Si të merrni një numër të thjeshtë. Libri "Numrat kryesorë"

Teorema.

Ka një numër të pafund numrash të thjeshtë.

Dëshmi.

Le të supozojmë se nuk është kështu. Kjo do të thotë, supozojmë se ka vetëm n numra të thjeshtë, dhe këta numra të thjeshtë janë p 1, p 2, ..., p n. Le të tregojmë se gjithmonë mund të gjejmë një numër të thjeshtë të ndryshëm nga ata të treguar.

Konsideroni numrin p të barabartë me p 1 ·p 2 ·…·p n +1. Është e qartë se ky numër është i ndryshëm nga secili prej numrave të thjeshtë p 1, p 2, ..., p n. Nëse numri p është i thjeshtë, atëherë teorema vërtetohet. Nëse ky numër është i përbërë, atëherë në bazë të teoremës së mëparshme ekziston një pjesëtues kryesor i këtij numri (e shënojmë p n+1). Le të tregojmë se ky pjesëtues nuk përkon me asnjë nga numrat p 1, p 2, ..., p n.

Nëse nuk do të ishte kështu, atëherë, sipas vetive të pjesëtueshmërisë, prodhimi p 1 ·p 2 ·…·p n do të pjesëtohet me p n+1. Por numri p është gjithashtu i pjesëtueshëm me p n+1, i barabartë me shumën p 1 ·p 2 ·…·p n +1. Nga kjo rrjedh se p n+1 duhet të ndajë termin e dytë të kësaj shume, e cila është e barabartë me një, por kjo është e pamundur.

Kështu, është vërtetuar se gjithmonë mund të gjendet një numër i ri i thjeshtë që nuk përfshihet në asnjë numër numrash të thjeshtë të paracaktuar. Prandaj, ka pafundësisht shumë numra të thjeshtë.

Pra, për faktin se ka një numër të pafund numrash të thjeshtë, kur përpiloni tabela të numrave të thjeshtë, gjithmonë kufizoheni nga lart në një numër, zakonisht 100, 1.000, 10.000, etj.

Sita e Eratosthenes

Tani do të diskutojmë mënyrat për të krijuar tabela të numrave të thjeshtë. Supozoni se duhet të bëjmë një tabelë me numra të thjeshtë deri në 100.

Metoda më e dukshme për zgjidhjen e këtij problemi është të kontrolloni në mënyrë sekuenciale numrat e plotë pozitivë, duke filluar nga 2 dhe duke përfunduar me 100, për praninë e një pjesëtuesi pozitiv që është më i madh se 1 dhe më i vogël se numri që testohet (nga vetitë e pjesëtueshmërisë që dimë se vlera absolute e pjesëtuesit nuk e kalon vlerën absolute të dividentit, jo zero). Nëse një pjesëtues i tillë nuk gjendet, atëherë numri që testohet është i thjeshtë dhe ai futet në tabelën e numrave të thjeshtë. Nëse gjendet një pjesëtues i tillë, atëherë numri që testohet është i përbërë, NUK futet në tabelën e numrave të thjeshtë. Pas kësaj, kalimi ndodh në numrin tjetër, i cili kontrollohet në mënyrë të ngjashme për praninë e një pjesëtuesi.

Le të përshkruajmë hapat e parë.

Fillojmë me numrin 2. Numri 2 nuk ka pjesëtues pozitivë përveç 1 dhe 2. Prandaj, është e thjeshtë, prandaj e fusim në tabelën e numrave të thjeshtë. Këtu duhet thënë se 2 është numri më i vogël i thjeshtë. Le të kalojmë në numrin 3. Pjesëtuesi i tij pozitiv i mundshëm përveç 1 dhe 3 është numri 2. Por 3 nuk është i pjesëtueshëm me 2, prandaj, 3 është një numër i thjeshtë, dhe gjithashtu duhet të përfshihet në tabelën e numrave të thjeshtë. Le të kalojmë në numrin 4. Pjesëtuesit e tij pozitivë përveç 1 dhe 4 mund të jenë numrat 2 dhe 3, le t'i kontrollojmë ato. Numri 4 është i pjesëtueshëm me 2, prandaj, 4 është një numër i përbërë dhe nuk ka nevojë të përfshihet në tabelën e numrave të thjeshtë. Ju lutemi vini re se 4 është numri më i vogël i përbërë. Le të kalojmë në numrin 5. Kontrollojmë nëse të paktën njëri nga numrat 2, 3, 4 është pjesëtuesi i tij. Meqenëse 5 nuk pjesëtohet me 2, 3 ose 4, atëherë ai është i thjeshtë dhe duhet të shkruhet në tabelën e numrave të thjeshtë. Pastaj ka një kalim në numrat 6, 7 dhe kështu me radhë deri në 100.

Kjo qasje për të përpiluar një tabelë të numrave të thjeshtë është larg nga idealja. Në një mënyrë apo tjetër, ai ka të drejtë të ekzistojë. Vini re se me këtë metodë të ndërtimit të një tabele me numra të plotë, mund të përdorni kriteret e pjesëtueshmërisë, të cilat do të shpejtojnë paksa procesin e gjetjes së pjesëtuesve.

Ekziston një mënyrë më e përshtatshme për të krijuar një tabelë me numra të thjeshtë, të quajtur. Fjala "sitë" e pranishme në emër nuk është e rastësishme, pasi veprimet e kësaj metode ndihmojnë, si të thuash, për të "shoshitur" numrat e plotë dhe njësitë e mëdha përmes sitës së Eratosthenes për të ndarë ato të thjeshta nga ato të përbëra.

Le të tregojmë sitën e Eratosthenit në veprim kur përpilojmë një tabelë me numrat e thjeshtë deri në 50.

Fillimisht, shkruani me radhë numrat 2, 3, 4, ..., 50.

Numri i parë i shkruar, 2, është i thjeshtë. Tani, nga numri 2, lëvizim në mënyrë sekuenciale në të djathtë me dy numra dhe i kalojmë këta numra derisa të arrijmë në fund të tabelës së numrave që përpilohet. Kjo do të kalojë të gjithë numrat që janë shumëfish të dy.

