Si të zgjidhim ekuacionet irracionale. Ekuacioni irracional: të mësuarit për të zgjidhur duke përdorur metodën e izolimit të rrënjës

Përdorimi i ekuacioneve është i përhapur në jetën tonë. Ato përdoren në shumë llogaritje, ndërtime strukturash dhe madje edhe sporte. Njeriu përdorte ekuacione në kohët e lashta, dhe që atëherë përdorimi i tyre vetëm është rritur. Shumë shpesh shenja rrënjësore shfaqet në ekuacione dhe shumë njerëz gabimisht besojnë se ekuacione të tilla janë të vështira për t'u zgjidhur. Për ekuacione të tilla në matematikë ekziston një term i veçantë, i cili përdoret për të quajtur ekuacione me rrënjë - ekuacione irracionale.

Dallimi kryesor në zgjidhjen e ekuacioneve me një rrënjë nga ekuacionet e tjera, për shembull, katror, ​​logaritmik, linear, është se ato nuk kanë algoritmi standard Zgjidhjet. Prandaj, për të zgjidhur një ekuacion irracional, është e nevojshme të analizohen të dhënat fillestare dhe të zgjidhni një zgjidhje më të përshtatshme.

Në shumicën e rasteve, për të zgjidhur këtë lloj ekuacioni, ata përdorin metodën e ngritjes së të dy anëve të ekuacionit në të njëjtën fuqi.

Le të themi se është dhënë ekuacioni i mëposhtëm:

\[\sqrt((5x-16))=x-2\]

Ne katrorë të dy anët e ekuacionit:

\[\sqrt((5x-16)))^2 =(x-2)^2\], nga e cila marrim vazhdimisht:

Pasi kemi marrë një ekuacion kuadratik, gjejmë rrënjët e tij:

Përgjigje: \

Nëse i zëvendësojmë këto vlera në ekuacion, marrim barazi e vërtetë, që tregon saktësinë e të dhënave të marra.

Ku mund të zgjidh një ekuacion me rrënjë duke përdorur një zgjidhës në internet?

Ju mund ta zgjidhni ekuacionin në faqen tonë të internetit https://site. Zgjidhësi falas në internet do t'ju lejojë të zgjidhni ekuacionet në internet të çdo kompleksiteti në disa sekonda. E tëra çfarë ju duhet të bëni është thjesht të futni të dhënat tuaja në zgjidhës. Ju gjithashtu mund të shikoni udhëzime video dhe të mësoni se si ta zgjidhni ekuacionin në faqen tonë të internetit. Dhe nëse keni ende pyetje, mund t'i bëni ato në grupin tonë VKontakte http://vk.com/pocketteacher. Bashkohuni me grupin tonë, ne jemi gjithmonë të lumtur t'ju ndihmojmë.

Ekuacion irracionalështë çdo ekuacion që përmban një funksion nën shenjën e rrënjës. Për shembull:

Ekuacione të tilla zgjidhen gjithmonë në 3 hapa:

1. Veçoni rrënjën. Me fjalë të tjera, nëse në të majtë të shenjës së barazimit, përveç rrënjës, ka numra ose funksione të tjera, e gjithë kjo duhet të zhvendoset djathtas, duke ndryshuar shenjën. Në këtë rast, vetëm radikali duhet të mbetet në të majtë - pa asnjë koeficient.
2. 2. Katror të dyja anët e ekuacionit. Në të njëjtën kohë, kujtojmë se diapazoni i vlerave të rrënjës është të gjithë numra jonegativë. Prandaj, funksioni në të djathtë ekuacioni irracional duhet gjithashtu të jetë jo negative: g(x) ≥ 0.
3. Hapi i tretë rrjedh logjikisht nga i dyti: duhet të kryeni një kontroll. Fakti është se në hapin e dytë mund të kishim rrënjë shtesë. Dhe për t'i prerë ato, duhet të zëvendësoni numrat e kandidatëve që rezultojnë në ekuacionin origjinal dhe të kontrolloni: a është marrë vërtet barazia numerike e saktë?

Zgjidhja e një ekuacioni irracional

Le të shohim ekuacionin tonë irracional të dhënë në fillim të mësimit. Këtu rrënja tashmë është e izoluar: në të majtë të shenjës së barazimit nuk ka asgjë tjetër përveç rrënjës. Sheshoni të dyja anët:

2x 2 − 14x + 13 = (5 − x ) 2
2x 2 − 14x + 13 = 25 − 10x + x 2
x 2 − 4x − 12 = 0

E zgjidhim ekuacionin kuadratik që rezulton përmes diskriminuesit:

D = b 2 − 4ac = (−4) 2 − 4 1 (−12) = 16 + 48 = 64
x 1 = 6; x 2 = −2

Gjithçka që mbetet është që këta numra të zëvendësohen në ekuacionin origjinal, d.m.th. kryej kontrollin. Por edhe këtu mund të bëni gjënë e duhur për të thjeshtuar vendimin përfundimtar.

