Sipërfaqja totale e një formule cilindri. Seksioni boshtor i një cilindri të drejtë dhe të pjerrët

Emri i shkencës "gjeometri" përkthehet si "matje e tokës". Filloi përmes përpjekjeve të menaxherëve të parë të lashtë të tokës. Dhe ndodhi kështu: gjatë përmbytjeve të Nilit të shenjtë, rrjedhat e ujit ndonjëherë lanë kufijtë e parcelave të fermerëve dhe kufijtë e rinj mund të mos përkojnë me ato të vjetra. Taksat paguheshin nga fshatarët në thesarin e faraonit në raport me madhësinë e ndarjes së tokës. Njerëz të veçantë u përfshinë në matjen e sipërfaqeve të tokës së punueshme brenda kufijve të rinj pas derdhjes. Ishte si rezultat i aktiviteteve të tyre që lindi një shkencë e re, e cila u zhvillua në Greqinë e Lashtë. Atje mori emrin dhe fitoi një pamje pothuajse moderne. Më pas, termi u bë një emër ndërkombëtar për shkencën e figurave të sheshta dhe tredimensionale.

Planimetria është një degë e gjeometrisë që merret me studimin e figurave të rrafshët. Një degë tjetër e shkencës është stereometria, e cila shqyrton vetitë e figurave hapësinore (volumetrike). Shifra të tilla përfshijnë atë të përshkruar në këtë artikull - një cilindër.

Ka plot shembuj të pranisë së objekteve cilindrike në jetën e përditshme. Pothuajse të gjitha pjesët rrotulluese - boshtet, tufat, ditarët, boshtet, etj. - kanë një formë cilindrike (shumë më rrallë - konike). Cilindri përdoret gjithashtu gjerësisht në ndërtim: kulla, kolona mbështetëse, kolona dekorative. Dhe gjithashtu enët, disa lloje paketimi, tuba me diametra të ndryshëm. Dhe së fundi - kapelet e famshme, të cilat prej kohësh janë bërë simbol i elegancës mashkullore. Lista vazhdon dhe vazhdon.

Përkufizimi i një cilindri si një figurë gjeometrike

Një cilindër (cilindër rrethor) zakonisht quhet një figurë e përbërë nga dy rrathë, të cilët, nëse dëshironi, kombinohen duke përdorur përkthimin paralel. Këto rrathë janë bazat e cilindrit. Por linjat (segmentet e drejta) që lidhin pikat përkatëse quhen "gjeneratorë".

Është e rëndësishme që bazat e cilindrit të jenë gjithmonë të barabarta (nëse nuk plotësohet ky kusht, atëherë kemi një kon të cunguar, diçka tjetër, por jo një cilindër) dhe të jenë në plane paralele. Segmentet që lidhin pikat përkatëse në rrathë janë paralelë dhe të barabartë.

Grupi i një numri të pafund elementësh formues nuk është gjë tjetër veçse sipërfaqja anësore e një cilindri - një nga elementët e një figure të caktuar gjeometrike. Komponenti tjetër i tij i rëndësishëm janë rrathët e diskutuar më sipër. Ato quhen baza.

Llojet e cilindrave

Lloji më i thjeshtë dhe më i zakonshëm i cilindrit është rrethor. Formohet nga dy rrathë të rregullt që veprojnë si baza. Por në vend të tyre mund të ketë figura të tjera.

Bazat e cilindrave mund të formojnë (përveç rrathëve) elipsa dhe figura të tjera të mbyllura. Por cilindri mund të mos ketë domosdoshmërisht një formë të mbyllur. Për shembull, baza e një cilindri mund të jetë një parabolë, një hiperbolë ose një funksion tjetër i hapur. Një cilindër i tillë do të jetë i hapur ose i vendosur.

Sipas këndit të prirjes së cilindrave që formojnë bazat, ato mund të jenë të drejta ose të pjerrëta. Për një cilindër të drejtë, gjeneratorët janë rreptësisht pingul me rrafshin e bazës. Nëse ky kënd është i ndryshëm nga 90°, cilindri është i prirur.