Numri i parë pas 2 që nuk është gërmuar është 3. Ky numër është i thjeshtë. Tani, nga numri 3, ne lëvizim në mënyrë sekuenciale në të djathtë me tre numra (duke marrë parasysh numrat e kryqëzuar tashmë) dhe i kalojmë ato. Kjo do të kalojë të gjithë numrat që janë shumëfish të tre.

Numri i parë pas 3 që nuk është gërmuar është 5. Ky numër është i thjeshtë. Tani nga numri 5 ne lëvizim vazhdimisht në të djathtë me 5 numra (ne marrim parasysh edhe numrat e kryqëzuar më parë) dhe i kalojmë ato. Kjo do të kalojë të gjithë numrat që janë shumëfish të pesë.

Më pas, kryqëzojmë numrat që janë shumëfish të 7-ës, pastaj shumëfisha të 11-ës, e kështu me radhë. Procesi përfundon kur nuk ka më numra për të kryqëzuar. Më poshtë është tabela e plotësuar e numrave të thjeshtë deri në 50, të marra duke përdorur sitën e Eratosthenes. Të gjithë numrat e pakryqëzuar janë të thjeshtë dhe të gjithë numrat e kryqëzuar janë të përbërë.

Le të formulojmë dhe vërtetojmë gjithashtu një teoremë që do të përshpejtojë procesin e përpilimit të një tabele me numra të thjeshtë duke përdorur sitën e Eratosthenes.

Teorema.

Pjesëtuesi më i vogël pozitiv i një numri të përbërë a që është i ndryshëm nga një nuk e kalon , ku është nga a .

Dëshmi.

Le të shënojmë me shkronjën b pjesëtuesin më të vogël të një numri të përbërë a që është i ndryshëm nga një (numri b është i thjeshtë, siç vijon nga teorema e provuar në fillim të paragrafit të mëparshëm). Pastaj ka një numër të plotë q i tillë që a=b·q (këtu q është një numër i plotë pozitiv, i cili rrjedh nga rregullat e shumëzimit të numrave të plotë), dhe (për b>q kushti që b është pjesëtuesi më i vogël i a është shkelur , meqë q është edhe pjesëtues i numrit a për shkak të barazisë a=q·b ). Duke shumëzuar të dyja anët e pabarazisë me një pozitiv dhe një numër të plotë më të madh se një (ne lejohet ta bëjmë këtë), marrim , Nga e cila dhe .

Çfarë na jep teorema e provuar në lidhje me sitën e Eratosthenes?

Së pari, kryqëzimi i numrave të përbërë që janë shumëfish të një numri të thjeshtë b duhet të fillojë me një numër të barabartë me (kjo rrjedh nga pabarazia). Për shembull, kryqëzimi i numrave që janë shumëfish të dy duhet të fillojë me numrin 4, shumëfishat e tre me numrin 9, shumëfishat e pesë me numrin 25, e kështu me radhë.

Së dyti, përpilimi i një tabele me numra të thjeshtë deri në numrin n duke përdorur sitën e Eratosthenes mund të konsiderohet i plotë kur të gjithë numrat e përbërë që janë shumëfisha të numrave të thjeshtë që nuk e kalojnë . Në shembullin tonë, n=50 (pasi po bëjmë një tabelë me numrat e thjeshtë deri në 50) dhe, për rrjedhojë, sita e Eratosthenes duhet të eliminojë të gjithë numrat e përbërë që janë shumëfish të numrave të thjeshtë 2, 3, 5 dhe 7 që bëjnë të mos kalojë rrënjën katrore aritmetike prej 50. Kjo do të thotë, ne nuk kemi më nevojë të kërkojmë dhe të kryqëzojmë numra që janë shumëfish të numrave të thjeshtë 11, 13, 17, 19, 23 e kështu me radhë deri në 47, pasi ata tashmë do të kryqëzohen si shumëfisha të numrave të thjeshtë 2. , 3, 5 dhe 7.

A është ky numër i thjeshtë apo i përbërë?

Disa detyra kërkojnë të zbulohet nëse një numër i caktuar është i thjeshtë apo i përbërë. Në përgjithësi, kjo detyrë nuk është aspak e thjeshtë, veçanërisht për numrat, shkrimi i të cilëve përbëhet nga një numër i konsiderueshëm karakteresh. Në shumicën e rasteve, duhet të kërkoni një mënyrë specifike për ta zgjidhur atë. Megjithatë, ne do të përpiqemi t'i japim drejtim trenit të mendimit për raste të thjeshta.

Sigurisht, mund të provoni të përdorni teste pjesëtueshmërie për të vërtetuar se një numër i caktuar është i përbërë. Nëse, për shembull, një test i pjesëtueshmërisë tregon se një numër i caktuar është i pjesëtueshëm me një numër të plotë pozitiv më të madh se një, atëherë numri origjinal është i përbërë.

Shembull.

Vërtetoni se 898,989,898,989,898,989 është një numër i përbërë.

Zgjidhje.

Shuma e shifrave të këtij numri është 9·8+9·9=9·17. Meqenëse numri i barabartë me 9·17 është i pjesëtueshëm me 9, atëherë me kriterin e pjesëtueshmërisë me 9 mund të argumentohet se numri fillestar është gjithashtu i pjesëtueshëm me 9. Prandaj, është i përbërë.

Një pengesë e rëndësishme e kësaj qasjeje është se kriteret e pjesëtueshmërisë nuk lejojnë që dikush të vërtetojë parësinë e një numri. Prandaj, kur kontrolloni një numër për të parë nëse është i thjeshtë apo i përbërë, duhet të vazhdoni ndryshe.

