Një kënd poliedrik është një figurë e përbërë. Kënde poliedrike

Përkufizimet.

Le të marrim disa kënde (Fig. 37): ASB, BSC, CSD, të cilat, ngjitur në mënyrë sekuenciale me njëra-tjetrën, ndodhen në të njëjtin rrafsh rreth kulmit të përbashkët S. Le ta rrotullojmë rrafshin këndor ASB rreth anës së përbashkët SB në mënyrë që ky rrafsh të bëjë një kënd të caktuar dihedral me rrafshin BSC. Pastaj, pa ndryshuar këndin dihedral që rezulton, ne e rrotullojmë atë rreth vijës së drejtë SC në mënyrë që rrafshi BSC të bëjë një kënd të caktuar dihedral me rrafshin CSD. Le të vazhdojmë këtë rrotullim sekuencial rreth secilës anë të përbashkët. Nëse ana e fundit SF përkon me anën e parë SA, atëherë formohet një figurë (Fig. 38), e cila quhet këndi poliedrik . Këndet ASB, BSC,... quhen kënde të sheshta ose skajet , anët e tyre SA, SB, ... quhen brinjët , dhe kulmi i përbashkët S- krye

këndi poliedrik. Çdo skaj është gjithashtu një skaj i një këndi të caktuar dihedral; prandaj, në një kënd shumëkëndor ka aq kënde dykëndëshe dhe aq kënde të sheshta sa të gjitha skajet në të. Numri më i vogël ka tre fytyra në një kënd poliedrik; ky kënd quhet trekëndësh

. Mund të ketë kënde tetraedrale, pesëkëndëshe etj.

Një kënd poliedrik shënohet ose me një shkronjë të vetme S të vendosur në kulm, ose me një seri shkronjash SABCDE, nga të cilat e para tregon kulmin, dhe të tjerat - skajet në rendin e vendndodhjes së tyre.

Një kënd poliedrik quhet konveks nëse ndodhet tërësisht në njërën anë të rrafshit të secilës faqe të tij, i cili zgjatet pafundësisht. Ky është, për shembull, këndi i paraqitur në vizatimin 38. Përkundrazi, këndi në vizatimin 39 nuk mund të quhet konveks, pasi ndodhet në të dy anët e skajit ASB ose buzës BCC. Nëse i kryqëzojmë të gjitha faqet e një këndi shumëkëndësh me një plan, atëherë në seksionin ( abcde

). Në një kënd shumëkëndor konveks, ky shumëkëndësh është gjithashtu konveks.

Ne do të marrim parasysh vetëm këndet konvekse poliedrike. Teorema.

Në një kënd trekëndor, çdo kënd i rrafshët është më i vogël se shuma e dy këndeve të tjera të rrafshët.

Le të jetë këndi ASC më i madhi nga këndet e rrafshët në këndin trekëndor SABC (Fig. 40).

Le të vizatojmë në këtë kënd këndin ASD, të barabartë me këndin ASB, dhe të vizatojmë një vijë të drejtë AC që pret SD në një pikë D. Le të vizatojmë SB = SD. Duke lidhur B me A dhe C, marrim \(\Delta\)ABC, në të cilën< АВ + ВС.

AD+DC Trekëndëshat ASD dhe ASB janë kongruentë sepse secili prej tyre përmban një kënd të barabartë ndërmjet tyre: pra AD = AB. Prandaj, nëse në pabarazinë e prejardhur e hedhim poshtë kushte të barabarta AD dhe AB, marrim atë DC< ВС.

Tani vërejmë se në trekëndëshat SCD dhe SCB, dy brinjët e njërës janë të barabarta me dy brinjët e tjetrës, por brinjët e treta nuk janë të barabarta; në këtë rast, këndi më i madh qëndron përballë më të madhit të këtyre anëve; Mjetet,

∠CSD< ∠ CSВ.

Duke shtuar këndin ASD në anën e majtë të kësaj pabarazie, dhe këndin ASB të barabartë me të në anën e djathtë, marrim pabarazinë që duhej vërtetuar:

∠ASC< ∠ CSB + ∠ ASB.

Kemi vërtetuar se edhe këndi më i madh i rrafshit është më i vogël se shuma e dy këndeve të tjera. Kjo do të thotë se teorema është vërtetuar.

Pasoja.

Zbrit nga të dyja anët e pabarazisë së fundit sipas këndit ASB ose këndit CSB; marrim:< ∠ CSB;

∠ASC - ∠ASB< ∠ ASB.

∠ASC - ∠CSB Duke i konsideruar këto pabarazi nga e djathta në të majtë dhe duke marrë parasysh atë kënd ASC si më të madhin prej tre qoshe më i madh se ndryshimi i dy këndeve të tjera, arrijmë në përfundimin se.

Ne do të marrim parasysh vetëm këndet konvekse poliedrike. në një kënd trekëndor, çdo kënd i rrafshët është më i madh se ndryshimi i dy këndeve të tjerë .

