Komplete të numërueshme. §6

Le të zgjedhim në një nëngrup të numërueshëm; Pjesën e mbetur e shënojmë me . Atëherë duhet ta vërtetojmë këtë po aq i fuqishëm (shenja simbolizon bashkimin e grupeve të shkëputura). Meqenëse të dyja janë të numërueshme, ekziston një korrespondencë një-për-një midis tyre. Është e lehtë ta zgjerosh atë në një korrespondencë ndërmjet dhe (çdo element i grupit korrespondon me vetveten).

35. Zbatoni këtë konstruksion dhe tregoni në mënyrë eksplicite korrespondencën midis një segmenti dhe një gjysmë-intervali.

36. Teorema 3 tregon se shtimi i një grupi të numërueshëm në një të pafundme nuk e ndryshon kardinalitetin e tij. A mund të thuhet e njëjta gjë për fshirjen? Vërtetoni se nëse është e pafundme dhe jo e numërueshme, por e fundme ose e numërueshme, atëherë është me fuqi të barabartë.

37. Matematikani gjerman R. Dedekind propozoi përkufizimin e mëposhtëm të një bashkësie të pafundme: një bashkësi është e pafundme nëse është ekuivalente me disa nga nënbashkësitë e saj që nuk përputhen me të gjithë grupin. Tregoni se vetia e vënë në dukje nga Dedekind përcakton në të vërtetë grupe të pafundme.

Duke shtuar bashkësi të fundme ose të numërueshme, është e lehtë të kuptohet se drejtëza, të gjitha intervalet në vijë (segmentet, intervalet, gjysmëintervalet), rrezet, bashkimet e tyre të fundme ose të numërueshme, etj. janë po aq të fuqishëm ndaj njëri-tjetrit.

38. Tregoni një korrespondencë një-për-një midis një grupi dhe një segmenti.

39. Vërtetoni se bashkësia e të gjitha drejtëzave në rrafsh është e barabartë me bashkësinë e të gjitha pikave në rrafsh. (Udhëzim: të dyja pikat dhe linjat janë të specifikuara në çifte numrash - me disa përjashtime.)

40. Vërtetoni se një gjysmërrafsh (pikat e rrafshit që shtrihen në njërën anë të një vije të caktuar) është e barabartë me rrafshin. (Kjo është e vërtetë nëse e përfshijmë vijën kufitare në gjysmëplan ose jo.)

Teorema 4. Një segment është i barabartë me bashkësinë e të gjithëve sekuenca të pafundme zero dhe njëshe.

Dëshmi. Në fakt, çdo numër shkruhet si një thyesë binare e pafundme. Shenja e parë e kësaj fraksioni është e barabartë ose në varësi të faktit nëse numri bie në gjysmën e majtë ose të djathtë të segmentit. Për të përcaktuar shenjën tjetër, duhet të ndani përsëri gjysmën e zgjedhur në gjysmë dhe të shihni se ku zbarkon, etj.

E njëjta korrespondencë mund të përshkruhet në drejtimin tjetër: sekuenca korrespondon me një numër që është shuma e serisë

(Në këtë ndërtim ne përdorim disa fakte nga analiza matematikore, gjë që nuk është për t'u habitur - ne jemi të interesuar për vetitë e numrave realë.)

Korrespondenca e përshkruar nuk është ende tërësisht një me një: numrat racionalë binarë (fraksionet e formës ) kanë dy paraqitje. Për shembull, një numër mund të shkruhet si , dhe në formë Korrespondenca do të bëhet një me një nëse hedhim thyesat me një në periudhë (përveç thyesës , e cila duhet të lihet). Por ka një numër të numërueshëm të fraksioneve të tilla, kështu që kjo nuk do të ndikojë në fuqinë.

E cila fraksion binare përputhet me numrin?

Kjo provë mund të kishte përdorur dhjetore më të njohura në vend të atyre binare. Do të rezultonte se segmenti është i barabartë me bashkësinë e të gjitha sekuencave të pafundme të numrave. Për të kaluar nga këtu në sekuencat e zerove dhe njësheve, mund të përdorni teknikën e përshkruar më parë.

Tani gjithçka është gati për të vërtetuar këtë fakt mahnitës:

Teorema 5. Një katror (me brendësi) është i barabartë me një segment.