Qasja më logjike është të provoni të gjithë pjesëtuesit e mundshëm të një numri të caktuar. Nëse asnjë nga pjesëtuesit e mundshëm nuk është pjesëtues i vërtetë i një numri të caktuar, atëherë ky numër do të jetë i thjeshtë, përndryshe do të jetë i përbërë. Nga teoremat e vërtetuara në paragrafin e mëparshëm, rezulton se pjesëtuesit e një numri të caktuar a duhet të kërkohen midis numrave të thjeshtë që nuk e kalojnë . Kështu, një numër i dhënë a mund të ndahet në mënyrë sekuenciale me numrat e thjeshtë (të cilët merren me lehtësi nga tabela e numrave të thjeshtë), duke u përpjekur të gjejë pjesëtuesin e numrit a. Nëse gjendet një pjesëtues, atëherë numri a është i përbërë. Nëse midis numrave të thjeshtë që nuk e kalojnë , nuk ka pjesëtues të numrit a, atëherë numri a është i thjeshtë.

Shembull.

Numri 11 723 e thjeshtë apo e përbërë?

Zgjidhje.

Le të zbulojmë deri në cilin numër të thjeshtë mund të jenë pjesëtuesit e numrit 11723. Për ta bërë këtë, le të vlerësojmë.

Është mjaft e qartë se , që nga viti 200 2 =40,000, dhe 11,723<40 000 (при необходимости смотрите статью krahasimi i numrave). Kështu, faktorët kryesorë të mundshëm prej 11,723 janë më pak se 200. Kjo tashmë e bën detyrën tonë shumë më të lehtë. Nëse nuk do ta dinim këtë, atëherë do të duhej të kalonim nëpër të gjithë numrat e thjeshtë jo deri në 200, por deri në numrin 11,723.

Nëse dëshironi, mund të vlerësoni më saktë. Meqenëse 108 2 = 11,664, dhe 109 2 = 11,881, atëherë 108 2<11 723<109 2 , следовательно, . Kështu, çdo nga numrat e thjeshtë më të vogël se 109 është potencialisht një faktor kryesor i numrit të dhënë 11,723.

Tani do ta ndajmë në mënyrë sekuenciale numrin 11,723 në numrat e thjeshtë 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, , 73 , 79 , 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 . Nëse numri 11.723 pjesëtohet me një nga numrat e thjeshtë të shkruar, atëherë ai do të jetë i përbërë. Nëse nuk pjesëtohet me asnjë nga numrat e thjeshtë të shkruar, atëherë numri origjinal është i thjeshtë.

Ne nuk do ta përshkruajmë gjithë këtë proces monoton dhe monoton të ndarjes. Le të themi menjëherë se 11,723

• Përkthimi

Vetitë e numrave të thjeshtë u studiuan fillimisht nga matematikanët e Greqisë antike. Matematikanët e shkollës së Pitagorës (500 - 300 pes) ishin të interesuar kryesisht për vetitë mistike dhe numerologjike të numrave të thjeshtë. Ata ishin të parët që dolën me ide për numra të përsosur dhe miqësorë.

Një numër i përsosur ka një shumë të pjesëtuesve të tij të barabartë me vetveten. Për shembull, pjesëtuesit e duhur të numrit 6 janë 1, 2 dhe 3. 1 + 2 + 3 = 6. Pjesëtuesit e numrit 28 janë 1, 2, 4, 7 dhe 14. Për më tepër, 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

Numrat quhen miqësorë nëse shuma e pjesëtuesve të duhur të një numri është e barabartë me një tjetër, dhe anasjelltas - për shembull, 220 dhe 284. Mund të themi se një numër i përsosur është miqësor me vetveten.

Në kohën e Elementeve të Euklidit në vitin 300 p.e.s. Tashmë janë vërtetuar disa fakte të rëndësishme për numrat e thjeshtë. Në Librin IX të Elementeve, Euklidi vërtetoi se ka një numër të pafund të numrave të thjeshtë. Ky, meqë ra fjala, është një nga shembujt e parë të përdorimit të provës me kontradiktë. Ai vërteton gjithashtu Teoremën Themelore të Aritmetikës - çdo numër i plotë mund të përfaqësohet në mënyrë unike si produkt i numrave të thjeshtë.

Ai gjithashtu tregoi se nëse numri 2n-1 është i thjeshtë, atëherë numri 2n-1 * (2n-1) do të jetë i përsosur. Një tjetër matematikan, Euler, ishte në gjendje të tregonte në 1747 se të gjithë numrat madje të përsosur mund të shkruhen në këtë formë. Deri më sot nuk dihet nëse ekzistojnë numra të përsosur tek.

Në vitin 200 p.e.s. Eratosthenes grek doli me një algoritëm për gjetjen e numrave të thjeshtë të quajtur "Sosha e Eratosthenes".

Dhe pastaj pati një ndërprerje të madhe në historinë e studimit të numrave të thjeshtë, të lidhur me Mesjetën.

Zbulimet e mëposhtme u bënë tashmë në fillim të shekullit të 17-të nga matematikani Fermat. Ai vërtetoi hamendjen e Albert Girard se çdo numër i thjeshtë i formës 4n+1 mund të shkruhet në mënyrë unike si shuma e dy katrorëve, dhe gjithashtu formuloi teoremën se çdo numër mund të shkruhet si shuma e katër katrorëve.

Ai zhvilloi një metodë të re për faktorizimin e numrave të mëdhenj dhe e demonstroi atë në numrin 2027651281 = 44021 × 46061. Ai gjithashtu vërtetoi Teoremën e vogël të Fermatit: nëse p është një numër i thjeshtë, atëherë për çdo numër të plotë a do të jetë e vërtetë se a p = një modul fq.

Ky pohim vërteton gjysmën e asaj që njihej si "hamendja kineze" dhe daton 2000 vjet më parë: numri i plotë n është i thjeshtë nëse dhe vetëm nëse 2 n -2 pjesëtohet me n. Pjesa e dytë e hipotezës doli të jetë e rreme - për shembull, 2,341 - 2 është i ndashëm me 341, megjithëse numri 341 është i përbërë: 341 = 31 × 11.

Teorema e vogël e Fermatit shërbeu si bazë për shumë rezultate të tjera në teorinë e numrave dhe metodat për të testuar nëse numrat janë të thjeshtë - shumë prej të cilave përdoren ende sot.