Në një kënd shumëkëndor konveks, shuma e të gjitha këndeve të rrafshët është më e vogël se 4d (360°) Le të kalojmë skajet (Fig. 41) kënd konveks SABCDE me ndonjë aeroplan; nga kjo marrim një prerje tërthore konveks n

-gon ABCDE.

Duke zbatuar teoremën e provuar më herët për secilin nga këndet trekëndësh, kulmet e të cilëve janë në pikat A, B, C, D dhe E, ne pacholym:< ∠ABS + ∠SВC, ∠BCD < ∠BCS + ∠SCD и т. д.

∠ABC Le t'i mbledhim të gjitha këto pabarazi term pas termi. Pastaj në anën e majtë marrim shumën e të gjitha këndeve të shumëkëndëshit ABCDE, e cila është e barabartë me 2 - 4dn d , dhe në të djathtë - shuma e këndeve të trekëndëshave ABS, SBC, etj., me përjashtim të atyre këndeve që shtrihen në kulmin S. Duke treguar shumën e këtyre këndeve të fundit me shkronjën X

2Le t'i mbledhim të gjitha këto pabarazi term pas termi. Pastaj në anën e majtë marrim shumën e të gjitha këndeve të shumëkëndëshit ABCDE, e cila është e barabartë me 2 - 4dn < 2, marrim pas shtimit: .

dn - x Le t'i mbledhim të gjitha këto pabarazi term pas termi. Pastaj në anën e majtë marrim shumën e të gjitha këndeve të shumëkëndëshit ABCDE, e cila është e barabartë me 2 - 4dn Meqenëse në dallime 2 , marrim pas shtimit: dhe 2 dn minuendat janë të njëjta, atëherë që diferenca e parë të jetë më e vogël se e dyta, është e nevojshme që subtrahend 4 , dhe në të djathtë - shuma e këndeve të trekëndëshave ABS, SBC, etj., me përjashtim të atyre këndeve që shtrihen në kulmin S. Duke treguar shumën e këtyre këndeve të fundit me shkronjën ishte më shumë se e zbritshme dn > , dhe në të djathtë - shuma e këndeve të trekëndëshave ABS, SBC, etj., me përjashtim të atyre këndeve që shtrihen në kulmin S. Duke treguar shumën e këtyre këndeve të fundit me shkronjën ; që do të thotë 4 , dhe në të djathtë - shuma e këndeve të trekëndëshave ABS, SBC, etj., me përjashtim të atyre këndeve që shtrihen në kulmin S. Duke treguar shumën e këtyre këndeve të fundit me shkronjën < 4dn .

, d.m.th.

Rastet më të thjeshta të barazisë së këndeve trekëndore Teorema.

1) Këndet trekëndore janë të barabartë nëse kanë: përgjatë një këndi të barabartë dihedral të mbyllur midis dy këndeve të rrafshët përkatësisht të barabarta dhe identike të ndarë

2) , ose përgjatë një këndi të barabartë të rrafshit të mbyllur midis dy përkatësisht të barabarta dhe të vendosura në mënyrë identike .

kënde dihedrale 1) Le të jenë S dhe S 1 dy kënde trekëndësh (Fig. 42), për të cilët ∠ASB = ∠A 1 S 1 B 1, ∠ASC = ∠A 1 S 1 C 1 (dhe këto kënde të barabarta

Le të fusim këndin S 1 në këndin S në mënyrë që pikat S 1 dhe S, drejtëzat S 1 A 1 dhe SA dhe rrafshet A 1 S 1 B 1 dhe ASB të përkojnë. Atëherë buza S 1 B 1 do të shkojë përgjatë SB (për shkak të barazisë së këndeve A 1 S 1 B 1 dhe ASB), rrafshi A 1 S 1 C 1 do të shkojë përgjatë ASC (për shkak të barazisë së këndeve diedrale ) dhe buza S 1 C 1 do të shkojë përgjatë skajit SC (për shkak të barazisë së këndeve A 1 S 1 C 1 dhe ASC). Kështu, këndet trekëndore do të përkojnë me të gjitha skajet e tyre, d.m.th. do të jenë të barabartë.

2) Shenja e dytë, si e para, vërtetohet me ngulitje.

Kënde poliedrike simetrike

Siç dihet, kënde vertikale janë të barabarta kur flasim për kënde të formuara nga drejtëza ose rrafshe. Le të shohim nëse kjo deklaratë është e vërtetë në lidhje me këndet poliedrike.

Le të vazhdojmë (Fig. 43) të gjitha skajet e këndit SABCDE përtej kulmit S, atëherë formohet një kënd tjetër poliedrik SA 1 B 1 C 1 D 1 E 1, i cili mund të quhet vertikale në raport me këndin e parë. Është e lehtë të shihet se të dy këndet kanë kënde të barabarta rrafsh dhe dihedrale, përkatësisht, por të dyja janë të vendosura në rend i kundërt. Në të vërtetë, nëse imagjinojmë një vëzhgues që shikon nga jashtë një kënd shumëkëndor në kulmin e tij, atëherë skajet SA, SB, SC, SD, SE do t'i duken të vendosura në drejtim të kundërt të akrepave të orës, ndërsa, duke parë këndin SA 1 B. 1 C 1 D 1 E 1, ai sheh skajet SA 1, SB 1, ..., të vendosura në drejtim të akrepave të orës.

