Objektivi i mësimit: prezantoni ekuacionin e një rrethi, mësoni studentët të hartojnë një ekuacion të një rrethi duke përdorur një vizatim të gatshëm dhe të ndërtojnë një rreth duke përdorur një ekuacion të caktuar.

Pajisjet: tabela e bardhë interaktive.

Plani i mësimit:

1. Momenti organizativ - 3 min.
2. Përsëritje. Organizimi aktiviteti mendor– 7 min.
3. Shpjegimi i materialit të ri. Nxjerrja e ekuacionit të rrethit – 10 min.
4. Konsolidimi i materialit të studiuar – 20 min.
5. Përmbledhja e mësimit – 5 min.

Përparimi i mësimit

2. Përsëritje:

− (Shtojca 1 Rrëshqitja 2) shkruani formulën për gjetjen e koordinatave të mesit të një segmenti;

− (Rrëshqitja 3) Z Shkruani formulën për distancën ndërmjet pikave (gjatësia e segmentit).

3. Shpjegimi i materialit të ri.

(Rrëshqitjet 4 – 6) Përcaktoni ekuacionin e një rrethi. Nxjerrja e ekuacioneve të një rrethi me qendër në pikën ( A;b) dhe të përqendruar në origjinë.

(X – A ) 2 + (në – b ) 2 = R 2 - ekuacioni i një rrethi me qendër ME (A;b) , rreze R , X Dhe në – koordinatat e një pike arbitrare në rreth .

X 2 + y 2 = R 2 – ekuacioni i një rrethi me qendër në origjinë.

(Rrëshqitja 7)

Për të krijuar ekuacionin e një rrethi, ju duhet:

• njoh koordinatat e qendrës;
• di gjatësinë e rrezes;
• Zëvendësoni koordinatat e qendrës dhe gjatësinë e rrezes në ekuacionin e rrethit.

4. Zgjidhja e problemeve.

Në detyrat nr. 1 – nr. 6, hartoni ekuacionet e një rrethi duke përdorur vizatime të gatshme.

(Rrëshqitja 14)

№ 7. Plotësoni tabelën.

(Rrëshqitja 15)

№ 8. Ndërtoni rrathë në fletoren tuaj të dhëna nga ekuacionet:

A) ( X – 5) 2 + (në + 3) 2 = 36;
b) (X + 1) 2 + (në– 7) 2 = 7 2 .

(Rrëshqitja 16)

№ 9. Gjeni koordinatat e qendrës dhe gjatësinë e rrezes nëse AB– diametri i rrethit.

(Rrëshqitja 17)

№ 10. Shkruani një ekuacion për një rreth me qendër në origjinë dhe që kalon nëpër pikë TE(-12;5).

Zgjidhje.

R 2 = OK 2 = (0 + 12) 2 + (0 – 5) 2 = 144 + 25 = 169;
R= 13;

Ekuacioni i një rrethi: x 2 + y 2 = 169 .

(Rrëshqitja 18)

№ 11. Shkruani një ekuacion për një rreth që kalon nga origjina dhe me qendër në ME(3; - 1).

Zgjidhje.

R2= OS 2 = (3 – 0) 2 + (–1–0) 2 = 9 + 1 = 10;

Ekuacioni i rrethit: ( X - 3) 2 + (y + 1) 2 = 10.

(Rrëshqitje 19)

№ 12. Shkruani një ekuacion për një rreth me qendër A(3; 2), duke kaluar nëpër NË(7;5).

Zgjidhje.

1. Qendra e rrethit - A(3;2);
2.R = AB;
AB 2 = (7 – 3) 2 + (5 – 2) 2 = 25; AB = 5;
3. Ekuacioni i një rrethi ( X – 3) 2 + (në − 2) 2 = 25.

(Rrëshqitja 20)

№ 13. Kontrolloni nëse pikat qëndrojnë A(1; -1), NË(0;8), ME(-3; -1) në rrethin e përcaktuar nga ekuacioni ( X + 3) 2 + (në − 4) 2 = 25.

Zgjidhje.

I. Le të zëvendësojmë koordinatat e pikës A(1; -1) në ekuacionin e një rrethi:

(1 + 3) 2 + (−1 − 4) 2 = 25;
4 2 + (−5) 2 = 25;
16 + 25 = 25;
41 = 25 - barazia është e rreme, që do të thotë A(1; -1) nuk gënjen në rrethin e dhënë nga ekuacioni ( X + 3) 2 + (në − 4) 2 = 25.

