Shkallë me eksponent numër të plotë dhe thyesor. Ngritja e një numri në një fuqi natyrore

Le të shohim një shembull të vogël. Le të llogarisim 4√(5 12).

Le të përdorim vetitë e rrënjës dhe fuqisë së një numri. 5 12 = (5 3) 4, pra, mund ta shkruajmë kushtin si më poshtë:

4√((5 3) 4) = (4√(5 3)) 4 = 5 3 = 125.

Kështu marrim se 4√(5 12) = 5 (12/4) . Mund të tregohet gjithashtu se, për shembull,

5√(3 (-4)) = 3 (-4/3) .

Dëshmi

Nëse n është disa numri natyror, dhe n është më i madh ose i barabartë me 2, m është një numër i plotë dhe herësi m/n do të jetë një numër i plotë, atëherë për një >0 vlen barazia e mëposhtme: n√(a m) = a (m/n) .

Le ta vërtetojmë këtë fakt. m/n është një numër i plotë (sipas kushtit), domethënë, si rezultat i pjesëtimit marrim numrin e plotë k (m/n = k). Atëherë mund të shkruajmë se m=k*n. Më pas, duke përdorur vetitë e shkallës dhe rrënjë aritmetike marrim:

n√ (a m) = n√(a (n*k)) =n√((a k) n) = a k = a (m/n) .

Kjo është, n√(a m) = a (m/n) . Q.E.D.

Nëse, kur pjesëtohet m me n, rezultati nuk është një numër i plotë, atëherë një shkallë e formës a (m/n), ku a>0, përcaktohet në atë mënyrë që formula e shkruar më sipër (n√(a m) = a (m/n)), mbeti besnik.

Kjo do të thotë, formula n√(a m) = a (m/n) do të jetë e vlefshme për çdo numër të plotë m,çdo numër natyror n më i madh ose i barabartë me dy dhe a>0.

Për shembull,

16 (3/4) = 4√(16 3) = 4√(2 12) = 2 3 = 8.
7 (5/4) = 4√(7 5) = 4√((7 4)*7) = 7*4√7.

Siç e dimë tashmë, numrat e formës m/n, ku n është një numër natyror dhe m është një numër i plotë, quhen numra thyesorë ose racionalë.

Nga të gjitha sa më sipër marrim se shkalla është e përcaktuar për çdo eksponent racional dhe çdo bazë pozitive të shkallës.

Veçoritë

Vlen të përmendet se nëse numri racional në eksponent është pozitiv, atëherë shprehja n√(a m) do të ketë kuptim jo vetëm për pozitiv a, por edhe për një të barabartë me zero.

n√(0 m) = 0.

Prandaj, në matematikë besohet se kur m/n > 0 plotësohet barazia 0 (m/n) = 0.

Vini re gjithashtu se për çdo numër të plotë, çdo m dhe n natyror dhe pozitiv a, barazia e mëposhtme është e vërtetë:

a (m/n) = a ((mk)/(nk)) .

Për shembull, 134 (3/4) = 134 (6/8) = 134 (9/12).

Duke vazhduar bisedën për fuqinë e një numri, është logjike të kuptojmë se si të gjejmë vlerën e fuqisë. Ky proces quhet fuqizimi. Në këtë artikull do të studiojmë se si kryhet fuqizimi, ndërsa do të prekim të gjithë eksponentët e mundshëm - natyror, numër të plotë, racional dhe irracional. Dhe sipas traditës, ne do të shqyrtojmë në detaje zgjidhjet e shembujve të rritjes së numrave në fuqi të ndryshme.

Navigimi i faqes.

Çfarë do të thotë "përhapje"?

Le të fillojmë duke shpjeguar atë që quhet fuqizim. Këtu është përkufizimi përkatës.

Përkufizimi.

Eksponentimi- kjo është gjetja e vlerës së fuqisë së një numri.

Kështu, gjetja e vlerës së fuqisë së një numri a me eksponent r dhe ngritja e numrit a në fuqinë r janë e njëjta gjë. Për shembull, nëse detyra është "llogaritni vlerën e fuqisë (0.5) 5", atëherë ajo mund të riformulohet si më poshtë: "Ngrini numrin 0.5 në fuqinë 5".