Çfarë është një sipërfaqe e revolucionit

Cilindri rrethor i drejtë është pa dyshim sipërfaqja rrotulluese më e zakonshme e përdorur në inxhinieri. Ndonjëherë, për arsye teknike, përdoren sipërfaqe konike, sferike dhe disa lloje të tjera, por 99% e të gjitha boshteve rrotulluese, boshteve, etj. janë bërë në formën e cilindrave. Për të kuptuar më mirë se çfarë është sipërfaqja e revolucionit, mund të shqyrtojmë se si është formuar vetë cilindri.

Le të themi se ka një vijë të caktuar të drejtë a, i vendosur vertikalisht. ABCD është një drejtkëndësh, njëra nga anët e të cilit (segmenti AB) shtrihet në një vijë a. Nëse rrotullojmë një drejtkëndësh rreth një vije të drejtë, siç tregohet në figurë, vëllimi që ai do të zërë gjatë rrotullimit do të jetë trupi ynë i rrotullimit - një cilindër rrethor i drejtë me lartësi H = AB = DC dhe rreze R = AD = BC.

Në këtë rast, si rezultat i rrotullimit të figurës - një drejtkëndësh - fitohet një cilindër. Duke rrotulluar një trekëndësh, mund të merrni një kon, duke rrotulluar një gjysmërreth - një top, etj.

Sipërfaqja e cilindrit

Për të llogaritur sipërfaqen e një cilindri të zakonshëm rrethor djathtas, është e nevojshme të llogariten sipërfaqet e bazave dhe sipërfaqeve anësore.

Së pari, le të shohim se si llogaritet sipërfaqja anësore. Ky është produkti i perimetrit të cilindrit dhe lartësisë së cilindrit. Perimetri i një rrethi, nga ana tjetër, është i barabartë me dyfishin e produktit të numrit universal P nga rrezja e rrethit.

Sipërfaqja e një rrethi dihet se është e barabartë me produktin P për rreze katrore. Pra, duke shtuar formulat për zonën e përcaktimit të sipërfaqes anësore me shprehjen e dyfishtë për sipërfaqen e bazës (janë dy prej tyre) dhe duke bërë shndërrime të thjeshta algjebrike, marrim shprehjen përfundimtare për përcaktimin e sipërfaqes. zona e cilindrit.

Përcaktimi i vëllimit të një figure

Vëllimi i një cilindri përcaktohet sipas skemës standarde: sipërfaqja e bazës shumëzohet me lartësinë.

Kështu, formula përfundimtare duket si kjo: vlera e dëshiruar përcaktohet si produkt i lartësisë së trupit me numrin universal P dhe nga katrori i rrezes së bazës.

Formula që rezulton, duhet thënë, është e zbatueshme për zgjidhjen e problemeve më të papritura. Në të njëjtën mënyrë si vëllimi i cilindrit, për shembull, përcaktohet vëllimi i instalimeve elektrike. Kjo mund të jetë e nevojshme për të llogaritur masën e telave.

Dallimi i vetëm në formulë është se në vend të rrezes së një cilindri është diametri i fijes së instalimeve elektrike të ndarë në gjysmë dhe numri i fijeve në tel shfaqet në shprehje N. Gjithashtu, në vend të lartësisë, përdoret gjatësia e telit. Në këtë mënyrë, vëllimi i "cilindrit" llogaritet jo vetëm nga një, por nga numri i telave në bishtalec.

Llogaritjet e tilla shpesh kërkohen në praktikë. Në fund të fundit, një pjesë e konsiderueshme e kontejnerëve të ujit bëhen në formën e një tubi. Dhe shpesh është e nevojshme të llogaritet vëllimi i një cilindri edhe në familje.

Sidoqoftë, siç është përmendur tashmë, forma e cilindrit mund të jetë e ndryshme. Dhe në disa raste është e nevojshme të llogaritet se cili është vëllimi i një cilindri të prirur.

Dallimi është se sipërfaqja e bazës nuk shumëzohet me gjatësinë e gjeneratorit, si në rastin e një cilindri të drejtë, por me distancën midis avionëve - një segment pingul i ndërtuar midis tyre.

Siç mund të shihet nga figura, një segment i tillë është i barabartë me produktin e gjatësisë së gjeneratorit dhe sinusit të këndit të prirjes së gjeneratorit ndaj rrafshit.

Si të ndërtoni një zhvillim cilindri

Në disa raste, është e nevojshme të pritet një brez cilindri. Figura më poshtë tregon rregullat me të cilat është ndërtuar një bosh për prodhimin e një cilindri me një lartësi dhe diametër të caktuar.