II. Le të zëvendësojmë koordinatat e pikës NË(0;8) në ekuacionin e një rrethi:

(0 + 3) 2 + (8 − 4) 2 = 25;
3 2 + 4 2 = 25;
9 + 16 = 25;
NË(0;8)gënjeshtra X + 3) 2 + (në − 4) 2 = 25.

III. Le të zëvendësojmë koordinatat e pikës ME(-3; -1) në ekuacionin e një rrethi:

(−3 + 3) 2 + (−1− 4) 2 = 25;
0 2 + (−5) 2 = 25;
25 = 25 - barazia është e vërtetë, që do të thotë ME(-3; -1) gënjeshtra në rrethin e dhënë nga ekuacioni ( X + 3) 2 + (në − 4) 2 = 25.

Përmbledhja e mësimit.

1. Përsëriteni: ekuacioni i një rrethi, ekuacioni i një rrethi me qendrën e tij në origjinë.
2. (Rrëshqitje 21) Detyrë shtëpie.

Perimetriështë bashkësia e pikave në rrafsh që janë në distancë të barabartë nga një pikë e caktuar, e quajtur qendër.

Nëse pika C është qendra e rrethit, R është rrezja e tij dhe M është një pikë arbitrare në rreth, atëherë sipas përcaktimit të një rrethi

Barazia (1) është ekuacioni i një rrethi rreze R me qendër në pikën C.

Lëreni një drejtkëndëshe sistemi kartezian koordinatat (Fig. 104) dhe pika C( A; b) është qendra e një rrethi me rreze R. Le të jetë M( X; në) është një pikë arbitrare e këtij rrethi.

Që nga |SM| = \(\sqrt((x - a)^2 + (y - b)^2) \), atëherë ekuacioni (1) mund të shkruhet si më poshtë:

\(\sqrt((x - a)^2 + (y - b)^2) \) = R

(x-a) 2 + (y - b) 2 = R 2 (2)

Ekuacioni (2) quhet ekuacioni i përgjithshëm rrethi ose ekuacioni i një rrethi me rreze R me qendër në pikën ( A; b). Për shembull, ekuacioni

(x - l) 2 + ( y + 3) 2 = 25

është ekuacioni i një rrethi me rreze R = 5 me qendër në pikën (1; -3).

Nëse qendra e rrethit përkon me origjinën e koordinatave, atëherë ekuacioni (2) merr formën

x 2 + në 2 = R2. (3)

Ekuacioni (3) quhet ekuacioni kanonik i një rrethi .

Detyra 1. Shkruani ekuacionin e një rrethi me rreze R = 7 me qendrën e tij në origjinë.

Duke zëvendësuar drejtpërdrejt vlerën e rrezes në ekuacionin (3) marrim

x 2 + në 2 = 49.

Detyra 2. Shkruani ekuacionin e një rrethi me rreze R = 9 me qendër në pikën C(3; -6).

Duke zëvendësuar vlerën e koordinatave të pikës C dhe vlerën e rrezes në formulën (2), marrim

(X - 3) 2 + (në- (-6)) 2 = 81 ose ( X - 3) 2 + (në + 6) 2 = 81.

Detyra 3. Gjeni qendrën dhe rrezen e një rrethi

(X + 3) 2 + (në-5) 2 =100.

Duke krahasuar ekuacioni i dhënë me ekuacionin e përgjithshëm të rrethit (2), shohim se A = -3, b= 5, R = 10. Prandaj, C(-3; 5), R = 10.

Detyra 4. Vërtetoni se ekuacioni

x 2 + në 2 + 4X - 2y - 4 = 0

është ekuacioni i një rrethi. Gjeni qendrën dhe rrezen e tij.

Le të transformohemi anën e majtë të këtij ekuacioni:

x 2 + 4X + 4- 4 + në 2 - 2në +1-1-4 = 0

(X + 2) 2 + (në - 1) 2 = 9.

Ky ekuacion është ekuacioni i një rrethi me qendër në (-2; 1); Rrezja e rrethit është 3.

Detyra 5. Shkruani ekuacionin e një rrethi me qendër në pikën C(-1; -1) tangjente me drejtëzën AB, nëse A (2; -1), B(- 1; 3).

Le të shkruajmë ekuacionin e drejtëzës AB:

ose 4 X + 3y-5 = 0.

