trapezin në dy trekëndësha. Rrezja mund të gjendet nga raporti i brinjës së trekëndëshit me sinusin e këndit të kundërt, shumëzuar me dy. Për shembull, R = AE/2*sinAME. Në mënyrë të ngjashme, formula mund të shkruhet për secilën nga anët e të dy trekëndëshave.
  6. Metoda e dytë: gjeni rrezen e rrethit të rrethuar përmes zonës së trekëndëshit të formuar nga diagonalja, ana dhe baza e trapezit: R = AM*ME*AE/4*S AME.

Vetitë e një trapezi të rrethuar rreth një rrethi

Ju mund të vendosni një rreth në një trapezoid nëse plotësohet një kusht. Lexoni më shumë për të më poshtë. Dhe së bashku ky kombinim i figurave ka një numër karakteristikash interesante.

  1. Nëse një rreth është i gdhendur në një trapez, gjatësia e vijës së mesit të tij mund të gjendet lehtësisht duke shtuar gjatësitë e anëve dhe duke e ndarë shumën që rezulton në gjysmë: m = (c + d)/2.
  2. Për trapezoidin ACME, të përshkruar rreth një rrethi, shuma e gjatësive të bazave është e barabartë me shumën e gjatësive të anëve: AK + ME = KM + AE.
  3. Nga kjo veti e bazave të një trapezi rrjedh pohimi i kundërt: një rreth mund të brendashkrohet në një trapez shuma e bazave të të cilit është e barabartë me shumën e brinjëve të tij.
  4. Pika tangjente e një rrethi me rreze r të brendashkruar në një trapez e ndan anën në dy segmente, le t'i quajmë a dhe b. Rrezja e një rrethi mund të llogaritet duke përdorur formulën: r = √ab.
  5. Dhe një pronë më shumë. Për të shmangur konfuzionin, vizatoni edhe vetë këtë shembull. Ne kemi trapezoidin e vjetër ACME, të përshkruar rreth një rrethi. Ai përmban diagonale që priten në pikën O. Trekëndëshat AOK dhe EOM të formuar nga segmentet e diagonaleve dhe faqet anësore janë drejtkëndëshe.
    Lartësitë e këtyre trekëndëshave, të ulura në hipotenus (d.m.th., anët anësore të trapezit), përkojnë me rrezet e rrethit të brendashkruar. Dhe lartësia e trapezit përkon me diametrin e rrethit të gdhendur.

Vetitë e një trapezi drejtkëndor

Një trapez quhet drejtkëndor nëse njëri nga këndet e tij është i drejtë. Dhe vetitë e tij burojnë nga kjo rrethanë.

  1. Një trapez drejtkëndor ka një nga anët e tij pingul me bazën e tij.
  2. Lartësia dhe anët e një trapezi ngjitur me një kënd të drejtë janë të barabarta. Kjo ju lejon të llogaritni sipërfaqen e një trapezi drejtkëndor (formula e përgjithshme S = (a + b) * h/2) jo vetëm përmes lartësisë, por edhe përmes anës ngjitur me këndin e duhur.
  3. Për një trapezoid drejtkëndor, vetitë e përgjithshme të diagonaleve të një trapezi të përshkruar tashmë më sipër janë të rëndësishme.

Dëshmi e disa vetive të trapezit

Barazia e këndeve në bazën e një trapezi izoscelular:

  • Me siguri tashmë e keni marrë me mend se këtu do të na duhet përsëri trapezi AKME - vizatoni një trapezoid isosceles. Vizatoni një vijë të drejtë MT nga kulmi M, paralel me anën e AK (MT || AK).

Katërkëndëshi AKMT që rezulton është një paralelogram (AK || MT, KM || AT). Meqenëse ME = KA = MT, ∆ MTE është dykëndësh dhe MET = MTE.

AK || MT, pra MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

Ku qëndron AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.

Q.E.D.

Tani, bazuar në vetinë e një trapezi izoscelor (barazia e diagonaleve), vërtetojmë se trapezoidi ACME është dykëndor:

  • Për të filluar, le të vizatojmë një vijë të drejtë MX – MX || KE. Ne marrim një paralelogram KMHE (baza – MX || KE dhe KM || EX).

∆AMX është izoscelular, pasi AM = KE = MX, dhe MAX = MEA.

MH || KE, KEA = MXE, pra MAE = MXE.

Rezulton se trekëndëshat AKE dhe EMA janë të barabartë me njëri-tjetrin, sepse AM = KE dhe AE janë brinjë e përbashkët e dy trekëndëshave. Dhe gjithashtu MAE = MXE. Mund të konkludojmë se AK = ME, dhe nga kjo rezulton se trapezi AKME është dykëndor.