Tani mund të shkoni drejtpërdrejt te rregullat me të cilat kryhet fuqizimi.

Ngritja e një numri në një fuqi natyrore

Në praktikë, barazia e bazuar në zakonisht zbatohet në formën . Kjo do të thotë, kur një numër a ngrihet në një fuqi thyesore m/n, së pari merret rrënja e n-të e numrit a, pas së cilës rezultati që rezulton ngrihet në një fuqi numër të plotë m.

Le të shohim zgjidhjet e shembujve të ngritjes në një fuqi thyesore.

Shembull.

Llogaritni vlerën e gradës.

Zgjidhje.

Ne do të tregojmë dy zgjidhje.

Mënyra e parë. Sipas përcaktimit të shkallës c tregues i pjesshëm. Ne llogarisim vlerën e shkallës nën shenjën e rrënjës dhe më pas nxjerrim rrënjën e kubit: .

Mënyra e dytë. Nga përkufizimi i një shkalle me një eksponent thyesor dhe bazuar në vetitë e rrënjëve, barazitë e mëposhtme janë të vërteta: . Tani nxjerrim rrënjën , më në fund, e ngremë atë në një fuqi numër të plotë .

Natyrisht, rezultatet e marra të ngritjes në një fuqi fraksionale përkojnë.

Përgjigje:

Vini re se eksponenti thyesor mund të shkruhet si dhjetore ose numër i përzier, në këto raste duhet të zëvendësohet nga fraksioni i zakonshëm përkatës dhe më pas të ngrihet në një fuqi.

Shembull.

Njehsoni (44,89) 2,5.

Zgjidhje.

Le të shkruajmë eksponentin në formën e një fraksioni të zakonshëm (nëse është e nevojshme, shihni artikullin): . Tani kryejmë ngritjen në një fuqi të pjesshme:

Përgjigje:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Duhet thënë gjithashtu se ngritja e numrave në fuqi racionale është një proces mjaft i mundimshëm (veçanërisht kur numëruesi dhe emëruesi i eksponentit thyesor përmbajnë numra mjaftueshëm të mëdhenj), i cili zakonisht kryhet duke përdorur teknologji kompjuterike.

Për të përfunduar këtë pikë, ne do të fokusohemi në ngritjen e numrit zero në një fuqi thyesore. Fuqisë thyesore të zeros të formës i dhamë këtë kuptim: kur kemi , dhe në zero në fuqinë m/n nuk është përcaktuar. Pra, zero në fraksion shkallë pozitive e barabartë me zero, Për shembull, . Dhe zero në fraksion shkallë negative nuk ka kuptim psh shprehjet 0 -4,3 nuk kanë kuptim.

Ngritja në një fuqi irracionale

Ndonjëherë bëhet e nevojshme të zbulohet vlera e fuqisë së një numri me një eksponent irracional. Në të njëjtën kohë, në qëllime praktike Zakonisht mjafton të merret vlera e gradës deri në një shenjë të caktuar. Le të theksojmë menjëherë se kjo vlerë në praktikë llogaritet duke përdorur teknologjinë kompjuterike elektronike, që nga ngritja në ir shkallë racionale manualisht kërkon shumë llogaritje të rënda. Por prapë ne do të përshkruajmë në skicë e përgjithshme thelbi i veprimit.

Për të marrë një vlerë të përafërt të fuqisë së një numri a me një eksponent irracional, merret një përafrim dhjetor i eksponentit dhe llogaritet vlera e fuqisë. Kjo vlerë është një vlerë e përafërt e fuqisë së numrit a me një eksponent irracional. Sa më i saktë të merret fillimisht përafrimi dhjetor i një numri, aq më shumë vlerën e saktë diploma do të merret në fund.

Si shembull, le të llogarisim vlerën e përafërt të fuqisë së 2 1,174367... . Le të marrim përafrimin dhjetor të mëposhtëm tregues irracional: . Tani e ngremë 2 në fuqinë racionale 1.17 (e kemi përshkruar thelbin e këtij procesi në paragrafin e mëparshëm), marrim 2 1.17 ≈2.250116. Kështu, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Nëse marrim një përafrim dhjetor më të saktë të eksponentit irracional, për shembull, atëherë marrim një vlerë më të saktë të eksponentit origjinal: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Bibliografi.

