Shpesh, kur flitet me nxënës të shkollave të mesme për punë kërkimore në matematikë, dëgjoj sa vijon: "Çfarë të re mund të zbulohet në matematikë?" Por me të vërtetë: ndoshta të gjitha zbulimet e mëdha janë bërë dhe teoremat janë vërtetuar?

Më 8 gusht 1900, në Kongresin Ndërkombëtar të Matematikës në Paris, matematikani David Hilbert përshkroi një listë problemesh që ai besonte se do të duhej të zgjidheshin në shekullin e njëzetë. Në listë ishin 23 artikuj. Njëzet e një prej tyre ky moment zgjidhur. Problemi i fundit në listën e Hilbertit për t'u zgjidhur ishte teorema e famshme e Fermatit, të cilën shkencëtarët nuk ishin në gjendje ta zgjidhnin për 358 vjet. Në vitin 1994, britaniku Andrew Wiles propozoi zgjidhjen e tij. Doli të ishte e vërtetë.

Duke ndjekur shembullin e Gilbertit në fund të shekullit të kaluar, shumë matematikanë u përpoqën të formulonin të ngjashme objektivat strategjike për shekullin e 21-të. Një nga këto lista u bë e njohur gjerësisht falë miliarderit të Bostonit Landon T. Clay. Në vitin 1998, me fondet e tij, u themelua Instituti i Matematikës Clay në Kembrixh (Masachusetts, SHBA) dhe u vendosën çmime për zgjidhjen e një sërë problemesh. problemet më të rëndësishme matematikë moderne. Më 24 maj 2000, ekspertët e institutit zgjodhën shtatë probleme - sipas numrit të miliona dollarëve të ndarë për çmimin. Lista quhet Problemet e Çmimit të Mijëvjeçarit:

1. Problemi i Kukut (formuluar në 1971)

Le të themi se ju, duke qenë në një kompani të madhe, dëshironi të siguroheni që edhe shoku juaj të jetë atje. Nëse ju thonë se ai është ulur në qoshe, atëherë do t'ju mjaftojë një pjesë e sekondës që t'i hidhni një sy dhe të bindeni për vërtetësinë e informacionit. Pa këtë informacion, do të detyroheni të ecni nëpër të gjithë dhomën, duke parë të ftuarit. Kjo sugjeron që zgjidhja e një problemi shpesh kërkon më shumë sesa kontrollimi i korrektësisë së zgjidhjes.

Stephen Cook formuloi problemin: a mundet që kontrollimi i korrektësisë së një zgjidhjeje për një problem të zgjasë më shumë sesa marrja e vetë zgjidhjes, pavarësisht nga algoritmi i verifikimit. Ky problem është gjithashtu një nga problemet e pazgjidhura në fushën e logjikës dhe shkencave kompjuterike. Vendimi i saj mund të në mënyrë revolucionare të ndryshojë bazat e kriptografisë së përdorur në transmetimin dhe ruajtjen e të dhënave.

2. Hipoteza e Riemann-it (formuluar në 1859)

Disa numra të plotë nuk mund të shprehen si prodhim i dy numrave të plotë më të vegjël, si 2, 3, 5, 7, e kështu me radhë. Numra të tillë quhen të thjeshtë dhe luajnë rol i rendesishem në matematikën e pastër dhe aplikimet e saj. Shpërndarja numrat e thjeshtë ndër të gjitha numrat natyrorë nuk ndjek asnjë model. Megjithatë, matematikani gjerman Riemann bëri një hamendje në lidhje me vetitë e një sekuence numrash të thjeshtë. Nëse hipoteza e Riemann-it vërtetohet, ajo do të çojë në ndryshim revolucionar njohuritë tona në fushën e enkriptimit dhe në një përparim të paparë në sigurinë e internetit.

3. Hipoteza e Birch dhe Swinnerton-Dyer (formuluar në 1960)

Shoqërohet me përshkrimin e grupit të zgjidhjeve të disa ekuacioneve algjebrike në disa variabla me koeficientë të plotë. Një shembull i një ekuacioni të tillë është shprehja x2 + y2 = z2. Euklidi dha Përshkrimi i plotë zgjidhjet e këtij ekuacioni, por për ekuacionet më komplekse, gjetja e zgjidhjeve bëhet jashtëzakonisht e vështirë.

4. Hipoteza e Hodge (formuluar në 1941)

Në shekullin e njëzetë, matematikanët zbuluan metodë e fuqishme studime të formës së objekteve komplekse. Ideja kryesore është përdorimi i "tullave" të thjeshta në vend të vetë objektit, të cilat janë ngjitur së bashku dhe formojnë ngjashmërinë e tij. Hipoteza e Hodge shoqërohet me disa supozime në lidhje me vetitë e "blloqeve të ndërtimit" dhe objekteve të tilla.