Dëshmi. Katrori është i barabartë me grupin çifte numrash realë, secili prej të cilëve shtrihet në një segment (metoda e koordinatave). Ne tashmë e dimë se në vend të numrave në një segment mund të flasim për sekuenca zero dhe njësh. Mbetet të theksohet se një çifti sekuencash zero dhe njësh mund t'i caktohet një sekuencë përzierjeje dhe se kjo korrespondencë do të jetë një me një.

Ky rezultat u mor në 1877 nga matematikani gjerman Georg Cantor dhe e befasoi atë sepse binte në kundërshtim me ndjenjën intuitive të "dimensionit" (një katror është dydimensional, kështu që duket se përmban më shumë pika sesa një segment njëdimensional). Kjo është ajo që Cantor i shkroi Dedekindit (20 qershor 1877), duke diskutuar çështjen e ekuivalencës së hapësirave me numra të ndryshëm dimensionesh: "Më duket se kësaj pyetjeje duhet t'i përgjigjem pozitivisht, megjithëse për disa vite unë kanë mbajtur mendimin e kundërt.”

Koncepti i kardinalitetit të barabartë të grupeve dhe vetitë e tij bëjnë të mundur dallimin e klasave të grupeve të kardinalitetit të barabartë. Është interesante të dihet se sa grupe të pabarabarta ka dhe të kemi, në një farë kuptimi, "bashkësi standarde" në mënyrë që, duke krahasuar të tjerët me to, të jetë më e lehtë të përcaktohet ekuivalenca e grupeve ose mungesa e tyre.

1. Ka pafundësisht shumë grupe të fundme, por jo të barabarta. Ka aq klasa të tyre sa ka numra natyrorë.

2. Ka edhe pafundësisht shumë grupe që janë të pafundme, por jo me fuqi të barabartë.

Shtrohet pyetja: a ka një grup kardinaliteti më të vogël midis grupeve të pafundme? Po. Këto janë grupe të numërueshme.

Përkufizimi 1. Le N - një grup numrash natyrorë. Një tufë me S thirrur grup i numërueshëm, nëse është me fuqi të barabartë N , kjo eshte S N .

Kardinaliteti i një grupi të numërueshëm ka një përcaktim të veçantë: (shkronja e parë e alfabetit hebraik, lexoni "alef-zero"). Ne do të shënojmë kardinalitetin e një grupi të numërueshëm me shkronjë A:

Shembuj të grupeve të numërueshme

1. 2 N ;

2. P ;

3. Z ;

4. Bashkësia e katrorëve të numrave natyrorë.

Vetitë themelore të bashkësive të numërueshme

Teorema 1. Në mënyrë që turma S ishte i numërueshëm, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që elementët e tij të mund të numërohen në një sekuencë, anëtarët e së cilës janë të dallueshëm në çift:

.

Dëshmi:

1. Domosdoshmëri.

Le S- grup i numërueshëm, atëherë ka një bijeksion f: N  S. Në këtë bijeksion imazhi i elementit n le të shënojmë A n, në këtë mënyrë të gjithë elementët e grupit do të numërohen S, kjo eshte
. Meqenëse të gjithë elementët e kompletit S janë të ndryshme, atëherë të gjitha termat e sekuencës
dyshe të ndryshme.

2. Mjaftueshmëria.

Le
,A n dyshe të ndryshme. Le të përputhemi me elementin A n numrin e tij n. Korrespondenca që rezulton nga S V N është një bijeksion. Prandaj, sipas përkufizimit S- grup i numërueshëm.

Teorema 2. Në çdo grup të pafund A ekziston një nëngrup i numërueshëm.

Dëshmi:

Le ta marrim me bollëk A element arbitrar . Një tufë me
e pafundme (e vertetuar me kontradikte). Nga shumë
zgjidhni një element . Një tufë me
- e pafundme. Nga shumë
zgjidhni një element e kështu me radhë. Sepse Aështë një grup i pafund, atëherë ne do ta vazhdojmë këtë proces deri në pafundësi. Si rezultat, marrim sekuencën
. Që në shumë A të gjithë elementët janë të ndryshëm në çift, sipas Teoremës 1 S- grup i numërueshëm.

Pasoja. Fuqia e numërueshme është fuqia më e vogël e grupeve të pafundme.

Dëshmi:

Le A- arbitrare demoni grup i kufizuar. Nga teorema 2 ai përmban një nëngrup të numërueshëm S, kjo eshte m(S)=a. Sepse S , Kjo m(S)  m(A) ose A m(A).

