Faktorizimi i një trinomi kuadratik mund të jetë i dobishëm kur zgjidhen pabarazitë nga problemi C3 ose problemi me parametrin C5. Gjithashtu, shumë probleme të fjalëve B13 do të zgjidhen shumë më shpejt nëse e dini teoremën e Vieta-s.

Kjo teoremë, natyrisht, mund të konsiderohet nga këndvështrimi i klasës së 8-të, në të cilën mësohet për herë të parë. Por detyra jonë është të përgatitemi mirë për Provimin e Unifikuar të Shtetit dhe të mësojmë t'i zgjidhim detyrat e provimit në mënyrë sa më efikase. Prandaj, ky mësim konsideron një qasje paksa të ndryshme nga ajo shkollore.

Formula për rrënjët e ekuacionit duke përdorur teoremën e Vietës Shumë njerëz e dinë (ose të paktën e kanë parë):

$$x_1+x_2 = -\frac(b)(a), \quad x_1 x_2 = \frac(c)(a),$$

ku `a, b` dhe `c` janë koeficientët e trinomit kuadratik `ax^2+bx+c`.

Për të mësuar se si ta përdorim me lehtësi teoremën, le të kuptojmë se nga vjen ajo (kjo në të vërtetë do ta bëjë më të lehtë për t'u mbajtur mend).

Le të kemi ekuacionin `ax^2+ bx+ c = 0`. Për lehtësi të mëtejshme, ndajeni atë me `a` dhe merrni `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = 0`. Një ekuacion i tillë quhet ekuacion kuadratik i reduktuar.

Ide e rëndësishme mësimi: çdo polinom kuadratik që ka rrënjë mund të zgjerohet në kllapa. Le të supozojmë se e jona mund të përfaqësohet si `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = (x + k)(x+l)`, ku `k` dhe ` l` - disa konstante.

Le të shohim se si hapen kllapat:

$$(x + k)(x+l) = x^2 + kx+ lx+kl = x^2 +(k+l)x+kl.$$

Kështu, `k+l = \frac(b)(a), kl = \frac(c)(a)`.

Ky është paksa i ndryshëm nga interpretimi klasik Teorema e Vietës- në të kërkojmë rrënjët e ekuacionit. Unë propozoj të kërkoj kushte për zbërthimi i kllapave- në këtë mënyrë nuk keni nevojë të mbani mend për minusin nga formula (që do të thotë `x_1+x_2 = -\frac(b)(a)`). Mjafton të zgjidhni dy numra të tillë, shuma e të cilëve është e barabartë me koeficientin mesatar, dhe prodhimi është i barabartë me termin e lirë.

Nëse na duhet një zgjidhje për ekuacionin, atëherë është e qartë: rrënjët `x=-k` ose `x=-l` (pasi në këto raste njëra nga kllapat do të jetë zero, që do të thotë se e gjithë shprehja do të jetë zero ).

Unë do t'ju tregoj algoritmin si shembull: Si të zgjeroni një polinom kuadratik në kllapa.

Shembulli një. Algoritmi për faktorizimin e një trinomi kuadratik

Rruga që kemi është një trinom kuadrant `x^2+5x+4`.

Është zvogëluar (koeficienti i `x^2` është i barabartë me një). Ai ka rrënjë. (Për të qenë të sigurt, mund të vlerësoni diskriminuesin dhe të siguroheni që është më i madh se zero.)

Hapat e mëtejshëm (duhet t'i mësoni ato duke përfunduar të gjitha detyrat e trajnimit):