Këndet poliedrike me kënde përkatësisht të barabarta të rrafshët dhe dykëndësh, por të vendosur në rend të kundërt, në përgjithësi nuk mund të kombinohen kur janë të folezuar; kjo do të thotë se ata nuk janë të barabartë. Kënde të tilla quhen simetrike(në lidhje me kulmin S). Simetria e figurave në hapësirë ​​do të diskutohet më në detaje më poshtë.

2.4. Kënde poliedrike

Sipas planifikimi tematik, për këtë pjesë është caktuar një orë kohë studimi (një orë mësimi).

1. Kontrollimi i detyrave të shtëpisë (5 min.)

2. Ne kryejmë faza e punës me informacionin (20 –25min.)

Teknologjikisht, skena është e përqendruar në formimin parësor të universalit kognitiv aktivitete edukative(aftësia për të formuluar pyetje për tekstin, për të formuluar në mënyrë të pavarur përgjigjet bazuar në tekst).

Ky paragraf gjen zhvillimin e mëtejshëm koncepti i këndit trekëndor. Shfaqet një kënd poliedrik, dhe në lidhje me këtë bëhet e mundur të sqarohet koncepti i një shumëkëndëshi.

Në lidhje me këndet poliedrike, diskutohet edhe një herë problemi i konveksitetit të figurave. Duke përdorur shembullin e këndeve shumëkëndëshe, ne sqarojmë më tej idetë e nxënësve për figurat konvekse dhe jokonvekse (poligone, kënde shumëkëndëshe, figura arbitrare).

Për këndet poliedrike është e dobishme të formulohen vetitë e këndeve të tyre të rrafshët, të ngjashme me vetitë përkatëse të këndeve të rrafshët të një këndi trekëndor (pa vërtetim):

1. Çdo kënd i rrafshët i një këndi shumëkëndor është më i vogël se shuma e këndeve të tjera të rrafshët.

2. Shuma e të gjitha këndeve të rrafshët të një këndi shumëkëndor është më e vogël se 360º.

3. Ne kryejmë faza e zhvillimit të aftësive (15 –20 min.)

Skena është e fokusuar në prodhim

UUD njohëse - formimi i aftësive:

– mbi përdorimin e njohurive matematikore për zgjidhje të ndryshme problemet matematikore dhe vlerësimin e rezultateve të marra;

– mbi përdorimin e të folurit matematikor demonstrues;

– për punën me informacionin, duke përfshirë tekste të ndryshme matematikore;

Aftësitë e menaxhimit rregullator – zhvillimi i aftësive për të vendosur qëllime personale për aktivitetet, për të planifikuar punën tuaj, për të vepruar sipas planit, për të vlerësuar rezultatet e arritura;

UUD komunikuese - zhvillimi i aftësive, së bashku me fëmijët e tjerë në grup, për të gjetur një zgjidhje për një problem dhe për të vlerësuar rezultatet e marra.

Diskutojmë që kjo është faza e sqarimit të gjithçkaje që nuk është e qartë, si dhe trajnimi. Ne vendosëm qëllimet e punës për në këtë fazë, gjatë arritjes së përcaktimit të synimeve personale nga fëmijët: shpjegoni për veten timeçdo gjë që nuk kuptohet mirë, praktikoni zgjidhjen e atyre problemeve që shkaktojnë vështirësi.

Këtu mund të punoni me detyrat 34, 35 në faqet 29–30.

Ne ofrojmë gjithashtu disa detyra shtesë.

1) Një kënd poliedrik ka SABCDE me ndonjë aeroplan; nga kjo marrim një prerje tërthore konveks fytyrat. Sa brinjë ka?

Përgjigje: SABCDE me ndonjë aeroplan; nga kjo marrim një prerje tërthore konveks brinjët

2) A është e mundur të bëhet një model i një këndi tetraedral me kënde të sheshta: 1) 80°, 130°, 70°, 100°; 2) 45°, 60°, 120°, 90°; 3) 80°, 80°, 80°, 80°? Nëse modeli është i suksesshëm, cili kënd është ai: konveks apo jo konveks?

Përgjigje: 1) është e mundur; 2) mund të jetë ose konveks ose jo konveks; 3) e mundur, vetëm konveks.

3) Bazuar në vetinë e këndeve të rrafshët të një këndi trekëndor që dini, vërtetoni se çdo kënd i rrafshët i një këndi katërkëndor është më i vogël se shuma e tre këndeve të tjera të tij të rrafshët.

Udhëzime: Duhet të vizatoni një aeroplan përmes dy skajeve të kundërta dhe të ekzaminoni këndet trekëndore që rezultojnë. Vërtetimi është i vlefshëm vetëm për këndet konveks.