Meqenëse një rreth prek një vijë të caktuar, rrezja e tërhequr në pikën e kontaktit është pingul me këtë vijë. Për të gjetur rrezen, duhet të gjeni distancën nga pika C(-1; -1) - qendra e rrethit në vijën e drejtë 4 X + 3y-5 = 0:

Le të shkruajmë ekuacionin e rrethit të dëshiruar

(x +1) 2 + (y +1) 2 = 144 / 25

Lëreni brenda sistem drejtkëndor rrethi jepen koordinata x 2 + në 2 = R2. Konsideroni pikën e tij arbitrare M( X; në) (Fig. 105).

Lëreni vektorin e rrezes OM> pika M formon një kënd të madhësisë t Me drejtim pozitiv O boshti X, atëherë abshisa dhe ordinata e pikës M ndryshojnë në varësi të t

(0 t x dhe y përmes t, gjejmë

x= Rcos t ; y= R mëkat t , 0 t

Quhen ekuacionet (4). ekuacionet parametrike të një rrethi me qendër në origjinë.

Detyra 6. Rrethi jepet nga ekuacionet

x= \(\sqrt(3)\)cos t, y= \(\sqrt(3)\)sin t, 0 t

Shkruani ekuacioni kanonik këtë rreth.

Nga gjendja rrjedh x 2 = 3 me 2 t, në 2 = 3 mëkat 2 t. Duke shtuar këto barazi term pas termi, marrim

x 2 + në 2 = 3 (cos 2 t+ mëkati 2 t)

ose x 2 + në 2 = 3

Udhëzimet

Distanca nga pika (x, y) në qendrën koordinative është e barabartë me gjatësinë e segmentit që e lidh atë me pikën (0, 0). Ky segment, së bashku me projeksionet e tij mbi boshtet e koordinatave make up trekëndësh kënddrejtë, këmbët e së cilës janë të barabarta me x0 dhe y0, dhe hipotenuza, sipas teoremës së Pitagorës, është e barabartë me √(x^2 + y^2).

Për të marrë një rreth, ju nevojitet një ekuacion që përcakton të gjitha pikat për të cilat kjo distancë do të jetë e barabartë me R. Kështu: √(x^2 + y^2) = R, dhe për këtë arsye,
x^2 + y^2 = R^2.

Në mënyrë të ngjashme, ekuacioni është hartuar rrethi rrezja R, qendra e së cilës është në pikën (x0, y0). Distanca nga një pikë arbitrare (x, y) në një pikë të caktuar (x0, y0) është e barabartë me √((x - x0)^2 + (y - y0)^2). Prandaj, ekuacioni që ju nevojitet është rrethi do të duket kështu: (x - x0)^2 + (y - y0)^2 = R^2.

Ju gjithashtu mund të keni nevojë të krijoni një ekuacion rrethi me qendër në një pikë koordinative që kalon pikë e dhënë(x0, y0). Në këtë rast, rrezja e dëshiruar rrethi nuk është specifikuar në mënyrë eksplicite dhe do të duhet të llogaritet. Është e qartë se ai do e barabartë me distancën nga pika (x0, y0) deri te origjina, pra √(x0^2 + y0^2). Zëvendësimi i kësaj vlere në ekuacionin e nxjerrë tashmë rrethi, do të merrni: x^2 + y^2 = x0^2 + y0^2.

Nëse duhet të ndërtoni një rreth duke përdorur formulat e prejardhura, atëherë ato do të duhet të zgjidhen në lidhje me y. Edhe më e thjeshta prej këtyre ekuacioneve kthehet në: y = ±√(R^2 - x^2) këtu është e nevojshme shenja ± numra katrorëështë gjithmonë jonegativ, dhe se pa shenjën ± ekuacioni përshkruan vetëm gjysmërrethin e sipërm Për të ndërtuar një rreth, është më e përshtatshme të krijohet ekuacioni i tij parametrik, në të cilin të dyja koordinatat x dhe y varen nga parametri t.

Sipas përcaktimit funksionet trigonometrike, nëse hipotenuza është e barabartë me 1, dhe një nga këndet në hipotenuzë është i barabartë me φ, atëherë ana ngjitur me të e barabartë me cos(φ), dhe e kundërta është mëkat (φ). Kështu, sin(φ)^2 + cos(φ)^2 = 1 për çdo φ.

Supozoni se ju jepet një rreth me rreze njësi me qendrën e tij në origjinë. Merrni çdo pikë (x, y) për këtë rrethi dhe vizatoni një segment prej tij në qendër. Ky segment formon një kënd me gjysmëboshtin pozitiv x, i cili mund të jetë i barabartë nga 0 në 360° ose nga 0 në 2π. Duke treguar këtë kënd t, ju merrni marrëdhënien: x = cos(t),
y = mëkat(t).