Teorema 3. Çdo nëngrup i pafund NË grup i numërueshëm S i numërueshëm:

NË S; m(S)=a m(B)=a.

Dëshmi:

Sepse NË S, Se m(NË) m(S)=a. Por sipas hetimeve m(NË) A. Kështu, m(NË) A Dhe m(NË) A. Sipas teoremës Cantor-Bernstein m(B)=a.

Teorema 4. Set i pafund NË i numërueshëm nëse ka një surjeksion f disa grupe të numërueshme S në NË.

Dëshmi:

Pa kërkuar për përgjithësimin e provave, mund ta supozojmë këtë S= N . Sipas kushteve f: N  - surjeksion ( NË- ky është një imazh N kur shfaqet f, kjo eshte f(N )=B). Le të marrim ndonjë element
,b– imazhi i çdo numri natyror. Kur shfaqet f prototipi i tij është një grup i caktuar numrash natyrorë f -1 (b) , i përbërë nga ato elemente, imazhi i të cilëve është i barabartë me b, kjo eshte f -1 (c)=(n N : f(n)= b} . Ekziston një numër natyror më i vogël në këtë grup . Konsideroni grupin
- një grup i pafund (Në të kundërt: le A Sigurisht. Pastaj për një numër të pafund elementësh
ka një element
N , domethënë një element n N përputhet pafundësisht shumë elementë
. Kjo do të thotë se pajtueshmëria N  nuk është një ekran. Kemi marrë një kontradiktë me kushtin. Prandaj, supozimi nuk është i vërtetë.). Sepse A N Dhe Aështë një bashkësi e pafundme, atëherë nga teorema 3 bashkësia A të numërueshme. Merrni parasysh korrespondencën
, në të cilën
. Kjo korrespondencë është një bijeksion. Prandaj, A NË Dhe NË të numërueshme.

Përkufizimi 2. Me autokolonë quhet bashkësi e fundme elementesh.

Teorema 5. Një tufë me TE të gjithë tupat e mundshëm të përbërë nga numra natyrorë janë të numërueshëm.

Dëshmi:

Le R- grupi i të gjithë numrave të thjeshtë të renditur në rend rritës:

Р=(р te ), R 1 =2, fq 2 =3, fq 3 =5,… .

Le të marrim çdo dyfish numrash natyrorë (n 1 , n 2 ,…, n k ) dhe përputhet me numrin

N .

Për shembull,

Bazuar në teoremën mbi veçantinë e zbërthimit të numrave në faktorë të thjeshtë, tupa të ndryshëm korrespondojnë me numra të ndryshëm natyrorë, domethënë nëse

Se

.

Merrni parasysh korrespondencën f: K A, Ku A– disa nënbashkësi të pafundme të grupit N , kjo eshte A- i numërueshëm (nga Teorema 3). Korrespondenca e treguar është një bijeksion. Sepse A të numërueshme dhe  , Kjo K gjithashtu i numërueshëm.

Përkufizimi 3. Produkti kartezian A 1  A 2  …  A m është një grup i përbërë nga tupa
, Ku.

Teorema 6. Prodhimi kartezian i një numri të fundëm grupesh të numërueshme është i numërueshëm.

Dëshmi:

Le A 1 ,A 2 ,…,A m A 1  A 2  …  A m =A- grup i numërueshëm. Komplete të numërueshme A k ,
,

…………………………………

Le të marrim dhe ta lidhim atë me një tufë numrash natyrorë
. Le të shënojmë
. Korrespondenca e treguar është një bijeksion f:A 1 . Por  1 – një nëngrup i pafund i një grupi të numërueshëm  nga Teorema 5. Nga Teorema 3  1 të numërueshme. Sepse f- bijeksion, atëherë A të numërueshme.

Teorema 7. Bashkimi i një koleksioni të fundëm ose të numërueshëm të bashkësive të numërueshme është i numërueshëm.

Dëshmi:

Le A 1 ,A 2 ,…,A m ,… - grupe të numërueshme. Le ta vërtetojmë këtë
- grup i numërueshëm.