4) Në një kënd tetraedral, të gjitha këndet e rrafshët janë të barabarta. Provoni se janë të mprehtë.

Zgjidhje: 1. Le të a – masë shkallë kënd i sheshtë.

2. Pastaj 4α< 360° (по свойству суммы плоских углов выпуклого многогранного угла).

3. Prandaj, α< 90°, т. е. α – острый угол.

5) Në një kënd shumëkëndor konveks, secili nga këndet e rrafshët është i barabartë me a) 30°; b) 45°; c) 80°; d) 150°. Sa faqe mund të ketë një kënd i tillë poliedrik?

Përgjigje: a) 3 ≤ SABCDE me ndonjë aeroplan; nga kjo marrim një prerje tërthore konveks< 12; б) 3 ≤ SABCDE me ndonjë aeroplan; nga kjo marrim një prerje tërthore konveks < 8; в) 3 ≤ SABCDE me ndonjë aeroplan; nga kjo marrim një prerje tërthore konveks < 4,5; г) 3 ≤ SABCDE me ndonjë aeroplan; nga kjo marrim një prerje tërthore konveks < 2,4 (такого многогранного угла не существует). При подсчетах нужно учитывать, что SABCDE me ndonjë aeroplan; nga kjo marrim një prerje tërthore konveks- një numër i plotë.

6) Në një kënd shumëkëndor konveks, të gjitha këndet e rrafshët janë të barabartë me njëri-tjetrin. Një kënd poliedrik ka a) 6; b) 8; c) 10 fytyra. Cilat janë këndet e rrafshët të këtij këndi shumëkëndor?

Ne arsyetojmë në të njëjtën mënyrë si kur zgjidhim problemin 5, SABCDE me ndonjë aeroplan; nga kjo marrim një prerje tërthore konveks α < 360°, где SABCDE me ndonjë aeroplan; nga kjo marrim një prerje tërthore konveks– numri i faqeve të një këndi shumëedral, α – masa e shkallës së një këndi të rrafshët; 0 ≤ α< 360°/ SABCDE me ndonjë aeroplan; nga kjo marrim një prerje tërthore konveks.

Përgjigje: a) 0 ≤ α< 60°; б) 0 ≤ α< 45°; в) 0 ≤ α< 36°.

Pasi të ketë mbaruar koha e caktuar për kryerjen e detyrave, rezultatet e punës paraqiten nga mësuesi në tabelë dhe diskutohen nga nxënësit. Puna përmblidhet, ndodh vetëvlerësimi, shoqërohet me përcaktimin e asaj që është e qartë dhe funksionon dhe çfarë nuk është e qartë dhe nuk funksionon.

4. Le të formulojmë detyrat e shtëpisë Nga nivele të ndryshme kompleksiteti - në varësi të rezultateve të punës në fazën e mëparshme.

KËNDET SHUMËHEDAL

Një kënd poliedrik është analog hapësinor i një shumëkëndëshi. Kujtoni se një shumëkëndësh në një rrafsh është një figurë e formuar nga një vijë e thjeshtë e thyer e mbyllur dhe rajoni i brendshëm i kufizuar prej saj. Ne do ta konsiderojmë një rreze në hapësirë ​​si një analog të një pike në një plan, dhe një kënd të rrafshët në hapësirë ​​si një analog të një segmenti në një plan. Atëherë analogu i një linje të thjeshtë të thyer të mbyllur në aeroplan është një sipërfaqe e formuar nga një grup i kufizuar këndesh planiA 1 S.A. 2 , A 2 S.A. 3 , …, Një n -1 SA n, A n SA 1 me një kulm të përbashkëtS (Fig. 1), në të cilën qoshet fqinje nuk kanë pika të përbashkëta, me përjashtim të pikave të një rrezeje të përbashkët, dhe qoshet jo ngjitur nuk kanë pikat e përbashkëta, me përjashtim të kulmit të përbashkët. Figura e formuar nga sipërfaqja e treguar dhe njëra nga dy pjesët e hapësirës së kufizuar prej saj quhet Le ta rrotullojmë rrafshin këndor ASB rreth anës së përbashkët SB në mënyrë që ky rrafsh të bëjë një kënd të caktuar dihedral me rrafshin BSC. Pastaj, pa ndryshuar këndin dihedral që rezulton, ne e rrotullojmë atë rreth vijës së drejtë SC në mënyrë që rrafshi BSC të bëjë një kënd të caktuar dihedral me rrafshin CSD. Le të vazhdojmë këtë rrotullim sekuencial rreth secilës anë të përbashkët. Nëse ana e fundit SF përkon me anën e parë SA, atëherë formohet një figurë (Fig. 38), e cila quhet. Top i zakonshëmSthirrur , dhe kulmi i përbashkët S- këndi poliedrik. RrezetS.A. 1 , …, SA nquhen brinjët këndi poliedrik, dhe vetë këndet e rrafshëtA 1 S.A. 2 , A 2 S.A. 3 , …, Një n -1 SA n, A n SA 1 – ose këndi poliedrik. Një kënd poliedrik tregohet me shkronjaS.A. 1 … Një n, duke treguar kulmin dhe pikat në skajet e tij. Në varësi të numrit të faqeve, këndet shumëedrale quhen trekëndësh, katërkëndor, pesëkëndor (Fig. 2) etj.