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Teksti mësimor i matematikës për klasën e 5-të. institucionet arsimore.
Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algjebra: tekst shkollor për klasën e 7-të. institucionet arsimore.
Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algjebra: Libër mësuesi për klasën e 8-të. institucionet arsimore.
Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algjebra: Libër mësuesi për klasën e 9-të. institucionet arsimore.
Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. dhe të tjera Algjebra dhe fillimet e analizës: Libër mësuesi për klasat 10 - 11 të institucioneve të arsimit të përgjithshëm.
Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (një manual për ata që hyjnë në shkolla teknike).

Në këtë artikull do të kuptojmë se çfarë është shkalla e. Këtu do të japim përkufizime të fuqisë së një numri, ndërsa do të shqyrtojmë në detaje të gjithë eksponentët e mundshëm, duke filluar nga eksponenti natyror dhe duke përfunduar me atë irracional. Në material do të gjeni shumë shembuj të gradave, duke mbuluar të gjitha hollësitë që dalin.

Navigimi i faqes.

Fuqia me eksponent natyror, katrori i një numri, kubi i një numri

Le të fillojmë me. Duke parë përpara, le të themi se përkufizimi i fuqisë së një numri a me eksponent natyror n është dhënë për a, të cilin do ta quajmë bazën e shkallës, dhe n, të cilat do t'i quajmë eksponent. Vëmë re gjithashtu se një shkallë me një eksponent natyror përcaktohet përmes një produkti, kështu që për të kuptuar materialin e mëposhtëm duhet të keni një kuptim të shumëzimit të numrave.

Përkufizimi.

Fuqia e një numri me eksponent natyror nështë shprehje e formës a n, vlera e së cilës është e barabartë me produktin e n faktorëve, secili prej të cilëve është i barabartë me a, pra .
Në veçanti, fuqia e një numri a me eksponent 1 është vetë numri a, domethënë a 1 =a.

Vlen të përmendet menjëherë për rregullat për leximin e gradave. Metoda universale leximi i hyrjes a n është: “a në fuqinë e n”. Në disa raste, opsionet e mëposhtme janë gjithashtu të pranueshme: "a në fuqinë e n-të" dhe "fuqia e n-të e a". Për shembull, le të marrim fuqinë 8 12, kjo është "tetë në fuqinë e dymbëdhjetë", ose "tetë në fuqinë e dymbëdhjetë", ose "fuqia e dymbëdhjetë e tetë".

Fuqia e dytë e një numri, si dhe fuqia e tretë e një numri, kanë emrat e tyre. Fuqia e dytë e një numri quhet katrore numrin, për shembull, 7 2 lexohet si "shtatë në katror" ose "katrori i numrit shtatë". Fuqia e tretë e një numri quhet numrat në kub, për shembull, 5 3 mund të lexohet si "pesë kube" ose mund të thoni "kubi i numrit 5".

Është koha për të sjellë shembuj të gradave me tregues në natyrë mi. Le të fillojmë me shkallën 5 7, këtu 5 është baza e shkallës dhe 7 është eksponenti. Le të japim një shembull tjetër: 4.32 është baza, dhe numri natyror 9 është eksponenti (4.32) 9 .

Ju lutemi vini re se në shembulli i fundit Baza e shkallës 4.32 shkruhet në kllapa: për të shmangur mospërputhjet, do të vendosim në kllapa të gjitha bazat e shkallës që janë të ndryshme nga numrat natyrorë. Si shembull, japim shkallët e mëposhtme me eksponentë natyrorë , bazat e tyre nuk janë numra natyrorë, ndaj shkruhen në kllapa. Epo, për qartësi të plotë, në këtë pikë do të tregojmë ndryshimin që përmbahen në regjistrimet e formës (−2) 3 dhe −2 3. Shprehja (−2) 3 është një fuqi prej −2 me një eksponent natyror 3, dhe shprehja −2 3 (mund të shkruhet si −(2 3) ) korrespondon me numrin, vlerën e fuqisë 2 3 .