1. Le
- bashkimi i një numri të numërueshëm bashkësive të numërueshme. Komplete të numërueshme A m e paraqesin atë në formën e sekuencave

…………………………………

……………………………………

,

Ku
- është një element i grupit me numër . Konsideroni grupin N 2 = N 'N . Ai është i numërueshëm sipas teoremës 6. Merrni ndonjë element (fq, q) Î N 2 . Le të lidhim elementin
. Meqenëse çdo element
i përket të paktën njërit prej grupeve A fq dhe ka një numër specifik në të q, atëherë korrespondenca e treguar është një supozim f: N 2 ®A. Që nga shumë N 2 është i numërueshëm, atëherë nga teorema 4 bashkësia A të numërueshme.

2. Le
- bashkimi i një numri të kufizuar bashkësive të numërueshme. Le të vendosim

,

Pastaj
. Sipas pjesës së parë të teoremës, bashkësia A të numërueshme.

Teorema 8. Një tufë me P numrat racionalë janë të numërueshëm.

Dëshmi:

Le të imagjinojmë një grup P si

P = P +
P - ,

P + =(m/n, m,n N , (m,n)=1),

=(m/n, m,n  },

P +
,

,

Ku P n- një grup thyesash të formës me emërues fiks . Është e qartë se P n   , kjo eshte P n grup i numërueshëm. Pastaj nga teorema 7 gjithashtu i numërueshëm. Por P + është një nënbashkësi e pafundme e një bashkësie të numërueshme . Pastaj, nga Teorema 3, grupi P + të numërueshme. Për faktin se P + ~ P - , konkludojmë se shumë P - të numërueshme. Nga teorema 7, grupi P + P - është i numërueshëm, atëherë nga teorema 1 bashkësia P të numërueshme.

Teorema 9. Bashkimi i një koleksioni të numërueshëm të bashkësive të fundme është i fundëm ose i numërueshëm.

Dëshmi:

Le
- grupe të fundme,
.

1. Shumë A mund të jetë i kufizuar (për shembull, nëse të gjitha grupet A k janë të barabarta:
N ).

2. Konsideroni rastin kur grupi A- pafundësisht. Lëreni grupin A k Ajo ka n k elementet. Le t'i shtojmë këtij grupi gjithçka numra të plotë, më i madh se n k, marrim një grup të numërueshëm NË k. Le ta bëjmë këtë për të gjithë k. Konsideroni grupin
. Nga teorema 7, grupi NË të numërueshme. Por A dhe është nëngrupi i saj i pafund. Nga teorema 3, grupi A të numërueshme.

Teorema 10. Kardinaliteti i një grupi të pafund nuk ndryshon nëse i shtohet një grup i fundëm ose i numërueshëm S.

Dëshmi:

Rasti i një bashkësie të fundme S nuk është interesante, pasi është pasojë e teoremës 1. Shqyrtoni rastin e një bashkësie të numërueshme S. Pa humbur përgjithësinë e provës, ne do ta supozojmë këtë 
=. Nga Teorema 2, grupi NË mund të paraqitet në formë
, Ku S 1 - grup i numërueshëm i një grupi S. Pastaj

Që nga grupet
Dhe S 1 janë grupe të numërueshme, atëherë ka një bijeksion f:
S 1 . Merrni parasysh hartëzimin  , të përcaktuara si më poshtë:

Ky hartë është një bijeksion
. Prandaj,
, kjo eshte
.

Përkufizimi 4. Nëse një grup i pafundëm nuk është i numërueshëm, atëherë thirret i panumërueshëm.

Teorema 11. Fuqia e një grupi të panumërt M nuk ndryshon nëse prej tij hiqet një nënbashkësi e fundme ose e numërueshme S.

Dëshmi:

Le M– grup i panumërt, atëherë M\S– një bashkësi e pafundme (provë me kundërthënie). Pastaj nga teorema 10.

Përkufizimi 5. Numri  quhet algjebrike, nëse është rrënja e ndonjë polinomi me koeficientë të plotë.

Teorema 12. Një tufë me A Të gjithë numrat algjebrikë janë të numërueshëm.