5. Ekuacionet Navier - Stokes (formuluar në 1822)

Nëse lundroni në një varkë në një liqen, do të shfaqen valë, dhe nëse fluturoni në një aeroplan, dallgët do të shfaqen në ajër. rrjedhat e turbullta. Supozohet se këto dhe fenomene të tjera përshkruhen nga ekuacionet e njohura si ekuacionet Navier-Stokes. Zgjidhjet e këtyre ekuacioneve janë të panjohura dhe nuk dihet as si të zgjidhen ato. Është e nevojshme të tregohet se një zgjidhje ekziston dhe është e mjaftueshme funksion të qetë. Zgjidhja e këtij problemi do të ndryshojë ndjeshëm metodat e kryerjes së llogaritjeve hidro- dhe aerodinamike.

6. Problemi Poincaré (formuluar në 1904)

Nëse tërhiqni një brez gome mbi një mollë, mundeni, duke e lëvizur ngadalë shiritin pa e ngritur nga sipërfaqja, ta ngjeshni deri në një pikë. Nga ana tjetër, nëse i njëjti brez gome shtrihet në mënyrë të përshtatshme rreth një donut, nuk ka asnjë mënyrë për të ngjeshur shiritin deri në një pikë pa e grisur shiritin ose pa thyer donutin. Ata thonë se sipërfaqja e një mollë është thjesht e lidhur, por sipërfaqja e një donut jo. Doli të ishte aq e vështirë të vërtetohej se vetëm sfera është thjesht e lidhur sa matematikanët janë ende në kërkim të përgjigjes së saktë.

7. Ekuacionet Yang-Mills (formuluar në 1954)

Ekuacionet fizika kuantike të përshkruajë botën e grimcave elementare. Fizikanët Young dhe Mills, pasi zbuluan lidhjen midis gjeometrisë dhe fizikës së grimcave, shkruan ekuacionet e tyre. Kështu, ata gjetën një mënyrë për të unifikuar teoritë elektromagnetike, të dobëta dhe ndërveprime të forta. Ekuacionet Yang-Mills nënkuptuan ekzistencën e grimcave që në fakt u vëzhguan në laboratorë në të gjithë botën, kështu që teoria Yang-Mills pranohet nga shumica e fizikantëve, pavarësisht se në kuadrin e kësaj teorie ende nuk është e mundur të parashikohet masat e grimcave elementare.

Pse më së shumti ekuacionet komplekse A është fizika kaq e vështirë?

• Shkenca popullore,
• Fizika

• Përkthimi

Ekuacionet Navier-Stokes përshkruajnë fenomene të thjeshta të përditshme, si uji që rrjedh nga një zorrë kopshti - por ato janë baza e një problemi milion dollarësh.

Në fizikë, ka ekuacione që përshkruajnë gjithçka nga shtrirja e hapësirë-kohës deri te fluturimi i një fotoni. Megjithatë, vetëm një grup ekuacionesh konsiderohet aq kompleks matematikisht sa që u zgjodh si një nga shtatë Problemet e Mijëvjeçarit që ofrojnë një çmim milion dollarësh për zgjidhjen e tyre: ekuacionet Navier-Stokes, të cilat përshkruajnë rrjedhën e lëngjeve.

Kohët e fundit kam folur se si është marrë një e re për këto ekuacione rezultat i rëndësishëm. Dhe kjo punë sugjeron se përparimi drejt Çmimit të Mijëvjeçarit do të jetë më i vështirë sesa pritej. Pse këto ekuacione, të cilat përshkruajnë fenomene të tilla të njohura si uji që rrjedh nëpër një zorrë, janë shumë më të vështira për t'u kuptuar matematikisht sesa, të themi, ekuacionet e fushës së Ajnshtajnit, të cilat përfshijnë objekte të tilla mahnitëse si vrimat e zeza?

Përgjigja, siç e kuptoj unë, qëndron në turbulencat. Të gjithë ne e kemi përjetuar këtë fenomen gjatë fluturimit në ajër heterogjen në një lartësi prej 10,000 m, ose kur vëzhgojmë një gyp nga uji që zbret në kanalin e kanalit në një vaskë. Sidoqoftë, njohuria nuk rrjedh nga ndërgjegjësimi: turbulenca është një nga fushat më pak të kuptuara të botës fizike.

Një shembull i një rrjedhe pa turbulenca është lumë i qetë. Secila pjesë e saj lëviz në të njëjtin drejtim me të njëjtën shpejtësi. Lëngu i turbullt ndodh kur rrjedha e një lumi prishet në mënyrë që pjesë të ndryshme të përroit fillojnë të lëvizin në drejtime të ndryshme Me me shpejtësi të ndryshme. Fizikanët e përshkruajnë formimin e turbulencës fillimisht si shfaqjen e një vorbulle në një rrjedhë të qetë, dhe më pas si formimin e vorbullave të vogla në vorbullën e parë, dhe vorbullat edhe më të vogla në këto vorbulla - një det vorbullash që shtrihet në lëng, në mënyrë që lëngu të ndahet në pjesë diskrete, secila prej të cilave ndërvepron me njëra-tjetrën dhe lëviz në drejtimin e vet.