Një kënd poliedrik quhet konveks, nëse është figurë konvekse, d.m.th. së bashku me çdo dy nga pikat e tij përmban edhe atë që i lidh ato segment Në figurën 2, këndet trihedral dhe tetraedral janë konveks, por këndi pesëkëndor jo.
Le të shqyrtojmë disa veti të trekëndëshave dhe veti të ngjashme të këndeve trekëndësh.
Prona 1(Pabarazia e trekëndëshit). Çdo brinjë e një trekëndëshi është më e vogël se shuma e dy brinjëve të tjera të tij.
Një veti e ngjashme për këndet trekëndore është vetia e mëposhtme.
Prona 1Çdo cep i sheshtë këndi trekëndor më pak se shuma e dy këndeve të tjera të rrafshët të saj.
Dëshmi. Konsideroni një kënd trekëndor SABC . Le të jetë këndi më i madhi nga këndet e tij të rrafshët A.S.C.. Atëherë pabarazitë qëndrojnë

ASB ASC< ASC + BSC ;BSC ASC< ASC + ASB .

Kështu, mbetet për të vërtetuar pabarazinë ASC< A.S.B.+ BSC.
Le ta vendosim në buzë A.S.C. qoshe A.S.D., të barabartë A.S.B. , dhe periudha B le të zgjedhim kështu SB = SD(Fig. 3). Pastaj trekëndëshat A.S.B. Dhe A.S.D. të barabartë (në dy anët dhe këndin ndërmjet tyre) dhe, për rrjedhojë, AB = AD. Le të përdorim pabarazinë e trekëndëshit A.C.< AB + BC . Duke zbritur nga të dy pjesët e tij AD = AB, marrim pabarazinë DC< BC. Në trekëndësha DSC Dhe BSC njëra anë është e zakonshme ( S.C.), SD = SB Dhe DC< BC. Në këtë rast, kundër anën më të madhe shtrihet një kënd më i madh dhe, për rrjedhojë, DSC< BSC . Duke i shtuar të dyja anët e kësaj pabarazie këndin A.S.D. , të barabartë A.S.B., marrim pabarazinë e kërkuar ASC< A.S.B.+ BSC.

Përfundimi 1.Shuma e këndeve të rrafshët të një këndi trekëndor është më pak se 360° .
Dëshmi. Le SABC– një kënd i dhënë trekëndor. Konsideroni një kënd trekëndor me kulm A, i formuar nga skajet ABS, ACS dhe këndi BAC. Për shkak të pronës së provuar, pabarazia qëndron BAC< BAS+ CAS. Në mënyrë të ngjashme, për këndet trekëndore me kulme B Dhe ME ka pabarazi: ABC< ABS+ CBS, ACB< ACS+ BCS. Duke i mbledhur këto pabarazi dhe duke marrë parasysh se shuma e këndeve të një trekëndëshi ABC e barabartë me 180° , marrim 180 ° < BAS+CAS+ ABS+CBS+BCS+ ACS= 180 ° - ASB+ 180° - BSC+ 180° - A.S.C.. Prandaj, ASB+BSC+ASC< 360 ° .
Përfundimi 2.Shuma e këndeve të rrafshët të një këndi shumëkëndor konveks është më pak se 360.
Prova është e ngjashme me atë të mëparshme.
Përfundimi 3.Shuma e këndeve dykëndëshe të një këndi trekëndor është më e madhe se 180° .
Dëshmi. Le SABC- kënd trekëndësh. Le të zgjedhim një pikë P brenda tij dhe hidhni pingulet prej tij PA 1 , P.B. 1 , PC 1 në buzë (Fig. 4).