Fermat korrespondonte shumë me bashkëkohësit e tij, veçanërisht me një murg të quajtur Maren Mersenne. Në një nga letrat e tij, ai hipotezoi se numrat e formës 2 n +1 do të jenë gjithmonë të thjeshtë nëse n është një fuqi e dy. Ai e testoi këtë për n = 1, 2, 4, 8 dhe 16 dhe ishte i bindur se në rastin kur n nuk ishte një fuqi e dy, numri nuk ishte domosdoshmërisht i thjeshtë. Këta numra quhen numrat e Fermatit, dhe vetëm 100 vjet më vonë Euler tregoi se numri tjetër, 2 32 + 1 = 4294967297, është i pjesëtueshëm me 641, dhe për këtë arsye nuk është i thjeshtë.

Numrat e formës 2 n - 1 kanë qenë gjithashtu objekt studimi, pasi është e lehtë të tregohet se nëse n është i përbërë, atëherë edhe vetë numri është i përbërë. Këta numra quhen numra Mersenne sepse ai i studioi ato gjerësisht.

Por jo të gjithë numrat e formës 2 n - 1, ku n është i thjeshtë, janë të thjeshtë. Për shembull, 2 11 - 1 = 2047 = 23 * 89. Kjo u zbulua për herë të parë në 1536.

Për shumë vite, numrat e këtij lloji u dhanë matematikanëve numrat kryesorë më të mëdhenj të njohur. Se M 19 u vërtetua nga Cataldi në 1588, dhe për 200 vjet ishte numri më i madh i njohur, derisa Euler vërtetoi se M 31 ishte gjithashtu i thjeshtë. Ky rekord qëndroi për njëqind vjet të tjera, dhe më pas Lucas tregoi se M 127 është kryeministër (dhe ky është tashmë një numër prej 39 shifrash), dhe pas kësaj kërkimi vazhdoi me ardhjen e kompjuterëve.

Në vitin 1952, u vërtetua parësia e numrave M 521, M 607, M 1279, M 2203 dhe M 2281.

Deri në vitin 2005, ishin gjetur 42 primare Mersenne. Më i madhi prej tyre, M 25964951, përbëhet nga 7816230 shifra.

Puna e Euler pati një ndikim të madh në teorinë e numrave, duke përfshirë numrat e thjeshtë. Ai zgjeroi Teoremën e Vogël të Fermatit dhe prezantoi funksionin φ. Faktorizoi numrin e 5-të të Fermatit 2 32 +1, gjeti 60 çifte numrash miqësorë dhe formuloi (por nuk mundi të provonte) ligjin e reciprocitetit kuadratik.

Ai ishte i pari që prezantoi metodat e analizës matematikore dhe zhvilloi teorinë analitike të numrave. Ai vërtetoi se jo vetëm seria harmonike ∑ (1/n), por edhe një seri e formës

1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +…

Rezultati i përftuar nga shuma e reciprocaleve të numrave të thjeshtë gjithashtu ndryshon. Shuma e n termave të serisë harmonike rritet përafërsisht si log(n), dhe seria e dytë divergon më ngadalë si log[ log(n) ]. Kjo do të thotë që, për shembull, shuma e reciprokeve të të gjithë numrave të thjeshtë të gjetur deri më sot do të japë vetëm 4, megjithëse seria ende ndryshon.

Në pamje të parë, duket se numrat e thjeshtë shpërndahen në mënyrë krejt rastësore midis numrave të plotë. Për shembull, në mesin e 100 numrave menjëherë para 10000000 ka 9 numra të thjeshtë, dhe midis 100 numrave menjëherë pas kësaj vlere ka vetëm 2. Por në segmente të mëdha numrat e thjeshtë shpërndahen mjaft të barabartë. Lezhandri dhe Gausi u morën me çështjet e shpërndarjes së tyre. Gauss i tha një herë një shoku se në çdo 15 minuta të lirë ai numëron gjithmonë numrin e numrave të thjeshtë në 1000 numrat e ardhshëm. Deri në fund të jetës së tij, ai kishte numëruar të gjithë numrat e thjeshtë deri në 3 milionë. Lezhandri dhe Gauss llogaritën në mënyrë të barabartë se për n të mëdha densiteti kryesor është 1/log(n). Lezhandri vlerësoi numrin e numrave të thjeshtë në rangun nga 1 në n si

π(n) = n/(log(n) - 1,08366)

Dhe Gausi është si një integral logaritmik

π(n) = ∫ 1/log(t) dt

Me një interval integrimi nga 2 në n.

Deklarata për densitetin e thjeshtë 1/log(n) njihet si Teorema e Shpërndarjes së Parë. Ata u përpoqën ta provonin gjatë gjithë shekullit të 19-të dhe përparimi u arrit nga Chebyshev dhe Riemann. Ata e lidhën atë me hipotezën e Riemann-it, një hipotezë ende e paprovuar rreth shpërndarjes së zerave të funksionit zeta të Riemann-it. Dendësia e numrave të thjeshtë u vërtetua njëkohësisht nga Hadamard dhe Vallée-Poussin në 1896.

Ka ende shumë pyetje të pazgjidhura në teorinë e numrave të thjeshtë, disa prej të cilave janë qindra vjet të vjetra:

• Hipoteza e thjeshtë binjake ka të bëjë me një numër të pafund të çifteve të numrave të thjeshtë që ndryshojnë nga njëri-tjetri me 2
• Hamendja e Goldbach: çdo numër çift, duke filluar me 4, mund të përfaqësohet si shuma e dy numrave të thjeshtë
• A ka një numër të pafund numrash të thjeshtë të formës n 2 + 1?
• A është gjithmonë e mundur të gjesh një numër të thjeshtë midis n 2 dhe (n + 1) 2? (fakti që ka gjithmonë një numër të thjeshtë midis n dhe 2n u vërtetua nga Chebyshev)
• A është i pafund numri i numrave të thjeshtë të Fermatit? A ka numra të thjeshtë të Fermat pas 4?
• a ka një progresion aritmetik të numrave të thjeshtë të njëpasnjëshëm për çdo gjatësi të caktuar? për shembull, për gjatësinë 4: 251, 257, 263, 269. Gjatësia maksimale e gjetur është 26.
• A ka një numër të pafund grupesh me tre numra të thjeshtë të njëpasnjëshëm në një progresion aritmetik?
• n 2 - n + 41 është një numër i thjeshtë për 0 ≤ n ≤ 40. A ka një numër të pafund të numrave të tillë të thjeshtë? E njëjta pyetje për formulën n 2 - 79 n + 1601. Këta numra janë të thjeshtë për 0 ≤ n ≤ 79.
• A ka një numër të pafund numrash të thjeshtë të formës n# + 1? (n# është rezultat i shumëzimit të të gjithë numrave të thjeshtë më të vegjël se n)
• A ka një numër të pafund numrash të thjeshtë të formës n# -1?
• A ka një numër të pafund numrash të thjeshtë të formës n? + 1?
• A ka një numër të pafund numrash të thjeshtë të formës n? – 1?
• nëse p është i thjeshtë, a nuk përmban gjithmonë 2 p -1 katrorë të thjeshtë midis faktorëve të tij?
• a përmban sekuenca Fibonacci një numër të pafund numrash të thjeshtë?

Numrat kryesorë binjakë më të mëdhenj janë 2003663613 × 2 195000 ± 1. Ata përbëhen nga 58711 shifra dhe u zbuluan në vitin 2007.

Numri më i madh faktorial (i tipit n! ± 1) është 147855! - 1. Përbëhet nga 142891 shifra dhe është gjetur në vitin 2002.

Numri më i madh primorial (një numër i formës n# ± 1) është 1098133# + 1.

Artikulli diskuton konceptet e numrave të thjeshtë dhe të përbërë. Përkufizimet e numrave të tillë jepen me shembuj. Ne paraqesim një provë që numri i numrave të thjeshtë është i pakufizuar dhe do ta regjistrojmë në tabelën e numrave të thjeshtë duke përdorur metodën e Eratosthenes. Do të jepen dëshmi për të përcaktuar nëse një numër është i thjeshtë apo i përbërë.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Numrat e thjeshtë dhe të përbërë - Përkufizime dhe shembuj

Numrat e thjeshtë dhe të përbërë klasifikohen si numra të plotë pozitiv. Ato duhet të jenë më të mëdha se një. Pjesëtuesit ndahen gjithashtu në të thjeshtë dhe të përbërë. Për të kuptuar konceptin e numrave të përbërë, së pari duhet të studioni konceptet e pjesëtuesve dhe shumëfishave.

Përkufizimi 1

Numrat e thjeshtë janë numra të plotë që janë më të mëdhenj se një dhe kanë dy pjesëtues pozitivë, domethënë veten dhe 1.

Përkufizimi 2

Numrat e përbërë janë numra të plotë që janë më të mëdhenj se një dhe kanë të paktën tre pjesëtues pozitivë.

Njëri nuk është as numër i thjeshtë dhe as i përbërë. Ai ka vetëm një pjesëtues pozitiv, kështu që është i ndryshëm nga të gjithë numrat e tjerë pozitivë. Të gjithë numrat e plotë pozitiv quhen numra natyrorë, domethënë përdoren në numërim.

Përkufizimi 3

Numrat e thjeshtë janë numra natyrorë që kanë vetëm dy pjesëtues pozitivë.

Përkufizimi 4

Numri i përbërëështë një numër natyror që ka më shumë se dy pjesëtues pozitivë.

Çdo numër që është më i madh se 1 është ose i thjeshtë ose i përbërë. Nga vetia e pjesëtueshmërisë kemi që 1 dhe numri a do të jenë gjithmonë pjesëtues për çdo numër a, pra do të jetë i pjesëtueshëm me vetveten dhe me 1. Le të japim një përkufizim të numrave të plotë.

Përkufizimi 5

Numrat natyrorë që nuk janë të thjeshtë quhen numra të përbërë.

Numrat kryesorë: 2, 3, 11, 17, 131, 523. Ata janë të ndashëm vetëm nga vetvetja dhe 1. Numrat e përbërë: 6, 63, 121, 6697. Kjo do të thotë, numri 6 mund të zbërthehet në 2 dhe 3, dhe 63 në 1, 3, 7, 9, 21, 63 dhe 121 në 11, 11, domethënë pjesëtuesit e tij do të jenë 1, 11, 121. Numri 6697 zbërthehet në 37 dhe 181. Vini re se konceptet e numrave të thjeshtë dhe numrave të përbashkët janë koncepte të ndryshme.

Për ta bërë më të lehtë përdorimin e numrave të thjeshtë, duhet të përdorni një tabelë:

Një tabelë për të gjithë numrat natyrorë ekzistues është joreale, pasi ka një numër të pafund të tyre. Kur numrat arrijnë madhësinë 10000 ose 1000000000, atëherë duhet të mendoni të përdorni Sitën e Eratosthenes.

Le të shqyrtojmë teoremën që shpjegon pohimin e fundit.

Teorema 1

Pjesëtuesi më i vogël pozitiv përveç 1 i një numri natyror më të madh se një është një numër i thjeshtë.

Dëshmia 1

Le të supozojmë se a është një numër natyror që është më i madh se 1, b është pjesëtuesi më i vogël jo një i a. Është e nevojshme të vërtetohet se b është një numër i thjeshtë duke përdorur metodën e kundërthënies.

Le të supozojmë se b është një numër i përbërë. Nga këtu kemi se ka një pjesëtues për b, i cili është i ndryshëm nga 1 si dhe nga b. Një pjesëtues i tillë shënohet si b 1. Është e nevojshme që kushti 1< b 1 < b u kompletua.