Ju lutemi vini re se vizatimi është paraqitur pa qepje.

Dallimet midis një cilindri të pjerrët

Le të imagjinojmë një cilindër të caktuar të drejtë, të kufizuar nga njëra anë nga një plan pingul me gjeneratorët. Por rrafshi që kufizon cilindrin në anën tjetër nuk është pingul me gjeneratorët dhe jo paralel me rrafshin e parë.

Figura tregon një cilindër të pjerrët. Aeroplan A në një kënd të caktuar, i ndryshëm nga 90° në gjeneratorë, kryqëzon figurën.

Kjo formë gjeometrike më shpesh gjendet në praktikë në formën e lidhjeve të tubacionit (bërryla). Por ka edhe ndërtesa të ndërtuara në formën e një cilindri të pjerrët.

Karakteristikat gjeometrike të një cilindri të pjerrët

Pjerrësia e njërit prej planeve të një cilindri të pjerrët ndryshon paksa procedurën për llogaritjen e sipërfaqes së një figure të tillë dhe vëllimit të saj.

Ka një numër të madh problemesh që lidhen me cilindrin. Në to ju duhet të gjeni rrezen dhe lartësinë e trupit ose llojin e seksionit të tij. Plus, ndonjëherë ju duhet të llogaritni sipërfaqen e një cilindri dhe vëllimin e tij.

Cili trup është cilindër?

Në kurrikulën e shkollës studiohet një cilindër rrethor, domethënë një në bazë. Por dallohet edhe pamja eliptike e kësaj figure. Nga emri është e qartë se baza e saj do të jetë një elips ose një ovale.

Cilindri ka dy baza. Ato janë të barabarta me njëra-tjetrën dhe lidhen me segmente që kombinojnë pikat përkatëse të bazave. Ata quhen gjeneratorë të cilindrit. Të gjithë gjeneratorët janë paralel me njëri-tjetrin dhe të barabartë. Ato përbëjnë sipërfaqen anësore të trupit.

Në përgjithësi, një cilindër është një trup i prirur. Nëse gjeneratorët bëjnë një kënd të drejtë me bazat, atëherë flasim për një figurë të drejtë.

Është interesante se një cilindër rrethor është një trup revolucioni. Përftohet duke rrotulluar një drejtkëndësh rreth njërës nga anët e tij.

Elementet kryesore të cilindrit

Elementet kryesore të cilindrit duken kështu.

1. Lartësia. Është distanca më e shkurtër ndërmjet bazave të cilindrit. Nëse është e drejtë, atëherë lartësia përkon me gjeneratën.
2. Rrezja. Përkon me atë që mund të vizatohet në bazë.
3. Boshti. Kjo është një vijë e drejtë që përmban qendrat e të dy bazave. Boshti është gjithmonë paralel me të gjithë gjeneratorët. Në një cilindër të drejtë është pingul me bazat.
4. Seksioni boshtor. Formohet kur një cilindër kryqëzon një plan që përmban një bosht.
5. Plani tangjent. Ai kalon nëpër një nga gjeneratat dhe është pingul me seksionin boshtor, i cili është tërhequr përmes kësaj gjenerate.

Si lidhet një cilindër me një prizëm të gdhendur ose përshkruar rreth tij?

Ndonjëherë ka probleme në të cilat ju duhet të llogaritni sipërfaqen e një cilindri, por disa elementë të prizmit të lidhur janë të njohur. Si lidhen këto shifra?

Nëse një prizëm është i gdhendur në një cilindër, atëherë bazat e tij janë shumëkëndësha të barabarta. Për më tepër, ato janë të gdhendura në bazat përkatëse të cilindrit. Skajet anësore të prizmit përkojnë me gjeneratorët.

Prizma e përshkruar ka shumëkëndësha të rregullt në bazën e tij. Ato përshkruhen rreth rrathëve të cilindrit, që janë bazat e tij. Planet që përmbajnë faqet e prizmit prekin cilindrin përgjatë gjeneratorëve të tyre.

Në zonën e sipërfaqes anësore dhe bazës për një cilindër rrethor të djathtë

Nëse hapni sipërfaqen anësore, do të merrni një drejtkëndësh. Anët e tij do të përkojnë me gjeneratën dhe perimetrin e bazës. Prandaj, sipërfaqja anësore e cilindrit do të jetë e barabartë me produktin e këtyre dy sasive. Nëse shkruani formulën, merrni sa vijon:

Ana S = l * n,

ku n është gjeneratori, l është perimetri.