Dëshmi:

Le M– bashkësia e të gjithë polinomeve me koeficientë të plotë, M n– një grup polinomesh me koeficientë të plotë dhe një shkallë fikse n. Le të marrim ndonjë polinom
,
, nga shumë M n. Ky polinom shoqërohet me një dyfish të koeficientëve të tij (A n ,…,A 0 ) . Ne shënojmë grupin e tupave të tillë T. Është e qartë se T=(Z \{0})  Z n. Korrespondenca e ndërtuar është një bijeksion f: M n  T. Që nga shumë Z është i numërueshëm, atëherë nga teorema 3 bashkësia Z \{0} gjithashtu i numërueshëm. Prandaj, nga Teorema 6, grupi T të numërueshme. Sepse fështë një bijeksion, atëherë M n ~ T, kjo eshte M n të numërueshme. Sepse
dhe gjithë turmat M n janë të numërueshme, atëherë nga Teorema 7 grupi M të numërueshme. Pra, bashkësia e të gjithë polinomeve me koeficientë të plotë është e numërueshme dhe çdo polinom ka numri përfundimtar rrënjët. Prandaj, grupi Aështë një bashkim i një numri të numërueshëm bashkësive të fundme. Sepse Aështë një bashkësi e pafundme, atëherë nga teorema 9 është e numërueshme.

Analiza matematikore është dega e matematikës që merret me studimin e funksioneve bazuar në idenë e një funksioni infinitimal.

Konceptet bazë të analizës matematikore janë madhësi, grup, funksion, i pafund funksion i vogël, limit, derivat, integral.

MadhësiaÇdo gjë që mund të matet dhe të shprehet me numër quhet.

Shumëështë një koleksion i disa elementeve të bashkuar nga disa tipar i përbashkët. Elementet e një grupi mund të jenë numra, figura, objekte, koncepte etj.

Kompletet shënohen me shkronja të mëdha, dhe ka shumë elementë shkronja te vogla. Elementet e grupeve janë të mbyllura në mbajtëse kaçurrelë.

Nëse elementi x i përket grupit X, pastaj shkruani x∈X (∈ - i përket).
Nëse grupi A është pjesë e grupit B, atëherë shkruani A ⊂ B (⊂ - të përmbajtura).

Një grup mund të përcaktohet në një nga dy mënyrat: me numërim dhe duke përdorur një veçori përcaktuese.

• A=(1,2,3,5,7) - grup numrash
• Х=(x 1 ,x 2 ,...,x n ) — grup i disa elementeve x 1 ,x 2 ,...,x n
• N=(1,2,...,n) - bashkësi numrash natyrorë
• Z=(0,±1,±2,...,±n) - bashkësi numrash të plotë

Bashkësia (-∞;+∞) thirret rreshti numerik, dhe çdo numër është një pikë në këtë linjë. Le të jetë a një pikë arbitrare në vijën numerike dhe le të jetë δ numër pozitiv. Quhet intervali (a-δ; a+δ). δ-lagja e pikës a.

Një grup X është i kufizuar nga lart (nga poshtë) nëse ka një numër c të tillë që për çdo x ∈ X vlen pabarazia x≤с (x≥c). Numri c në këtë rast quhet buza e sipërme (e poshtme). grupi X. Një grup i kufizuar si sipër ashtu edhe poshtë quhet kufizuar. Më e vogla (më e madhe) e faqeve të sipërme (të poshtme) të një grupi quhet skaji i saktë i sipërm (poshtë). të kësaj shumice.

Kompletet bazë të numrave

Nëse një grup nuk përmban një element të vetëm, atëherë thirret grup bosh dhe regjistrohet Ø .

Elemente të simbolizmit logjik

Shënimi ∀x: |x|<2 → x 2 < 4 означает: для каждого x такого, что |x|<2, выполняется неравенство x 2 < 4.

Kuantifikuesit përdoren shpesh gjatë shkrimit të shprehjeve matematikore.

Kuantifikues quhet simbol logjik që karakterizon elementet që e ndjekin në aspektin sasior.

• ∀- sasior i përgjithshëm, përdoret në vend të fjalëve "për të gjithë", "për këdo".
• ∃- sasior i ekzistencës, përdoret në vend të fjalëve "ekziston", "është në dispozicion". Përdoret edhe kombinimi i simboleve ∃, i cili lexohet sikur ka vetëm një.

Vendosni operacionet

Dy grupet A dhe B janë të barabarta(A=B) nëse përbëhen nga të njëjtat elementë.
Për shembull, nëse A=(1,2,3,4), B=(3,1,4,2) atëherë A=B.

