Koncepti i tangjentes. Ekuacioni i një tangjente në grafikun e një funksioni – Hipermarketi i njohurive

Mësimi video "Ekuacioni i një tangjente me grafikun e një funksioni" demonstron material edukativ për zotërimin e temës. Gjatë mësimit të videos, përshkruhet materiali teorik i nevojshëm për të formuar konceptin e ekuacionit të një tangjente me grafikun e një funksioni në një pikë të caktuar, një algoritëm për gjetjen e një tangjente të tillë dhe shembuj të zgjidhjes së problemeve duke përdorur materialin teorik të studiuar. .

Video tutoriali përdor metoda që përmirësojnë qartësinë e materialit. Prezantimi përmban vizatime, diagrame, komente të rëndësishme zanore, animacion, theksim dhe mjete të tjera.

Mësimi me video fillon me një prezantim të temës së mësimit dhe një imazh të një tangjente në grafikun e një funksioni y=f(x) në pikën M(a;f(a)). Dihet se koeficienti këndor i tangjentës i paraqitur në grafik në një pikë të caktuar është i barabartë me derivatin e funksionit f΄(a) në këtë pikë. Gjithashtu nga kursi i algjebrës njohim ekuacionin e drejtëzës y=kx+m. Në mënyrë skematike paraqitet zgjidhja e problemit të gjetjes së ekuacionit tangjent në një pikë, e cila reduktohet në gjetjen e koeficientëve k, m. Duke ditur koordinatat e një pike që i përket grafikut të funksionit, mund të gjejmë m duke zëvendësuar vlerën e koordinatave në ekuacionin tangjent f(a)=ka+m. Prej saj gjejmë m=f(a)-ka. Kështu, duke ditur vlerën e derivatit në një pikë të caktuar dhe koordinatat e pikës, mund të paraqesim ekuacionin tangjent në këtë mënyrë y=f(a)+f΄(a)(x-a).

Më poshtë është një shembull i kompozimit të një ekuacioni tangjent sipas diagramit. Jepet funksioni y=x 2 , x=-2. Duke marrë a=-2, gjejmë vlerën e funksionit në një pikë të caktuar f(a)= f(-2)=(-2) 2 =4. Përcaktojmë derivatin e funksionit f΄(x)=2x. Në këtë pikë derivati ​​është i barabartë me f΄(a)= f΄(-2)=2·(-2)=-4. Për të hartuar ekuacionin janë gjetur të gjithë koeficientët a=-2, f(a)=4, f΄(a)=-4, pra ekuacioni tangjent është y=4+(-4)(x+2). Duke thjeshtuar ekuacionin, marrim y = -4-4x.

Shembulli i mëposhtëm sugjeron ndërtimin e një ekuacioni për tangjenten në origjinën e grafikut të funksionit y=tgx. Në një pikë të dhënë a=0, f(0)=0, f΄(x)=1/cos 2 x, f΄(0)=1. Pra, ekuacioni tangjent duket si y=x.

Si përgjithësim, procesi i kompozimit të një ekuacioni tangjent me grafikun e një funksioni në një pikë të caktuar zyrtarizohet në formën e një algoritmi të përbërë nga 4 hapa:

• Shkruani emërtimin a për abshisën e pikës tangjente;
• f(a) është llogaritur;
• Përcaktohet f'(x) dhe llogaritet f'(a). Vlerat e gjetura të a, f(a), f΄(a) zëvendësohen në formulën e ekuacionit tangjent y=f(a)+f΄(a)(x-a).

Shembulli 1 shqyrton kompozimin e ekuacionit tangjent në grafikun e funksionit y=1/x në pikën x=1. Për të zgjidhur problemin ne përdorim një algoritëm. Për një funksion të dhënë në pikën a=1, vlera e funksionit f(a)=-1. Derivati ​​i funksionit f΄(x)=1/x 2. Në pikën a=1 derivati ​​f΄(a)= f΄(1)=1. Duke përdorur të dhënat e marra, hartohet ekuacioni tangjent y=-1+(x-1), ose y=x-2.