Për më tepër, parametri i fundit llogaritet duke përdorur formulën:

l = 2 π * r,

këtu r është rrezja e rrethit, π është numri "pi" i barabartë me 3.14.

Meqenëse baza është një rreth, zona e saj llogaritet duke përdorur shprehjen e mëposhtme:

S kryesore = π * r 2 .

Në sipërfaqen e të gjithë sipërfaqes së një cilindri rrethor të djathtë

Meqenëse është formuar nga dy baza dhe një sipërfaqe anësore, duhet të shtoni këto tre sasi. Kjo do të thotë, sipërfaqja totale e cilindrit do të llogaritet me formulën:

Kati S = 2 π * r * n + 2 π * r 2 .

Shpesh shkruhet në një formë tjetër:

Kati S = 2 π * r (n + r).

Në zonat e një cilindri rrethor të pjerrët

Sa i përket bazave, të gjitha formulat janë të njëjta, sepse ato janë ende rrathë. Por sipërfaqja anësore nuk jep më një drejtkëndësh.

Për të llogaritur sipërfaqen e sipërfaqes anësore të një cilindri të pjerrët, do t'ju duhet të shumëzoni vlerat e gjeneratorit dhe perimetrin e seksionit, i cili do të jetë pingul me gjeneratorin e zgjedhur.

Formula duket si kjo:

Ana S = x * P,

ku x është gjatësia e gjeneratorit të cilindrit, P është perimetri i seksionit.

Nga rruga, është më mirë të zgjidhni një seksion të tillë që të formojë një elips. Atëherë do të thjeshtohen llogaritjet e perimetrit të tij. Gjatësia e elipsës llogaritet duke përdorur një formulë që jep një përgjigje të përafërt. Por shpesh është e mjaftueshme për detyrat e një kursi shkollor:

l = π * (a + b),

ku "a" dhe "b" janë gjysmëboshtet e elipsës, domethënë distanca nga qendra në pikat e saj më të afërta dhe më të largëta.

Sipërfaqja e të gjithë sipërfaqes duhet të llogaritet duke përdorur shprehjen e mëposhtme:

Kati S = 2 π * r 2 + x * R.

Cilat janë disa seksione të një cilindri rrethor djathtas?

Kur një seksion kalon nëpër një bosht, sipërfaqja e tij përcaktohet si produkt i gjeneratorit dhe diametrit të bazës. Kjo shpjegohet me faktin se ka formën e një drejtkëndëshi, anët e të cilit përkojnë me elementët e caktuar.

Për të gjetur zonën e seksionit kryq të një cilindri që është paralel me atë boshtor, do t'ju duhet gjithashtu një formulë për një drejtkëndësh. Në këtë situatë, njëra nga anët e saj do të përkojë ende me lartësinë, dhe tjetra do të jetë e barabartë me akordin e bazës. Kjo e fundit përkon me vijën e seksionit përgjatë bazës.

Kur seksioni është pingul me boshtin, duket si një rreth. Për më tepër, zona e saj është e njëjtë me atë të bazës së figurës.

Është gjithashtu e mundur të kryqëzohet në një kënd të boshtit. Pastaj prerja tërthore rezulton në një ovale ose një pjesë të saj.

Shembuj të problemeve

Detyra nr. 1. Jepet një cilindër i drejtë, sipërfaqja e bazës së të cilit është 12,56 cm 2 . Është e nevojshme të llogaritet sipërfaqja totale e cilindrit nëse lartësia e tij është 3 cm.

Zgjidhje. Është e nevojshme të përdoret formula për sipërfaqen totale të një cilindri rrethor të drejtë. Por i mungojnë të dhënat, përkatësisht rrezja e bazës. Por zona e rrethit është e njohur. Nga kjo është e lehtë të llogaritet rrezja.

Rezulton të jetë e barabartë me rrënjën katrore të herësit, i cili përftohet duke ndarë sipërfaqen e bazës me pi. Pas pjesëtimit të 12,56 me 3,14, rezultati është 4. Rrënja katrore e 4 është 2. Prandaj, rrezja do të ketë këtë vlerë.

Përgjigje: Kati S = 50,24 cm 2.