Sipas bashkimit (shumës) grupet A dhe B është një bashkësi A ∪ B, elementët e të cilit i përkasin të paktën njërës prej këtyre bashkësive.
Për shembull, nëse A=(1,2,4), B=(3,4,5,6), atëherë A ∪ B = (1,2,3,4,5,6)

Sipas kryqëzimit (produkti) bashkësitë A dhe B quhet bashkësia A ∩ B, elementet e së cilës i përkasin bashkësisë A dhe bashkësisë B.
Për shembull, nëse A=(1,2,4), B=(3,4,5,2), atëherë A ∩ B = (2,4)

Nga dallimi Bashkësitë A dhe B quhen bashkësia AB, elementet e së cilës i përkasin bashkësisë A, por nuk i përkasin bashkësisë B.
Për shembull, nëse A=(1,2,3,4), B=(3,4,5), atëherë AB = (1,2)

Dallimi simetrik bashkësitë A dhe B quhet bashkësia A Δ B, e cila është bashkimi i dallimeve të bashkësive AB dhe BA, pra A Δ B = (AB) ∪ (BA).
Për shembull, nëse A=(1,2,3,4), B=(3,4,5,6), atëherë A Δ B = (1,2) ∪ (5,6) = (1,2, 5,6)

Vetitë e operacioneve të grupit

A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

Komplete të numërueshme dhe të panumërueshme

Për të krahasuar çdo dy grupe A dhe B, krijohet një korrespondencë midis elementeve të tyre.

Nëse kjo korrespodencë është një me një, atëherë grupet quhen ekuivalente ose po aq të fuqishme, A B ose B A.

Bashkësia e pikave në këmbën BC dhe hipotenuza AC e trekëndëshit ABC janë me fuqi të barabartë.

NUMRAT KOMPLEKS XI

§ 242. Fushat numerike

Koncepti i numrit ka bërë një rrugë të gjatë në zhvillimin historik. Në kapitullin II (shih Pjesën I) folëm sesi nga numrat më të thjeshtë natyrorë, njeriu erdhi te numrat më kompleksë, realë. Tani duam të kthehemi në shqyrtimin e kësaj çështjeje. Por në të njëjtën kohë, do të duhet të devijojmë disi nga rendi në të cilin është zhvilluar historikisht koncepti i numrit.

Një nga bashkësitë më të thjeshta të numrave është bashkësia e numrave natyrorë

Kryen gjithmonë dy veprime algjebrike bazë: mbledhjen dhe shumëzimin. Kjo do të thotë se, pavarësisht nga numrat natyrorë m Dhe n , shuma e tyre m+n , si dhe punën m n janë detyrimisht numra natyrorë. Janë respektuar pesë ligjet e mëposhtme:

1) ligji i shtimit komutativ:

m +n= n+m

2) ligji asociativ i shtimit:

(m + n) + k = m + (n + k)

3) ligji komutativ i shumëzimit:

m n = n m

4) ligji asociativ i shumëzimit:

(m n) k = m (n k);

5) ligji shpërndarës i shumëzimit në lidhje me mbledhjen:

(m + n) k = m k + n k.

Sa i përket zbritjes dhe pjesëtimit, këto dy veprime në bashkësinë e numrave natyrorë nuk janë gjithmonë të realizueshme. Kështu, asnjë nga ndryshimet 3-5 dhe 2-2, si dhe asnjë nga herësit 3: 5 dhe 7: 4, nuk mund të shprehet me asnjë numër natyror.

Në mënyrë që veprimi i zbritjes të jetë gjithmonë i realizueshëm, bashkësia e numrave natyrorë duhet të zgjerohet duke i shtuar të gjithë numrat e plotë negativë dhe zero. Si rezultat i këtij zgjerimi arrijmë në grupin e të gjithë numrave të plotë:

3,-2,-1,0, 1,2,3.....

Një grup numerik në të cilin mbledhja dhe shumëzimi, duke iu nënshtruar pesë ligjeve të mësipërme, si dhe zbritja, janë gjithmonë të realizueshme, quhet unazë. Kështu, grupi i të gjithë numrave të plotë formon një unazë.