Në shembullin 2 është e nevojshme të gjendet ekuacioni i tangjentes në grafikun e funksionit y=x 3 +3x 2 -2x-2. Kushti kryesor është paralelizmi i drejtëzës tangjente dhe të drejtës y=-2x+1. Së pari, gjejmë koeficientin këndor të tangjentes, të barabartë me koeficientin këndor të drejtëzës y=-2x+1. Meqenëse f΄(a)=-2 për një drejtëz të dhënë, atëherë k=-2 për tangjenten e dëshiruar. Gjejmë derivatin e funksionit (x 3 +3x 2 -2x-2)΄=3x 2 +6x-2. Duke ditur se f΄(a)=-2 gjejmë koordinatat e pikës 3a 2 +6a-2=-2. Pasi kemi zgjidhur ekuacionin, marrim një 1 = 0 dhe 2 =-2. Duke përdorur koordinatat e gjetura, mund të gjeni ekuacionin tangjent duke përdorur një algoritëm të njohur. Vlerën e funksionit e gjejmë në pikat f(a 1)=-2, f(a 2)=-18. Vlera e derivatit në pikën f΄(а 1)= f΄(а 2)=-2. Duke zëvendësuar vlerat e gjetura në ekuacionin tangjent, marrim për pikën e parë a 1 =0 y=-2x-2, dhe për pikën e dytë a 2 =-2 ekuacionin tangjent y=-2x-22.

Shembulli 3 përshkruan përbërjen e ekuacionit tangjent për vizatimin e tij në pikën (0;3) në grafikun e funksionit y=√x. Zgjidhja është bërë duke përdorur një algoritëm të njohur. Pika tangjente ka koordinata x=a, ku a>0. Vlera e funksionit në pikën f(a)=√x. Derivati ​​i funksionit f΄(х)=1/2√х, pra në një pikë të dhënë f΄(а)=1/2√а. Duke zëvendësuar të gjitha vlerat e marra në ekuacionin tangjent, marrim y = √a + (x-a)/2√a. Duke transformuar ekuacionin, marrim y=x/2√а+√а/2. Duke ditur që tangjentja kalon në pikën (0;3), gjejmë vlerën e a. Gjejmë a nga 3=√a/2. Prandaj √a=6, a=36. Gjejmë ekuacionin tangjent y=x/12+3. Figura tregon grafikun e funksionit në shqyrtim dhe tangjenten e dëshiruar të ndërtuar.

Nxënësve u kujtohen barazitë e përafërta Δy=≈f΄(x)Δxand f(x+Δx)-f(x)≈f΄(x)Δx. Duke marrë x=a, x+Δx=x, Δx=x-a, marrim f(x)- f(a)≈f΄(a)(x-a), pra f(x)≈f(a)+ f΄( a) (x-a).

Në shembullin 4, është e nevojshme të gjendet vlera e përafërt e shprehjes 2.003 6. Meqenëse është e nevojshme të gjejmë vlerën e funksionit f(x)=x 6 në pikën x=2.003, mund të përdorim formulën e njohur, duke marrë f(x)=x 6, a=2, f(a )= f(2)=64, f ΄(x)=6x 5. Derivati ​​në pikën f΄(2)=192. Prandaj, 2,003 6 ≈65-192·0,003. Pasi kemi llogaritur shprehjen, marrim 2.003 6 ≈64.576.

Mësimi video "Ekuacioni i një tangjente në grafikun e një funksioni" rekomandohet për përdorim në një mësim tradicional të matematikës në shkollë. Për një mësues që jep mësim nga distanca, materiali video do të ndihmojë në shpjegimin më të qartë të temës. Videoja mund t'u rekomandohet studentëve që ta rishikojnë në mënyrë të pavarur nëse është e nevojshme për të thelluar kuptimin e tyre për këtë temë.

DEKODIMI I TEKSTIT:

Dimë se nëse një pikë M (a; f(a)) (em me koordinata a dhe ef nga a) i përket grafikut të funksionit y = f (x) dhe nëse në këtë pikë është e mundur të vizatohet një tangjente me grafikun e funksionit që nuk është pingul me boshtin e abshisës, atëherë koeficienti këndor i tangjentës është i barabartë me f"(a) (eff prime nga a).

Le të jepet një funksion y = f(x) dhe një pikë M (a; f(a)), dhe dihet gjithashtu se ekziston f´(a). Le të krijojmë një ekuacion për tangjenten në grafikun e një funksioni të caktuar në një pikë të caktuar. Ky ekuacion, si ekuacioni i çdo drejtëze që nuk është paralel me boshtin e ordinatave, ka formën y = kx+m (y është i barabartë me ka x plus em), kështu që detyra është të gjejmë vlerat e koeficientët k dhe m (ka dhe em)

Koeficienti i këndit k= f"(a). Për të llogaritur vlerën e m, përdorim faktin se drejtëza e dëshiruar kalon nëpër pikën M(a; f (a)). Kjo do të thotë se nëse zëvendësojmë koordinatat e pika M në ekuacionin e drejtëzës fitojmë barazinë e saktë: f(a) = ka+m, nga ku gjejmë se m = f(a) - ka.