Kjo formulë mund të përgjithësohet për rastin rrethi rreze R me qendër në një pikë arbitrare (x0, y0):x = R*cos(t) + x0,
y = R*sin(t) + y0.

Burimet:

• ekuacioni i një rrethi me qendër dhe rreze të caktuar

Ekuacioni standard rrethi ju lejon të zbuloni disa informacione të rëndësishme rreth kësaj figure, për shembull, koordinatat e qendrës së saj, gjatësia e rrezes. Në disa probleme, përkundrazi, duhet të krijoni një ekuacion duke përdorur parametra të dhënë.

Udhëzimet

Përcaktoni se çfarë informacioni keni për rrethin bazuar në detyrën që ju është dhënë. Mos harroni atë qëllimi përfundimtarështë nevoja për të përcaktuar koordinatat e qendrës, si dhe diametrin. Të gjitha veprimet tuaja duhet të synojnë arritjen e këtij rezultati të veçantë.

Përdorni të dhëna për praninë e pikave të kryqëzimit me vija koordinative ose vija të tjera. Ju lutemi vini re se nëse rrethi kalon nëpër boshtin e abshisës, i dyti do të ketë koordinatën 0, dhe nëse përmes boshtit të ordinatave, atëherë i pari. Këto koordinata do t'ju lejojnë të gjeni koordinatat e qendrës së rrethit dhe gjithashtu të llogarisni rrezen.

Mos harroni për vetitë themelore sekante dhe tangjente. Në veçanti, teorema më e dobishme është se në pikën e kontaktit rrezja dhe tangjentja formojnë një kënd të drejtë. Por ju lutemi vini re se mund t'ju kërkohet të provoni të gjitha teoremat e përdorura gjatë kursit.

Zgjidhni llojet më standarde për të mësuar të shihni menjëherë se si të përdorni të dhëna të caktuara për ekuacionin e një rrethi. Pra, përveç detyrave të përmendura tashmë me drejtpërdrejt koordinatat e dhëna dhe ato në të cilat jepet informacioni për praninë e pikave të kryqëzimit, për të përpiluar ekuacionin e një rrethi, mund të përdorni njohuri për qendrën e rrethit, gjatësinë e kordës dhe mbi të cilën shtrihet kjo kordë.

Për të zgjidhur, ndërtuar trekëndëshi dykëndësh, baza e së cilës do të jetë kjo akord, dhe anët e barabarta– rrezet. Përpiloni nga i cili mund të gjeni lehtësisht të dhënat e nevojshme. Për ta bërë këtë, mjafton të përdorni formulën për gjetjen e gjatësisë së një segmenti në një plan.

Video mbi temën

Në varësi të kushteve të problemit dhe kërkesave të paraqitura në të, mund të jetë e nevojshme t'i drejtohemi metodës kanonike ose parametrike të përcaktimit të një vije të drejtë. Duke vendosur problemet gjeometrike, përpiquni të shkruani gjithçka paraprakisht opsionet e mundshme ekuacionet.

Udhëzimet

Kontrolloni disponueshmërinë e të gjithëve parametrat e kërkuar për të krijuar një ekuacion parametrik. Prandaj, do t'ju nevojiten koordinatat e pikës që i përket kësaj linje, si dhe vektori i drejtimit. Kjo do të jetë çdo kalim paralel me këtë linjë. Përkufizimi parametrik i një drejtëze është një sistem me dy ekuacione x = x0+txt, y = y0+tyt, ku (x0, y0) janë koordinatat e një pike që shtrihet në një drejtëz të caktuar, dhe (tx, ty) janë koordinatat e vektorit të drejtimit përkatësisht përgjatë abshisës dhe ordinatave.

Shkruani ekuacionin kanonik të drejtëzës bazuar në të dhënat që keni: koordinatat e vektorit të drejtimit në boshtet përkatëse janë shumëzues të ndryshores parametrike dhe koordinatat e pikës që i përket drejtëzës janë anëtarë të lirë ekuacioni parametrik.

Kushtojini vëmendje të gjitha kushteve të specifikuara në detyrë nëse mendoni se nuk ka të dhëna të mjaftueshme. Kështu, një sugjerim për kompozimin e një ekuacioni parametrik të një vije të drejtë mund të jetë një tregues i , pingul me udhëzuesin ose i vendosur në një kënd të caktuar me të. Përdorni kushtet e pingulitetit të vektorëve: kjo është e mundur vetëm nëse ato janë të barabarta me zero.