Qoshe të sheshta B 1 PC 1 , A 1 PC 1 , A 1 P.B. 1 plotësojnë këndet dihedrale përkatëse me buzë SA, SB, SC deri në 180° . Prandaj, shuma e këtyre këndeve dihedrale është 540° - ( B 1 PC 1 +A 1 PC 1 + A 1 P.B. 1 ). Duke marrë parasysh se shuma e këndeve të rrafshët të një trekëndëshi me një kulm P kënd më i vogël se 360° , ne gjejmë se shuma e këndeve dihedrale të këndit fillestar trekëndor është më e madhe se 180° .
Prona 2.Përgjysmuesit e një trekëndëshi priten në një pikë.
Prona 2". Rrafshët përgjysmues të këndeve dykëndësh të një këndi trekëndor priten përgjatë një vije të drejtë.
Prova është e ngjashme me rastin e avionit. Domethënë, le SABC- kënd trekëndësh. Rrafshi dysektal i një këndi dykëndor S.A.është GMT e këndit të barabartë nga faqet e tij A.S.C. Dhe A.S.B.. Në mënyrë të ngjashme, rrafshi përgjysmues i një këndi dihedral S.B.është GMT e këndit të barabartë nga faqet e tij B.S.A. Dhe BSC . Vija e kryqëzimit të tyre SO do të jetë e barabartë nga të gjitha faqet e këndit trekëndor dhe, për rrjedhojë, rrafshi përgjysmues i këndit dihedral do të kalojë nëpër të S.C. .
Prona 3.Përgjysmuesit pingul me brinjët e një trekëndëshi priten në një pikë.
Prona 3".Planet që kalojnë nëpër përgjysmuesit e faqeve të një këndi trekëndor dhe pingul me këto faqe kryqëzohen përgjatë një linje të drejtë.
Prova është e ngjashme me vërtetimin e pasurisë së mëparshme.
Prona 4.Medianat e një trekëndëshi kryqëzohen në një pikë.
Prona 4".Planet që kalojnë nëpër skajet e një këndi trekëndor dhe përgjysmuesit e faqeve të kundërta kryqëzohen përgjatë një linje të drejtë.
Dëshmi. Konsideroni një kënd trekëndor SABC,SA=SB=SC(Fig. 5). Pastaj përgjysmuesit S.A. 1 , S.B. 1 , S.C. 1 qoshet BSC, ASC, ASB janë medianat e trekëndëshave përkatës. Kjo është arsyeja pse A.A. 1 , BB 1 , CC 1 - mediat e një trekëndëshi ABC. Le O– pika e kryqëzimit të tyre. Drejt SO përmbahet në të tre rrafshet në shqyrtim dhe, për rrjedhojë, është vija e kryqëzimit të tyre.

Prona 5.Lartësitë e një trekëndëshi kryqëzohen në një pikë.
Prona 5Planet që kalojnë nëpër skajet e një këndi trekëndor dhe pingul fytyra të kundërta, kryqëzohen përgjatë një vije të drejtë.
Dëshmi. Konsideroni një kënd trekëndor me kulm S dhe brinjët a, b, c. Le të shënojmë a 1 , b 1 , c 1 – vijat e kryqëzimit të faqeve me rrafshet që kalojnë nëpër skajet përkatëse dhe pingul me këto faqe (Fig. 6). Le të rregullojmë pikën C në buzë c dhe hidhni pingulet prej saj C.A. 1 Dhe C.B. 1 në vija të drejta a 1 dhe b 1 . Le të shënojmë A Dhe B kryqëzimet e linjës C.A. 1 dhe C.B. 1 me vija të drejta a Dhe b. Pastaj S.A. 1 është një projeksion A.A. 1 deri në buzë BSC. Sepse B.C. pingul S.A. 1 , atëherë është pingul dhe A.A. 1 . Po kështu, A.C. pingul BB 1 . Kështu, A.A. 1 dhe BB 1 janë lartësitë e trekëndëshit ABC. Le O– pika e kryqëzimit të tyre. Aeroplanët që kalojnë nëpër linja a Dhe a 1 , b Dhe b 1 pingul me rrafshin ABC dhe, për rrjedhojë, vijën e kryqëzimit të tyre SO pingul ABC. Mjetet, SO pingul AB. Në anën tjetër, CO pingul AB. Prandaj, avioni kalon nëpër buzë c Dhe SO do të jetë pingul me skajin e kundërt.
Vetia 6 (teorema e sinusit). Në një trekëndësh ABC me palët a, b, c në përputhje me rrethanat, barazitë ndodhin a : mëkat A = b: mëkat B=c: mëkat C.
Prona 6". Le të a, b, g - kënde të sheshta të një këndi trekëndor, a, b, c– kënde dihedrale përballë tyre. Pastaj mëkat a: mëkat a= mëkat b : mëkat b= mëkat g: mëkat c.
Dëshmi. Le SABC- kënd trekëndësh. Le të largohemi nga pika C pingul CC 1 tek avioni A.S.B. dhe pingul C.A. 1 në buzë S.A.(Fig. 7). Pastaj këndi C.A. 1 C 1 do kënd linear kënd dihedral a. Kjo është arsyeja pse CC 1 = C.A. 1 mëkat a = S.C. mëkat b mëkat a. Në mënyrë të ngjashme tregohet se CC 1 = CB 1 mëkat b = SC mëkat një mëkat b. Rrjedhimisht, mëkati i barazisë b mëkat a = mëkat a mëkat b dhe, për rrjedhojë, mëkati i barazisë a: mëkat a= mëkat b : mëkat b. Në mënyrë të ngjashme vërtetohet se barazia mëkat b: mëkat b= mëkat g: mëkat c.

Prona 7.Nëse një rreth mund të futet në një katërkëndësh konveks, atëherë shumat e anëve të kundërta janë të barabarta.
Prona 7". Nëse një sferë mund të futet në një kënd konveks tetraedral, atëherë shumat e këndeve të planit të kundërt janë të barabarta.