Mbetet të zëvendësojmë vlerat e gjetura të koeficientëve ki dhe m në ekuacionin e vijës së drejtë:

y = kx+(f(a) -ka);

y = f(a)+k(x-a);

y= f(a)+ f"(a) (x- a). ( y është e barabartë me ef nga një plus ef i thjeshtë nga a, shumëzuar me x minus a).

Ne kemi marrë ekuacionin për tangjenten në grafikun e funksionit y = f(x) në pikën x=a.

Nëse, le të themi, y = x 2 dhe x = -2 (d.m.th. a = -2), atëherë f (a) = f (-2) = (-2) 2 = 4; f´(x) = 2x, që do të thotë f"(a) = f´(-2) = 2·(-2) = -4. (atëherë ef i a-së është i barabartë me katër, ef i thjeshtë të x është e barabartë me dy x, që do të thotë ef kryesor nga një baraz me minus katër)

Duke zëvendësuar vlerat e gjetura a = -2, f(a) = 4, f"(a) = -4 në ekuacion, marrim: y = 4+(-4)(x+2), d.m.th. y = -4x -4.

(E është e barabartë me minus katër x minus katër)

Le të krijojmë një ekuacion për tangjenten me grafikun e funksionit y = tanx (y është i barabartë me tangjenten x) në origjinë. Kemi: a = 0, f(0) = tan0=0;

f"(x)= , që do të thotë f"(0) = l. Duke zëvendësuar vlerat e gjetura a=0, f(a)=0, f´(a) = 1 në ekuacion, marrim: y=x.

Le të përmbledhim hapat tanë në gjetjen e ekuacionit të tangjentes me grafikun e një funksioni në pikën x duke përdorur një algoritëm.

ALGORITMI PËR ZHVILLIMIN E EKUACIONIT PËR NJË TANGENT NË GRAFIN E FUNKSIONIT y = f(x):

1) Përcaktoni abshisën e pikës së tangjences me shkronjën a.

2) Llogaritni f(a).

3) Gjeni f´(x) dhe njehsoni f´(a).

4) Zëvendësoni numrat e gjetur a, f(a), f´(a) në formulë y= f(a)+ f"(a) (x- a).

Shembulli 1. Krijo një ekuacion për tangjenten në grafikun e funksionit y = - në

pika x = 1.

Zgjidhje. Le të përdorim algoritmin, duke marrë parasysh se në këtë shembull

2) f(a)=f(1)=- =-1

3) f´(x)=; f´(a)= f´(1)= =1.

4) Zëvendësojmë tre numrat e gjetur: a = 1, f(a) = -1, f"(a) = 1 në formulë. Marrim: y = -1+(x-1), y = x-2 .

Përgjigje: y = x-2.

Shembulli 2. Jepet funksioni y = x 3 +3x 2 -2x-2. Shkruani ekuacionin e tangjentes në grafikun e funksionit y = f(x), paralel me drejtëzën y ​​= -2x +1.

Duke përdorur algoritmin për kompozimin e ekuacionit tangjent, marrim parasysh se në këtë shembull f(x) = x 3 +3x 2 -2x-2, por këtu nuk tregohet abshisa e pikës tangjente.

Le të fillojmë të mendojmë kështu. Tangjentja e dëshiruar duhet të jetë paralele me drejtëzën y ​​= -2x+1. Dhe vijat paralele kanë koeficientë të barabartë këndorë. Kjo do të thotë se koeficienti këndor i tangjentës është i barabartë me koeficientin këndor të drejtëzës së dhënë: k tangjente. = -2. Hok cas. = f"(a). Kështu, ne mund të gjejmë vlerën e a nga ekuacioni f´(a) = -2.

Le të gjejmë derivatin e funksionit y=f(x):

f"(x)= (x 3 +3x 2 -2x-2)´ =3x 2 +6x-2;f"(a)= 3a 2 +6a-2.

Nga ekuacioni f"(a) = -2, d.m.th. 3a 2 +6a-2=-2 gjejmë një 1 =0, a 2 =-2. Kjo do të thotë se janë dy tangjente që plotësojnë kushtet e problemit: njëra në pikën me abshisë 0, tjetra në pikën me abshisë -2.

Tani mund të ndiqni algoritmin.

1) a 1 =0 dhe 2 =-2.

2) f(a 1)= 0 3 +3·0 2 -2∙0-2=-2; f(a 2)= (-2) 3 +3·(-2) 2 -2·(-2)-2=6;

3) f"(a 1) = f"(a 2) = -2.

4) Duke zëvendësuar vlerat a 1 = 0, f(a 1) = -2, f"(a 1) = -2 në formulë, marrim:

y=-2-2(x-0), y=-2x-2.

Duke zëvendësuar vlerat a 2 = -2, f(a 2) =6, f"(a 2) = -2 në formulë, marrim:

y=6-2(x+2), y=-2x+2.