Detyra nr. 2. Një cilindër me një rreze prej 5 cm pritet nga një plan paralel me boshtin. Distanca nga seksioni në bosht është 3 cm Lartësia e cilindrit është 4 cm.

Zgjidhje. Forma e prerjes tërthore është drejtkëndore. Njëra nga anët e saj përkon me lartësinë e cilindrit, dhe tjetra është e barabartë me akordin. Nëse dihet sasia e parë, atëherë duhet gjetur e dyta.

Për ta bërë këtë, duhet të bëhet një ndërtim shtesë. Në bazë vizatojmë dy segmente. Ata të dy do të fillojnë në qendër të rrethit. E para do të përfundojë në qendër të akordit dhe e barabartë me distancën e njohur me boshtin. E dyta është në fund të akordit.

Do të merrni një trekëndësh kënddrejtë. Hipotenuza dhe njëra nga këmbët janë të njohura në të. Hipotenuza përkon me rrezen. Këmba e dytë është e barabartë me gjysmën e akordit. Këmba e panjohur e shumëzuar me 2 do të japë gjatësinë e dëshiruar të kordës. Le të llogarisim vlerën e tij.

Për të gjetur këmbën e panjohur, do t'ju duhet të vendosni në katror hipotenuzën dhe këmbën e njohur, të hiqni të dytën nga e para dhe të merrni rrënjën katrore. Katroret janë 25 dhe 9. Diferenca e tyre është 16. Pas marrjes së rrënjës katrore, kjo është këmba e dëshiruar.

Akordi do të jetë i barabartë me 4 * 2 = 8 (cm). Tani mund të llogarisni zonën e seksionit kryq: 8 * 4 = 32 (cm 2).

Përgjigje: Kryqi S është i barabartë me 32 cm 2.

Detyra nr. 3.Është e nevojshme të llogaritet zona e prerjes kryq boshtore të cilindrit. Dihet se në të është gdhendur një kub me buzë 10 cm.

Zgjidhje. Seksioni boshtor i cilindrit përkon me një drejtkëndësh që kalon nëpër katër kulmet e kubit dhe përmban diagonalet e bazave të tij. Ana e kubit është gjenerata e cilindrit, dhe diagonalja e bazës përkon me diametrin. Produkti i këtyre dy sasive do të japë zonën që duhet të zbuloni në problem.

Për të gjetur diametrin, do t'ju duhet të përdorni njohurinë se baza e kubit është një katror dhe diagonalja e tij formon një trekëndësh kënddrejtë barabrinjës. Hipotenuza e saj është diagonalja e dëshiruar e figurës.

Për ta llogaritur atë, do t'ju duhet formula e teoremës së Pitagorës. Ju duhet të katrorizoni anën e kubit, ta shumëzoni me 2 dhe të merrni rrënjën katrore. Dhjetë në fuqinë e dytë është njëqind. Shumëzuar me 2 është dyqind. Rrënja katrore e 200 është 10√2.

Seksioni është përsëri një drejtkëndësh me brinjë 10 dhe 10√2. Sipërfaqja e saj mund të llogaritet lehtësisht duke shumëzuar këto vlera.

Përgjigju. Seksioni S = 100√2 cm 2.

Cilindri është një figurë e përbërë nga një sipërfaqe cilindrike dhe dy rrathë të vendosur paralelisht. Llogaritja e sipërfaqes së një cilindri është një problem në degën gjeometrike të matematikës, i cili mund të zgjidhet mjaft thjesht. Ka disa metoda për zgjidhjen e tij, të cilat në fund gjithmonë zbresin në një formulë.