Detyra e rishikimit

Bazat e trapezit ACME janë 9 cm dhe 21 cm, ana anësore KA, e barabartë me 8 cm, formon një kënd prej 150 0 me bazën më të vogël. Ju duhet të gjeni zonën e trapezoidit.

Zgjidhje: Nga kulmi K e ulim lartësinë në bazën më të madhe të trapezit. Dhe le të fillojmë të shikojmë këndet e trapezit.

Këndet AEM dhe KAN janë të njëanshme. Kjo do të thotë që në total ata japin 180 0. Prandaj, KAN = 30 0 (bazuar në vetinë e këndeve trapezoidale).

Le të shqyrtojmë tani ΔANC drejtkëndëshe (besoj se kjo pikë është e qartë për lexuesit pa prova shtesë). Prej tij do të gjejmë lartësinë e trapezit KH - në një trekëndësh është një këmbë që shtrihet përballë këndit 30 0. Prandaj, KH = ½AB = 4 cm.

Ne gjejmë zonën e trapezit duke përdorur formulën: S ACME = (KM + AE) * KN/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 cm 2.

Pasthënie

Nëse e keni studiuar me kujdes dhe me kujdes këtë artikull, nuk keni qenë shumë dembel të vizatoni trapezoide për të gjitha vetitë e dhëna me një laps në duar dhe t'i analizoni ato në praktikë, duhet ta kishit zotëruar mirë materialin.

Sigurisht, këtu ka shumë informacione, të larmishme dhe ndonjëherë edhe konfuze: nuk është aq e vështirë të ngatërrosh vetitë e trapezit të përshkruar me vetitë e atij të mbishkruar. Por ju vetë e keni parë se ndryshimi është i madh.

Tani keni një përshkrim të detajuar të të gjitha vetive të përgjithshme të një trapezi. Si dhe vetitë dhe karakteristikat specifike të trapezoideve izoscele dhe drejtkëndëshe. Është shumë i përshtatshëm për t'u përdorur për t'u përgatitur për teste dhe provime. Provojeni vetë dhe ndajeni lidhjen me miqtë tuaj!

blog.site, kur kopjoni materialin plotësisht ose pjesërisht, kërkohet një lidhje me burimin origjinal.

\[(\Large(\tekst(Trapez i lirë)))\]

Përkufizimet

Një trapez është një katërkëndësh konveks në të cilin dy anët janë paralele dhe dy anët e tjera nuk janë paralele.

Anët paralele të një trapezi quhen bazat e tij, dhe dy anët e tjera quhen faqet e tij.

Lartësia e një trapezi është një pingul i zbritur nga çdo pikë e një baze në një bazë tjetër.

Teorema: vetitë e një trapezi

1) Shuma e këndeve në brinjë është \(180^\circ\) .

2) Diagonalet e ndajnë trapezin në katër trekëndësha, dy prej të cilëve janë të ngjashëm dhe dy të tjerët janë të barabartë në madhësi.

Dëshmi

1) Sepse \(AD\paralele BC\), atëherë këndet \(\këndi BAD\) dhe \(\këndi ABC\) janë të njëanshëm për këto vija dhe tërthorja \(AB\), prandaj, \(\këndi BAD +\këndi ABC=180^\circ\).

2) Sepse \(AD\parallel BC\) dhe \(BD\) janë një sekant, pastaj \(\këndi DBC=\këndi BDA\) shtrihen në tërthore.
Gjithashtu \(\këndi BOC=\këndi AOD\) si vertikal.
Prandaj, në dy kënde \(\trekëndësh BOC \sim \trekëndësh AOD\).

Le ta vërtetojmë këtë \(S_(\trekëndësh AOB)=S_(\trekëndësh COD)\). Le të jetë \(h\) lartësia e trapezit. Pastaj \(S_(\trekëndësh ABD)=\frac12\cdot h\cdot AD=S_(\trekëndësh ACD)\). Pastaj: \

Përkufizimi

Vija e mesme e një trapezi është një segment që lidh mesin e anëve.

Teorema

Vija e mesme e trapezit është paralele me bazat dhe e barabartë me gjysmën e shumës së tyre.


prova*

1) Le të vërtetojmë paralelizmin.


Le të vizatojmë përmes pikës \(M\) drejtëzën \(MN"\parallel AD\) (\(N"\në CD\) ). Pastaj, sipas teoremës së Talesit (pasi \(MN"\parallel AD\paralel BC, AM=MB\)) pika \(N"\) është mesi i segmentit \(CD\). Kjo do të thotë se pikat \(N\) dhe \(N"\) do të përkojnë.