Plotësoni hyrjen e mëposhtme: $$x^2+5x+4=(x \ldots)(x \ldots).$$ Në vend të pikave, lini hapësirë të lirë, ne do të shtojmë numra dhe shenja të përshtatshme atje.
Merrni parasysh të gjitha opsionet e mundshme për zbërthimin e numrit `4` në prodhimin e dy numrave. Marrim çifte "kandidatësh" për rrënjët e ekuacionit: `2, 2` dhe `1, 4`.
Kuptoni se nga cili çift mund të merrni koeficientin mesatar. Natyrisht është `1, 4`.
Shkruani $$x^2+5x+4=(x \katër 4)(x \katër 1)$$.
Hapi tjetër është vendosja e shenjave përpara numrave të futur.
Si të kuptoni dhe mbani mend përgjithmonë se cilat shenja duhet të shfaqen para numrave në kllapa? Provoni t'i hapni ato (kllapa). Koeficienti para `x` në fuqinë e parë do të jetë `(± 4 ± 1)` (ne nuk i dimë ende shenjat - duhet të zgjedhim), dhe duhet të jetë i barabartë me `5`. Natyrisht, do të ketë dy pluse $$x^2+5x+4=(x + 4)(x + 1)$$.
Kryeni këtë operacion disa herë (përshëndetje, detyra stërvitore!) dhe nuk do të keni më kurrë probleme me këtë.

Nëse ju duhet të zgjidhni ekuacionin `x^2+5x+4`, atëherë zgjidhja e tij tani nuk do të jetë e vështirë. Rrënjët e saj janë `-4, -1`.

Shembulli dy. Faktorizimi i një trinomi kuadratik me koeficientë të shenjave të ndryshme

Le të na duhet të zgjidhim ekuacionin `x^2-x-2=0`. Jo, diskriminuesi është pozitiv.

Ne ndjekim algoritmin.

$$x^2-x-2=(x \ldots) (x \ldots).$$
Ekziston vetëm një faktorizim i dy në faktorë të plotë: `2 · 1`.
Ne e kapërcejmë pikën - nuk ka asgjë për të zgjedhur.
$$x^2-x-2=(x \katër 2) (x \katër 1).$$
Prodhimi i numrave tanë është negativ (`-2` është termi i lirë), që do të thotë se njëri prej tyre do të jetë negativ dhe tjetri do të jetë pozitiv.
Meqenëse shuma e tyre është e barabartë me `-1` (koeficienti i `x`), atëherë `2` do të jetë negativ (shpjegimi intuitiv është se dy është më i madhi nga dy numrat, ai do të "tërheqë" më fort në drejtim negativ). Marrim $$x^2-x-2=(x - 2) (x + 1).$$

Shembulli i tretë. Faktorizimi i një trinomi kuadratik

Ekuacioni është `x^2+5x -84 = 0`.

$$x+ 5x-84=(x \ldots) (x \ldots).$$
Zbërthimi i 84 në faktorë të plotë: `4 21, 6 14, 12 7, 2 42`.
Meqenëse duhet që diferenca (ose shuma) e numrave të jetë 5, çifti `7, 12` është i përshtatshëm.
$$x+ 5x-84=(x\katër 12) (x\katër 7).$$
$$x+ 5x-84=(x + 12) (x - 7).$$

Shpresa, zgjerimi i këtij trinomi kuadratik në kllapaËshtë e qartë.

Nëse keni nevojë për një zgjidhje për një ekuacion, këtu është: `12, -7`.

Detyrat e trajnimit

Unë sjell në vëmendjen tuaj disa shembuj që janë të lehtë zgjidhen duke përdorur teoremën e Vietës.(Shembuj të marrë nga revista "Matematika", 2002.)

`x^2+x-2=0`
`x^2-x-2=0`
`x^2+x-6=0`
`x^2-x-6=0`
`x^2+x-12=0`
`x^2-x-12=0`
`x^2+x-20=0`
`x^2-x-20=0`
`x^2+x-42=0`
`x^2-x-42=0`
`x^2+x-56=0`
`x^2-x-56=0`
`x^2+x-72=0`
`x^2-x-72=0`
`x^2+x-110=0`
`x^2-x-110=0`
`x^2+x-420=0`
`x^2-x-420=0`

Disa vjet pas shkrimit të artikullit, u shfaq një koleksion prej 150 detyrash për zgjerimin e një polinomi kuadratik duke përdorur teoremën e Vieta.

Pëlqejeni dhe bëni pyetje në komente!

Faktorizimi i trinomeve kuadratike është një nga detyrat shkollore me të cilën të gjithë përballen herët a vonë. Si ta bëjmë atë? Cila është formula për faktorizimin e një trinomi kuadratik? Le ta kuptojmë hap pas hapi duke përdorur shembuj.