Shkruani një ekuacion parametrik për një vijë që kalon nëpër dy pika: kjo ju jep të dhënat e nevojshme për të përcaktuar vektorin e drejtimit. Shkruani dy: numëruesi duhet të përmbajë ndryshimin midis x dhe koordinatave përgjatë boshtit të abshisave të njërës prej pikave që i përkasin drejtëzës, emëruesi duhet të përmbajë ndryshimin midis koordinatave përgjatë boshtit të abshisave të të dy pikave të dhëna; Shkruani në të njëjtën mënyrë për vlerat në boshtin y. Barazoni thyesat që rezultojnë me parametrin (zakonisht i shënuar me shkronjën t) dhe shprehni përmes tij fillimisht x, pastaj y. Sistemi i ekuacioneve që rezulton nga këto transformime do të jetë ekuacioni parametrik e drejtpërdrejtë.

Video mbi temën

Këshilla 4: Si të krijoni një ekuacion të një rrafshi duke përdorur një pikë dhe një vijë

Çdo plan mund të specifikohet linear ekuacioni Ax+By+Cz+D=0. Në të kundërt, çdo ekuacion i tillë përcakton një plan. Për të krijuar një ekuacion aeroplan, duke kaluar nëpër pikë dhe një vijë të drejtë, duhet të dini koordinatat e pikës dhe ekuacionin e drejtëzës.

Do t'ju duhet

• - koordinatat e pikave;
• - ekuacioni i një drejtëze.

Udhëzimet

Nga tre pika mund të formohet një plan që përcakton në mënyrë unike një plan. Le të jenë tre pika me koordinata (x1,y1,z1), (x2,y2,z2), (x3,y3,z3). Shkruani përcaktorin:(x-x1) (y-y1) (z-z1)(x2-x1) (y2-y1) (z2-z1)(x3-x1) (y3-y1) (z3-z1) Barazoni përcaktorin zero. Kjo është ajo që do të ndodhë. Mund të lihet në këtë formë, ose mund të hapet duke zbuluar përcaktorin: (x-x1)(y2-y1)(z3-z1)+(x3-x1)(y-y1)(z2-z1)+ (z-z1)(x2-x1)(y3-y1)-(z-z1)(y2-y1)(x3-x1)-(z3-z1)(y-y1)(x2-x1)-(x -x1)( z2-z1)(y3-y1). Puna është e mundimshme dhe, si rregull, e panevojshme, sepse është më e lehtë të mbani mend vetitë e një përcaktori të barabartë me zero.

Shembull. Shkruaj një ekuacion për rrafshin nëse dihet se ai kalon në pikën M(2,3,4) dhe drejtëzën (x-1)/3=y/5=(z-2)/4. Zgjidhje. Së pari ju duhet të transformoni ekuacionin e vijës (x-1)/(4-1)=(y-0)/(5-0)=(z-2)/(6-2). Nga këtu është e lehtë të zgjidhni dy pika që i përkasin qartë kësaj linje. Këto janë (1,0,2) dhe (4,5,6). Kjo është e gjitha, ka tre pika, ju mund të krijoni një ekuacion për aeroplanin (x-1) (y-0) (z-2) (4-1) (5-0) (6-2)(2-. 1) (3-0 ) (4-2) Barazoni përcaktorin me zero dhe thjeshtoni.

Gjithsej:(x-1) y (z-2)3 5 41 3 2 =(x-1) 5 2+1 y 4+(z-2) 3 3-(z-2) 5 ·1-(x-1 )·4·3-2·y·3=10x-10+4y+9z-18-5z+10-12x+12-6y=-2x-2y+4z-6=0. Përgjigju. Ekuacioni i kërkuar i rrafshit është -2x-2y+4z-6=0.

Këshilla të dobishme

Rrafshi dhe drejtëza mund të specifikohen edhe me kanonike, parametrike, vektoro-parametrike dhe ekuacioni normal. Një vijë e drejtë gjithashtu mund të specifikohet në segmente dhe përmes shpat. Të gjitha metodat e detyrave mund të transferohen nga njëra në tjetrën.

Ekuacionet karakteristike, në bazë të të cilave, para së gjithash, llogariten eigenvlerat (vlerat), kanë gjetur aplikim të gjerë në matematikë, fizikë dhe teknologji. Ato mund të gjenden në zgjidhjet e problemeve të kontrollit automatik, zgjidhjet e sistemeve ekuacionet diferenciale etj.