2) Le të vërtetojmë formulën.

Le të bëjmë \(BB"\perp AD, CC"\perp AD\) . Le \(BB"\kap. MN=M", CC"\kap. MN=N"\).


Pastaj, sipas teoremës së Talesit, \(M"\) dhe \(N"\) janë përkatësisht pikat e mesme të segmenteve \(BB"\) dhe \(CC"\). Kjo do të thotë se \(MM"\) është vija e mesme e \(\trekëndëshit ABB"\) , \(NN"\) është vija e mesme e \(\trekëndëshit DCC"\) . Kjo është arsyeja pse: \

Sepse \(MN\parallel AD\paralel BC\) dhe \(BB", CC"\perp AD\), pastaj \(B"M"N"C"\) dhe \(BM"N"C\) janë drejtkëndësha. Sipas teoremës së Talesit, nga \(MN\paralele AD\) dhe \(AM=MB\) rrjedh se \(B"M"=M"B\) . Prandaj, \(B"M"N"C "\) dhe \(BM"N"C\) janë drejtkëndësha të barabartë, pra, \(M"N"=B"C"=BC\) .

Kështu:

\ \[=\dfrac12 \majtas(AB"+B"C"+BC+C"D\djathtas)=\dfrac12\left(AD+BC\djathtas)\]

Teorema: veti e një trapezi arbitrar

Pikat e mesit të bazave, pika e kryqëzimit të diagonaleve të trapezit dhe pika e kryqëzimit të zgjatimeve të anëve anësore shtrihen në të njëjtën vijë të drejtë.


prova*
Rekomandohet që të njiheni me provën pasi të keni studiuar temën "Ngjashmëria e trekëndëshave".

1) Le të vërtetojmë se pikat \(P\), \(N\) dhe \(M\) shtrihen në të njëjtën linjë.


Le të vizatojmë një vijë të drejtë \(PN\) (\(P\) është pika e kryqëzimit të zgjatimeve të anëve anësore, \(N\) është mesi i \(BC\)). Lëreni të presë anën \(AD\) në pikën \(M\) . Le të vërtetojmë se \(M\) është mesi i \(AD\) .

Konsideroni \(\trekëndësh BPN\) dhe \(\trekëndësh APM\) . Ato janë të ngjashme në dy kënde (\(\këndi APM\) - i përgjithshëm, \(\këndi PAM=\këndi PBN\) si korrespondues në \(AD\parallel BC\) dhe \(AB\) secant). Do të thotë: \[\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(PN)(PM)\]

Konsideroni \(\trekëndësh CPN\) dhe \(\trekëndësh DPM\) . Ato janë të ngjashme në dy kënde (\(\këndi DPM\) - i përgjithshëm, \(\këndi PDM=\këndi PCN\) si korrespondues në \(AD\parallel BC\) dhe \(CD\) secant). Do të thotë: \[\dfrac(CN)(DM)=\dfrac(PN)(PM)\]

Nga këtu \(\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(CN)(DM)\). Por \(BN=NC\) prandaj \(AM=DM\) .

2) Le të vërtetojmë se pikat \(N, O, M\) shtrihen në të njëjtën drejtëz.


Le të jetë \(N\) mesi i \(BC\) dhe \(O\) pika e prerjes së diagonaleve. Le të vizatojmë një vijë të drejtë \(JO\) , ajo do të presë anën \(AD\) në pikën \(M\) . Le të vërtetojmë se \(M\) është mesi i \(AD\) .

\(\trekëndëshi BNO\sim \trekëndëshi DMO\) përgjatë dy këndeve (\(\këndi OBN=\këndi ODM\) i shtrirë në mënyrë tërthore në \(BC\paralel AD\) dhe \(BD\) secant; \(\këndi BON=\këndi DOM\) si vertikal). Do të thotë: \[\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(ON)(OM)\]

Po kështu \(\trekëndëshi CON\sim \trekëndëshi AOM\). Do të thotë: \[\dfrac(CN)(MA)=\dfrac(ON)(OM)\]

Nga këtu \(\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(CN)(MA)\). Por \(BN=CN\) prandaj \(AM=MD\) .

\[(\Large(\tekst(trapezoid isosceles)))\]

Përkufizimet

Një trapez quhet drejtkëndor nëse njëri nga këndet e tij është i drejtë.

Një trapezoid quhet izoscelular nëse anët e tij janë të barabarta.

Teorema: vetitë e një trapezi izoscelular

1) Një trapezoid izoscelular ka kënde të barabarta bazë.

2) Diagonalet e një trapezi dykëndor janë të barabarta.