Formula e përgjithshme

Trinomialet kuadratike faktorizohen duke zgjidhur një ekuacion kuadratik. Ky është një problem i thjeshtë që mund të zgjidhet me disa metoda - duke gjetur diskriminuesin duke përdorur teoremën e Vieta-s, ekziston edhe një zgjidhje grafike. Dy metodat e para studiohen në shkollë të mesme.

Formula e përgjithshme duket si kjo:lx 2 +kx+n=l(x-x 1)(x-x 2) (1)

Algoritmi për përfundimin e detyrës

Për të faktorizuar trinomet kuadratike, duhet të dini teoremën e Vitës, të keni në dorë një program zgjidhjeje, të jeni në gjendje të gjeni një zgjidhje grafikisht ose të kërkoni rrënjët e një ekuacioni të shkallës së dytë duke përdorur formulën diskriminuese. Nëse jepet një trinom kuadratik dhe duhet të faktorizohet, algoritmi është si më poshtë:

1) Barazoni shprehjen origjinale me zero për të marrë një ekuacion.

2) Jepni terma të ngjashëm (nëse është e nevojshme).

3) Gjeni rrënjët duke përdorur çdo metodë të njohur. Metoda grafike përdoret më së miri nëse dihet paraprakisht se rrënjët janë numra të plotë dhe të vegjël. Duhet mbajtur mend se numri i rrënjëve është i barabartë me shkallën maksimale të ekuacionit, domethënë, ekuacioni kuadratik ka dy rrënjë.

4) Zëvendësoni vlerën X në shprehje (1).

5) Shkruani faktorizimin e trinomeve kuadratike.

Shembuj

Praktika ju lejon të kuptoni më në fund se si kryhet kjo detyrë. Shembujt ilustrojnë faktorizimin e një trinomi katror:

është e nevojshme të zgjerohet shprehja:

Le t'i drejtohemi algoritmit tonë:

1) x 2 -17x+32=0

2) termat e ngjashëm zvogëlohen

3) duke përdorur formulën e Vieta, është e vështirë të gjesh rrënjë për këtë shembull, kështu që është më mirë të përdoret shprehja për diskriminuesin:

D=289-128=161=(12.69) 2

4) Le të zëvendësojmë rrënjët që gjetëm në formulën bazë për zbërthimin:

(x-2,155) * (x-14,845)

5) Atëherë përgjigja do të jetë si kjo:

x 2 -17x+32=(x-2,155)(x-14,845)

Le të kontrollojmë nëse zgjidhjet e gjetura nga diskriminuesi korrespondojnë me formulat Vieta:

14,845 . 2,155=32

Për këto rrënjë zbatohet teorema e Vietës, ato janë gjetur saktë, që do të thotë se faktorizimi që kemi marrë është gjithashtu i saktë.

Në mënyrë të ngjashme, ne zgjerojmë 12x 2 + 7x-6.

x 1 =-7+(337) 1/2

x 2 =-7-(337)1/2

Në rastin e mëparshëm, zgjidhjet ishin numra jo të plotë, por realë, të cilët gjenden lehtësisht nëse keni para vetes një makinë llogaritëse. Tani le të shohim një shembull më kompleks, në të cilin rrënjët do të jenë komplekse: faktori x 2 + 4x + 9. Duke përdorur formulën e Vietës, rrënjët nuk mund të gjenden dhe diskriminuesi është negativ. Rrënjët do të jenë në planin kompleks.

D=-20

Në bazë të kësaj marrim rrënjët që na interesojnë -4+2i*5 1/2 dhe -4-2i * 5 1/2 që nga (-20) 1/2 = 2i*5 1/2 .

Ne marrim zbërthimin e dëshiruar duke zëvendësuar rrënjët në formulën e përgjithshme.

Një shembull tjetër: duhet të faktorizoni shprehjen 23x 2 -14x+7.

Ne kemi ekuacionin 23x 2 -14x+7 =0

D=-448

Kjo do të thotë se rrënjët janë 14+21.166i dhe 14-21.166i. Përgjigja do të jetë:

23x 2 -14x+7 =23(x- 14-21,166i )*(X- 14+21,166i ).