Si të gjeni sipërfaqen e një cilindri - rregullat e llogaritjes

• Për të zbuluar zonën e cilindrit, duhet të shtoni dy zonat e bazës me sipërfaqen e sipërfaqes anësore: S = Side + 2Sbase. Në një version më të detajuar, kjo formulë duket kështu: S= 2 π rh+ 2 π r2= 2 π r(h+ r).
• Sipërfaqja anësore e një trupi të caktuar gjeometrik mund të llogaritet nëse dihet lartësia e tij dhe rrezja e rrethit që shtrihet në bazën e tij. Në këtë rast, ju mund të shprehni rrezen nga perimetri, nëse jepet. Lartësia mund të gjendet nëse vlera e gjeneratorit është e specifikuar në kusht. Në këtë rast, gjenerata do të jetë e barabartë me lartësinë. Formula për sipërfaqen anësore të këtij trupi duket kështu: S= 2 π rh.
• Sipërfaqja e bazës llogaritet duke përdorur formulën për gjetjen e sipërfaqes së një rrethi: S osn= π r 2. Në disa probleme mund të mos jepet rrezja, por mund të jepet perimetri. Me këtë formulë, rrezja shprehet mjaft lehtë. С=2π r, r= С/2π. Ju gjithashtu duhet të mbani mend se rrezja është gjysma e diametrit.
• Gjatë kryerjes së të gjitha këtyre llogaritjeve, numri π zakonisht nuk përkthehet në 3,14159... Thjesht duhet të shtohet pranë vlerës numerike që është marrë si rezultat i llogaritjeve.
• Tjetra, ju vetëm duhet të shumëzoni zonën e gjetur të bazës me 2 dhe të shtoni në numrin që rezulton zonën e llogaritur të sipërfaqes anësore të figurës.
• Nëse problemi tregon se cilindri ka një seksion boshtor dhe se është një drejtkëndësh, atëherë zgjidhja do të jetë paksa e ndryshme. Në këtë rast, gjerësia e drejtkëndëshit do të jetë diametri i rrethit që shtrihet në bazën e trupit. Gjatësia e figurës do të jetë e barabartë me gjeneratën ose lartësinë e cilindrit. Është e nevojshme të llogariten vlerat e kërkuara dhe t'i zëvendësojnë ato në formulën e njohur tashmë. Në këtë rast, gjerësia e drejtkëndëshit duhet të ndahet me dy për të gjetur zonën e bazës. Për të gjetur sipërfaqen anësore, gjatësia shumëzohet me dy rreze dhe numrin π.
• Ju mund të llogarisni sipërfaqen e një trupi të caktuar gjeometrik përmes vëllimit të tij. Për ta bërë këtë, ju duhet të nxirrni vlerën që mungon nga formula V=π r 2 h.
• Nuk ka asgjë të komplikuar në llogaritjen e sipërfaqes së një cilindri. Thjesht duhet të dini formulat dhe të jeni në gjendje të nxirrni prej tyre sasitë e nevojshme për të kryer llogaritjet.

Cilindri është një figurë hapësinore simetrike, vetitë e së cilës merren parasysh në shkollën e mesme në kursin e stereometrisë. Për ta përshkruar atë, përdoren karakteristika lineare si lartësia dhe rrezja e bazës. Në këtë artikull do të shqyrtojmë pyetjet në lidhje me atë se çfarë është seksioni boshtor i një cilindri dhe si të llogariten parametrat e tij përmes karakteristikave themelore lineare të figurës.

Figura gjeometrike

Së pari, le të përcaktojmë figurën që do të diskutohet në artikull. Cilindri është një sipërfaqe e formuar nga lëvizja paralele e një segmenti me gjatësi të caktuar përgjatë një kurbë të caktuar. Kushti kryesor për këtë lëvizje është që segmenti të mos i përkasë rrafshit të kurbës.

Figura më poshtë tregon një cilindër kurba (udhëzues) e të cilit është një elips.

Këtu një segment me gjatësi h është gjeneratori dhe lartësia e tij.

Shihet se cilindri përbëhet nga dy baza identike (elipset në këtë rast), të cilat shtrihen në plane paralele, dhe një sipërfaqe anësore. Kjo e fundit i përket të gjitha pikave të linjave formuese.

Para se të kalojmë në shqyrtimin e seksionit boshtor të cilindrave, ne do t'ju tregojmë se cilat lloje të këtyre figurave ekzistojnë.

Nëse vija gjeneruese është pingul me bazat e figurës, atëherë flasim për një cilindër të drejtë. Përndryshe, cilindri do të jetë i prirur. Nëse lidhni pikat qendrore të dy bazave, vija e drejtë që rezulton quhet boshti i figurës. Figura më poshtë tregon ndryshimin midis cilindrave të drejtë dhe të pjerrët.

Mund të shihet se për një figurë të drejtë, gjatësia e segmentit gjenerues përkon me vlerën e lartësisë h. Për një cilindër të pjerrët, lartësia, domethënë distanca midis bazave, është gjithmonë më e vogël se gjatësia e linjës gjeneruese.