Vini re se ekziston një shënim për fuqinë e një numri a me një eksponent n të formës a^n. Për më tepër, nëse n është një numër natyror me shumë vlera, atëherë eksponenti merret në kllapa. Për shembull, 4^9 është një tjetër shënim për fuqinë e 4 9 . Dhe këtu janë disa shembuj të tjerë të shkrimit të shkallëve duke përdorur simbolin "^": 14^(21) , (−2,1)^(155) . Në atë që vijon, ne do të përdorim kryesisht shënimin e shkallës së formës a n.

Një nga problemet e anasjellta të rritjes në një fuqi me një eksponent natyror është problemi i gjetjes së bazës së fuqisë nga vlera e njohur shkalla dhe treguesi i njohur. Kjo detyrë çon në.

Dihet se shumë numrat racionalë përbëhet nga numra të plotë dhe thyesorë, secili një numër thyesor mund të paraqitet si thyesë e përbashkët pozitive ose negative. Ne përcaktuam një shkallë me një eksponent numër të plotë në paragrafin e mëparshëm, prandaj, për të plotësuar përkufizimin e një shkalle me një eksponent racional, duhet t'i japim kuptim shkallës së numrit a me një eksponent thyesor m/n, ku m është një numër i plotë dhe n është një numër natyror. Le ta bejme.

Le të shqyrtojmë një shkallë me një eksponent thyesor të formës . Që prona fuqi-fuqi të mbetet e vlefshme, barazia duhet të mbahet . Nëse marrim parasysh barazinë që rezulton dhe mënyrën se si kemi përcaktuar , atëherë është logjike ta pranojmë atë, me kusht që të dhëna m, n dhe a, shprehja të ketë kuptim.

Është e lehtë të kontrollohet nëse të gjitha vetitë e një shkalle me një eksponent numër të plotë janë të vlefshme (kjo është bërë në seksionin vetitë e një shkalle me një eksponent racional).

Arsyetimi i mësipërm na lejon të bëjmë sa vijon përfundimi: nëse jepen m, n dhe a shprehja ka kuptim, atëherë fuqia e a-së me një eksponent thyesor m/n quhet rrënja e n-të e a-së në fuqinë e m.

Ky pohim na afron me përkufizimin e një shkalle me një eksponent thyesor. Mbetet vetëm për të përshkruar atë që m, n dhe a ka kuptim shprehja. Në varësi të kufizimeve të vendosura në m, n dhe a, ekzistojnë dy qasje kryesore.

Mënyra më e lehtë është të vendosësh një kufizim mbi a duke marrë a≥0 për m pozitive dhe a>0 për m negative (pasi për m≤0 shkalla 0 e m nuk është e përcaktuar). Pastaj marrim përkufizimin e mëposhtëm gradë me një eksponent thyesor.

Përkufizimi.

Fuqia e një numri pozitiv a me eksponent thyesor m/n, ku m është një numër i plotë dhe n është një numër natyror, quhet rrënja e n-të e numrit a me fuqinë m, domethënë .

Përcaktuar gjithashtu fuqia thyesore zero me të vetmin paralajmërim që treguesi duhet të jetë pozitiv.

Përkufizimi.

Fuqia zero me eksponent pozitiv thyesor m/n, ku m është një numër i plotë pozitiv dhe n është një numër natyror, përkufizohet si .
Kur nuk përcaktohet shkalla, pra shkalla e numrit zero me një thyesë tregues negativ nuk ka kuptim.

Duhet të theksohet se me këtë përkufizim të një shkalle me një eksponent thyesor, ka një paralajmërim: për disa negative a dhe disa m dhe n, shprehja ka kuptim dhe ne i hodhëm këto raste duke futur kushtin a≥0. Për shembull, hyrjet kanë kuptim ose , dhe përkufizimi i dhënë më sipër na detyron të themi se fuqitë me një eksponent thyesor të formës nuk kanë kuptim, pasi baza nuk duhet të jetë negative.

Një qasje tjetër për përcaktimin e një shkalle me një eksponent thyesor m/n është që të merren parasysh veçmas eksponentët çift dhe tek të rrënjës. Kjo qasje kërkon një kusht shtesë: fuqia e a, eksponenti i së cilës është , konsiderohet të jetë fuqia e a, eksponenti i së cilës është vlera përkatëse. fraksion i pareduktueshëm(Rëndësia e kësaj gjendjeje do të shpjegohet më poshtë). Kjo do të thotë, nëse m/n është një thyesë e pakalueshme, atëherë për çdo numër natyror k shkalla fillimisht zëvendësohet me .