Le të japim një shembull që mund të zgjidhet pa ndihmën e një diskriminuesi.

Le të themi se duhet të zgjerojmë ekuacionin kuadratik x 2 -32x+255. Natyrisht, mund të zgjidhet edhe duke përdorur një diskriminues, por në këtë rast është më e shpejtë për të gjetur rrënjët.

x 1 = 15

x 2 = 17

Mjetet x 2 -32x+255 =(x-15)(x-17).

Në këtë mësim do të mësojmë se si të faktorizojmë trinomet kuadratike në faktorë linearë. Për ta bërë këtë, duhet të kujtojmë teoremën e Vietës dhe të kundërtën e saj. Kjo aftësi do të na ndihmojë të zgjerojmë shpejt dhe me lehtësi trinomet kuadratike në faktorë linearë, dhe gjithashtu do të thjeshtojë reduktimin e thyesave që përbëhen nga shprehje.

Pra, le të kthehemi te ekuacioni kuadratik, ku .

Ajo që kemi në anën e majtë quhet trinom kuadratik.

Teorema është e vërtetë: Nëse janë rrënjët e një trinomi kuadratik, atëherë identiteti qëndron

Ku është koeficienti kryesor, janë rrënjët e ekuacionit.

Pra, kemi një ekuacion kuadratik - një trinom kuadratik, ku rrënjët e ekuacionit kuadratik quhen edhe rrënjët e trinomit kuadratik. Prandaj, nëse kemi rrënjët e një trinomi katror, atëherë ky trinom zbërthehet në faktorë linearë.

Dëshmi:

Vërtetimi i këtij fakti kryhet duke përdorur teoremën e Vieta, të cilën e diskutuam në mësimet e mëparshme.

Le të kujtojmë se çfarë na thotë teorema e Vietës:

Nëse janë rrënjët e një trinomi kuadratik për të cilin , atëherë .

Pohimi i mëposhtëm rrjedh nga kjo teoremë:

Shohim që, sipas teoremës së Vietës, d.m.th., duke i zëvendësuar këto vlera në formulën e mësipërme, marrim shprehjen e mëposhtme

Q.E.D.

Kujtojmë që vërtetuam teoremën se nëse janë rrënjët e një trinomi katror, atëherë zgjerimi është i vlefshëm.

Tani le të kujtojmë një shembull të një ekuacioni kuadratik, të cilit i kemi zgjedhur rrënjët duke përdorur teoremën e Vieta-s. Nga ky fakt mund të marrim barazinë e mëposhtme falë teoremës së provuar:

Tani le të kontrollojmë korrektësinë e këtij fakti thjesht duke hapur kllapat:

Shohim që faktorizuam saktë dhe çdo trinom, nëse ka rrënjë, mund të faktorizohet sipas kësaj teoreme në faktorë linearë sipas formulës.

Sidoqoftë, le të kontrollojmë nëse një faktorizim i tillë është i mundur për ndonjë ekuacion:

Merrni, për shembull, ekuacionin . Së pari, le të kontrollojmë shenjën diskriminuese

Dhe kujtojmë se për të përmbushur teoremën që mësuam, D duhet të jetë më i madh se 0, kështu që në këtë rast faktorizimi sipas teoremës që mësuam është i pamundur.

Prandaj, ne formulojmë një teoremë të re: nëse një trinom katror nuk ka rrënjë, atëherë ai nuk mund të zbërthehet në faktorë linearë.

Pra, ne kemi parë teoremën e Vietës, mundësinë e zbërthimit të një trinomi kuadratik në faktorë linearë, dhe tani do të zgjidhim disa probleme.

Detyra nr. 1

Në këtë grup ne do ta zgjidhim problemin në të kundërt me atë të shtruar. Ne kishim një ekuacion dhe gjetëm rrënjët e tij duke e faktorizuar atë. Këtu do të bëjmë të kundërtën. Le të themi se kemi rrënjët e një ekuacioni kuadratik

Problemi i anasjelltë është ky: shkruani një ekuacion kuadratik duke përdorur rrënjët e tij.

Ka 2 mënyra për të zgjidhur këtë problem.