Seksioni boshtor i një cilindri të drejtë

Boshtor është çdo seksion i cilindrit që përmban boshtin e tij. Ky përkufizim do të thotë që seksioni boshtor do të jetë gjithmonë paralel me gjeneratorin.

Në një cilindër të drejtë, boshti kalon përmes qendrës së rrethit dhe është pingul me planin e tij. Kjo do të thotë që rrethi në shqyrtim do të kryqëzohet përgjatë diametrit të tij. Figura tregon gjysmë cilindri, i cili është rezultat i kryqëzimit të figurës me një rrafsh që kalon nëpër bosht.

Nuk është e vështirë të kuptohet se pjesa boshtore e një cilindri të drejtë rrethore është një drejtkëndësh. Anët e saj janë diametri d i bazës dhe lartësia h e figurës.

Le të shkruajmë formulat për zonën e prerjes boshtore të cilindrit dhe gjatësinë h d të diagonales së tij:

Një drejtkëndësh ka dy diagonale, por të dyja janë të barabarta me njëra-tjetrën. Nëse dihet rrezja e bazës, atëherë nuk është e vështirë të rishkruash këto formula përmes saj, duke qenë se është gjysma e diametrit.

Seksioni boshtor i një cilindri të pjerrët

Fotografia e mësipërme tregon një cilindër të pjerrët të bërë prej letre. Nëse bëni seksionin e tij boshtor, nuk do të merrni më një drejtkëndësh, por një paralelogram. Anët e tij janë sasi të njohura. Njëra prej tyre, si në rastin e prerjes tërthore të një cilindri të drejtë, është e barabartë me diametrin d të bazës, tjetra është gjatësia e segmentit formues. Le ta shënojmë b.

Për të përcaktuar në mënyrë të qartë parametrat e një paralelogrami, nuk mjafton të dimë gjatësitë e anës së tij. Një kënd tjetër midis tyre nevojitet. Le të supozojmë se këndi akut ndërmjet udhëzuesit dhe bazës është α. Ky do të jetë gjithashtu këndi midis anëve të paralelogramit. Pastaj formula për zonën e prerjes boshtore të një cilindri të pjerrët mund të shkruhet si më poshtë:

Diagonalet e seksionit boshtor të një cilindri të pjerrët janë disi më të vështira për t'u llogaritur. Një paralelogram ka dy diagonale me gjatësi të ndryshme. Ne paraqesim shprehje pa derivim që na lejojnë të llogarisim diagonalet e një paralelogrami duke përdorur brinjët e njohura dhe këndin akut midis tyre:

l 1 = √(d 2 + b 2 - 2*b*d*cos(α));

l 2 = √(d 2 + b 2 + 2*b*d*cos(α))

Këtu l 1 dhe l 2 janë gjatësitë e diagonaleve të vogla dhe të mëdha, përkatësisht. Këto formula mund të merren në mënyrë të pavarur nëse çdo diagonale e konsiderojmë si një vektor duke futur një sistem koordinativ drejtkëndor në rrafsh.

Problemi i cilindrit të drejtë

Ne do t'ju tregojmë se si të përdorni njohuritë e marra për të zgjidhur problemin e mëposhtëm. Le të na jepet një cilindër i rrumbullakët i drejtë. Dihet se seksioni kryq boshtor i një cilindri është katror. Sa është sipërfaqja e këtij seksioni nëse e gjithë figura është 100 cm 2?

Për të llogaritur zonën e kërkuar, duhet të gjeni ose rrezen ose diametrin e bazës së cilindrit. Për ta bërë këtë, ne përdorim formulën për sipërfaqen totale S f të figurës:

Meqenëse seksioni boshtor është katror, ​​kjo do të thotë se rrezja r e bazës është gjysma e lartësisë h. Duke marrë parasysh këtë, ne mund ta rishkruajmë barazinë e mësipërme si:

S f = 2*pi*r*(r + 2*r) = 6*pi*r 2

Tani mund të shprehim rrezen r, kemi:

Meqenëse ana e një seksioni katror është e barabartë me diametrin e bazës së figurës, formula e mëposhtme do të jetë e vlefshme për të llogaritur sipërfaqen e saj S:

S = (2*r) 2 = 4*r 2 = 2*S f / (3*pi)

Shohim që zona e kërkuar përcaktohet në mënyrë unike nga sipërfaqja e cilindrit. Duke zëvendësuar të dhënat në barazi, vijmë në përgjigjen: S = 21,23 cm 2.