Për n dhe m pozitive, shprehja ka kuptim për çdo jo negative a (rrënjë madje shkallë nga një numër negativ nuk ka kuptim), për m negativ numri a duhet të jetë ende i ndryshëm nga zero (përndryshe do të ketë pjesëtim me zero). Dhe për n tek dhe m pozitive, numri a mund të jetë çdo (rrënjë shkallë tekështë përcaktuar për çdo numër real), dhe për negativ m numri a duhet të jetë jo zero (në mënyrë që të mos ketë pjesëtim me zero).

Arsyetimi i mësipërm na çon në këtë përkufizim të një shkalle me një eksponent thyesor.

Përkufizimi.

Le të jetë m/n një thyesë e pakalueshme, m një numër i plotë dhe n një numër natyror. Për çdo thyesë të reduktueshme, shkalla zëvendësohet me . Fuqia e një numri me një eksponent thyesor të pakalueshëm m/n është për

Le të shpjegojmë pse një shkallë me një eksponent thyesor të reduktueshëm zëvendësohet fillimisht nga një shkallë me një eksponent të pareduktueshëm. Nëse thjesht do ta përkufizonim shkallën si , dhe nuk do të bënim një rezervë për pakësueshmërinë e thyesës m/n, atëherë do të përballeshim me situata të ngjashme me sa vijon: meqenëse 6/10 = 3/5, atëherë barazia duhet të jetë , Por , A .

1) Shkallët me një tregues natyror:

Ka probleme në vendin e numrave. Astronomët u mblodhën për të llogaritur madhësinë e pjesës së dukshme të Universit. Ata argumentuan se për ta bërë këtë ishte e nevojshme të shumëzohej numri 10 me vetveten 25 herë. Duke qenë se kjo kërkonte shumë hapësirë, ata kërkuan prishjen e Pallatit të Algoritmit Eukidian, ekspozimin e numrave binjakë dhe shumë objekte të tjera. Edhe pse të gjithë donin të dinin se si ishte Universi ynë, askush nuk donte të sakrifikonte struktura kaq të bukura dhe të vlefshme. U krijua një komision që filloi të kërkonte hapësirën e kërkuar të lirë, por shpejt arriti në një rrugë pa krye.

Pozicioni i papritur i tabelës së shumëzimit. Ajo tregoi historinë e saj: - Unë u shpik që të mos palosem nje numer i madh i terma identikë. Në fund të fundit, tani askush nuk shkruan 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3, tani ata shkruajnë 3 x 7. Kjo kursen shumë hapësirë. Le të dalim me diçka të ngjashme për shumëzimin.

Dhe ata dolën me të menjëherë. Numri i faktorëve filloi të shkruhet me një numër të vogël pas numrit:

E gjithë shprehja filloi të thirrej shkallë, numri i faktorëve (numri i vogël sipër) është eksponenti, dhe vetë faktori është baza e eksponentit.

Nuk kishte kaluar më pak se gjysmë ore para se të prezantohej solemnisht një aksion i ri - fuqizimi - dhe 5 6 , 17 4 dhe shumë të tjerë filluan të qarkullonin nëpër vendin e numrave. Por thjesht nuk është interesante të ekzekutosh, të bësh mbledhje, shumëzim, zbritje, domethënë të sillesh si të gjithë numrat e mirë. Dhe pastaj u shfaqën problemet e mëposhtme. Pas prezantimit të veprimeve, duhet të instaloni rregullat e veprimit, për të mos shqetësuar askënd dhe për të mos shkelur asnjë ligj.

Fillimisht u përpoqëm të bënim shtesë, hapëm kodin ligjor dhe nuk gjetëm asgjë. Ata as që menduan për zbritjen, por shumëzimi shkoi shumë lehtë, sepse çdo shkallë fitohet nga faktorët, që do të thotë se nëse marrim të njëjtat baza të shkallës, atëherë

Një rregull i ri u shkrua menjëherë në kodin ligjor:

Kur shumëzohen fuqitë me të njëjtën bazë, baza mbetet e pandryshuar dhe eksponentët shtohen

Kishte probleme me ndarjen. Të gjithëve iu duk se nëse ndarja është e kundërta e shumëzimit, atëherë pjesëtimi duhet të zbritet, por nëse , dhe nëse . Atëherë u vendos (nën ndikimin e pakicës konservatore).