Studiuesit duan të kuptojnë saktësisht se si një rrjedhë e qetë ndahet në vorbulla dhe modele të turbullta forma e ardhshme lëngjet pasi turbulenca ka bërë të vetën. Por Sfida e Mijëvjeçarit është formuluar në mënyrë më modeste: ju vetëm duhet të provoni se zgjidhjet ekzistojnë gjithmonë. Kjo do të thotë, pyetja është, a mund të përshkruajnë ekuacionet ndonjë lëng, me ndonjë kusht fillestar dhe deri në një të ardhme pafundësisht të largët?

"Hapi i parë është thjesht të provosh të provosh se ekuacionet kanë disa zgjidhje," thotë Charlie Fefferman, një matematikan në Universiteti Princeton. "Nuk ju jep një pasqyrë të vërtetë për sjelljen e lëngjeve, por nëse nuk e keni atë, atëherë nuk dini asgjë fare."

Pra, si mund të provoni ekzistencën e zgjidhjeve? Ju duhet të filloni duke kuptuar pse ata mund të mos jenë aty. Ekuacionet Navier-Stokes përfshijnë llogaritjen e ndryshimeve në sasi të tilla si shpejtësia dhe presioni. Ajo që i shqetëson matematikanët është ky skenar: ju drejtoni këto ekuacione dhe pas një kohe të kufizuar ata ju thonë se një grimcë lëngu po lëviz me shpejtësi të pafundme. Dhe ky është një problem - llogaritja e ndryshimit në një vlerë të pafundme nuk është më e lehtë sesa pjesëtimi me zero. Matematikanët i quajnë situata të tilla "shpërthim" dhe në rast shpërthimi, ekuacionet pushojnë së funksionuari dhe nuk gjenden zgjidhje.

Ekuacionet Navier-Stokes përshkruajnë rrjedhën e një lëngu të pakompresueshëm.

Në përgjithësi, produkti i masës (pjesa blu) dhe nxitimi (vjollcë) barazohet me forcat që veprojnë në lëng (portokalli):

• ρ - dendësia e lëngshme;
• dV/dt - ndryshimi i shpejtësisë me kalimin e kohës;
• V ∇V - shpejtësia dhe drejtimi i lëvizjes;
• ∇P - ndryshimi i presionit të brendshëm;
• ρ g - ndikim forcat e jashtme(për shembull, graviteti);
• μ ∇ 2 V - ndikim forcat e brendshme(viskoziteti).

Të vërtetosh mungesën e shpërthimeve (dhe ekzistencën e zgjidhjeve) është e barabartë me vërtetimin e kësaj shpejtesi maksimaleçdo grimcë e lëngut mbetet e kufizuar në një vlerë të caktuar të fundme. Një nga më sasi të rëndësishme rezulton të jetë energjia kinetike e lëngut.

Kur filloni të modeloni rrjedhën duke përdorur ekuacionet Navier-Stokes, lëngu juaj ka një sasi fillestare të energjisë. Në rrjedhat e turbullta, energjia mund të fillojë të përqendrohet. Në vend që të shpërndahet në mënyrë të barabartë në të gjithë lumin, energjia kinetike mund të mblidhet në vorbulla me përmasa arbitrare të vogla, dhe grimcat në këto vorbulla mund (teorikisht) të përshpejtohen në shpejtësi të pafundme.

“Ndërsa kaloni në shkallë gjithnjë e më të vogla, energjia kinetike bëhet gjithnjë e më pak e dobishme për të kontrolluar një vendim. Zgjidhja mund të bënte gjithçka dhe unë nuk do të dija si ta kontrolloja atë," thotë Vlad Vikol, një matematikan në Universitetin Princeton që shkroi Punë e re së bashku me Tristan Buckmaster.

Matematikanët klasifikojnë ekuacionet diferenciale të pjesshme bazuar në shkallën në të cilën ata mund të fillojnë të sillen keq në shkallë infiniteminale. Ekuacionet Navier-Stokes janë në skajin ekstrem të kësaj shkalle. Kompleksiteti i matematikës së ekuacioneve në një farë kuptimi pasqyron kompleksitetin e rrjedhave të turbullta që ata duhet të jenë në gjendje të përshkruajnë.

“Kur zmadhoni një vend, atëherë pikë matematikore vizion, humb informacionin për vendimin”, thotë Vikol. - Por turbulenca duhet të përshkruajë pikërisht atë - transmetimin energjia kinetike nga shkallët më të mëdha në shkallë gjithnjë e më të vogla, kështu që me të vërtetë ju kërkon të zmadhoni.”

Duke folur për vetitë matematikore ekuacionet fizike, është e natyrshme të pyesim veten nëse këto konsiderata do të ndryshojnë mënyrën se si ne vlerësojmë bota fizike? Në rastin e ekuacioneve Navier-Stokes dhe Problemit të Mijëvjeçarit, përgjigja është edhe "po" dhe "jo". Pas gati 200 vitesh eksperimentimi, është e qartë se ekuacionet funksionojnë: rrjedha e parashikuar nga Navier-Stokes përputhet vazhdimisht me rrjedhën e vëzhguar në eksperimente. Nëse jeni një fizikant që punon në një laborator, kjo mund të jetë e mjaftueshme për ju. Por matematikanët duhet të dinë më shumë - ata duan të shohin nëse këto ekuacione mund të ndiqen deri në fund, për të gjurmuar saktësisht se si ndryshon rrjedha nga një moment në tjetrin (për çdo konfigurim fillestar të lëngut), madje edhe për të përcaktuar me saktësi burimin e turbulencës .