Nga kushti del qartë se a pjesëtohet me b, b pjesëtohet me b 1, që do të thotë se koncepti i pjesëtueshmërisë shprehet si më poshtë: a = b q dhe b = b 1 · q 1 , nga ku a = b 1 · (q 1 · q) , ku q dhe q 1 janë numra të plotë. Sipas rregullit të shumëzimit të numrave të plotë kemi që prodhimi i numrave të plotë është një numër i plotë me barazi të formës a = b 1 · (q 1 · q) . Mund të shihet se b 1 është pjesëtuesi i numrit a. Pabarazia 1< b 1 < b Jo korrespondon, sepse gjejmë se b është pjesëtuesi më i vogël pozitiv dhe jo-1 i a.

Teorema 2

Ka një numër të pafund numrash të thjeshtë.

Dëshmia 2

Me sa duket marrim një numër të kufizuar numrash natyrorë n dhe i shënojmë si p 1, p 2, ..., p n. Le të shqyrtojmë mundësinë e gjetjes së një numri të thjeshtë të ndryshëm nga ata të treguar.

Le të marrim në konsideratë numrin p, i cili është i barabartë me p 1, p 2, ..., p n + 1. Nuk është e barabartë me secilin nga numrat që u korrespondojnë numrave të thjeshtë të formës p 1, p 2, ..., p n. Numri p është i thjeshtë. Atëherë teorema konsiderohet e vërtetuar. Nëse është i përbërë, atëherë duhet të merrni shënimin p n + 1 dhe tregoni se pjesëtuesi nuk përkon me asnjë nga p 1, p 2, ..., p n.

Nëse kjo nuk do të ishte kështu, atëherë, bazuar në vetinë e pjesëtueshmërisë së produktit p 1, p 2, ..., p n , gjejmë se do të pjesëtohej me pn + 1. Vini re se shprehja p n + 1 pjesëtimi i numrit p është i barabartë me shumën p 1, p 2, ..., p n + 1. Marrim se shprehja p n + 1 Termi i dytë i kësaj shume, që është i barabartë me 1, duhet të ndahet, por kjo është e pamundur.

Mund të shihet se çdo numër i thjeshtë mund të gjendet midis çdo numri numrash të thjeshtë të dhënë. Nga kjo rezulton se ka pafundësisht shumë numra të thjeshtë.

Meqenëse ka shumë numra të thjeshtë, tabelat janë të kufizuara në numrat 100, 1000, 10000, e kështu me radhë.

Kur përpiloni një tabelë të numrave të thjeshtë, duhet të keni parasysh se një detyrë e tillë kërkon kontrollim sekuencial të numrave, duke filluar nga 2 në 100. Nëse nuk ka pjesëtues, ai regjistrohet në tabelë, nëse është i përbërë, atëherë nuk futet në tabelë.

Le ta shohim hap pas hapi.

Nëse filloni me numrin 2, atëherë ai ka vetëm 2 pjesëtues: 2 dhe 1, që do të thotë se mund të futet në tabelë. E njëjta gjë me numrin 3. Numri 4 është i përbërë, ai duhet të zbërthehet në 2 dhe 2. Numri 5 është i thjeshtë, që do të thotë se mund të regjistrohet në tabelë. Bëni këtë deri në numrin 100.

Kjo metodë është e papërshtatshme dhe kërkon shumë kohë. Është e mundur të krijoni një tryezë, por do t'ju duhet të shpenzoni shumë kohë. Është e nevojshme të përdoren kriteret e pjesëtueshmërisë, të cilat do të përshpejtojnë procesin e gjetjes së pjesëtuesve.

Metoda e përdorimit të sitës së Eratosthenes konsiderohet më e përshtatshme. Le të shohim shembujt e tabelave më poshtë. Për të filluar, numrat 2, 3, 4, ..., 50 janë shkruar.

Tani ju duhet të kryqëzoni të gjithë numrat që janë shumëfish të 2. Kryeni goditje të njëpasnjëshme. Ne marrim një tabelë si:

Ne kalojmë në kryqëzimin e numrave që janë shumëfish të 5. Ne marrim:

Kryqëzoni numrat që janë shumëfish të 7, 11. Në fund të fundit, tabela duket

Le të kalojmë në formulimin e teoremës.

Teorema 3

Pjesëtuesi më i vogël pozitiv dhe jo-1 i numrit bazë a nuk e kalon a, ku a është rrënja aritmetike e numrit të dhënë.

Dëshmia 3

Është e nevojshme të shënojmë b pjesëtuesin më të vogël të një numri të përbërë a. Ekziston një numër i plotë q, ku a = b · q, dhe kemi se b ≤ q. Pabarazitë e formës janë të papranueshme b > q, sepse cenohet kushti. Të dyja anët e pabarazisë b ≤ q duhet të shumëzohen me çdo numër pozitiv b jo të barabartë me 1. Marrim se b · b ≤ b · q, ku b 2 ≤ a dhe b ≤ a.

Nga teorema e provuar është e qartë se kryqëzimi i numrave në tabelë çon në faktin se është e nevojshme të fillohet me një numër që është i barabartë me b 2 dhe plotëson pabarazinë b 2 ≤ a. Kjo do të thotë, nëse kaloni numrat që janë shumëfish të 2, atëherë procesi fillon me 4, dhe shumëfishat e 3 me 9, dhe kështu me radhë deri në 100.

Përpilimi i një tabele të tillë duke përdorur teoremën e Eratosthenes sugjeron që kur të gjithë numrat e përbërë të kryqëzohen, numrat e thjeshtë do të mbeten që nuk e kalojnë n. Në shembullin ku n = 50, kemi se n = 50. Nga këtu marrim se sita e Eratosthenes shoshit të gjithë numrat e përbërë vlera e të cilëve nuk është më e madhe se vlera e rrënjës 50. Kërkimi i numrave bëhet duke kryqëzuar.

Para se të zgjidhni, duhet të zbuloni nëse numri është i thjeshtë apo i përbërë. Shpesh përdoren kriteret e pjesëtueshmërisë. Le ta shohim këtë në shembullin e mëposhtëm.

Shembulli 1

Vërtetoni se numri 898989898989898989 është i përbërë.