Letërsia
1. Hadamard J. Gjeometria elementare. Pjesa II. Stereometria. – M.: Uchpedgiz, 1938.
2. Perepelkin D.I. Epo gjeometria elementare. Pjesa II. Gjeometria në hapësirë. – M.-L.: Gostekhizdat, 1949.
3. Enciklopedi matematika elementare. Libri IV. Gjeometria. - M.; 1963.
4. Smirnova I.M. Në botën e poliedrave. – M.: Arsimi, 1995.

MAOU "Liceu i Teknologjive Inovative"

Kënde poliedrike. Polyedra konvekse

Përgatitur nga nxënësi i klasës 10B: Alexey Burykin

Kontrolluar nga: Dubinskaya I.A.

Khabarovsk

Këndi poliedrik

Këndi poliedrikështë një figurë e formuar nga kënde të rrafshët të tillë që të plotësohen kushtet e mëposhtme:

1) dy kënde nuk kanë pika të përbashkëta përveç kulmit të tyre të përbashkët ose anës së plotë;

2) për secilin nga këto kënde, secila anë e saj është e përbashkët me një dhe vetëm një kënd tjetër të tillë;

3) nga çdo cep mund të shkoni në çdo cep përgjatë qosheve që kanë një anë të përbashkët;

4) nuk ka dy kënde me anën e përbashkët mos shtrihuni në të njëjtin plan.

• Quhen këndet ASB, BSC,... . Këndet ASB, BSC,... quhen kënde të sheshta ose, anët e tyre SA, SB, ... quhen , anët e tyre SA, SB, ... quhen, dhe kulmi i përbashkët S- , dhe kulmi i përbashkët S- krye

Teorema 1.

Teorema.

Pasoja

• / ASC- / ASB/CSB; / ASC- / CSB/ASB.

Në një kënd trekëndor, çdo kënd i rrafshët është më i madh se ndryshimi i dy këndeve të tjerë .

Teorema 2.

• Shuma e vlerave të të tre këndeve të rrafshët të një këndi trekëndor është më pak se 360° .

Dëshmi

Le të shënojmë

atëherë nga trekëndëshat ASC, ASB, BSC kemi

Tani pabarazia merr formën

180° - α + 180° - β + 180° - γ 180°,

prej nga rrjedh se

α + β + γ

Rastet më të thjeshta të barazisë së këndeve trekëndore

• 1) Këndet trekëndore janë të barabartë nëse kanë: , ose 2) përgjatë një këndi të barabartë të rrafshët të mbyllur midis dy këndeve dykëndore përkatësisht të barabarta dhe identike të ndarë .

Këndi poliedrik konveks

• Një kënd shumëedral quhet konveks nëse ndodhet tërësisht në njërën anë të rrafshit të secilës faqe të tij, i cili zgjatet pafundësisht.

Polyedron.

Polyedron, në hapësirën tredimensionale - një koleksion numër i kufizuar shumëkëndësha të rrafshët, të tillë që secila anë e ndonjë prej shumëkëndëshave është njëkohësisht ana e një tjetri, që quhet ngjitur me të parën.

Polyedra konvekse

Polyedron thirrur konveks, nëse shtrihet tërësisht në njërën anë të rrafshit të ndonjë prej faqeve të tij; atëherë edhe skajet e saj janë konvekse.

Polyedron konveks e ndan hapësirën në dy pjesë - të jashtme dhe të brendshme. Pjesa e saj e brendshme është një trup konveks. Në të kundërt, nëse sipërfaqja e një trupi konveks është shumëfaqëshe, atëherë shumëfaqëshi përkatës është konveks.

Teorema. Shuma e të gjitha këndeve të rrafshët të një këndi shumëkëndor konveks është më pak se 360 ​​gradë.

Prona 1. Në një shumëkëndësh konveks, të gjitha faqet janë shumëkëndësha konveks.

Prona2.Çdo shumëkëndësh konveks mund të përbëhet nga piramida me një kulm të përbashkët, baza e të cilave formon sipërfaqen e një poliedri.

№1 Data 09/05/14

Gjeometria e lëndës

Klasa 11

Tema e mësimit: Koncepti i këndit poliedrik. Këndi trekëndor.

Objektivat e mësimit:

prezantoni konceptet: “kënde trekëndëshe”, “kënde shumëkëndëshe”, “polyedrik”;

të njohë studentët me elementet e këndeve trekëndëshe dhe shumëkëndëshe, shumëkëndëshat, si dhe përkufizimet e një këndi shumëkëndor konveks dhe vetitë e këndeve të rrafshët të një këndi shumëkëndor;

të vazhdojë punën zhvillimore paraqitjet hapësinore Dhe imagjinata hapësinore, dhe gjithashtu të menduarit logjik nxënësit.

Lloji i mësimit: mësimi i materialit të ri

PËRPARIMI I ORËS MËSIMORE

1. Momenti organizativ.

Përshëndetja e nxënësve, kontrollimi i gatishmërisë së klasës për mësimin, organizimi i vëmendjes së nxënësve, zbulimi i qëllimeve të përgjithshme të mësimit dhe planit të tij.