“Sjellja e lëngjeve është plot surpriza”, thotë Fefferman. "Këto surpriza, në parim, shpjegohen nga ekuacionet themelore që rregullojnë mënyrën se si rrjedhin lëngjet, por mënyra se si të kalojmë nga ekuacionet që rregullojnë lëvizjen e lëngjeve në përshkrimin se si lëviz lëngu në të vërtetë është një mister."

Matematika, siç dihet, është "mbretëresha e shkencave". Ata që e studiojnë seriozisht janë njerëz të veçantë - ata jetojnë në një botë formulash dhe numrash. Ekziston edhe një kuptim praktik në të kuptuarit e botës së matematikës: Instituti Clay është gati të japë një milion dollarë për zgjidhjen e një numri problemesh.

1. Hipoteza e Riemann-it

Të gjithë mbajmë mend nga shkolla një numër numrash të tillë që mund të ndahen vetëm me veten dhe me një. Ato quhen të thjeshta (1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17...). Numri më i madh kryesor i njohur deri më sot u gjet në gusht 2008 dhe përbëhet nga 12,978,189 shifra. Për matematikanët, këta numra janë shumë të rëndësishëm, por si shpërndahen në të gjithë seri numrash ende nuk është plotësisht e qartë.

Në 1859, matematikani gjerman Bernhard Riemann propozoi mënyrën e tij të kërkimit dhe testimit të tyre, duke gjetur një metodë me të cilën mund të përcaktohet shuma maksimale numrat e thjeshtë që nuk e kalojnë një të caktuar numri i dhënë. Matematikanët tashmë e kanë testuar këtë metodë në një trilion e gjysmë numra të thjeshtë, por askush nuk mund të provojë se testi do të vazhdojë të jetë i suksesshëm.

Këto nuk janë "lojëra të mendjes" të thjeshta. Hipoteza e Riemann-it përdoret gjerësisht në llogaritjen e sistemeve të sigurisë së transmetimit të të dhënave, kështu që vërtetimi i saj ka kuptim të madh praktik.

2. Ekuacionet Navier-Stokes

Ekuacionet Navier-Stokes janë baza për llogaritjet në hidrodinamikën gjeofizike, duke përfshirë përshkrimin e lëvizjes së rrymave në mantelin e Tokës. Këto ekuacione përdoren gjithashtu në aerodinamikë.

Thelbi i tyre është se çdo lëvizje shoqërohet me ndryshime në mjedis, turbulenca dhe rrjedha. Për shembull, nëse një varkë noton në një liqen, atëherë valët ndryshojnë nga lëvizja e saj dhe rrjedhat e turbullta formohen prapa aeroplanit. Këto procese, nëse thjeshtohen, përshkruhen nga ekuacionet Navier-Stokes të krijuara në të tretën e parë të shekullit të 19-të.

Ka ekuacione, por ende nuk mund t'i zgjidhin ato. Për më tepër, nuk dihet nëse ekzistojnë zgjidhjet e tyre. Matematikanët, fizikantët dhe projektuesit i përdorin me sukses këto ekuacione, duke i zëvendësuar tashmë në to vlerat e njohura shpejtësia, presioni, dendësia, koha etj.

Nëse dikush arrin të përdorë këto ekuacione në drejtim i kundërt dmth duke llogaritur parametrat nga barazia, ose duke vërtetuar se nuk ka metodë zgjidhjeje, atëherë ky “dikush” do të bëhet milioner dollarësh.

3. Hamendje Hodge

Në vitin 1941, profesori i Kembrixhit William Hodge sugjeroi që ndonjë trup gjeometrik mund të hulumtohet si ekuacioni algjebrik dhe kompozoni atë modeli matematik.

Nëse i qasemi përshkrimit të kësaj hipoteze nga ana tjetër, mund të themi se është më i përshtatshëm të studiohet çdo objekt kur ai mund të zbërthehet në pjesët përbërëse të tij, dhe më pas këto pjesë mund të shqyrtohen. Megjithatë, këtu përballemi me një problem: duke shqyrtuar një gur të vetëm, nuk mund të themi praktikisht asgjë për kështjellën që është ndërtuar nga gurë të tillë, për sa dhoma përmban dhe çfarë forme janë ato. Përveç kësaj, gjatë kompozimit të objektit fillestar nga komponentët(për të cilën e çmontuam), mund të gjeni pjesë shtesë, ose, përkundrazi, mund t'i humbisni ato.

Arritja e Hodge është se ai përshkroi kushtet në të cilat pjesët "ekstra" nuk do të shfaqen dhe pjesët e nevojshme nuk do të humbasin. Dhe e gjithë kjo duke përdorur llogaritjet algjebrike. Matematikanët nuk kanë qenë në gjendje të provojnë ose hedhin poshtë supozimin e tij për 70 vjet. Nëse keni sukses, do të bëheni milioner.