Zgjidhje

Shuma e shifrave të një numri të caktuar është 9 8 + 9 9 = 9 17. Kjo do të thotë se numri 9 · 17 është i pjesëtueshëm me 9, bazuar në testin e pjesëtueshmërisë me 9. Nga kjo rezulton se është e përbërë.

Shenja të tilla nuk janë në gjendje të vërtetojnë parësinë e një numri. Nëse nevojitet verifikim, duhet të ndërmerren veprime të tjera. Mënyra më e përshtatshme është numërimi i numrave. Gjatë procesit, mund të gjeni numra të thjeshtë dhe të përbërë. Kjo do të thotë, numrat nuk duhet të kalojnë një vlerë. Kjo do të thotë, numri a duhet të faktorizohet në faktorë kryesorë. nëse kjo plotësohet, atëherë numri a mund të konsiderohet i thjeshtë.

Shembulli 2

Përcaktoni numrin e përbërë ose të thjeshtë 11723.

Zgjidhje

Tani ju duhet të gjeni të gjithë pjesëtuesit për numrin 11723. Nevoja për të vlerësuar 11723 .

Nga këtu shohim se 11723< 200 , то 200 2 = 40 000 , dhe 11 723< 40 000 . Получаем, что делители для 11 723 меньше числа 200 .

Për një vlerësim më të saktë të numrit 11723, duhet të shkruani shprehjen 108 2 = 11 664, dhe 109 2 = 11 881 , Kjo 108 2 < 11 723 < 109 2 . Nga kjo rrjedh se 11723< 109 . Видно, что любое число, которое меньше 109 считается делителем для заданного числа.

Kur zgjerojmë, gjejmë se 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 janë të gjithë numra të thjeshtë. I gjithë ky proces mund të përshkruhet si ndarje me një kolonë. Kjo do të thotë, ndani 11723 me 19. Numri 19 është një nga faktorët e tij, pasi marrim pjesëtimin pa mbetje. Le të paraqesim ndarjen si një kolonë:

Nga kjo rezulton se 11723 është një numër i përbërë, sepse përveç vetes dhe 1 ka një pjesëtues prej 19.

Përgjigje: 11723 është një numër i përbërë.

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter

Numrat janë të ndryshëm: natyral, racional, racional, numër i plotë dhe thyesor, pozitiv dhe negativ, kompleks dhe i thjeshtë, tek dhe çift, real etj. Nga ky artikull mund të mësoni se çfarë janë numrat e thjeshtë.

Cilët numra quhen "të thjeshtë" në anglisht?

Shumë shpesh, nxënësit e shkollës nuk dinë t'i përgjigjen një prej pyetjeve më të thjeshta në matematikë në shikim të parë, se çfarë është një numër i thjeshtë. Ata shpesh ngatërrojnë numrat e thjeshtë me numrat natyrorë (d.m.th., numrat që njerëzit përdorin kur numërojnë objektet, ndërsa në disa burime ata fillojnë me zero, dhe në të tjera me një). Por këto janë dy koncepte krejtësisht të ndryshme. Numrat e thjeshtë janë numra natyrorë, domethënë numra të plotë dhe pozitivë që janë më të mëdhenj se një dhe që kanë vetëm 2 pjesëtues natyrorë. Për më tepër, një nga këta pjesëtues është numri i dhënë, dhe i dyti është një. Për shembull, tre është një numër i thjeshtë sepse nuk mund të pjesëtohet pa mbetje me ndonjë numër tjetër përveç vetes dhe një.

Numrat e përbërë

E kundërta e numrave të thjeshtë është numrat e përbërë. Ato janë gjithashtu natyrore, gjithashtu më të mëdha se një, por nuk kanë dy, por një numër më të madh pjesëtuesish. Kështu p.sh., numrat 4, 6, 8, 9 etj janë numra natyrorë, të përbërë, por jo të thjeshtë. Siç mund ta shihni, këto janë kryesisht numra çift, por jo të gjitha. Por "dy" është një numër çift dhe "numri i parë" në një seri numrash të thjeshtë.

Pasoja

Për të ndërtuar një seri numrash të thjeshtë, është e nevojshme të zgjidhni nga të gjithë numrat natyrorë, duke marrë parasysh përkufizimin e tyre, domethënë, duhet të veproni me kontradiktë. Është e nevojshme të ekzaminohet secili prej numrave natyrorë pozitivë për të parë nëse ka më shumë se dy pjesëtues. Le të përpiqemi të ndërtojmë një seri (rend) që përbëhet nga numra të thjeshtë. Lista fillon me dy, e ndjekur nga tre, pasi ndahet vetëm nga vetja dhe një. Konsideroni numrin katër. A ka pjesëtues të tjerë përveç katër dhe një? Po, ai numër është 2. Pra, katër nuk është numër i thjeshtë. Pesë është gjithashtu i thjeshtë (nuk është i pjesëtueshëm me asnjë numër tjetër, përveç 1 dhe 5), por gjashtë është i pjesëtueshëm. Dhe në përgjithësi, nëse ndiqni të gjithë numrat çift, do të vini re se përveç "dy", asnjëri prej tyre nuk është i thjeshtë. Nga kjo arrijmë në përfundimin se numrat çift, përveç dy, nuk janë të thjeshtë. Një zbulim tjetër: të gjithë numrat e pjesëtueshëm me tre, përveç tre vetë, çift apo tek, nuk janë gjithashtu të thjeshtë (6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, etj.). E njëjta gjë vlen edhe për numrat që pjesëtohen me pesë dhe shtatë. E gjithë turma e tyre nuk është gjithashtu e thjeshtë. Le të përmbledhim. Pra, numrat e thjeshtë njëshifrorë përfshijnë të gjithë numrat tek përveç njërit dhe nëntës, dhe çift "dy" janë numra çift. Vetë dhjetëshet (10, 20,... 40 etj.) nuk janë të thjeshta. Numrat e thjeshtë dyshifrorë, treshifrorë etj., mund të përcaktohen në bazë të parimeve të mësipërme: nëse nuk kanë pjesëtues përveç vetes dhe një.