Përgjigje: y=-2x-2, y=-2x+2.

Shembulli 3. Nga pika (0; 3) vizatoni një tangjente në grafikun e funksionit y = . Zgjidhje. Le të përdorim algoritmin për kompozimin e ekuacionit tangjent, duke marrë parasysh se në këtë shembull f(x) = . Vini re se këtu, si në shembullin 2, abshisa e pikës tangjente nuk tregohet në mënyrë eksplicite. Sidoqoftë, ne ndjekim algoritmin.

1) Le të jetë x = a abshisa e pikës së tangjencës; është e qartë se një >0.

3) f´(x)=()´=; f´(a) =.

4) Zëvendësimi i vlerave të a, f(a) = , f"(a) = në formulë

y=f (a) +f "(a) (x-a), marrim:

Sipas kushtit, tangjentja kalon nëpër pikën (0; 3). Duke zëvendësuar vlerat x = 0, y = 3 në ekuacion, marrim: 3 = , dhe pastaj =6, a =36.

Siç mund ta shihni, në këtë shembull, vetëm në hapin e katërt të algoritmit arritëm të gjejmë abshisën e pikës tangjente. Duke zëvendësuar vlerën a =36 në ekuacion, marrim: y=+3

Në Fig. Figura 1 tregon një ilustrim gjeometrik të shembullit të konsideruar: është ndërtuar një grafik i funksionit y =, vizatohet një vijë e drejtë y = +3.

Përgjigje: y = +3.

Ne e dimë se për një funksion y = f(x), i cili ka një derivat në pikën x, barazia e përafërt është e vlefshme: Δyf´(x)Δx (delta y është afërsisht e barabartë me eff prim e x shumëzuar me deltën x)

ose, në mënyrë më të detajuar, f(x+Δx)-f(x) f´(x) Δx (eff nga x plus delta x minus ef nga x është afërsisht i barabartë me ef prime nga x me delta x).

Për lehtësinë e diskutimit të mëtejshëm, le të ndryshojmë shënimin:

në vend të x do të shkruajmë A,

në vend të x+Δx do të shkruajmë x

Në vend të Δx do të shkruajmë x-a.

Atëherë barazia e përafërt e shkruar më sipër do të marrë formën:

f(x)-f(a)f´(a)(x-a)

f(x)f(a)+f´(a)(x-a). (eff nga x është afërsisht e barabartë me ef nga një plus ef nga a, shumëzuar me diferencën midis x dhe a).

Shembulli 4. Gjeni vlerën e përafërt të shprehjes numerike 2.003 6.

Zgjidhje. Po flasim për gjetjen e vlerës së funksionit y = x 6 në pikën x = 2.003. Le të përdorim formulën f(x)f(a)+f´(a)(x-a), duke marrë parasysh se në këtë shembull f(x)=x 6, a = 2,f(a) = f(2) = 2 6 =64; x = 2,003, f"(x) = 6x 5 dhe, si rrjedhim, f"(a) = f"(2) = 6 2 5 =192.

Si rezultat marrim:

2.003 6 64+192· 0.003, d.m.th. 2.003 6 =64.576.

Nëse përdorim një kalkulator, marrim:

2,003 6 = 64,5781643...

Siç mund ta shihni, saktësia e përafrimit është mjaft e pranueshme.

Udhëzimet

Ne përcaktojmë koeficientin këndor të tangjentës me lakoren në pikën M.
Lakorja që paraqet grafikun e funksionit y = f(x) është e vazhdueshme në një fqinjësi të caktuar të pikës M (duke përfshirë edhe vetë pikën M).

Nëse vlera f‘(x0) nuk ekziston, atëherë ose nuk ka tangjente, ose shkon vertikalisht. Në funksion të kësaj, prania e një derivati ​​të funksionit në pikën x0 është për shkak të ekzistencës së një tangjente jo vertikale me grafikun e funksionit në pikën (x0, f(x0)). Në këtë rast, koeficienti këndor i tangjentës do të jetë i barabartë me f "(x0). Kështu, kuptimi gjeometrik i derivatit bëhet i qartë - llogaritja e koeficientit këndor të tangjentes.

Gjeni vlerën e abshisës së pikës tangjente, e cila shënohet me shkronjën "a". Nëse përkon me një pikë tangjente të dhënë, atëherë "a" do të jetë koordinata x e saj. Përcaktoni vlerën funksionet f(a) duke zëvendësuar në ekuacion funksionet vlera e abshisë.

Përcaktoni derivatin e parë të ekuacionit funksionet f’(x) dhe zëvendësoni vlerën e pikës “a” në të.