Cilindri është një trup gjeometrik i kufizuar nga dy rrafshe paralele dhe një sipërfaqe cilindrike. Në artikull do të flasim se si të gjejmë sipërfaqen e një cilindri dhe, duke përdorur formulën, do të zgjidhim disa probleme si shembull.

Një cilindër ka tre sipërfaqe: një sipërfaqe të sipërme, një bazë dhe një sipërfaqe anësore.

Pjesa e sipërme dhe baza e një cilindri janë rrathë dhe janë të lehtë për t'u identifikuar.

Dihet që sipërfaqja e një rrethi është e barabartë me πr 2. Prandaj, formula për sipërfaqen e dy rrathëve (maja dhe baza e cilindrit) do të jetë πr 2 + πr 2 = 2πr 2.

Sipërfaqja e tretë, anësore e cilindrit, është muri i lakuar i cilindrit. Për ta imagjinuar më mirë këtë sipërfaqe, le të përpiqemi ta transformojmë atë për të marrë një formë të dallueshme. Imagjinoni që cilindri është një kanaçe e zakonshme që nuk ka kapak të sipërm ose fund. Le të bëjmë një prerje vertikale në murin anësor nga lart në bazën e kanaçes (Hapi 1 në figurë) dhe të përpiqemi të hapim (drejtojmë) figurën që rezulton sa më shumë që të jetë e mundur (Hapi 2).

Pasi kavanoza që rezulton të jetë hapur plotësisht, do të shohim një figurë të njohur (Hapi 3), ky është një drejtkëndësh. Sipërfaqja e një drejtkëndëshi është e lehtë për t'u llogaritur. Por para kësaj, le të kthehemi për një moment në cilindrin origjinal. Kulmi i cilindrit origjinal është një rreth, dhe ne e dimë se perimetri llogaritet me formulën: L = 2πr. Në figurë është shënuar me të kuqe.

Kur muri anësor i cilindrit hapet plotësisht, shohim se perimetri bëhet gjatësia e drejtkëndëshit që rezulton. Brinjët e këtij drejtkëndëshi do të jenë perimetri (L = 2πr) dhe lartësia e cilindrit (h). Sipërfaqja e një drejtkëndëshi është e barabartë me produktin e anëve të tij - S = gjatësia x gjerësia = L x h = 2πr x h = 2πrh. Si rezultat, ne morëm një formulë për llogaritjen e sipërfaqes së sipërfaqes anësore të cilindrit.

Formula për sipërfaqen anësore të një cilindri
Ana S = 2πrh

Sipërfaqja totale e një cilindri

Në fund, nëse shtojmë sipërfaqen e të tre sipërfaqeve, marrim formulën për sipërfaqen totale të një cilindri. Sipërfaqja e një cilindri është e barabartë me sipërfaqen e pjesës së sipërme të cilindrit + sipërfaqen e bazës së cilindrit + sipërfaqen e sipërfaqes anësore të cilindrit ose S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. Ndonjëherë kjo shprehje shkruhet identike me formulën 2πr (r + h).

Formula për sipërfaqen totale të një cilindri
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r – rrezja e cilindrit, h – lartësia e cilindrit

Shembuj të llogaritjes së sipërfaqes së një cilindri

Për të kuptuar formulat e mësipërme, le të përpiqemi të llogarisim sipërfaqen e një cilindri duke përdorur shembuj.

1. Rrezja e bazës së cilindrit është 2, lartësia është 3. Përcaktoni sipërfaqen e sipërfaqes anësore të cilindrit.

Sipërfaqja totale llogaritet duke përdorur formulën: ana S. = 2πrh

Ana S = 2 * 3,14 * 2 * 3

Ana S = 6,28 * 6

Ana S = 37,68

Sipërfaqja anësore e cilindrit është 37.68.

2. Si të gjeni sipërfaqen e një cilindri nëse lartësia është 4 dhe rrezja është 6?

Sipërfaqja totale llogaritet duke përdorur formulën: S = 2πr 2 + 2πrh

S = 2 * 3,14 * 6 2 + 2 * 3,14 * 6 * 4

S = 2 * 3,14 * 36 + 2 * 3,14 * 24