2. Formimi i koncepteve dhe metodave të reja të veprimit.

Objektivat: Të sigurohet që nxënësit të perceptojnë, kuptojnë dhe mbajnë mend materialin që studiohet. Sigurohuni që studentët të zotërojnë metodat e riprodhimit të materialit të studiuar, të nxisin kuptimin filozofik të koncepteve, ligjeve, rregullave dhe formulave që përftohen. Për të vendosur korrektësinë dhe ndërgjegjësimin e materialit të studiuar nga studentët, për të identifikuar boshllëqet në të kuptuarit parësor dhe për të kryer korrigjime. Sigurohuni që studentët të lidhin përvojën e tyre subjektive me shenjat e njohurive shkencore.

Le të jepen tre rrezeA, b Dheme me fillimi i përbashkët pikaRRETH (Fig. 1.1). Këto tre rreze nuk qëndrojnë domosdoshmërisht në të njëjtin rrafsh. Në figurën 1.2 rrezetb DheMe shtrihu në një avionp, dhe rrezeA nuk shtrihet në këtë aeroplan.

RrezetA, b DheMe të përcaktojë në çift tre kënde të rrafshët të theksuara me harqe (Fig. 1.3).

Konsideroni një figurë të përbërë nga tre këndet e treguara më sipër dhe nga pjesa e hapësirës e kufizuar nga këto kënde të rrafshët. Kjo figurë hapësinore thirrurkënd trekëndësh (Fig. 2).

RrezetA, b dhe me quhenskajet e një këndi trekëndor, dhe këndet: = A.O.C. = A.O.B.

= BOC , kufizimi i një këndi trekëndor - i sajskajet. Këto kënde buzë formohensipërfaqja e një këndi trekëndor. PikaRRETH thirrurkulmi i një këndi trekëndor. Një kënd trekëndor mund të shënohet si më poshtë: OABC

Pasi kemi ekzaminuar me kujdes të gjitha këndet poliedrike të paraqitura në Figurën 3, mund të konkludojmë se secili prej këndeve poliedrike të njëjtin numër skajet dhe fytyrat:

4 fytyra dhe një kulm;

një kënd pesëkëndor ka 5 skaje, 5 faqe dhe një kulm;

• 
  një kënd gjashtëkëndor ka 6 buzë, 6 faqe dhe një kulm, etj.

Ka kënde poliedrike konveks Dhe jo konveks.

Imagjinoni që kemi marrë katër rreze me një origjinë të përbashkët, si në figurën 4. Në këtë rast kemi marrëkënd shumëkëndor jo konveks.

Përkufizimi 1. Një kënd poliedrik quhet konveks,nëse aishtrihet në njërën anë të rrafshit të secilës prej faqeve të saj.

Me fjalë të tjera, një kënd shumëkëndor konveks mund të vendoset gjithmonë nga çdo faqe e tij në një plan. Ju mund të shihni se në rastin e treguar në Figurën 4, kjo nuk është gjithmonë e mundur. Këndi tetraedral i paraqitur në figurën 4 është jo konveks.

Vini re se në librin tonë shkollor, nëse themi "kënd shumëedral", nënkuptojmë se është konveks. Nëse këndi poliedrik në fjalë është jokonveks, kjo do të diskutohet veçmas.

Vetitë e këndeve të rrafshët të një këndi shumëkëndor

Teorema 1.Çdo kënd i rrafshët i një këndi trekëndor është më i vogël se shuma e dy këndeve të tjera të rrafshët.

Teorema 2.Shuma e vlerave të të gjitha këndeve të rrafshët të një këndi shumëkëndor konveks është më pak se 360°.

3. Aplikimi. Formimi i aftësive dhe aftësive.

Objektivat: Të sigurohet që studentët të zbatojnë njohuritë dhe metodat e veprimit që u nevojiten për SR, të krijojnë kushte që studentët të identifikojnë mënyra individuale zbatimi i asaj që është mësuar.

6.Faza e informimit të detyrave të shtëpisë.

Objektivat: Të sigurohet që nxënësit të kuptojnë qëllimin, përmbajtjen dhe metodat e kryerjes së detyrave të shtëpisë.

§1 (1.1, 1.2) faqe 4, nr.

7. Përmbledhja e mësimit.

Detyrë: Jepni vlerësim cilësor puna e klasës dhe e nxënësve individualë.

8. Faza e reflektimit.

Objektivat: Të inicojë reflektimin e nxënësve për vetëvlerësimin e aktiviteteve të tyre. Sigurohuni që studentët të mësojnë parimet e vetërregullimit dhe bashkëpunimit.

Bisedë për pyetjet:

Çfarë ishte interesante për ju gjatë mësimit?

Çfarë nuk është e qartë?

Çfarë duhet t'i kushtojë vëmendje mësuesi në mësimin e ardhshëm?

Si do ta vlerësonit punën tuaj në klasë?