Merrni ekuacionin e përgjithshëm tangjent, i cili përkufizohet si y = f(a) = f (a)(x – a) dhe zëvendësoni vlerat e gjetura a, f(a), f "(a). si rezultat, zgjidhja e grafikut do të gjendet dhe tangjente.

Zgjidheni problemin në një mënyrë tjetër nëse pika e dhënë tangjente nuk përkon me pikën tangjente. Në këtë rast, është e nevojshme të zëvendësohet "a" në vend të numrave në ekuacionin tangjent. Pas kësaj, në vend të shkronjave "x" dhe "y", zëvendësoni vlerën e koordinatave të pikës së dhënë. Zgjidheni ekuacionin që rezulton në të cilin "a" është e panjohura. Futni vlerën që rezulton në ekuacionin tangjent.

Shkruani një ekuacion për një tangjente me shkronjën "a" nëse deklarata e problemit specifikon ekuacionin funksionet dhe ekuacioni i një drejtëze paralele në lidhje me tangjenten e dëshiruar. Pas kësaj na duhet derivati funksionet, te koordinata në pikën “a”. Zëvendësoni vlerën e duhur në ekuacionin tangjente dhe zgjidhni funksionin.

Në këtë artikull do të analizojmë të gjitha llojet e problemeve për të gjetur

Le të kujtojmë kuptimi gjeometrik i derivatit: nëse një tangjente vizatohet në grafikun e një funksioni në një pikë, atëherë koeficienti i pjerrësisë së tangjentës (i barabartë me tangjenten e këndit ndërmjet tangjentës dhe drejtimit pozitiv të boshtit) është i barabartë me derivatin e funksionit në pikën.

Le të marrim një pikë arbitrare në tangjenten me koordinata:

Dhe merrni parasysh një trekëndësh kënddrejtë:

Në këtë trekëndësh

Nga këtu

Ky është ekuacioni i tangjentes së tërhequr në grafikun e funksionit në pikë.

Për të shkruar ekuacionin tangjente, duhet të dimë vetëm ekuacionin e funksionit dhe pikën në të cilën vizatohet tangjentja. Atëherë mund të gjejmë dhe .

Ekzistojnë tre lloje kryesore të problemeve të ekuacioneve tangjente.

1. Jepet një pikë kontakti

2. Jepet koeficienti i pjerrësisë tangjente, pra vlera e derivatit të funksionit në pikë.

3. Janë dhënë koordinatat e pikës nëpër të cilën vizatohet tangjentja, por që nuk është pika e tangjences.

Le të shohim çdo lloj detyre.

1. Shkruani ekuacionin e tangjentes në grafikun e funksionit në pikën .

.

b) Gjeni vlerën e derivatit në pikën . Së pari le të gjejmë derivatin e funksionit

Le t'i zëvendësojmë vlerat e gjetura në ekuacionin tangjent:

Le të hapim kllapat në anën e djathtë të ekuacionit. Ne marrim:

Përgjigje: .

2. Gjeni abshisën e pikave në të cilat funksionet janë tangjente me grafikun paralel me boshtin x.

Nëse tangjentja është paralele me boshtin x, atëherë këndi ndërmjet tangjentës dhe drejtimit pozitiv të boshtit është zero, prandaj tangjentja e këndit tangjente është zero. Kjo do të thotë se vlera e derivatit të funksionit në pikat e kontaktit është zero.

a) Gjeni derivatin e funksionit .

b) Le të barazojmë derivatin me zero dhe të gjejmë vlerat në të cilat tangjentja është paralele me boshtin:

Duke barazuar çdo faktor me zero, marrim:

Përgjigje: 0;3;5

3. Shkruani ekuacionet për tangjentet në grafikun e një funksioni , paralele e drejtpërdrejtë .

Një tangjente është paralele me një drejtëz. Pjerrësia e kësaj linje është -1. Meqenëse tangjentja është paralele me këtë drejtëz, pra, pjerrësia e tangjentës është gjithashtu -1. Kjo është ne e dimë pjerrësinë e tangjentes, dhe, në këtë mënyrë, vlerë derivative në pikën e tangjences.

Ky është lloji i dytë i problemit për të gjetur ekuacionin tangjente.

Pra, na jepet funksioni dhe vlera e derivatit në pikën e tangjences.

a) Gjeni pikat në të cilat derivati ​​i funksionit është i barabartë me -1.

Së pari, le të gjejmë ekuacionin e derivatit.

Le të barazojmë derivatin me numrin -1.

Le të gjejmë vlerën e funksionit në pikë.

(sipas kushteve)

.

b) Gjeni ekuacionin e tangjentes në grafikun e funksionit në pikën .