4. Hamendësimi i Birch dhe Swinerton-Dyer

Ekuacionet e formës xn + yn + zn + … = tn ishin të njohura për matematikanët e lashtë. Zgjidhja për më të thjeshtat prej tyre (" Trekëndëshi egjiptian"- 32 + 42 = 52) njihej që në Babiloni. Ai u eksplorua plotësisht në shekullin e III pas Krishtit nga matematikani aleksandrian Diophantus, në kufijtë e aritmetikës së të cilit Pierre Fermat formuloi teoremën e tij të famshme.

Në epokën para kompjuterit, më së shumti më shumë zgjidhje Ky ekuacion u propozua në 1769 nga Leonhard Euler (26824404 + 153656394 + 187967604 = 206156734).

Gjeneral, metodë universale nuk ka asnjë llogaritje për ekuacione të tilla, por dihet se secili prej tyre mund të ketë ose një të fundme ose numër i pafund vendimet.

Në vitin 1960, matematikanët Birch dhe Swinerton-Dyer, duke eksperimentuar në një kompjuter me disa kthesa të njohura, arritën të krijonin një metodë që reduktonte çdo ekuacion të tillë në një më të thjeshtë të quajtur funksioni zeta. Sipas supozimit të tyre, nëse ky funksion në pikën 1 është i barabartë me 0, atëherë numri i zgjidhjeve të ekuacionit të dëshiruar do të jetë i pafund. Matematikanët kanë supozuar se kjo veti do të ruhet për çdo kurbë, por askush nuk ka qenë ende në gjendje të provojë ose hedhë poshtë këtë supozim.

Për të marrë milionin e lakmuar, duhet të gjeni një shembull në të cilin supozimi i matematikanëve nuk funksionon.

5. Problemi Cook-Lewin

Problemi me verifikimin e zgjidhjes Cook-Lewin është se kontrollimi i çdo zgjidhjeje kërkon më pak kohë sesa zgjidhja e vetë problemit. Për të qenë të qartë: ne e dimë se diku në fund të oqeanit ka një thesar, por ne nuk e dimë se ku saktësisht. Prandaj, kërkimi për të mund të marrë një kohë pafundësisht të gjatë. Nëse e dimë se thesari ndodhet në një shesh të tillë, të përcaktuar koordinatat e dhëna, atëherë kërkimi i thesarit do të thjeshtohet ndjeshëm.

Gjithmonë kështu. Më shumë gjasa. Deri më tani, asnjë nga matematikanët dhe të vdekshmit e thjeshtë nuk ka qenë në gjendje të gjejë një problem zgjidhja e të cilit do të kërkonte më pak kohë sesa kontrollimi i saktësisë së zgjidhjes së tij. Nëse papritmas arrin të gjesh një të tillë, urgjentisht shkruani në Institutin Clay. Nëse komisioni i matematikanëve miraton, një milion dollarë do të jenë në xhepin tuaj.

Problemi Cook-Lewin u formulua në vitin 1971, por ende nuk është zgjidhur nga askush. Zgjidhja e tij mund të bëhet një revolucion i vërtetë në sistemet e kriptografisë dhe enkriptimit, pasi do të shfaqen "shifra ideale", të cilat do të jetë praktikisht e pamundur të thyhen.

P.S. Emri im është Aleksandër. Ky është projekti im personal, i pavarur. Më vjen shumë mirë nëse ju pëlqeu artikulli. Dëshironi të ndihmoni faqen? Thjesht shikoni reklamën më poshtë për atë që po kërkoni kohët e fundit.

Ekuacionet matematikore nuk janë vetëm të dobishme - ato mund të jenë edhe të bukura. Dhe shumë shkencëtarë pranojnë se ata shpesh duan formula të caktuara jo vetëm për funksionalitetin e tyre, por edhe për formën e tyre, njëfarë poezie të veçantë. Ka nga ato ekuacione që njihen në mbarë botën, si p.sh. E = mc^2. Të tjerët nuk janë aq të përhapur, por bukuria e ekuacionit nuk varet nga popullariteti i tij.

Teoria e përgjithshme e relativitetit

Ekuacioni i përshkruar më sipër u formulua nga Albert Ajnshtajni në vitin 1915 si pjesë e teorisë së tij inovative të përgjithshme të relativitetit. Teoria në fakt revolucionarizoi botën e shkencës. Është e mahnitshme se si një ekuacion mund të përshkruajë absolutisht gjithçka që është përreth, duke përfshirë hapësirën dhe kohën. E gjithë gjenia e vërtetë e Ajnshtajnit është mishëruar në të. Ky është një ekuacion shumë elegant që përshkruan në mënyrë të përmbledhur se si gjithçka rreth jush është e lidhur - për shembull, se si prania e Diellit në galaktikë përkul hapësirën dhe kohën në mënyrë që Toka të rrotullohet rreth saj.