, nëse m>n, dhe , nëse n>m.

6 5 dhe 6 3 u sugjeruan për të testuar rregullat e reja: , dhe

Kur ndahen fuqitë me baza të njëjta treguesit janë zbritur . por është e vështirë të formulosh rregullin e plotë.

Ne u morëm edhe me diploma për arsye të ndryshme Dhe të njëjtët tregues. Në ndihmë erdhën ligjet komutative dhe asociative: , sepse ;

Për të shumëzuar fuqitë me të njëjtët eksponentë, duhet të shumëzoni bazat dhe ta lini eksponentin të pandryshuar.

Për të ndarë shkallët me baza identike, duhet të ndani bazat dhe të lini eksponentin të pandryshuar.

Doli që ju madje mund t'i ngrini fuqitë në fuqi.

Ka ardhur një festë e përgjithshme. Më pëlqeu veçanërisht zvogëlimi i thyesave duke i faktorizuar ato:

Dhurata u dha nga ligji shpërndarës. Ai sugjeroi se si dele shkallë të barabarta , Për shembull, , , ato . ju mund të shtoni koeficientët.

Dhe nëse gradë me të njëjtat baza, por me koeficientë të ndryshëm, atëherë mundeni shumëzues i përbashkët vendoseni jashtë kllapave:

2) gradë me një eksponent negativ:

Të gjithë tashmë janë mësuar me veprimet me fuqi me eksponentë natyrorë (ata quhen kështu sepse eksponentët janë numra natyrorë).

Dhe kishte nga ata që ishin të pakënaqur, nga ata që nuk morën pjesë në krijimin e numrave të rinj me mendje revolucionare, deklaruan se po shtypeshin dhe nuk po lejonin zhvillimin e shkencës.

Të gjithë e dinë se zbritja mund të rezultojë në 0, dhe gjithashtu numra negativ, thanë ata dhe organizuan një lëvizje në mbështetje të diplomave me tregues negativ.

Si mund të ketë një numër negativ faktorësh - u befasuan numrat natyrorë.

Ju duhet të përcaktoni nëse kjo i përshtatet saktësisht rregullit tuaj: .

Dhe shkallët me një eksponent negativ përcaktohen si (Z - - numra të plotë negativ).

Për shembull,

Atëherë formula për ndarjen e fuqive bëhet e thjeshtë

"Dakord," thanë rojet e Kodit të Ligjeve, "atëherë provoni se të gjitha rregullat për trajtimin e gradave do të ruhen edhe kur futen gradat me eksponentë negativ".

Për më tepër, numrat negativ ofruan një plan provë për të gjitha teoremat rreth operacioneve me fuqi.

1. Në një shprehje, sipas përkufizimit, zëvendësoni një shkallë me një eksponent negativ me një shkallë me një eksponent natyror.

2. Kryen veprime sipas rregullave të veprimeve me shkallë me eksponentë natyrorë

3. Sipas përkufizimit, lëvizni nga shkallët me eksponentë natyrorë në gradë me eksponentë negativ.

Ata gjithashtu dhanë shembuj ilustrues: , mund ta shkruani më shkurt:

Pra, doli që të gjitha rregullat e veprimit u ruajtën për gradë me eksponentë negativ.

3) gradë me një tregues të pjesshëm:

kur nxjerr një rrënjë nga një shkallë, ndaje eksponentin me eksponentin e rrënjës, nëse një ndarje e tillë kryhet tërësisht; për shembull: √ a 4 = a 2 , 3 √x 9 = x 3 etj. Tani le të pranojmë ta zgjerojmë këtë rregull në ato raste kur eksponenti nuk është i pjesëtueshëm me eksponentin e rrënjës. Për shembull, ne pranojmë ta pranojmë atë

Në përgjithësi, ne pajtohemi me këtë shprehja nënkupton një rrënjë, eksponenti i së cilës është emëruesi, dhe eksponenti numër radikal- numëruesi i një treguesi thyesor (d.m.th. n √jam ).