Meqenëse janë rrënjët e ekuacionit, atëherë është një ekuacion kuadratik rrënjëve të të cilit janë dhënë numra. Tani le të hapim kllapat dhe të kontrollojmë:

Kjo ishte mënyra e parë me të cilën krijuam një ekuacion kuadratik me rrënjë të dhëna, i cili nuk ka rrënjë të tjera, pasi çdo ekuacion kuadratik ka më së shumti dy rrënjë.

Kjo metodë përfshin përdorimin e teoremës së kundërt Vieta.

Nëse janë rrënjët e ekuacionit, atëherë ato plotësojnë kushtin që .

Për ekuacionin kuadratik të reduktuar , , dmth në këtë rast, dhe .

Kështu, ne kemi krijuar një ekuacion kuadratik që ka rrënjët e dhëna.

Detyra nr. 2

Është e nevojshme të zvogëlohet fraksioni.

Kemi një trinom në numërues dhe një trinom në emërues, dhe trinomët mund të faktorizohen ose jo. Nëse faktorizohen edhe numëruesi edhe emëruesi, atëherë midis tyre mund të ketë faktorë të barabartë që mund të reduktohen.

Para së gjithash, duhet të faktorizoni numëruesin.

Së pari, duhet të kontrolloni nëse ky ekuacion mund të faktorizohet, le të gjejmë diskriminuesin. Meqenëse , shenja varet nga produkti (duhet të jetë më i vogël se 0), në këtë shembull, d.m.th., ekuacioni i dhënë ka rrënjë.

Për të zgjidhur, ne përdorim teoremën e Vieta:

Në këtë rast, duke qenë se kemi të bëjmë me rrënjë, do të jetë mjaft e vështirë të zgjedhim thjesht rrënjët. Por ne shohim që koeficientët janë të balancuar, domethënë, nëse supozojmë se , dhe e zëvendësojmë këtë vlerë në ekuacion, marrim sistemin e mëposhtëm: , d.m.th. 5-5=0. Kështu, ne kemi zgjedhur një nga rrënjët e këtij ekuacioni kuadratik.

Ne do të kërkojmë rrënjën e dytë duke zëvendësuar atë që tashmë dihet në sistemin e ekuacioneve, për shembull, , d.m.th. .

Kështu, ne kemi gjetur të dy rrënjët e ekuacionit kuadratik dhe mund t'i zëvendësojmë vlerat e tyre në ekuacionin origjinal për ta faktorizuar atë:

Le të kujtojmë problemin origjinal, na duhej të reduktonim thyesën .

Le të përpiqemi ta zgjidhim problemin duke zëvendësuar .

Është e nevojshme të mos harrohet se në këtë rast emëruesi nuk mund të jetë i barabartë me 0, d.m.th., .

Nëse plotësohen këto kushte, atëherë ne kemi reduktuar thyesën origjinale në formën .

Problemi nr. 3 (detyrë me një parametër)

Në cilat vlera të parametrit është shuma e rrënjëve të ekuacionit kuadratik

Nëse rrënjët e këtij ekuacioni ekzistojnë, atëherë , pyetja: kur.

Një trinom katror është një polinom i formës ax^2 + bx + c, ku x është një ndryshore, a, b dhe c janë disa numra dhe a ≠ 0.

Për të faktorizuar një trinom, duhet të dini rrënjët e atij trinomi. (më tej një shembull mbi trinomin 5x^2 + 3x- 2)

Shënim: vlera e trinomit kuadratik 5x^2 + 3x - 2 varet nga vlera e x. Për shembull: Nëse x = 0, atëherë 5x^2 + 3x - 2 = -2

Nëse x = 2, atëherë 5x^2 + 3x - 2 = 24

Nëse x = -1, atëherë 5x^2 + 3x - 2 = 0

Në x = -1, trinomi katror 5x^2 + 3x - 2 zhduket, në këtë rast numri -1 quhet rrënja e një trinomi katror.

Si të merrni rrënjën e një ekuacioni

Le të shpjegojmë se si e kemi marrë rrënjën e këtij ekuacioni. Së pari, duhet të dini qartë teoremën dhe formulën me të cilën do të punojmë:

"Nëse x1 dhe x2 janë rrënjët e trinomit kuadratik ax^2 + bx + c, atëherë ax^2 + bx + c = a(x - x1) (x - x2)."