Modeli standard

Modeli standard është një tjetër prej teoritë më të rëndësishme fizika, ajo përshkruan gjithçka grimcat elementare, prej të cilave është bërë universi. ekzistojnë ekuacione të ndryshme, të aftë për të përshkruar këtë teori, por më shpesh përdorin ekuacionin e Lagranzhit, Matematikan francez dhe astronom i shekullit të 18-të. Ai përshkroi me sukses absolutisht të gjitha grimcat dhe forcat që veprojnë mbi to, me përjashtim të gravitetit. Kjo përfshin gjithashtu kohët e fundit bozon i hapur Higgs. Është plotësisht në përputhje me Mekanika kuantike Dhe teori e përgjithshme relativiteti.

Analiza matematikore

Ndërsa dy ekuacionet e para përshkruajnë aspekte specifike të universit, ky ekuacion mund të përdoret në të gjitha situatat e mundshme. Teorema themelore analiza matematikore përbën bazën metodë matematikore, i njohur si llogaritje, dhe lidh dy idetë e tij kryesore - konceptin e një integrali dhe konceptin e një derivati. Origjina analiza matematikore në kohët e lashta, por të gjitha teoritë u mblodhën nga Isak Njutoni në shekullin e 17-të - ai i përdori ato për të llogaritur dhe përshkruar lëvizjen e planetëve rreth Diellit.

Teorema e Pitagorës

Ekuacioni i mirë i vjetër i njohur për të gjithë shpreh teoremën e famshme të Pitagorës, të cilën të gjithë nxënësit e shkollës mësojnë në mësimet e gjeometrisë. Kjo formulë përshkruan se në ndonjë trekëndësh kënddrejtë katrori i gjatësisë së hipotenuzës, më i gjati nga të gjitha anët (c), e barabartë me shumën katrorët e dy anëve të tjera, këmbët (a dhe b). Si rezultat, ekuacioni duket si në mënyrën e mëposhtme: a^2 + b^2 = c^2. Kjo teoremë befason shumë matematikanë dhe fizikantë fillestarë kur ata sapo janë duke studiuar në shkollë dhe nuk e dinë ende se çfarë rezervon bota e re për ta.

1 = 0.999999999….

Ky ekuacion i thjeshtë tregon se numri është 0,999 s numër i pafund Nëntat pas presjes dhjetore janë në fakt të barabarta me një. Ky ekuacion është i jashtëzakonshëm sepse është jashtëzakonisht i thjeshtë, tepër vizual, por gjithsesi arrin të befasojë dhe mahnitë shumë njerëz. Disa njerëz nuk mund të besojnë se kjo është në të vërtetë e vërtetë. Për më tepër, vetë ekuacioni është i bukur - ana e majtë është baza më e thjeshtë matematika, dhe e drejta fsheh sekretet dhe misteret e pafundësisë.

Teoria speciale e relativitetit

Albert Einstein bën sërish listën, këtë herë me të tijën teori e veçantë relativiteti, i cili përshkruan se si koha dhe hapësira nuk janë konceptet absolute, dhe relative - me shpejtësinë e shikuesit. Ky ekuacion tregon se si koha “zgjerohet”, duke u ngadalësuar gjithnjë e më shumë me kalimin e kohës. njeri më i shpejtë lëviz. Në fakt, ekuacioni nuk është aq i ndërlikuar, derivate të thjeshta, algjebër lineare. Megjithatë, ajo që mishëron është absolutisht rruge e re shikoni botën.

ekuacioni i Euler-it

Kjo formulë e thjeshtë përfshin njohuritë bazë për natyrën e sferave. Ai thotë se nëse preni një sferë dhe merrni fytyrat, skajet dhe kulmet, atëherë nëse merrni F si numër fytyrash, E si numrin e skajeve dhe V si numër kulmesh, atëherë do të merrni gjithmonë të njëjtën gjë. : V - E + F = 2. Pikërisht kështu duket ky ekuacion. Gjëja e mahnitshme është se pa marrë parasysh se çfarë forme sferike merrni - qoftë një katërkëndor, një piramidë, apo ndonjë kombinim tjetër i fytyrave, skajeve dhe kulmeve, gjithmonë do të merrni të njëjtin rezultat. Kjo kombinatorikë u tregon njerëzve diçka thelbësore për format sferike.

Ekuacioni i Euler-Lagranzhit dhe teorema e Noether-it

Këto koncepte janë mjaft abstrakte, por shumë të fuqishme. Gjëja më interesante është se kjo mënyrë e re e të menduarit për fizikën ishte në gjendje t'i mbijetonte disa revolucioneve në këtë shkencë, siç është zbulimi Mekanika kuantike, teoria e relativitetit dhe kështu me radhë. Këtu L qëndron për ekuacionin e Lagranzhit, i cili është një masë e energjisë në sistemi fizik. Dhe zgjidhja e këtij ekuacioni do t'ju tregojë se si sistem specifik do të zhvillohet me kalimin e kohës. Një variacion i ekuacionit të Lagranzhit është teorema e Noether-it, e cila është thelbësore për fizikën dhe rolin e simetrisë. Thelbi i teoremës është se nëse sistemi juaj është simetrik, atëherë zbatohet ligji përkatës i ruajtjes. Në fakt, ideja kryesore Kjo teoremë është se ligjet e fizikës zbatohen kudo.