Le të gjejmë vlerën e funksionit në pikë.

(sipas kushteve).

Le t'i zëvendësojmë këto vlera në ekuacionin tangjent:

.

Përgjigje:

4. Shkruani ekuacionin e tangjentes me lakoren , duke kaluar nëpër një pikë

Së pari, le të kontrollojmë nëse pika është një pikë tangjente. Nëse një pikë është një pikë tangjente, atëherë ajo i përket grafikut të funksionit dhe koordinatat e saj duhet të plotësojnë ekuacionin e funksionit. Le të zëvendësojmë koordinatat e pikës në ekuacionin e funksionit.

Title="1sqrt(8-3^2)">. Мы получили под корнем отрицательное число, равенство не верно, и точка не принадлежит графику функции и !} nuk është një pikë kontakti.

Ky është lloji i fundit i problemit për të gjetur ekuacionin tangjentë. Para së gjithash duhet të gjejmë abshisën e pikës tangjente.

Le të gjejmë vlerën.

Le të jetë pika e kontaktit. Pika i përket tangjentes së grafikut të funksionit. Nëse i zëvendësojmë koordinatat e kësaj pike në ekuacionin tangjent, marrim barazinë e saktë:

.

Vlera e funksionit në një pikë është .

Le të gjejmë vlerën e derivatit të funksionit në pikë.

Së pari, le të gjejmë derivatin e funksionit. Kjo .

Derivati ​​në një pikë është i barabartë me .

Le të zëvendësojmë shprehjet për dhe në ekuacionin tangjent. Ne marrim ekuacionin për:

Le ta zgjidhim këtë ekuacion.

Zvogëloni numëruesin dhe emëruesin e thyesës me 2:

Le të sjellim anën e djathtë të ekuacionit në një emërues të përbashkët. Ne marrim:

Le të thjeshtojmë numëruesin e thyesës dhe të shumëzojmë të dyja anët me - kjo shprehje është rreptësisht më e madhe se zero.

Ne marrim ekuacionin

Le ta zgjidhim. Për ta bërë këtë, le të vendosim në katror të dy pjesët dhe të kalojmë te sistemi.

Title="delim(lbrace)(matrica(2)(1)((64-48(x_0)+9(x_0)^2=8-(x_0)^2) (8-3x_0>=0 ) ))( )">!}

Le të zgjidhim ekuacionin e parë.

Le të zgjidhim ekuacionin kuadratik, marrim

Rrënja e dytë nuk e plotëson kushtin title="8-3x_0>=0">, следовательно, у нас только одна точка касания и её абсцисса равна .!}

Le të shkruajmë ekuacionin e tangjentes me lakoren në pikë. Për ta bërë këtë, zëvendësoni vlerën në ekuacion - e kemi regjistruar tashmë.

Përgjigje:
.

Shembulli 1. Jepet një funksion f(x) = 3x 2 + 4x– 5. Të shkruajmë ekuacionin e tangjentes në grafikun e funksionit f(x) në pikën e grafikut me abshisën x 0 = 1.

Zgjidhje. Derivat i një funksioni f(x) ekziston për çdo x R . Le ta gjejmë atë:

= (3x 2 + 4x– 5)′ = 6 x + 4.

Pastaj f(x 0) = f(1) = 2; (x 0) = = 10. Ekuacioni tangjent ka formën:

y = (x 0) (x – x 0) + f(x 0),

y = 10(x – 1) + 2,

y = 10x – 8.

Përgjigju. y = 10x – 8.

Shembulli 2. Jepet një funksion f(x) = x 3 – 3x 2 + 2x+ 5. Të shkruajmë ekuacionin e tangjentes në grafikun e funksionit f(x), paralel me vijën y = 2x – 11.

Zgjidhje. Derivat i një funksioni f(x) ekziston për çdo x R . Le ta gjejmë atë:

= (x 3 – 3x 2 + 2x+ 5)′ = 3 x 2 – 6x + 2.

Meqenëse tangjentja me grafikun e funksionit f(x) në pikën e abshisë x 0 është paralel me vijën y = 2x- 11, atëherë pjerrësia e saj është e barabartë me 2, d.m.th. x 0) = 2. Le ta gjejmë këtë abshisë nga kushti që 3 x– 6x 0 + 2 = 2. Kjo barazi vlen vetëm kur x 0 = 0 dhe në x 0 = 2. Meqenëse në të dyja rastet f(x 0) = 5, pastaj drejt y = 2x + b prek grafikun e funksionit ose në pikën (0; 5) ose në pikën (2; 5).

Në rastin e parë, barazia numerike 5 = 2×0 + është e vërtetë b, ku b= 5, dhe në rastin e dytë barazia numerike 5 = 2×2 + është e vërtetë b, ku b = 1.