X = (-b±√(b^2-4ac))/2a\

Kjo formulë për gjetjen e rrënjëve të një polinomi është formula më primitive, duke përdorur të cilën nuk do të hutoheni kurrë.

Shprehja është 5x^2 + 3x – 2.

1. Barazoni me zero: 5x^2 + 3x – 2 = 0

2. Gjeni rrënjët e ekuacionit kuadratik, për ta bërë këtë ne zëvendësojmë vlerat në formulë (a është koeficienti i X^2, b është koeficienti i X, termi i lirë, domethënë figura pa X ):

Ne gjejmë rrënjën e parë me një shenjë plus përpara rrënjës katrore:

Х1 = (-3 + √(3^2 - 4 * 5 * (-2)))/(2*5) = (-3 + √(9 -(-40)))/10 = (-3 + √(9+40))/10 = (-3 + √49)/10 = (-3 +7)/10 = 4/(10) = 0,4

Rrënja e dytë me shenjën minus përpara rrënjës katrore:

X2 = (-3 - √(3^2 - 4 * 5 * (-2)))/(2*5) = (-3 - √(9- (-40)))/10 = (-3 - √(9+40))/10 = (-3 - √49)/10 = (-3 - 7)/10 = (-10)/(10) = -1

Pra, ne kemi gjetur rrënjët e trinomit kuadratik. Për t'u siguruar që ato janë të sakta, mund të kontrolloni: së pari ne zëvendësojmë rrënjën e parë në ekuacion, pastaj të dytën:

1) 5x^2 + 3x – 2 = 0

5 * 0,4^2 + 3*0,4 – 2 = 0

5 * 0,16 + 1,2 – 2 = 0

2) 5x^2 + 3x – 2 = 0

5 * (-1)^2 + 3 * (-1) – 2 = 0

5 * 1 + (-3) – 2 = 0

5 – 3 – 2 = 0

Nëse, pas zëvendësimit të të gjitha rrënjëve, ekuacioni bëhet zero, atëherë ekuacioni zgjidhet saktë.

3. Tani le të përdorim formulën nga teorema: ax^2 + bx + c = a(x-x1)(x-x2), mos harroni se X1 dhe X2 janë rrënjët e ekuacionit kuadratik. Pra: 5x^2 + 3x – 2 = 5 * (x - 0.4) * (x- (-1))

5x^2 + 3x– 2 = 5(x - 0,4)(x + 1)

4. Për t'u siguruar që zbërthimi është i saktë, thjesht mund të shumëzoni kllapat:

5(x - 0.4)(x + 1) = 5(x^2 + x - 0.4x - 0.4) = 5(x^2 + 0.6x – 0.4) = 5x^2 + 3 – 2. Që konfirmon korrektësinë të vendimit.

Opsioni i dytë për gjetjen e rrënjëve të një trinomi katror

Një tjetër mundësi për gjetjen e rrënjëve të një trinomi katror është teorema e anasjelltë e teoremës së Viette. Këtu rrënjët e ekuacionit kuadratik gjenden duke përdorur formulat: x1 + x2 = -(b), x1 * x2 = c. Por është e rëndësishme të kuptohet se kjo teoremë mund të përdoret vetëm nëse koeficienti a = 1, domethënë numri përpara x^2 = 1.

Për shembull: x^2 – 2x +1 = 0, a = 1, b = - 2, c = 1.

Ne zgjidhim: x1 + x2 = - (-2), x1 + x2 = 2

Tani është e rëndësishme të mendoni se çfarë numrash në produkt japin një? Natyrisht kjo 1 * 1 Dhe -1 * (-1) . Nga këta numra zgjedhim ata që korrespondojnë me shprehjen x1 + x2 = 2, natyrisht - kjo është 1 + 1. Pra, gjetëm rrënjët e ekuacionit: x1 = 1, x2 = 1. Kjo është e lehtë të kontrollohet nëse ne zëvendësoni x^2 në shprehjen - 2x + 1 = 0.