Si të thjeshtoni zgjidhjen

Le të mendojmë: pse bëjmë edhe një kontroll në fund të zgjidhjes së një ekuacioni irracional? Ne duam të sigurohemi që kur të zëvendësojmë rrënjët tona, në të djathtë të shenjës së barazimit do të ketë numër jo negativ. Në fund të fundit, ne tashmë e dimë me siguri se ka një numër jo negativ në të majtë, sepse aritmetika Rrenja katrore(prandaj ekuacioni ynë quhet irracional) sipas përkufizimit nuk mund të jetë më i vogël se zero.

Prandaj, gjithçka që duhet të kontrollojmë është që funksioni g (x) = 5 − x, i cili është në të djathtë të shenjës së barabartë, është jonegativ:

g(x) ≥ 0

Ne zëvendësojmë rrënjët tona në këtë funksion dhe marrim:

g (x 1) = g (6) = 5 − 6 = −1< 0
g (x 2) = g (−2) = 5 − (−2) = 5 + 2 = 7 > 0

Nga vlerat e marra rezulton se rrënja x 1 = 6 nuk na përshtatet, pasi kur zëvendësohet në anën e djathtë ekuacioni origjinal marrim një numër negativ. Por rrënja x 2 = −2 është mjaft e përshtatshme për ne, sepse:

1. Kjo rrënjë është zgjidhja e ekuacionit kuadratik që përftohet duke ngritur të dyja anët ekuacioni irracional në një shesh.
2. Ana e djathtë e ekuacionit fillestar irracional, kur zëvendësohet rrënjës x 2 = −2, kthehet në një numër pozitiv, d.m.th. varg rrënjë aritmetike jo i thyer.

Ky është i gjithë algoritmi! Siç mund ta shihni, zgjidhja e ekuacioneve me radikale nuk është aq e vështirë. Gjëja kryesore është të mos harroni të kontrolloni rrënjët e marra, përndryshe ka një probabilitet shumë të lartë për të marrë përgjigje të panevojshme.

Zgjidhja e ekuacioneve irracionale.

Në këtë artikull do të flasim për zgjidhjet ekuacionet më të thjeshta irracionale.

Ekuacioni irracionalështë një ekuacion që përmban një të panjohur nën shenjën e rrënjës.

Le të shohim dy lloje ekuacionet irracionale, të cilat janë shumë të ngjashme në pamje të parë, por në thelb janë shumë të ndryshëm nga njëra-tjetra.

(1)

(2)

Në ekuacionin e parë shohim se e panjohura është nën shenjën e rrënjës së shkallës së tretë. Mund të marrim rrënjën teke të numër negativ, pra, në këtë ekuacion nuk ka kufizime as në shprehjen nën shenjën e rrënjës, as në shprehjen në anën e djathtë të ekuacionit. Ne mund t'i ngremë të dyja anët e ekuacionit në fuqinë e tretë për të hequr qafe rrënjën. Ne marrim një ekuacion ekuivalent:

Kur ngrini anët e djathta dhe të majta të ekuacionit në shkallë tek ne nuk duhet të shqetësohemi për marrjen e rrënjëve të jashtme.

Shembulli 1. Le të zgjidhim ekuacionin

Le t'i ngremë të dyja anët e ekuacionit në fuqinë e tretë. Ne marrim një ekuacion ekuivalent:

Le t'i zhvendosim të gjitha termat në njërën anë dhe të vendosim x jashtë kllapave:

Duke barazuar çdo faktor me zero, marrim:

Përgjigje: (0;1;2)

Le të shohim nga afër ekuacionin e dytë: . Në anën e majtë të ekuacionit është rrënja katrore, e cila merr vetëm vlera jo negative. Prandaj, që ekuacioni të ketë zgjidhje, pjesa e djathtë duhet gjithashtu të jetë jo negative. Prandaj, kushti vendoset në anën e djathtë të ekuacionit:

Title="g(x)>=0"> - это !} kusht për ekzistencën e rrënjëve.

Për të zgjidhur një ekuacion të këtij lloji, duhet të katrorizoni të dy anët e ekuacionit:

(3)

Katrorja mund të çojë në shfaqjen e rrënjëve të jashtme, kështu që na duhen ekuacionet:

Title="f(x)>=0"> (4)!}

Sidoqoftë, pabarazia (4) rrjedh nga kushti (3): nëse në anën e djathtë të barazisë ka një katror të ndonjë shprehjeje, dhe katrori i çdo shprehjeje mund të marrë vetëm vlera jo negative, prandaj ana e majte gjithashtu duhet të jetë jo negative. Prandaj, kushti (4) vjen automatikisht nga kushti (3) dhe ynë ekuacionin është e barabartë me sistemin:

Title="delim(lbrace)(matricë(2)(1)((f(x)=g^2((x))) (g(x)>=0) ))( )">!}

Shembulli 2. Le të zgjidhim ekuacionin:

.