Ekuacioni i grupit të rinormalizimit

Ky ekuacion quhet edhe ekuacioni Callan-Symanczyk sipas krijuesve të tij. Është një ekuacion themelor jetik i shkruar në 1970. Shërben për të demonstruar se si pritshmëritë naive janë shkatërruar bota kuantike. Ekuacioni ka gjithashtu shumë aplikime për të vlerësuar masën dhe madhësinë e protonit dhe neutronit që përbëjnë bërthamën e një atomi.

Ekuacioni i sipërfaqes minimale

Ky ekuacion llogarit dhe kodon në mënyrë të jashtëzakonshme ato filma të bukur sapuni që formohen në tela kur zhytet në ujë me sapun. Ky ekuacion, megjithatë, është shumë i ndryshëm nga i zakonshmi ekuacionet lineare nga e njëjta zonë, për shembull, ekuacionet e nxehtësisë, formimi i valëve, etj. Ky ekuacion është jolinear, ai përfshin ndikimin e forcave të jashtme dhe produkteve të derivateve.

Linja e Euler-it

Merrni çdo trekëndësh, vizatoni rrethin më të vogël që mund të përfshijë trekëndëshin dhe gjeni qendrën e tij. Gjeni qendrën e masës së trekëndëshit - pika që do të lejonte trekëndëshin të balancohej, për shembull, në pikën e një lapsi nëse mund të pritet nga letra. Vizatoni tre lartësi të këtij trekëndëshi (drejtëza që do të ishin pingul me brinjët e trekëndëshit nga i cili janë tërhequr) dhe gjeni pikën e tyre të kryqëzimit. Thelbi i teoremës është se të tre pikat do të jenë në të njëjtën drejtëz, e cila është pikërisht ajo që është drejtëza e Euler-it. Teorema përmban të gjithë bukurinë dhe fuqinë e matematikës, duke zbuluar modele të mahnitshme në gjërat më të thjeshta.

52. Më shumë shembuj kompleks ekuacionet.
Shembulli 1.

5/(x – 1) – 3/(x + 1) = 15/(x 2 – 1)

Emëruesi i përbashkët është x 2 – 1, pasi x 2 – 1 = (x + 1) (x – 1). Le të shumëzojmë të dyja anët e këtij ekuacioni me x 2 – 1. Marrim:

ose, pas reduktimit,

5 (x + 1) - 3 (x - 1) = 15

5x + 5 - 3x + 3 = 15

2x = 7 dhe x = 3½

Le të shqyrtojmë një ekuacion tjetër:

5/(x-1) – 3/(x+1) = 4(x 2 – 1)

Duke zgjidhur si më sipër, marrim:

5 (x + 1) - 3 (x - 1) = 4
5x + 5 – 3x – 3 = 4 ose 2x = 2 dhe x = 1.

Le të shohim nëse barazitë tona janë të justifikuara nëse x në secilin prej ekuacioneve të marra në shqyrtim e zëvendësojmë me numrin e gjetur.

Për shembullin e parë marrim:

Ne shohim se nuk ka vend për asnjë dyshim: ne kemi gjetur një numër për x të tillë që barazia e kërkuar është e justifikuar.

Për shembullin e dytë marrim:

5/(1-1) – 3/2 = 15/(1-1) ose 5/0 – 3/2 = 15/0

Këtu lindin dyshime: jemi përballë pjesëtimit me zero, gjë që është e pamundur. Nëse në të ardhmen arrijmë t'i japim një kuptim të caktuar, megjithëse indirekt, kësaj ndarjeje, atëherë mund të pajtohemi që zgjidhja e gjetur x – 1 plotëson ekuacionin tonë. Deri atëherë, duhet të pranojmë se ekuacioni ynë nuk ka një zgjidhje që ka një kuptim të drejtpërdrejtë.

Raste të tilla mund të ndodhin kur e panjohura përfshihet disi në emëruesit e thyesave të pranishme në ekuacion, dhe disa nga këta emërues, kur gjendet zgjidhja, kthehen në zero.

Shembulli 2.

Ju mund të shihni menjëherë se ky ekuacion ka formën e një proporcioni: raporti i numrit x + 3 me numrin x – 1 është i barabartë me raportin e numrit 2x + 3 me numrin 2x – 2. Le të dikujt, në duke parë këtë rrethanë, vendosni të aplikoni këtu për të çliruar ekuacionin nga thyesat, vetia kryesore e proporcionit (produkti i termave ekstremë është i barabartë me produktin e termave të mesëm). Atëherë ai do të marrë:

(x + 3) (2x – 2) = (2x + 3) (x – 1)

2x 2 + 6x – 2x – 6 = 2x 2 + 3x – 2x – 3.