Llogaritësi online.
Izolimi i katrorit të një binomi dhe faktorizimi i një trinomi katror.

Ky program matematikor dallon një binom katror nga një trinom katror, d.m.th. bën një transformim si:
$ax^2+bx+c \shigjeta djathtas a(x+p)^2+q $ dhe faktorizon një trinom kuadratik: $ax^2+bx+c \shigjeta djathtas a(x+n)(x+m) $

ato. problemet përfundojnë në gjetjen e numrave $p, q$ dhe $n, m$

Programi jo vetëm që i jep përgjigje problemit, por shfaq edhe procesin e zgjidhjes.

Ky program mund të jetë i dobishëm për nxënësit e shkollave të mesme në shkollat e arsimit të përgjithshëm kur përgatiten për teste dhe provime, kur testojnë njohuritë para Provimit të Unifikuar të Shtetit dhe për prindërit për të kontrolluar zgjidhjen e shumë problemeve në matematikë dhe algjebër.

Apo ndoshta është shumë e shtrenjtë për ju të punësoni një mësues ose të blini tekste të reja shkollore? Apo thjesht dëshironi t'i kryeni detyrat e shtëpisë tuaj të matematikës ose algjebrës sa më shpejt që të jetë e mundur? Në këtë rast, ju gjithashtu mund të përdorni programet tona me zgjidhje të detajuara.

Në këtë mënyrë ju mund të kryeni trajnimin tuaj dhe/ose trajnimin e vëllezërve ose motrave tuaja më të vogla, ndërkohë që rritet niveli i arsimimit në fushën e zgjidhjes së problemeve.

Nëse nuk jeni të njohur me rregullat për futjen e një trinomi kuadratik, ju rekomandojmë që të njiheni me to.

Rregullat për futjen e një polinomi kuadratik
Çdo shkronjë latine mund të veprojë si një ndryshore.

Për shembull: $x, y, z, a, b, c, o, p, q$, etj.
Numrat mund të futen si numra të plotë ose të pjesshëm.

Për më tepër, numrat thyesorë mund të futen jo vetëm në formën e një dhjetore, por edhe në formën e një fraksioni të zakonshëm.
Rregullat për futjen e thyesave dhjetore.
Në thyesat dhjetore, pjesa thyesore mund të ndahet nga e gjithë pjesa ose me pikë ose me presje.

Për shembull, mund të futni thyesa dhjetore si kjo: 2.5x - 3.5x^2
Rregullat për futjen e thyesave të zakonshme.

Vetëm një numër i plotë mund të veprojë si numërues, emërues dhe pjesë e plotë e një thyese.

Emëruesi nuk mund të jetë negativ. /
Kur futni një thyesë numerike, numëruesi ndahet nga emëruesi me një shenjë pjesëtimi: &
E gjithë pjesa ndahet nga thyesa me shenjën ampersand:
Hyrja: 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2

Rezultati: $3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2$ Kur futni një shprehje mund të përdorni kllapa
. Në këtë rast, kur zgjidhet, fillimisht thjeshtohet shprehja e paraqitur.

Për shembull: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)

Shembull i një zgjidhjeje të detajuar Izolimi i katrorit të një binomi. $$ ax^2+bx+c \djathtas shigjetë a(x+p)^2+q $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\majtas( \frac(1)(2) \djathtas)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \djathtas)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\majtas (x^2 + 2 \cdot\left(\frac(1)(2) \djathtas)\cdot x + \left(\frac(1)(2) \djathtas)^2 \djathtas)-\frac(9 )(2) = $$ $$2\majtas(x+\frac(1)(2) \djathtas)^2-\frac(9)(2) $$ Përgjigje: $$2x^2+2x-4 = 2\majtas(x+\frac(1)(2) \djathtas)^2-\frac(9)(2) $$ Faktorizimi.
$$ ax^2+bx+c \djathtas shigjeta a(x+n)(x+m) $$ $$2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\majtas(x^2+x-2 \djathtas) = $$ $$ ax^2+bx+c \djathtas shigjetë a(x+p)^2+q $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\majtas( \frac(1)(2) \djathtas)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \djathtas)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\majtas (x^2 + 2 \cdot\left(\frac(1)(2) \djathtas)\cdot x + \left(\frac(1)(2) \djathtas)^2 \djathtas)-\frac(9 )(2) = $$ $$2\majtas(x+\frac(1)(2) \djathtas)^2-\frac(9)(2) $$$$2x^2+2x-4 = 2 \majtas(x -1 \djathtas) \majtas(x +2 \djathtas) $$