Duke e zgjeruar bashkësinë e të gjithë numrave natyrorë në bashkësinë e të gjithë numrave të plotë, ne kemi siguruar që veprimi i zbritjes është gjithmonë i realizueshëm. Por ndarja mbeti, në përgjithësi, e pamundur. Për të eliminuar këtë boshllëk, duhet të zgjerojmë grupin e të gjithë numrave të plotë. Kjo mund të bëhet duke i shtuar të gjitha thyesat e zakonshme, domethënë numrat e formës m / n , Ku T Dhe P - numra të plotë arbitrarë dhe P =/= 0. Si rezultat i këtij zgjerimi marrim grup i të gjithë numrave racionalë. Siç u tregua në kapitullin e dytë, në këtë grup numerik veprimet e mbledhjes, shumëzimit, zbritjes dhe pjesëtimit (përveç pjesëtimit me zero) janë gjithmonë të realizueshme dhe dy të parat i nënshtrohen pesë ligjeve bazë të mbledhjes dhe shumëzimit.

Një grup numrash në të cilët veprimet e mbledhjes dhe shumëzimit, duke iu nënshtruar pesë ligjeve bazë, si dhe veprimet e zbritjes dhe pjesëtimit (përveç pjesëtimit me zero), janë gjithmonë të realizueshme, quhet fushë. Bashkësia e të gjithë numrave racionalë është fusha e numrave më të thjeshtë.

Është e përshtatshme të theksohet menjëherë se bashkësia e të gjithë numrave irracionalë nuk formon një fushë. Në të vërtetë, cilido nga katër veprimet (mbledhja, shumëzimi, zbritja dhe pjesëtimi) në numrat irracionalë mund të çojë në një numër racional. Për shembull,

√2 + (- √2 ) = 0,

√2 √2 = 2

etj. Por bashkësia e të gjithë numrave realë formon një fushë. Siç u tha në kapitullin 2, veprimet e mbledhjes, shumëzimit, zbritjes dhe pjesëtimit të numrave realë (përveç pjesëtimit me zero) nuk na çojnë përtej kufijve të numrave realë, dhe mbledhja dhe shumëzimi i nënshtrohen pesë ligjeve bazë.

Le të japim një shembull tjetër, më kompleks të një fushe numerike. Le të shqyrtojmë të gjithë numrat realë të formës r + s √2, ku r Dhe s - numrat racionalë.

Le a + b √2 dhe c + d √2 - dy numra arbitrar të llojit në fjalë. Pastaj

(a + b √2 ) + (c + d √2 ) = (a + c ) + (b+d )√2

(a + b √2 ) - (c + d √2 ) = (a - s ) + (b - d )√2

(a + b √2 ) (c + d √2 ) = ac + ad √2 + para Krishtit √2 + 2 bd = (ac + 2bd ) + (ad+bc )√2 .

Tani le të supozojmë se numri c + d √2 nuk është e barabartë me zero. Pastaj, padyshim, numri i tij i konjuguar c - d √2 do të jetë jo zero (vërtetojeni!). Prandaj mund të shkruani:

Siç e shohim, secili nga katër veprimet (mbledhja, zbritja, shumëzimi dhe pjesëtimi) në numrat e formës r + s √2 rezulton në një numër të të njëjtit lloj. Është gjithashtu e qartë se mbledhja dhe shumëzimi i të gjithë këtyre numrave i nënshtrohet secilit prej pesë ligjeve të përmendura më sipër. Prandaj, grupi i të gjithë numrave të formularit r + s √2, ku dhe r Dhe s - numrat racionalë, formon një fushë numerike.

Ushtrime

1967. A formohet një unazë:

a) bashkësia e të gjithë numrave çift;

b) bashkësinë e të gjithë numrave tek;

c) bashkësia e të gjithë numrave që janë shumëfisha të një numri të caktuar R ?

1968. A formon fusha:

a) bashkësinë e të gjitha thyesave me emërues 3;

b) bashkësinë e të gjitha thyesave, emëruesit e të cilëve janë fuqi të plota 3?

1969. Vërtetoni se bashkësia e të gjitha thyesave dhjetore të fundme formon një unazë, por nuk formon fushë.

1970. Vërtetoni se çdo fushë numerike ose përkon me bashkësinë e të gjithë numrave racionalë ose përmban këtë grup.

1971. Vërtetoni se bashkësia e të gjithë numrave të formës a + b √3, ku A Dhe b - numrat racionalë, është një fushë. A përmban kjo fushë:

a) të gjithë numrat racionalë;

b) të gjithë numrat irracionalë;

c) të gjithë numrat realë?

1967. a) Po; b) jo; c) po. 1968. a) Jo; b) nr.