Udhëzimet

Përgjigja e pyetjes duhet të trajtohet bazuar në shqyrtimin e problemeve më të thjeshta, zgjidhja e të cilave mund të kërkojë ekuacione karakteristike. Para së gjithash, kjo është një zgjidhje për normalen sistem homogjen ekuacionet diferenciale homogjene (LODE). Pamja e tij është paraqitur në figurën 1. Duke marrë parasysh emërtimet e paraqitura në Fig. 1. Rishkruajeni sistemin në formë matrice Merr Y’=AY.

Dihet se sistemi i zgjidhjeve (SSF) i problemit në shqyrtim është në formën Y=expB, ku B është një kolonë konstantesh. Pastaj Y'=kY. Sistemi AY-kEY=0 (E – matrica e identitetit). Ose (A-kE)Y=0. Kërkohet gjetja e zgjidhjeve jo zero, prandaj ky sistem ka një matricë singulare dhe, në përputhje me rrethanat, një përcaktues të tillë e barabartë me zero. Në formën e tij të zgjeruar, ky përcaktues (shih Fig. 2). 2 shkruhet si përcaktor ekuacioni algjebrik Rendi i n-të dhe zgjidhjet e tij bëjnë të mundur përpilimin e FSR-së së sistemit origjinal. Ky ekuacion është karakteristik.

Tani merrni parasysh një LOD të rendit të n-të (shih Fig. 3 nëse pjesa e tij e majtë është përcaktuar si lineare). operator diferencial L[y], atëherë LOD do të rishkruhet si L[y]=0. Nëse kërkojmë zgjidhje për LDE në formën y=exp(kx), atëherë y'=kexp(kx), y''=(k^2)exp(kx), …, y^(n-1) =(k^(n-1))exp(kx), y^n=(k^n)exp(kx) dhe, pas reduktimit me y=exp(kx), marrim ekuacionin: k^n+(a1 )k^(n-1 )+…+a(n-1)k+an=0, që është gjithashtu karakteristike.

Në mënyrë që të sigurohemi që thelbi i kësaj të fundit ekuacioni karakteristik mbeti i njëjtë (d.m.th. se ky nuk është një objekt tjetër), kaloni nga LOD i rendit të n-të në sistemin normal LOD me zëvendësime të njëpasnjëshme. E para prej tyre është y1=y, dhe pastaj y1'=y2, y2'1=y3, …, y(n-1)' = yn, yn'=-an*y1-a(n-2)*yn -…- a1*y(n-1).

Shkruani sistemin që rezulton, hartoni ekuacionin e tij karakteristik në formën e një përcaktori, hapeni dhe sigurohuni që keni marrë ekuacionin karakteristik për LDE të rendit të n-të. Në të njëjtën kohë, lind një deklaratë për kuptimin themelor të ekuacionit karakteristik.

Shkoni te një detyrë e përgjithshme kërkimi eigenvlerat transformimet lineare (mund të jenë edhe diferenciale), që përfshin hartimin e një ekuacioni karakteristik. Numri k quhet eigenvalue(numri) i një transformimi linear A, nëse ekziston një vektor x i tillë që Ax=kx transformim linear matrica e saj mund të deklarohet në mënyrë unike, atëherë detyra reduktohet në përpilimin e një ekuacioni karakteristik për disa matricë katrore. Kjo bëhet pikërisht si në shembull fillestar për sistemet normale LODE. Thjesht zëvendësoni y me x nëse pas shkrimit të ekuacionit karakteristik pasojnë veprime të tjera. Nëse jo, atëherë nuk duhet ta bëni. Thjesht merrni matricën A (shih Fig. 1) dhe shkruajeni atë në formën e një përcaktori (shih Fig. 2). Pas zbulimit të përcaktorit, puna përfundon.

Kimike është një reaksion i shprehur duke përdorur formula. Një ekuacion kimik tregon se cilat substanca reagojnë dhe cilat substanca do të prodhohen si rezultat i këtij reaksioni. Baza për përbërjen e ekuacioneve kimike është ligji i ruajtjes së masës. Gjithashtu tregon raporti sasior Substancat që përfshihen në reaksion kimik. Për të vendosur ekuacioni kimik, duhet të dini mënyra të caktuara, metodat, qasjet ndaj këtij procesi. Dikush mund të ndjekë një algoritëm të tillë për të zgjidhur ekuacionet kimike.