3) Dy trekëndësha të formuar nga diagonale dhe një bazë janë dykëndësha.

Dëshmi

1) Konsideroni trapezoidin isosceles \(ABCD\) .

Nga kulmet \(B\) dhe \(C\), ne hedhim perpendikularët \(BM\) dhe \(CN\) në anën \(AD\), respektivisht. Meqenëse \(BM\perp AD\) dhe \(CN\perp AD\) , atëherë \(BM\paralel CN\) ; \(AD\parallel BC\) , atëherë \(MBCN\) është një paralelogram, pra, \(BM = CN\) .

Merrni parasysh trekëndëshat kënddrejtë \(ABM\) dhe \(CDN\) . Meqenëse hipotenuset e tyre janë të barabarta dhe kema \(BM\) është e barabartë me këmbën \(CN\), atëherë këta trekëndësha janë të barabartë, pra, \(\këndi DAB = \këndi CDA\) .

2)

Sepse \(AB=CD, \këndi A=\këndi D, AD\)- e përgjithshme, pastaj sipas shenjës së parë. Prandaj, \(AC=BD\) .

3) Sepse \(\trekëndësh ABD=\trekëndësh ACD\), pastaj \(\këndi BDA=\këndi CAD\) . Prandaj, trekëndëshi \(\trekëndëshi AOD\) është dykëndësh. Në mënyrë të ngjashme, vërtetohet se \(\trekëndëshi BOC\) është dykëndësh.

Teorema: shenjat e një trapezi izoscelular

1) Nëse një trapezoid ka kënde bazë të barabarta, atëherë ai është dykëndor.

2) Nëse një trapezoid ka diagonale të barabarta, atëherë ai është dykëndor.

Dëshmi

Konsideroni trapezin \(ABCD\) të tillë që \(\këndi A = \këndi D\) .


Le të plotësojmë trapezin në trekëndëshin \(AED\) siç tregohet në figurë. Meqenëse \(\këndi 1 = \këndi 2\) , atëherë trekëndëshi \(AED\) është dykëndësh dhe \(AE = ED\) . Këndet \(1\) dhe \(3\) janë të barabarta si kënde përkatëse për drejtëzat paralele \(AD\) dhe \(BC\) dhe tërthore \(AB\). Në mënyrë të ngjashme, këndet \(2\) dhe \(4\) janë të barabartë, por \(\këndi 1 = \këndi 2\), atëherë \(\këndi 3 = \këndi 1 = \këndi 2 = \këndi 4\), pra, trekëndëshi \(BEC\) është gjithashtu dykëndësh dhe \(BE = EC\) .

Në fund \(AB = AE - BE = DE - CE = CD\), pra \(AB = CD\), që është ajo që duhej vërtetuar.

2) Le të \(AC=BD\) . Sepse \(\trekëndëshi AOD\sim \trekëndëshi BOC\), atëherë shënojmë koeficientin e ngjashmërisë së tyre si \(k\) . Atëherë nëse \(BO=x\) , atëherë \(OD=kx\) . Ngjashëm me \(CO=y \Rightarrow AO=ky\) .


Sepse \(AC=BD\) , pastaj \(x+kx=y+ky \Djathtas shigjetë x=y\) . Kjo do të thotë se \(\trekëndëshi AOD\) është dykëndësh dhe \(\këndi OAD=\këndi ODA\) .

Kështu, sipas shenjës së parë \(\trekëndësh ABD=\trekëndësh ACD\) (\(AC=BD, \këndi OAD=\këndi ODA, AD\)- e përgjithshme). Pra, \(AB=CD\) , pse.

Rreth i rrethuar dhe trapez. Përshëndetje! Ekziston një botim tjetër për ju, në të cilin do të shqyrtojmë problemet me trapezoidët. Detyrat janë pjesë e provimit të matematikës. Këtu ato kombinohen në një grup jo vetëm një trapezoid, por një kombinim trupash - një trapezoid dhe një rreth. Shumica e këtyre problemeve zgjidhen me gojë. Por ka edhe nga ato që duhet t'i kushtohet vëmendje e veçantë, për shembull, detyrës 27926.

Çfarë teorie duhet të mbani mend? Kjo:

Problemet me trapezoidët që janë të disponueshëm në blog mund të shihen Këtu.

27924. Rreth një trapezi është përshkruar një rreth. Perimetri i trapezit është 22, vija e mesme është 5. Gjeni anën e trapezit.

Vini re se një rreth mund të përshkruhet vetëm rreth një trapezi izosceles. Na jepet vija e mesme, që do të thotë se mund të përcaktojmë shumën e bazave, domethënë:

Kjo do të thotë se shuma e anëve do të jetë e barabartë me 22–10=12 (perimetri minus bazën). Meqenëse anët e një trapezi izoscelular janë të barabarta, njëra anë do të jetë e barabartë me gjashtë.