Pra ka dy tangjente y = 2x+ 5 dhe y = 2x+ 1 në grafikun e funksionit f(x), paralel me vijën y = 2x – 11.

Përgjigju. y = 2x + 5, y = 2x + 1.

Shembulli 3. Jepet një funksion f(x) = x 2 – 6x+ 7. Le të shkruajmë ekuacionin e tangjentes në grafikun e funksionit f(x), duke kaluar nëpër pikë A (2; –5).

Zgjidhje. Sepse f(2) –5, pastaj pikë A nuk i përket grafikut të funksionit f(x). Le x 0 - abshisa e pikës tangjente.

Derivat i një funksioni f(x) ekziston për çdo x R . Le ta gjejmë atë:

= (x 2 – 6x+ 1)′ = 2 x – 6.

Pastaj f(x 0) = x– 6x 0 + 7; (x 0) = 2x 0 – 6. Ekuacioni tangjent ka formën:

y = (2x 0 – 6)(x – x 0) + x– 6x+ 7,

y = (2x 0 – 6)x– x+ 7.

Që nga pika A i përket tangjentes, atëherë barazia numerike është e vërtetë

–5 = (2x 0 – 6)×2– x+ 7,

ku x 0 = 0 ose x 0 = 4. Kjo do të thotë se përmes pikës A mund të vizatoni dy tangjente në grafikun e funksionit f(x).

Nëse x 0 = 0, atëherë ekuacioni tangjent ka formën y = –6x+ 7. Nëse x 0 = 4, atëherë ekuacioni tangjent ka formën y = 2x – 9.

Përgjigju. y = –6x + 7, y = 2x – 9.

Shembulli 4. Funksionet e dhëna f(x) = x 2 – 2x+ 2 dhe g(x) = –x 2 – 3. Le të shkruajmë ekuacionin e tangjentes së përbashkët me grafikët e këtyre funksioneve.

Zgjidhje. Le x 1 - abshisa e pikës së tangjences së drejtëzës së dëshiruar me grafikun e funksionit f(x), A x 2 - abshisa e pikës së tangjencës së së njëjtës drejtëz me grafikun e funksionit g(x).

Derivat i një funksioni f(x) ekziston për çdo x R . Le ta gjejmë atë:

= (x 2 – 2x+ 2)′ = 2 x – 2.

Pastaj f(x 1) = x– 2x 1 + 2; (x 1) = 2x 1 – 2. Ekuacioni tangjent ka formën:

y = (2x 1 – 2)(x – x 1) + x– 2x 1 + 2,

y = (2x 1 – 2)x – x+ 2. (1)

Le të gjejmë derivatin e funksionit g(x):

= (–x 2 – 3)′ = –2 x.

Një tangjente është një vijë e drejtë , e cila prek grafikun e funksionit në një pikë dhe të gjitha pikat e të cilit janë në distancën më të shkurtër nga grafiku i funksionit. Prandaj, tangjentja kalon tangjenten në grafikun e funksionit në një kënd të caktuar, dhe disa tangjente në kënde të ndryshme nuk mund të kalojnë nëpër pikën e tangjences. Ekuacionet tangjente dhe ekuacionet normale në grafikun e një funksioni ndërtohen duke përdorur derivatin.

Ekuacioni tangjent rrjedh nga ekuacioni i drejtëzës .

Le të nxjerrim ekuacionin e tangjentes dhe më pas ekuacionin e normales me grafikun e funksionit.

y = kx + b .

Në të k- koeficienti këndor.

Nga këtu marrim hyrjen e mëposhtme:

y - y 0 = k(x - x 0 ) .

Vlera derivative f "(x 0 ) funksionet y = f(x) në pikën x0 e barabartë me pjerrësinë k= tg φ tangjente me grafikun e një funksioni të vizatuar përmes një pike M0 (x 0 , y 0 ) , Ku y0 = f(x 0 ) . Kjo është kuptimi gjeometrik i derivatit .

Kështu, ne mund të zëvendësojmë k në f "(x 0 ) dhe merrni sa vijon ekuacioni i tangjentes me grafikun e një funksioni :

y - y 0 = f "(x 0 )(x - x 0 ) .

Në problemet që përfshijnë kompozimin e ekuacionit të një tangjente me grafikun e një funksioni (dhe ne do t'i kalojmë së shpejti), kërkohet të reduktohet ekuacioni i marrë nga formula e mësipërme në ekuacioni i drejtëzës në formë të përgjithshme. Për ta bërë këtë, duhet të zhvendosni të gjitha shkronjat dhe numrat në anën e majtë të ekuacionit dhe të lini zero në anën e djathtë.