Le të kalojmë në një sistem ekuivalent:

Title="delim(lbrace)(matrica(2)(1)((2x^2-7x+5=((1-x))^2) (1-x>=0) ))( )">!}

Le të zgjidhim ekuacionin e parë të sistemit dhe të kontrollojmë se cilat rrënjë plotësojnë pabarazinë.

Inequality title="1-x>=0">удовлетворяет только корень !}

Përgjigje: x=1

Kujdes! Nëse në procesin e zgjidhjes ne sheshojmë të dy anët e ekuacionit, atëherë duhet të kujtojmë se mund të shfaqen rrënjë të jashtme. Prandaj, ose duhet të kaloni në një sistem ekuivalent, ose në fund të zgjidhjes, BËNI NJË KONTROLLI: gjeni rrënjët dhe zëvendësojini ato në ekuacionin origjinal.

Shembulli 3. Le të zgjidhim ekuacionin:

Për të zgjidhur këtë ekuacion, ne gjithashtu duhet të katrorojmë të dy anët. Le të mos shqetësohemi me ODZ dhe kushtin për ekzistencën e rrënjëve në këtë ekuacion, por thjesht të bëjmë një kontroll në fund të zgjidhjes.

Le të vendosim në katror të dy anët e ekuacionit:

Le ta zhvendosim termin që përmban rrënjën në të majtë dhe të gjithë termat e tjerë në të djathtë:

Le të vendosim përsëri në katror të dy anët e ekuacionit:

Në temën e Vieta:

Le të bëjmë një kontroll. Për ta bërë këtë, ne i zëvendësojmë rrënjët e gjetura në ekuacionin origjinal. Natyrisht, në , ana e djathtë e ekuacionit origjinal është negative, dhe ana e majtë është pozitive.

Kur marrim barazinë e saktë.

Ruajtja e privatësisë suaj është e rëndësishme për ne. Për këtë arsye, ne kemi zhvilluar një politikë të privatësisë që përshkruan se si ne përdorim dhe ruajmë informacionin tuaj. Ju lutemi rishikoni praktikat tona të privatësisë dhe na tregoni nëse keni ndonjë pyetje.

Mbledhja dhe përdorimi i informacionit personal

Informacioni personal i referohet të dhënave që mund të përdoren për të identifikuar person të caktuar apo lidhje me të.

Mund t'ju kërkohet të jepni informacionin tuaj personal në çdo kohë kur na kontaktoni.

Më poshtë janë disa shembuj të llojeve të informacionit personal që mund të mbledhim dhe se si mund ta përdorim këtë informacion.

Çfarë informacioni personal mbledhim:

• Kur dorëzoni një aplikim në sajt, ne mund të mbledhim informacione të ndryshme, duke përfshirë emrin tuaj, numrin e telefonit, adresën e emailit, etj.

Si i përdorim të dhënat tuaja personale:

• Mbledhur nga ne informata personale na lejon t'ju kontaktojmë dhe t'ju informojmë për oferta unike, promovime dhe ngjarje të tjera dhe Ngjarje të ardhshme.
• Herë pas here, ne mund të përdorim të dhënat tuaja personale për të dërguar njoftime dhe komunikime të rëndësishme.
• Ne gjithashtu mund të përdorim të dhënat personale për qëllime të brendshme, si kryerja e auditimeve, analizave të të dhënave dhe kërkimeve të ndryshme, me qëllim që të përmirësojmë shërbimet që ofrojmë dhe t'ju ofrojmë rekomandime në lidhje me shërbimet tona.
• Nëse merrni pjesë në një tërheqje çmimesh, konkurs ose promovim të ngjashëm, ne mund të përdorim informacionin që ju jepni për të administruar programe të tilla.

Zbulimi i informacionit palëve të treta

Ne nuk ua zbulojmë informacionin e marrë nga ju palëve të treta.

Përjashtimet:

• Nëse është e nevojshme - në përputhje me ligjin, procedurën gjyqësore, procedurat ligjore dhe/ose në bazë të kërkesave ose kërkesave publike nga agjencive qeveritare në territorin e Federatës Ruse - zbuloni informacionin tuaj personal. Ne gjithashtu mund të zbulojmë informacione për ju nëse përcaktojmë se një zbulim i tillë është i nevojshëm ose i përshtatshëm për qëllime sigurie, zbatimi të ligjit ose qëllime të tjera me rëndësi publike.
• Në rast të një riorganizimi, bashkimi ose shitjeje, ne mund t'i transferojmë informacionet personale që mbledhim te pala e tretë pasardhëse e aplikueshme.

Mbrojtja e informacionit personal

Ne marrim masa paraprake - duke përfshirë administrative, teknike dhe fizike - për të mbrojtur informacionin tuaj personal nga humbja, vjedhja dhe keqpërdorimi, si dhe qasja, zbulimi, ndryshimi dhe shkatërrimi i paautorizuar.

Respektimi i privatësisë suaj në nivel kompanie

Për t'u siguruar që informacioni juaj personal është i sigurt, ne i komunikojmë punonjësve tanë standardet e privatësisë dhe sigurisë dhe zbatojmë në mënyrë rigoroze praktikat e privatësisë.