Teoritë rreth vetive të numrave të thjeshtë

Ekziston një shkencë që studion vetitë e numrave të plotë, duke përfshirë numrat e thjeshtë. Kjo është një degë e matematikës e quajtur më e lartë. Përveç vetive të numrave të plotë, ajo merret edhe me numrat algjebrikë dhe transhendentalë, si dhe me funksione me origjinë të ndryshme që lidhen me aritmetikën e këtyre numrave. Në këto studime, krahas metodave elementare dhe algjebrike, përdoren edhe ato analitike dhe gjeometrike. Konkretisht, "Teoria e numrave" merret me studimin e numrave të thjeshtë.

Numrat e thjeshtë janë "blloqet e ndërtimit" të numrave natyrorë

Në aritmetikë ekziston një teoremë e quajtur teorema themelore. Sipas tij, çdo numër natyror, përveç njërit, mund të paraqitet si prodhim, faktorët e të cilit janë numra të thjeshtë, kurse rendi i faktorëve është unik, që do të thotë se mënyra e paraqitjes është unike. Quhet faktorizimi i një numri natyror në faktorë të thjeshtë. Ekziston një emër tjetër për këtë proces - faktorizimi i numrave. Bazuar në këtë, numrat e thjeshtë mund të quhen "material ndërtimi", "blloqe" për ndërtimin e numrave natyrorë.

Kërkoni për numra të thjeshtë. Testet e thjeshtësisë

Shumë shkencëtarë nga kohë të ndryshme u përpoqën të gjenin disa parime (sisteme) për gjetjen e një liste të numrave të thjeshtë. Shkenca njeh sisteme të quajtura sita Atkin, sita Sundartham dhe sita Eratosthenes. Megjithatë, ato nuk japin ndonjë rezultat domethënës dhe përdoret një test i thjeshtë për të gjetur numrat e thjeshtë. Matematikanë krijuan gjithashtu algoritme. Zakonisht quhen teste të parësisë. Për shembull, ekziston një test i zhvilluar nga Rabin dhe Miller. Përdoret nga kriptografët. Ekziston edhe testi Kayal-Agrawal-Sasquena. Megjithatë, pavarësisht saktësisë së mjaftueshme, është shumë e vështirë të llogaritet, gjë që zvogëlon rëndësinë e saj praktike.

A ka një kufi grupi i numrave të thjeshtë?

Shkencëtari i lashtë grek Euklidi shkroi në librin e tij "Elementet" se grupi i numrave të thjeshtë është pafundësi. Ai tha këtë: “Le të imagjinojmë për një moment se numrat e thjeshtë kanë një kufi. Pastaj le t'i shumëzojmë ato me njëra-tjetrën dhe t'i shtojmë një produkt. Numri i marrë si rezultat i këtyre veprimeve të thjeshta nuk mund të ndahet me asnjë nga seritë e numrave të thjeshtë, sepse pjesa e mbetur do të jetë gjithmonë një. Kjo do të thotë se ka ndonjë numër tjetër që nuk është përfshirë ende në listën e numrave të thjeshtë. Prandaj, supozimi ynë nuk është i vërtetë dhe ky grup nuk mund të ketë një kufi. Përveç provës së Euklidit, ekziston një formulë më moderne e dhënë nga matematikani zviceran i shekullit të tetëmbëdhjetë, Leonhard Euler. Sipas tij, shuma reciproke e shumës së n numrave të parë rritet në mënyrë të pakufizuar me rritjen e numrit n. Dhe këtu është formula e teoremës në lidhje me shpërndarjen e numrave të thjeshtë: (n) rritet si n/ln (n).

Cili është numri kryesor më i madh?

I njëjti Leonard Euler ishte në gjendje të gjente numrin kryesor më të madh të kohës së tij. Kjo është 2 31 - 1 = 2147483647. Megjithatë, deri në vitin 2013, u llogarit një tjetër më i madhi më i saktë në listën e numrave të thjeshtë - 2 57885161 - 1. Quhet numri Mersenne. Ai përmban rreth 17 milionë shifra dhjetore. Siç mund ta shihni, numri i gjetur nga një shkencëtar i shekullit të tetëmbëdhjetë është disa herë më i vogël se ky. Duhet të ishte kështu, sepse Euler e bëri këtë llogaritje me dorë, ndërsa bashkëkohësi ynë ndoshta ndihmohej nga një kompjuter. Për më tepër, ky numër është marrë në Fakultetin e Matematikës në një nga fakultetet amerikane. Numrat e emëruar pas këtij shkencëtari kalojnë testin e parësisë Luc-Lemaire. Megjithatë, shkenca nuk dëshiron të ndalet me kaq. Electronic Frontier Foundation, i cili u themelua në vitin 1990 në Shtetet e Bashkuara të Amerikës (EFF), ka ofruar një shpërblim monetar për gjetjen e numrave të mëdhenj të thjeshtë. Dhe nëse deri në vitin 2013 çmimi u jepej atyre shkencëtarëve që do t'i gjenin mes numrave dhjetorë 1 dhe 10 milionë, sot kjo shifër ka arritur nga 100 milionë në 1 miliard. Çmimet variojnë nga 150 deri në 250 mijë dollarë amerikanë.

Emrat e numrave të thjeshtë të veçantë

Ata numra që u gjetën falë algoritmeve të krijuara nga shkencëtarë të caktuar dhe kaluan testin e thjeshtësisë quhen të veçantë. Ja disa prej tyre:

1. Merssen.

4. Cullen.

6. Mills et al.

Thjeshtësia e këtyre numrave, të emërtuar sipas shkencëtarëve të mësipërm, përcaktohet duke përdorur testet e mëposhtme:

1. Luc-Lemaire.

2. Pepina.

3. Riesel.

4. Billhart - Lemaire - Selfridge dhe të tjerët.

Shkenca moderne nuk ndalet me kaq dhe ndoshta në të ardhmen e afërt bota do të mësojë emrat e atyre që mundën të marrin çmimin prej 250 mijë dollarësh duke gjetur numrin më të madh të thjeshtë.