Tani në lidhje me ekuacionin normal. Normale - kjo është një drejtëz që kalon nëpër pikën e tangjences në grafikun e funksionit pingul me tangjenten. Ekuacioni normal :

(x - x 0 ) + f "(x 0 )(y - y 0 ) = 0

Për t'u ngrohur, ju kërkohet të zgjidhni vetë shembullin e parë dhe më pas shikoni zgjidhjen. Ka çdo arsye për të shpresuar se kjo detyrë nuk do të jetë një "dush i ftohtë" për lexuesit tanë.

Shembulli 0. Krijo një ekuacion tangjent dhe një ekuacion normal për grafikun e një funksioni në një pikë M (1, 1) .

Shembulli 1. Shkruani një ekuacion tangjent dhe një ekuacion normal në grafikun e një funksioni , nëse abshisa është tangjente .

Le të gjejmë derivatin e funksionit:

Tani kemi gjithçka që duhet të zëvendësohet në hyrjen e dhënë në ndihmën teorike për të marrë ekuacionin tangjent. marrim

Në këtë shembull, ne ishim me fat: pjerrësia doli të ishte zero, kështu që nuk kishte nevojë ta sillnim veçmas ekuacionin në formën e tij të përgjithshme. Tani mund të krijojmë ekuacionin normal:

Në figurën e mëposhtme: grafiku i funksionit është ngjyrë burgundy, tangjentja është e gjelbër, normalja është portokalli.

Shembulli tjetër nuk është gjithashtu i komplikuar: funksioni, si në atë të mëparshëm, është gjithashtu një polinom, por pjerrësia nuk do të jetë e barabartë me zero, kështu që do të shtohet një hap tjetër - duke e sjellë ekuacionin në një formë të përgjithshme.

Shembulli 2.

Zgjidhje. Le të gjejmë ordinatën e pikës tangjente:

Le të gjejmë derivatin e funksionit:

.

Le të gjejmë vlerën e derivatit në pikën e tangjences, domethënë pjerrësinë e tangjentes:

Ne i zëvendësojmë të gjitha të dhënat e marra në "formulën e zbrazët" dhe marrim ekuacionin tangjent:

Ne e sjellim ekuacionin në formën e tij të përgjithshme (ne mbledhim të gjitha shkronjat dhe numrat përveç zeros në anën e majtë, dhe lëmë zero në të djathtë):

Ne hartojmë ekuacionin normal:

Shembulli 3. Shkruani ekuacionin e tangjentes dhe ekuacionin e normales me grafikun e funksionit nëse abshisa është pika e tangjences.

Zgjidhje. Le të gjejmë ordinatën e pikës tangjente:

Le të gjejmë derivatin e funksionit:

.

Le të gjejmë vlerën e derivatit në pikën e tangjences, domethënë pjerrësinë e tangjentes:

.

Gjejmë ekuacionin tangjent:

Para se ta çoni ekuacionin në formën e tij të përgjithshme, duhet ta "krehni" pak: shumëzojeni termin me term me 4. Ne e bëjmë këtë dhe e sjellim ekuacionin në formën e tij të përgjithshme:

Ne hartojmë ekuacionin normal:

Shembulli 4. Shkruani ekuacionin e tangjentes dhe ekuacionin e normales me grafikun e funksionit nëse abshisa është pika e tangjences.

Zgjidhje. Le të gjejmë ordinatën e pikës tangjente:

.

Le të gjejmë derivatin e funksionit:

Le të gjejmë vlerën e derivatit në pikën e tangjences, domethënë pjerrësinë e tangjentes:

.

Marrim ekuacionin tangjent:

Ne e sjellim ekuacionin në formën e tij të përgjithshme:

Ne hartojmë ekuacionin normal:

Një gabim i zakonshëm gjatë shkrimit të ekuacioneve tangjente dhe normale është të mos vërehet se funksioni i dhënë në shembull është kompleks dhe të llogaritet derivati ​​i tij si derivat i një funksioni të thjeshtë. Shembujt e mëposhtëm janë tashmë nga funksione komplekse(mësimi përkatës do të hapet në një dritare të re).

Shembulli 5. Shkruani ekuacionin e tangjentes dhe ekuacionin e normales me grafikun e funksionit nëse abshisa është pika e tangjences.

Zgjidhje. Le të gjejmë ordinatën e pikës tangjente:

Kujdes! Ky funksion është kompleks, pasi argumenti tangjent (2 x) është në vetvete një funksion. Prandaj, derivatin e një funksioni e gjejmë si derivat të një funksioni kompleks.

Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Lëkundjet harmonike Formula e fizikës së frekuencës së lëkundjeve