27925. Ana anësore e një trapezi izoscelular është e barabartë me bazën e tij më të vogël, këndi në bazë është 60 0, baza më e madhe është 12. Gjeni rrethin e këtij trapezi.

Nëse keni zgjidhur probleme me një rreth dhe një gjashtëkëndësh të gdhendur në të, atëherë menjëherë do të shprehni përgjigjen - rrezja është 6. Pse?

Shikoni: një trapez izoscelular me një kënd bazë të barabartë me 60 0 dhe brinjë të barabarta AD, DC dhe CB, është gjysma e një gjashtëkëndëshi të rregullt:

Në një gjashtëkëndësh të tillë, segmenti që lidh kulmet e kundërta kalon nëpër qendrën e rrethit. *Qendra e gjashtëkëndëshit dhe qendra e rrethit përkojnë, më shumë detaje

Kjo do të thotë, baza më e madhe e këtij trapezi përkon me diametrin e rrethit të rrethuar. Pra, rrezja është gjashtë.

*Sigurisht, mund të konsiderojmë barazinë e trekëndëshave ADO, DOC dhe OCB. Vërtetoni se janë barabrinjës. Më pas, konkludoni se këndi AOB është i barabartë me 180 0 dhe pika O është e barabartë nga kulmet A, D, C dhe B, dhe për këtë arsye AO=OB=12/2=6.

27926. Bazat e një trapezi dykëndor janë 8 dhe 6. Rrezja e rrethit të rrethuar është 5. Gjeni lartësinë e trapezit.

Vini re se qendra e rrethit të rrethuar shtrihet në boshtin e simetrisë dhe nëse ndërtojmë lartësinë e trapezit që kalon përmes kësaj qendre, atëherë kur ai të kryqëzohet me bazat do t'i ndajë ato në gjysmë. Le ta tregojmë këtë në skicë dhe gjithashtu të lidhim qendrën me kulmet:

Segmenti EF është lartësia e trapezit, ne duhet ta gjejmë atë.

Në trekëndëshin kënddrejtë OFC ne njohim hipotenuzën (kjo është rrezja e rrethit), FC=3 (pasi DF=FC). Duke përdorur teoremën e Pitagorës mund të llogarisim OF:

Në trekëndëshin kënddrejtë OEB, dihet hipotenuza (kjo është rrezja e rrethit), EB=4 (meqë AE=EB). Duke përdorur teoremën e Pitagorës mund të llogarisim OE:

Kështu EF=FO+OE=4+3=7.

Tani një nuancë e rëndësishme!

Në këtë problem, figura tregon qartë se bazat shtrihen në anët e kundërta të qendrës së rrethit, kështu që problemi zgjidhet në këtë mënyrë.

Po sikur kushtet të mos përfshijnë një skicë?

Atëherë problemi do të kishte dy përgjigje. Pse? Shikoni me kujdes - dy trapezoide me baza të dhëna mund të futen në çdo rreth:

*Dmth, duke pasur parasysh bazat e trapezit dhe rrezen e rrethit, ekzistojnë dy trapezoide.

Dhe zgjidhja për "opsionin e dytë" do të jetë si më poshtë.

Duke përdorur teoremën e Pitagorës ne llogarisim OF:

Le të llogarisim gjithashtu OE:

Kështu EF=FO–OE=4–3=1.

Sigurisht, në një problem me një përgjigje të shkurtër në Provimin e Bashkuar të Shtetit nuk mund të ketë dy përgjigje dhe një problem i ngjashëm nuk do të jepet pa një skicë. Prandaj, kushtojini vëmendje të veçantë skicës! Domethënë: si ndodhen bazat e trapezit. Por në detyrat me një përgjigje të detajuar, kjo ishte e pranishme në vitet e kaluara (me një gjendje pak më të komplikuar). Kushdo që konsideroi vetëm një opsion për vendndodhjen e trapezoidit humbi një pikë në këtë detyrë.

27937. Një trapez është i rrethuar rreth një rrethi, perimetri i të cilit është 40. Gjeni vijën e mesit të tij.

Këtu duhet të kujtojmë menjëherë vetinë e një katërkëndëshi të rrethuar rreth një rrethi:

Shumat e anëve të kundërta të çdo katërkëndëshi të rrethuar rreth një rrethi janë të barabarta.



Artikulli i mëparshëm: Artikulli vijues:

© 2015 .
Rreth sajtit | Kontaktet | Harta e faqes