Le të pajtohemi gjithashtu që të lejojmë eksponentë thyesorë negativë në të njëjtin kuptim në të cilin kemi lejuar eksponentët e numrave të plotë negativë; për shembull, le të pajtohemi me këtë

Komentoni. Eksponentët thyesorë u futën në algjebër kryesisht nga inxhinieri holandez Simon Stevin në fillimi i XVII shekuj më vonë, në fund shekulli XVII, profesori i Oksfordit John Wallis prezantoi eksponentë negativë.

259. Vetia kryesore e treguesit thyesor. Vlera e një fuqie me një eksponent thyesor nuk do të ndryshojë nëse shumëzojmë ose pjesëtojmë numëruesin dhe emëruesin e eksponentit thyesor me të njëjtin numër (përveç zeros). Kështu që:

Në të vërtetë, emëruesi i një eksponenti thyesor nënkupton eksponentin e rrënjës, dhe numëruesi i tij nënkupton eksponentin shprehje radikale, dhe tregues të tillë, siç e kemi parë, mund të shumëzohen dhe pjesëtohen me të njëjtin numër.

Bazuar në këtë pronë ne mund konvertoni një tregues thyesor në të njëjtën mënyrë si thyesë e zakonshme : për shembull, mund të zvogëlojmë një tregues thyesor, ose të sjellim disa tregues thyesorë në një emërues.

Formulat e diplomës përdoret në procesin e reduktimit dhe thjeshtimit shprehje komplekse, në zgjidhjen e ekuacioneve dhe pabarazive.

Numri cështë n-fuqia e një numri a Kur:

Operacionet me gradë.

1. Fuqitë shumëzuese të c të njëjtën bazë treguesit e tyre mblidhen:

jam·a n = a m + n .

2. Kur pjesëtohen shkallët me të njëjtën bazë, zbriten eksponentët e tyre:

3. Fuqia e produktit prej 2 or më shumë faktorët është i barabartë me produktin e fuqive të këtyre faktorëve:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Shkalla e një thyese është e barabartë me raportin e shkallëve të dividendit dhe pjesëtuesit:

(a/b) n = a n /b n .

5. Duke ngritur një fuqi në një fuqi, eksponentët shumëzohen:

(a m) n = a m n .

Çdo formulë e mësipërme është e vërtetë në drejtimet nga e majta në të djathtë dhe anasjelltas.

Për shembull. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operacionet me rrënjë.

1. Rrënja e prodhimit të disa faktorëve është e barabartë me produktin e rrënjëve të këtyre faktorëve:

2. Rrënja e qëndrimit e barabartë me raportin dividend dhe pjesëtues i rrënjëve:

3. Kur ngrihet një rrënjë në një fuqi, mjafton të ngrihet numri radikal në këtë fuqi:

4. Nëse rrit shkallën e rrënjës në n një herë dhe në të njëjtën kohë të ndërtuar në n fuqia është një numër radikal, atëherë vlera e rrënjës nuk do të ndryshojë:

5. Nëse ulni shkallën e rrënjës në n nxirrni rrënjën në të njëjtën kohë n-fuqia e një numri radikal, atëherë vlera e rrënjës nuk do të ndryshojë:

Një shkallë me një eksponent negativ. Fuqia e një numri të caktuar me një eksponent jo pozitiv (numër i plotë) përcaktohet si një pjesëtuar me fuqinë e të njëjtit numër me një eksponent të barabartë me vlere absolute tregues jo pozitiv:

Formula jam:a n =a m - n mund të përdoret jo vetëm për m> n, por edhe me m< n.

Për shembull. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Në formulë jam:a n =a m - n u bë e drejtë kur m=n, kërkohet prania e shkallës zero.

Një shkallë me një indeks zero. Fuqia e çdo numri që nuk është e barabartë me zero me një eksponent zero është e barabartë me një.

Për shembull. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Shkallë me një eksponent thyesor. Për të ngritur një numër real A deri në shkallë m/n, ju duhet të nxirrni rrënjën n shkalla e m-fuqia e këtij numri A.

Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Lëkundjet harmonike Formula e fizikës së frekuencës së lëkundjeve