Vendosni

U zbulua se disa skripta të nevojshëm për të zgjidhur këtë problem nuk u ngarkuan dhe programi mund të mos funksionojë.
Mund ta keni të aktivizuar AdBlock.
Në këtë rast, çaktivizoni atë dhe rifreskoni faqen.

JavaScript është çaktivizuar në shfletuesin tuaj.
Që zgjidhja të shfaqet, duhet të aktivizoni JavaScript.
Këtu janë udhëzimet se si të aktivizoni JavaScript në shfletuesin tuaj.

Sepse Ka shumë njerëz të gatshëm për të zgjidhur problemin, kërkesa juaj është në radhë.
Në pak sekonda zgjidhja do të shfaqet më poshtë.
Ju lutem prisni sekondë...

Nëse ju vuri re një gabim në zgjidhje, atëherë mund të shkruani për këtë në Formularin e Feedback-ut.
mos harro tregoni se cila detyrë ju vendosni se çfarë futni në fusha.

Lojërat tona, enigmat, emulatorët:

Pak teori.

Izolimi i katrorit të një binomi nga një trinom katror

Nëse trinomi katror ax 2 +bx+c paraqitet si a(x+p) 2 +q, ku p dhe q janë numra realë, atëherë themi se nga trinomi katror, vihet në pah katrori i binomit.

Nga trinomi 2x 2 +12x+14 nxjerrim katrorin e binomit.

$2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) $

Për ta bërë këtë, imagjinoni 6x si një prodhim të 2*3*x, dhe më pas shtoni dhe zbritni 3 2. Ne marrim:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$

Se. ne nxjerr binomin katror nga trinomi katror, dhe tregoi se:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$

Faktorizimi i një trinomi kuadratik

Nëse trinomi katror ax 2 +bx+c paraqitet në formën a(x+n)(x+m), ku n dhe m janë numra real, atëherë thuhet se operacioni është kryer. faktorizimi i një trinomi kuadratik.

Le të tregojmë me një shembull se si bëhet ky transformim.

Le të faktorizojmë trinomin kuadratik 2x 2 +4x-6.

Le të nxjerrim koeficientin a jashtë kllapave, d.m.th. 2:
$2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) $

Le të transformojmë shprehjen në kllapa.
Për ta bërë këtë, imagjinoni 2x si ndryshim 3x-1x, dhe -3 si -1*3. Ne marrim:
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$

Se. ne faktorizoi trinomin kuadratik, dhe tregoi se:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$

Vini re se faktorizimi i një trinomi kuadratik është i mundur vetëm nëse ekuacioni kuadratik që i korrespondon këtij trinomi ka rrënjë.
ato. në rastin tonë, është e mundur të faktorizohet trinomi 2x 2 +4x-6 nëse ekuacioni kuadratik 2x 2 +4x-6 =0 ka rrënjë. Në procesin e faktorizimit, konstatuam se ekuacioni 2x 2 + 4x-6 = 0 ka dy rrënjë 1 dhe -3, sepse me këto vlera, ekuacioni 2(x-1)(x+3)=0 kthehet në një barazi të vërtetë.

Libra (tekste shkollore) Abstrakte të Provimit të Unifikuar të Shtetit dhe testeve të Provimit të Unifikuar të Shtetit në internet Lojëra, enigma Komplot grafikët e funksioneve Fjalori drejtshkrimor i gjuhës ruse Fjalori i zhargonit të të rinjve Katalogu i shkollave ruse Katalogu i institucioneve arsimore të mesme të Rusisë Katalogu i universiteteve ruse Lista të detyrave

Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Lëkundjet harmonike Formula e fizikës së frekuencës së lëkundjeve

Si të zgjidhet trinomi kuadratik i faktorizuar. Faktorizimi i një trinomi kuadratik