Këtu, frika se nuk do ta përballojmë këtë ekuacion mund të ngrihet nga fakti se ekuacioni përfshin termat me x 2. Megjithatë, ne mund të zbresim 2x 2 nga të dyja anët e ekuacionit - kjo nuk do ta prishë ekuacionin; atëherë termat me x 2 shkatërrohen dhe marrim:

6x – 2x – 6 = 3x – 2x – 3

Le t'i zhvendosim termat e panjohur në të majtë dhe ato të njohura në të djathtë - marrim:

3x = 3 ose x = 1

Duke kujtuar këtë ekuacion

(x + 3)/(x – 1) = (2x + 3)/(2x – 2)

Do të vërejmë menjëherë se vlera e gjetur për x (x = 1) bën që emëruesit e çdo thyese të zhduken; Ne duhet të braktisim një zgjidhje të tillë derisa të kemi shqyrtuar çështjen e pjesëtimit me zero.

Nëse vërejmë gjithashtu se zbatimi i vetive të proporcionit e ka komplikuar çështjen dhe se një ekuacion më i thjeshtë mund të merret duke shumëzuar të dyja anët e dhënë me një emërues të përbashkët, përkatësisht 2(x – 1) - në fund të fundit, 2x – 2 = 2 (x – 1), atëherë marrim:

2(x + 3) = 2x – 3 ose 2x + 6 = 2x – 3 ose 6 = –3,

gjë që është e pamundur.

Kjo rrethanë tregon se ky ekuacion nuk ka zgjidhje që kanë një kuptim të drejtpërdrejtë që nuk do të ndryshonin emëruesit ekuacioni i dhënë në zero.
Le të zgjidhim tani ekuacionin:

(3x + 5)/(x – 1) = (2x + 18)/(2x – 2)

Le të shumëzojmë të dyja anët e ekuacionit 2(x – 1), pra me emëruesin e përbashkët, marrim:

6x + 10 = 2x + 18

Zgjidhja e gjetur nuk e zhduk emëruesin dhe ka një kuptim të drejtpërdrejtë:

ose 11 = 11

Nëse dikush, në vend që të shumëzonte të dyja pjesët me 2 (x – 1), do të përdorte vetinë e proporcionit, ai do të merrte:

(3x + 5) (2x - 2) = (2x + 18) (x - 1) ose
6x 2 + 4x – 10 = 2x 2 + 16x – 18.

Këtu termat me x 2 nuk do të shkatërroheshin. Duke transferuar të gjithë anëtarët e panjohur në ana e majte, dhe ata që njihen nga e djathta do të merrnin

4x 2 – 12x = –8

x 2 – 3x = –2

Tani nuk do të jemi në gjendje ta zgjidhim këtë ekuacion. Në të ardhmen, ne do të mësojmë se si të zgjidhim ekuacione të tilla dhe të gjejmë dy zgjidhje për të: 1) mund të marrësh x = 2 dhe 2) mund të marrësh x = 1. Është e lehtë të kontrollosh të dyja zgjidhjet:

1) 2 2 – 3 2 = –2 dhe 2) 1 2 – 3 1 = –2

Nëse kujtojmë ekuacionin fillestar

(3x + 5) / (x – 1) = (2x + 18) / (2x – 2),

atëherë do të shohim se tani marrim të dyja zgjidhjet e saj: 1) x = 2 është zgjidhja që ka kuptim të drejtpërdrejtë dhe nuk e kthen emëruesin në zero, 2) x = 1 është zgjidhja që e kthen emëruesin në zero dhe nuk ka kuptim të drejtpërdrejtë.

Shembulli 3.

Ne do të gjejmë emërues i përbashkët thyesat e përfshira në këtë ekuacion, për të cilat faktorizojmë secilin prej emërtuesve:

1) x 2 – 5x + 6 = x 2 – 3x – 2x + 6 = x(x – 3) – 2 (x – 3) = (x – 3) (x – 2),

2) x 2 – x – 2 = x 2 – 2x + x – 2 = x (x – 2) + (x – 2) = (x – 2) (x + 1),

3) x 2 – 2x – 3 = x 2 – 3x + x – 3 = x (x – 3) + (x – 3) = (x – 3) (x + 1).

Emëruesi i përbashkët është (x – 3) (x – 2) (x + 1).

Le të shumëzojmë të dyja anët e këtij ekuacioni (dhe tani mund ta rishkruajmë atë si:

me një emërues të përbashkët (x – 3) (x – 2) (x + 1). Pastaj, pasi zvogëlojmë çdo thyesë, marrim:

3(x + 1) – 2(x – 3) = 2(x – 2) ose
3x + 3 - 2x + 6 = 2x - 4.

Nga këtu marrim:

–x = –13 dhe x = 13.

Kjo zgjidhje ka një kuptim të drejtpërdrejtë: nuk zhduk asnjë nga emëruesit.

Nëse marrim ekuacionin:

atëherë, duke bërë saktësisht të njëjtën gjë si më sipër, do të merrnim

3 (x + 1) - 2 (x - 3) = x - 2

3x + 3 – 2x + 6 = x – 2

3x – 2x – x = –3 – 6 – 2,

nga do ta merrnit?

gjë që është e pamundur. Kjo rrethanë tregon se është e pamundur të gjendet një zgjidhje për ekuacionin e fundit që ka një kuptim të drejtpërdrejtë.